1
第二章 随机信号分析
2.1 随机过程的基本概念
2.2 平稳随机过程
2.3 高斯过程
2.4 窄带随机过程
2.5 随机过程通过线性系统
2
2.1 随机过程的基本概念
随机过程是时间 t的函数
在任意时刻观察，它是一个随机变量
随机过程是全部可能实现的总体
3
4
分布函数与概率密度：
设 表示一个随机过程,（ t1为任意时刻）是一个随机变量。定义：
F1（ x1,t1） =P{ ≤x1}
的一维分布函数
如果存在
则称之为 的一维概率密度函数
)(t? )( 1t?
)( 1t?
)(t?
),(),( 111
1
111 txf
x
txF?
)(t?
5
的 n维分布函数
n维概率密度函数
n越大,Fn,fn描述 的统计特性就越充分
nnnnn xtxtxtPtttxxxF )(,,)(,)({),,,;,,,( 22112121
n
nnn
n
xxx
tttxxxF
21
2121 ),,,;,,( ),,,;,,(
2121 nnn tttxxxf
)(t?
)(t?
6
数学期望与方差
E[ ]=
D[ ]=E{ -E[ ] }2
=E[ ]2-[E ]2 =
协方差函数与相关函数用来衡量任意两个时刻上获得的随机变量的统计相关特性协方差 B（ t1,t2） =E{[ -a（ t1） ][ -a（ t2） ]}
=
)(),(1 tadxtxxf)(t?
)(2 t?
)(t? )(t? )(t?
)(t? )(t?
)]([ 11 tax
)( 1t? )( 2t?
212121222 ),;,()]([ dxdxttxxftax?
7
相关函数 R（ t1,t2） =E[ ]
=
B（ t1,t2） =R（ t1,t2） -E[ ] E[ ]
,表示两个随机过程互协方差函数互相关函数
212121221 ),;,( xddxttxxfxx
)( 1t? )( 2t?
)( 1t? )( 2t?
)(t? )(t?
),( 21 ttB ) ] }()() ] [()({[ 2211 tattatE
)]()([),( 2121 ttEttR
8
2.2 平稳随机过程任何 n维分布函数或概率密度函数与时间起点无关
),,,;,,( 2121 nnn tttxxxf
),,,;,,( 2121 nnn tttxxxf
任意的 n和 因此，一维分布与 t无关，二维分布只与 t1,t2间隔有关。
均值 （ 2）
方差
（ 3）
相关函数 R（ t1,t2） =
（ 4）
（ 1）
dxtxxftE ),()]([ adxxxf )(
2)]()([ tatE dxtxfax ),()( 2
22 )()(?dxxfax
212121221 ),;,( xddxttxxfxx )()(
21?RttR
9
均值，方差与时间无关相关函数只与时间间隔有关满足（ 2），（ 3），（ 4）称为广义平稳（宽平稳）
满足（ 1） 称为狭义平稳 （严平稳）
时间平均：取一固定的样本函数（实现）对时间取平均 x（ t） 为任意实现
2
2
)(1lim T T
T
adttxT
2
2
2
2])([1lim
T
TT dtatxT?
2
2
)()()(1l i m T T
T
RdttxtxT
10
平稳随机过程,其实现为 x1（ t）,x2（ t），
…x n（ t）,如其时间平均都相等，且等于统计 平均，
即 a=
则称平稳随机过程 具有各态历经性 。
各态历经性可使统计平均转化为时间平均，
简化计算。
)(t?
a 22 )()( RR?
)(t?
11
注：
各态历经：随机过程的任一次实现都经历了随机过程的所有可能状态。 （这时，
可用一次“实现”的“时间平均”可代替所有各种可能“实现”的“统计平均”）。
具有各态历经性的随即过程一定是平稳过程，反之不一定成立。
12
相关函数与功率谱密度
)(t? 为平稳随机过程，其自相关函数性质：
（ 1） R（ 0） =E[ ]=S 的平均功率
（ 2） R（ ） =R（ - ） R（ ） 是偶函数
（ 3）
)(2 t? )(t
)0()( RR
证明,2)]()([ ttE )]()()(2)([
22 ttttE
)]()([2)0(2 ttER 0)(2)0(2RR
)()0(?RR
13
（ 4） 的直流功率
（ 5） 的交流功率任意确定功率信号 f（ t）,功率谱密度
)(t?
)(t? )]([)(
2 tER
2)()0( RR
)(?SP
T
FP T
TS
2)(
lim)(
)(?TF 是 fT（ t）（ f（ t） 截短函数）的频谱函数随机过程的功率谱密度应看作是每一可能实现的功率谱的统计平均,某一实现之截短函数 )()( TT Ft?)(t?
T
FEPEP T
TS
2)(
lim)]([)(
)()( RP dPS )(2 1
14
你应该知道的：
傅里叶变换
记为：
F（ jω） =F {f（ t） }
f（ t） =F -1{F（ jω） }
dtetfjF tj )()(
dejFtf tj)(2 1)(
15
的自相关函数与功率谱密度之间互为傅氏变换关系
例：某随机过程自相关函数为 R（ ），
求功率谱密度。
解：
)(t?
dteRp tj )()(
t
sR
其它,0
2,2)(
2 2 2 dte tj?
2
212
tje
j
j
ee jj
2
4 22
28 Sa?
16
17
例 求随机相位正弦波 的自相关函数与功率谱密度,常数,在（ 0,2 ）均匀分布。
解
)s i n()( 0 tt
0
)][ s i n ()( 0 tEta ]s i ncoscos[ s i n
00 ttE0?
)]()([),( 2121 ttEttR
0c o s2
1?
)]()([cos 000 )(
2)(2)( 00
P
2
1)0( RS
2
1)(
2
1
dPs
18
2.3高斯过程任意的 n维分布都服从正态分布的随机过程
一维概率密度函数
a 数学期望,均方差,方差
f（ x） 关于 x = a 对称
f（ x） 在 单调上升,单调下降或
且有
)2 )(ex p(2 1)( 2 2 axxf
2?
),( a ),(?axx 0)(?xf
1)( dxxf
2
1)()(
a
a dxxfdxxf
19
20
分布函数
概率积分函数
误差函数
互补误差函数
dzazxF x ]2 )(e x p[2 1)( 2
2
)()( axxF
)
2
(
2
1
1
)
2
(
2
1
2
1
)(
ax
er f c
ax
er f
xF
ax?
ax?
dzzx x )2e x p(21)( 2
x z dzexe r f 0 22)(?
x z dzexe r fxe r f c 22)(1)(?
21
2.4 窄带随机过程窄带：信号频谱被限制在“载波”或某中心频率附近一个窄的频带上，中心频率远离零频
)(?S
cfcf?
22
同相分量
正交分量
为零均值，平稳高斯窄带，确定
、,的统计特性
)](c o s [)()( tttat c 0)(?ta?
ttttt cscc s i n)(cos)()(
)(c o s)()( ttatc
)(s i n)()( ttats
)(t? )(ta?
)(t )(tc? )(ts?
23
结论 1：
推导：
由于 平稳，零均值，即任意 t,均有
0)]([)]([ tEtE sc
ttEttEtE cscc s i n)]([cos)]([)]([
)(t? 0)]([?tE?
0)]([)]([ tEtE sc
24
结论 2：同一时刻 不相关，或统计独立。
c? s?
0)0(?
cs
R 0)0(?
sc
R
),(ttR )]()([ ttE
)]()([ ttE cc )(coscostt cc
)]()([ ttE sc )(s i ncostt cc
)]()([ ttE cs )(coss i ntt cc
)]()([ ttE ss )(s i ns i ntt cc
),(ttR c
),(ttR sc
),(ttR cs
),(ttR s
平稳)( t )(),( RttR
25
令 t=0
显然要求
令 同理可得
ctttRR c c o s]),([)( 0
ctttR sc s i n]),([ 0
)(),( cc RttR
)(),( scsc RttR
cc scc RRR s i n)(c o s)()(
c
t2?
cc css RRR s i n)(c o s)()(
（ 1）
（ 2）
26
由（ 1），（ 2）可得
根据互相关函数的性质，应有是 的奇函数 有同理可证即同一时刻 不相关，或统计独立。
)()( sc RR?
)()( cssc RR
)()( cssc RR
)()( cscs RR （ 3）
)( csR? 0)0(?csR
0)0(?scR
c? s?
27
由（ 1），（ 2）还可得平均功率相等即 方差相等结论 3：,是高斯过程证：当
)0()0()0( sc RRR
222
sc
)(tc? )(ts?
01?t )()( 11 tt c
c
t22? )()(
22 tt s
)( 1tc? )( 2ts?故,是高斯随机变量。
)(tc? )(ts? 是高斯过程
28
重要结论：
均值为零的窄带平稳高斯过程，其同相分量和正交分量同样是平稳随机过程，
均值为零，方差相同，在同一时刻得到的 及 不相关，或统计独立。c? s?
29
统计特性
服从瑞利分布
服从均匀分布
)(),( tta
a
]
2
ex p[)(
2
2
2
aa
af0?
a
2
1)(?f
20
30
理想的宽带过程 — 白噪声
n0为常数
白噪声的自相关函数仅在 时才不为零，故白噪声只有在 时才相关，
在任意两个时刻上随机变量都不相关。
2)(
0nP
)(2)( 0 nR?
0 0
31
带 限白噪声
对带限白噪声按抽样定理抽样，则各抽样值是互不相关的随机变量
)(p
20n
0f0f?
32
02
1f
02
1f?
33
例：限带 3400Hz的语音信号和加性噪声，
以 fs=6800Hz的速率对 x（ t） 进行抽样
t
X(t)=s(t)+n(t)
)()()( sss kTnkTSkTX
)]()([)( ssx kTXkTXER )()()()(
nssnns RRRR
)(?sR?
34
2.5 随机过程通过线性系统线性系统响应 v0（ t）,输入 vi（ t）,冲激响应 h（ t）
线性系统是物理可实现的，则或当输入是随机过程 时，输出为
dthvtv i )()()(0
)()()(0 ivHv?
dthvtv t i )()()(0
dtvhtv i00 )()()( )(t
i? )(0 t?
00 )()()( dtht i
35
假定输入 是平稳随机过程，考察 的特性
)(ti? )(0 t?
)]([ 0 tE
00 ])()([)]([ dthEtE i
0 )]([)( dtEh i
（平稳性） )]([ tE
i?
0 )()]([ dhtE i
000 )()()0( dtethHH tj0 )( dtth
)0()]([)]([ 0 HtEtE i
1、
36
2,的自相关函数
由平稳性
输出过程是广义平稳的。
)(0 t? ),( 110ttR
),( 110ttR )]()([ 1010 ttE
0 1 )()([ dthE i0 1 ])()( dth i
0 10 )([)()( tEhh i ddti )]( 1
)()]()([ 11 iii RttE
),( 110 ttR
)()()()( 00 0 RddRhh i
37
3,的功率谱密度
令 则
)(0 t? )(0P
)(0P deR j)(0
deRhhdd ji ])()()([0 0
)(
0P
0 0 )()( dehdeh jjeR ji )(
)()()(* iPHH?
)()( 2 iPH?
38
4、输出过程 的分布
将改写为和式：
可知：若 为正态随机变量也为正态随机变量高斯过程经线性变换后的过程仍为高斯的。
)(0 t?
00 )()()( dtht i
kkk ki htt k
)()(l i m)(
000)(t
i?
)(0 t?
39
思考：随机过程,A是均值为 a，
方差为 的高斯随机变量，求：
1,及 的两个一维概率密度。
2,是否广义平稳？
3,的功率谱
4、平均功率是多少？
tAt c o s)(?
2A?
0)(?tt? 1)(?tt?)(t?
)(t?
40
解,1,At t 0)(? )
2
)(ex p(
2
1)(
2
2
0
AA
axxf
At t 1)(?
)2 )(ex p(2 1)( 2 2
1
AA
axxf
2,在 t=0 及 t=1 时刻，均值不同，一维特征与时间有关
)](c o sc o s[),( 002 ttAEttR
)(c o sc o s][ 002 ttAE
)(c o sc o s)( 0022 ttaA
自相关函数与时间有关,不是广义平稳过程)(t?
41
3、功率谱并不反映随机信号的相位特征，因此，求功率谱，先对 R进行时间平均。
4、
0
22
c o s2),( attR A
)]()([2 )()( 0022 aP A
2),(
22
0
attRS A
第二章 随机信号分析
2.1 随机过程的基本概念
2.2 平稳随机过程
2.3 高斯过程
2.4 窄带随机过程
2.5 随机过程通过线性系统
2
2.1 随机过程的基本概念
随机过程是时间 t的函数
在任意时刻观察，它是一个随机变量
随机过程是全部可能实现的总体
3
4
分布函数与概率密度：
设 表示一个随机过程,（ t1为任意时刻）是一个随机变量。定义：
F1（ x1,t1） =P{ ≤x1}
的一维分布函数
如果存在
则称之为 的一维概率密度函数
)(t? )( 1t?
)( 1t?
)(t?
),(),( 111
1
111 txf
x
txF?
)(t?
5
的 n维分布函数
n维概率密度函数
n越大,Fn,fn描述 的统计特性就越充分
nnnnn xtxtxtPtttxxxF )(,,)(,)({),,,;,,,( 22112121
n
nnn
n
xxx
tttxxxF
21
2121 ),,,;,,( ),,,;,,(
2121 nnn tttxxxf
)(t?
)(t?
6
数学期望与方差
E[ ]=
D[ ]=E{ -E[ ] }2
=E[ ]2-[E ]2 =
协方差函数与相关函数用来衡量任意两个时刻上获得的随机变量的统计相关特性协方差 B（ t1,t2） =E{[ -a（ t1） ][ -a（ t2） ]}
=
)(),(1 tadxtxxf)(t?
)(2 t?
)(t? )(t? )(t?
)(t? )(t?
)]([ 11 tax
)( 1t? )( 2t?
212121222 ),;,()]([ dxdxttxxftax?
7
相关函数 R（ t1,t2） =E[ ]
=
B（ t1,t2） =R（ t1,t2） -E[ ] E[ ]
,表示两个随机过程互协方差函数互相关函数
212121221 ),;,( xddxttxxfxx
)( 1t? )( 2t?
)( 1t? )( 2t?
)(t? )(t?
),( 21 ttB ) ] }()() ] [()({[ 2211 tattatE
)]()([),( 2121 ttEttR
8
2.2 平稳随机过程任何 n维分布函数或概率密度函数与时间起点无关
),,,;,,( 2121 nnn tttxxxf
),,,;,,( 2121 nnn tttxxxf
任意的 n和 因此，一维分布与 t无关，二维分布只与 t1,t2间隔有关。
均值 （ 2）
方差
（ 3）
相关函数 R（ t1,t2） =
（ 4）
（ 1）
dxtxxftE ),()]([ adxxxf )(
2)]()([ tatE dxtxfax ),()( 2
22 )()(?dxxfax
212121221 ),;,( xddxttxxfxx )()(
21?RttR
9
均值，方差与时间无关相关函数只与时间间隔有关满足（ 2），（ 3），（ 4）称为广义平稳（宽平稳）
满足（ 1） 称为狭义平稳 （严平稳）
时间平均：取一固定的样本函数（实现）对时间取平均 x（ t） 为任意实现
2
2
)(1lim T T
T
adttxT
2
2
2
2])([1lim
T
TT dtatxT?
2
2
)()()(1l i m T T
T
RdttxtxT
10
平稳随机过程,其实现为 x1（ t）,x2（ t），
…x n（ t）,如其时间平均都相等，且等于统计 平均，
即 a=
则称平稳随机过程 具有各态历经性 。
各态历经性可使统计平均转化为时间平均，
简化计算。
)(t?
a 22 )()( RR?
)(t?
11
注：
各态历经：随机过程的任一次实现都经历了随机过程的所有可能状态。 （这时，
可用一次“实现”的“时间平均”可代替所有各种可能“实现”的“统计平均”）。
具有各态历经性的随即过程一定是平稳过程，反之不一定成立。
12
相关函数与功率谱密度
)(t? 为平稳随机过程，其自相关函数性质：
（ 1） R（ 0） =E[ ]=S 的平均功率
（ 2） R（ ） =R（ - ） R（ ） 是偶函数
（ 3）
)(2 t? )(t
)0()( RR
证明,2)]()([ ttE )]()()(2)([
22 ttttE
)]()([2)0(2 ttER 0)(2)0(2RR
)()0(?RR
13
（ 4） 的直流功率
（ 5） 的交流功率任意确定功率信号 f（ t）,功率谱密度
)(t?
)(t? )]([)(
2 tER
2)()0( RR
)(?SP
T
FP T
TS
2)(
lim)(
)(?TF 是 fT（ t）（ f（ t） 截短函数）的频谱函数随机过程的功率谱密度应看作是每一可能实现的功率谱的统计平均,某一实现之截短函数 )()( TT Ft?)(t?
T
FEPEP T
TS
2)(
lim)]([)(
)()( RP dPS )(2 1
14
你应该知道的：
傅里叶变换
记为：
F（ jω） =F {f（ t） }
f（ t） =F -1{F（ jω） }
dtetfjF tj )()(
dejFtf tj)(2 1)(
15
的自相关函数与功率谱密度之间互为傅氏变换关系
例：某随机过程自相关函数为 R（ ），
求功率谱密度。
解：
)(t?
dteRp tj )()(
t
sR
其它,0
2,2)(
2 2 2 dte tj?
2
212
tje
j
j
ee jj
2
4 22
28 Sa?
16
17
例 求随机相位正弦波 的自相关函数与功率谱密度,常数,在（ 0,2 ）均匀分布。
解
)s i n()( 0 tt
0
)][ s i n ()( 0 tEta ]s i ncoscos[ s i n
00 ttE0?
)]()([),( 2121 ttEttR
0c o s2
1?
)]()([cos 000 )(
2)(2)( 00
P
2
1)0( RS
2
1)(
2
1
dPs
18
2.3高斯过程任意的 n维分布都服从正态分布的随机过程
一维概率密度函数
a 数学期望,均方差,方差
f（ x） 关于 x = a 对称
f（ x） 在 单调上升,单调下降或
且有
)2 )(ex p(2 1)( 2 2 axxf
2?
),( a ),(?axx 0)(?xf
1)( dxxf
2
1)()(
a
a dxxfdxxf
19
20
分布函数
概率积分函数
误差函数
互补误差函数
dzazxF x ]2 )(e x p[2 1)( 2
2
)()( axxF
)
2
(
2
1
1
)
2
(
2
1
2
1
)(
ax
er f c
ax
er f
xF
ax?
ax?
dzzx x )2e x p(21)( 2
x z dzexe r f 0 22)(?
x z dzexe r fxe r f c 22)(1)(?
21
2.4 窄带随机过程窄带：信号频谱被限制在“载波”或某中心频率附近一个窄的频带上，中心频率远离零频
)(?S
cfcf?
22
同相分量
正交分量
为零均值，平稳高斯窄带，确定
、,的统计特性
)](c o s [)()( tttat c 0)(?ta?
ttttt cscc s i n)(cos)()(
)(c o s)()( ttatc
)(s i n)()( ttats
)(t? )(ta?
)(t )(tc? )(ts?
23
结论 1：
推导：
由于 平稳，零均值，即任意 t,均有
0)]([)]([ tEtE sc
ttEttEtE cscc s i n)]([cos)]([)]([
)(t? 0)]([?tE?
0)]([)]([ tEtE sc
24
结论 2：同一时刻 不相关，或统计独立。
c? s?
0)0(?
cs
R 0)0(?
sc
R
),(ttR )]()([ ttE
)]()([ ttE cc )(coscostt cc
)]()([ ttE sc )(s i ncostt cc
)]()([ ttE cs )(coss i ntt cc
)]()([ ttE ss )(s i ns i ntt cc
),(ttR c
),(ttR sc
),(ttR cs
),(ttR s
平稳)( t )(),( RttR
25
令 t=0
显然要求
令 同理可得
ctttRR c c o s]),([)( 0
ctttR sc s i n]),([ 0
)(),( cc RttR
)(),( scsc RttR
cc scc RRR s i n)(c o s)()(
c
t2?
cc css RRR s i n)(c o s)()(
（ 1）
（ 2）
26
由（ 1），（ 2）可得
根据互相关函数的性质，应有是 的奇函数 有同理可证即同一时刻 不相关，或统计独立。
)()( sc RR?
)()( cssc RR
)()( cssc RR
)()( cscs RR （ 3）
)( csR? 0)0(?csR
0)0(?scR
c? s?
27
由（ 1），（ 2）还可得平均功率相等即 方差相等结论 3：,是高斯过程证：当
)0()0()0( sc RRR
222
sc
)(tc? )(ts?
01?t )()( 11 tt c
c
t22? )()(
22 tt s
)( 1tc? )( 2ts?故,是高斯随机变量。
)(tc? )(ts? 是高斯过程
28
重要结论：
均值为零的窄带平稳高斯过程，其同相分量和正交分量同样是平稳随机过程，
均值为零，方差相同，在同一时刻得到的 及 不相关，或统计独立。c? s?
29
统计特性
服从瑞利分布
服从均匀分布
)(),( tta
a
]
2
ex p[)(
2
2
2
aa
af0?
a
2
1)(?f
20
30
理想的宽带过程 — 白噪声
n0为常数
白噪声的自相关函数仅在 时才不为零，故白噪声只有在 时才相关，
在任意两个时刻上随机变量都不相关。
2)(
0nP
)(2)( 0 nR?
0 0
31
带 限白噪声
对带限白噪声按抽样定理抽样，则各抽样值是互不相关的随机变量
)(p
20n
0f0f?
32
02
1f
02
1f?
33
例：限带 3400Hz的语音信号和加性噪声，
以 fs=6800Hz的速率对 x（ t） 进行抽样
t
X(t)=s(t)+n(t)
)()()( sss kTnkTSkTX
)]()([)( ssx kTXkTXER )()()()(
nssnns RRRR
)(?sR?
34
2.5 随机过程通过线性系统线性系统响应 v0（ t）,输入 vi（ t）,冲激响应 h（ t）
线性系统是物理可实现的，则或当输入是随机过程 时，输出为
dthvtv i )()()(0
)()()(0 ivHv?
dthvtv t i )()()(0
dtvhtv i00 )()()( )(t
i? )(0 t?
00 )()()( dtht i
35
假定输入 是平稳随机过程，考察 的特性
)(ti? )(0 t?
)]([ 0 tE
00 ])()([)]([ dthEtE i
0 )]([)( dtEh i
（平稳性） )]([ tE
i?
0 )()]([ dhtE i
000 )()()0( dtethHH tj0 )( dtth
)0()]([)]([ 0 HtEtE i
1、
36
2,的自相关函数
由平稳性
输出过程是广义平稳的。
)(0 t? ),( 110ttR
),( 110ttR )]()([ 1010 ttE
0 1 )()([ dthE i0 1 ])()( dth i
0 10 )([)()( tEhh i ddti )]( 1
)()]()([ 11 iii RttE
),( 110 ttR
)()()()( 00 0 RddRhh i
37
3,的功率谱密度
令 则
)(0 t? )(0P
)(0P deR j)(0
deRhhdd ji ])()()([0 0
)(
0P
0 0 )()( dehdeh jjeR ji )(
)()()(* iPHH?
)()( 2 iPH?
38
4、输出过程 的分布
将改写为和式：
可知：若 为正态随机变量也为正态随机变量高斯过程经线性变换后的过程仍为高斯的。
)(0 t?
00 )()()( dtht i
kkk ki htt k
)()(l i m)(
000)(t
i?
)(0 t?
39
思考：随机过程,A是均值为 a，
方差为 的高斯随机变量，求：
1,及 的两个一维概率密度。
2,是否广义平稳？
3,的功率谱
4、平均功率是多少？
tAt c o s)(?
2A?
0)(?tt? 1)(?tt?)(t?
)(t?
40
解,1,At t 0)(? )
2
)(ex p(
2
1)(
2
2
0
AA
axxf
At t 1)(?
)2 )(ex p(2 1)( 2 2
1
AA
axxf
2,在 t=0 及 t=1 时刻，均值不同，一维特征与时间有关
)](c o sc o s[),( 002 ttAEttR
)(c o sc o s][ 002 ttAE
)(c o sc o s)( 0022 ttaA
自相关函数与时间有关,不是广义平稳过程)(t?
41
3、功率谱并不反映随机信号的相位特征，因此，求功率谱，先对 R进行时间平均。
4、
0
22
c o s2),( attR A
)]()([2 )()( 0022 aP A
2),(
22
0
attRS A
