第一节 复数第四节 无穷大与复球面第二节 复数的三角形式第五节 复变函数第三节 复平面上的点集一、复数的概念二、复数的四则运算三、复平面小结与思考一、复数的概念
1,虚数单位,
.
,,
单位称为虚数引入一个新数为了解方程的需要 i
.1,2 在实数集中无解方程实例x
对虚数单位的规定,;1)1( 2i
,)2( 四则运算样的法则进行可以与实数在一起按同i
2,复数的代数形式的定义,
.,,为复数或称对于 iyxzyixzRyx;,0,0 称为纯虚数时当 iyzyx
,0,0 为实数时当 xixzy
i:虚数单位虚部 (Imaginary)
记做,Imz=y
实部（ Real）
记做,Rez=x
实部相同而虚部绝对值相等符号相反的两个复数称为共轭复数,
.,iyxziyxz 则若即
,z记作两复数相等 当且仅当 它们的实部和虚部分别相等,
特别地，复数 z 等于 0当且仅当 它的实部和虚部同时等于 0.
说明 两个数如果都是实数,可以比较它们的大小,如果不全是实数,就不能比较大小,即复数不能比较大小 !!!
.,212121 yyxxzz
,,222111 iyxziyxz设即则二、复数的四则运算
,,222111 iyxziyxz设两复数
1,两复数的和差,).()( 212121 yyixxzz
2,两复数的积,).()( 2112212121 yxyxiyyxxzz
3,两复数的商,,2
2
2
2
2112
2
2
2
2
2121
2
1
yx
yxyxi
yx
yyxx
z
z
复数的减法运算是加法运算的逆运算
复数的除法运算是乘法运算的逆运算
复数的四则运算与实数的四则运算保持一致共轭复数的性质,;)1( 2121 zzzz ;2121 zzzz ;
2
1
2
1
z
z
z
z
;)2( zz?
;ImRe)3( 22 zzzz
.Im2,Re2)4( zizzzzz
三、复平面
.,
,,
,
,),(
面叫复平面这种用来表示复数的平轴叫虚轴或纵轴（除原点外）轴通常把横轴叫实轴或复数的平面可以用来表示一个建立了直角坐标系因此对应成一一与有序实数对复数
y
x
yxiyxz
,),(
表示面上的点可以用复平复数
yx
iyxz
),( yxz?
x
y
x
y
o
iyxz
,
表示面上的点可以用复平复数
oz
iyxz
向量
复数的向量表示法
x
y
o 1z
2z 21 zz?
x
y
o
1z
2z
21 zz?
2z?
两个复数的加减法运算与相应的向量的加减法运算一致,
.
称的内的位置是关于实轴对在复平面和一对共轭复数 zz x
y
o
iyxz
iyxz
小结与思考本课学习了复数的有关概念、性质及其运算,重点掌握复数的运算,它是本节课的重点,
思考题复数为什么不能比较大小？
思考题答案
0,和观察复数 i,0?i由复数的定义可知
,0 )1(?i若,0 iii则 ;,01 矛盾即
,0 )2(?i若,0 iii则,,01 矛盾同样有
由此可见,在复数中 无法定义大小关系,
一、复数的模与幅角二、复数三角形式和指数形式三、复数三角形式的乘除法四、复数的幂与方根小结与思考一、复数的模与幅角
1,复数的模 (或绝对值 )
,的模向量的长度称为 z
,表示可以用复平面上的向量复数 OPiyxz
,22 yxrz记为
x
y
x
y
o
iyxzPr
显然下列各式成立
,zx?,zy?
,yxz,22 zzzz
2,复数的辐角 (argument)
,A r g,
,,0
zzOP
zz
记作的辐角称为为终边的角向量的以表示以正实轴为始边的情况下在说明
.
0
无穷多个辐角有任何一个复数?z
,1 是其中一个辐角如果?
).( π2A r g 1 为任意整数kkz
,0,0, zz 时当特殊地的全部辐角为那么 z
辐角不确定,
x
y
x
y
o
iyxzP
辐角主值的定义,
.a r g,A r g
ππ,)0(
0
00
zz
z
记作的主值称为的把满足的辐角中在
,0?x
)2a rct a n2( xy其中辐角的主值0?z
za rg
,0,0 yx
,0,0 yx
.0,0 yx
,a rc ta n xy
,2π?
,πa rct a n?xy
,π
1z
2z
12zz?
12zz?
x
y
o
3,复数模的三角不等式
2121 zzzz 21 zz
等号成立的充要条件是 位于同一直线上．21,zz
几何意义如图：
利用直角坐标与极坐标的关系
,s i n
,c o s
ry
rx
复数可以表示成 )s i n( c o s irz
复数的三角表示式再利用欧拉公式,s i nc o s ie i
复数可以表示成?irez?
复数的指数表示式欧拉介绍二、复数的三角形式和指数形式例 1 将复数 化为三角表示式与指数表示式．
iz 212
解 zr?,4412,在第三象限因为 z
π122a r c t a n所以 33a r c t a n,65
故三角表示式为,65s i n65co s4 iz
指数表示式为,4 6
5 iez
三、复数三角形式的乘除法
)]s i n ()[ c o s ( 21212121 irrzz则
2121
212121
A r gA r g)(A r g
zzzz
zzrrzz
),s i n( c o s 1111 irz设 ),s i n( c o s 2222 irz
从而
1．乘法两复数相乘就是把模相乘,辐角相加,
,2 倍再把它的模扩大到 r
从几何上看,两复数对应的向量分别为,,21 zz
,21?旋转一个角按逆时针方向先把 z?
,21 zzz?就表示积所得向量?
2?o x
y r
2r
1r?
2z
1?
1z
z
说明 由于辐角的多值性,2121 A r gA r g)(A r g zzzz
两端都是无穷多个数构成的两个数集,
对于左端的任一值,右端必有值与它相对应,
的指数形式分别为和设复数 21 zz
,111?ierz?,)(2121 21 ierrzz则,222?ierz?
由此可将结论推广到 n 个复数相乘的情况,
nzzz21
),,2,1(,)s i n( co s nkerirz kikkkkk设
)]s i n(
)[ c o s (
21
2121
n
nn
i
rrr
.)(21 21 nin errr
的指数形式分别为和设复数 21 zz,111?ierz?
.)(
2
1
2
1 21 ie
r
r
z
z则
,222?ierz?
)]s i n ()[ c o s ( 2121
2
1
2
1 i
r
r
z
z则
21
2
1
2
1
2
1
2
1
A r gA r g)(A r g
zz
z
z
z
z
r
r
z
z
),s i n( c o s 1111 irz设 ),s i n( c o s 2222 irz
从而
2．除法例 2
解
,3co s3s in ),31(21 21 iziz已知
,3s in3c o s 1 iz因为
,6s in6c o s2 iz
63s in63c o s 21 izz所以,i
63s i n63co s
2
1 i
z
z,
2
1
2
3 i
,
2
1
21 z
zzz 和求?
四、复数的幂与方根
1,n次幂,
,
,
nz
nzzn
记作次幂的的乘积称为个相同复数
,
个n
n zzzz
,)s i n( c o s, ninrzn nn有对于任何正整数
.
,,
1
上式仍成立为负整数时那么当如果我们定义 n
z
z nn
,s inc o s,1 izrz 即的模当
.s i nc o s)s i n( c o s nini n
棣莫佛公式棣莫佛资料
,,.3 为已知复数其中的根方程 zwzw n?
n kin krzw nn π2s inπ2c o s
1
)1,,2,1,0( nk?
2.棣莫佛公式从几何上看,,个值就是以原点为中心的 nzn
,
1
个顶点边形的为半径的圆的内接正 nnr n
例 3,1 4 的值计算 i?
解 4s in4c o s21 ii
4
2
4s i n
4
2
4co s21 84
k
i
k
i
).3,2,1,0(?k
,16s in16c o s280 iw即
,169s in169c o s281 iw
,1617s in1617co s282 iw
.1625s in1625c o s283 iw
.
2
8
圆的正方形的四个顶点的心在原点半径为这四个根是内接于中
o x
y1w
2w
3w
0w
小结与思考学习的主要内容有复数的模、辐角 ;复数的各种表示法,应熟练掌握复数乘积与商的运算,在各种形式中以三角形式、指数形式最为方便,
棣莫佛公式
)(2121 21 ierrzz
)(
1
2
1
2 12 ie
r
r
z
z
nini n s i nc o s)s i n( c o s
n kin krz nn π2s i nπ2c o s
1 )1,,2,1,0( nk?
n次方根的公式思考题思考题答案否,,0 的情况特殊唯有?z
它的模为零而辐角不确定,
是否任意复数都有辐角?
一,复平面点集的一般概念二,区域三,平面曲线小结与思考一,复平面点集的一般概念定义 1 邻域,
,)(,0 为半径的圆任意的正数为中心平面上以?z
记作,Nδ(z0)．N
δ(z0)={z | |z-z0|<δ}
,
0
0
0
的去心邻域确定的点的集合为所称由不等式
z
zz
记作,Nδ0(z0)={z | 0<|z-z0|< δ}
0z
,00 的邻域内部的点的集合称为 zzz
即定义 2 内点、边界点、孤立点设有点集 Ｇ 及一点 z0,
若存在点 z0 的某邻域 Nδ(z0)Ｇ
G
则称 z0为 Ｇ 的内点；
若在 z0的任意一个邻域内,都有 属于 Ｇ的点,也有不属于 Ｇ 的点,则称 z0为 Ｇ 的边界点．
点集 Ｇ 的全体边界点组成的集合称为 Ｇ 的边界,
记为,Ｇ．
即 z0为 Ｇ 的孤立点δ >0,Nδ(z0)Ｇ ={z0}
若 z0属于 Ｇ,但在 z0某邻域内除 z0外不含 Ｇ 的点，
则称 z0为 G的孤立点,
定义４ 有界集和无界集
,
心的圆里面中被包含在一个以原点为可以如果一个 G点集
z?
有界！
z
x
y
o
如果 Ｇ 内每一点都是它的内点,那么 Ｇ 为 开集,
定义 3 开集与闭集平面上不属于 Ｇ 的点的全体称为 Ｇ 的 余集 ； 开集的余集称为 闭 集,或开集及其边界的并集称为闭集．
,
,,
0,
否则称为无界的称为有界的那末足使区域的每一个点都满即存在
GMz
M
Ｇ
二,区域定义 5 区域如果平面点集 D满足以下两个条件,则称它为一个 区域,
(1) D是一个 开集 ；
(2) D是 连通的,就是说 D中任何两点都可以用完全属于 D的一条折线连结起来,
D加上 D的边界称为闭域，记为?D＝
D+?D,
z1
z2
D
说明
(2) 区域的边界可能是由几条曲线和一些孤立的点所组成的,
z? 1C
2C
3C
(1) 区域都是开的,
以上基本概念的图示
1z?
2z?
区域?0z?
邻域
P? 边界点边界不包含边界！
(1) 圆环域,;201 rzzr
0z?
2r1r
课堂练习 判断下列区域是否有界?
(2) 上半平面,;0Im?z
(3) 角形域,;a r g
21 z
(4) 带形域,,Im bza
答案 (1)有界 ; (2) (3) (4)无界,
x
y
o
.,
)( ),(,)(
,)( )(
称为连续曲线表一条平面曲线代那末方程组是两个连续的实变函数和如果
ttyytxx
tytx
平面曲线 C的复数表示,
)().()()( ttiytxtzz
C的实参数方程
C的 复 参数方程起点 z(?)
终点 z(?)
C
C的正向：起点终点
z
x
y
o
三,平面曲线定义 6 连续曲线
,
,
22
ty
tx
xy 的参数方程是抛物线
．2)()( itttiytxz
的参数方程为圆 222 ayx,20
,s i n
,c o s
t
tay
tax
)20( )s i n( c o s ttitaz
方程为两点的直线段复数形式和平面上连接 21 zz
例如：
).10( )( 121 ttzzzz
复数形式为复数形式为或 ).20( taez it
例 1 求下列方程所表示的曲线,
.4)I m()3(;22)2(;2)1(
zi
ziziz
解,2,)1( 的圆半径为表示中心为 i?
,22)2( 的线段的垂直平分线和表示连接点?i
,)3( iyxz设,)1( iyxzi
,41)I m ( yzi
.3y即,表示平行于实轴的直线
.
)(,)()(
,,
12121
2121
的重点称为曲线点时而有当与的对于满足
Ctztztztt
tttt
没有重点的曲线 C 称为简单曲线 (或 Jordan曲线 ).
重点重点重点
.,)( )(
,
为简单闭曲线那末称即的起点和终点重合如果简单曲线
Czz
C
换句话说,简单曲线自身不相交,
定义 7 简单曲线课堂练习 判断下列曲线是否为简单曲线?
答案简单闭简单不闭不简单闭不简单不闭
)(az )(bz?
)(az )(bz)(az )(bz?
)(az
)(bz?
简单闭曲线的性质? 约当定理任意一条简单闭曲线 C
将复平面唯一地分成
C,I(C),E(C) 三个互不相交的点集,满足：
I(C) E(C)
边界
x
y
o
（ 1） I(C) 是一个有界区域
（称为 C的内部）,
（ 2） E(C) 是一个无界区域（称为 C的外部）,
（ 3） C是 I(C),E(C)的公共边界,
C
定义 8 光滑曲线,
.
0,])([])([,
,)( )(,
22
称这曲线为光滑的那末有的每一个值且对于都是连续的和上如果在
tytxt
tytxt
由几段依次相接的光滑曲线所组成的曲线称为按段光滑曲线,
x
y
o x
y
o
特点 光滑曲线上的各点都有切线定义 9 单连通域与多连通域,
复平面上的一个区域 D,如果在其中任作一条简单闭曲线,而曲线的内部总属于 D,就称为单连通域,一个区域如果不是单连通域,就称为多（复）连通域,
单连通域 多连通域例 2 满足下列条件的点集是什么,如果是区域,
指出是单连通域还是多连通域?
,3Im)1(?z
是一条平行于实轴的直线,
-3 -2 -1 1 2 3
x
1
2
3
4
5
6
y
不是区域,
,2Re)2(z
),2Re (
2Re
z
z
不包括直线为右界的半平面以单连通域,
,210)3( iz
,
2,)1(
的去心圆盘为半径为圆心以 i
是多连通域,
,4)a rg ()4( iz
),(
1,
i
i
不包括端点的半射线斜率为为端点以不是区域,
小结与思考应理解区域的有关概念,
邻域、去心邻域、内点、开集、边界点、边界、
区域、有界区域、无界区域理解单连通域与多连通域,
一,复球面二,扩充复平面小结与思考一,复球面
1．南极、北极的定义
,
O
N
通 过 作 垂 直 于 复 平 面 的直 线 与 球 面 相 交 于 另 一 点
N
x
yO
z
取一张复平面，
,与原点重合球面上一点 S
,,为南极为北极称 SN
再作一个与复平面切于原点的球面．
S
P
因此，可以用球面上的点来表示复数,
2．复球面的定义对复平面内任一点 z,用直线将 z与 N相连,与球面相交于 P点,则球面上除 N点外的所有点和复平面上的所有点有一一对应的关系．
用来表示复数的这个球面称为 复球面,
全体复数与复球面 -{N}成一一对应关系,
x
x
O
N
S
z
z
二,扩充复平面因而球面上的北极 N 就是复数?的几何表示,
N
z
规定,北极 N与一个模为 无穷大的假想的点对应,
这个假想的点称为,复数无穷远点”
记作.
复平面加上后称为扩充复平面，记作 C?
x
yO z
P(z)
S
包括无穷远点在内的复平面称为扩充复平面,
不包括无穷远点在内的复平面称为有限复平面,
或简称复平面,
复球面的优越处,
能将扩充复平面的无穷远点明显地表示出来,
对于复数 来说,实部,虚部,辐角等概念均无意义,它的模规定为正无穷大,
,的四则运算规定如下关于?
)(,,)1(加法
)(,,)2(减法
)0(,,)3(乘法
)0(,0),(,,0,)4(除法都无意义．，，，注意 00 0,
,
,,
,
zM
Mz
可以表示为域称为无穷远点的去心邻的所有点的集合仅满足内不包括无穷远点自身在称为无穷远 点的邻域,
(其中 M >0)的所有点的集合 {z| |z|>M}
且满足 |z| >M注,包括无穷远点自身在内，
0
M
|z|>M
小结与思考本节主要介绍了复球面和扩充复平面,
注意,为了用球面上的点来表示复数，引入了无穷远点．无穷远点与无穷大 这个复数相对应,
所谓 无穷大 是指模为正无穷大（辐角无意义）
的唯一的一个复数，不要与实数中的 无穷大 或正、负 无穷大 混为一谈．
一、复变函数的概念二、复变函数的极限与连续小结与思考一,复变函数的概念
,的集合是一个复数设 iyxzE
1.复变函数的定义,
).( zfw?记作如果有一个
,f按这个法则,zE 中每一个复数对于
,之对应与就有一个或多个复数 ivuw那么称为函数值．对应的复变数与 wz
,f对应法则
),( 简称复变函数的函数的复变数是定义在称 zEf 上
2.单 (多 )值函数的定义,
,)(
,
是单值的我们称函数那么的值的一个值对应着一个如果
zf
wz
,)(,
是多值的那么我们称函数的值两个以上的一个值对应着两个或如果
zfw
z
3.定义集合和函数值集合,; )( )( 定义域的定义集合称为集合 zfE
.(,)(
）值域称为函数值集合值所成的集合的一切中所有对应于
Ef
wzE
( ) { |,( ) }f E w z E f z w
4,复变函数与自变量之间的关系,
:
)(
相当于两个关系式之间的关系自变量与复变函数 zfwzw?
),,(),,( yxvvyxuu
,的两个二元实变函数和它们确定了自变量为 yx
例如,,2zw?函数,,ivuwiyxz令
2)( iyxivu则,222 xy iyx
,2 数对应于两个二元实变函于是函数 zw?
,22 yxu,2 xyv?
D Gz ww=f(z)
x
zy
u
v w,),(
,)(
的原象称为而映象的象称为那么中的点映射成被映射中的点如果
wzzw
wGzfwzD?
).()(
)(
)(,
,
或变换的映射函数值集合平面上的一个点集到变定义集合平面上的一个点集几何上可以看作是把在那么函数的值平面上的点表示函数平面而用另一个的值平面上的点表示自变量如果用
Gw
Dz
zfwww
zz
5,复变函数的几何意义 ——映射取两张复平面，分别称为 z平面和 w平面,
,)1 构成的映射函数 zw?
x
y
o u
v
o
iz 321
iw 321iz 212
iw 212A BC
A? B?
C?
,11 wz?,22 wz?,CBAA B C
例,
,
ibaw
wibazz
的点平面上映射成平面上的点将
x
y
o u
v
o
iz 321
iw 321iz 212
iw 212A BC
A? B?
C?
,11 wz?,22 wz?,CBAA B C
,
,
映射是关于实轴的一个对称不难看出重叠在一起平面平面和如果把
zw
wz
o
1w?
2w? 1z?
2z?
且是全同图形,
,)2 2 构成的映射函数 zw?
.1,43,1
1,21,
321
321
wiwww
zizizz
平面上的点映射成平面上的点显然将
x
y
o u
v
o?1z?
2z?
2w?
3w1w3z
根据复数的乘法公式可知,
,2 的辐角增大一倍将映射 zzw?
x
y
o u
v
o2
,2
的角形域平面上与实轴交角为的角形域映射成平面上与实轴交角为将
wz
6,反函数的定义,
,)(
,)(
,)(
点或几个中的一个必 将 对 应 着每一个点中的那末平 面 上 的 集 合数 值 集 合 为函平 面 上 的 集 合的 定 义 集 合 为设
Ew
FEfFw
Ezzfw
,)(
,)(,)(
,)(
1
的 逆 映 射为 映 射也称的 反 函 数它 称 为 函 数函数或 多 值上 就 确 定 了 一 个 单 值于 是 在
zfw
zfwwfz
F
记作：
今后不再区别函数与映射,
二、复变函数的极限与连续
1.函数极限的定义,
,0 )( 00 内的去心邻域定义在设函数 zzzzfw
))((,)(li m 0
0
AzfAzf zzzz 或记作注意,,0 的方式是任意的定义中 zz?
相应地对于任意给定的,0,存在如果有一确定的数 A
,?必有一正数
,)( Azf,)( 0 时的极限趋向于当为那么称 zzzfA
有时使得当,)0(0 0 zz
几何意义,
x
y
O
z0?
z
O u
v
A?
f(z)
邻域．的就进入点邻域时，对应的函数值的进入点动点当
A
zfzz )( 0
2,极限计算的性质定理
.),(lim,),(lim
)(lim,
,),,(),()(
00
000
00
0
0
0
0
0
vyxvuyxu
Azfiyxz
ivuAyxivyxuzf
yy
xx
yy
xx
zz
的充要条件是那末设说明
,),(
),(,
),(),()(
的极限问题和函数转化为求两个二元实变的极限问题该定理将求复变函数
yxv
yxu
yxivyxuzf
定理
).0(
)(
)(
lim ( 3 );)]()([lim ( 2 );)]()([lim ( 1 )
,)(lim,)(lim
0
0
0
00
B
B
A
zg
zf
ABzgzf
BAzgzf
BzgAzf
zz
zz
zz
zzzz
那末设与实变函数的极限性质类似,
惟一性复合运算等例 1
证 (一 )
.
0
)R e (
)(
不 存 在时 的 极 限当证 明 函 数 z
z
z
zf
,iyxz令,)( 22 yx xzf则
,0),(,),( 22?
yxv
yx
xyxu
,趋于零时沿直线当 kxyz?
2200 l i m),(l i m yx
xyxu
kxy
x
kxy
x?
220 )(
l im
kxx
x
x?
)1(
lim 22
0 kx
x
x?
,1 1 2k
,值的变化而变化随 k
,),(l i m
0
0
不存在所以 yxu
y
x
,0),(l i m
0
0
yxv
y
x
根据定理一可知,,)(l i m 0 不存在zfz?
证 (二 ) ),s i n( c o s irz令
r
rzf?co s)(?则,cos
,a r g 趋于零时沿不同的射线当zz
,)( 趋于不同的值zf
,0a r g 趋于零时沿正实轴例如?zz,1)(?zf
,2πa rg 趋于零时沿?z,0)(?zf
,)(lim 0 不存在故 zfz?
3,函数连续的定义,
,)(
,)(,
)( ),()(lim
0
0
0
内连续在我们说内处处连续在区域如果处连续在那末我们就说如果
Dzf
Dzfz
zfzfzf
zz
.,)()(lim
)(
0
0
0
Czzfzf
zCzf
zz
处连续的意义是上在曲线函数
00
0
( ) | 0
| ( ) ( ) | <
f z z z z
f z f z
在 连 续 当 时连续的三要素,
（ 1） f(z)在 z0处有定义
（ 2） f(z)在 z0处有极限
（ 3） f(z)在 z0处的极限值等于函数值由函数连续的定义,
.
)0(a r g)(
连续连续，在负实数轴上不点和负实数轴的区域上在整个复平面除去原求证, zzzf
（如图），为负实数轴上任意一点设 1x
,a rg 在负实数轴上不连续故 z
例 2; a r glim,a r glim
0Im0Im 11
zz
z
xz
z
xz
有
xO
y
1x
证
．
,a r glim
1
不存在所以 zxz?
,0 轴的区域上任意一点为全平面除原点和负实设 z
,
a r ga r g
,0
00
图）与负实数轴不相交（如使得角形区域则
zz
，包含在上述角形区域中邻域的，则取 00 s i n|| zz?
，时，即 |a r ga r g| || 00 zzzz
0z
y
xO
．
.)( 0 连续在从而 zzf
,a r g)(0 在所述区域内连续连续的任意性，由 zzfz?
4,连续函数的性质
,) (
)( )( ( 1 )
00
0
处仍连续在不为零分母在积、商的和、差、和连续的两个函数在
zz
zgzfz
.
)]([,)(
)(,)( ( 2 )
000
0
连续处在那末复合函数连续在函数连续在如果函数
zzgfwzgh
hfwzzgh
特殊的,
,)( 2210 nn zazazaazPw
(1) 有理整函数 (多项式 ); 都是连续的对复平面内的所有点 z
(2) 有理分式函数
,)( )( zQ zPw?,)( )( 都是多项式和其中 zQzP
在复平面内使分母不为零的点也是连续的,
定理
.
),( ),( ),(,
),(),()(
00
000
处连续在和连续的充要条件是在函数
yxyxvyxu
iyxzyxivyxuzf
例如,),()l n ()( 2222 yxiyxzf
,
)ln(),( 22
处连续在复平面内除原点外处yxyxu
,),( 22 在复平面内处处连续yxyxv
,),( 处连续在复平面内除原点外处故 yxf
5.有界闭集上连续函数的性质
（ 1） f(z)在 E上有界：
M>0z?E |f(z)|<M
（ 2） |f(z)|在 E上有最值,即：
z1,z2?Ez?E |f(z)|<|f(z1)|,|f(z)|>|f(z2)|
（ 3） |f(z)|在 E上至少取得最大值与最小值一次．
定理 设 E是有界闭集,f(z)?在 E上连续，则有：
小结与思考
2,通过本课的学习,熟悉复变函数的极限、连续性的运算法则与性质,
注意,复变函数极限的定义与一元实变函数极限的定义虽然在形式上相同,但在实质上有很大的差异,它较之后者的要求苛刻得多,
1,复变函数以及映射的概念是本章的一个重点,
注意,复变函数与一元实变函数的定义完全一样,
只要将后者定义中的“实数”换为“复数”就行了,
思考题思考题答案在复变函数中,对“函数”、“映射”、
“变换”等名词的使用,没有本质上的区别,只是函数一般是就数的对应而言,而映射与变换一般是就点的对应而言的,
“函数”、“映射”、“变换”等名词有无区别？
1,虚数单位,
.
,,
单位称为虚数引入一个新数为了解方程的需要 i
.1,2 在实数集中无解方程实例x
对虚数单位的规定,;1)1( 2i
,)2( 四则运算样的法则进行可以与实数在一起按同i
2,复数的代数形式的定义,
.,,为复数或称对于 iyxzyixzRyx;,0,0 称为纯虚数时当 iyzyx
,0,0 为实数时当 xixzy
i:虚数单位虚部 (Imaginary)
记做,Imz=y
实部（ Real）
记做,Rez=x
实部相同而虚部绝对值相等符号相反的两个复数称为共轭复数,
.,iyxziyxz 则若即
,z记作两复数相等 当且仅当 它们的实部和虚部分别相等,
特别地，复数 z 等于 0当且仅当 它的实部和虚部同时等于 0.
说明 两个数如果都是实数,可以比较它们的大小,如果不全是实数,就不能比较大小,即复数不能比较大小 !!!
.,212121 yyxxzz
,,222111 iyxziyxz设即则二、复数的四则运算
,,222111 iyxziyxz设两复数
1,两复数的和差,).()( 212121 yyixxzz
2,两复数的积,).()( 2112212121 yxyxiyyxxzz
3,两复数的商,,2
2
2
2
2112
2
2
2
2
2121
2
1
yx
yxyxi
yx
yyxx
z
z
复数的减法运算是加法运算的逆运算
复数的除法运算是乘法运算的逆运算
复数的四则运算与实数的四则运算保持一致共轭复数的性质,;)1( 2121 zzzz ;2121 zzzz ;
2
1
2
1
z
z
z
z
;)2( zz?
;ImRe)3( 22 zzzz
.Im2,Re2)4( zizzzzz
三、复平面
.,
,,
,
,),(
面叫复平面这种用来表示复数的平轴叫虚轴或纵轴（除原点外）轴通常把横轴叫实轴或复数的平面可以用来表示一个建立了直角坐标系因此对应成一一与有序实数对复数
y
x
yxiyxz
,),(
表示面上的点可以用复平复数
yx
iyxz
),( yxz?
x
y
x
y
o
iyxz
,
表示面上的点可以用复平复数
oz
iyxz
向量
复数的向量表示法
x
y
o 1z
2z 21 zz?
x
y
o
1z
2z
21 zz?
2z?
两个复数的加减法运算与相应的向量的加减法运算一致,
.
称的内的位置是关于实轴对在复平面和一对共轭复数 zz x
y
o
iyxz
iyxz
小结与思考本课学习了复数的有关概念、性质及其运算,重点掌握复数的运算,它是本节课的重点,
思考题复数为什么不能比较大小？
思考题答案
0,和观察复数 i,0?i由复数的定义可知
,0 )1(?i若,0 iii则 ;,01 矛盾即
,0 )2(?i若,0 iii则,,01 矛盾同样有
由此可见,在复数中 无法定义大小关系,
一、复数的模与幅角二、复数三角形式和指数形式三、复数三角形式的乘除法四、复数的幂与方根小结与思考一、复数的模与幅角
1,复数的模 (或绝对值 )
,的模向量的长度称为 z
,表示可以用复平面上的向量复数 OPiyxz
,22 yxrz记为
x
y
x
y
o
iyxzPr
显然下列各式成立
,zx?,zy?
,yxz,22 zzzz
2,复数的辐角 (argument)
,A r g,
,,0
zzOP
zz
记作的辐角称为为终边的角向量的以表示以正实轴为始边的情况下在说明
.
0
无穷多个辐角有任何一个复数?z
,1 是其中一个辐角如果?
).( π2A r g 1 为任意整数kkz
,0,0, zz 时当特殊地的全部辐角为那么 z
辐角不确定,
x
y
x
y
o
iyxzP
辐角主值的定义,
.a r g,A r g
ππ,)0(
0
00
zz
z
记作的主值称为的把满足的辐角中在
,0?x
)2a rct a n2( xy其中辐角的主值0?z
za rg
,0,0 yx
,0,0 yx
.0,0 yx
,a rc ta n xy
,2π?
,πa rct a n?xy
,π
1z
2z
12zz?
12zz?
x
y
o
3,复数模的三角不等式
2121 zzzz 21 zz
等号成立的充要条件是 位于同一直线上．21,zz
几何意义如图：
利用直角坐标与极坐标的关系
,s i n
,c o s
ry
rx
复数可以表示成 )s i n( c o s irz
复数的三角表示式再利用欧拉公式,s i nc o s ie i
复数可以表示成?irez?
复数的指数表示式欧拉介绍二、复数的三角形式和指数形式例 1 将复数 化为三角表示式与指数表示式．
iz 212
解 zr?,4412,在第三象限因为 z
π122a r c t a n所以 33a r c t a n,65
故三角表示式为,65s i n65co s4 iz
指数表示式为,4 6
5 iez
三、复数三角形式的乘除法
)]s i n ()[ c o s ( 21212121 irrzz则
2121
212121
A r gA r g)(A r g
zzzz
zzrrzz
),s i n( c o s 1111 irz设 ),s i n( c o s 2222 irz
从而
1．乘法两复数相乘就是把模相乘,辐角相加,
,2 倍再把它的模扩大到 r
从几何上看,两复数对应的向量分别为,,21 zz
,21?旋转一个角按逆时针方向先把 z?
,21 zzz?就表示积所得向量?
2?o x
y r
2r
1r?
2z
1?
1z
z
说明 由于辐角的多值性,2121 A r gA r g)(A r g zzzz
两端都是无穷多个数构成的两个数集,
对于左端的任一值,右端必有值与它相对应,
的指数形式分别为和设复数 21 zz
,111?ierz?,)(2121 21 ierrzz则,222?ierz?
由此可将结论推广到 n 个复数相乘的情况,
nzzz21
),,2,1(,)s i n( co s nkerirz kikkkkk设
)]s i n(
)[ c o s (
21
2121
n
nn
i
rrr
.)(21 21 nin errr
的指数形式分别为和设复数 21 zz,111?ierz?
.)(
2
1
2
1 21 ie
r
r
z
z则
,222?ierz?
)]s i n ()[ c o s ( 2121
2
1
2
1 i
r
r
z
z则
21
2
1
2
1
2
1
2
1
A r gA r g)(A r g
zz
z
z
z
z
r
r
z
z
),s i n( c o s 1111 irz设 ),s i n( c o s 2222 irz
从而
2．除法例 2
解
,3co s3s in ),31(21 21 iziz已知
,3s in3c o s 1 iz因为
,6s in6c o s2 iz
63s in63c o s 21 izz所以,i
63s i n63co s
2
1 i
z
z,
2
1
2
3 i
,
2
1
21 z
zzz 和求?
四、复数的幂与方根
1,n次幂,
,
,
nz
nzzn
记作次幂的的乘积称为个相同复数
,
个n
n zzzz
,)s i n( c o s, ninrzn nn有对于任何正整数
.
,,
1
上式仍成立为负整数时那么当如果我们定义 n
z
z nn
,s inc o s,1 izrz 即的模当
.s i nc o s)s i n( c o s nini n
棣莫佛公式棣莫佛资料
,,.3 为已知复数其中的根方程 zwzw n?
n kin krzw nn π2s inπ2c o s
1
)1,,2,1,0( nk?
2.棣莫佛公式从几何上看,,个值就是以原点为中心的 nzn
,
1
个顶点边形的为半径的圆的内接正 nnr n
例 3,1 4 的值计算 i?
解 4s in4c o s21 ii
4
2
4s i n
4
2
4co s21 84
k
i
k
i
).3,2,1,0(?k
,16s in16c o s280 iw即
,169s in169c o s281 iw
,1617s in1617co s282 iw
.1625s in1625c o s283 iw
.
2
8
圆的正方形的四个顶点的心在原点半径为这四个根是内接于中
o x
y1w
2w
3w
0w
小结与思考学习的主要内容有复数的模、辐角 ;复数的各种表示法,应熟练掌握复数乘积与商的运算,在各种形式中以三角形式、指数形式最为方便,
棣莫佛公式
)(2121 21 ierrzz
)(
1
2
1
2 12 ie
r
r
z
z
nini n s i nc o s)s i n( c o s
n kin krz nn π2s i nπ2c o s
1 )1,,2,1,0( nk?
n次方根的公式思考题思考题答案否,,0 的情况特殊唯有?z
它的模为零而辐角不确定,
是否任意复数都有辐角?
一,复平面点集的一般概念二,区域三,平面曲线小结与思考一,复平面点集的一般概念定义 1 邻域,
,)(,0 为半径的圆任意的正数为中心平面上以?z
记作,Nδ(z0)．N
δ(z0)={z | |z-z0|<δ}
,
0
0
0
的去心邻域确定的点的集合为所称由不等式
z
zz
记作,Nδ0(z0)={z | 0<|z-z0|< δ}
0z
,00 的邻域内部的点的集合称为 zzz
即定义 2 内点、边界点、孤立点设有点集 Ｇ 及一点 z0,
若存在点 z0 的某邻域 Nδ(z0)Ｇ
G
则称 z0为 Ｇ 的内点；
若在 z0的任意一个邻域内,都有 属于 Ｇ的点,也有不属于 Ｇ 的点,则称 z0为 Ｇ 的边界点．
点集 Ｇ 的全体边界点组成的集合称为 Ｇ 的边界,
记为,Ｇ．
即 z0为 Ｇ 的孤立点δ >0,Nδ(z0)Ｇ ={z0}
若 z0属于 Ｇ,但在 z0某邻域内除 z0外不含 Ｇ 的点，
则称 z0为 G的孤立点,
定义４ 有界集和无界集
,
心的圆里面中被包含在一个以原点为可以如果一个 G点集
z?
有界！
z
x
y
o
如果 Ｇ 内每一点都是它的内点,那么 Ｇ 为 开集,
定义 3 开集与闭集平面上不属于 Ｇ 的点的全体称为 Ｇ 的 余集 ； 开集的余集称为 闭 集,或开集及其边界的并集称为闭集．
,
,,
0,
否则称为无界的称为有界的那末足使区域的每一个点都满即存在
GMz
M
Ｇ
二,区域定义 5 区域如果平面点集 D满足以下两个条件,则称它为一个 区域,
(1) D是一个 开集 ；
(2) D是 连通的,就是说 D中任何两点都可以用完全属于 D的一条折线连结起来,
D加上 D的边界称为闭域，记为?D＝
D+?D,
z1
z2
D
说明
(2) 区域的边界可能是由几条曲线和一些孤立的点所组成的,
z? 1C
2C
3C
(1) 区域都是开的,
以上基本概念的图示
1z?
2z?
区域?0z?
邻域
P? 边界点边界不包含边界！
(1) 圆环域,;201 rzzr
0z?
2r1r
课堂练习 判断下列区域是否有界?
(2) 上半平面,;0Im?z
(3) 角形域,;a r g
21 z
(4) 带形域,,Im bza
答案 (1)有界 ; (2) (3) (4)无界,
x
y
o
.,
)( ),(,)(
,)( )(
称为连续曲线表一条平面曲线代那末方程组是两个连续的实变函数和如果
ttyytxx
tytx
平面曲线 C的复数表示,
)().()()( ttiytxtzz
C的实参数方程
C的 复 参数方程起点 z(?)
终点 z(?)
C
C的正向：起点终点
z
x
y
o
三,平面曲线定义 6 连续曲线
,
,
22
ty
tx
xy 的参数方程是抛物线
．2)()( itttiytxz
的参数方程为圆 222 ayx,20
,s i n
,c o s
t
tay
tax
)20( )s i n( c o s ttitaz
方程为两点的直线段复数形式和平面上连接 21 zz
例如：
).10( )( 121 ttzzzz
复数形式为复数形式为或 ).20( taez it
例 1 求下列方程所表示的曲线,
.4)I m()3(;22)2(;2)1(
zi
ziziz
解,2,)1( 的圆半径为表示中心为 i?
,22)2( 的线段的垂直平分线和表示连接点?i
,)3( iyxz设,)1( iyxzi
,41)I m ( yzi
.3y即,表示平行于实轴的直线
.
)(,)()(
,,
12121
2121
的重点称为曲线点时而有当与的对于满足
Ctztztztt
tttt
没有重点的曲线 C 称为简单曲线 (或 Jordan曲线 ).
重点重点重点
.,)( )(
,
为简单闭曲线那末称即的起点和终点重合如果简单曲线
Czz
C
换句话说,简单曲线自身不相交,
定义 7 简单曲线课堂练习 判断下列曲线是否为简单曲线?
答案简单闭简单不闭不简单闭不简单不闭
)(az )(bz?
)(az )(bz)(az )(bz?
)(az
)(bz?
简单闭曲线的性质? 约当定理任意一条简单闭曲线 C
将复平面唯一地分成
C,I(C),E(C) 三个互不相交的点集,满足：
I(C) E(C)
边界
x
y
o
（ 1） I(C) 是一个有界区域
（称为 C的内部）,
（ 2） E(C) 是一个无界区域（称为 C的外部）,
（ 3） C是 I(C),E(C)的公共边界,
C
定义 8 光滑曲线,
.
0,])([])([,
,)( )(,
22
称这曲线为光滑的那末有的每一个值且对于都是连续的和上如果在
tytxt
tytxt
由几段依次相接的光滑曲线所组成的曲线称为按段光滑曲线,
x
y
o x
y
o
特点 光滑曲线上的各点都有切线定义 9 单连通域与多连通域,
复平面上的一个区域 D,如果在其中任作一条简单闭曲线,而曲线的内部总属于 D,就称为单连通域,一个区域如果不是单连通域,就称为多（复）连通域,
单连通域 多连通域例 2 满足下列条件的点集是什么,如果是区域,
指出是单连通域还是多连通域?
,3Im)1(?z
是一条平行于实轴的直线,
-3 -2 -1 1 2 3
x
1
2
3
4
5
6
y
不是区域,
,2Re)2(z
),2Re (
2Re
z
z
不包括直线为右界的半平面以单连通域,
,210)3( iz
,
2,)1(
的去心圆盘为半径为圆心以 i
是多连通域,
,4)a rg ()4( iz
),(
1,
i
i
不包括端点的半射线斜率为为端点以不是区域,
小结与思考应理解区域的有关概念,
邻域、去心邻域、内点、开集、边界点、边界、
区域、有界区域、无界区域理解单连通域与多连通域,
一,复球面二,扩充复平面小结与思考一,复球面
1．南极、北极的定义
,
O
N
通 过 作 垂 直 于 复 平 面 的直 线 与 球 面 相 交 于 另 一 点
N
x
yO
z
取一张复平面，
,与原点重合球面上一点 S
,,为南极为北极称 SN
再作一个与复平面切于原点的球面．
S
P
因此，可以用球面上的点来表示复数,
2．复球面的定义对复平面内任一点 z,用直线将 z与 N相连,与球面相交于 P点,则球面上除 N点外的所有点和复平面上的所有点有一一对应的关系．
用来表示复数的这个球面称为 复球面,
全体复数与复球面 -{N}成一一对应关系,
x
x
O
N
S
z
z
二,扩充复平面因而球面上的北极 N 就是复数?的几何表示,
N
z
规定,北极 N与一个模为 无穷大的假想的点对应,
这个假想的点称为,复数无穷远点”
记作.
复平面加上后称为扩充复平面，记作 C?
x
yO z
P(z)
S
包括无穷远点在内的复平面称为扩充复平面,
不包括无穷远点在内的复平面称为有限复平面,
或简称复平面,
复球面的优越处,
能将扩充复平面的无穷远点明显地表示出来,
对于复数 来说,实部,虚部,辐角等概念均无意义,它的模规定为正无穷大,
,的四则运算规定如下关于?
)(,,)1(加法
)(,,)2(减法
)0(,,)3(乘法
)0(,0),(,,0,)4(除法都无意义．，，，注意 00 0,
,
,,
,
zM
Mz
可以表示为域称为无穷远点的去心邻的所有点的集合仅满足内不包括无穷远点自身在称为无穷远 点的邻域,
(其中 M >0)的所有点的集合 {z| |z|>M}
且满足 |z| >M注,包括无穷远点自身在内，
0
M
|z|>M
小结与思考本节主要介绍了复球面和扩充复平面,
注意,为了用球面上的点来表示复数，引入了无穷远点．无穷远点与无穷大 这个复数相对应,
所谓 无穷大 是指模为正无穷大（辐角无意义）
的唯一的一个复数，不要与实数中的 无穷大 或正、负 无穷大 混为一谈．
一、复变函数的概念二、复变函数的极限与连续小结与思考一,复变函数的概念
,的集合是一个复数设 iyxzE
1.复变函数的定义,
).( zfw?记作如果有一个
,f按这个法则,zE 中每一个复数对于
,之对应与就有一个或多个复数 ivuw那么称为函数值．对应的复变数与 wz
,f对应法则
),( 简称复变函数的函数的复变数是定义在称 zEf 上
2.单 (多 )值函数的定义,
,)(
,
是单值的我们称函数那么的值的一个值对应着一个如果
zf
wz
,)(,
是多值的那么我们称函数的值两个以上的一个值对应着两个或如果
zfw
z
3.定义集合和函数值集合,; )( )( 定义域的定义集合称为集合 zfE
.(,)(
）值域称为函数值集合值所成的集合的一切中所有对应于
Ef
wzE
( ) { |,( ) }f E w z E f z w
4,复变函数与自变量之间的关系,
:
)(
相当于两个关系式之间的关系自变量与复变函数 zfwzw?
),,(),,( yxvvyxuu
,的两个二元实变函数和它们确定了自变量为 yx
例如,,2zw?函数,,ivuwiyxz令
2)( iyxivu则,222 xy iyx
,2 数对应于两个二元实变函于是函数 zw?
,22 yxu,2 xyv?
D Gz ww=f(z)
x
zy
u
v w,),(
,)(
的原象称为而映象的象称为那么中的点映射成被映射中的点如果
wzzw
wGzfwzD?
).()(
)(
)(,
,
或变换的映射函数值集合平面上的一个点集到变定义集合平面上的一个点集几何上可以看作是把在那么函数的值平面上的点表示函数平面而用另一个的值平面上的点表示自变量如果用
Gw
Dz
zfwww
zz
5,复变函数的几何意义 ——映射取两张复平面，分别称为 z平面和 w平面,
,)1 构成的映射函数 zw?
x
y
o u
v
o
iz 321
iw 321iz 212
iw 212A BC
A? B?
C?
,11 wz?,22 wz?,CBAA B C
例,
,
ibaw
wibazz
的点平面上映射成平面上的点将
x
y
o u
v
o
iz 321
iw 321iz 212
iw 212A BC
A? B?
C?
,11 wz?,22 wz?,CBAA B C
,
,
映射是关于实轴的一个对称不难看出重叠在一起平面平面和如果把
zw
wz
o
1w?
2w? 1z?
2z?
且是全同图形,
,)2 2 构成的映射函数 zw?
.1,43,1
1,21,
321
321
wiwww
zizizz
平面上的点映射成平面上的点显然将
x
y
o u
v
o?1z?
2z?
2w?
3w1w3z
根据复数的乘法公式可知,
,2 的辐角增大一倍将映射 zzw?
x
y
o u
v
o2
,2
的角形域平面上与实轴交角为的角形域映射成平面上与实轴交角为将
wz
6,反函数的定义,
,)(
,)(
,)(
点或几个中的一个必 将 对 应 着每一个点中的那末平 面 上 的 集 合数 值 集 合 为函平 面 上 的 集 合的 定 义 集 合 为设
Ew
FEfFw
Ezzfw
,)(
,)(,)(
,)(
1
的 逆 映 射为 映 射也称的 反 函 数它 称 为 函 数函数或 多 值上 就 确 定 了 一 个 单 值于 是 在
zfw
zfwwfz
F
记作：
今后不再区别函数与映射,
二、复变函数的极限与连续
1.函数极限的定义,
,0 )( 00 内的去心邻域定义在设函数 zzzzfw
))((,)(li m 0
0
AzfAzf zzzz 或记作注意,,0 的方式是任意的定义中 zz?
相应地对于任意给定的,0,存在如果有一确定的数 A
,?必有一正数
,)( Azf,)( 0 时的极限趋向于当为那么称 zzzfA
有时使得当,)0(0 0 zz
几何意义,
x
y
O
z0?
z
O u
v
A?
f(z)
邻域．的就进入点邻域时，对应的函数值的进入点动点当
A
zfzz )( 0
2,极限计算的性质定理
.),(lim,),(lim
)(lim,
,),,(),()(
00
000
00
0
0
0
0
0
vyxvuyxu
Azfiyxz
ivuAyxivyxuzf
yy
xx
yy
xx
zz
的充要条件是那末设说明
,),(
),(,
),(),()(
的极限问题和函数转化为求两个二元实变的极限问题该定理将求复变函数
yxv
yxu
yxivyxuzf
定理
).0(
)(
)(
lim ( 3 );)]()([lim ( 2 );)]()([lim ( 1 )
,)(lim,)(lim
0
0
0
00
B
B
A
zg
zf
ABzgzf
BAzgzf
BzgAzf
zz
zz
zz
zzzz
那末设与实变函数的极限性质类似,
惟一性复合运算等例 1
证 (一 )
.
0
)R e (
)(
不 存 在时 的 极 限当证 明 函 数 z
z
z
zf
,iyxz令,)( 22 yx xzf则
,0),(,),( 22?
yxv
yx
xyxu
,趋于零时沿直线当 kxyz?
2200 l i m),(l i m yx
xyxu
kxy
x
kxy
x?
220 )(
l im
kxx
x
x?
)1(
lim 22
0 kx
x
x?
,1 1 2k
,值的变化而变化随 k
,),(l i m
0
0
不存在所以 yxu
y
x
,0),(l i m
0
0
yxv
y
x
根据定理一可知,,)(l i m 0 不存在zfz?
证 (二 ) ),s i n( c o s irz令
r
rzf?co s)(?则,cos
,a r g 趋于零时沿不同的射线当zz
,)( 趋于不同的值zf
,0a r g 趋于零时沿正实轴例如?zz,1)(?zf
,2πa rg 趋于零时沿?z,0)(?zf
,)(lim 0 不存在故 zfz?
3,函数连续的定义,
,)(
,)(,
)( ),()(lim
0
0
0
内连续在我们说内处处连续在区域如果处连续在那末我们就说如果
Dzf
Dzfz
zfzfzf
zz
.,)()(lim
)(
0
0
0
Czzfzf
zCzf
zz
处连续的意义是上在曲线函数
00
0
( ) | 0
| ( ) ( ) | <
f z z z z
f z f z
在 连 续 当 时连续的三要素,
（ 1） f(z)在 z0处有定义
（ 2） f(z)在 z0处有极限
（ 3） f(z)在 z0处的极限值等于函数值由函数连续的定义,
.
)0(a r g)(
连续连续，在负实数轴上不点和负实数轴的区域上在整个复平面除去原求证, zzzf
（如图），为负实数轴上任意一点设 1x
,a rg 在负实数轴上不连续故 z
例 2; a r glim,a r glim
0Im0Im 11
zz
z
xz
z
xz
有
xO
y
1x
证
．
,a r glim
1
不存在所以 zxz?
,0 轴的区域上任意一点为全平面除原点和负实设 z
,
a r ga r g
,0
00
图）与负实数轴不相交（如使得角形区域则
zz
，包含在上述角形区域中邻域的，则取 00 s i n|| zz?
，时，即 |a r ga r g| || 00 zzzz
0z
y
xO
．
.)( 0 连续在从而 zzf
,a r g)(0 在所述区域内连续连续的任意性，由 zzfz?
4,连续函数的性质
,) (
)( )( ( 1 )
00
0
处仍连续在不为零分母在积、商的和、差、和连续的两个函数在
zz
zgzfz
.
)]([,)(
)(,)( ( 2 )
000
0
连续处在那末复合函数连续在函数连续在如果函数
zzgfwzgh
hfwzzgh
特殊的,
,)( 2210 nn zazazaazPw
(1) 有理整函数 (多项式 ); 都是连续的对复平面内的所有点 z
(2) 有理分式函数
,)( )( zQ zPw?,)( )( 都是多项式和其中 zQzP
在复平面内使分母不为零的点也是连续的,
定理
.
),( ),( ),(,
),(),()(
00
000
处连续在和连续的充要条件是在函数
yxyxvyxu
iyxzyxivyxuzf
例如,),()l n ()( 2222 yxiyxzf
,
)ln(),( 22
处连续在复平面内除原点外处yxyxu
,),( 22 在复平面内处处连续yxyxv
,),( 处连续在复平面内除原点外处故 yxf
5.有界闭集上连续函数的性质
（ 1） f(z)在 E上有界：
M>0z?E |f(z)|<M
（ 2） |f(z)|在 E上有最值,即：
z1,z2?Ez?E |f(z)|<|f(z1)|,|f(z)|>|f(z2)|
（ 3） |f(z)|在 E上至少取得最大值与最小值一次．
定理 设 E是有界闭集,f(z)?在 E上连续，则有：
小结与思考
2,通过本课的学习,熟悉复变函数的极限、连续性的运算法则与性质,
注意,复变函数极限的定义与一元实变函数极限的定义虽然在形式上相同,但在实质上有很大的差异,它较之后者的要求苛刻得多,
1,复变函数以及映射的概念是本章的一个重点,
注意,复变函数与一元实变函数的定义完全一样,
只要将后者定义中的“实数”换为“复数”就行了,
思考题思考题答案在复变函数中,对“函数”、“映射”、
“变换”等名词的使用,没有本质上的区别,只是函数一般是就数的对应而言,而映射与变换一般是就点的对应而言的,
“函数”、“映射”、“变换”等名词有无区别？
