复变函数与积分变换
§6.1共形映射的概念一、解析函数导数的几何意义二、共形映射的概念小结与思考一,解析函数导数的几何意义
1.伸缩率与旋转角
,0 的光滑曲线平面内过为设 zzC
)( )( 00 zfwwCzfw 平面内过映射成将映射
,?的光滑曲线
y
x0
)(z
C
0z
.
y
x0
)(w
0w
.
)( zfw?
如图．
C
y
x0
)(w
0w
w.,
y
x0
)(z
0z
z.
.
zzz zzz?
0
0
0 limlim
0
存在，则称此极限值为曲线 C经函数 ω=f (z)映射后在 z0处的 伸缩率,
)( zfw?
定义 1 当 z沿曲线 C趋向于 z0点时，如果
C
y
x0
)(w
0w
.
y
x0
)(z
0z
.
曲线 C经函数 ω=f (z)映射后在 z0处的 旋转角,
)( zfw?
定义２ 设曲线 C在 z0处的切线倾角为,
0?
0?
称为，则处的切线倾角为在曲线 0000 w
0?
0
0
0
)()(lim)(
0 zz
zfzfzf
zz?
因为
,?iezz令
C
y
x0
)(w
w?
0w
w.
.
)( zfw?y
x0
)(z
z?0z
z.
,lim
0 z
w
z?
.?ieww
,)( 内解析在区域设 Dzfw?,0)(,00 zfDz 且
2．伸缩率不变性
)( 0zf所以
0
0
0 0
l i ml i m zz wwzw
zzz?
的伸缩率在为曲线 0zC
结论,的后通过点是经过映射 )( )( 00 zzfwzf
的形状及它与曲线的伸缩率在的任何曲线 CzC,0
方向无关,所以这种映射具有 伸缩率的不变性,
,)(
0
0
i
i
i
e
zz
ww
ez
ew
z
w
3．旋转角不变性与保角性
)(l i m)(a r g 0000 zzf
的旋转角．映射后在经为曲线 0)( zzfwC?
说明,旋转角的大小与方向跟曲线 C的形状无关,
映射 w=f(z) 具有旋转角的不变性,
1?
1C
,
0w
映射经 )( zfw?
1C 1?
000 )(a r g zfC?
C
0z
.
．如图．处切线倾角为在映射后的曲线为经函数处切线倾角为
，在点的曲线设区域内另有一条过
10
11
010
,)(,
w
zfw
zCz
110 )(a r g zf
则有
0101
的夹角在与 01 w 的夹角在与 01 zCC
结论,
)( zfw?的夹角在其大小和方向上都等同于经过
,11 之间的夹角与对应的曲线与映射后跟CC
方向不变的性质,此性质称为 保角性,
的大小和具有保持两曲线间夹角映射 )( zfw?
之间与的任意两条曲线相交于点 10 CCz
注意 是必要的,否则保角性将不成立．
0)( 0 zf
综上所述,有具有两个性在那末映射且 0)(,0)( zzfwzf
质,(1)伸缩率不变性； (2)保角性．
定理一
,,)( 0 内一点为内解析在区域设函数 DzDzfw?
二、共形映射的概念定义是第一类保角映射．
称变性，那末具有保角性和伸缩率不内任意一点在区域映射设
)(
)(
zfw
Dzfw
说明,,)( 具有伸缩率不变性如果映射 zfw?
但仅保持夹角的绝对值不变而方向相反,
则称之为 第二类保角映射,
由定义，定理一又可以叙述为是第一类保角映射．那末映射且 )(,0)( zfwzf
定理二
,,)( 内一点为内解析在区域设函数 DzDzfw?
定义 设 ω=f (z)是区域 D内的第一类保角映射，
如果当 z1≠z2 时，有 f (z1)≠f (z2)（即双方单值），
则称 f (z)为 共形映射,
问题,
关于实轴对称的映射 zw? 是第一类保角映射吗?
答案,将 z 平面与 w 平面重合观察，
y(v)
x(u)0
1?
2?
.z
1C
2C.z
夹角的绝对值相同而方向相反,
否,
)()( wz?
部分缩小？
哪一平面的哪一部分放大？旋转角，并说明它将处的在试求映射
212)( 2
z
izzzzfw例解,22)( zzf因
izzf 21)(a r g旋转角
,2π?
,21 处故在 iz
izz 21)22a rg (
)4a rg ( i?
)( zf?伸缩率
,1)( zf当
,)1(2 22 yx )( iyxz
,21,1 的圆内缩小半径为为中心故在以z
,41)1( 22 时即 yx
反之放大,
.21,1 的圆外放大半径为为中心以z
,缩小小结与思考熟悉解析函数导数的几何意义,了解共形映射的概念及其重要性质,
.212 02 处的旋转角在点求映射 izzzw
思考题思考题答案
.2π,4a rg)21(a rgiif
§6.2 共形映射的基本问题一、共形映射的基本问题二、解析函数的保域性与边界对应原理三、保形映射的存在唯一性一、共形映射的基本问题
问题一,对于给定的区域 D和定义在 D上的解析函数 w= f(z),求象集 G=f(D)，并讨论
f(z)是否将 D保形地映射为 G；
问题二,给定两个区域 D和 G，求一个解析函数 w= f(z),使得 f(z)将 D保形地映射为 G；
问题二一般称为 基本问题,我们一般用单位圆作为一个中间区域,如下图：
)(zf )(wg
)(1 gwD
平面?z
1||
平面
G
平面?w
))((1 zfgw
二,解析函数的保域性与边界对应原理定理 1 (保域性定理 ) 设函数 f (z)在区域 D内解析，且不恒为常数，则象集合 G=f (D)是区域,
定理２ (边界对应原理 ) 设区域 D的边界为简单闭曲线 C，函数 ω=f (z)在 上解析，
且将 C双方单值地映射成简单闭曲线,当 z沿 C
的正向绕行时，相应的 ω的绕行方向定为 的正向，并令 G是以 为边界的区域，则 ω=f (z)将 D
共形映射成 G．
DUCD?
D
1z
2z
3z
C
1w
3w
2w
D
1w
3w
2w?
注 1 解析函数把区域变成区域；
注 2 边界对应确定映射函数；
注 3 注意边界对应的方向性．
三、保形映射的存在唯一性
.
)(
,
G
Dzfw
GD
映射为保形地把数点，则一定存在解析函它们的边界至少包含两给定的两个连通区域是任意与定理）设定理（黎曼存在唯一性
.
)()('a r g)(
)()(
0000
00
00
是唯一的
，则映射，且满足
，要求函数并且任给一实数
，和内再分别任意指定一点和如果在
zfwzfwzf
zfw
wzGD
存在性；
的射函数黎曼定理给出了共形映 )()1( zfw?
外情况：边界点不多于一个的例)2(
扩充复平面；)( a
复平面；
穷远点）的扩充除去一点（例如除去无)( b
,
)()3(
的条件唯一函数该定理给出了共形映射 zfw?
.)(a r g,)( 0000 zfwzf即：
说明该条件的几何解析：
，中的像指出其在域对域中某一点 000 wBz
.
0
过的角度的无穷小邻域所转并给出在此映射下点 z
§6.3 分式线性映射一、分式线性映射的概念二、几种简单的分式线性映射三、分式线性映射的性质四、唯一决定分式线性映射的条件一、分式线性映射的概念
.),,,,0 ( 均为常数dcbabcaddc badcz bazw
称为 分式线性映射,
说明,
否则,由于,,0)(dd 2 常数有 wdcz bcadzw
那么整个 z平面映射成 w平面上的一点,
.0 )1 保角性的限制，保证了映射的 bcad
小知识
.0 射时称为（整式）线性映?c
分式线性映射的 逆映射,也是分式线性映射,
2) 由 )0( bcaddcz bazw
)0( bcadacw bdwz
3) 分式线性映射
c
a
dczc
adb
dcz
bazw?
1
,1,
1
21 zzdczz令 ),(2 为常数则 BABAzw
分式线性映射可分解为整式线性映射与 的复合,
zw
1?
一个一般形式的分式线性映射是由下列四种特殊的简单映射复合而成,
,)1( bzw
,射的研究的研究可化为对以上映对 dcz bzw
,)( )2( 00 Rzew i
.1)4(
z
w?
),0( )3( rrzw
试将其分解为简单已知映射,143 iz zw
.映射的复合
.3,5,,1,43423
1
21 izwzzzezzzizz
i
例 1
iz
ei
iz
ii
iz
zw i 153433
1
43?解
．其中 34a r c t a n
二、几种简单的分式线性映射
bzw.1 平移映射
(为方便起见,令 w平面与 z平面重合 )
) (,所表示的向量即复数沿向量在此映射下 bbz?
.,wb 就得到后的方向平移一段距离
o
)()( wz?
z
b
w
o
)()( wz?
z
b
w
二、几种简单的分式线性映射
bzw.1 平移映射
(为方便起见,令 w平面与 z平面重合 )
) (,所表示的向量即复数沿向量在此映射下 bbz?
.,wb 就得到后的方向平移一段距离旋转映射事实上,设?irez?
那么,)(
0 irew
因此,把 z绕原点转角度,
,w就得到 w
z?
o
)()( wz?
)(,2 00 Rzew i
0
时，逆时针旋转；00
时，顺时针旋转．00
)0(,3 rrzw 相似映射设
, iez? 那么, ierw?
倍后，到缩短伸长因此将 rz )(
,w就得到
wz
o
)()( wz?
相似映射特点：对于复平面上任一点，保持辐角不变，而将模放大或缩小．
关于横轴对称
z
w 1.4?
反演映射此映射可进一步分解为
,11 zw? 1ww?
欲由点 z作出点 w,可考虑如下作图次序,
wwz 1
关键,?
1wz?在几何上如何由对称点的定义,
设 C为以原点为中心,r为半径的圆周,在以
PP?,与如果有两点线上圆心为起点的一条半直满足关系式
,2rPOOP
那么就称这两点为关于这圆周的 对称点,
规定,无穷远点的对称点是圆心 O.
rC
o,P.P?.
设 P在 C外,从 P作 C的切线 PT,由 T作 OP的垂
.,即互为对称点与那么交于与线 PPPOPPT
O T PTPO ~
OPOTOTPO,,
22 rOTPOOP
作图,
T.
,?irez?设,11 1?ierzw则有
.1 1?zw从而 故可知,
的对称点是关于单位圆周与 1 1?zwz
o
z
w
1w
z.关于单位圆对称关于实轴对称
,11?ierww
w.
1w.
y
x
1w
zw /1?
z
三、分式线性映射的性质
1.一一对应性例如,,01 wzzw 映射成将映射
,时即当z
,11 wzzw 改写成如果把
,时可知当w
结论,分式线性映射在扩充复平面上一一对应,
.0?w
.0?z
2.共形性（保形性）
zw
1 )1(?考察
，因 21zw,,0 映射是共形的与所以除去 zz
若 规定,两条伸向无穷远的曲线在无穷远点处的交角,等于它们在映射 zw 1? 下所映成的通过原点的两条象曲线的交角,
,1 处是共形的在那么映射 zzw
综上所述知,
)0( )( )2( abazzfw考察
,0)( azf因为
,1,1 wz若令
,1,处是共形的在映射同理 wwz
.0 1 处是共形的在所以映射 zzw
.1 是共形的在扩充复平面上是处处映射 zw?
.,映射是共形的时所以当z
babazw 成为则
01)(,0 0 a 且处解析在
,0 处共形在因而 ba
.,处共形在即 zbazw
,共形的在扩充复平面上是处处映射 bazw
综上所述,
定理一 分式线性映射在扩充复平面上是共形映射．
3,保圆性所谓保圆性指在扩充复平面上将圆周映射为圆周的性质,
特殊地,直线可看作是半径为无穷大的圆周,
1) 映射 )0( abazw
特点,
经平移、伸缩、旋转而平面内一点将 0 zz
,0w得到象点所以此映射在扩充复平面上具有保圆性,
2) 映射 zw 1?
若 z平面上圆方程为,0)( 22 dcybxyxa
,1,ivuzwiyxz令
iyx?
1 ivu
2222,vu
vy
vu
ux
有
.0)( 22 acvbuvud
代入 z平面圆方程得其象曲线方程,
即所以此映射在扩充复平面上具有保圆性,
,)0(,1 复合而成因为映射由 abazwzw
)0( )( bcaddcz bazzfw
3) 分式线性映射定理 二 分式线性映射将扩充 z平面上的圆周映射成 扩充 w平面上的圆周,即具有保圆性,
说明,如果给定的圆周或直线上没有点映射成无穷远点,那末它就映射成半径为有限的圆周 ;
有一个点映射成无穷远点,那末它就映射成直线,
如果
4,保对称性对称点的特性
C
0z
.
1z
.
2z
.
.,,210 的圆与为过的一对对称点 zzRzzC
,21 是关于圆周设 zz
.,0 zz 切点为的切线作从,20 的割线是显然?zz
010220 zzzzzz因为
.0 Rzz所以
.,,的半径的切线就是且上在即 CCz
z?.
,2（切割线定理）R?
.正交与因此 C?,反之
,21 正且与是经过设 Czz?
,交的任一圆周
,处正交在交点与又因 zC
( 21 半径为无的特殊情形的直线是与显然过?zz
.,0zC 因而必过正交其必与穷大 ),
,0 的切线就是的半径因此zzC
C
0z
.
1z
.
2z
.
z?.
结论
,,021 的一对对称点的是关于圆周 RzzCzz
,,21 正交与的任何圆周经过 Czz?充要条件是,
,20102 Rzzzz则
.21 的一对对称点是关于圆周与即 Czz
即 分式线性映射具有保对称性,
定理 三
,的一对对称点的象曲线?C
,,21 也是关于它们的象点在分式线性映射下 ww
,,21 那么的一对对称点是关于圆周设点 Czz
证,,21 的圆周与经过设 zz?
,,21 的任一圆周与经过 ww
分式线性映射
,,角性而分式线性映射具有保正交与因为 C?
,)( 必正交的象与所以 CC
,,21 的对称点是一对关于与因此 Cww?[证毕 ]
四、唯一决定分式线性映射的条件含有三个独立的常数．
)0( bcaddcz bazw分式线性映射定理
).3,2,1(?kw k依次映射成
,,,321 zzzz 异的点平面上任意给定三个相在
,,,321 wwww 相异的点平面上也任意给定三个在
)3,2,1(?kz k将,线性映射那末就存在唯一的分式只需给定三个条件就能决定一个分式线性映射,
kww?所以
kww?3
证依次映射成 )3,2,1( kdcz bazw
k
k
k)3,2,1(?kz k
)0( bcaddcz bazw设 将相异点由此得
23
13
2
1,
ww
ww
ww
ww
)2,1(,))(( ))(( kdczdcz bcadzz
k
k
)2,1(,))(( ))((
3
3?
k
dczdcz
bcadzz
k
k
.:
23
13
2
1
zz
zz
zz
zz
所以三对对应点可唯一确定一个分式线性映射,
将上式整理即可得到形为 的分式线性映射，从而证明了存在性．
)0( 也将如果另一映射 bcaddcz bazw
)3,2,1( )3,2,1( kdcz bazwkz
k
k
kk 依次映射成重复上述步骤,仍得到相同形式的结果,
dcz bazw
唯一性：
代替．的因子用数字应将含有现如果在三对点中出时注：在求分式线性映射
1,
,
，则它可表示为以及有是一分式线性映射，且推论：设
2211 )()(
)(
wzfwzf
zfw
.(
2
1
2
1 为复常数）k
zz
zzk
ww
ww
时，有特别地，当 21,0 ww
.(
2
1 为复常数）k
zz
zzkw
两个典型区域间的映射
)(z
o x
y
)(w
o u
v,
10)I m (
分式线性映射的映射成单位圆求将上半平面 wz
1?,1.
.i
解 1,0,1 321 使之轴上任取三点在 zzzx
1,,1 1 321 wiwww 上的三点依次对应于
.1?,1.
例 1
所求分式线性映射为 iiww 1 11:1
.1 iz izw化简得,
注意,本题中如果选取其他三对不同点,也能得出满足要求但不同于本题结果的分式线性映射,
可见,把上半平面映射成单位圆的分式线性映射不唯一,有无穷多个,
,321321 绕向相同与由于 wwwzzz
,01 11:0 zz
另解,设实轴映射成单位圆周,
0 0 wzz 映射成圆心上半平面某点
0 wzz 必映射成那么则所求映射具有下列形式,
).(
0
0 为常数k
zz
zzkw
)(z
o x
y )(w
o u
v
0z
.
.
0z
,)(?
由于 z为实数时,,1?w,1
0
0?
zz
zz
0
0
zz
zzkw
所以 ).( 为任意实数即iek?
上半平面映为单位圆的分式线性映射的一般形式
)0( I m,0
0
0?
z
zz
zzew i?
说明,
,2π,0iz取
,1 iz izw得
,0,0iz若取,iz
izw
得
,1 k
,10)Im ( wz 映射成单位圆求将上半平面
,
0)2(a rg,0)2(
性映射的分式线且满足条件 iwiw
解,0)2( 知由条件?iw
,0 2 wiz 映射成依上题结论得 ),22( iz izew i
例 2
,)2( 4)( 2iz iezw i因为
).4()2( ieiw i所以
)4a rg (a rg)2(a rg ieiw i
从而所求映射为 ).22( iz iziw
,0)2π(
.2π所以
)(w
o u
v
)(?
o x
y)(z
解
,0 0 wzz设,1
0
wzz则
.
0z
.
0
1
z
.
.
1 1
式线性映射的分映射成单位圆求将单位圆 wz例 3
0
0
1
z
z
zz
kw
10
0
0?
zz
zz
zk
)(,
1 00
0 zkk
zz
zzk
,11 wz因为
,
1 0
0
zz
zzkw
0
0
1
11
z
zkwz
得所以，取,1?
因此可设所求分式线性映射为,
，又因为 11 00 zz
,1k所以,?iek即故所求分式线性映射为,
zz
zzew i
0
0
1?
) ( 为任意实数?
将单位圆映为单位圆的常用映射．
例 4
.0
2
1
,0
2
1
的分式线性映射圆且满足条件求将单位圆映射为单位
w
w
解,0)21( 知由条件?w
,021 wz 映射成依上题结论得,2 12 zzew i
,3421?iew由此得
.2 12 zzw
,021w因为,21 为正实数则?
w
所以所求映射为
,21a r gw故
,0得且满足条件映射成求将 22 0)Im ( iwz
,2π)2(a rg,2)2( 的分式线性映射 iwiiw
分析,22 0)Im ( 可考虑映射成为将 iwz
)(z
o
.o
)(?
,i2
o
)(w
上半平面
0)Im (?z
单位圆域
1?z
圆域
22 iz
例 5
伸长平移解 如图示
)(z
o
,i2
o
)(?
iz
iz
2
2
iw 22
o
)(w
.
iz
ziw
2
2)1(2
则所求映射为,
,i2
另解 如图示,
iz
ize i
2
2
2
2 iw
0)2(?i?
iz
izeiw i
2
2
2
2
所以
,412)2( ieiw i由此得
.,
o
)(w
,i2
o
)(?)(z
o
.0从而得
,2π)2( iw由于已知于是所求的映射为,222 2 iz iziw
,22)1(2 izziw或
,2π)2(a rgiw
小结分式线性映射是共形映射的一个重要内容,
应熟练掌握并会应用分式线性映射的各种性质寻找一些简单而典型的区域之间的共形映射；掌握上半平面到上半平面,上半平面到单位圆,单位圆到单位圆的分式线性映射,
小知识
1,分式线性映射首先由德国数学家默比乌斯
(1790~1868)研究,所以也称为 默比乌斯映射,
,.2 经变形得dcz bazw
0 bazdwc w z
对每一个固定的 w,此式关于 z是线性的 ;对每一个固定的 z,此式关于 w也是线性的,因此称上式是双线性的,分式线性映射也称 双线性映射,
默比乌斯默比乌斯资料
August M?bius
Born,17 Nov 1790 in
Schulpforta,Saxony
(now Germany)
Died,26 Sept 1868 in
Leipzig,Germany
§6.4 几个初等函数构成的共形映射一、幂函数二、指数函数小结与思考一、幂函数 )2( 为自然数 nzw n
1
d
d nnz
z
w
,0 )1( 时当?z
,,0dd 平面内除原点外则在 zzw?
,保角映射所构成的映射是第一类由 nzw?
平面内处处可导，导数该函数在 z
)2(,,
ii ewrez令,, nr n有则,1) rz?圆周 nrw?圆周
(特殊地,单位圆周映射为单位圆周 )
0射线 0 n?射线
)0 0 ( 映射成正实轴正实轴
2)
π20 )3 0 n角形域 0 0 n角形域
.
0
倍来的射变为原处角形域的张角经过映即在
n
z?
0? 0?n0
)(w
0
)(z
,0,2,处没有保角性在映射时当因此 zzwn n
0
)(z
特殊地,
π20 n角形域 π20角形域
n
2
00 映射成正实轴的上岸
π2π2 映射成正实轴的下岸n
上岸
)(w
0
沿正实轴剪开的 w平面下岸映射特点,把以原点为顶点的角形域映射成以原点为顶点的角形域,但张角变成为原来的 n 倍,
0?n
0
)(w
0?0
)(z
n
n
wz
zw
因此将角形域的张角拉大（或缩小）时，就可利用幂函数 所构成的共形映射,
)( nn zwzw 或根式函数
4a rg0 映射成单位圆求把角形域 z
,1 的一个映射?w
0
)(z
4
0
)(w
如果要把角形域映射成角形域，常利用幂函数,
例 1
解
4z
i
iw
iz
izw
4
4
0
)(z
4
0
)(w
0
)(?
因此所求映射为,
01? 1
)(w
.,
2
1zw?
C
1? 1.,0
)(z解
)0Im (,1,映射成求把上半个单位圆 zz
.上半平面的映射例２
0
)( 1z
z
zz
1
1
1
2
1
1?
z
zw
2C1C
0
)(z
21 所围成的交角为与求把下图中由圆弧 CC
a r g 00 的一的月牙域映射成角形域 z
个映射,
0
)(w
0?
例３
0
)(?
解
i?
2C1C
0
)(z
1
,21 iiCC?的交点为与
,0iz,iz
i
实现此步的映射是分式线性函数,
,为待定的复常数其中 kiz izk
iz izk?
0
)(?
i?
2C1C
0
)(z
1
i
iz
izk?
1?z此映射将
,1,使取 ik,1 平面上的正实轴则C
.
.a rg0,根据保角性,月牙域被映射成角形域
0
)(?
i?
2C1C
0
)(z
1
i
iz
izk?
,11 ikiik
i
0
)(?
i?
2C1C
0
)(z
1
i
iz
izi?
0
)(?
i?
2C1C
0
)(z
1
i
iz
izi?
.
0
)(w
0?
0?逆时针旋转
0iew?因此所求映射为,
iz iziew i 0?
iz
ize i )2π( 0?
二、指数函数 zew?
)( zew因为
,, iewiyxz设,,ye x那末平面z 平面wzew? wz ln?
,0 ze
.的第一类保角映射平面上所构成的映射是一个全所以由 zew?
常数直线?x 常数圆周
0
)(z
0
)(w
1)
常数直线?y 常数射线
0
)(z
0
)(w
2)
0
)(z
0
)(z
)(w
0
0
)(w
特殊地,
az )I m (0 )3 带形域
)20( a aw a r g0 角形域
ai
i?2
映射特点,)I m (0 映射成把水平的带形域 az
.a r g0 aw角形域如果要把带形域映射成角形域,常利用指数函数,
π)I m (0 映射成单位圆求把带形域 z
,1 的一个映射?w
解 )I m (0 z
0)I m (上半平面
1?w
ze
i
iw
ie
iew
z
z
例 4
,0)Im ( 的一个映射
Re 映射成上半平面求把带形域 bza例 5
i?
a b
解
0
)(z
0
)(?
0
)(w
)(π azab iew?
)( azab iew
1? 1.,
)0Im (,1,映射成求把上半个单位圆 zz
.1 的映射单位圆?w
0
)(w
D
A
B
C
E
0
)(?
A B C D E
1? 1.,
i
iw
i
z
z
i
z
z
w
2
2
1
1
1
1
C
0
)(z
2
1
1?
z
z?
解例 6
例 7 试将如图所示的区域映射到上半平面,
x
y
O
i
i?
1
解,1 iz izw取分式线性映射
.0
,
1
1
wiz
wi
映射为并将映射为将切点由分式线性映射的保圆性知：
).)1(( 11 iww?且两平行的直线将两相切的圆周映射为
1122 iwwew
i取旋转变换 将铅直带形域
iww )I m (00)R e (1 21 映射为水平带形域将水平带形域取伸缩变换,23 ww
iwiw )Im (0)Im (0 22 映射为水平带形域将水平带形域取指数变换,3wew?
,0)Im ()Im (0 3 wiw 映射为上半平面
iz
izi
iwww eeeew?
123从而 为所求映射,
x
y
O
i
i?
1 iz
izw
1
)( 1w
O1?
i?
x
y
O
i
i?
1
)( 1w
O1?
i?
O
i )( 2w
O
i? )( 3w
O
)(wv
u
12 iww
23 ww
3wew?
)(zfw?
本课我们学习了幂函数、指数函数的映射特点,将分式线性映射与初等函数相结合,求一些边界由圆周、圆弧、直线、直线段所围区域的共形映射问题是本章的难点,
小结与思考
？映为能否将映射 0)I m (,11 zwzzw
思考题思考题答案
,1,不是角形域不能?z
§6.1共形映射的概念一、解析函数导数的几何意义二、共形映射的概念小结与思考一,解析函数导数的几何意义
1.伸缩率与旋转角
,0 的光滑曲线平面内过为设 zzC
)( )( 00 zfwwCzfw 平面内过映射成将映射
,?的光滑曲线
y
x0
)(z
C
0z
.
y
x0
)(w
0w
.
)( zfw?
如图．
C
y
x0
)(w
0w
w.,
y
x0
)(z
0z
z.
.
zzz zzz?
0
0
0 limlim
0
存在，则称此极限值为曲线 C经函数 ω=f (z)映射后在 z0处的 伸缩率,
)( zfw?
定义 1 当 z沿曲线 C趋向于 z0点时，如果
C
y
x0
)(w
0w
.
y
x0
)(z
0z
.
曲线 C经函数 ω=f (z)映射后在 z0处的 旋转角,
)( zfw?
定义２ 设曲线 C在 z0处的切线倾角为,
0?
0?
称为，则处的切线倾角为在曲线 0000 w
0?
0
0
0
)()(lim)(
0 zz
zfzfzf
zz?
因为
,?iezz令
C
y
x0
)(w
w?
0w
w.
.
)( zfw?y
x0
)(z
z?0z
z.
,lim
0 z
w
z?
.?ieww
,)( 内解析在区域设 Dzfw?,0)(,00 zfDz 且
2．伸缩率不变性
)( 0zf所以
0
0
0 0
l i ml i m zz wwzw
zzz?
的伸缩率在为曲线 0zC
结论,的后通过点是经过映射 )( )( 00 zzfwzf
的形状及它与曲线的伸缩率在的任何曲线 CzC,0
方向无关,所以这种映射具有 伸缩率的不变性,
,)(
0
0
i
i
i
e
zz
ww
ez
ew
z
w
3．旋转角不变性与保角性
)(l i m)(a r g 0000 zzf
的旋转角．映射后在经为曲线 0)( zzfwC?
说明,旋转角的大小与方向跟曲线 C的形状无关,
映射 w=f(z) 具有旋转角的不变性,
1?
1C
,
0w
映射经 )( zfw?
1C 1?
000 )(a r g zfC?
C
0z
.
．如图．处切线倾角为在映射后的曲线为经函数处切线倾角为
，在点的曲线设区域内另有一条过
10
11
010
,)(,
w
zfw
zCz
110 )(a r g zf
则有
0101
的夹角在与 01 w 的夹角在与 01 zCC
结论,
)( zfw?的夹角在其大小和方向上都等同于经过
,11 之间的夹角与对应的曲线与映射后跟CC
方向不变的性质,此性质称为 保角性,
的大小和具有保持两曲线间夹角映射 )( zfw?
之间与的任意两条曲线相交于点 10 CCz
注意 是必要的,否则保角性将不成立．
0)( 0 zf
综上所述,有具有两个性在那末映射且 0)(,0)( zzfwzf
质,(1)伸缩率不变性； (2)保角性．
定理一
,,)( 0 内一点为内解析在区域设函数 DzDzfw?
二、共形映射的概念定义是第一类保角映射．
称变性，那末具有保角性和伸缩率不内任意一点在区域映射设
)(
)(
zfw
Dzfw
说明,,)( 具有伸缩率不变性如果映射 zfw?
但仅保持夹角的绝对值不变而方向相反,
则称之为 第二类保角映射,
由定义，定理一又可以叙述为是第一类保角映射．那末映射且 )(,0)( zfwzf
定理二
,,)( 内一点为内解析在区域设函数 DzDzfw?
定义 设 ω=f (z)是区域 D内的第一类保角映射，
如果当 z1≠z2 时，有 f (z1)≠f (z2)（即双方单值），
则称 f (z)为 共形映射,
问题,
关于实轴对称的映射 zw? 是第一类保角映射吗?
答案,将 z 平面与 w 平面重合观察，
y(v)
x(u)0
1?
2?
.z
1C
2C.z
夹角的绝对值相同而方向相反,
否,
)()( wz?
部分缩小？
哪一平面的哪一部分放大？旋转角，并说明它将处的在试求映射
212)( 2
z
izzzzfw例解,22)( zzf因
izzf 21)(a r g旋转角
,2π?
,21 处故在 iz
izz 21)22a rg (
)4a rg ( i?
)( zf?伸缩率
,1)( zf当
,)1(2 22 yx )( iyxz
,21,1 的圆内缩小半径为为中心故在以z
,41)1( 22 时即 yx
反之放大,
.21,1 的圆外放大半径为为中心以z
,缩小小结与思考熟悉解析函数导数的几何意义,了解共形映射的概念及其重要性质,
.212 02 处的旋转角在点求映射 izzzw
思考题思考题答案
.2π,4a rg)21(a rgiif
§6.2 共形映射的基本问题一、共形映射的基本问题二、解析函数的保域性与边界对应原理三、保形映射的存在唯一性一、共形映射的基本问题
问题一,对于给定的区域 D和定义在 D上的解析函数 w= f(z),求象集 G=f(D)，并讨论
f(z)是否将 D保形地映射为 G；
问题二,给定两个区域 D和 G，求一个解析函数 w= f(z),使得 f(z)将 D保形地映射为 G；
问题二一般称为 基本问题,我们一般用单位圆作为一个中间区域,如下图：
)(zf )(wg
)(1 gwD
平面?z
1||
平面
G
平面?w
))((1 zfgw
二,解析函数的保域性与边界对应原理定理 1 (保域性定理 ) 设函数 f (z)在区域 D内解析，且不恒为常数，则象集合 G=f (D)是区域,
定理２ (边界对应原理 ) 设区域 D的边界为简单闭曲线 C，函数 ω=f (z)在 上解析，
且将 C双方单值地映射成简单闭曲线,当 z沿 C
的正向绕行时，相应的 ω的绕行方向定为 的正向，并令 G是以 为边界的区域，则 ω=f (z)将 D
共形映射成 G．
DUCD?
D
1z
2z
3z
C
1w
3w
2w
D
1w
3w
2w?
注 1 解析函数把区域变成区域；
注 2 边界对应确定映射函数；
注 3 注意边界对应的方向性．
三、保形映射的存在唯一性
.
)(
,
G
Dzfw
GD
映射为保形地把数点，则一定存在解析函它们的边界至少包含两给定的两个连通区域是任意与定理）设定理（黎曼存在唯一性
.
)()('a r g)(
)()(
0000
00
00
是唯一的
，则映射，且满足
，要求函数并且任给一实数
，和内再分别任意指定一点和如果在
zfwzfwzf
zfw
wzGD
存在性；
的射函数黎曼定理给出了共形映 )()1( zfw?
外情况：边界点不多于一个的例)2(
扩充复平面；)( a
复平面；
穷远点）的扩充除去一点（例如除去无)( b
,
)()3(
的条件唯一函数该定理给出了共形映射 zfw?
.)(a r g,)( 0000 zfwzf即：
说明该条件的几何解析：
，中的像指出其在域对域中某一点 000 wBz
.
0
过的角度的无穷小邻域所转并给出在此映射下点 z
§6.3 分式线性映射一、分式线性映射的概念二、几种简单的分式线性映射三、分式线性映射的性质四、唯一决定分式线性映射的条件一、分式线性映射的概念
.),,,,0 ( 均为常数dcbabcaddc badcz bazw
称为 分式线性映射,
说明,
否则,由于,,0)(dd 2 常数有 wdcz bcadzw
那么整个 z平面映射成 w平面上的一点,
.0 )1 保角性的限制，保证了映射的 bcad
小知识
.0 射时称为（整式）线性映?c
分式线性映射的 逆映射,也是分式线性映射,
2) 由 )0( bcaddcz bazw
)0( bcadacw bdwz
3) 分式线性映射
c
a
dczc
adb
dcz
bazw?
1
,1,
1
21 zzdczz令 ),(2 为常数则 BABAzw
分式线性映射可分解为整式线性映射与 的复合,
zw
1?
一个一般形式的分式线性映射是由下列四种特殊的简单映射复合而成,
,)1( bzw
,射的研究的研究可化为对以上映对 dcz bzw
,)( )2( 00 Rzew i
.1)4(
z
w?
),0( )3( rrzw
试将其分解为简单已知映射,143 iz zw
.映射的复合
.3,5,,1,43423
1
21 izwzzzezzzizz
i
例 1
iz
ei
iz
ii
iz
zw i 153433
1
43?解
．其中 34a r c t a n
二、几种简单的分式线性映射
bzw.1 平移映射
(为方便起见,令 w平面与 z平面重合 )
) (,所表示的向量即复数沿向量在此映射下 bbz?
.,wb 就得到后的方向平移一段距离
o
)()( wz?
z
b
w
o
)()( wz?
z
b
w
二、几种简单的分式线性映射
bzw.1 平移映射
(为方便起见,令 w平面与 z平面重合 )
) (,所表示的向量即复数沿向量在此映射下 bbz?
.,wb 就得到后的方向平移一段距离旋转映射事实上,设?irez?
那么,)(
0 irew
因此,把 z绕原点转角度,
,w就得到 w
z?
o
)()( wz?
)(,2 00 Rzew i
0
时，逆时针旋转；00
时，顺时针旋转．00
)0(,3 rrzw 相似映射设
, iez? 那么, ierw?
倍后，到缩短伸长因此将 rz )(
,w就得到
wz
o
)()( wz?
相似映射特点：对于复平面上任一点，保持辐角不变，而将模放大或缩小．
关于横轴对称
z
w 1.4?
反演映射此映射可进一步分解为
,11 zw? 1ww?
欲由点 z作出点 w,可考虑如下作图次序,
wwz 1
关键,?
1wz?在几何上如何由对称点的定义,
设 C为以原点为中心,r为半径的圆周,在以
PP?,与如果有两点线上圆心为起点的一条半直满足关系式
,2rPOOP
那么就称这两点为关于这圆周的 对称点,
规定,无穷远点的对称点是圆心 O.
rC
o,P.P?.
设 P在 C外,从 P作 C的切线 PT,由 T作 OP的垂
.,即互为对称点与那么交于与线 PPPOPPT
O T PTPO ~
OPOTOTPO,,
22 rOTPOOP
作图,
T.
,?irez?设,11 1?ierzw则有
.1 1?zw从而 故可知,
的对称点是关于单位圆周与 1 1?zwz
o
z
w
1w
z.关于单位圆对称关于实轴对称
,11?ierww
w.
1w.
y
x
1w
zw /1?
z
三、分式线性映射的性质
1.一一对应性例如,,01 wzzw 映射成将映射
,时即当z
,11 wzzw 改写成如果把
,时可知当w
结论,分式线性映射在扩充复平面上一一对应,
.0?w
.0?z
2.共形性（保形性）
zw
1 )1(?考察
，因 21zw,,0 映射是共形的与所以除去 zz
若 规定,两条伸向无穷远的曲线在无穷远点处的交角,等于它们在映射 zw 1? 下所映成的通过原点的两条象曲线的交角,
,1 处是共形的在那么映射 zzw
综上所述知,
)0( )( )2( abazzfw考察
,0)( azf因为
,1,1 wz若令
,1,处是共形的在映射同理 wwz
.0 1 处是共形的在所以映射 zzw
.1 是共形的在扩充复平面上是处处映射 zw?
.,映射是共形的时所以当z
babazw 成为则
01)(,0 0 a 且处解析在
,0 处共形在因而 ba
.,处共形在即 zbazw
,共形的在扩充复平面上是处处映射 bazw
综上所述,
定理一 分式线性映射在扩充复平面上是共形映射．
3,保圆性所谓保圆性指在扩充复平面上将圆周映射为圆周的性质,
特殊地,直线可看作是半径为无穷大的圆周,
1) 映射 )0( abazw
特点,
经平移、伸缩、旋转而平面内一点将 0 zz
,0w得到象点所以此映射在扩充复平面上具有保圆性,
2) 映射 zw 1?
若 z平面上圆方程为,0)( 22 dcybxyxa
,1,ivuzwiyxz令
iyx?
1 ivu
2222,vu
vy
vu
ux
有
.0)( 22 acvbuvud
代入 z平面圆方程得其象曲线方程,
即所以此映射在扩充复平面上具有保圆性,
,)0(,1 复合而成因为映射由 abazwzw
)0( )( bcaddcz bazzfw
3) 分式线性映射定理 二 分式线性映射将扩充 z平面上的圆周映射成 扩充 w平面上的圆周,即具有保圆性,
说明,如果给定的圆周或直线上没有点映射成无穷远点,那末它就映射成半径为有限的圆周 ;
有一个点映射成无穷远点,那末它就映射成直线,
如果
4,保对称性对称点的特性
C
0z
.
1z
.
2z
.
.,,210 的圆与为过的一对对称点 zzRzzC
,21 是关于圆周设 zz
.,0 zz 切点为的切线作从,20 的割线是显然?zz
010220 zzzzzz因为
.0 Rzz所以
.,,的半径的切线就是且上在即 CCz
z?.
,2（切割线定理）R?
.正交与因此 C?,反之
,21 正且与是经过设 Czz?
,交的任一圆周
,处正交在交点与又因 zC
( 21 半径为无的特殊情形的直线是与显然过?zz
.,0zC 因而必过正交其必与穷大 ),
,0 的切线就是的半径因此zzC
C
0z
.
1z
.
2z
.
z?.
结论
,,021 的一对对称点的是关于圆周 RzzCzz
,,21 正交与的任何圆周经过 Czz?充要条件是,
,20102 Rzzzz则
.21 的一对对称点是关于圆周与即 Czz
即 分式线性映射具有保对称性,
定理 三
,的一对对称点的象曲线?C
,,21 也是关于它们的象点在分式线性映射下 ww
,,21 那么的一对对称点是关于圆周设点 Czz
证,,21 的圆周与经过设 zz?
,,21 的任一圆周与经过 ww
分式线性映射
,,角性而分式线性映射具有保正交与因为 C?
,)( 必正交的象与所以 CC
,,21 的对称点是一对关于与因此 Cww?[证毕 ]
四、唯一决定分式线性映射的条件含有三个独立的常数．
)0( bcaddcz bazw分式线性映射定理
).3,2,1(?kw k依次映射成
,,,321 zzzz 异的点平面上任意给定三个相在
,,,321 wwww 相异的点平面上也任意给定三个在
)3,2,1(?kz k将,线性映射那末就存在唯一的分式只需给定三个条件就能决定一个分式线性映射,
kww?所以
kww?3
证依次映射成 )3,2,1( kdcz bazw
k
k
k)3,2,1(?kz k
)0( bcaddcz bazw设 将相异点由此得
23
13
2
1,
ww
ww
ww
ww
)2,1(,))(( ))(( kdczdcz bcadzz
k
k
)2,1(,))(( ))((
3
3?
k
dczdcz
bcadzz
k
k
.:
23
13
2
1
zz
zz
zz
zz
所以三对对应点可唯一确定一个分式线性映射,
将上式整理即可得到形为 的分式线性映射，从而证明了存在性．
)0( 也将如果另一映射 bcaddcz bazw
)3,2,1( )3,2,1( kdcz bazwkz
k
k
kk 依次映射成重复上述步骤,仍得到相同形式的结果,
dcz bazw
唯一性：
代替．的因子用数字应将含有现如果在三对点中出时注：在求分式线性映射
1,
,
，则它可表示为以及有是一分式线性映射，且推论：设
2211 )()(
)(
wzfwzf
zfw
.(
2
1
2
1 为复常数）k
zz
zzk
ww
ww
时，有特别地，当 21,0 ww
.(
2
1 为复常数）k
zz
zzkw
两个典型区域间的映射
)(z
o x
y
)(w
o u
v,
10)I m (
分式线性映射的映射成单位圆求将上半平面 wz
1?,1.
.i
解 1,0,1 321 使之轴上任取三点在 zzzx
1,,1 1 321 wiwww 上的三点依次对应于
.1?,1.
例 1
所求分式线性映射为 iiww 1 11:1
.1 iz izw化简得,
注意,本题中如果选取其他三对不同点,也能得出满足要求但不同于本题结果的分式线性映射,
可见,把上半平面映射成单位圆的分式线性映射不唯一,有无穷多个,
,321321 绕向相同与由于 wwwzzz
,01 11:0 zz
另解,设实轴映射成单位圆周,
0 0 wzz 映射成圆心上半平面某点
0 wzz 必映射成那么则所求映射具有下列形式,
).(
0
0 为常数k
zz
zzkw
)(z
o x
y )(w
o u
v
0z
.
.
0z
,)(?
由于 z为实数时,,1?w,1
0
0?
zz
zz
0
0
zz
zzkw
所以 ).( 为任意实数即iek?
上半平面映为单位圆的分式线性映射的一般形式
)0( I m,0
0
0?
z
zz
zzew i?
说明,
,2π,0iz取
,1 iz izw得
,0,0iz若取,iz
izw
得
,1 k
,10)Im ( wz 映射成单位圆求将上半平面
,
0)2(a rg,0)2(
性映射的分式线且满足条件 iwiw
解,0)2( 知由条件?iw
,0 2 wiz 映射成依上题结论得 ),22( iz izew i
例 2
,)2( 4)( 2iz iezw i因为
).4()2( ieiw i所以
)4a rg (a rg)2(a rg ieiw i
从而所求映射为 ).22( iz iziw
,0)2π(
.2π所以
)(w
o u
v
)(?
o x
y)(z
解
,0 0 wzz设,1
0
wzz则
.
0z
.
0
1
z
.
.
1 1
式线性映射的分映射成单位圆求将单位圆 wz例 3
0
0
1
z
z
zz
kw
10
0
0?
zz
zz
zk
)(,
1 00
0 zkk
zz
zzk
,11 wz因为
,
1 0
0
zz
zzkw
0
0
1
11
z
zkwz
得所以，取,1?
因此可设所求分式线性映射为,
，又因为 11 00 zz
,1k所以,?iek即故所求分式线性映射为,
zz
zzew i
0
0
1?
) ( 为任意实数?
将单位圆映为单位圆的常用映射．
例 4
.0
2
1
,0
2
1
的分式线性映射圆且满足条件求将单位圆映射为单位
w
w
解,0)21( 知由条件?w
,021 wz 映射成依上题结论得,2 12 zzew i
,3421?iew由此得
.2 12 zzw
,021w因为,21 为正实数则?
w
所以所求映射为
,21a r gw故
,0得且满足条件映射成求将 22 0)Im ( iwz
,2π)2(a rg,2)2( 的分式线性映射 iwiiw
分析,22 0)Im ( 可考虑映射成为将 iwz
)(z
o
.o
)(?
,i2
o
)(w
上半平面
0)Im (?z
单位圆域
1?z
圆域
22 iz
例 5
伸长平移解 如图示
)(z
o
,i2
o
)(?
iz
iz
2
2
iw 22
o
)(w
.
iz
ziw
2
2)1(2
则所求映射为,
,i2
另解 如图示,
iz
ize i
2
2
2
2 iw
0)2(?i?
iz
izeiw i
2
2
2
2
所以
,412)2( ieiw i由此得
.,
o
)(w
,i2
o
)(?)(z
o
.0从而得
,2π)2( iw由于已知于是所求的映射为,222 2 iz iziw
,22)1(2 izziw或
,2π)2(a rgiw
小结分式线性映射是共形映射的一个重要内容,
应熟练掌握并会应用分式线性映射的各种性质寻找一些简单而典型的区域之间的共形映射；掌握上半平面到上半平面,上半平面到单位圆,单位圆到单位圆的分式线性映射,
小知识
1,分式线性映射首先由德国数学家默比乌斯
(1790~1868)研究,所以也称为 默比乌斯映射,
,.2 经变形得dcz bazw
0 bazdwc w z
对每一个固定的 w,此式关于 z是线性的 ;对每一个固定的 z,此式关于 w也是线性的,因此称上式是双线性的,分式线性映射也称 双线性映射,
默比乌斯默比乌斯资料
August M?bius
Born,17 Nov 1790 in
Schulpforta,Saxony
(now Germany)
Died,26 Sept 1868 in
Leipzig,Germany
§6.4 几个初等函数构成的共形映射一、幂函数二、指数函数小结与思考一、幂函数 )2( 为自然数 nzw n
1
d
d nnz
z
w
,0 )1( 时当?z
,,0dd 平面内除原点外则在 zzw?
,保角映射所构成的映射是第一类由 nzw?
平面内处处可导，导数该函数在 z
)2(,,
ii ewrez令,, nr n有则,1) rz?圆周 nrw?圆周
(特殊地,单位圆周映射为单位圆周 )
0射线 0 n?射线
)0 0 ( 映射成正实轴正实轴
2)
π20 )3 0 n角形域 0 0 n角形域
.
0
倍来的射变为原处角形域的张角经过映即在
n
z?
0? 0?n0
)(w
0
)(z
,0,2,处没有保角性在映射时当因此 zzwn n
0
)(z
特殊地,
π20 n角形域 π20角形域
n
2
00 映射成正实轴的上岸
π2π2 映射成正实轴的下岸n
上岸
)(w
0
沿正实轴剪开的 w平面下岸映射特点,把以原点为顶点的角形域映射成以原点为顶点的角形域,但张角变成为原来的 n 倍,
0?n
0
)(w
0?0
)(z
n
n
wz
zw
因此将角形域的张角拉大（或缩小）时，就可利用幂函数 所构成的共形映射,
)( nn zwzw 或根式函数
4a rg0 映射成单位圆求把角形域 z
,1 的一个映射?w
0
)(z
4
0
)(w
如果要把角形域映射成角形域，常利用幂函数,
例 1
解
4z
i
iw
iz
izw
4
4
0
)(z
4
0
)(w
0
)(?
因此所求映射为,
01? 1
)(w
.,
2
1zw?
C
1? 1.,0
)(z解
)0Im (,1,映射成求把上半个单位圆 zz
.上半平面的映射例２
0
)( 1z
z
zz
1
1
1
2
1
1?
z
zw
2C1C
0
)(z
21 所围成的交角为与求把下图中由圆弧 CC
a r g 00 的一的月牙域映射成角形域 z
个映射,
0
)(w
0?
例３
0
)(?
解
i?
2C1C
0
)(z
1
,21 iiCC?的交点为与
,0iz,iz
i
实现此步的映射是分式线性函数,
,为待定的复常数其中 kiz izk
iz izk?
0
)(?
i?
2C1C
0
)(z
1
i
iz
izk?
1?z此映射将
,1,使取 ik,1 平面上的正实轴则C
.
.a rg0,根据保角性,月牙域被映射成角形域
0
)(?
i?
2C1C
0
)(z
1
i
iz
izk?
,11 ikiik
i
0
)(?
i?
2C1C
0
)(z
1
i
iz
izi?
0
)(?
i?
2C1C
0
)(z
1
i
iz
izi?
.
0
)(w
0?
0?逆时针旋转
0iew?因此所求映射为,
iz iziew i 0?
iz
ize i )2π( 0?
二、指数函数 zew?
)( zew因为
,, iewiyxz设,,ye x那末平面z 平面wzew? wz ln?
,0 ze
.的第一类保角映射平面上所构成的映射是一个全所以由 zew?
常数直线?x 常数圆周
0
)(z
0
)(w
1)
常数直线?y 常数射线
0
)(z
0
)(w
2)
0
)(z
0
)(z
)(w
0
0
)(w
特殊地,
az )I m (0 )3 带形域
)20( a aw a r g0 角形域
ai
i?2
映射特点,)I m (0 映射成把水平的带形域 az
.a r g0 aw角形域如果要把带形域映射成角形域,常利用指数函数,
π)I m (0 映射成单位圆求把带形域 z
,1 的一个映射?w
解 )I m (0 z
0)I m (上半平面
1?w
ze
i
iw
ie
iew
z
z
例 4
,0)Im ( 的一个映射
Re 映射成上半平面求把带形域 bza例 5
i?
a b
解
0
)(z
0
)(?
0
)(w
)(π azab iew?
)( azab iew
1? 1.,
)0Im (,1,映射成求把上半个单位圆 zz
.1 的映射单位圆?w
0
)(w
D
A
B
C
E
0
)(?
A B C D E
1? 1.,
i
iw
i
z
z
i
z
z
w
2
2
1
1
1
1
C
0
)(z
2
1
1?
z
z?
解例 6
例 7 试将如图所示的区域映射到上半平面,
x
y
O
i
i?
1
解,1 iz izw取分式线性映射
.0
,
1
1
wiz
wi
映射为并将映射为将切点由分式线性映射的保圆性知：
).)1(( 11 iww?且两平行的直线将两相切的圆周映射为
1122 iwwew
i取旋转变换 将铅直带形域
iww )I m (00)R e (1 21 映射为水平带形域将水平带形域取伸缩变换,23 ww
iwiw )Im (0)Im (0 22 映射为水平带形域将水平带形域取指数变换,3wew?
,0)Im ()Im (0 3 wiw 映射为上半平面
iz
izi
iwww eeeew?
123从而 为所求映射,
x
y
O
i
i?
1 iz
izw
1
)( 1w
O1?
i?
x
y
O
i
i?
1
)( 1w
O1?
i?
O
i )( 2w
O
i? )( 3w
O
)(wv
u
12 iww
23 ww
3wew?
)(zfw?
本课我们学习了幂函数、指数函数的映射特点,将分式线性映射与初等函数相结合,求一些边界由圆周、圆弧、直线、直线段所围区域的共形映射问题是本章的难点,
小结与思考
？映为能否将映射 0)I m (,11 zwzzw
思考题思考题答案
,1,不是角形域不能?z
