第一节 解析函数的概念第二节 解析函数和调和函数的关系第三节 初等函数一、复变函数的导数与微分二、解析函数的概念三、函数解析的充要条件小结与思考一,复变函数的导数与微分
1.导数与微分的定义
,)( 0 可导在则称 zzf
．或记作
0
d
d)(
0
zzz
wzf
某邻域内有定义，在点设函数 0)( zzfw?
仍是该邻域内的点，
zz0
).()( 00 zfzzfw令 若
z
zfzzf
z
w
zz?
)()(limlim 00
00
极限存在有限的值 A，
,)( 0 的导数在点称为极限值 zzfA
在定义中应注意,
.)0(00 的方式是任意的即 zzzz
.
)()(,00
00
都趋于同一个数比值时以任意方式趋于即
z
zfzzfzzz
00
0 0
( ) ( )( ) l i m,
z
f z z f z wfz
zz
可导，在由定义，若函数 )( 0zzfw?
,)0( )( 0 zzozzfw
.)()()( 000 的微分在点为称 zzfdzzfzzfdw
,)( 00 可微是等价的可导与在在函数 zzzfw?
,)( 0 可微在点此时也称函数 zzfw?
显然，
则例 1,)( 2的导数求 zzf?
0
( ) ( ) l i m
z
f z z f zzC
z
解
z
zzz
z?
22
0
)(li m
)2(l i m 0 zzz,2z?
zz 2)( 2
2( ),f z z z 在 平 面 上 处 处 可 导例 2,Im)( 的可导性讨论 zzf?
z
zfzzf
z
f
)()(解
z
zzz
Im)I m (
z
zzz
ImImIm
z
z
Im
yix
yix
)I m (,
yix
y
,0)0( 时趋于沿实轴方向当 yz
z
zfzzf
z
f
zz?
)()(limlim
00
,0l i m
0
0
yix
y
y
x
,0 )0( 时趋于沿虚轴方向当 xz
z
zfzzf
z
f
zz?
)()(limlim
00
,1l i m
0
0 iyix
y
x
y
,,0 极限值不同时沿不同的方向趋于当 z?
.Im)( 在复平面上处处不可导故 zzf?
不存在．极限 zf
z?
0
l i m
所以例
2.可导与连续的关系函数 f (z) 在 z0 处可导则在 z0 处一定连续,但函数 f(z) 在 z0 处连续不一定在 z0 处可导,
说明,在复变函数中,处处连续 但 处处不可导 的函数很多，而在实变函数中，要构造一个这样的函数非常困难．
由上例结论，
,Im)( 在复平面上处处不可导函数 zzf?
在复平面上处处连续．而 yzzf Im)(
3.求导法则由于复变函数中导数的定义与一元实变函数中导数的定义在形式上完全一致,并且复变函数中的极限运算法则也和实变函数中一样,因而实变函数中的求导法则都可以不加更改地推广到复变函数中来,且证明方法也是相同的,
求导公式与法则,
,,0)()1( 为复常数其中 cc
,,)()2( 1 为正整数其中 nnzz nn
).()()()()3( zgzfzgzf
).()()()()()()4( zgzfzgzfzgzf
)0)((.
)(
)()()()(
)(
)()5(
2?
zg
zg
zgzfzgzf
zg
zf
)( ).()()]([)6( zgwzgwfzgf 其中
0)(,
)()(,
)(
1
)()7(
w
wzzfw
w
zf
且函数两个互为反函数的单值是与其中二、解析函数的概念
1,解析函数的定义
,)(,
)(
0
00
解析在那么称导的邻域内处处可及在如果函数
zzf
zzzf
).(
)(,)(
,)(
全纯函数或正则函数个解析函数内的一区域是或称内解析区域在则称内每一点解析区域在如果函数
DzfDzf
Dzf
,)(
)(
上解析在闭区域内解析，则称在，且：闭区域若存在区域
DzfG
zfGDG?
z0
D
Ｇ
根据定义可知,
函数在 区域内解析 与在 区域内可导 是 等价 的,
但是函数解析是与区域密切相伴的,
要比可导的要求要高得多．
即函数在 z0点解析函数在 一点处解析 与在 一点处可导 不等价函数在 z0点可导函数 闭区域上解析 与在 闭区域上可导 不等价即函数在闭区域上解析函数在 闭区域上 可导说明
,)(
)( )( )1(
内解析在除去分母为零的点和、差、积、商的与内解析的两个函数在区域
D
zgzfD
,)]([,
)(,
,)(
,)( )2(
内解析在那末复合函数于都属的对应值函数内的每一个点对如果内解析平面上的区域在函数内解析平面上的区域在设函数
DzgfwG
hzgzD
Ghhfw
Dzzgh
(3) 一个解析函数不可能仅在一个点或一条曲线上解析；所有解析点的集合必为开集,
2,解析函数的性质即两个解析函数的复合仍是解析函数．
根据定理可知,
(1) 所有多项式在复平面内是处处解析的,
.
,
)(
)(
)2(
它的不解析点使分母为零的点是的零的点的区域内是解析在不含分母为任何一个有理分式函数
zQ
zP
3,奇点的定义
.)(
,)( 00
的奇点为那么称不解析在如果函数
zf
zzzf
例 3
.
1
32
)(
2
5
域上的导数的解析性区域及该区求函数
z
zz
zf
解 01 2,当z
,)( 外处处解析在复平面内除所以 izzf
,为它的奇点iz
2 时，即 iz 不解析．函数 )( zf
22
524
)1(
2)32()1)(110()(
z
zzzzzzf
.)1( 16106 22
246
z
zzzz
例 4,)( 的解析性研究函数 zzf?
解
z
zfzzf
z
f
)()(
z
zzz
,
z
z
,yixz令
z
f
,
yix
yix
,1li m
0
0
z
f
y
x
因为,1lim
0
0
z
f
x
y
,lim
0
不存在所以 zf
z?
,)( 在复平面内处处不解析因此 zf
通过上述用定义讨论函数的解析性，
我们深深地体会到：
用定义讨论函数的解析性绝不是一种好办法！ 寻求研究解析性的更好的方法任务！！！
三、函数解析的充要条件定理一方程）（简称点满足柯西－黎曼方程并且在该可微在点与件是可导的充要条内一点在则内定义在区域设函数
RC
yxyxvyxu
yixzDzfD
yxivyxuzf
,),( ),( ),(,
)(,
),(),()(
柯西 -黎曼介绍
.,
x
v
y
u
y
v
x
u
证 (1) 必要性,
可导内点在设,)( yixzDzf
,)()()( zozzfzfzzf
,)()(,viuzfzzfyixz令则
,zoybxau于是,zoyaxbv
,),( ),( ),( 可微在点与由此可知 yxyxvyxu
.,xvyub yvxua且满足方程
))(( zoyixbiaviu
,)()( zoxbyaiybxa
.)( biazf
则
(2) 充分性,
)()( zfzzf
)],(),([
),(),(
yxvyyxxvi
yxuyyxxu
,viu
,),( ),( ),( 可微在点与又因为 yxyxvyxu
,zoyyuxxuu于是．zoyyvxxvv
)()( zfzzf因此
,zoyyviyuxxvixu
viu
)()( zfzzfzoyixxvixu )(
,,xvyuyvxu由柯西－黎曼方程
.zozxvixu
z
zfzzfzf
z
)()(lim)(
0
所以,xvixu
,),(),()( 可导在点即函数 yixzyxivyxuzf
[证毕 ]
,
),(),()(,
处的导数公式点在可得函数根据定理一
yixz
yxivyxuzf
内解析的充要条件函数在区域 D
.,
),( ),(,
),(),()(
程并且满足柯西－黎曼方内可微在与内解析的充要条件是域在其定义函数定理二
D
yxvyxuD
yxivyxuzf
( ),
.
u v v v
f z i i
x x y x
u u v u
ii
x y y y
解析函数的判定方法,
,)(
,)(
)1(
内是解析的在解析函数的定义断定则可根据内处处存在的导数在区域数导法则证实复变函如果能用求导公式与求
Dzf
Dzf
,)(
,
),(
,)( 2)(
内解析在条件可以断定要那么根据解析函数的充方程并满足可微因而、连续的各一阶偏导数都存在内在中如果复变函数
Dzf
RC
vu
Dvuivuzf
例 5
,0
0 )(
不可导西－黎曼方程但在点满足柯在点证明函数
z
zxyzf
证,)( xyzf?因为 0,, vxyu所以
0
)0,0()0,(lim)0,0(
0?
x
uxuu
xx
),0,0(yv?
0
)0,0(),0(lim)0,0(
0?
y
uyuu
yy ),0,0(xv
0?
0?
,0 成立柯西－黎曼方程在点?z
注,C－ R方程是函数可导的必要条件而非充分条件．
,趋于零时沿第一象限内的射线但当 kxyz?
0
)0()(
z
fzf
iyx
xy
,1 ik
k
,变化随 k
,0 )0()(lim
0
不存在故
z
fzf
z
,0 )( 不可导在点函数 zxyzf
例 6 判定下列函数在何处可导,在何处解析,
.Re)3(
);s in( c o s)()2(;)1( 2
zzw
yiyezfzw x
解
,)1( 222 yxzw,0,22 vyxu
.0,0,2,2 yvxvyyuxxu
四个偏导数在复平面上处处连续，但只在 z=0
满足 C－ R方程，,0 2 处可导仅在故函数 zzw
,在复平面内处处不解析．且 0)( zf
)s i n( c o s)()2( yiyezf x
,s i n,c o s yevyeu xx
,s in,co s yeyuyexu xx
,c o s,s in yeyvyexv xx
.,xvyuyvxu即四个偏导数均连续
,,)( 处处解析在复平面内处处可导故 zf
).()s i n( co s)( zfyiyezf x且指数函数
zzw Re)3(?,2 x y ix,,2 xyvxu
.,,0,2 xyvyxvyuxxu
四个偏导数均连续
,,0 满足柯西－黎曼方程时仅当 yx
,0 Re 处可导仅在故函数 zzzw
,在复平面内处处不解析
．且 0)( zf
例 7,)( 2 在复平面上不解析证明 iyxzf
证,,
2 yvxu因为
.1,0,0,2 yvxvyuxxu
,21 )( 上可导仅在直线故函数xzf,在复平面上不解析要使 C－ R方程成立，则有
,12 yvxux,21x即例 8
解
)(,,,,
),()( 2222
解析在复平面内处处取何值时问常数设
zfdcba
yd x ycxibya x yxzf
,2 ydxyv
,2 ayxxu,2 byaxyu
,2 dycxxv
,,xvyuyvxu欲使
ayx2,2 ydx?,2 byax dycx2
.2,1,1,2 dcba所求课堂练习
.,,,
)( 2323
的值试确定函数为解析设
nml
lx yxiynxmy
答案,1,3 mnl
证
x
vi
x
uzf
)(,0
y
u
y
v
,0 xvyuyvxu故
,,常数常数所以 vu
,)( 内为一常数在区域因此 Dzf
内为一常数．在区域内处处为零，则在区域如果例
D
zfDzf )( )( 9?
参照以上例题可进一步证明,
,,)( 则以下条件彼此等价内解析在区域如果 Dzf; )( )1( 为常数zf ;0)()2( zf;)( )3( 常数?zf ;)( )4( 解析zf;)](R e [ )5( 常数?zf ;)](I m [ )6( 常数?zf;)7( 2uv?,)( a r g )8( 常数?zf
,)9( 为不全为零的实常数），，（ cbacbvau
小结与思考理解复变函数导数与微分以及解析函数的概念 ;
掌握连续、可导、解析之间的关系以及求导方法,
注意,复变函数的导数定义与一元实变函数的导数定义在形式上完全一样,它们的一些求导公式与求导法则也一样,然而复变函数极限存在要求与
z 趋于零的方式无关,这表明它在一点可导的条件比实变函数严格得多,
在本课中还得到了一个重要结论 — 函数解析的充要条件,
黎曼方程并且满足柯西－内可微在与,),( ),( Dyxvyxu
.,xvyuyvxu
掌握并能灵活应用柯西 — 黎曼方程,
思考题
),(),()( )2(
解析时应注意什么用柯西－黎曼条件判断 yxivyxuzf
)( )1( 00 解析有无区别可导与在在点复变函数 zzzf
思考题答案
,)()1( 00 可导解析必在在点 zzzf 反之不对,
,0 )( 02 处可导在例如 zzzf,0 0 处不解析但在?z; ),( ),( )2( 内是否可微在和首先判断 Dyxvyxu;,:R-C xvyuyvxu条件其次再看是否满足
,)( 的解析性最后判定 zf
一、调和函数的定义二、解析函数与调和函数的关系小结与思考三、求已知实部或虚部的解析函数一、调和函数的定义并且满足拉普拉斯方程有二阶连续偏导数内具在区域如果二元实变函数
,
),( Dyx?
调和函数在流体力学和电磁场理论等实际问题中有很重要的应用,
拉普拉斯22
22xy
称为 Laplace算子注：
,),( 内的调和函数为区域那么称 Dyx?
0,2
2
2
2
yx
二、解析函数与调和函数的关系
1,两者的关系定理 任何在区域 D 内解析的函数,它的实部和虚部都是 D 内的调和函数,
证,)( 内的一个解析函数为设 Divuzfw
.,xvyuyvxu
根据解析函数高阶导数定理（第三章第四节）,
,数具有任意阶的连续偏导与 vu
则满足 C— R方程
,
22
yx
v
xy
v
,0 2
2
2
2
y ux u从而,0 2
2
2
2
y vx v同理
,都是调和函数与因此 vu [证毕 ]
例如,设 f(z)=x-iy,则 u(x,y),v(x,y)都是 z平面上的调和函数,但 f(z)=x-iy在 z平面上处处不解析,
注：定理反之不正确;,
2
2
22
2
2
yx
v
y
u
xy
v
x
u
从而
x
v
y
u
y
v
x
u
,
方程内的调和函数，且满足为区域在设
RC
Dyxvyxu
),(),,(
2,共轭调和函数的定义函数 f(z)在区域 D内的解析的充要条件为虚部为实部的共轭调和函数,
,xvyuyvxu
.的共轭调和函数为则称 uv
显然，由函数解析的充要条件得：
定理思考题可以交换次序？
是否中的共轭调和函数”，其是,vuuv,( 1 )
调和函数是什么？
的共轭的共轭调和函数，那么是如果 vuv ( 2 )
不能交换次序．）（ 1
.,yvxu例如：设
,
( 2 )
u
vuv
调和函数是的共轭的共轭调和函数，那么是如果解答三、求已知实部或虚部的解析函数
1,偏积分法如果已知一个调和函数作为解析函数的实部
u（或虚部 v）,那么就可以利用 C－ R方程求得它的虚部 v （或实部 u ）,这种方法称为 偏积分法,
解例 1
,
,
数和由它们构成的解析函共轭调和函数并求其为调和函数证明
),(
3),( 23
yxv
yxyyxu
,6 xyxu因为,6 2
2
yx u
,33 22 xyyu,6 2
2
yyu
,0 2
2
2
2
y ux u于是,),( 为调和函数故 yxu
,6 xyxuyv因为
yxyv d6 ),(3 2 xgxy
),(3 2 xgyxv
y
u
x
v
又因为,33 22 xy
)(3 2 xgy,33 22 xy
xxxg d3)( 2故,3 Cx )为任意常数C(
,3),( 23 Cxyxyxv
得解析函数
).3(3)( 2323 Cxyxiyxyzf
这个函数可以化为 ).()( 3 Czizf
答案课堂练习
.,
236),( 3223
并求其共轭调和函数调和函数为证明 yxyyxxyxu
.263),( 3322 Cxyxyyxyxv
) 为任意常数C(
例 2
.0)0(,)(,
)s inc o s(),(
fivuzf
yxyxyyeyxv x
使求一解析函数和函数为调已知解,1)s ins inco s( yyxyyexv x
,1)c o ss in( c o s yxyyyeyv x
y
v
x
u
由,1)c o ss i n( c o s yxyyye x
xyxyyyeu x d]1)co ss i n( co s[ 得
),()s i nc o s( ygxyyyxe x
,得由 yuxv
1)s i ns i nc o s( yyxyye x
),()s i nc o ss i n( ygyyyyxe x
,)( Cyyg 故
,)s inc o s( Cyxyyyxeu x 于是
,)1( Czize z
ivuzf)( Ciiyixeiy eexe iyxiyx )1()1(
,0)0(?f由,0?C 得所求解析函数为,)1()( zizezf z
Cdyyvdxxvyxv yx yx ),( ),(
00
),(
dyyvdxxvdv 由于
2,曲线积分法
.),( 00 为任意实常数内一定点，为其中 CDyx
由平面上曲线积分与路径无关的等价条件，上式右端的曲线积分与路径无关．
如果已知一个单连通区域 D内的调和函数 u作为解析函数的实部,那么也可以利用 曲线积分 求得它的虚部 v,
dyxudxyu
RC
.),( ),(
00
Cdyxudxyuyx yx
）．，可取为原点（包含原点，特别，若 00),( 00 yxD
．，也可求出实部类似地，若已知虚部 ),(),( yxuyxv
.),( ),(
00
Cdyxvdxyvyx yx Cdy
y
udx
x
uyxu yx
yx
),(
),( 00),(
dyyudxxudu由,dyx
vdx
y
vRC
y
x
0y
0x
以上各曲线积分可采取两种简单的积分路径（如右图）．
说明：
解例３ 用曲线积分法求解例 1中的解析函数
,3),( 23 yxyyxu实部
).(zf
Cx y dydxxyyx 633(),( )0,0( 22 )
)3(3)( 2323 Cxyxiyxyzf ).( 3 Czi
o x
),( yx
)0,(x
Cdyyvdxxvyxv yx ),( )0,0(),(
Cdyxudxyuyx ),( )0,0(
x y Cx y d ydxx0 02 63
3,23 Cxyx
例４
).( 1)(,)(
,.,22
zfifivuzf
vkyxuk
的并求为解析函数使再求为调和函数使值求
解根据调和函数的定义可得,1k
,2 xxu因为,2 2
2
xu,2 kyyu,2 2
2
kyu
Cxd ydxyyxv yx 2)2(),( ),( )0,0(
,)2()( 222 iCzCxyiyxzf
,1)(if由,0?C得,2)( 222 zxy iyxzf
CxyCxdyy 220 0
小结与思考本节学习了调和函数的概念、解析函数与调和函数的关系以及共轭调和函数的概念,
应 注意 的是,1,任意两个调和函数 u与 v所构成的函数 u+iv不一定是解析函数,
2,满足柯西 — 黎曼方程 ux= vy,vx= –uy,的 v称为 u
的共轭调和函数,u与 v注意的是地位不能颠倒,
一、指数函数二、对数函数四、三角函数与双曲函数三、幂函数五、反三角函数与反双曲函数小结与思考这里的 ex是实指数函数一、指数函数
( c o s s i n )z x i y xe e e y i y
e x p ( c o s s i n )xz e y i y也 可 表 示 为
1.指数函数的定义,
z将 此 函 数 称 为 复 变 数 的 指 数 函 数,
定义 对于任何复数 z=x+iy,规定
,,
( c o s s in )
z
x
e
e y i y?
注 意 没 有 幂 的 意 义 只 是 一 个 符 号代 表实的正余弦函数复指数函数与实指数函数保持一致,
2,指数函数的性质不存在．极限 lim )6( zz e；且在复平面内处处解析，）（ zzz eee)( 3；加法定理 2121 )4( zzzz eee；时，，即当 xezfRxzz )( 0Im )1(
,2 xz ee?）（ ),( 2)( ZkykeA rg z ; 0 ze
为周期的函数．是以 ),2,1(2 )5(kike z?
(1) 证明加法定理 1 2 1 2()z z z ze e e
证,,222111 iyxziyxz设
12zzee左 端
1
2
11
22
(co s s i n )
(co s s i n )
x
x
e y i y
e y i y
)]s i nc o sc o s[ ( s i n
)]s i ns i nc o s[ ( co s
2121
2121
21
yyyyi
yyyye xx
)]s in ()[ c o s ( 212121 yyiyye xx
12(),zze 右 端几点说明：
加法定理不能利用实数中的同底数幂的乘法法则予以证明不存在的说明极限 lim )2( zz e
是周期函数的说明ze )3(；，有数由加法定理，对任意复 ikzikz eeez 22
，有数由欧拉公式，对任意整 k
,2 zikz eez，有从而对任意复数为周期的函数．是以所以 ),2,1(2kike z?；1)2s i n ()2c o s (2 kike ik
因为,；时，沿实轴趋向于当 zez
．时，沿实轴趋向于当 0 zez
例 1 );R e ()3(;)2(;)1(,
1
2 2 zzzi eeeiyxz 求设解 )s i n( c o s yiyeee xiyxz因为
,c o s)R e (,yeeee xzxz 实部所以其模
zie 2)1(? )(2 iyxie,)21(2 yixe ;22 xzi ee
2)2( ze 2)( iyxe,222 x y iyxe ;222 yxz ee
ze
1
)3( yixe?1,2222 yx
yi
yx
x
e?
.co s)R e( 22
1
22
yx
yee yx xz
例 2
解求出下列复数的辐角主值,
.)4(;)3(;)2(;)1( 4343322 iiii eeee
)s i n( c o s 的辐角因为 yiyeee xiyxz
)(2A r g 为整数kkye z
,],(- a r g 内的一个辐角为区间其辐角主值ze
)1(,21A r g 2 ke i ;1a r g 2 ie
)2(,23A r g 32 ke i ;3a r g 32 ie
,24 A r g( 3 ) 43?ke i ;24a r g 43 ie
,24 A r g( 4 ) 43?ke i ;24a r g 43 ie
二,对数函数
1,定义说明：
2.计算公式
，称为对数函数．的函数满足方程 )()0( zfwzze w
．记作,L n zw?
ivuwrez i,?令
.的反函数是指数函数对数函数 wezL n zw
)(2,Zkkvre u
A r g zvru,ln
i A r g zrL n zw ln
.ln i A rg zzL n zw
zeL n zw wiivu ree
由于 Argz的多值性导致 w=Lnz是一个具有无穷多值的多值函数．
规定,为对数函数 Lnz的主值．
于是：
.ln i A r g zzL n zw
zizz a r glnln
)( 2ln ZkikzL n zw
,Ln
,,
的一个分支称为上式确定一个单值函数对于每一个固定的
z
k
.
,lnln Ln,0
是实变数对数函数的主值时当 xzzxz特殊地,
例 3
解
,)1(Ln,2Ln 以及与它们相应的主值求?
,22ln2Ln ik因为
l n 2,L n 2 的主值就是所以
)1(A r g1ln)1(Ln i因为
)()12( 为整数kik
,1)Ln ( i 的主值就是所以注意,在实变函数中,负数无对数,而复变数对数函数是实变数对数函数的拓广,
例 4
解
.031 ie z解方程
,31 ie z因为
)31(Ln iz所以
kii 2331ln
ki 232ln
),2,1,0(k
例 5
解
).3(Ln)3();33(Ln)2();32(( 1 ) L n
,
ii
求下列各式的值
)32(( 1 ) L n i
)32(A r g32ln iii
.223a r ct a n13ln21 ki
),2,1,0(k
.6232ln ki ),2,1,0(k
)3(Ln)3(? )3(A r g3ln i
.)12(3ln ik ),2,1,0(k
)33(Ln)2( i?
)33(A r g33ln iii
ki 2
3
3a r c t a n32ln
３,对数函数的性质
,LnLn)(Ln)1( 2121 zzzz
,LnLnLn)2( 21
2
1 zz
z
z
且处处可导和其它各分支处处连续主值支的复平面内包括原点在除去负实轴
,,
,)( )3(
.1)Ln(,1)( ln zzzz
说明两端都是无穷多个数构成的两个数集,对于左端的任一值,右端必有值与它相对应．反之也成立．
由于对数函数的多值性,对性质 (1)和 (2),
证 (3),iyxz设,0 时当?x
,a rgli m0 zy,a rgli m0 zy
.
ln,,
处处连续在复平面内其它点除原点与负实轴所以 z
,
ln a r g
是单值的内的反函数在区域 zwzez w
w
ez
z
w
d
d
1
d
lnd
[证毕 ]
.1z?
三、幂函数
1,幂函数的定义
,,0 定义为函数幂为复常数设 zwz
注意,
一般也是多值函数．
是多值的，因而幂函数由于
L n zezw
i A r g zzz
lnLn
zez Ln
．时，为正实数且规定,00 zz
,2ln ikz ee
,是单值的幂函数?zw?
,0),( )2( 时为互质的整数与为有理数当?qqpqp?
iqpkik
ee
2 2
,个值具有 qz?,1,,2,1,0 时相应的值即取 qk?
,)1( 时为整数当 n?
Ln zezikze 2ln
,)3( 有无穷多值．为无理数或虚数时当 αz?
π,2s i nπ2c o s qpkiqpk
,1 2 2 iknik ee
由对数函数的定义，
),2,1,0(k
例 6,1 2 的值和求 ii
解 L n 1221 e? ike?22
)22s i n ()22c o s ( kik,,2,1,0k其中
iii ei Ln
ikiie 22
ke 22,,2,1,0k其中答案课堂练习,3)( 5?计算
),2,1,0(
].)12(5s in)12(5[ c o s3)3( 55
k
kik
例 7,2 1 的值及其主值求 i?
解
2Ln)1(12 ii e
)22( l n)22( l n kike
,,2,1,0k其中
) 2l n 2)(1( ikie
)]22s i n ( l n)22[ c o s ( l n 22ln kike k
)]2s i n ( l n)2[ c o s ( l n2 2 ie k
)]2s i n ( l n)2[ co s ( l n2 0 ik 时，得其主值为例 8,)(1 的辐角的主值求 ii?
解 )L n ( 1)1( iii ei
ikiie 242ln21
,,2,1,0k其中
)]1(A r g1ln[ iiiie
2ln2124 ike
2ln
2
1s i n2ln
2
1co s 24 ie k
l n 2,21 )(1 的辐角的主值为故 ii?
2,幂函数的解析性
,)1( 的在复平面内是单值解析幂函数 nz
,)( 1 nn nzz
内是解析的,
,
) ( ( 2 )
函数是一个多值情况外除去幂函数 nzw
.)( 1 zz
它的 各个分支在除去原点和负实轴的复平面四、三角函数和双曲函数
1.正弦与余弦函数
,s i nc o s yiye iy因为,s nc o s yiye iy
将两式相加与相减,得
,2c o s
iyiy ee
y
,2s in ieey
iyiy
现在把余弦函数和正弦函数的定义推广到自变数取复值的情况,
c o s,2
i z i zee
z
余 弦 函 数 为,
s 2in,
iz izee
iz
正 弦 函 数 为定义 对任意的复数 z,规定 z的性质,
都为单值函数；及 zz co s s i n )2(
c o sc o s,s i ns i n
0Im )1(
是实三角函数；
时，，即当
xzxz
Rxzz
为周期的周期函数；都是以及?2co s s i n )3( zz
.co s)co s (,s in)s in ( zzzz
(5) 遵循通常的三角恒等式，如
.1c o ss i n
,s i nc o sc o ss i n)s i n (
,s i ns i nc o sc o s)c o s (
22
212121
212121
zz
zzzzzz
zzzzzz?
.s i n)( c o s,c o s)( s i n zzzz
是偶函数；是奇函数,zz co s s i n )4(
数；在复平面内都为解析 函及 zz co s s i n )6(
,s in,c o s,2
yyee
y y i y ii
当 时
(注意：这是与实变函数完全不同的 )
sinz的零点 ( sinz=0的根 )为 z=n?,
cosz的零点 ( cosz=0的根 )为 z=(n+1/2)?；
n=0,1,?2,··
2s in 0 0
i z i z
i z i zeeze
i e
2 1 ize z n n Z
(7)
(8) sinz,cosz在复数域内均是无界函数．
2.其它复变数三角函数的定义
,c o ss i nt a n zzz?正切函数,s inc o sc o t zzz?余切函数
,c o s1s e c zz?正割函数,s in1c s c zz?余割函数
,,,
,c o s s in
解析性奇偶性周期性我们可以讨论它们的类似和与 zz
1.都是相应实函数的推广
2.定义域,tanz,secz的定义域为 z(k+1/2)?
cotz,cscz的定义域为 zk?
3.它们都在自己的定义域内解析
(tanz)?=sec2z,(cotz)?=-csc2z
(secz)?=tanzsecz (cscz)?=-cotzcscz
4,tanz cotz的周期是?
secz cscz的周期是 2?
5 sec 是偶函数
tanz cotz,cscz是奇函数例 9,)1(c o s 的值求 i?
解 2)1c o s (
)1()1( iiii ee
i
2
11 ii ee
)]1s in1( co s)1s in1( co s[21 1 ieie
1s i n)(211co s)(21 11 ieeee
定义
3,双曲函数性质
.
,
的定义完全一致函数它与高等数学中的双曲时为实数当 xz
.2sh
zz ee
z
双曲正弦,
2ch
zz ee
z
双曲余弦
.th zz
zz
ee
eez
双曲正切
.c o t h zz
zz
ee
eez
双曲余切
.ch,sh,是偶函数是奇函数容易证明 zz
它们的导数分别为
,ch)sh( zz
并有如下公式,
它们都是以 为周期的周期函数,i?2
.sh)ch( zz
参见课本
P51
,s i nsh iziz,c o sch izz?
,ta nth iziz,co tco th iziz?
例 10
解,iyxz设
,1shs i n iz?解方程
)s i n (s i n yixz
yxiyx shco schs i n?,1shi?
0,chs i n?yx故有 1shshc o s?yx
,0ch?y因为,0s in?x所以, kx
,1sh)1(sh ky
,3,1,1
,4,2,0,1
k
ky
,2,1,0,)12(,2
n
in
inz即得代入将 1shshc o s yxkx?
五、反三角函数和反双曲函数
1,反三角函数的定义
.co sArc
,,co s
zw
zwwz
记作的反余弦函数为那么称设
,2c o s
iwiw ee
wz
由,012 2 iwiw zee得
,1 2 zze iw方程的根为两端取对数得
).1L n(c o sA r c 2 zziz
为双值函数．其中 12?z
同样可以定义反正弦函数和反正切函数,
),1L n(A r c s i n 2ziziz
.Ln2A r c t a n zi ziiz
2,反双曲函数的定义
),1L n ( A rs h 2 zzz反双曲正弦
),1Ln (h A r 2 zzzc反双曲余弦
.11Ln21 Art h zzz反双曲正切
.11Ln21 A rc o t h zzz反双曲余切例 11
解
).32t a n ( A r c i?求函数值
)32t a n ( A rc i
)32(
)32(Ln
2 ii
iii
i
ii
22
42Ln
2
kii 2
3
1a r c t a n
2
5ln
2
.31a r c t a n212125ln4
ki
,,2,1,0k其中
22
3Ln
2
ii
小结与思考复变初等函数是一元实变初等函数在复数范围内的自然推广,它既保持了后者的某些基本性质,
又有一些与后者不同的特性,如,
1,指数函数具有周期性 ) π2 ( ik周期为
2,负数无对数的结论不再成立
3,三角正弦与余弦不再具有有界性
4,双曲正弦与余弦都是周期函数思考题
１．实变三角函数与复变三角函数在性质上有哪些异同?
思考题答案两者在函数的奇偶性、周期性、可导性上是类似的,而且导数的形式、加法定理、正余弦函数的平方和等公式也有相同的形式,
最大的区别是,实变三角函数中,正余弦函数都是有界函数,但在复变三角函数中,
,1c o s 1s i n 不再成立与 zz
(3)(4)
错了
２．指出下列解法有何错误．
22( 1 ) zz
22( 2 ) L n L nzz
( 4 ) 2 L n 2 L nzz
(5 ) L n L nzz
荒谬透顶！！！
L n ( 1 ) ( 2 1 ) 0,1,2,
L n( 1 ) 2 0,1,2,
k i k
k i k
因 为决不会相等！！！
原因
Bernoulli
悖论
( 3 ) L n L n L n L nz z z z
Lnz是集合记号，应该理解为两个集合相加
A={0,1}
A+A={0,1,2}
2A={0,2}
A+A?2A
1.导数与微分的定义
,)( 0 可导在则称 zzf
．或记作
0
d
d)(
0
zzz
wzf
某邻域内有定义，在点设函数 0)( zzfw?
仍是该邻域内的点，
zz0
).()( 00 zfzzfw令 若
z
zfzzf
z
w
zz?
)()(limlim 00
00
极限存在有限的值 A，
,)( 0 的导数在点称为极限值 zzfA
在定义中应注意,
.)0(00 的方式是任意的即 zzzz
.
)()(,00
00
都趋于同一个数比值时以任意方式趋于即
z
zfzzfzzz
00
0 0
( ) ( )( ) l i m,
z
f z z f z wfz
zz
可导，在由定义，若函数 )( 0zzfw?
,)0( )( 0 zzozzfw
.)()()( 000 的微分在点为称 zzfdzzfzzfdw
,)( 00 可微是等价的可导与在在函数 zzzfw?
,)( 0 可微在点此时也称函数 zzfw?
显然，
则例 1,)( 2的导数求 zzf?
0
( ) ( ) l i m
z
f z z f zzC
z
解
z
zzz
z?
22
0
)(li m
)2(l i m 0 zzz,2z?
zz 2)( 2
2( ),f z z z 在 平 面 上 处 处 可 导例 2,Im)( 的可导性讨论 zzf?
z
zfzzf
z
f
)()(解
z
zzz
Im)I m (
z
zzz
ImImIm
z
z
Im
yix
yix
)I m (,
yix
y
,0)0( 时趋于沿实轴方向当 yz
z
zfzzf
z
f
zz?
)()(limlim
00
,0l i m
0
0
yix
y
y
x
,0 )0( 时趋于沿虚轴方向当 xz
z
zfzzf
z
f
zz?
)()(limlim
00
,1l i m
0
0 iyix
y
x
y
,,0 极限值不同时沿不同的方向趋于当 z?
.Im)( 在复平面上处处不可导故 zzf?
不存在．极限 zf
z?
0
l i m
所以例
2.可导与连续的关系函数 f (z) 在 z0 处可导则在 z0 处一定连续,但函数 f(z) 在 z0 处连续不一定在 z0 处可导,
说明,在复变函数中,处处连续 但 处处不可导 的函数很多，而在实变函数中，要构造一个这样的函数非常困难．
由上例结论，
,Im)( 在复平面上处处不可导函数 zzf?
在复平面上处处连续．而 yzzf Im)(
3.求导法则由于复变函数中导数的定义与一元实变函数中导数的定义在形式上完全一致,并且复变函数中的极限运算法则也和实变函数中一样,因而实变函数中的求导法则都可以不加更改地推广到复变函数中来,且证明方法也是相同的,
求导公式与法则,
,,0)()1( 为复常数其中 cc
,,)()2( 1 为正整数其中 nnzz nn
).()()()()3( zgzfzgzf
).()()()()()()4( zgzfzgzfzgzf
)0)((.
)(
)()()()(
)(
)()5(
2?
zg
zg
zgzfzgzf
zg
zf
)( ).()()]([)6( zgwzgwfzgf 其中
0)(,
)()(,
)(
1
)()7(
w
wzzfw
w
zf
且函数两个互为反函数的单值是与其中二、解析函数的概念
1,解析函数的定义
,)(,
)(
0
00
解析在那么称导的邻域内处处可及在如果函数
zzf
zzzf
).(
)(,)(
,)(
全纯函数或正则函数个解析函数内的一区域是或称内解析区域在则称内每一点解析区域在如果函数
DzfDzf
Dzf
,)(
)(
上解析在闭区域内解析，则称在，且：闭区域若存在区域
DzfG
zfGDG?
z0
D
Ｇ
根据定义可知,
函数在 区域内解析 与在 区域内可导 是 等价 的,
但是函数解析是与区域密切相伴的,
要比可导的要求要高得多．
即函数在 z0点解析函数在 一点处解析 与在 一点处可导 不等价函数在 z0点可导函数 闭区域上解析 与在 闭区域上可导 不等价即函数在闭区域上解析函数在 闭区域上 可导说明
,)(
)( )( )1(
内解析在除去分母为零的点和、差、积、商的与内解析的两个函数在区域
D
zgzfD
,)]([,
)(,
,)(
,)( )2(
内解析在那末复合函数于都属的对应值函数内的每一个点对如果内解析平面上的区域在函数内解析平面上的区域在设函数
DzgfwG
hzgzD
Ghhfw
Dzzgh
(3) 一个解析函数不可能仅在一个点或一条曲线上解析；所有解析点的集合必为开集,
2,解析函数的性质即两个解析函数的复合仍是解析函数．
根据定理可知,
(1) 所有多项式在复平面内是处处解析的,
.
,
)(
)(
)2(
它的不解析点使分母为零的点是的零的点的区域内是解析在不含分母为任何一个有理分式函数
zQ
zP
3,奇点的定义
.)(
,)( 00
的奇点为那么称不解析在如果函数
zf
zzzf
例 3
.
1
32
)(
2
5
域上的导数的解析性区域及该区求函数
z
zz
zf
解 01 2,当z
,)( 外处处解析在复平面内除所以 izzf
,为它的奇点iz
2 时，即 iz 不解析．函数 )( zf
22
524
)1(
2)32()1)(110()(
z
zzzzzzf
.)1( 16106 22
246
z
zzzz
例 4,)( 的解析性研究函数 zzf?
解
z
zfzzf
z
f
)()(
z
zzz
,
z
z
,yixz令
z
f
,
yix
yix
,1li m
0
0
z
f
y
x
因为,1lim
0
0
z
f
x
y
,lim
0
不存在所以 zf
z?
,)( 在复平面内处处不解析因此 zf
通过上述用定义讨论函数的解析性，
我们深深地体会到：
用定义讨论函数的解析性绝不是一种好办法！ 寻求研究解析性的更好的方法任务！！！
三、函数解析的充要条件定理一方程）（简称点满足柯西－黎曼方程并且在该可微在点与件是可导的充要条内一点在则内定义在区域设函数
RC
yxyxvyxu
yixzDzfD
yxivyxuzf
,),( ),( ),(,
)(,
),(),()(
柯西 -黎曼介绍
.,
x
v
y
u
y
v
x
u
证 (1) 必要性,
可导内点在设,)( yixzDzf
,)()()( zozzfzfzzf
,)()(,viuzfzzfyixz令则
,zoybxau于是,zoyaxbv
,),( ),( ),( 可微在点与由此可知 yxyxvyxu
.,xvyub yvxua且满足方程
))(( zoyixbiaviu
,)()( zoxbyaiybxa
.)( biazf
则
(2) 充分性,
)()( zfzzf
)],(),([
),(),(
yxvyyxxvi
yxuyyxxu
,viu
,),( ),( ),( 可微在点与又因为 yxyxvyxu
,zoyyuxxuu于是．zoyyvxxvv
)()( zfzzf因此
,zoyyviyuxxvixu
viu
)()( zfzzfzoyixxvixu )(
,,xvyuyvxu由柯西－黎曼方程
.zozxvixu
z
zfzzfzf
z
)()(lim)(
0
所以,xvixu
,),(),()( 可导在点即函数 yixzyxivyxuzf
[证毕 ]
,
),(),()(,
处的导数公式点在可得函数根据定理一
yixz
yxivyxuzf
内解析的充要条件函数在区域 D
.,
),( ),(,
),(),()(
程并且满足柯西－黎曼方内可微在与内解析的充要条件是域在其定义函数定理二
D
yxvyxuD
yxivyxuzf
( ),
.
u v v v
f z i i
x x y x
u u v u
ii
x y y y
解析函数的判定方法,
,)(
,)(
)1(
内是解析的在解析函数的定义断定则可根据内处处存在的导数在区域数导法则证实复变函如果能用求导公式与求
Dzf
Dzf
,)(
,
),(
,)( 2)(
内解析在条件可以断定要那么根据解析函数的充方程并满足可微因而、连续的各一阶偏导数都存在内在中如果复变函数
Dzf
RC
vu
Dvuivuzf
例 5
,0
0 )(
不可导西－黎曼方程但在点满足柯在点证明函数
z
zxyzf
证,)( xyzf?因为 0,, vxyu所以
0
)0,0()0,(lim)0,0(
0?
x
uxuu
xx
),0,0(yv?
0
)0,0(),0(lim)0,0(
0?
y
uyuu
yy ),0,0(xv
0?
0?
,0 成立柯西－黎曼方程在点?z
注,C－ R方程是函数可导的必要条件而非充分条件．
,趋于零时沿第一象限内的射线但当 kxyz?
0
)0()(
z
fzf
iyx
xy
,1 ik
k
,变化随 k
,0 )0()(lim
0
不存在故
z
fzf
z
,0 )( 不可导在点函数 zxyzf
例 6 判定下列函数在何处可导,在何处解析,
.Re)3(
);s in( c o s)()2(;)1( 2
zzw
yiyezfzw x
解
,)1( 222 yxzw,0,22 vyxu
.0,0,2,2 yvxvyyuxxu
四个偏导数在复平面上处处连续，但只在 z=0
满足 C－ R方程，,0 2 处可导仅在故函数 zzw
,在复平面内处处不解析．且 0)( zf
)s i n( c o s)()2( yiyezf x
,s i n,c o s yevyeu xx
,s in,co s yeyuyexu xx
,c o s,s in yeyvyexv xx
.,xvyuyvxu即四个偏导数均连续
,,)( 处处解析在复平面内处处可导故 zf
).()s i n( co s)( zfyiyezf x且指数函数
zzw Re)3(?,2 x y ix,,2 xyvxu
.,,0,2 xyvyxvyuxxu
四个偏导数均连续
,,0 满足柯西－黎曼方程时仅当 yx
,0 Re 处可导仅在故函数 zzzw
,在复平面内处处不解析
．且 0)( zf
例 7,)( 2 在复平面上不解析证明 iyxzf
证,,
2 yvxu因为
.1,0,0,2 yvxvyuxxu
,21 )( 上可导仅在直线故函数xzf,在复平面上不解析要使 C－ R方程成立，则有
,12 yvxux,21x即例 8
解
)(,,,,
),()( 2222
解析在复平面内处处取何值时问常数设
zfdcba
yd x ycxibya x yxzf
,2 ydxyv
,2 ayxxu,2 byaxyu
,2 dycxxv
,,xvyuyvxu欲使
ayx2,2 ydx?,2 byax dycx2
.2,1,1,2 dcba所求课堂练习
.,,,
)( 2323
的值试确定函数为解析设
nml
lx yxiynxmy
答案,1,3 mnl
证
x
vi
x
uzf
)(,0
y
u
y
v
,0 xvyuyvxu故
,,常数常数所以 vu
,)( 内为一常数在区域因此 Dzf
内为一常数．在区域内处处为零，则在区域如果例
D
zfDzf )( )( 9?
参照以上例题可进一步证明,
,,)( 则以下条件彼此等价内解析在区域如果 Dzf; )( )1( 为常数zf ;0)()2( zf;)( )3( 常数?zf ;)( )4( 解析zf;)](R e [ )5( 常数?zf ;)](I m [ )6( 常数?zf;)7( 2uv?,)( a r g )8( 常数?zf
,)9( 为不全为零的实常数），，（ cbacbvau
小结与思考理解复变函数导数与微分以及解析函数的概念 ;
掌握连续、可导、解析之间的关系以及求导方法,
注意,复变函数的导数定义与一元实变函数的导数定义在形式上完全一样,它们的一些求导公式与求导法则也一样,然而复变函数极限存在要求与
z 趋于零的方式无关,这表明它在一点可导的条件比实变函数严格得多,
在本课中还得到了一个重要结论 — 函数解析的充要条件,
黎曼方程并且满足柯西－内可微在与,),( ),( Dyxvyxu
.,xvyuyvxu
掌握并能灵活应用柯西 — 黎曼方程,
思考题
),(),()( )2(
解析时应注意什么用柯西－黎曼条件判断 yxivyxuzf
)( )1( 00 解析有无区别可导与在在点复变函数 zzzf
思考题答案
,)()1( 00 可导解析必在在点 zzzf 反之不对,
,0 )( 02 处可导在例如 zzzf,0 0 处不解析但在?z; ),( ),( )2( 内是否可微在和首先判断 Dyxvyxu;,:R-C xvyuyvxu条件其次再看是否满足
,)( 的解析性最后判定 zf
一、调和函数的定义二、解析函数与调和函数的关系小结与思考三、求已知实部或虚部的解析函数一、调和函数的定义并且满足拉普拉斯方程有二阶连续偏导数内具在区域如果二元实变函数
,
),( Dyx?
调和函数在流体力学和电磁场理论等实际问题中有很重要的应用,
拉普拉斯22
22xy
称为 Laplace算子注：
,),( 内的调和函数为区域那么称 Dyx?
0,2
2
2
2
yx
二、解析函数与调和函数的关系
1,两者的关系定理 任何在区域 D 内解析的函数,它的实部和虚部都是 D 内的调和函数,
证,)( 内的一个解析函数为设 Divuzfw
.,xvyuyvxu
根据解析函数高阶导数定理（第三章第四节）,
,数具有任意阶的连续偏导与 vu
则满足 C— R方程
,
22
yx
v
xy
v
,0 2
2
2
2
y ux u从而,0 2
2
2
2
y vx v同理
,都是调和函数与因此 vu [证毕 ]
例如,设 f(z)=x-iy,则 u(x,y),v(x,y)都是 z平面上的调和函数,但 f(z)=x-iy在 z平面上处处不解析,
注：定理反之不正确;,
2
2
22
2
2
yx
v
y
u
xy
v
x
u
从而
x
v
y
u
y
v
x
u
,
方程内的调和函数，且满足为区域在设
RC
Dyxvyxu
),(),,(
2,共轭调和函数的定义函数 f(z)在区域 D内的解析的充要条件为虚部为实部的共轭调和函数,
,xvyuyvxu
.的共轭调和函数为则称 uv
显然，由函数解析的充要条件得：
定理思考题可以交换次序？
是否中的共轭调和函数”，其是,vuuv,( 1 )
调和函数是什么？
的共轭的共轭调和函数，那么是如果 vuv ( 2 )
不能交换次序．）（ 1
.,yvxu例如：设
,
( 2 )
u
vuv
调和函数是的共轭的共轭调和函数，那么是如果解答三、求已知实部或虚部的解析函数
1,偏积分法如果已知一个调和函数作为解析函数的实部
u（或虚部 v）,那么就可以利用 C－ R方程求得它的虚部 v （或实部 u ）,这种方法称为 偏积分法,
解例 1
,
,
数和由它们构成的解析函共轭调和函数并求其为调和函数证明
),(
3),( 23
yxv
yxyyxu
,6 xyxu因为,6 2
2
yx u
,33 22 xyyu,6 2
2
yyu
,0 2
2
2
2
y ux u于是,),( 为调和函数故 yxu
,6 xyxuyv因为
yxyv d6 ),(3 2 xgxy
),(3 2 xgyxv
y
u
x
v
又因为,33 22 xy
)(3 2 xgy,33 22 xy
xxxg d3)( 2故,3 Cx )为任意常数C(
,3),( 23 Cxyxyxv
得解析函数
).3(3)( 2323 Cxyxiyxyzf
这个函数可以化为 ).()( 3 Czizf
答案课堂练习
.,
236),( 3223
并求其共轭调和函数调和函数为证明 yxyyxxyxu
.263),( 3322 Cxyxyyxyxv
) 为任意常数C(
例 2
.0)0(,)(,
)s inc o s(),(
fivuzf
yxyxyyeyxv x
使求一解析函数和函数为调已知解,1)s ins inco s( yyxyyexv x
,1)c o ss in( c o s yxyyyeyv x
y
v
x
u
由,1)c o ss i n( c o s yxyyye x
xyxyyyeu x d]1)co ss i n( co s[ 得
),()s i nc o s( ygxyyyxe x
,得由 yuxv
1)s i ns i nc o s( yyxyye x
),()s i nc o ss i n( ygyyyyxe x
,)( Cyyg 故
,)s inc o s( Cyxyyyxeu x 于是
,)1( Czize z
ivuzf)( Ciiyixeiy eexe iyxiyx )1()1(
,0)0(?f由,0?C 得所求解析函数为,)1()( zizezf z
Cdyyvdxxvyxv yx yx ),( ),(
00
),(
dyyvdxxvdv 由于
2,曲线积分法
.),( 00 为任意实常数内一定点，为其中 CDyx
由平面上曲线积分与路径无关的等价条件，上式右端的曲线积分与路径无关．
如果已知一个单连通区域 D内的调和函数 u作为解析函数的实部,那么也可以利用 曲线积分 求得它的虚部 v,
dyxudxyu
RC
.),( ),(
00
Cdyxudxyuyx yx
）．，可取为原点（包含原点，特别，若 00),( 00 yxD
．，也可求出实部类似地，若已知虚部 ),(),( yxuyxv
.),( ),(
00
Cdyxvdxyvyx yx Cdy
y
udx
x
uyxu yx
yx
),(
),( 00),(
dyyudxxudu由,dyx
vdx
y
vRC
y
x
0y
0x
以上各曲线积分可采取两种简单的积分路径（如右图）．
说明：
解例３ 用曲线积分法求解例 1中的解析函数
,3),( 23 yxyyxu实部
).(zf
Cx y dydxxyyx 633(),( )0,0( 22 )
)3(3)( 2323 Cxyxiyxyzf ).( 3 Czi
o x
),( yx
)0,(x
Cdyyvdxxvyxv yx ),( )0,0(),(
Cdyxudxyuyx ),( )0,0(
x y Cx y d ydxx0 02 63
3,23 Cxyx
例４
).( 1)(,)(
,.,22
zfifivuzf
vkyxuk
的并求为解析函数使再求为调和函数使值求
解根据调和函数的定义可得,1k
,2 xxu因为,2 2
2
xu,2 kyyu,2 2
2
kyu
Cxd ydxyyxv yx 2)2(),( ),( )0,0(
,)2()( 222 iCzCxyiyxzf
,1)(if由,0?C得,2)( 222 zxy iyxzf
CxyCxdyy 220 0
小结与思考本节学习了调和函数的概念、解析函数与调和函数的关系以及共轭调和函数的概念,
应 注意 的是,1,任意两个调和函数 u与 v所构成的函数 u+iv不一定是解析函数,
2,满足柯西 — 黎曼方程 ux= vy,vx= –uy,的 v称为 u
的共轭调和函数,u与 v注意的是地位不能颠倒,
一、指数函数二、对数函数四、三角函数与双曲函数三、幂函数五、反三角函数与反双曲函数小结与思考这里的 ex是实指数函数一、指数函数
( c o s s i n )z x i y xe e e y i y
e x p ( c o s s i n )xz e y i y也 可 表 示 为
1.指数函数的定义,
z将 此 函 数 称 为 复 变 数 的 指 数 函 数,
定义 对于任何复数 z=x+iy,规定
,,
( c o s s in )
z
x
e
e y i y?
注 意 没 有 幂 的 意 义 只 是 一 个 符 号代 表实的正余弦函数复指数函数与实指数函数保持一致,
2,指数函数的性质不存在．极限 lim )6( zz e；且在复平面内处处解析，）（ zzz eee)( 3；加法定理 2121 )4( zzzz eee；时，，即当 xezfRxzz )( 0Im )1(
,2 xz ee?）（ ),( 2)( ZkykeA rg z ; 0 ze
为周期的函数．是以 ),2,1(2 )5(kike z?
(1) 证明加法定理 1 2 1 2()z z z ze e e
证,,222111 iyxziyxz设
12zzee左 端
1
2
11
22
(co s s i n )
(co s s i n )
x
x
e y i y
e y i y
)]s i nc o sc o s[ ( s i n
)]s i ns i nc o s[ ( co s
2121
2121
21
yyyyi
yyyye xx
)]s in ()[ c o s ( 212121 yyiyye xx
12(),zze 右 端几点说明：
加法定理不能利用实数中的同底数幂的乘法法则予以证明不存在的说明极限 lim )2( zz e
是周期函数的说明ze )3(；，有数由加法定理，对任意复 ikzikz eeez 22
，有数由欧拉公式，对任意整 k
,2 zikz eez，有从而对任意复数为周期的函数．是以所以 ),2,1(2kike z?；1)2s i n ()2c o s (2 kike ik
因为,；时，沿实轴趋向于当 zez
．时，沿实轴趋向于当 0 zez
例 1 );R e ()3(;)2(;)1(,
1
2 2 zzzi eeeiyxz 求设解 )s i n( c o s yiyeee xiyxz因为
,c o s)R e (,yeeee xzxz 实部所以其模
zie 2)1(? )(2 iyxie,)21(2 yixe ;22 xzi ee
2)2( ze 2)( iyxe,222 x y iyxe ;222 yxz ee
ze
1
)3( yixe?1,2222 yx
yi
yx
x
e?
.co s)R e( 22
1
22
yx
yee yx xz
例 2
解求出下列复数的辐角主值,
.)4(;)3(;)2(;)1( 4343322 iiii eeee
)s i n( c o s 的辐角因为 yiyeee xiyxz
)(2A r g 为整数kkye z
,],(- a r g 内的一个辐角为区间其辐角主值ze
)1(,21A r g 2 ke i ;1a r g 2 ie
)2(,23A r g 32 ke i ;3a r g 32 ie
,24 A r g( 3 ) 43?ke i ;24a r g 43 ie
,24 A r g( 4 ) 43?ke i ;24a r g 43 ie
二,对数函数
1,定义说明：
2.计算公式
，称为对数函数．的函数满足方程 )()0( zfwzze w
．记作,L n zw?
ivuwrez i,?令
.的反函数是指数函数对数函数 wezL n zw
)(2,Zkkvre u
A r g zvru,ln
i A r g zrL n zw ln
.ln i A rg zzL n zw
zeL n zw wiivu ree
由于 Argz的多值性导致 w=Lnz是一个具有无穷多值的多值函数．
规定,为对数函数 Lnz的主值．
于是：
.ln i A r g zzL n zw
zizz a r glnln
)( 2ln ZkikzL n zw
,Ln
,,
的一个分支称为上式确定一个单值函数对于每一个固定的
z
k
.
,lnln Ln,0
是实变数对数函数的主值时当 xzzxz特殊地,
例 3
解
,)1(Ln,2Ln 以及与它们相应的主值求?
,22ln2Ln ik因为
l n 2,L n 2 的主值就是所以
)1(A r g1ln)1(Ln i因为
)()12( 为整数kik
,1)Ln ( i 的主值就是所以注意,在实变函数中,负数无对数,而复变数对数函数是实变数对数函数的拓广,
例 4
解
.031 ie z解方程
,31 ie z因为
)31(Ln iz所以
kii 2331ln
ki 232ln
),2,1,0(k
例 5
解
).3(Ln)3();33(Ln)2();32(( 1 ) L n
,
ii
求下列各式的值
)32(( 1 ) L n i
)32(A r g32ln iii
.223a r ct a n13ln21 ki
),2,1,0(k
.6232ln ki ),2,1,0(k
)3(Ln)3(? )3(A r g3ln i
.)12(3ln ik ),2,1,0(k
)33(Ln)2( i?
)33(A r g33ln iii
ki 2
3
3a r c t a n32ln
３,对数函数的性质
,LnLn)(Ln)1( 2121 zzzz
,LnLnLn)2( 21
2
1 zz
z
z
且处处可导和其它各分支处处连续主值支的复平面内包括原点在除去负实轴
,,
,)( )3(
.1)Ln(,1)( ln zzzz
说明两端都是无穷多个数构成的两个数集,对于左端的任一值,右端必有值与它相对应．反之也成立．
由于对数函数的多值性,对性质 (1)和 (2),
证 (3),iyxz设,0 时当?x
,a rgli m0 zy,a rgli m0 zy
.
ln,,
处处连续在复平面内其它点除原点与负实轴所以 z
,
ln a r g
是单值的内的反函数在区域 zwzez w
w
ez
z
w
d
d
1
d
lnd
[证毕 ]
.1z?
三、幂函数
1,幂函数的定义
,,0 定义为函数幂为复常数设 zwz
注意,
一般也是多值函数．
是多值的，因而幂函数由于
L n zezw
i A r g zzz
lnLn
zez Ln
．时，为正实数且规定,00 zz
,2ln ikz ee
,是单值的幂函数?zw?
,0),( )2( 时为互质的整数与为有理数当?qqpqp?
iqpkik
ee
2 2
,个值具有 qz?,1,,2,1,0 时相应的值即取 qk?
,)1( 时为整数当 n?
Ln zezikze 2ln
,)3( 有无穷多值．为无理数或虚数时当 αz?
π,2s i nπ2c o s qpkiqpk
,1 2 2 iknik ee
由对数函数的定义，
),2,1,0(k
例 6,1 2 的值和求 ii
解 L n 1221 e? ike?22
)22s i n ()22c o s ( kik,,2,1,0k其中
iii ei Ln
ikiie 22
ke 22,,2,1,0k其中答案课堂练习,3)( 5?计算
),2,1,0(
].)12(5s in)12(5[ c o s3)3( 55
k
kik
例 7,2 1 的值及其主值求 i?
解
2Ln)1(12 ii e
)22( l n)22( l n kike
,,2,1,0k其中
) 2l n 2)(1( ikie
)]22s i n ( l n)22[ c o s ( l n 22ln kike k
)]2s i n ( l n)2[ c o s ( l n2 2 ie k
)]2s i n ( l n)2[ co s ( l n2 0 ik 时，得其主值为例 8,)(1 的辐角的主值求 ii?
解 )L n ( 1)1( iii ei
ikiie 242ln21
,,2,1,0k其中
)]1(A r g1ln[ iiiie
2ln2124 ike
2ln
2
1s i n2ln
2
1co s 24 ie k
l n 2,21 )(1 的辐角的主值为故 ii?
2,幂函数的解析性
,)1( 的在复平面内是单值解析幂函数 nz
,)( 1 nn nzz
内是解析的,
,
) ( ( 2 )
函数是一个多值情况外除去幂函数 nzw
.)( 1 zz
它的 各个分支在除去原点和负实轴的复平面四、三角函数和双曲函数
1.正弦与余弦函数
,s i nc o s yiye iy因为,s nc o s yiye iy
将两式相加与相减,得
,2c o s
iyiy ee
y
,2s in ieey
iyiy
现在把余弦函数和正弦函数的定义推广到自变数取复值的情况,
c o s,2
i z i zee
z
余 弦 函 数 为,
s 2in,
iz izee
iz
正 弦 函 数 为定义 对任意的复数 z,规定 z的性质,
都为单值函数；及 zz co s s i n )2(
c o sc o s,s i ns i n
0Im )1(
是实三角函数；
时，，即当
xzxz
Rxzz
为周期的周期函数；都是以及?2co s s i n )3( zz
.co s)co s (,s in)s in ( zzzz
(5) 遵循通常的三角恒等式，如
.1c o ss i n
,s i nc o sc o ss i n)s i n (
,s i ns i nc o sc o s)c o s (
22
212121
212121
zz
zzzzzz
zzzzzz?
.s i n)( c o s,c o s)( s i n zzzz
是偶函数；是奇函数,zz co s s i n )4(
数；在复平面内都为解析 函及 zz co s s i n )6(
,s in,c o s,2
yyee
y y i y ii
当 时
(注意：这是与实变函数完全不同的 )
sinz的零点 ( sinz=0的根 )为 z=n?,
cosz的零点 ( cosz=0的根 )为 z=(n+1/2)?；
n=0,1,?2,··
2s in 0 0
i z i z
i z i zeeze
i e
2 1 ize z n n Z
(7)
(8) sinz,cosz在复数域内均是无界函数．
2.其它复变数三角函数的定义
,c o ss i nt a n zzz?正切函数,s inc o sc o t zzz?余切函数
,c o s1s e c zz?正割函数,s in1c s c zz?余割函数
,,,
,c o s s in
解析性奇偶性周期性我们可以讨论它们的类似和与 zz
1.都是相应实函数的推广
2.定义域,tanz,secz的定义域为 z(k+1/2)?
cotz,cscz的定义域为 zk?
3.它们都在自己的定义域内解析
(tanz)?=sec2z,(cotz)?=-csc2z
(secz)?=tanzsecz (cscz)?=-cotzcscz
4,tanz cotz的周期是?
secz cscz的周期是 2?
5 sec 是偶函数
tanz cotz,cscz是奇函数例 9,)1(c o s 的值求 i?
解 2)1c o s (
)1()1( iiii ee
i
2
11 ii ee
)]1s in1( co s)1s in1( co s[21 1 ieie
1s i n)(211co s)(21 11 ieeee
定义
3,双曲函数性质
.
,
的定义完全一致函数它与高等数学中的双曲时为实数当 xz
.2sh
zz ee
z
双曲正弦,
2ch
zz ee
z
双曲余弦
.th zz
zz
ee
eez
双曲正切
.c o t h zz
zz
ee
eez
双曲余切
.ch,sh,是偶函数是奇函数容易证明 zz
它们的导数分别为
,ch)sh( zz
并有如下公式,
它们都是以 为周期的周期函数,i?2
.sh)ch( zz
参见课本
P51
,s i nsh iziz,c o sch izz?
,ta nth iziz,co tco th iziz?
例 10
解,iyxz设
,1shs i n iz?解方程
)s i n (s i n yixz
yxiyx shco schs i n?,1shi?
0,chs i n?yx故有 1shshc o s?yx
,0ch?y因为,0s in?x所以, kx
,1sh)1(sh ky
,3,1,1
,4,2,0,1
k
ky
,2,1,0,)12(,2
n
in
inz即得代入将 1shshc o s yxkx?
五、反三角函数和反双曲函数
1,反三角函数的定义
.co sArc
,,co s
zw
zwwz
记作的反余弦函数为那么称设
,2c o s
iwiw ee
wz
由,012 2 iwiw zee得
,1 2 zze iw方程的根为两端取对数得
).1L n(c o sA r c 2 zziz
为双值函数．其中 12?z
同样可以定义反正弦函数和反正切函数,
),1L n(A r c s i n 2ziziz
.Ln2A r c t a n zi ziiz
2,反双曲函数的定义
),1L n ( A rs h 2 zzz反双曲正弦
),1Ln (h A r 2 zzzc反双曲余弦
.11Ln21 Art h zzz反双曲正切
.11Ln21 A rc o t h zzz反双曲余切例 11
解
).32t a n ( A r c i?求函数值
)32t a n ( A rc i
)32(
)32(Ln
2 ii
iii
i
ii
22
42Ln
2
kii 2
3
1a r c t a n
2
5ln
2
.31a r c t a n212125ln4
ki
,,2,1,0k其中
22
3Ln
2
ii
小结与思考复变初等函数是一元实变初等函数在复数范围内的自然推广,它既保持了后者的某些基本性质,
又有一些与后者不同的特性,如,
1,指数函数具有周期性 ) π2 ( ik周期为
2,负数无对数的结论不再成立
3,三角正弦与余弦不再具有有界性
4,双曲正弦与余弦都是周期函数思考题
１．实变三角函数与复变三角函数在性质上有哪些异同?
思考题答案两者在函数的奇偶性、周期性、可导性上是类似的,而且导数的形式、加法定理、正余弦函数的平方和等公式也有相同的形式,
最大的区别是,实变三角函数中,正余弦函数都是有界函数,但在复变三角函数中,
,1c o s 1s i n 不再成立与 zz
(3)(4)
错了
２．指出下列解法有何错误．
22( 1 ) zz
22( 2 ) L n L nzz
( 4 ) 2 L n 2 L nzz
(5 ) L n L nzz
荒谬透顶！！！
L n ( 1 ) ( 2 1 ) 0,1,2,
L n( 1 ) 2 0,1,2,
k i k
k i k
因 为决不会相等！！！
原因
Bernoulli
悖论
( 3 ) L n L n L n L nz z z z
Lnz是集合记号，应该理解为两个集合相加
A={0,1}
A+A={0,1,2}
2A={0,2}
A+A?2A
