复变函数与积分变换
§3.1 复积分的概念一、复积分的定义二、积分存在的条件及其计算法三、积分的性质一、复积分的定义
1.有向曲线,
设 C为平面上给定的一条光滑 (或按段光滑 )曲线,如果选定 C的两个可能方向中的一个作为正方向 (或正向 ),那么我们就把 C理解为带有方向的曲线,称为 有向曲线,
x
y
o A
B如果 A到 B作为曲线 C的正向,
那么 B到 A就是曲线 C的负向,
,?C记为闭曲线正向的定义,
简单闭曲线 C的正向是指当曲线上的点 P顺此方向前进时,
邻近 P点的曲线的内部始终位于 P点的左方,
x
y
o P
P
PP
与之相反的方向就是曲线的负方向,
曲线方向的说明,
一般,曲线 C的正方向总是指从起点到终点的方向,
那么终点到起点的方向就是曲线 C的负向,记为 C-
对分段光滑的闭曲线而言,逆时针方向为正方向,顺时针方向为负方向特别申明 今后所说的曲线总是指光滑或逐段光滑曲线,特别说明的例外,
2.复积分的定义,
,,,,,,,
,
,
,)(
110
BzzzzzA
nC
BAD
CDzfw
nkk
设分点为个弧段任意分成把曲线的一条光滑的有向曲线终点为内起点为为区域内定义在区域设函数
o x
y
A
B
1?nz
kz
1?kz2z1z
k?
C
1? 2?,
),,2,1(
1
k
kk
nk
zz
上任意取一点在每个弧段
,)()()(
11
1 k
n
k
k
n
k
kkkn zfzzfS
作和式
o x
y
A
B
1?nz
kz
1?kz2z1z
k?
C
1? 2?
},{m a x 1 knk s记
,,11 的长度这里 kkkkkk zzszzz
,0 时无限增加且当n
,)(
,
,
记为的积分沿曲线函数那么称这极限值为一极限有唯的取法如何的分法及如果不论对
Czf
SC
nk
.)(l i md)(
1
k
n
k
knC zfzzf
关于定义的说明,
,d)(
,)1(
C
zzf
C
记为那么沿此闭曲线的积分是闭曲线如果
,
),(
)(,)2(
定积分的定义实变函数这个积分定义就是一元而轴上的区间是如果
xu
zfbxaxC
二、积分存在的条件及其计算法
1,存在的条件
.d)(
,)(
一定存在积分是光滑曲线时是连续函数而如果
C zzf
Czf
证,kkk i设
)( 111 kkkkkkk iyxiyxzzz
)()( 11 kkkk yyixx
,kk yix
k
n
k
k zf
1
)(?所以
n
k
kkkkkk yixviu
1
))](,(),([
n
k
kkkkkk
n
k
kkkkkk
yuxvi
yvxu
1
1
]),(),([
]),(),([
根据曲线积分的存在定理,
,),(),()( 内处处连续在由于 Dyxviyxuzf
,),( ),( 内均为连续函数在和那么 Dyxvyxu
当 n 无限增大而弧段长度的最大值趋于零时,
,
,),(,
下式两端极限存在的取法如何点的分法任何不论对 kkC
n
k
kkkkkk
n
k
kkkkkk
n
k
kk
yuxvi
yvxuzf
1
11
]),(),([
]),(),([)(
C zzf d)(C yvxu ddC yuxv dd? i?
,ddd )( 相乘后求积分得到与 yixzivuzf
C zzf d)( C yixivu )dd)((
C yvyiuxivxu dddd
.dddd CC yuxviyvxu
C zzf d)(C yvxu ddC yuxv dd? i?
在形式上可以看成是公式
2,积分的计算法
.
d)(
积分来计算函数的线可以通过两个二元实变?
C
zzf
ttytytxutxtytxvi
ttytytxvtxtytxuzzf
C
d)}()](),([)()](),([{
d)}()](),([)()](),([{d)(
ttyitxtytxivtytxu d)}()() ] }{(),([)](),([{
.d)()]([ ttztzf
.,),()()(
ttyitxtzz
C 由参数方程为设光滑曲线
ttztzfzzfC d)()]([d)(
则光滑曲线相互连接所组成的按段等光滑曲线依次是由如果
,
,,,21 nCCCC?
C zzf d)(,d)(d)(d)( 21 nCCC zzfzzfzzf?
在今后讨论的积分中,总假定被积函数是连续的,
曲线 C 是按段光滑的,
例 1
解
,43,,d 的直线段从原点到点计算 iCzzC
直线段方程为 1.0,)43( ttiz
,d)43(d tiz
d)43(d 10 2 ttizzC d)43( 102 tti,)43(
2
1 2i
)dd)((d CC yixiyxzz又因为
dddd CC yxxyiyyxx
这两个积分都与路线 C 无关
,43 曲线的是怎样从原点到点所以不论 iC?
,)43(21d 2izz
C
都有例 2
解
,1 1 ( 3 ); 1 ( 2 ); 1 ( 1 )
,,dRe
2
的折线再到轴到点从原点沿的弧段上从原点到点抛物线的直线段从原点到点为其中计算
ix
ixy
i
Czz
C
(1) 积分路径的参数方程为
),10()( titttz
,d)1(d,Re tiztz于是
C zzdRe 10 d)1( tit );1(21 i x
y
o
i1
1
i
(2) 积分路径的参数方程为
x
y
o
i1
1
i
2xy?
),10()( 2 titttz
,d)21(d,Re ttiztz于是
C zzdRe 10 d)21( titt
1
0
3
2
3
2
2?
tit;3221 i
x
y
o
i1
1
i
2xy?
(3) 积分路径由两段直线段构成
x轴上直线段的参数方程为 ),10()( tttz
1到 1+i直线段的参数方程为 ),10(1)( tittz
,dd,Re tztz于是
,dd,1Re tizz于是
C zzdRe10 d tt10 d1 ti
.21 i
此例说明积分 与路线有关．C zzdRe注：
例 3
解
.,
,,d
)(
1
0
0
为整数径的正向圆周为半为中心为以求
n
rzCz
zzC n
C的参数方程为 ),π20(0irezz
C n zzz d)( 1
0
π20 d
inn
i
er
ir e
π2
0
)1(
1 d?
ni
n er
i
π2
0
2
01 d)1s i n ()1c o s (
nidn
r
i
n
.1,0
,1,2
n
ni?
rzz
n zzz
0
d
)(
1
0?
.1,0
,1,2
n
ni?
重要结论,积分值与路径圆周的中心和半径无关,
所以三、积分的性质复积分与实变函数的定积分有类似的性质,;d)(d)()1( CC zzfzzf
)(;d)(d)()2( 为常数kzzfkzzkf CC;d)(d)(d)]()([)3( CCC zzgzzfzzgzf
CC MLszfzzfMzf
CzfLC
.d)(d)(,)(
)(,)4(
那末上满足在函数的长度为设曲线估值不等式性质 (4)的证明
,1 两点之间的距离与是因为 kkk zzz
,度为这两点之间弧段的长ks?
k
n
k
k zf
1
)(?所以?
n
k
kk zf
1
)(
n
k
kk sf
1
)(?
两端取极限得,d)(d)( CC szfzzf
n
k
kk sf
1
)(?因为?
n
k
ksM
1
,ML?
.d)(d)( MLszfzzf CC所以 [证毕 ]
例 4
解
,d
1
,43
绝对值的一个上界试求积分的直线段为从原点到点设
C
z
iz
iC
1)(0,)43( ttizC 的参数方程为根据估值不等式知
C ziz d1 C siz d1
ittizC )14(3
11,
上因为在
22 )14()3(
1
tt
25
9
25
4
25
1
2
t,3
5?
C ziz d1 从而 C sd35 325?
.325d1C ziz故
5?
小结与思考本课学习了复积分的定义、存在条件以及计算和性质,应注意复变函数的积分有跟微积分学中的线积分完全相似的性质,本课中重点掌握复积分计算的一般方法,
思考题
d)( )(
一致与一元函数定积分是否的积分定义式复函数?
C
zzfzf
,],[是实轴上区间若 C,d)(d)( xxfzzf
C
则
,)( 是实值的如果 xf 即为一元实函数的定积分,
.d)(,
,,d)(
)(,
C
zzf
zzf
zf
必须记作线的限制要受积分路因为这是一个线积分记作的积分的函数终点为一般不能把起点为
思考题答案
§3.2 柯西积分定理一、问题的提出二、基本定理四、原函数三、复合闭路定理一、问题的提出观察上节例 1,
,)( 在复平面内处处解析被积函数 zzf?
此时积分与路线无关,
观察上节例 2,
,Re)( xzzf被积函数柯西－黎曼方程,故而在复平面内处处不解析,
,dRe 与路线有关此时积分值 zzc?
由于不满足
.,域但此区域已不是单连通的内部函数处处解析C
由以上讨论可知,积分是否与路线有关,可能决定于被积函数的解析性及区域的连通性,
受此启发,柯西 (Cauchy)于 1825年给出如下定理,
观察上节例３,
,1 0
0zz
n 时为被积函数当
c izzz,02d1
0
此时的虽然在除去 0z
说明积分与路线有关．
D
二、基本定理
.0d)(,
)(
,)(
c zzf
CDzf
Dzf
的积分为零内的任何一条封闭曲线沿那么函数内处处解析在单连通域如果函数柯西积分定理
C
定理中的 C 可以不是简单曲线,
1851年，黎曼在附加假设“
在 D内连续,的条件下，得到一个如下的简单证明．
)(zf?
黎曼证明 ),,(),()(,yxivyxuzfiyxz令
C,)( C C u d yv d xiv d yu d xdzzf则且满足 C—R方程：
内连续，在则 Dvvuu yxyx,,,
xyyx vuvu,
由格林公式
.0,0 CC u d yv d xv d yu d x
C dzzf,0)( 从而定理又称为 柯西－古萨定理,
内连续”的假设,发表上述定理新的证明方法．因此，
1900年,法国数学家 古萨（ Goursat） 免去,在 D)(zf?
古萨介绍内连续，在而 Dzf )(?
D D
0z 1z0z 1z?
1C
2C
1C
2C
,,10 zz 终点为如果曲线起点为
21
d)(d)(
CC
zzfzzf 1
0
d)(zz zzf
解析函数在单连通域内的积分与路线无关．
由定理得内处处解析，那么在单连通区域如果函数 Dzf )(
无关．与路线那么积分 CdzzfC? )(
即：
如图，
则关于定理的说明,
(1) 如果曲线 C 是区域 Ｄ 的边界,)( 在函数 zf
,上解析即在闭区域 CDD,上解析内与 CD
c zzf,0d)( 那么
(2) 如果曲线 C 是区域 Ｄ 的边界,)( 在函数 zf
,上连续在曲线 C,内解析D 定理仍成立,
例 1
解
5 2,)dc o s2( z z zzez计算积分
,5 c o s2 2 上解析在闭区域函数 zzez z
根据柯西－古萨定理,有
5 2,0)dc o s2(z z zzez
说明,本题若用复积分的计算公式，将很复杂．
例 2
.65
1 2iz
z
dzzz e计算积分解
,3,2 652 zzz e
z
的奇点为函数
,1 652 上解析闭区域在即 izzz e
z
根据柯西－古萨定理得
,065
1 2
iz
z
dzzz e
都在曲线
,1 外部 iz
三、复合闭路定理
1,闭路变形原理
,)( 内解析在多连通域设函数 Dzf
),(
1
正向为逆时针方向单闭曲线内的任意两条简为及 DCC
.
11
D
DCC
全含于为边界的区域及
,BBAA 和作两段不相交的弧段 ︵︵
D
C
1D
A A?
BB?1C
D
C
1C
1D
A A?
BB?
E
E?
F
F?
,1 AAEBA E BL记
,2 BFABFAAL
,,,,FFEE添加字符
,)( 21 所围闭区域上解析及在由于 LLzf
,0d)(
1?
L zzf故,0d)(
2?
L zzf
C zzf d)(
1
d)(C zzf
从而有
,0d)(d)(
1
CC zzfzzf即
.d)(d)(
1
CC zzfzzf或
︵
AA zzf d)( AA zzf d)(︵
BB zzf d)(
︵?
BB zzf d)(
︵,0?
解析函数沿闭曲线的积分,不因闭曲线在区域内作连续变形而改变它的值,闭路变形原理说明,在变形过程中曲线不经过函数 f(z) 的不解析的点,
D
C
1C1D
A A?
BB?
E
E?
F
F?
,
1
1
CC
CC
成一条复合闭路看及闭曲线如果我们把这两条简单,的正方向为?
,按逆时针进行外面的闭曲线 C
,1 按顺时针进行内部的闭曲线 C
),
,(
的左手边内部总在的的正向进行时即沿
.0 )( dzzf那么即柯西积分定理对于以两条闭曲线（复合闭路）
为边界的多连通区域仍成立．
2,复合闭路定理
,
,,,,,
,,,,
,
21
21
D
CCCC
CCCC
DC
n
n
为边界的区域全含于并且以互不包含也互不相交它们内部的简单闭曲线是在内的一条简单闭曲线多连通域为设
,)( 内解析在如果 Dzf
D
C
1C
2C
3C
那么
,d)(d)()1(
1
n
k CC k
zzfzzf; 均取正方向及其中 kCC
D
C
1C
2C
3C
.0d)()2( zzf
.,,,,
,,
,,,,,
21
21
21
按顺时针进行时针进行按逆其方向是即组成的复合闭路为由这里
n
n
n
CCC
CCCCC
CCCC
这个定理是计算闭线内部有多个奇点的积分的有效工具 !!!
,1
2,d
所组成向圆周和负为正向圆周计算积分
z
zz
z
e z
例 3
x
y
o 1 2
1C
2C解,21 围成一个圆环域和 CC
,
上处处解析在此圆环域和其边界函数
z
e z
圆环域的边界构成一条复合闭路,
根据闭路复合定理,.0d
zze
z
例 4
,
,,d
)(
1
为整数的任一简单闭路为含求
n
aCz
azC n
解,内部在曲线因为 Ca
C
a?
,?故可取很小的正数
,C,1 内部含在使 azC
1C
,
)(
1
1
内处处解析为边界的复连通域在以
CC
az n
由闭路变形原理,
此结论非常重要,用起来很方便,因为 C不必是圆,a也不必是圆的圆心,只要 a在简单闭曲线
C内即可,
重要积分公式
2,1
0,1,
in
n
,1,0
1,2
d
)(
1
n
ni
z
azC n
故
1
d)( 1d)( 1
C
n
C
n zazzaz
C
a?
1C
解（方法一）
,1 0
12
2
zz
zz
z
和内有两个奇点平面在复因为被积函数依题意知,
x
y
o1
C
C 也 包 含 这 两 个 奇 点,
例 5
,
1,d
12
2
曲线在内的任何正向简单闭为包含圆周计算积分
C
zCz
zz
z
C
z
zz
d
1
11
.4 i
C
zzz z d12 2
由上例的结论，
ii 2 2
C C
z
z
z
z
d
1
1d1
（方法二）
x
y
o1
C
.411:,41,21 zCzCC 内作两个正向圆周在根据复合闭路定理,
1C 2C
分割包围 !
21
d12d12 22
CC
z
zz
zz
zz
z
2211
d1d11d1d11
CCCC
zzzzzzzz
0220 ii
柯西积分定理重要公式柯西积分定理重要公式
C
zzz z d12 2
.4 i
四、原函数由柯西积分定理，
1,变上限的积分,
解析函数在单连通域内的积分与路线无关．
,,10 zz 终点为如图，如果曲线起点为 D
0z 1z?
1C
2C
21
d)(d)(
CC
zzfzzf 1
0
d)(zz zzf
0 1 1,,,z z D z z?如 果 固 定 让 在 内 变 动 并 令
0
( ) ( ) d,zzD F z f便 可 确 定 内 的 一 个 单 值 函 数则
D
z
0z
0
( ),
( ) ( ) d
,( ) ( ),
z
z
f z D
F z f D
F z f z
如 果 函 数 在 单 连 通 域 内 处 处 解 析那 末 函 数 必 为 内 的 一 个 解析 函 数 并 且定理证 利用导数的定义来证,
,zD设 为 内 任 一 点定理
,内在充分小使取 Dzzz
,)( 的定义由 zF
zz
D
z zz
)()( zFzzF zzzzz ff
00
d)(d)(
(1) 由于积分与路线无关,
0 0
( ) d zzz f z z 的 积 分 路 线 可 先 取 到
,zzz沿直线到然后从
0z
)
d)(,(
0
路线相同的这一段与注意?
z
z
f
0
() )dd (zzzzz ff( ) ( )F z z F z 0 ( ) d
z
z f
.d)( zzz f
)()( zFzzF,d)(?
zz
z f
zzz zf?d)( 因为 zzzzf?d)(,)( zzf
D
z zz
0z
)()()( zfz zFzzF
)(d)(1 zffz zzz
d)]()([1 zffz zzz
所以
( ),f z D因 为 在 内 解 析 ( ),f z D? ( 2) 在 内 连 续
.)()(,0,0 zffz 时，当故
)()()( zfz zFzzF d)]()([
1 zff
z
zz
z
szff
z
zz
z
d|)()(|1?
.1 zz
,0)()()(lim
0
zfz zFzzF
z
于是
).()( zfzF即此定理与微积分学中的对变上限积分的求导定理完全类似,
[证毕 ]
由积分的估值性质,时，当 z
2,原函数的定义,
,)( d)()(
0
的一个原函数是显然 zffzF zz
原函数之间的关系,; )( 一个常数的任何两个原函数相差zf
的原函数．为的函数内，称满足条件在区域
)()(
)()(
zfzF
zfzFD
它就有无穷多个原函数,
)( )(,内有一个原函数在区域若 zFDzf 那么其全体原函数可表示为为任意常数）,CCzF ()(?
定理 (复积分的 Newton-Leibnitz公式 )
.,
)()(d)(
,)( )(
,)(
10
01
1
0
内的两点为域这里则的一个原函数为内处处解析在单连通域如果函数
Dzz
zGzGzzf
zfzG
Dzf
z
z
证,)( d)(
0
原函数也是因为 zfzzfzz?,)( d)(
0
CzGzzfzz则
,0 时当 zz? )(0
0 CzG得
)()( d)( 0
0
zGzGzzfzz所以,)()( d)( 011
0
zGzGzzfzz
说明,有了以上定理,复变函数的积分就可以用跟微积分学中类似的方法去计算,
,)( 0zGC
例 6
解
,d 1
0
的值求? zz zz
,是解析函数因为 z,21 2z它的原函数是
21 d
1
0
1
0
2
z
z
z
z
zzz ).(
2
1 2
0
2
1 zz
例 7,dc o s
0
2 的值求 i zzz
解 i zzz
0
2 dc o s i zz
0
22 dco s
2
1
i
z
0
2s in
2
1
)s i n (21 2,s i n21 2
例 8,dc o s 0 的值求? i zzz
i zzz0 dco s i zz0 )( s i nd
ii zzzz 00 ds in]s in[
解
izii 0c o ss i n
.11e
使用,―分部积分法,
,d 11 的值求 i z zze
).1s i n1( c o s iie?
课堂练习答案
1c o ss i n iii
).c o s1(),s in(:π20
,d)182( 2
ayaxa
Czzz
C
的摆线到是连接其中的值求例 9．
解,182 2 在复平面内处处解析因为函数 zz
所以积分与路线无关,根据 N-L公式,
C zzz d)182( 2 a zzz20 2 d)182(
a
zzz
2
0
23 4
3
2,216
3
16 2233 aaa
小结与思考
1,通过本课学习,重点掌握柯西积分定理,
.0d)(,
)(
,)(
c zzf
CDzf
Dzf
的积分为零内的任何一条封闭曲线沿那末函数内处处解析在单连通域如果函数并注意定理成立的条件,
2.本课所讲述的复合闭路定理与闭路变形原理是复积分中的重要定理,掌握并能灵活应用它是本章的难点,
常用结论,
,1,0
1,2d
)(
1
n
niz
azC n
的任意一条闭曲线．为包围点其中 aC
3.本课介绍了原函数、的定义以及牛顿 —莱布尼兹公式,在学习中应注意与,高等数学,中相关内容相结合,更好的理解本课内容,
d)()(
0?
zz fzF )(d)( czFzzf
)()(d)( 011
0
zGzGzzfzz
1,应用柯西 –古萨定理应注意什么?
2,解析函数在单连通域内积分的牛顿 –莱布尼兹公式与实函数定积分的牛顿 –莱布尼兹公式有何异同?
思考题思考题答案
1,应用柯西 –古萨定理应注意什么?
(1) 注意定理的条件“单连通域”,
(2) 注意定理的不能反过来用,
,0 2
1
1
2
3
2
1
1
)(,
1
iz
zz
z
zf
z
，但是该区域内一条闭曲线内解析，单位圆在多连通区域反例
1 )(,内处处不解析，但在单位圆反例 zzzf
,)( 0,d)( 内处处解析在而说即不能由 CzfzzfC
1 dz zz2
0 1 die
i,0)s i n( c o s2
0
dii
2,解析函数在单连通域内积分的牛顿 –莱布尼兹公式与实函数定积分的牛顿 –莱布尼兹公式有何异同?
两者的提法和结果是类似的,;,,
,)(
0 都是复数因而且积分路线是曲线为单连域中的解析函数但在复积分中要求
zzC
zf
.,,
],[ )(
都是实数数上的连续实函为区间在实积分中要求
xa
baxf
两者对函数的要求差异很大,
§3.3 柯西积分公式一、问题的提出二、柯西积分公式三、最大模原理一、问题的提出
,,0 中一点为为一单连通域设 DzD
d)(
0
C zzz zf 一般不为零．
,)(,)( 0
0
不解析在则内解析在 zzz zfDzf?
根据闭路变形原理知,该积分值不随闭曲线 C 的变化而改变,如何计算这个值？
0 的闭曲线，围绕 z
如果内为 DC
).0(d)( d)(
0
0
0
CC
zzz zfzzz zf
,
,
0
0
zz
zC
的正向圆周半径为很小的为中心取作以积分曲线
,)( 内连续在 Dzf?
),()( 0 )( 0zfzfzfC 时，的值当上函数在?
C zzz zf d)(
0
0 ).(2d1)(
0
0
0 zifzzzzf C
)( 解析内在由 Dzf 从而事实上两者相等二、柯西积分公式定理
,
,)(
0 内任一点为上连续，在内解析所围区域在简单闭曲线设函数
DzCDD
DCzf
D?0zC证,)( 0 连续在因为 zzf
,0则,0
C zzz
zf
i
zf,d)(
π2
1)(
0
0
,0 时当 zz,)()( 0 zfzf
柯西积分公式则
,:
)(,
0
0
的内部全在的正向圆周半径为为中心设以
DRzzK
RRz
C zzz zf d)(
0
K zzz zf d)(
0
KK zzz zfzfzzz zf d)()(d)(
0
0
0
0
K zzz zfzfzif d)()()(2
0
0
0
则
D
0zC KR
.π22 RR?
K
z
zz
zfzf d)()(
0
0而
,0d)()(
0
0?
K
zzz zfzf
任意性，的由?
．从而 )( 2d)( 0
0
zifz
zz
zf
C
关于柯西积分公式的说明,
(1) 把函数在 C内部任一点的值用它在边界上的值表示,(这是解析函数的又一特征 )
(2) 公式不但提供了计算某些复变函数沿闭路积分的一种方法,而且给出了解析函数的一个积分表达式,(这是研究解析函数的有力工具 )
C Czzifzzz zf ).( )( 2d)( 00
0
的内部在?
C Czzfizf ),( d)( 2 1)( 的内部在
（ 用于计算沿闭曲线的积分 ）
（ 解析函数的积分表达式 ）
(3) 一个解析函数在圆心处的值等于它在圆周上的平均值,
)( 00 上连续，内解析，在在如果 RzzRzzzf
.d)(π2 1)( π20 00ieRzfzf
（解析函数的平均值公式）
则即
0 的参数方程为，则表示圆周设 CRzzC证
).20( 0 ieRzz
由柯西积分公式：
C zzz zfizf d)(π2 1)(
0
0
20 0 ) ( 2 1 deR eiReRzfi i
ii
,) (2 1 20 0 deRzf i
(4) 柯西积分公式可推广到由若干条简单闭曲线所围成的多连通区域情形．即若 C为一条复合闭路，
则柯西积分公式仍成立．
C zzz zfizf d)(π2 1)(
0
0
1C
D
2C?
0z
21
d)(π2 1
0
CC
zzz zfi
,d)(π2 1d)(π2 1)(
21 00
0 CC zzz
zf
izzz
zf
izf即特别地,C为由两条简单闭曲线 所组成的复合闭路,（如图）,21,CC
21 CCC
则意义：沿外圈的积分减去沿内圈的积分．
例 1
解
44
.d
13
1
)2(;d
s i n
( 1 )
z
z
z
z
z
e
z
z
z
z
求下列积分
4
ds i n )1(
z
z
z
z ;0?
由柯西积分公式
0s i n2 zzi?
4
d
13
1)2(
z
z
z
z
e
z
44
d
1
d
3
1
z
z
z
z
z
ez
z
1212 eii
).1(2 1 ei?
例 2
.d
))(9(
)2( ; d
)1(
1
( 1 )
2 2
2
1 2
ziz
z
izz
z
z
zz
计算下列积分解 (1) )1( 12zz ))(( 1 izizz iz
izz
)(
1
)(zf?
,0 iz?
由柯西积分公式
2
1 2 d)1(
1
iz
zzz?
2
1 d
)(
1
iz
z
iz
izz
izizz
i
)( 12
22
12
ii,i
例 2
.d
))(9(
)2( ; d
)1(
1
( 1 )
2 2
2
1 2
ziz
z
izz
z
z
zz
计算下列积分解 (2)
2 2 d))(9(z zizz z
izz
zi
2
9
2?
102
ii,
5
2
2
d
)(
9
z
z
iz
z
z
例 3
解
).1(,d
173
)(
,3
2
if
z
zf
zC
C
求表示正向圆周设
根据柯西积分公式知,,内时在当 Cz
zizf )173(π2)(
2 ),173(2 2 zzi
),76(2)( zizf故,1 内在而 Ci?
).136(2)1( iif所以例 4 ;2
1
1 ( 1 ):,d
1
4
s i n
2
zCzz
z
C
其中计算积分解
2
1
1
2 d1
4
s i n
)1(
z
z
z
z
2
1
1
d
1
1
4
s i n
z
z
z
z
z
1
1
4
s i n
2
z
z
z
i;22 i
例 4 ;2
1
1 ( 2 ):,d
1
4
s i n
2
zCzz
z
C
其中计算积分
2
1
1
2 d1
4
s i n
)2(
z
z
z
z
2
1
1
d
1
1
4
s i n
z
z
z
z
z
1
1
4
s i n
2
z
z
z
i;22 i
解
2
2 d1
4
s i n
)3(
z
z
z
z
由闭路复合定理,得例 4,2 ( 3 ):,d1
4
s i n
2?
zCzz
z
C
其中计算积分解
2
2 d1
4
s in
z
z
z
z
2
1
1
2 d1
4
s i n
z
z
z
z
2
1
1
2 d1
4
π
s i n
z
z
z
z
ii 2222,2 i
课堂练习,d)1(
3
2?
z
z
zzz e计算积分答案 1,1,0 zzz被积函数有三个奇点
1102 )1(2)1(212 z
z
z
z
z
z
zz
ei
zz
ei
z
ei
由闭路复合定理,得
4
1
1
4
1
1
4
1
2
3
2
d
)1(
1
d
)1(
1
d
1
d
)1(
z
z
z
z
z
z
z
z
z
z
z
e
z
z
z
e
z
z
z
e
z
zz
e
).2( 1eei?
三、柯西积分公式的应用 —最大模原理定理（最大模 原理）
内没有最大值．在则数，内解析，且不恒等于常在区域设函数
Dzf
Dzf
)(
)(
证明,)(m ax Mzf
Dz令
.,则定理成立若M
,)( 00 MzfDzM,使，假设存在一点若
，由平均值公式得含于作圆盘 DRzz 0
dzfzf i 20 00 )Re(2 1)(?
dzfzf i 20 00 |)Re(|2 1|)(|
,|)Re(| 0 Mzf i由于,|)(| 0 Mzf?
.|)Re(| 0 Mzf i有
以下用反证法说明这一点,
],2,0[
,0如果有一个值,|)Re(| 0 Mzf i使得的保号性，那么根据连续函数 )( zf,0
．上，即在圆周 MzfRzz )( 0
z0
,|)Re(|2 1|)(| 20 00 MzfzfM i从而自相矛盾
z0让 R连续趋近于零
,|)Re(|,]2,0[ 000 Mzf i 上，而在区间
.|)Re(| 000 Mzf i 时，使得
.)( 0 MzfRzz 内，在圆盘
．上，故在圆周 MzfRzz )( 0
则,
也为常数，从而 )( zf,)(?iMezf?记
z1
L
=zn
Dz0
以 d 表示 L与边界间的最短距离,
zt-1
zt使相邻两点间的距离小于 R(0<R<d).
在圆 K0:|z-z0|<R内,
K0
Kn-1
zn-1
z2
.* 内任意一点是 Dz设,*0 zzLD 与连接作折线在 内
*z
K1
.)(?iMezf?
iMezf?)(
z1在圆 K0内,)( 1?iMezf
.)( 2?iMezf
iMezf?)(,)*()(?iMezfzf n
与题设矛盾．内，从而在,)(?iMezfD?
*z在 L上插入分点 z0,z1,…,z n-1,zn=,
在圆 K1:|z-z1|<R内,?
z2在圆 K1内 依次下去,
在圆 Kn-1 内,?
定理成立,
推论 1：
.
为常数最大值，则此函数必恒的内点达到在内解析的函数，若其模在区域 DD
推论 2：
.)(
)(
必在边界上达到最大模上连续，则内解析，在在有界区域若
zf
DDzf
小结与思考
C zzz zfizf,d)(2 1)(
0
0柯西积分公式,
柯西积分公式是复积分计算中的重要公式,
它的证明基于柯西 –古萨基本定理,它的重要性在于,一个解析函数在区域内部的值可以用它在边界上的值通过积分表示,所以它是研究解析函数的重要工具,
思考题的值如何？
则积分的外部任一点为上连续，在内解析所围区域在简单闭曲线设函数
C
dz
zz
zf
i
CzCDD
DCzf
)(
2
1
,
,)(
0
0
思考题答案由柯西基本定理，积分值为 0．
§3.4 解析函数的高阶导数一、问题的提出二、解析函数的无穷可微性三、柯西不等式与刘维尔定理一、问题的提出问题,
(1) 解析函数是否有高阶导数?
(2) 若有高阶导数,其定义和求法是否与实变函数相同?
回答,
(1) 解析函数有各高阶导数,
(2) 高阶导数的值可以用函数在边界上的值通过积分来表示,这与实变函数完全不同,
解析函数高阶导数的表达式是什么?
柯西积分公式
C z
f
izf d
)(
2
1)(?
求导得在积分号下对 z
C z
f
izf,d
)(
2
1)(
2
再继续一次得 C z
f
izf,d
)(
2
!2)(
3
C n
n
z
f
i
nzf,d)(
2
!)(
1
)(?
依次下去可推测
C n
n Czz
zz
zf
i
nzf )( d)(
2
!)(
01
0
0
)( 内部在
或改写为
).,2,1(n
二,解析函数的无穷可微性定理证,1 的情况先证?n
上连续，在内解析所围的区域在简单闭曲线设函数
,)(
CDD
DCzf
),2,1(d)( )(π2 !)( 1
0
0
)(
nzzz
zf
i
nzf
C
n
n
,0 有内任一点对 zD内解析，且都在 D
根据导数的定义,z zfzzfzf z )()(lim)( 0000
内有各阶导数，在区域则 )( Dzf
由柯西积分公式,d
)(
2
1)(
0
0 C zzz
zf
izf
,d)(2 1)(
0
0 C zzzz
zf
izzf
z
zfzzf
)()( 00,d)(d)(
2
1
00
C C zzz
zfz
zzz
zf
zi
C zzzzzz zfi d))(( )(2 1
00
CC zzzzzz zzfizzz zfi d)()( )(2 1d)( )(2 1
0
2
0
2
0
I?
C zzzzzz zzfI d)()( )(2 1
0
2
0
C szzzzz zfz d)(2 1
0
2
0
,)( 上连续在因为 Czf,)( 上有界在故 Czf
0 dzz则
.)(,0 MzfM 使得即各上到曲线为从设 0 Czd
,点的最短距离
D?0zC d
,21 dz
使 00 zzzzzz则,2d?
.21
0 dzzz
,3
d
MLzI
则的长度，为令 CL
,11 22
0 dzz
,适当地小
z?取
,0 z如果,0?I那么
z
zfzzfzf
z?
)()(lim)( 00
00
,d)( )(2 1 2
0
C zzz zfi
依次类推,利用数学归纳法可证
.d)( )(2 !)( 1
0
0
)(?
C n
n z
zz
zf
i
nzf
[证毕 ]
高阶导数公式的作用,
不在于通过积分来求导,而在于通过求导来求积分：
时定理成立．即 1?n
)(!2d)( )( 0)(1
0
zfn izzz zf n
C n
例 1
解
C
z
C
z
z
e
z
z
z
zC
.d
)1(
)2(;d
)1(
c o s
)1(
,2,,
225
为正向圆周其中计算下列积分
,1 )1( c o s )1( 5 处不解析内在函数 zCz z
,c o s 内处处解析在但 Cz?
C nn zzz zfinzf d)( )(2 !)( 1
0
0
)(根据公式
C zz z d)1( co s 5 1)4()( c o s)!15( 2 zzi ;12
5i?
)1( )2( 22,内有两个奇点：在函数 izCz e
z
1C
x
y
o?
i C
i?
,21,1 izCC 内作正向圆周在
.21:2 izC 2C根据复合闭路定理
C
z
zz e d)1( 22
1
d
)(
)(
2
2
C
z
z
iz
iz
e
2
d
)(
)(
2
2
C
z
z
iz
iz
e
iz
z
iz
ei
2)()!12(
2
iz
z
iz
ei
2)()!12(
2?
2 )1(
iei?
2 )1(
iei
.41s in2 i
例 2,d
c o s)2(;d
)1(
1( 1 )
1
2
2
4
3
z
z
z
zz zezzz求积分解,2 1 )1( 3 上解析在函数 zz
2
4
3
d)1( 1
z
zzz
1
3 ]1[
!3
2
zz
i ;2 i
,1 c o s ( 2 ) 上解析在区域函数 zze z
1
2 d
co s
z
z
zz ze
0)co s(!1
2
z
z zei
0]s i nco s[2?
z
zz zezei,2 i
例 3
解
) (.d
1
为整数求积分 nzze
z
n
z
,0)1(?n,1 上解析在?zze n
z
由柯西－古萨基本定理得?
1;0d
z
n
z
zze
,1)2(?n 由柯西积分公式得
1
d
z
n
z
zze
0)(2 z
zei ;2 i
,1)3(?n
1
d
z
n
z
zze
0
)1()(
)!1(
2
z
nze
n
i,
)!1(
2
n
i
由解析函数高阶导数公式得：
例 4
解
.31)2(;23)1(:
.d
)2(
1
32
zzC
z
zzC
其中求积分
,0 2 )2( 1 32 zzzz 和有两个奇点函数
,23)1(z 2,?z仅包含奇点,1)( 3zzf?取
C
zzz d)2( 1 32
C
z
z
z d
)2(
1
2
3
2
3
1
!1
2
z
z
i;83 i
31)2(z
,0 2 内都含在和两个奇点 Czz
,212- 21,21 zCzC,和作闭曲线根据复合闭路定理
C
zzz d)2( 1 32
21
d
)2(
1
d
)2(
1
2
3
3
2
CC
z
z
zz
z
z
2
3
0
2
1
!1
2
)2(
1
!2
2
zz
z
i
z
i
8
3
8
3 ii,0?
课堂练习
C
z
zz
zz
zg
zC
.d
)(
)(
,
3
0
24
0
0
求的简单闭曲线是不通过设答案 ;0)(,00?zgCz 外在
,π)16(2)(,2000 izzgCz内在
.
10,d
)1( 3
光滑曲线的闭与是不经过其中计算 Cz
zz
e
C
z
例5
解 分以下四种情况讨论：
则也不包含既不包含若封闭曲线,10)1 C
,)1()( 3 内解析在 Czz ezf
z
.0d)1( 3C
z
zzz e古萨基本定理得由柯西
,10)2 而不包含包含若封闭曲线 C
由柯西积分公式得内解析在,)1()( 3 Czezf
z
x
y
O
C
1
zz zezzz e
C C
zz
d)1(d)1(
3
3
0
3)1(2
z
z
z
ei
.2 i
,01)3 而不包含包含若封闭曲线 C
,)( 内解析在 Czezf
z
由高阶导数公式得
zz zezzz e
C C
zz
d)1(d)1( 33
1
!2
2
z
z
z
ei?
1
3
2 )22(
z
z
z
ezzi
.ie
x
y
O
C
1
,01)4 又包含既包含若封闭曲线 C
,,,
,,0,1,0
2121
21
互不包含互不相交与且内也在和使为半径作圆以为圆心则分别以
CCCCC
CC
据复合闭路定理有
C
z
zzz e d)1( 3
21 d)1(d)1( 33 C
z
C
z
zzz ezzz e
x
y
O
C
1
1C
2C
C
z
iezzz e,)2(d)1( 3所以
,)3d)1(
2
3 iezzz
e
C
z
的结果即为而积分
,2)2d)1(
1
3 izzz
e
C
z
的结果即为而积分三,柯西不等式与刘维尔定理柯西不等式
，
且内解析：在区域设函数
Mzf
RzzDzf
)(
,)( 0则
),2,1( ! )( 0)( nR Mnzf nn
证,0:
11 RRR任取,)( 10 上解析在则 Rzzzf
d)( )(2 !)( 1
0
0
)(?
C n
n z
zz
zf
i
nzf
C n szz
zfn d)(
2
!
1
0?
!
1
nR
Mn?
).,2,1( ! )( 0)( nR Mnzf nn得令,1 RR?
由解析函数的高阶导数公式得：
刘维尔（ Liouville）定理为一常数．，则全平面上解析且有界在设函数
)(
)(
zf
zf
.)( 0 Mzfz?为平面内任意一点，设证
：由柯西不等式得
,)( 0 RMzf
得令,R,0)( 0 zf
0 是平面上任意一点，而 z,则在平面上有 0)( zf
为一常数．故 )( zf
.)( 0 内解析在，意正数 RzzzfR
对于任
! )( 0)( nn R Mnzf?
小结与思考高阶导数公式是复积分的重要公式,它表明了解析函数的导数仍然是解析函数 这一异常重要的结论,同时表明了解析函数与实变函数的本质区别,
C nn zzz zfinzf d)( )(2 !)( 1
0
0
)(
高阶导数公式思考题解析函数的高阶导数公式说明解析函数的导数与实函数的导数有何不同?
思考题解析函数的高阶导数公式说明解析函数的导数与实函数的导数有何不同?
思考题答案
,
,,
)(,
上的解析函数阶导数均为闭区域并且它的各它就一定无限次可微中处处可微只要在闭区域函数高阶导数公式说明
G
G
zf
这一点与实变量函数有本质的区别,
§3.1 复积分的概念一、复积分的定义二、积分存在的条件及其计算法三、积分的性质一、复积分的定义
1.有向曲线,
设 C为平面上给定的一条光滑 (或按段光滑 )曲线,如果选定 C的两个可能方向中的一个作为正方向 (或正向 ),那么我们就把 C理解为带有方向的曲线,称为 有向曲线,
x
y
o A
B如果 A到 B作为曲线 C的正向,
那么 B到 A就是曲线 C的负向,
,?C记为闭曲线正向的定义,
简单闭曲线 C的正向是指当曲线上的点 P顺此方向前进时,
邻近 P点的曲线的内部始终位于 P点的左方,
x
y
o P
P
PP
与之相反的方向就是曲线的负方向,
曲线方向的说明,
一般,曲线 C的正方向总是指从起点到终点的方向,
那么终点到起点的方向就是曲线 C的负向,记为 C-
对分段光滑的闭曲线而言,逆时针方向为正方向,顺时针方向为负方向特别申明 今后所说的曲线总是指光滑或逐段光滑曲线,特别说明的例外,
2.复积分的定义,
,,,,,,,
,
,
,)(
110
BzzzzzA
nC
BAD
CDzfw
nkk
设分点为个弧段任意分成把曲线的一条光滑的有向曲线终点为内起点为为区域内定义在区域设函数
o x
y
A
B
1?nz
kz
1?kz2z1z
k?
C
1? 2?,
),,2,1(
1
k
kk
nk
zz
上任意取一点在每个弧段
,)()()(
11
1 k
n
k
k
n
k
kkkn zfzzfS
作和式
o x
y
A
B
1?nz
kz
1?kz2z1z
k?
C
1? 2?
},{m a x 1 knk s记
,,11 的长度这里 kkkkkk zzszzz
,0 时无限增加且当n
,)(
,
,
记为的积分沿曲线函数那么称这极限值为一极限有唯的取法如何的分法及如果不论对
Czf
SC
nk
.)(l i md)(
1
k
n
k
knC zfzzf
关于定义的说明,
,d)(
,)1(
C
zzf
C
记为那么沿此闭曲线的积分是闭曲线如果
,
),(
)(,)2(
定积分的定义实变函数这个积分定义就是一元而轴上的区间是如果
xu
zfbxaxC
二、积分存在的条件及其计算法
1,存在的条件
.d)(
,)(
一定存在积分是光滑曲线时是连续函数而如果
C zzf
Czf
证,kkk i设
)( 111 kkkkkkk iyxiyxzzz
)()( 11 kkkk yyixx
,kk yix
k
n
k
k zf
1
)(?所以
n
k
kkkkkk yixviu
1
))](,(),([
n
k
kkkkkk
n
k
kkkkkk
yuxvi
yvxu
1
1
]),(),([
]),(),([
根据曲线积分的存在定理,
,),(),()( 内处处连续在由于 Dyxviyxuzf
,),( ),( 内均为连续函数在和那么 Dyxvyxu
当 n 无限增大而弧段长度的最大值趋于零时,
,
,),(,
下式两端极限存在的取法如何点的分法任何不论对 kkC
n
k
kkkkkk
n
k
kkkkkk
n
k
kk
yuxvi
yvxuzf
1
11
]),(),([
]),(),([)(
C zzf d)(C yvxu ddC yuxv dd? i?
,ddd )( 相乘后求积分得到与 yixzivuzf
C zzf d)( C yixivu )dd)((
C yvyiuxivxu dddd
.dddd CC yuxviyvxu
C zzf d)(C yvxu ddC yuxv dd? i?
在形式上可以看成是公式
2,积分的计算法
.
d)(
积分来计算函数的线可以通过两个二元实变?
C
zzf
ttytytxutxtytxvi
ttytytxvtxtytxuzzf
C
d)}()](),([)()](),([{
d)}()](),([)()](),([{d)(
ttyitxtytxivtytxu d)}()() ] }{(),([)](),([{
.d)()]([ ttztzf
.,),()()(
ttyitxtzz
C 由参数方程为设光滑曲线
ttztzfzzfC d)()]([d)(
则光滑曲线相互连接所组成的按段等光滑曲线依次是由如果
,
,,,21 nCCCC?
C zzf d)(,d)(d)(d)( 21 nCCC zzfzzfzzf?
在今后讨论的积分中,总假定被积函数是连续的,
曲线 C 是按段光滑的,
例 1
解
,43,,d 的直线段从原点到点计算 iCzzC
直线段方程为 1.0,)43( ttiz
,d)43(d tiz
d)43(d 10 2 ttizzC d)43( 102 tti,)43(
2
1 2i
)dd)((d CC yixiyxzz又因为
dddd CC yxxyiyyxx
这两个积分都与路线 C 无关
,43 曲线的是怎样从原点到点所以不论 iC?
,)43(21d 2izz
C
都有例 2
解
,1 1 ( 3 ); 1 ( 2 ); 1 ( 1 )
,,dRe
2
的折线再到轴到点从原点沿的弧段上从原点到点抛物线的直线段从原点到点为其中计算
ix
ixy
i
Czz
C
(1) 积分路径的参数方程为
),10()( titttz
,d)1(d,Re tiztz于是
C zzdRe 10 d)1( tit );1(21 i x
y
o
i1
1
i
(2) 积分路径的参数方程为
x
y
o
i1
1
i
2xy?
),10()( 2 titttz
,d)21(d,Re ttiztz于是
C zzdRe 10 d)21( titt
1
0
3
2
3
2
2?
tit;3221 i
x
y
o
i1
1
i
2xy?
(3) 积分路径由两段直线段构成
x轴上直线段的参数方程为 ),10()( tttz
1到 1+i直线段的参数方程为 ),10(1)( tittz
,dd,Re tztz于是
,dd,1Re tizz于是
C zzdRe10 d tt10 d1 ti
.21 i
此例说明积分 与路线有关．C zzdRe注：
例 3
解
.,
,,d
)(
1
0
0
为整数径的正向圆周为半为中心为以求
n
rzCz
zzC n
C的参数方程为 ),π20(0irezz
C n zzz d)( 1
0
π20 d
inn
i
er
ir e
π2
0
)1(
1 d?
ni
n er
i
π2
0
2
01 d)1s i n ()1c o s (
nidn
r
i
n
.1,0
,1,2
n
ni?
rzz
n zzz
0
d
)(
1
0?
.1,0
,1,2
n
ni?
重要结论,积分值与路径圆周的中心和半径无关,
所以三、积分的性质复积分与实变函数的定积分有类似的性质,;d)(d)()1( CC zzfzzf
)(;d)(d)()2( 为常数kzzfkzzkf CC;d)(d)(d)]()([)3( CCC zzgzzfzzgzf
CC MLszfzzfMzf
CzfLC
.d)(d)(,)(
)(,)4(
那末上满足在函数的长度为设曲线估值不等式性质 (4)的证明
,1 两点之间的距离与是因为 kkk zzz
,度为这两点之间弧段的长ks?
k
n
k
k zf
1
)(?所以?
n
k
kk zf
1
)(
n
k
kk sf
1
)(?
两端取极限得,d)(d)( CC szfzzf
n
k
kk sf
1
)(?因为?
n
k
ksM
1
,ML?
.d)(d)( MLszfzzf CC所以 [证毕 ]
例 4
解
,d
1
,43
绝对值的一个上界试求积分的直线段为从原点到点设
C
z
iz
iC
1)(0,)43( ttizC 的参数方程为根据估值不等式知
C ziz d1 C siz d1
ittizC )14(3
11,
上因为在
22 )14()3(
1
tt
25
9
25
4
25
1
2
t,3
5?
C ziz d1 从而 C sd35 325?
.325d1C ziz故
5?
小结与思考本课学习了复积分的定义、存在条件以及计算和性质,应注意复变函数的积分有跟微积分学中的线积分完全相似的性质,本课中重点掌握复积分计算的一般方法,
思考题
d)( )(
一致与一元函数定积分是否的积分定义式复函数?
C
zzfzf
,],[是实轴上区间若 C,d)(d)( xxfzzf
C
则
,)( 是实值的如果 xf 即为一元实函数的定积分,
.d)(,
,,d)(
)(,
C
zzf
zzf
zf
必须记作线的限制要受积分路因为这是一个线积分记作的积分的函数终点为一般不能把起点为
思考题答案
§3.2 柯西积分定理一、问题的提出二、基本定理四、原函数三、复合闭路定理一、问题的提出观察上节例 1,
,)( 在复平面内处处解析被积函数 zzf?
此时积分与路线无关,
观察上节例 2,
,Re)( xzzf被积函数柯西－黎曼方程,故而在复平面内处处不解析,
,dRe 与路线有关此时积分值 zzc?
由于不满足
.,域但此区域已不是单连通的内部函数处处解析C
由以上讨论可知,积分是否与路线有关,可能决定于被积函数的解析性及区域的连通性,
受此启发,柯西 (Cauchy)于 1825年给出如下定理,
观察上节例３,
,1 0
0zz
n 时为被积函数当
c izzz,02d1
0
此时的虽然在除去 0z
说明积分与路线有关．
D
二、基本定理
.0d)(,
)(
,)(
c zzf
CDzf
Dzf
的积分为零内的任何一条封闭曲线沿那么函数内处处解析在单连通域如果函数柯西积分定理
C
定理中的 C 可以不是简单曲线,
1851年，黎曼在附加假设“
在 D内连续,的条件下，得到一个如下的简单证明．
)(zf?
黎曼证明 ),,(),()(,yxivyxuzfiyxz令
C,)( C C u d yv d xiv d yu d xdzzf则且满足 C—R方程：
内连续，在则 Dvvuu yxyx,,,
xyyx vuvu,
由格林公式
.0,0 CC u d yv d xv d yu d x
C dzzf,0)( 从而定理又称为 柯西－古萨定理,
内连续”的假设,发表上述定理新的证明方法．因此，
1900年,法国数学家 古萨（ Goursat） 免去,在 D)(zf?
古萨介绍内连续，在而 Dzf )(?
D D
0z 1z0z 1z?
1C
2C
1C
2C
,,10 zz 终点为如果曲线起点为
21
d)(d)(
CC
zzfzzf 1
0
d)(zz zzf
解析函数在单连通域内的积分与路线无关．
由定理得内处处解析，那么在单连通区域如果函数 Dzf )(
无关．与路线那么积分 CdzzfC? )(
即：
如图，
则关于定理的说明,
(1) 如果曲线 C 是区域 Ｄ 的边界,)( 在函数 zf
,上解析即在闭区域 CDD,上解析内与 CD
c zzf,0d)( 那么
(2) 如果曲线 C 是区域 Ｄ 的边界,)( 在函数 zf
,上连续在曲线 C,内解析D 定理仍成立,
例 1
解
5 2,)dc o s2( z z zzez计算积分
,5 c o s2 2 上解析在闭区域函数 zzez z
根据柯西－古萨定理,有
5 2,0)dc o s2(z z zzez
说明,本题若用复积分的计算公式，将很复杂．
例 2
.65
1 2iz
z
dzzz e计算积分解
,3,2 652 zzz e
z
的奇点为函数
,1 652 上解析闭区域在即 izzz e
z
根据柯西－古萨定理得
,065
1 2
iz
z
dzzz e
都在曲线
,1 外部 iz
三、复合闭路定理
1,闭路变形原理
,)( 内解析在多连通域设函数 Dzf
),(
1
正向为逆时针方向单闭曲线内的任意两条简为及 DCC
.
11
D
DCC
全含于为边界的区域及
,BBAA 和作两段不相交的弧段 ︵︵
D
C
1D
A A?
BB?1C
D
C
1C
1D
A A?
BB?
E
E?
F
F?
,1 AAEBA E BL记
,2 BFABFAAL
,,,,FFEE添加字符
,)( 21 所围闭区域上解析及在由于 LLzf
,0d)(
1?
L zzf故,0d)(
2?
L zzf
C zzf d)(
1
d)(C zzf
从而有
,0d)(d)(
1
CC zzfzzf即
.d)(d)(
1
CC zzfzzf或
︵
AA zzf d)( AA zzf d)(︵
BB zzf d)(
︵?
BB zzf d)(
︵,0?
解析函数沿闭曲线的积分,不因闭曲线在区域内作连续变形而改变它的值,闭路变形原理说明,在变形过程中曲线不经过函数 f(z) 的不解析的点,
D
C
1C1D
A A?
BB?
E
E?
F
F?
,
1
1
CC
CC
成一条复合闭路看及闭曲线如果我们把这两条简单,的正方向为?
,按逆时针进行外面的闭曲线 C
,1 按顺时针进行内部的闭曲线 C
),
,(
的左手边内部总在的的正向进行时即沿
.0 )( dzzf那么即柯西积分定理对于以两条闭曲线（复合闭路）
为边界的多连通区域仍成立．
2,复合闭路定理
,
,,,,,
,,,,
,
21
21
D
CCCC
CCCC
DC
n
n
为边界的区域全含于并且以互不包含也互不相交它们内部的简单闭曲线是在内的一条简单闭曲线多连通域为设
,)( 内解析在如果 Dzf
D
C
1C
2C
3C
那么
,d)(d)()1(
1
n
k CC k
zzfzzf; 均取正方向及其中 kCC
D
C
1C
2C
3C
.0d)()2( zzf
.,,,,
,,
,,,,,
21
21
21
按顺时针进行时针进行按逆其方向是即组成的复合闭路为由这里
n
n
n
CCC
CCCCC
CCCC
这个定理是计算闭线内部有多个奇点的积分的有效工具 !!!
,1
2,d
所组成向圆周和负为正向圆周计算积分
z
zz
z
e z
例 3
x
y
o 1 2
1C
2C解,21 围成一个圆环域和 CC
,
上处处解析在此圆环域和其边界函数
z
e z
圆环域的边界构成一条复合闭路,
根据闭路复合定理,.0d
zze
z
例 4
,
,,d
)(
1
为整数的任一简单闭路为含求
n
aCz
azC n
解,内部在曲线因为 Ca
C
a?
,?故可取很小的正数
,C,1 内部含在使 azC
1C
,
)(
1
1
内处处解析为边界的复连通域在以
CC
az n
由闭路变形原理,
此结论非常重要,用起来很方便,因为 C不必是圆,a也不必是圆的圆心,只要 a在简单闭曲线
C内即可,
重要积分公式
2,1
0,1,
in
n
,1,0
1,2
d
)(
1
n
ni
z
azC n
故
1
d)( 1d)( 1
C
n
C
n zazzaz
C
a?
1C
解（方法一）
,1 0
12
2
zz
zz
z
和内有两个奇点平面在复因为被积函数依题意知,
x
y
o1
C
C 也 包 含 这 两 个 奇 点,
例 5
,
1,d
12
2
曲线在内的任何正向简单闭为包含圆周计算积分
C
zCz
zz
z
C
z
zz
d
1
11
.4 i
C
zzz z d12 2
由上例的结论，
ii 2 2
C C
z
z
z
z
d
1
1d1
（方法二）
x
y
o1
C
.411:,41,21 zCzCC 内作两个正向圆周在根据复合闭路定理,
1C 2C
分割包围 !
21
d12d12 22
CC
z
zz
zz
zz
z
2211
d1d11d1d11
CCCC
zzzzzzzz
0220 ii
柯西积分定理重要公式柯西积分定理重要公式
C
zzz z d12 2
.4 i
四、原函数由柯西积分定理，
1,变上限的积分,
解析函数在单连通域内的积分与路线无关．
,,10 zz 终点为如图，如果曲线起点为 D
0z 1z?
1C
2C
21
d)(d)(
CC
zzfzzf 1
0
d)(zz zzf
0 1 1,,,z z D z z?如 果 固 定 让 在 内 变 动 并 令
0
( ) ( ) d,zzD F z f便 可 确 定 内 的 一 个 单 值 函 数则
D
z
0z
0
( ),
( ) ( ) d
,( ) ( ),
z
z
f z D
F z f D
F z f z
如 果 函 数 在 单 连 通 域 内 处 处 解 析那 末 函 数 必 为 内 的 一 个 解析 函 数 并 且定理证 利用导数的定义来证,
,zD设 为 内 任 一 点定理
,内在充分小使取 Dzzz
,)( 的定义由 zF
zz
D
z zz
)()( zFzzF zzzzz ff
00
d)(d)(
(1) 由于积分与路线无关,
0 0
( ) d zzz f z z 的 积 分 路 线 可 先 取 到
,zzz沿直线到然后从
0z
)
d)(,(
0
路线相同的这一段与注意?
z
z
f
0
() )dd (zzzzz ff( ) ( )F z z F z 0 ( ) d
z
z f
.d)( zzz f
)()( zFzzF,d)(?
zz
z f
zzz zf?d)( 因为 zzzzf?d)(,)( zzf
D
z zz
0z
)()()( zfz zFzzF
)(d)(1 zffz zzz
d)]()([1 zffz zzz
所以
( ),f z D因 为 在 内 解 析 ( ),f z D? ( 2) 在 内 连 续
.)()(,0,0 zffz 时，当故
)()()( zfz zFzzF d)]()([
1 zff
z
zz
z
szff
z
zz
z
d|)()(|1?
.1 zz
,0)()()(lim
0
zfz zFzzF
z
于是
).()( zfzF即此定理与微积分学中的对变上限积分的求导定理完全类似,
[证毕 ]
由积分的估值性质,时，当 z
2,原函数的定义,
,)( d)()(
0
的一个原函数是显然 zffzF zz
原函数之间的关系,; )( 一个常数的任何两个原函数相差zf
的原函数．为的函数内，称满足条件在区域
)()(
)()(
zfzF
zfzFD
它就有无穷多个原函数,
)( )(,内有一个原函数在区域若 zFDzf 那么其全体原函数可表示为为任意常数）,CCzF ()(?
定理 (复积分的 Newton-Leibnitz公式 )
.,
)()(d)(
,)( )(
,)(
10
01
1
0
内的两点为域这里则的一个原函数为内处处解析在单连通域如果函数
Dzz
zGzGzzf
zfzG
Dzf
z
z
证,)( d)(
0
原函数也是因为 zfzzfzz?,)( d)(
0
CzGzzfzz则
,0 时当 zz? )(0
0 CzG得
)()( d)( 0
0
zGzGzzfzz所以,)()( d)( 011
0
zGzGzzfzz
说明,有了以上定理,复变函数的积分就可以用跟微积分学中类似的方法去计算,
,)( 0zGC
例 6
解
,d 1
0
的值求? zz zz
,是解析函数因为 z,21 2z它的原函数是
21 d
1
0
1
0
2
z
z
z
z
zzz ).(
2
1 2
0
2
1 zz
例 7,dc o s
0
2 的值求 i zzz
解 i zzz
0
2 dc o s i zz
0
22 dco s
2
1
i
z
0
2s in
2
1
)s i n (21 2,s i n21 2
例 8,dc o s 0 的值求? i zzz
i zzz0 dco s i zz0 )( s i nd
ii zzzz 00 ds in]s in[
解
izii 0c o ss i n
.11e
使用,―分部积分法,
,d 11 的值求 i z zze
).1s i n1( c o s iie?
课堂练习答案
1c o ss i n iii
).c o s1(),s in(:π20
,d)182( 2
ayaxa
Czzz
C
的摆线到是连接其中的值求例 9．
解,182 2 在复平面内处处解析因为函数 zz
所以积分与路线无关,根据 N-L公式,
C zzz d)182( 2 a zzz20 2 d)182(
a
zzz
2
0
23 4
3
2,216
3
16 2233 aaa
小结与思考
1,通过本课学习,重点掌握柯西积分定理,
.0d)(,
)(
,)(
c zzf
CDzf
Dzf
的积分为零内的任何一条封闭曲线沿那末函数内处处解析在单连通域如果函数并注意定理成立的条件,
2.本课所讲述的复合闭路定理与闭路变形原理是复积分中的重要定理,掌握并能灵活应用它是本章的难点,
常用结论,
,1,0
1,2d
)(
1
n
niz
azC n
的任意一条闭曲线．为包围点其中 aC
3.本课介绍了原函数、的定义以及牛顿 —莱布尼兹公式,在学习中应注意与,高等数学,中相关内容相结合,更好的理解本课内容,
d)()(
0?
zz fzF )(d)( czFzzf
)()(d)( 011
0
zGzGzzfzz
1,应用柯西 –古萨定理应注意什么?
2,解析函数在单连通域内积分的牛顿 –莱布尼兹公式与实函数定积分的牛顿 –莱布尼兹公式有何异同?
思考题思考题答案
1,应用柯西 –古萨定理应注意什么?
(1) 注意定理的条件“单连通域”,
(2) 注意定理的不能反过来用,
,0 2
1
1
2
3
2
1
1
)(,
1
iz
zz
z
zf
z
，但是该区域内一条闭曲线内解析，单位圆在多连通区域反例
1 )(,内处处不解析，但在单位圆反例 zzzf
,)( 0,d)( 内处处解析在而说即不能由 CzfzzfC
1 dz zz2
0 1 die
i,0)s i n( c o s2
0
dii
2,解析函数在单连通域内积分的牛顿 –莱布尼兹公式与实函数定积分的牛顿 –莱布尼兹公式有何异同?
两者的提法和结果是类似的,;,,
,)(
0 都是复数因而且积分路线是曲线为单连域中的解析函数但在复积分中要求
zzC
zf
.,,
],[ )(
都是实数数上的连续实函为区间在实积分中要求
xa
baxf
两者对函数的要求差异很大,
§3.3 柯西积分公式一、问题的提出二、柯西积分公式三、最大模原理一、问题的提出
,,0 中一点为为一单连通域设 DzD
d)(
0
C zzz zf 一般不为零．
,)(,)( 0
0
不解析在则内解析在 zzz zfDzf?
根据闭路变形原理知,该积分值不随闭曲线 C 的变化而改变,如何计算这个值？
0 的闭曲线，围绕 z
如果内为 DC
).0(d)( d)(
0
0
0
CC
zzz zfzzz zf
,
,
0
0
zz
zC
的正向圆周半径为很小的为中心取作以积分曲线
,)( 内连续在 Dzf?
),()( 0 )( 0zfzfzfC 时，的值当上函数在?
C zzz zf d)(
0
0 ).(2d1)(
0
0
0 zifzzzzf C
)( 解析内在由 Dzf 从而事实上两者相等二、柯西积分公式定理
,
,)(
0 内任一点为上连续，在内解析所围区域在简单闭曲线设函数
DzCDD
DCzf
D?0zC证,)( 0 连续在因为 zzf
,0则,0
C zzz
zf
i
zf,d)(
π2
1)(
0
0
,0 时当 zz,)()( 0 zfzf
柯西积分公式则
,:
)(,
0
0
的内部全在的正向圆周半径为为中心设以
DRzzK
RRz
C zzz zf d)(
0
K zzz zf d)(
0
KK zzz zfzfzzz zf d)()(d)(
0
0
0
0
K zzz zfzfzif d)()()(2
0
0
0
则
D
0zC KR
.π22 RR?
K
z
zz
zfzf d)()(
0
0而
,0d)()(
0
0?
K
zzz zfzf
任意性，的由?
．从而 )( 2d)( 0
0
zifz
zz
zf
C
关于柯西积分公式的说明,
(1) 把函数在 C内部任一点的值用它在边界上的值表示,(这是解析函数的又一特征 )
(2) 公式不但提供了计算某些复变函数沿闭路积分的一种方法,而且给出了解析函数的一个积分表达式,(这是研究解析函数的有力工具 )
C Czzifzzz zf ).( )( 2d)( 00
0
的内部在?
C Czzfizf ),( d)( 2 1)( 的内部在
（ 用于计算沿闭曲线的积分 ）
（ 解析函数的积分表达式 ）
(3) 一个解析函数在圆心处的值等于它在圆周上的平均值,
)( 00 上连续，内解析，在在如果 RzzRzzzf
.d)(π2 1)( π20 00ieRzfzf
（解析函数的平均值公式）
则即
0 的参数方程为，则表示圆周设 CRzzC证
).20( 0 ieRzz
由柯西积分公式：
C zzz zfizf d)(π2 1)(
0
0
20 0 ) ( 2 1 deR eiReRzfi i
ii
,) (2 1 20 0 deRzf i
(4) 柯西积分公式可推广到由若干条简单闭曲线所围成的多连通区域情形．即若 C为一条复合闭路，
则柯西积分公式仍成立．
C zzz zfizf d)(π2 1)(
0
0
1C
D
2C?
0z
21
d)(π2 1
0
CC
zzz zfi
,d)(π2 1d)(π2 1)(
21 00
0 CC zzz
zf
izzz
zf
izf即特别地,C为由两条简单闭曲线 所组成的复合闭路,（如图）,21,CC
21 CCC
则意义：沿外圈的积分减去沿内圈的积分．
例 1
解
44
.d
13
1
)2(;d
s i n
( 1 )
z
z
z
z
z
e
z
z
z
z
求下列积分
4
ds i n )1(
z
z
z
z ;0?
由柯西积分公式
0s i n2 zzi?
4
d
13
1)2(
z
z
z
z
e
z
44
d
1
d
3
1
z
z
z
z
z
ez
z
1212 eii
).1(2 1 ei?
例 2
.d
))(9(
)2( ; d
)1(
1
( 1 )
2 2
2
1 2
ziz
z
izz
z
z
zz
计算下列积分解 (1) )1( 12zz ))(( 1 izizz iz
izz
)(
1
)(zf?
,0 iz?
由柯西积分公式
2
1 2 d)1(
1
iz
zzz?
2
1 d
)(
1
iz
z
iz
izz
izizz
i
)( 12
22
12
ii,i
例 2
.d
))(9(
)2( ; d
)1(
1
( 1 )
2 2
2
1 2
ziz
z
izz
z
z
zz
计算下列积分解 (2)
2 2 d))(9(z zizz z
izz
zi
2
9
2?
102
ii,
5
2
2
d
)(
9
z
z
iz
z
z
例 3
解
).1(,d
173
)(
,3
2
if
z
zf
zC
C
求表示正向圆周设
根据柯西积分公式知,,内时在当 Cz
zizf )173(π2)(
2 ),173(2 2 zzi
),76(2)( zizf故,1 内在而 Ci?
).136(2)1( iif所以例 4 ;2
1
1 ( 1 ):,d
1
4
s i n
2
zCzz
z
C
其中计算积分解
2
1
1
2 d1
4
s i n
)1(
z
z
z
z
2
1
1
d
1
1
4
s i n
z
z
z
z
z
1
1
4
s i n
2
z
z
z
i;22 i
例 4 ;2
1
1 ( 2 ):,d
1
4
s i n
2
zCzz
z
C
其中计算积分
2
1
1
2 d1
4
s i n
)2(
z
z
z
z
2
1
1
d
1
1
4
s i n
z
z
z
z
z
1
1
4
s i n
2
z
z
z
i;22 i
解
2
2 d1
4
s i n
)3(
z
z
z
z
由闭路复合定理,得例 4,2 ( 3 ):,d1
4
s i n
2?
zCzz
z
C
其中计算积分解
2
2 d1
4
s in
z
z
z
z
2
1
1
2 d1
4
s i n
z
z
z
z
2
1
1
2 d1
4
π
s i n
z
z
z
z
ii 2222,2 i
课堂练习,d)1(
3
2?
z
z
zzz e计算积分答案 1,1,0 zzz被积函数有三个奇点
1102 )1(2)1(212 z
z
z
z
z
z
zz
ei
zz
ei
z
ei
由闭路复合定理,得
4
1
1
4
1
1
4
1
2
3
2
d
)1(
1
d
)1(
1
d
1
d
)1(
z
z
z
z
z
z
z
z
z
z
z
e
z
z
z
e
z
z
z
e
z
zz
e
).2( 1eei?
三、柯西积分公式的应用 —最大模原理定理（最大模 原理）
内没有最大值．在则数，内解析，且不恒等于常在区域设函数
Dzf
Dzf
)(
)(
证明,)(m ax Mzf
Dz令
.,则定理成立若M
,)( 00 MzfDzM,使，假设存在一点若
，由平均值公式得含于作圆盘 DRzz 0
dzfzf i 20 00 )Re(2 1)(?
dzfzf i 20 00 |)Re(|2 1|)(|
,|)Re(| 0 Mzf i由于,|)(| 0 Mzf?
.|)Re(| 0 Mzf i有
以下用反证法说明这一点,
],2,0[
,0如果有一个值,|)Re(| 0 Mzf i使得的保号性，那么根据连续函数 )( zf,0
．上，即在圆周 MzfRzz )( 0
z0
,|)Re(|2 1|)(| 20 00 MzfzfM i从而自相矛盾
z0让 R连续趋近于零
,|)Re(|,]2,0[ 000 Mzf i 上，而在区间
.|)Re(| 000 Mzf i 时，使得
.)( 0 MzfRzz 内，在圆盘
．上，故在圆周 MzfRzz )( 0
则,
也为常数，从而 )( zf,)(?iMezf?记
z1
L
=zn
Dz0
以 d 表示 L与边界间的最短距离,
zt-1
zt使相邻两点间的距离小于 R(0<R<d).
在圆 K0:|z-z0|<R内,
K0
Kn-1
zn-1
z2
.* 内任意一点是 Dz设,*0 zzLD 与连接作折线在 内
*z
K1
.)(?iMezf?
iMezf?)(
z1在圆 K0内,)( 1?iMezf
.)( 2?iMezf
iMezf?)(,)*()(?iMezfzf n
与题设矛盾．内，从而在,)(?iMezfD?
*z在 L上插入分点 z0,z1,…,z n-1,zn=,
在圆 K1:|z-z1|<R内,?
z2在圆 K1内 依次下去,
在圆 Kn-1 内,?
定理成立,
推论 1：
.
为常数最大值，则此函数必恒的内点达到在内解析的函数，若其模在区域 DD
推论 2：
.)(
)(
必在边界上达到最大模上连续，则内解析，在在有界区域若
zf
DDzf
小结与思考
C zzz zfizf,d)(2 1)(
0
0柯西积分公式,
柯西积分公式是复积分计算中的重要公式,
它的证明基于柯西 –古萨基本定理,它的重要性在于,一个解析函数在区域内部的值可以用它在边界上的值通过积分表示,所以它是研究解析函数的重要工具,
思考题的值如何？
则积分的外部任一点为上连续，在内解析所围区域在简单闭曲线设函数
C
dz
zz
zf
i
CzCDD
DCzf
)(
2
1
,
,)(
0
0
思考题答案由柯西基本定理，积分值为 0．
§3.4 解析函数的高阶导数一、问题的提出二、解析函数的无穷可微性三、柯西不等式与刘维尔定理一、问题的提出问题,
(1) 解析函数是否有高阶导数?
(2) 若有高阶导数,其定义和求法是否与实变函数相同?
回答,
(1) 解析函数有各高阶导数,
(2) 高阶导数的值可以用函数在边界上的值通过积分来表示,这与实变函数完全不同,
解析函数高阶导数的表达式是什么?
柯西积分公式
C z
f
izf d
)(
2
1)(?
求导得在积分号下对 z
C z
f
izf,d
)(
2
1)(
2
再继续一次得 C z
f
izf,d
)(
2
!2)(
3
C n
n
z
f
i
nzf,d)(
2
!)(
1
)(?
依次下去可推测
C n
n Czz
zz
zf
i
nzf )( d)(
2
!)(
01
0
0
)( 内部在
或改写为
).,2,1(n
二,解析函数的无穷可微性定理证,1 的情况先证?n
上连续，在内解析所围的区域在简单闭曲线设函数
,)(
CDD
DCzf
),2,1(d)( )(π2 !)( 1
0
0
)(
nzzz
zf
i
nzf
C
n
n
,0 有内任一点对 zD内解析，且都在 D
根据导数的定义,z zfzzfzf z )()(lim)( 0000
内有各阶导数，在区域则 )( Dzf
由柯西积分公式,d
)(
2
1)(
0
0 C zzz
zf
izf
,d)(2 1)(
0
0 C zzzz
zf
izzf
z
zfzzf
)()( 00,d)(d)(
2
1
00
C C zzz
zfz
zzz
zf
zi
C zzzzzz zfi d))(( )(2 1
00
CC zzzzzz zzfizzz zfi d)()( )(2 1d)( )(2 1
0
2
0
2
0
I?
C zzzzzz zzfI d)()( )(2 1
0
2
0
C szzzzz zfz d)(2 1
0
2
0
,)( 上连续在因为 Czf,)( 上有界在故 Czf
0 dzz则
.)(,0 MzfM 使得即各上到曲线为从设 0 Czd
,点的最短距离
D?0zC d
,21 dz
使 00 zzzzzz则,2d?
.21
0 dzzz
,3
d
MLzI
则的长度，为令 CL
,11 22
0 dzz
,适当地小
z?取
,0 z如果,0?I那么
z
zfzzfzf
z?
)()(lim)( 00
00
,d)( )(2 1 2
0
C zzz zfi
依次类推,利用数学归纳法可证
.d)( )(2 !)( 1
0
0
)(?
C n
n z
zz
zf
i
nzf
[证毕 ]
高阶导数公式的作用,
不在于通过积分来求导,而在于通过求导来求积分：
时定理成立．即 1?n
)(!2d)( )( 0)(1
0
zfn izzz zf n
C n
例 1
解
C
z
C
z
z
e
z
z
z
zC
.d
)1(
)2(;d
)1(
c o s
)1(
,2,,
225
为正向圆周其中计算下列积分
,1 )1( c o s )1( 5 处不解析内在函数 zCz z
,c o s 内处处解析在但 Cz?
C nn zzz zfinzf d)( )(2 !)( 1
0
0
)(根据公式
C zz z d)1( co s 5 1)4()( c o s)!15( 2 zzi ;12
5i?
)1( )2( 22,内有两个奇点：在函数 izCz e
z
1C
x
y
o?
i C
i?
,21,1 izCC 内作正向圆周在
.21:2 izC 2C根据复合闭路定理
C
z
zz e d)1( 22
1
d
)(
)(
2
2
C
z
z
iz
iz
e
2
d
)(
)(
2
2
C
z
z
iz
iz
e
iz
z
iz
ei
2)()!12(
2
iz
z
iz
ei
2)()!12(
2?
2 )1(
iei?
2 )1(
iei
.41s in2 i
例 2,d
c o s)2(;d
)1(
1( 1 )
1
2
2
4
3
z
z
z
zz zezzz求积分解,2 1 )1( 3 上解析在函数 zz
2
4
3
d)1( 1
z
zzz
1
3 ]1[
!3
2
zz
i ;2 i
,1 c o s ( 2 ) 上解析在区域函数 zze z
1
2 d
co s
z
z
zz ze
0)co s(!1
2
z
z zei
0]s i nco s[2?
z
zz zezei,2 i
例 3
解
) (.d
1
为整数求积分 nzze
z
n
z
,0)1(?n,1 上解析在?zze n
z
由柯西－古萨基本定理得?
1;0d
z
n
z
zze
,1)2(?n 由柯西积分公式得
1
d
z
n
z
zze
0)(2 z
zei ;2 i
,1)3(?n
1
d
z
n
z
zze
0
)1()(
)!1(
2
z
nze
n
i,
)!1(
2
n
i
由解析函数高阶导数公式得：
例 4
解
.31)2(;23)1(:
.d
)2(
1
32
zzC
z
zzC
其中求积分
,0 2 )2( 1 32 zzzz 和有两个奇点函数
,23)1(z 2,?z仅包含奇点,1)( 3zzf?取
C
zzz d)2( 1 32
C
z
z
z d
)2(
1
2
3
2
3
1
!1
2
z
z
i;83 i
31)2(z
,0 2 内都含在和两个奇点 Czz
,212- 21,21 zCzC,和作闭曲线根据复合闭路定理
C
zzz d)2( 1 32
21
d
)2(
1
d
)2(
1
2
3
3
2
CC
z
z
zz
z
z
2
3
0
2
1
!1
2
)2(
1
!2
2
zz
z
i
z
i
8
3
8
3 ii,0?
课堂练习
C
z
zz
zz
zg
zC
.d
)(
)(
,
3
0
24
0
0
求的简单闭曲线是不通过设答案 ;0)(,00?zgCz 外在
,π)16(2)(,2000 izzgCz内在
.
10,d
)1( 3
光滑曲线的闭与是不经过其中计算 Cz
zz
e
C
z
例5
解 分以下四种情况讨论：
则也不包含既不包含若封闭曲线,10)1 C
,)1()( 3 内解析在 Czz ezf
z
.0d)1( 3C
z
zzz e古萨基本定理得由柯西
,10)2 而不包含包含若封闭曲线 C
由柯西积分公式得内解析在,)1()( 3 Czezf
z
x
y
O
C
1
zz zezzz e
C C
zz
d)1(d)1(
3
3
0
3)1(2
z
z
z
ei
.2 i
,01)3 而不包含包含若封闭曲线 C
,)( 内解析在 Czezf
z
由高阶导数公式得
zz zezzz e
C C
zz
d)1(d)1( 33
1
!2
2
z
z
z
ei?
1
3
2 )22(
z
z
z
ezzi
.ie
x
y
O
C
1
,01)4 又包含既包含若封闭曲线 C
,,,
,,0,1,0
2121
21
互不包含互不相交与且内也在和使为半径作圆以为圆心则分别以
CCCCC
CC
据复合闭路定理有
C
z
zzz e d)1( 3
21 d)1(d)1( 33 C
z
C
z
zzz ezzz e
x
y
O
C
1
1C
2C
C
z
iezzz e,)2(d)1( 3所以
,)3d)1(
2
3 iezzz
e
C
z
的结果即为而积分
,2)2d)1(
1
3 izzz
e
C
z
的结果即为而积分三,柯西不等式与刘维尔定理柯西不等式
，
且内解析：在区域设函数
Mzf
RzzDzf
)(
,)( 0则
),2,1( ! )( 0)( nR Mnzf nn
证,0:
11 RRR任取,)( 10 上解析在则 Rzzzf
d)( )(2 !)( 1
0
0
)(?
C n
n z
zz
zf
i
nzf
C n szz
zfn d)(
2
!
1
0?
!
1
nR
Mn?
).,2,1( ! )( 0)( nR Mnzf nn得令,1 RR?
由解析函数的高阶导数公式得：
刘维尔（ Liouville）定理为一常数．，则全平面上解析且有界在设函数
)(
)(
zf
zf
.)( 0 Mzfz?为平面内任意一点，设证
：由柯西不等式得
,)( 0 RMzf
得令,R,0)( 0 zf
0 是平面上任意一点，而 z,则在平面上有 0)( zf
为一常数．故 )( zf
.)( 0 内解析在，意正数 RzzzfR
对于任
! )( 0)( nn R Mnzf?
小结与思考高阶导数公式是复积分的重要公式,它表明了解析函数的导数仍然是解析函数 这一异常重要的结论,同时表明了解析函数与实变函数的本质区别,
C nn zzz zfinzf d)( )(2 !)( 1
0
0
)(
高阶导数公式思考题解析函数的高阶导数公式说明解析函数的导数与实函数的导数有何不同?
思考题解析函数的高阶导数公式说明解析函数的导数与实函数的导数有何不同?
思考题答案
,
,,
)(,
上的解析函数阶导数均为闭区域并且它的各它就一定无限次可微中处处可微只要在闭区域函数高阶导数公式说明
G
G
zf
这一点与实变量函数有本质的区别,
