复变函数与积分变换
§4.1 复数项级数一、复数列的极限二、复数项级数的概念一、复数列的极限
1.定义
,,0 N自然数若,0 zzNn n时，有当
,0z收敛于记作
0l i m zz nn
,),2,1( }{ 其中为一复数列设nz n
,nnn iyxz,000 为一确定的复数又设 iyxz
}{ nz则称复数列
.)( 0 nzz n或
.}{ }{ 发散不收敛，则称若数列 nn zz
.}{ 0 为极限以或称 zz n
2.复数列收敛的条件
),2,1(}{ 0 的充要条件是收敛于复数列定理 znz n
,l i m 0zz nn如果,0,0 N?则,时当 Nn?
,)()( 00 iyxiyx nn
证
,)()( 000 yyixxxx nnn从而有
.l i m 0xx nn
.lim 0yy nn
所以同理
.lim,lim 00 yyxx nnnn
.2,2 00 yyxx nn
反之,如果,lim,lim
00 yyxx nnnn
,时那么当 Nn?
从而有 )()(
000 iyxiyxzz nnn
)()( 00 yyixx nn
该定理说明,可将复数列的敛散性转化为判别两个实数列的敛散性,
.lim 0zz nn所以 [证毕 ]
,00 yyxx nn
ni
n enz
)11()1(因为下列数列是否收敛,如果收敛,求出其极限,;)11()1( n
i
n enz
.si n)11( nny n,πc o s)11(
nnx n所以而,0lim,1lim
nnnn yx
解例 1
),s i n) ( co s11( ninn
.c o s)2( innz n?
,收敛数列,1l i m?
nn z且
)2(
2
)(c o s nn
n
eeninnz由于
,时当n 所以数列发散,,nz
课堂练习,
下列数列是否收敛? 如果收敛,求出其极限,;11)1( niniz n;1)1()2( n iz nn
.1)3( 2
in
n enz
innnnz n 22
2
1
2
1
1
).( 1 n
发散
2
s i n1
2
c o s1 n
n
in
n
z n
).( 0 n
二、复数项级数的概念
1.定义,),2,1(}{}{ 为一复数列设 nyxz nnn
n
n
n zzzz 21
1
表达式称为复数项无穷级数,
其最前面 n 项的和 nn zzzs21
称为级数的部分和,
部分和收敛与发散
,}{ 收敛如果部分和数列 ns
,
1
收敛那么级数?
n
nz
.lim 称为级数的和并且极限 ss nn
说明,
.lim ss nn利用极限与实数项级数相同,判别复数项级数敛散性的基本方法是,
,}{ 不收敛如果部分和数列 ns
,
1
发散那么级数?
n
nz
:,
0
n
nz级数例如
1-21 nn zzzs
,1 时由于当?z
,)1(11 zzz
n
z
zs n
nnn?
1
1li mli m,
1
1
z
,1 时级数收敛所以当?z
2.复数项级数收敛的条件证
n
k
k
n
k
k
n
k
kn yixzs
111
,nn i
)(
11
收敛的充要条件是级数
n
nn
n
n iyxz
,
11
都收敛和
n
n
n
n yx
定理收敛 }{ ns 都收敛和 }{ }{ nn
,
11
n
n
n
n yx 都收敛和
1
收敛级数
n
nz
说明 复数项级数的审敛问题
实数项级数的审敛问题
(定理 )
则例 2 1
1
12
是否收敛？级数?
n
n
n
i
解
11
12 )1(11
n
n
n
n
n
i
n
i
,1
1
发散级数因为?
n n
.原级数仍发散
,1)1(
1
收敛虽?
n
n
n
1
1
n n
1
1)1(
n
n
ni; 1
11
发散因为
nn
n nx
,1
1
2
1
收敛
nn
n ny
所以原级数发散,
课堂练习
1
1( 2) ( 1 )
n
i
nn
2级 数 是 否 收 敛？
所以原级数收敛,
)1(1
1
是否收敛？级数?
n n
i
n(1); 1
1
2
1
收敛因为
nn
n nx
,1
1
3
1
收敛
nn
n ny
11 n
n
n
n yx 收敛的必要条件是和因为实数项级数
.0l i m0l i m nnnn yx 和
0l i m nn z
级数收敛的必要条件重要结论,,0lim
1
发散级数?
n
nnn zz
收敛的必要条件是所以复数项级数?
1n
nz
:,
1
n
ine级数例如
,0l i ml i m innnn ez因为不满足必要条件,所以原级数发散,
启示,判别级数的敛散性时,可先考察 0l i m?
nn z
,0l i m n
n
z
如果级数发散 ;
应进一步判断,
,0l i m nn z
3,绝对收敛与条件收敛
,,
11
也收敛那么收敛级数如果
n
n
n
n zz
注：,
1
的各项都是非负实数?
n
nz
可用正项级数的审敛法,
定理证 由于,
1
22
1
n
nn
n
n yxz
而,,2222 nnnnnn yxyyxx
根据实数项级数的比较准则,知收敛及
11
n
n
n
n yx
11
收敛及
n
n
n
n yx,
1n
收敛?
nz
非绝对收敛的收敛级数称为 条件收敛级数,
说明,22
nnnn yxyx由
,
111
22
n
k
k
n
k
k
n
k
kk yxyx知如果 收敛,那么称级数 为 绝对收敛,
1n
nz?
1n
nz
定义
,
11
绝对收敛时与
n
n
n
n yx
所以,
1
绝对收敛也?
n
nz
.
111
绝对收敛与绝对收敛
n
n
n
n
n
n yxz
综上,
!)8(
1
是否绝对收敛？级数?
n
n
n
i例 3
,!8
1
收敛?
n
n
n
故原级数收敛,且为绝对收敛,
,!8!)8( nni
nn
因为所以由正项级数的比值判别法知,
解; )1(
1
收敛因为?
n
n
n,2
1
1
收敛也?
n
n
故原级数收敛,
,)1(
1
收敛为条件但?
n
n
n
所以原级数非绝对收敛,
]2 1)1([
1
是否绝对收敛？级数?
n
n
n
in例 4
解小结与思考通过本课的学习,应了解复数列的极限概念 ;
熟悉复数列收敛及复数项级数收敛与绝对收敛的充要条件 ;理解复数项级数收敛、发散、绝对收敛与条件收敛的概念与性质,
:,
11
问均发散和如果复数项级数
n
n
n
n yx
)(
1
也发散吗级数?
n
nn yx
思考题思考题答案 否,
§4.2 复变函数项级数一、幂级数的概念二、幂级数的敛散性三、幂级数的运算和性质一、幂级数的概念
1.复变函数项级数定义,),2,1()}({ 为一复变函数序列设nzf n
)()()()( 21
1
zfzfzfzf n
n
n
其中各项在区域 D内有定义,表达式称为复变函数项级数,记作,)(
1
n
n zf
)()()()( 21 zfzfzfzs nn
称为这级数的 部分和,
级数最前面 n项的和和函数
.
)(,)(,
)()(lim,
00
1
000
它的和称为收敛在那么称级数存在极限内的某一点如果对于
zszzf
zszszD
n
n
n
n
)()()()( 21 zfzfzfzs n
称为该级数在区域 D上的 和函数,
如果级数在 D内处处收敛,那么它的和一定
,)( zsz 的一个函数是例 1 求级数
n
n
n zzzz 2
0
1
的收敛范围与和函数,
解 级数的部分和为
)1(,111 12 zzzzzzs
n
n
n?
1?z zs nn 1 1lim 级数?
0n
nz 收敛,
1?z 0lim nn z 级数?
0n
nz 发散,
收敛范围为一单位圆域,1?z
且有,11 1 2 nzzzz
2,幂级数当 1
01 )()( nnn zzczf 或,)(
11 时 nnn zczf
函数项级数的特殊情形
2
02010
0
0 )()()( zzczzcczzc
n
n
n
nn zzc )( 0
.2210
0
n
n
n
n
n zczczcczc
或这种级数称为 幂级数,
为简便，以下讨论幂级数,
0n
n
n zc
二、幂级数的敛散性
1.收敛定理 (阿贝尔 Abel定理 )
如果级数?
0n
n
n zc )0(0 zz
0zz? 0zz?
0zz?
,z
在 收敛,
,z
那么对的 级数必绝对收敛,如果 在级数发散,那么对满足 的 级数必发散,
满足阿贝尔介绍证,
0
0 收敛因为级数?
n
n
n zc
各项有界，
.0l i m 0 nnn zc则即存在正数 M,,
0 Mzc
n
n?有使对所有的 n,
,0zz?如果而 n
n
n
n
n
n z
zzczc
0
0
.
0
n
z
zM?
从而级数由正项级数的比较判别法知,
,
0
是绝对收敛的故级数?
n
n
n zc
n
n
n
n
n zczczcczc
2
210
0
收敛,
,
0 0
收敛级数
n
n z
zM
那么另一部分的证明可用反证法,
2,收敛圆与收敛半径
（ 1）对所有的复数都收敛,
例如,级数 n
n
n
zzz
2
2
21
对任意固定的 z,从某个 n开始,总有,21?nz
于是有,2
1 n
n
n
n
z?
故该级数对任意的 z均收敛,
（ 2） 对所有的复数，除 z=0 外都发散,
例如，级数 nn znzz 2221
,0 时当?z 通项不趋于零,故级数发散,
对于一个幂级数,其收敛的情况有三种,
0n
n
n zc
x
y
o,?.
R
收敛圆收敛半径幂级数?
0n
n
n zc 的收敛范围是以原点为中心的圆域,
.
（ 3）既存在使级数收敛的复数,也存在使级数发散的复数,
由阿贝尔定理,
zzc
n
n
n
0
在圆周
．外发散在圆周z
,
0
内绝对收敛在圆周 Rzzc
n
n
n
外发散．在圆周 Rz?
则存在正数 R，,内绝对收敛答案,,
0 为中心的圆域是以 zz?
幂级数
0
0 )(
n
n
n zzc
的收敛范围是何区域?问题 1:
在收敛圆周上是收敛还是发散,不能作出一般的结论,要对具体级数进行具体分析,
注意问题 2,幂级数在收敛圆周上的敛散性如何?
例如,级数,
0
2
0
0
n
n
n
n
n
n
n
z
n
z
z
1,1?zR 收敛圆周均为收敛圆周上无收敛点 ;;,1 在其它点都收敛发散在点?z
在收敛圆周上处处收敛,
3,收敛半径的求法方法 1,（比值法）
,0lim 1
n
n
n c
c如果 那么收敛半径,1
R
方法 2,（根值法）
,0l i mn nn c如果 那么收敛半径,1R
说明,
0?
0?
R
R
如果收敛半径公式可记为,1limlim
1 n n
n
n
n
n cc
cR
例 2 求下列幂级数的收敛半径,
(1)?
1
3
n
n
n
z (并讨论在收敛圆周上的情形 )
(2)?
1
)1(
n
n
n
z (并讨论
2,0?z 时的情形 )
或
n
n
n c
R 1l i m
解 (1)
1
lim
n
n
n c
c
R 3)1(lim nn
n
,1?
.1l i m 3
n
n
n
所以收敛半径,1?R
即原级数在圆 1?z 内收敛,在圆外发散,
收敛的 p 级数 ).13(p
所以原级数在收敛圆上是处处收敛的,
在圆周 1?z 上,级数
1
3
1
3
1
nn
n
nn
z
说明,在收敛圆周上既有级数的收敛点,也有级数的发散点,
,0时当?z 原级数成为,1)1(
1
n
n
n交错级数,收敛,
,2时当?z 发散,原级数成为,
1
1
n n
调和级数，
(2)
n
n
c
cR
n
n
n
n
1l i ml i m
1
,1?
inc n c o s?因为
1
lim
n
n
n c
cR
所以收敛半径为
0
)( co s
n
nzin例 3 求幂级数 的收敛半径,
解
),(
2
1 nn ee
.1e?
11l i m
nn
nn
n ee
ee
12
21
l i m
n
n
n ee
e
解 )
4s i n4( co s21
ii因为
nn ic )1(
1
lim
n
n
n c
c
R
例 4?
0
)1(
n
nn zi求 的收敛半径,
,2 4 ie
;)2( 4 i
n
n e
1)2(
)2(
l i m
n
n
n
.
2
2
2
1
p
n
n
n
n n
n
c
cR )1(l i ml i m
1
答案,因为 pn nc 1?
课堂练习 试求幂级数
1n
p
n
n
z
)( 为正整数p 的收敛半径,
p
n n
)11(lim
.1?
三、幂级数的运算和性质
1.幂级数的有理运算
.,)(,,)( 2
0
1
0
rRzbzgrRzazf
n
n
n
n
n
n
设
,)()()(
000
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n zbazbzazgzf
Rz?
),()()()(
00
n
n
n
n
n
n zbzazgzf
0
0110,)(
n
n
nnn zbababa?Rz?
),min( 21 rrR?
2,幂级数的代换 (复合 )运算如果当 rz? 时,,)(
0
n
n
n zazf 又设在
Rz? 内 )(zg 解析且满足,)( rzg?那么当 Rz?
时,?
0
.)]([)]([
n
n
n zgazgf
说明,此代换运算常应用于将函数展开成幂级数,
0
0 )(
n
n
n zzc
定理 设幂级数 的收敛半径为,R 那么
(2) )(zf 在收敛圆 Rzz
0
内的导数可将其幂级数逐项求导得到,.)()(
1
1
0?
n
n
n zznczf即是收敛圆
Rzz 0 内部的解析函数,
0
0 )()(
n
n
n zzczf它的和函数
(1)
3,复变幂级数在收敛圆内的性质
(3) )(zf 在收敛圆内可以逐项积分,
0
0,,d)(d)(
n C
n
n
C
RazCzzzczzf
0
1
0,)(1d)(
n
nn
C
zzn czzf或简言之,在收敛圆内,幂级数的和函数解析 ;
幂级数可逐项求导,逐项积分,
(常用于求和函数 )
即例 5 把函数 bz?1 表成形如?
0
)(
n
n
n azc 的幂级数,其中 ba与 是不相等的复常数,
解 把函数 bz?1 写成如下的形式,
bz 1 )()( 1 abaz
ab
azab
1
11
代数变形,使其分母中出现 )( az?
凑出 )(1 1 zg?
时，当 1 ab az
n
ab
az
ab
az
ab
az
)()(1
1
1
bz 1故 n
n ab
az
ab?
0)(
1
,时当 abaz 级数收敛,且其和为
.1 bz?
n
n ab
az
0
.)(
)(
1
0
1?
n
n
n azab
小结与思考这节课学习了幂级数的概念和阿贝尔定理等内容，应掌握幂级数收敛半径的求法和幂级数的运算性质,
思考题幂级数在收敛圆周上的敛散性如何断定?
思考题答案由于在收敛圆周上 z 确定,可以依复数项级数敛散性讨论,
§4.3 泰勒级数一、问题的引入二、泰勒定理三、将函数展开成泰勒级数一、问题的引入问题,任一个解析函数能否用幂级数来表达？
,)( 内解析在区域设函数 Dzf
．记为为中心的任一圆周内以为 KzD,0
0 rz
,DK 与它的内部全包含于圆周 如图,
D
Kz,内任意点
r
0z
.
K rz 0?圆周
.?
由柯西积分公式,有
K z
f
izf,d
)(
π2
1)(?
其中 K 取正方向,
,,的内部在点上取在圆周因为积分变量 KzK?
.1
0
0?
z
zz
所以
0
00 1
111
z
zzzz
则
D
z.
r
0z
.
K
,?
2
0
0
0
0
0
)()(11 zzzzzzz
n
z
zz )(
0
0
0
01
0
.)()( 1
n
n
n zzz?
1
0
01
0
)(
)(
d)(
π2
1N
n
n
K
n zzz
f
i?
K Nn
n
n zzz
f
i,d)()(
)(
π2
1
01
0
K z
f
i
zf?
d)(
π2
1)(
由高阶导数公式,上式又可写成
1
0
0
0
)(
)()(! )()(
N
n
N
n
n
zRzzn zfzf
其中
K Nn
n
nN zzz
f
izR
d)(
)(
)(
π2
1)(
01
0
,0)(lim zR NN若可知在 K内?
0
0
0
)(
)(! )()(
n
n
n
zzn zfzf
,)( 内可以用幂级数来表示在即 Kzf
令 qr zzzzz 0
0
0
,)( )( 内解析在 DKDzf?则在 K上连续,
,1?
则存在一个正常数 M,.)( MfK上在
szzzfzR
K Nn
n
nN d)()(
)(
π2
1)(
01
0
K Nn
n
s
z
zz
z
f d)(
π2
1
0
0
0
Nn
n rq
r
M 2
2
1
.1 qMq
N
0l i m NN q
K 0)(li m zR NN 在 内成立,
从而在 K内圆周 K 的半径还可以增大,只要 K 内即可,D在
0
0
0
)(
)(! )()(
n
n
n
zzn zfzf
的 泰勒展开式,)(zf 在 0z
泰勒级数称为如果 0z 到 D 的边界上各点的最短距离为,R
0z那么 )(zf 在 的泰勒展开式在 内成立．Rzz
0
由上讨论得重要定理 —— 泰勒展开定理特别地，
二、泰勒定理
,2,1,0),(!1 0)( nzfnc nn其中泰勒级数泰勒展开式定理
R 为 0z 到 的边界上各点的最短距离,D
设 )(zf 在区域 D 内解析,0z 为 D 内的一点,
0
0 )()(
n
n
n zzczf 成立,
泰勒介绍
Rzz 0 时,
当那么说明,
1.由泰勒定理，复变函数展开为泰勒级数的条件要比实函数时弱得多 ; (想一想,为什么?);,
,)(,2
00 zRz
RDzf
即之间的距离到最近一个奇点等于幂级数的收敛半径则内有奇点在如果
y
x
z0?
O
)( 在收敛圆内解析，因为 zf
可以扩大．
则收敛半径还不可能在收敛圆外，否又因为奇点?
不可能在收敛圆内．故奇点?
只能在收敛圆周上．因此奇点?
,)( 0 已被展开成幂级数在设 zzf
202010 )()()( zzazzaazf,)( 0 nn zza
那么,)( 00 azf?,)( 10 azf
即
).,2,1,0( )(!1 0)( nzfna nn
,?
因此,任何解析函数展开成幂级数的结果就是泰勒级数,因而是唯一的,
3,解析 函数在一点处的幂级数 展开式是唯一的,事实上,
,!)( 0)( nn anzf?
4,由泰勒定理及幂级数的性质得,函数在一点解析的充要条件是它在该点的邻域内可以展开为幂级数．
三、将函数展开成泰勒级数常用方法,直接法和间接法,
1.直接法,
,2,1,0,)(!1 0)( nzfnc nn
,)( 0 展开成幂级数在将函数 zzf
由泰勒展开定理计算系数例如,,0 的泰勒展开式在求?ze z
),2,1,0(,1)( 0)( ne znz
故有?
0
2
!!!21 n
nn
z
n
z
n
zzze
,在复平面内处处解析因为 ze
,R所以级数的收敛半径
,)( )( znz ee?因为仿照上例,
,)!12()1(!5!3s i n
1253
n
zzzzz nn
)(R
,)!2()1(!4!21c o s
242
nzzzz
n
n
)(R
,0 c o s s i n 的泰勒展开式在与可得?zzz
2,间接展开法,
借助于一些已知函数的展开式,结合解析函数的性质,幂级数运算性质 (逐项求导,积分等 )和其它数学技巧 (代换等 ),求函数的泰勒展开式,
间接法的优点,
不需要求各阶导数与收敛半径,因而比直接展开更为简洁,使用范围也更为广泛,
例如，
,0 s i n 的泰勒展开式在利用间接展开法求?zz
)(21s i n iziz eeiz
0
12
)!12()1(n
n
n
n
z
0 0 !
)(
!
)(
2
1
n n
nn
n
iz
n
iz
i
例 1,)1( 1 2 的幂级数展开成把函数 zz?
解
nn zzzz )1(11 1 21?z
,11)1( 1 2 zzz 上有一奇点在由于
,1 内处处解析且在?z,的幂级数可展开成 z
zz 1 1)1( 1 2
.1,)1( 11
1
znz nn
n
上式两边逐项求导,
,)1(
0
n
nn z
例 2
.
0 )1l n (
泰勒展开式处的在求对数函数的主值 zz
分析
,1,
1 )1ln (
是它的一个奇点平面内是解析的向左沿负实轴剪开的在从
z
,1 的幂级数内可以展开成所以它在 zz?
如图,1?R
o1? 1 x
y
zzzzz z
n
nn d)1(d
1
1
0 0 0
即
1
)1(
32
)1ln (
132
n
zzz
zz
n
n
1?z
将展开式两端沿 C 逐项积分,得解 zz 1 1)]1[ ln (
0
2 )1()1(1
n
nnnn zzzz)1(?z
,0 1 的曲线到内从为收敛圆设 zzC?
例 3,1
2)( 的幂级数展开成把函数 zz
zzf
解,2
2)( zz
zzf 只有一个奇点由于
．收敛半径 312R
2
21
2)( zz
zzf
3)1(
21
z
3
1
1
1
3
2
1
z
n
n
n z?
3
1)1(
3
21
0
).31( 13 )1(3231
1
zz n
n
n
n
例 4,0a r c t a n 的幂级数展开式在求?zz
解,1 da r c t a n
0 2
z
z
zz因为
1,)()1(1 1
0
2
2
zzz
n
nn且
z zzz 0 21 da r c t a n所以
z
n
nn zz
0 0
2 d)()1(
.1,12)1(
0
12
znz
n
n
n
例 5,c o s 2 的幂级数求 z
解 ),2co s1(21co s 2 zz因为
!6 )2(!4 )2(!2 )2(12c o s
642 zzz
z
zzzz?!62!42!221
664422
)2co s1(21co s 2 zz所以
zzzz?!62!42!221
65432
附,常见函数的泰勒展开式
,!!!21)1
0
2
n
nn
z
n
z
n
zzze
,11 1)2
0
2?
n
nn zzzz
z
,)1()1(11 1)3
0
2?
n
nnnn zzzz
z
,)!12()1(!5!3s in)4
1253
n
zzzzz nn
)1(?z
)1(?z
)(z
)(z
,)!2()1(!4!21c o s)5
242
nzzzz
n
n
)(z
,1)1(32)1ln ()6
132
n
zzzzz nn
0
1
1)1(n
n
n
n
z
)1(?z
32 !3 )2)(1(!2 )1(1)1()7 zzzz
,! )1()1( nzn n )1(?z
例 6,1 1 的幂级数展开成把 ze z?
解 利用微分方程法
,)( 1
1
zezf因为
2
1
1
)1(
1)(
zezf
z
,
)
1)(
2zzf
,0)()()1( 2 zfzfz所以对上式求导得 0)()32()()1( 2 zfzzfz
0)(2)()54()()1( 2 zfzfzzfz
由此可得
,)0()0( eff,3)0( ef,13)0( ef
故,!313!231 321
1
zzzee z )1(?z
小结与思考通过本课的学习,应理解泰勒展开定理,熟记五个基本函数的泰勒展开式,掌握将函数展开成泰勒级数的方法,能比较熟练的把一些解析函数展开成泰勒级数,
思考题奇、偶函数的泰勒级数有什么特点?
思考题答案奇函数的泰勒级数只含 z 的奇次幂项,偶函数的泰勒级数只含 z 的偶次幂项,
§4.4 洛朗级数一、问题的引入二、洛朗级数的概念三、函数的洛朗展开式一、问题的引入问题,
,
,)( 00
的其它级数形式是否能表示为不解析在如果 zzzzf?
n
n
n zzc )( 0
考虑双边幂级数负幂项部分 正幂项部分主要部分 解析部分同时收敛收敛
n
n
n
n zzc )( 0
n
n
n
n
n
n zzczzc )()( 0
0
0
1
n
n
n zzc )( 0
0
n
n
n zzc
)( 0
1
10 )( zz?令 n
n
nc
1
收敛半径收敛时,R
10
1 R
Rzz
收敛域收敛半径 2R
20 Rzz
:)1( 21 RR?若 两收敛域无公共部分．
:)2( 21 RR?两收敛域有公共部分 H,.201 RzzR
RH R
2z
0 R
1
结论,的收敛区域为双边幂级数 n
n
n zzc )( 0
.201 RzzR圆环域
1R
2R
,0z
常见的特殊圆环域,
2R
,0z
200 Rzz
1R,0z
01 zzR 00 zz
,0z
在圆环域内解析的函数是否能展开成双边幂级数?
二、洛朗级数的概念定理 内处处解析，在圆环域设 )(
201 RzzRzf
,)()( 0 n
n
n zzczf
C
nn z
f
ic
d
)(
)(
π2
1
1
0
其中
),1,0(n
C为圆环域内绕 的任一正向简单闭曲线,0z
为洛朗系数,
)( 内可展开成双边幂级数此圆环域在那么 zf
洛朗级数洛朗展开式
0z
C R
2
R1
d
π2
1d
π2
1)(
12
KK z
f
iz
f
izf
证
0zR
r
2R
.z
1K
2K
1R.
，为圆环域内的任一点设 z 为以在圆环域内作 0 z
，与中心的正向圆周 21 KK
，的半径小于的半径 RKrK 21
之间，与位于且使 21 KKz
如图：
由多连通区域上的柯西积分公式（ P69推论 2）得：
)()(
11
00 zzzz
对于第一个积分,
0 0
0
0
1
n
n
z
zz
z
0zR
r
2R
.z
1K
2K
1R
.
.?,)(
)(
0
1
0
0?
n
n
n
z
zz
22 内部，在上，在 KzK?,1
0
0?
z
zz
则
n
n
n zzc )( 0
0
d)(π2 1
2K z
f
i所以
n
n K
n zzz
f
i )(d)(
)(
π2
1
0
0
1
02
d)(π2 1
2K z
f
i
0
00 1
11
z
zzz
对于第二个积分,
d)(
π2
1
1K z
f
i
z
1
0
00 1
11
zz
zzz
11 外部，在上，在 KzK?,1
0
0?
zz
z?则
R
2R
1K
2K,?
0z,z1R
.r?
1 0
1
0
)(
)(
n
n
n
zz
z?
,)()( 1 0
1
1
0
n
n
n zzz
d)(π2 1
1
K zfi则
)()(d)( )(π2 1 0
1
1
1
01
zRzzzfi Nn
N
n K
n
)( zR N?
d
)(
)()(
π2
1
1 0
1
0
K Nn n
n
zz
fz
i
下面证明,0)(lim 1 外部成立在 KzR NN
00
0
zz
r
zz
zq
令
.10, q无关与积分变量?
))(()( 的连续性决定由因为又 zfMf
s
zz
z
z
fzR
K Nn
n
N d
)(
π2
1)(
1 0
0
0
rqrM n
Nn
221,1 qMq
N
.0)(l i m zR NN所以
,)( 0
1
n
n
n zzc
d)(π2 1
1
K z
f
i于是
n
n K
n zzz
f
i
)(d)(
)(
π2
1
0
1
1
01
d)(π2 1d)(π2 1)(
12
KK zfizfizf则
n
n
n
n
n
n zzczzc
)()( 0
1
0
0
.)( 0 n
n
n zzc
0z
C R
2
R1 ),2,1,0(d)(
)(
π2
1
1
0
nzfic
C nn
如果 C为在圆环域内绕 的任何一条正向简单0z
闭曲线，
式子表示为,
nn cc?与 可用一个
[证毕 ]
则根据复合闭路定理，
.)()( 0 n
n
n zzczf
说明,
函数 )(zf 在圆环域内的 洛朗展开式
)(zf 在圆环域内的 洛朗 (Laurent)级数,
n
n
n zzczf )()( 0
1)
2) 某一圆环域内的解析函数展开为含有正、负幂项的级数是唯一的,这就是 f (z) 的洛朗级数,
定理给出了将圆环域内解析的函数展为洛朗级数的一般方法,
三、函数的洛朗展开式
1,直接展开法利用定理公式计算系数 nc
),2,1,0(d)( )(π2 1 1
0
nzfic
C
nn
然后写出,)()( 0 n
n
n zzczf
根据正、负幂项组成的的级数的唯一性,可用代数运算、代换、求导和积分等方法去展开,
2,间接展开法例 1,0 内在 z,)( 2 展开成洛朗级数将 zezf
z
解
z0
!4!3!21
1 432
22
zzzz
zz
e z
!4!3!2111
2
2
zz
zz
本例中 z = 0 既是各负幂项的奇点,,2 的奇点也是函数 ze
z
.
)!2(
11
0
2?
n
n
n
z
zz
解 z0z zzf s i n)(?
.)!12( )1(
0
2
n
nn
n
z
练习
.
0
s i n
0
洛朗级数的去心邻域内展开成在将函数?z
z
z
)!12()1(!51!311
12
53
n
zzzz
z
n
n
例 2
,)2)(1( 1)( 在圆环域把函数 zzzf;10)1 z ;21)2 z,2)3 z
内展开成洛朗级数,
解
,1121)( zzzf
x
y
O 1 x
y
O 1 2 x
y
O 2
o x
y
1,1?z由于
2
1
1
2
1
0 z
z
n
n
12?z从而
,10 )1 内在 z
zzzzzf 2
1
1
1
1
1
2
1)(
00 22
1
n
n
n
n
n zz
.)2 11(
0
1?
n
n
n z
解析．在因为内的泰勒展开式相同，在不含负幂项，与
0)(
1)(
zzf
zzf
,21 )2 内在 z
1 2o x
y
1?z由 11?z
2?z 12?z
1
1
2
1)(
zzzf
z
zz 11
11
2
1
1
2
1
00
11
22
1
n
n
n
n
zz
z,1
2 0 10 1
n
n
n
n
n
z
z
,2 )3 内在 z
2o x
y
2?z由 12?z
1
1
2
1)(
zzzf
z
z
z
z 11
11
2
1
11
00
1121
n
n
n
n
zzzz,
12
0
1?
n
n
n
z
注意,0?z
奇点但却不是函数 )2)(1( 1)( zzzf 的奇点,
本例中圆环域的中心 是各负幂项的说明,
1,函数 )(zf 在以 0z 为中心的圆环域内的洛朗级数中尽管含有 0zz? 的负幂项,而且 0z 又是这些项的奇点,但是 0z 可能是函数 )(zf 的奇点,也可能
)(zf 的奇点,不是 可以在奇点展开为即函数 )( zf
奇点展开．洛朗级数，也可以在非
2,给定了函数 )(zf 与复平面内的一点 0z 以后,
域内解析，则在各个不同的圆环域中有不同的回答：不矛盾,
朗展开式是唯一的 )
问题：这与洛朗展开式的唯一性是否相矛盾?
(唯一性,指函数在某一个给定的圆环域内的洛若函数在以 为中心（由奇点隔开的 )不同圆环0z
洛朗展开式 (包括泰勒展开式作为它的特例 ).
因此,f (z)在以 i 为中心的圆环域 (包括圆域 )内的展开式有三个,
iO
i
为洛朗级数：处展开函数例如在 )( 21)( izz izfiz
上．与为中心的圆周分别在以
，及有两个奇点在复平面上函数
2 1
0 )(
izizi
izzzf
1)在 |z?i|<1 中的泰勒展开式 ;
2)在 1<|z?i|<2 中的洛朗展开式 ;
3)在 2<|z?i|<+? 中的洛朗展开式．
例 3
在两个奇点求函数 )2)(1( 1)( zzzf
开式．的去心邻域内的洛朗展及 21 zz
解
11
1
1
1)(
zz
zf
,110 1 )1( 内的去心邻域在 zz
)1(1
1
1
1
zz
.)1(11
0
n
nz
z
x
y
O 21,.
.)1(
0
1?
n
nz
例 3
在两个奇点求函数 )2)(1( 1)( zzzf
开式．的去心邻域内的洛朗展及 21 zz
解
12
1
2
1)(
zzzf
x
y
O 21,.
,120 2 )2( 内的去心邻域在 zz
0
)2()1(21
n
nn z
z
.)2()1(
0
1?
n
nn z
例 4
.
)2)((
1
)(
展开成洛朗级数在下列圆环域内将
ziz
zf
,21)1( z,2)2( z
解,21 )1( 内在 z有,12,1 zzi
)2)(( 1)( zizzf?
zizi 2
11
2
1
2
12
1
1
1
2
1
z
z
i
z
i
0 0
1
1
2)(2
1
n n
n
n
nn zzi
i
.22 1)(2 1
0
1
1
0
n
n
n
n
n
n z
izii
,2 )2( 内在 z 12,1 zzi
2
11
2
1)(
zizizf故
z
z
z
i
z
i 2
1
1
1
1
2
1
0 0
11 2)(
2
1
n n
nnnn zzi
i
,2)(2 1
0
1?
n
nnn zi
i
同一级数在不同圆环域内的洛朗级数展开式是不同的,
例 5,)1)(2( 52)( 2
2
在以下圆环域求 zz zzzf
内的洛朗展开式,;21)1( z 520)2( z
解 1221)( 2 zzzf
,21 )1 时当 z?
2
2 11
2
1
2
2
1
)(
z
zz
zf
2
2 1
1
12
2
1
1
2
1
z
zz
n
n
n
n
n
zz
z?
2
0
2
0
1)1(2
22
1
.2)1(2
0
1
1
2
1
n
n
n
n
n
n z
z
,520 )2 内在 z
1
2
2
1)(
2 zzzf
iziziz
11
2
1
)2()2(
1
)2()2(
1
2
1
iziziz
i
z
i
i
z
i
i
z
2
2
1)2(
1
2
2
1)2(
1
2
1
0 0 2
2)1(
2
1
2
2)1(
2
1
2
1
n n
n
n
n
n
i
z
ii
z
i
i
z
.5 )2(])2()2[()1(21 111
0
n
n
nn
n
n ziii
z
11
0 )2(
1
)2(
1)2()1(
2
1
nn
n
n
n
iiziz
课堂练习
.
2
)2(
1
展开成洛朗级数为中心的圆环域内在将函数?
z
zz
解答
,220 )1( 内在 z
)2( 1)( zzzf?
2
2
1
1
2
1
2
1
zz
0
1
1 )2(2
)1(
n
n
n
n
z
)2(
1
2
1
zz
课堂练习
.
2
)2(
1
展开成洛朗级数为中心的圆环域内在将函数?
z
zz
解答
,22 )2( 内在 z
)2( 1)( zzzf
2
2
1
1
2
1
2
1
z-
zz )2(2
1
zz
0
2 2
2)1(
)2(
1
n
n
n
zz?
0
2,)2(
12)1(
n
n
nn
z
小结与思考在这节课中,我们学习了洛朗展开定理和函数展开成洛朗级数的方法,将函数展开成洛朗级数是本节的重点和难点,
思考题洛朗级数与泰勒级数有何关系?
洛朗级数是一个双边幂级数,其解析部分是一个普通幂级数（泰勒级数） ;
.0 Rzzr
思考题答案是一般与特殊的关系,
洛朗级数的收敛区域是圆环域
.级数了洛朗级数就退化为泰勒解析时，在当 0)(,0 zzfr?
泰勒级数的收敛区域是圆域,
0 Rzz
§4.1 复数项级数一、复数列的极限二、复数项级数的概念一、复数列的极限
1.定义
,,0 N自然数若,0 zzNn n时，有当
,0z收敛于记作
0l i m zz nn
,),2,1( }{ 其中为一复数列设nz n
,nnn iyxz,000 为一确定的复数又设 iyxz
}{ nz则称复数列
.)( 0 nzz n或
.}{ }{ 发散不收敛，则称若数列 nn zz
.}{ 0 为极限以或称 zz n
2.复数列收敛的条件
),2,1(}{ 0 的充要条件是收敛于复数列定理 znz n
,l i m 0zz nn如果,0,0 N?则,时当 Nn?
,)()( 00 iyxiyx nn
证
,)()( 000 yyixxxx nnn从而有
.l i m 0xx nn
.lim 0yy nn
所以同理
.lim,lim 00 yyxx nnnn
.2,2 00 yyxx nn
反之,如果,lim,lim
00 yyxx nnnn
,时那么当 Nn?
从而有 )()(
000 iyxiyxzz nnn
)()( 00 yyixx nn
该定理说明,可将复数列的敛散性转化为判别两个实数列的敛散性,
.lim 0zz nn所以 [证毕 ]
,00 yyxx nn
ni
n enz
)11()1(因为下列数列是否收敛,如果收敛,求出其极限,;)11()1( n
i
n enz
.si n)11( nny n,πc o s)11(
nnx n所以而,0lim,1lim
nnnn yx
解例 1
),s i n) ( co s11( ninn
.c o s)2( innz n?
,收敛数列,1l i m?
nn z且
)2(
2
)(c o s nn
n
eeninnz由于
,时当n 所以数列发散,,nz
课堂练习,
下列数列是否收敛? 如果收敛,求出其极限,;11)1( niniz n;1)1()2( n iz nn
.1)3( 2
in
n enz
innnnz n 22
2
1
2
1
1
).( 1 n
发散
2
s i n1
2
c o s1 n
n
in
n
z n
).( 0 n
二、复数项级数的概念
1.定义,),2,1(}{}{ 为一复数列设 nyxz nnn
n
n
n zzzz 21
1
表达式称为复数项无穷级数,
其最前面 n 项的和 nn zzzs21
称为级数的部分和,
部分和收敛与发散
,}{ 收敛如果部分和数列 ns
,
1
收敛那么级数?
n
nz
.lim 称为级数的和并且极限 ss nn
说明,
.lim ss nn利用极限与实数项级数相同,判别复数项级数敛散性的基本方法是,
,}{ 不收敛如果部分和数列 ns
,
1
发散那么级数?
n
nz
:,
0
n
nz级数例如
1-21 nn zzzs
,1 时由于当?z
,)1(11 zzz
n
z
zs n
nnn?
1
1li mli m,
1
1
z
,1 时级数收敛所以当?z
2.复数项级数收敛的条件证
n
k
k
n
k
k
n
k
kn yixzs
111
,nn i
)(
11
收敛的充要条件是级数
n
nn
n
n iyxz
,
11
都收敛和
n
n
n
n yx
定理收敛 }{ ns 都收敛和 }{ }{ nn
,
11
n
n
n
n yx 都收敛和
1
收敛级数
n
nz
说明 复数项级数的审敛问题
实数项级数的审敛问题
(定理 )
则例 2 1
1
12
是否收敛？级数?
n
n
n
i
解
11
12 )1(11
n
n
n
n
n
i
n
i
,1
1
发散级数因为?
n n
.原级数仍发散
,1)1(
1
收敛虽?
n
n
n
1
1
n n
1
1)1(
n
n
ni; 1
11
发散因为
nn
n nx
,1
1
2
1
收敛
nn
n ny
所以原级数发散,
课堂练习
1
1( 2) ( 1 )
n
i
nn
2级 数 是 否 收 敛？
所以原级数收敛,
)1(1
1
是否收敛？级数?
n n
i
n(1); 1
1
2
1
收敛因为
nn
n nx
,1
1
3
1
收敛
nn
n ny
11 n
n
n
n yx 收敛的必要条件是和因为实数项级数
.0l i m0l i m nnnn yx 和
0l i m nn z
级数收敛的必要条件重要结论,,0lim
1
发散级数?
n
nnn zz
收敛的必要条件是所以复数项级数?
1n
nz
:,
1
n
ine级数例如
,0l i ml i m innnn ez因为不满足必要条件,所以原级数发散,
启示,判别级数的敛散性时,可先考察 0l i m?
nn z
,0l i m n
n
z
如果级数发散 ;
应进一步判断,
,0l i m nn z
3,绝对收敛与条件收敛
,,
11
也收敛那么收敛级数如果
n
n
n
n zz
注：,
1
的各项都是非负实数?
n
nz
可用正项级数的审敛法,
定理证 由于,
1
22
1
n
nn
n
n yxz
而,,2222 nnnnnn yxyyxx
根据实数项级数的比较准则,知收敛及
11
n
n
n
n yx
11
收敛及
n
n
n
n yx,
1n
收敛?
nz
非绝对收敛的收敛级数称为 条件收敛级数,
说明,22
nnnn yxyx由
,
111
22
n
k
k
n
k
k
n
k
kk yxyx知如果 收敛,那么称级数 为 绝对收敛,
1n
nz?
1n
nz
定义
,
11
绝对收敛时与
n
n
n
n yx
所以,
1
绝对收敛也?
n
nz
.
111
绝对收敛与绝对收敛
n
n
n
n
n
n yxz
综上,
!)8(
1
是否绝对收敛？级数?
n
n
n
i例 3
,!8
1
收敛?
n
n
n
故原级数收敛,且为绝对收敛,
,!8!)8( nni
nn
因为所以由正项级数的比值判别法知,
解; )1(
1
收敛因为?
n
n
n,2
1
1
收敛也?
n
n
故原级数收敛,
,)1(
1
收敛为条件但?
n
n
n
所以原级数非绝对收敛,
]2 1)1([
1
是否绝对收敛？级数?
n
n
n
in例 4
解小结与思考通过本课的学习,应了解复数列的极限概念 ;
熟悉复数列收敛及复数项级数收敛与绝对收敛的充要条件 ;理解复数项级数收敛、发散、绝对收敛与条件收敛的概念与性质,
:,
11
问均发散和如果复数项级数
n
n
n
n yx
)(
1
也发散吗级数?
n
nn yx
思考题思考题答案 否,
§4.2 复变函数项级数一、幂级数的概念二、幂级数的敛散性三、幂级数的运算和性质一、幂级数的概念
1.复变函数项级数定义,),2,1()}({ 为一复变函数序列设nzf n
)()()()( 21
1
zfzfzfzf n
n
n
其中各项在区域 D内有定义,表达式称为复变函数项级数,记作,)(
1
n
n zf
)()()()( 21 zfzfzfzs nn
称为这级数的 部分和,
级数最前面 n项的和和函数
.
)(,)(,
)()(lim,
00
1
000
它的和称为收敛在那么称级数存在极限内的某一点如果对于
zszzf
zszszD
n
n
n
n
)()()()( 21 zfzfzfzs n
称为该级数在区域 D上的 和函数,
如果级数在 D内处处收敛,那么它的和一定
,)( zsz 的一个函数是例 1 求级数
n
n
n zzzz 2
0
1
的收敛范围与和函数,
解 级数的部分和为
)1(,111 12 zzzzzzs
n
n
n?
1?z zs nn 1 1lim 级数?
0n
nz 收敛,
1?z 0lim nn z 级数?
0n
nz 发散,
收敛范围为一单位圆域,1?z
且有,11 1 2 nzzzz
2,幂级数当 1
01 )()( nnn zzczf 或,)(
11 时 nnn zczf
函数项级数的特殊情形
2
02010
0
0 )()()( zzczzcczzc
n
n
n
nn zzc )( 0
.2210
0
n
n
n
n
n zczczcczc
或这种级数称为 幂级数,
为简便，以下讨论幂级数,
0n
n
n zc
二、幂级数的敛散性
1.收敛定理 (阿贝尔 Abel定理 )
如果级数?
0n
n
n zc )0(0 zz
0zz? 0zz?
0zz?
,z
在 收敛,
,z
那么对的 级数必绝对收敛,如果 在级数发散,那么对满足 的 级数必发散,
满足阿贝尔介绍证,
0
0 收敛因为级数?
n
n
n zc
各项有界，
.0l i m 0 nnn zc则即存在正数 M,,
0 Mzc
n
n?有使对所有的 n,
,0zz?如果而 n
n
n
n
n
n z
zzczc
0
0
.
0
n
z
zM?
从而级数由正项级数的比较判别法知,
,
0
是绝对收敛的故级数?
n
n
n zc
n
n
n
n
n zczczcczc
2
210
0
收敛,
,
0 0
收敛级数
n
n z
zM
那么另一部分的证明可用反证法,
2,收敛圆与收敛半径
（ 1）对所有的复数都收敛,
例如,级数 n
n
n
zzz
2
2
21
对任意固定的 z,从某个 n开始,总有,21?nz
于是有,2
1 n
n
n
n
z?
故该级数对任意的 z均收敛,
（ 2） 对所有的复数，除 z=0 外都发散,
例如，级数 nn znzz 2221
,0 时当?z 通项不趋于零,故级数发散,
对于一个幂级数,其收敛的情况有三种,
0n
n
n zc
x
y
o,?.
R
收敛圆收敛半径幂级数?
0n
n
n zc 的收敛范围是以原点为中心的圆域,
.
（ 3）既存在使级数收敛的复数,也存在使级数发散的复数,
由阿贝尔定理,
zzc
n
n
n
0
在圆周
．外发散在圆周z
,
0
内绝对收敛在圆周 Rzzc
n
n
n
外发散．在圆周 Rz?
则存在正数 R，,内绝对收敛答案,,
0 为中心的圆域是以 zz?
幂级数
0
0 )(
n
n
n zzc
的收敛范围是何区域?问题 1:
在收敛圆周上是收敛还是发散,不能作出一般的结论,要对具体级数进行具体分析,
注意问题 2,幂级数在收敛圆周上的敛散性如何?
例如,级数,
0
2
0
0
n
n
n
n
n
n
n
z
n
z
z
1,1?zR 收敛圆周均为收敛圆周上无收敛点 ;;,1 在其它点都收敛发散在点?z
在收敛圆周上处处收敛,
3,收敛半径的求法方法 1,（比值法）
,0lim 1
n
n
n c
c如果 那么收敛半径,1
R
方法 2,（根值法）
,0l i mn nn c如果 那么收敛半径,1R
说明,
0?
0?
R
R
如果收敛半径公式可记为,1limlim
1 n n
n
n
n
n cc
cR
例 2 求下列幂级数的收敛半径,
(1)?
1
3
n
n
n
z (并讨论在收敛圆周上的情形 )
(2)?
1
)1(
n
n
n
z (并讨论
2,0?z 时的情形 )
或
n
n
n c
R 1l i m
解 (1)
1
lim
n
n
n c
c
R 3)1(lim nn
n
,1?
.1l i m 3
n
n
n
所以收敛半径,1?R
即原级数在圆 1?z 内收敛,在圆外发散,
收敛的 p 级数 ).13(p
所以原级数在收敛圆上是处处收敛的,
在圆周 1?z 上,级数
1
3
1
3
1
nn
n
nn
z
说明,在收敛圆周上既有级数的收敛点,也有级数的发散点,
,0时当?z 原级数成为,1)1(
1
n
n
n交错级数,收敛,
,2时当?z 发散,原级数成为,
1
1
n n
调和级数，
(2)
n
n
c
cR
n
n
n
n
1l i ml i m
1
,1?
inc n c o s?因为
1
lim
n
n
n c
cR
所以收敛半径为
0
)( co s
n
nzin例 3 求幂级数 的收敛半径,
解
),(
2
1 nn ee
.1e?
11l i m
nn
nn
n ee
ee
12
21
l i m
n
n
n ee
e
解 )
4s i n4( co s21
ii因为
nn ic )1(
1
lim
n
n
n c
c
R
例 4?
0
)1(
n
nn zi求 的收敛半径,
,2 4 ie
;)2( 4 i
n
n e
1)2(
)2(
l i m
n
n
n
.
2
2
2
1
p
n
n
n
n n
n
c
cR )1(l i ml i m
1
答案,因为 pn nc 1?
课堂练习 试求幂级数
1n
p
n
n
z
)( 为正整数p 的收敛半径,
p
n n
)11(lim
.1?
三、幂级数的运算和性质
1.幂级数的有理运算
.,)(,,)( 2
0
1
0
rRzbzgrRzazf
n
n
n
n
n
n
设
,)()()(
000
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n zbazbzazgzf
Rz?
),()()()(
00
n
n
n
n
n
n zbzazgzf
0
0110,)(
n
n
nnn zbababa?Rz?
),min( 21 rrR?
2,幂级数的代换 (复合 )运算如果当 rz? 时,,)(
0
n
n
n zazf 又设在
Rz? 内 )(zg 解析且满足,)( rzg?那么当 Rz?
时,?
0
.)]([)]([
n
n
n zgazgf
说明,此代换运算常应用于将函数展开成幂级数,
0
0 )(
n
n
n zzc
定理 设幂级数 的收敛半径为,R 那么
(2) )(zf 在收敛圆 Rzz
0
内的导数可将其幂级数逐项求导得到,.)()(
1
1
0?
n
n
n zznczf即是收敛圆
Rzz 0 内部的解析函数,
0
0 )()(
n
n
n zzczf它的和函数
(1)
3,复变幂级数在收敛圆内的性质
(3) )(zf 在收敛圆内可以逐项积分,
0
0,,d)(d)(
n C
n
n
C
RazCzzzczzf
0
1
0,)(1d)(
n
nn
C
zzn czzf或简言之,在收敛圆内,幂级数的和函数解析 ;
幂级数可逐项求导,逐项积分,
(常用于求和函数 )
即例 5 把函数 bz?1 表成形如?
0
)(
n
n
n azc 的幂级数,其中 ba与 是不相等的复常数,
解 把函数 bz?1 写成如下的形式,
bz 1 )()( 1 abaz
ab
azab
1
11
代数变形,使其分母中出现 )( az?
凑出 )(1 1 zg?
时，当 1 ab az
n
ab
az
ab
az
ab
az
)()(1
1
1
bz 1故 n
n ab
az
ab?
0)(
1
,时当 abaz 级数收敛,且其和为
.1 bz?
n
n ab
az
0
.)(
)(
1
0
1?
n
n
n azab
小结与思考这节课学习了幂级数的概念和阿贝尔定理等内容，应掌握幂级数收敛半径的求法和幂级数的运算性质,
思考题幂级数在收敛圆周上的敛散性如何断定?
思考题答案由于在收敛圆周上 z 确定,可以依复数项级数敛散性讨论,
§4.3 泰勒级数一、问题的引入二、泰勒定理三、将函数展开成泰勒级数一、问题的引入问题,任一个解析函数能否用幂级数来表达？
,)( 内解析在区域设函数 Dzf
．记为为中心的任一圆周内以为 KzD,0
0 rz
,DK 与它的内部全包含于圆周 如图,
D
Kz,内任意点
r
0z
.
K rz 0?圆周
.?
由柯西积分公式,有
K z
f
izf,d
)(
π2
1)(?
其中 K 取正方向,
,,的内部在点上取在圆周因为积分变量 KzK?
.1
0
0?
z
zz
所以
0
00 1
111
z
zzzz
则
D
z.
r
0z
.
K
,?
2
0
0
0
0
0
)()(11 zzzzzzz
n
z
zz )(
0
0
0
01
0
.)()( 1
n
n
n zzz?
1
0
01
0
)(
)(
d)(
π2
1N
n
n
K
n zzz
f
i?
K Nn
n
n zzz
f
i,d)()(
)(
π2
1
01
0
K z
f
i
zf?
d)(
π2
1)(
由高阶导数公式,上式又可写成
1
0
0
0
)(
)()(! )()(
N
n
N
n
n
zRzzn zfzf
其中
K Nn
n
nN zzz
f
izR
d)(
)(
)(
π2
1)(
01
0
,0)(lim zR NN若可知在 K内?
0
0
0
)(
)(! )()(
n
n
n
zzn zfzf
,)( 内可以用幂级数来表示在即 Kzf
令 qr zzzzz 0
0
0
,)( )( 内解析在 DKDzf?则在 K上连续,
,1?
则存在一个正常数 M,.)( MfK上在
szzzfzR
K Nn
n
nN d)()(
)(
π2
1)(
01
0
K Nn
n
s
z
zz
z
f d)(
π2
1
0
0
0
Nn
n rq
r
M 2
2
1
.1 qMq
N
0l i m NN q
K 0)(li m zR NN 在 内成立,
从而在 K内圆周 K 的半径还可以增大,只要 K 内即可,D在
0
0
0
)(
)(! )()(
n
n
n
zzn zfzf
的 泰勒展开式,)(zf 在 0z
泰勒级数称为如果 0z 到 D 的边界上各点的最短距离为,R
0z那么 )(zf 在 的泰勒展开式在 内成立．Rzz
0
由上讨论得重要定理 —— 泰勒展开定理特别地，
二、泰勒定理
,2,1,0),(!1 0)( nzfnc nn其中泰勒级数泰勒展开式定理
R 为 0z 到 的边界上各点的最短距离,D
设 )(zf 在区域 D 内解析,0z 为 D 内的一点,
0
0 )()(
n
n
n zzczf 成立,
泰勒介绍
Rzz 0 时,
当那么说明,
1.由泰勒定理，复变函数展开为泰勒级数的条件要比实函数时弱得多 ; (想一想,为什么?);,
,)(,2
00 zRz
RDzf
即之间的距离到最近一个奇点等于幂级数的收敛半径则内有奇点在如果
y
x
z0?
O
)( 在收敛圆内解析，因为 zf
可以扩大．
则收敛半径还不可能在收敛圆外，否又因为奇点?
不可能在收敛圆内．故奇点?
只能在收敛圆周上．因此奇点?
,)( 0 已被展开成幂级数在设 zzf
202010 )()()( zzazzaazf,)( 0 nn zza
那么,)( 00 azf?,)( 10 azf
即
).,2,1,0( )(!1 0)( nzfna nn
,?
因此,任何解析函数展开成幂级数的结果就是泰勒级数,因而是唯一的,
3,解析 函数在一点处的幂级数 展开式是唯一的,事实上,
,!)( 0)( nn anzf?
4,由泰勒定理及幂级数的性质得,函数在一点解析的充要条件是它在该点的邻域内可以展开为幂级数．
三、将函数展开成泰勒级数常用方法,直接法和间接法,
1.直接法,
,2,1,0,)(!1 0)( nzfnc nn
,)( 0 展开成幂级数在将函数 zzf
由泰勒展开定理计算系数例如,,0 的泰勒展开式在求?ze z
),2,1,0(,1)( 0)( ne znz
故有?
0
2
!!!21 n
nn
z
n
z
n
zzze
,在复平面内处处解析因为 ze
,R所以级数的收敛半径
,)( )( znz ee?因为仿照上例,
,)!12()1(!5!3s i n
1253
n
zzzzz nn
)(R
,)!2()1(!4!21c o s
242
nzzzz
n
n
)(R
,0 c o s s i n 的泰勒展开式在与可得?zzz
2,间接展开法,
借助于一些已知函数的展开式,结合解析函数的性质,幂级数运算性质 (逐项求导,积分等 )和其它数学技巧 (代换等 ),求函数的泰勒展开式,
间接法的优点,
不需要求各阶导数与收敛半径,因而比直接展开更为简洁,使用范围也更为广泛,
例如，
,0 s i n 的泰勒展开式在利用间接展开法求?zz
)(21s i n iziz eeiz
0
12
)!12()1(n
n
n
n
z
0 0 !
)(
!
)(
2
1
n n
nn
n
iz
n
iz
i
例 1,)1( 1 2 的幂级数展开成把函数 zz?
解
nn zzzz )1(11 1 21?z
,11)1( 1 2 zzz 上有一奇点在由于
,1 内处处解析且在?z,的幂级数可展开成 z
zz 1 1)1( 1 2
.1,)1( 11
1
znz nn
n
上式两边逐项求导,
,)1(
0
n
nn z
例 2
.
0 )1l n (
泰勒展开式处的在求对数函数的主值 zz
分析
,1,
1 )1ln (
是它的一个奇点平面内是解析的向左沿负实轴剪开的在从
z
,1 的幂级数内可以展开成所以它在 zz?
如图,1?R
o1? 1 x
y
zzzzz z
n
nn d)1(d
1
1
0 0 0
即
1
)1(
32
)1ln (
132
n
zzz
zz
n
n
1?z
将展开式两端沿 C 逐项积分,得解 zz 1 1)]1[ ln (
0
2 )1()1(1
n
nnnn zzzz)1(?z
,0 1 的曲线到内从为收敛圆设 zzC?
例 3,1
2)( 的幂级数展开成把函数 zz
zzf
解,2
2)( zz
zzf 只有一个奇点由于
．收敛半径 312R
2
21
2)( zz
zzf
3)1(
21
z
3
1
1
1
3
2
1
z
n
n
n z?
3
1)1(
3
21
0
).31( 13 )1(3231
1
zz n
n
n
n
例 4,0a r c t a n 的幂级数展开式在求?zz
解,1 da r c t a n
0 2
z
z
zz因为
1,)()1(1 1
0
2
2
zzz
n
nn且
z zzz 0 21 da r c t a n所以
z
n
nn zz
0 0
2 d)()1(
.1,12)1(
0
12
znz
n
n
n
例 5,c o s 2 的幂级数求 z
解 ),2co s1(21co s 2 zz因为
!6 )2(!4 )2(!2 )2(12c o s
642 zzz
z
zzzz?!62!42!221
664422
)2co s1(21co s 2 zz所以
zzzz?!62!42!221
65432
附,常见函数的泰勒展开式
,!!!21)1
0
2
n
nn
z
n
z
n
zzze
,11 1)2
0
2?
n
nn zzzz
z
,)1()1(11 1)3
0
2?
n
nnnn zzzz
z
,)!12()1(!5!3s in)4
1253
n
zzzzz nn
)1(?z
)1(?z
)(z
)(z
,)!2()1(!4!21c o s)5
242
nzzzz
n
n
)(z
,1)1(32)1ln ()6
132
n
zzzzz nn
0
1
1)1(n
n
n
n
z
)1(?z
32 !3 )2)(1(!2 )1(1)1()7 zzzz
,! )1()1( nzn n )1(?z
例 6,1 1 的幂级数展开成把 ze z?
解 利用微分方程法
,)( 1
1
zezf因为
2
1
1
)1(
1)(
zezf
z
,
)
1)(
2zzf
,0)()()1( 2 zfzfz所以对上式求导得 0)()32()()1( 2 zfzzfz
0)(2)()54()()1( 2 zfzfzzfz
由此可得
,)0()0( eff,3)0( ef,13)0( ef
故,!313!231 321
1
zzzee z )1(?z
小结与思考通过本课的学习,应理解泰勒展开定理,熟记五个基本函数的泰勒展开式,掌握将函数展开成泰勒级数的方法,能比较熟练的把一些解析函数展开成泰勒级数,
思考题奇、偶函数的泰勒级数有什么特点?
思考题答案奇函数的泰勒级数只含 z 的奇次幂项,偶函数的泰勒级数只含 z 的偶次幂项,
§4.4 洛朗级数一、问题的引入二、洛朗级数的概念三、函数的洛朗展开式一、问题的引入问题,
,
,)( 00
的其它级数形式是否能表示为不解析在如果 zzzzf?
n
n
n zzc )( 0
考虑双边幂级数负幂项部分 正幂项部分主要部分 解析部分同时收敛收敛
n
n
n
n zzc )( 0
n
n
n
n
n
n zzczzc )()( 0
0
0
1
n
n
n zzc )( 0
0
n
n
n zzc
)( 0
1
10 )( zz?令 n
n
nc
1
收敛半径收敛时,R
10
1 R
Rzz
收敛域收敛半径 2R
20 Rzz
:)1( 21 RR?若 两收敛域无公共部分．
:)2( 21 RR?两收敛域有公共部分 H,.201 RzzR
RH R
2z
0 R
1
结论,的收敛区域为双边幂级数 n
n
n zzc )( 0
.201 RzzR圆环域
1R
2R
,0z
常见的特殊圆环域,
2R
,0z
200 Rzz
1R,0z
01 zzR 00 zz
,0z
在圆环域内解析的函数是否能展开成双边幂级数?
二、洛朗级数的概念定理 内处处解析，在圆环域设 )(
201 RzzRzf
,)()( 0 n
n
n zzczf
C
nn z
f
ic
d
)(
)(
π2
1
1
0
其中
),1,0(n
C为圆环域内绕 的任一正向简单闭曲线,0z
为洛朗系数,
)( 内可展开成双边幂级数此圆环域在那么 zf
洛朗级数洛朗展开式
0z
C R
2
R1
d
π2
1d
π2
1)(
12
KK z
f
iz
f
izf
证
0zR
r
2R
.z
1K
2K
1R.
，为圆环域内的任一点设 z 为以在圆环域内作 0 z
，与中心的正向圆周 21 KK
，的半径小于的半径 RKrK 21
之间，与位于且使 21 KKz
如图：
由多连通区域上的柯西积分公式（ P69推论 2）得：
)()(
11
00 zzzz
对于第一个积分,
0 0
0
0
1
n
n
z
zz
z
0zR
r
2R
.z
1K
2K
1R
.
.?,)(
)(
0
1
0
0?
n
n
n
z
zz
22 内部，在上，在 KzK?,1
0
0?
z
zz
则
n
n
n zzc )( 0
0
d)(π2 1
2K z
f
i所以
n
n K
n zzz
f
i )(d)(
)(
π2
1
0
0
1
02
d)(π2 1
2K z
f
i
0
00 1
11
z
zzz
对于第二个积分,
d)(
π2
1
1K z
f
i
z
1
0
00 1
11
zz
zzz
11 外部，在上，在 KzK?,1
0
0?
zz
z?则
R
2R
1K
2K,?
0z,z1R
.r?
1 0
1
0
)(
)(
n
n
n
zz
z?
,)()( 1 0
1
1
0
n
n
n zzz
d)(π2 1
1
K zfi则
)()(d)( )(π2 1 0
1
1
1
01
zRzzzfi Nn
N
n K
n
)( zR N?
d
)(
)()(
π2
1
1 0
1
0
K Nn n
n
zz
fz
i
下面证明,0)(lim 1 外部成立在 KzR NN
00
0
zz
r
zz
zq
令
.10, q无关与积分变量?
))(()( 的连续性决定由因为又 zfMf
s
zz
z
z
fzR
K Nn
n
N d
)(
π2
1)(
1 0
0
0
rqrM n
Nn
221,1 qMq
N
.0)(l i m zR NN所以
,)( 0
1
n
n
n zzc
d)(π2 1
1
K z
f
i于是
n
n K
n zzz
f
i
)(d)(
)(
π2
1
0
1
1
01
d)(π2 1d)(π2 1)(
12
KK zfizfizf则
n
n
n
n
n
n zzczzc
)()( 0
1
0
0
.)( 0 n
n
n zzc
0z
C R
2
R1 ),2,1,0(d)(
)(
π2
1
1
0
nzfic
C nn
如果 C为在圆环域内绕 的任何一条正向简单0z
闭曲线，
式子表示为,
nn cc?与 可用一个
[证毕 ]
则根据复合闭路定理，
.)()( 0 n
n
n zzczf
说明,
函数 )(zf 在圆环域内的 洛朗展开式
)(zf 在圆环域内的 洛朗 (Laurent)级数,
n
n
n zzczf )()( 0
1)
2) 某一圆环域内的解析函数展开为含有正、负幂项的级数是唯一的,这就是 f (z) 的洛朗级数,
定理给出了将圆环域内解析的函数展为洛朗级数的一般方法,
三、函数的洛朗展开式
1,直接展开法利用定理公式计算系数 nc
),2,1,0(d)( )(π2 1 1
0
nzfic
C
nn
然后写出,)()( 0 n
n
n zzczf
根据正、负幂项组成的的级数的唯一性,可用代数运算、代换、求导和积分等方法去展开,
2,间接展开法例 1,0 内在 z,)( 2 展开成洛朗级数将 zezf
z
解
z0
!4!3!21
1 432
22
zzzz
zz
e z
!4!3!2111
2
2
zz
zz
本例中 z = 0 既是各负幂项的奇点,,2 的奇点也是函数 ze
z
.
)!2(
11
0
2?
n
n
n
z
zz
解 z0z zzf s i n)(?
.)!12( )1(
0
2
n
nn
n
z
练习
.
0
s i n
0
洛朗级数的去心邻域内展开成在将函数?z
z
z
)!12()1(!51!311
12
53
n
zzzz
z
n
n
例 2
,)2)(1( 1)( 在圆环域把函数 zzzf;10)1 z ;21)2 z,2)3 z
内展开成洛朗级数,
解
,1121)( zzzf
x
y
O 1 x
y
O 1 2 x
y
O 2
o x
y
1,1?z由于
2
1
1
2
1
0 z
z
n
n
12?z从而
,10 )1 内在 z
zzzzzf 2
1
1
1
1
1
2
1)(
00 22
1
n
n
n
n
n zz
.)2 11(
0
1?
n
n
n z
解析．在因为内的泰勒展开式相同，在不含负幂项，与
0)(
1)(
zzf
zzf
,21 )2 内在 z
1 2o x
y
1?z由 11?z
2?z 12?z
1
1
2
1)(
zzzf
z
zz 11
11
2
1
1
2
1
00
11
22
1
n
n
n
n
zz
z,1
2 0 10 1
n
n
n
n
n
z
z
,2 )3 内在 z
2o x
y
2?z由 12?z
1
1
2
1)(
zzzf
z
z
z
z 11
11
2
1
11
00
1121
n
n
n
n
zzzz,
12
0
1?
n
n
n
z
注意,0?z
奇点但却不是函数 )2)(1( 1)( zzzf 的奇点,
本例中圆环域的中心 是各负幂项的说明,
1,函数 )(zf 在以 0z 为中心的圆环域内的洛朗级数中尽管含有 0zz? 的负幂项,而且 0z 又是这些项的奇点,但是 0z 可能是函数 )(zf 的奇点,也可能
)(zf 的奇点,不是 可以在奇点展开为即函数 )( zf
奇点展开．洛朗级数，也可以在非
2,给定了函数 )(zf 与复平面内的一点 0z 以后,
域内解析，则在各个不同的圆环域中有不同的回答：不矛盾,
朗展开式是唯一的 )
问题：这与洛朗展开式的唯一性是否相矛盾?
(唯一性,指函数在某一个给定的圆环域内的洛若函数在以 为中心（由奇点隔开的 )不同圆环0z
洛朗展开式 (包括泰勒展开式作为它的特例 ).
因此,f (z)在以 i 为中心的圆环域 (包括圆域 )内的展开式有三个,
iO
i
为洛朗级数：处展开函数例如在 )( 21)( izz izfiz
上．与为中心的圆周分别在以
，及有两个奇点在复平面上函数
2 1
0 )(
izizi
izzzf
1)在 |z?i|<1 中的泰勒展开式 ;
2)在 1<|z?i|<2 中的洛朗展开式 ;
3)在 2<|z?i|<+? 中的洛朗展开式．
例 3
在两个奇点求函数 )2)(1( 1)( zzzf
开式．的去心邻域内的洛朗展及 21 zz
解
11
1
1
1)(
zz
zf
,110 1 )1( 内的去心邻域在 zz
)1(1
1
1
1
zz
.)1(11
0
n
nz
z
x
y
O 21,.
.)1(
0
1?
n
nz
例 3
在两个奇点求函数 )2)(1( 1)( zzzf
开式．的去心邻域内的洛朗展及 21 zz
解
12
1
2
1)(
zzzf
x
y
O 21,.
,120 2 )2( 内的去心邻域在 zz
0
)2()1(21
n
nn z
z
.)2()1(
0
1?
n
nn z
例 4
.
)2)((
1
)(
展开成洛朗级数在下列圆环域内将
ziz
zf
,21)1( z,2)2( z
解,21 )1( 内在 z有,12,1 zzi
)2)(( 1)( zizzf?
zizi 2
11
2
1
2
12
1
1
1
2
1
z
z
i
z
i
0 0
1
1
2)(2
1
n n
n
n
nn zzi
i
.22 1)(2 1
0
1
1
0
n
n
n
n
n
n z
izii
,2 )2( 内在 z 12,1 zzi
2
11
2
1)(
zizizf故
z
z
z
i
z
i 2
1
1
1
1
2
1
0 0
11 2)(
2
1
n n
nnnn zzi
i
,2)(2 1
0
1?
n
nnn zi
i
同一级数在不同圆环域内的洛朗级数展开式是不同的,
例 5,)1)(2( 52)( 2
2
在以下圆环域求 zz zzzf
内的洛朗展开式,;21)1( z 520)2( z
解 1221)( 2 zzzf
,21 )1 时当 z?
2
2 11
2
1
2
2
1
)(
z
zz
zf
2
2 1
1
12
2
1
1
2
1
z
zz
n
n
n
n
n
zz
z?
2
0
2
0
1)1(2
22
1
.2)1(2
0
1
1
2
1
n
n
n
n
n
n z
z
,520 )2 内在 z
1
2
2
1)(
2 zzzf
iziziz
11
2
1
)2()2(
1
)2()2(
1
2
1
iziziz
i
z
i
i
z
i
i
z
2
2
1)2(
1
2
2
1)2(
1
2
1
0 0 2
2)1(
2
1
2
2)1(
2
1
2
1
n n
n
n
n
n
i
z
ii
z
i
i
z
.5 )2(])2()2[()1(21 111
0
n
n
nn
n
n ziii
z
11
0 )2(
1
)2(
1)2()1(
2
1
nn
n
n
n
iiziz
课堂练习
.
2
)2(
1
展开成洛朗级数为中心的圆环域内在将函数?
z
zz
解答
,220 )1( 内在 z
)2( 1)( zzzf?
2
2
1
1
2
1
2
1
zz
0
1
1 )2(2
)1(
n
n
n
n
z
)2(
1
2
1
zz
课堂练习
.
2
)2(
1
展开成洛朗级数为中心的圆环域内在将函数?
z
zz
解答
,22 )2( 内在 z
)2( 1)( zzzf
2
2
1
1
2
1
2
1
z-
zz )2(2
1
zz
0
2 2
2)1(
)2(
1
n
n
n
zz?
0
2,)2(
12)1(
n
n
nn
z
小结与思考在这节课中,我们学习了洛朗展开定理和函数展开成洛朗级数的方法,将函数展开成洛朗级数是本节的重点和难点,
思考题洛朗级数与泰勒级数有何关系?
洛朗级数是一个双边幂级数,其解析部分是一个普通幂级数（泰勒级数） ;
.0 Rzzr
思考题答案是一般与特殊的关系,
洛朗级数的收敛区域是圆环域
.级数了洛朗级数就退化为泰勒解析时，在当 0)(,0 zzfr?
泰勒级数的收敛区域是圆域,
0 Rzz
