设计、制作：吕忠刚长春工程学院勘查与测绘学院教学课件第二篇 工程建设中的定线放样工作
施工控制网的建立
施工放样的方法和精度分析
曲线测设（与线路勘测合并）
地下建筑物的施工测量
竖井联系测量与陀螺经纬仪测量工程测量学长春工程学院勘测学院第三章 线路勘测工程测量学长春工程学院勘测学院
§ 3－ 1 线路勘测的任务与内容
1,线路按性质分类,铁路、公路、送变电线路、各种管线（输油、排污、排渣、热力、供水）等。
2,线路测量,凡为带状工程所进行的一切测量工作的总称。
3,线路测量的特点：
1）线路纵向较长 (几公里至几百公里 )、横向较窄 (十几米至上百米，
一般不超过 200m)，一般应顾及距离的投影改正问题 (应选择合适的投影面、投影带 )以及涉及跨带的一系列问题 (如接图、坐标换带等 )；
2）线路跨越的地形、地质条件和人文环境等多变，同类、同种工程的测量方法多变，交通运输及与社会交往的形式等多变；
3）线路涉及到的工程测量内容较多，如控制测量、地形测量、线路纵横断面测量、水深和水位测量、悬高测量、风偏测量、变形测量和工程测设等；
4）地形图及线路的各种设计图，一般均按线路纵向方向延伸。
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4、公路勘测,一般分为踏勘和详细测量这两个阶段。
踏勘：了解自然地理情况,选择线路大致位臵,为初步设计收集资料。
详勘：全面深入地研究线路各方面情况，精确地测定线路的位臵、长度等，为编制施工图收集资料。
5、送变电测量,一般分为 踏勘和终勘这两个阶段。
踏勘：以调查为主，一般仅对特殊地段（如跨越河流、大型沟谷等）
进行平面图和断面图的草绘，主要为室内选线收集资料。
终勘：依据初步设计的线路方案，进行实地的选线、定线和进行各种高程、断面、风偏测量及杆塔的定位测量等。
6、铁路,一般分为初测、定测和施工测量这三个阶段。
初测：依据对可行性的几个方案进行各方面实地测量，为初步设计提供资料。
定测：依据初步设计的方案，实地进行选定线路各方面的测量，为施工设计提供资料。
施工测量：依据施工设计的方案进行线路的施工测量，保障线路各工程按设计要求定位和施工等。
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§ 3－ 2 线路控制测量与带状图的测绘一、线路平面控制测量线路平面控制测量的形式以 GPS卫星测量为主，等级一般为 D,E级；
在布设网点时应充分考虑测图和施工测量的特点，重要地段每 1km左右、
一般地段每 1－ 2km必须有一对 GPS点相互通视；各控制网点应非常稳定，
便于使用和加密；布网时应尽量采用边连接，若条件较好时可以采用点连接；有关其它要求详见 GPS卫星测量规范及教材等。
二、线路高程控制测量平原和丘陵地区的 高程控制测量以水准测量为主，山区则以光电测距三角高程测量为主，等级一般为三、四等；在大沟谷和大河流的两侧、
在穿越铁路和高等级公路附近、在越岭的坡脚和垭口附近等处均应设立等级水准点；水准点的间距为 1－ 2km。
若采用光电测距三角高程，必须进行精度预计，确定点间的平均边长，
以保证布点按平均边长要求进行；确定距离、竖直角、仪器高、觇标高的测量精度及测回数，以保证在同等距离条件下三角高程的高差测量精度等同于水准测量的精度。
工程测量学长春工程学院勘测学院三、带状地形图的测绘目前测绘带状地形图的主要方法有：航空摄影测量方法和用全站仪、
GPS（ RTK）测量的方法等；成图均利用软件进行数字成图。
在测绘带状地形图时应注意以下几点：
1）地形图的走向与线路的纵向必须一致，测绘的宽度不得小于规定的距离；
2）对线路区域内的各种地上、地下管线和公路、铁路、通讯线、电力线等必须测绘；地下管线必须测量埋深，注明管径、管材等；悬空管线等必须测量净高；
3）对线路经由的大沟谷、河流等必须测绘沟岸、河岸、河流的水崖线和最高洪水位、沟谷的谷底等；
4）对线路经由的田地、树林等，必须测绘不同类别、不同性质的地类界，并要注明性质（如旱田、水田、澡泽地、经济林、苗莆等），若林地必须注明树林的平均高度；
5）出图原则要求图边与线路的纵向一致，接边按对应的方格网进行接图等。
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§ 3－ 3 线路的定测或详测线路的定测或详测就是要将图纸上设计（初步设计或终审设计）好的线路位臵测设于实地，并沿线路中线方向进行纵、横断面测量等。若设计在个别地段存在有严重缺陷，必须提交报告，进行变更设计。
一、线路中线的测设无论何种线路，对于中线的测设原则上分为线路交点的测设和线路中线的测设这两个阶段。其中，对于公路、铁路线路中线的测设又分为直线段、曲线段中线的测设。
1、线路交点的测设与偏角测量
1）线路的交点及偏角（见图 3－ 1）
线路交点：线路方向发生改变，两方向线的交点即为线路的交点，通常用 JD表示。
线路偏角：线路现行进方向偏离原行进方向的水平夹角，
偏离原行进方向右侧的称为右偏角，左侧的称为左偏角。
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2）线路交点的测设测设依据：依据线路交点的设计坐标（图解或设计给定）或给定线路的分段长度及线路偏角，测设交点。
测设方法：目前多采用 RTK实时定点或全站仪极坐标法测设。测设完后，需要再精确测定交点的坐标。
3）偏角测量若用 RTK方法精确测定交点的坐标后，可利用测定的坐标进行解算偏角；若用全站仪测设交点，一般应在交点测设完后，立即进行水平角测量（一测回），然后解算偏角。
2、线路中线的测设本节主要为直线段测设，有关曲线段测设在第七章中讲授。
直线段一般每 20－ 50m测设一点，测设后以木桩标示点位，并用里程代以点号，如点号为 DK10＋ 350.00表示其距离线路起点的里程为
10350.00m。距离为规定距离整倍数的为整桩。
若线路经由田地、林地、各类管线、道路、河流、沟谷等地，必须在交汇处及其重要特征点（如河堤、河岸、谷底等）
处设立加桩（见图 3－ 2）。
工程测量学长春工程学院勘测学院二、线路纵、横断面测量
1、线路纵断面测量线路纵断面测量就是要利用基平测量的高程点及成果，沿着线路的中线方向测定各中桩点的地面高程，并绘制纵断面图。
纵断面测量方法：主要为工程水准测量方法（工程中又称为视线高法）
和光电测距三角高程法。
1）工程水准测量方法工程水准测量方法实际上是水准测量方法与视线高法的结合，即对于水准点与转点、转点与转点间用水准测量方法，而在一站内用视线高法测定各中桩点的地面高程。见图 3－ 3。
工程测量学长春工程学院勘测学院测定与计算时应注意,1） 必须检测已知水准点间高差，限差为
30× L1/2mm； 2） 若测桩顶必须量取桩面高，以便计算中桩地面高程； 3）
必须记录清楚桩号与中视读数； 4） 前、后视读数至 mm位，中视读数至
cm位； 5） 附合水准路线闭合差为 40× L1/2mm，计算完转点高程后再计算中视点高程； 6） 中视点高程＝后视视线高－中视读数。
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2）光电测距三角高程法光电测距三角高程法与工程水准测量方法基本相同，只是对于长距离测量时必须考虑球气差，要加此项改正。
另外，测站点若为非水准点时必须进行直、反觇观测，其高差较差应符合限差要求（一般为 30× S1/2mm）。每日测量前必须检测竖盘指标差 i，
对中桩点竖直角观测一般为单镜位观测，且应加入指标差改正等。
2、线路纵断面图的绘制线路纵断面图实际上是线路沿中线方向的剖面图，即：以线路中线为横轴、以高程为纵轴展绘各中桩点的地面高程，并将相邻点用直线或光滑的曲线进行连接。
横轴比例尺 与地形图的比例尺一致，一般为 1/1000或 1/2000，起点为线路的起点，中桩点依据其里程展绘。 纵轴比例尺 视情况而定，通常为横轴比例尺的 1－ 10倍，且每幅图的纵轴起点可以依据幅内中桩点的高程确定，但一般均为 5m或 10m的整倍数。每幅图内 必须注明 纵、横向比例尺及在纵轴上注明整百米或整十米的高程，除此之外，在纵断面图上还必须标注其它相关的主要信息，见图 3－ 4、图 3－ 5。
工程测量学长春工程学院勘测学院 图 3－ 4
工程测量学长春工程学院勘测学院 图 3－ 5
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3、线路横断面测量及横断面图的绘制线路横断面即指垂直于线路中线方向的断面。并非所有的中桩点都要测横断面，一般整桩点均要测，除此之外，重要地段的加桩点、横断面较复杂的加桩点也要测横断面。
横断面的宽度适要求和断面情况而定，高等级公路和铁路单向宽度一般为 50-150m，一般公路和管线、送变电线路等为 20-50m。
1）线路横断面测量测量的方法主要有：水准仪法（适用于平坦地区）、经纬仪法、花杆皮尺法（适用于低精度断面测量）、全站仪测量法,RTK测量方法等。
在测量时主要应注意以下几点：
（ 1）横断面方向必须垂直于中线方向；
（ 2）以线路前进方向为准分左、右两侧，有关数据必须记录清楚是左侧的，还是右侧的；断面编号为中桩点号；
（ 3）对于不在横断面上且又近于横断面上的地物、重要地形点也必须测定，列入断面点；
（ 4）左侧和右侧距中桩最远断面点不得小于规定的要求，并应适情增加 1－ 2点。
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2）线路横断面图的绘制线路横断面图是以垂直线路中线方向为横轴、以高程为纵轴展绘断面点的地面高程，并将相邻点用直线或光滑的曲线进行连接。
纵轴、横轴比例尺一致，一般为 1/100－ 1/200，编号为中桩点里程号。
绘图时中桩点居中，分别依比例尺展绘左侧、右侧断面点，再用直线或光滑曲线连接。见图 3－ 6。
第七章 曲线测设工程测量学长春工程学院勘测学院
§ 7－ 1 概述当道路的方向发生改变时，需要用曲线予以连接。曲线测设是道路工程测量最主要的内容之一。
曲线按性质分类,平曲线、纵曲线。
平曲线按形式分类,圆曲线、缓和曲线、复曲线、反向曲线、回头曲线、卵型曲线、凸型曲线等，见图 7－ 1。
纵曲线按形式分类,圆曲线、抛物线等。
平曲线测设的主要方法,偏角法、切线支距法（直角坐标法）、极坐标法、全站仪曲线测设法,RTK坐标测设法等，目前应用较多的是全站仪曲线测设方法和偏角法。其中，直角坐标法的基本原理为各种坐标测设方法提供了模型转换基础。
竖曲线测设的主要方法：水准法、光电测距三角高程法。其中，竖曲线测设主要以水准法为主，若用光电测距三角高程法时对部分点位要用水准法予以检查。
工程测量学长春工程学院勘测学院复曲线反向曲线回头曲线螺旋线凸曲线卵型曲线线图 7－ 1
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§ 7－ 2 单圆曲线的测设单圆曲线简称圆曲线，若按常规方法测设，通常分两步进行，即：
圆曲线主点（起控制作用的点）的测设和曲线细部点的测设。
一、圆曲线要素及计算见图 7－ 2，圆曲线的半径 R、偏角 α,切线长 T、曲线长 L、外矢距 E、
切曲差 q，通称为圆曲线要素。
R,α 是已知数据。 R是在线路设计中按线路等级及地形条件等因素选定的,α 是线路定测时测定的。其余元素按下列关系式计算，即：
)17(
2),1
2
( s e c
1 8 0
,
2
t a n
LTqRE
RRLRT
例 1,α R＝ 10° 25′,R＝ 800m，则可计算出：
T＝ 72.92m,L＝ 145.45m,E＝ 3.32m
q＝ 0.39m。
工程测量学长春工程学院勘测学院二、圆曲线主点及主点里程的计算见图 7－ 2，圆曲线的主点为：直圆点－ ZY、曲中点－ QZ、圆直点－
YZ。
各主点里程的计算：各主点里程依据交点（ JD）的里程计算。设交点里程为 JD DK，则各主点的里程为：
例 2,JD里程为 DK11+295.78，其它数据同例 1，则可计算出各主点的里程为：
ZY DK＝ JD DK－ T
QZ DK＝ ZY DK＋ L/2 （ 7－ 2）
YZ DK＝ ZY DK＋ L
＝ JD DK＋ T－ q （检核）
ZY DK＝ JD DK11+295.78-72.92＝ ZY DK11+222.86
QZ DK＝ ZY DK11+222.86+72.72＝ QZ DK11+295.58
YZ DK＝ ZY DK11+222.86+145.45＝ YZ DK11+368.31
检核 YZ DK＝ JD DK11+295.78+72.92-0.39 ＝ YZ DK11+368.31
工程测量学长春工程学院勘测学院在计算各主点里程时应注意，交点里程（ JD DK）应是交点延线路中线方向至线路起点的距离。若是折线距离，其应减去从线路起点开始经由所有曲线线路的切曲差，即：
1
1
DKJDDKJD
i
j
jii q－（折线）＝（中线）
（注,i≥2 ）（ 7－ 3）
工程测量学长春工程学院勘测学院注意,主点是线路曲线段的骨架点，具有控制线路曲线的作用；在用常规方法测设曲线的细部点时，主点又起到检核作用。因此，必须精心的测设曲线各主点。
三、圆曲线主点的测设见图 7－ 4，测设圆曲线各主点的步骤如下：
1）在交点（ JD）臵仪，以线路方向（转点桩或交点桩）定向，即确定切线方向；
2）从 JD点起沿视线方向量分别取切线长 T，确定 ZY点和 YZ点；
3）后视 YZ点，用正、倒分中法正拨（右偏）或反拨（左偏） 90° －
α/2 （图中的 β 角）；
4）沿分中点视线方向量取外矢距 E，确定 QZ点。
工程测量学长春工程学院勘测学院四、圆曲线细部点的测设圆曲线细部点的测设方法较多，有：偏角法、切线支距法、弦线偏距法、弦线支距法、割线法、全站仪坐标测设法,RTK坐标测设法等，
本节主要讲授偏角法、切线支距法、弦线偏距法。
1.偏角法偏角法实质是角度与距离交会的一种方法。如图 7－ 5所示。
1）测设元素：给定的点间距 l（以直代曲的长度）、曲线点的偏角
δ i 。 δ i（以度为单位）的计算公式如下：
式中,li－ i点至 ZY点间的曲线弧长。
由于曲线半径 R较大，相邻两个测设点间的弧长所对的圆心角较小，使得弦长 C（测设时为 10m,20m或 50m）和弧长之差很小（通常小于量距误差），所以，实际测设时均以弦长代替弧长。
)47(18021 πRl ii?
图 7－ 5
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2）测设步骤（见图 7－ 6）
（ 1）在 ZY点整臵仪器，照准交点 JD，度盘臵 0；
（ 2）拨角 δ 1（注意：正拨角，还是反拨角），延视线方向量取长 l，
确定 1点，钉木桩并以小钉标志点位；
（ 3）拨角 δ 2，从已测设的 1点开始，量长 l，其端点恰与视线相交，
确定 2点，钉入木桩并以小钉标志点位；
（ 4）按上方法进行其它各点的测设，直至 QZ点（ QZ点也要按此方法放出，用以检查测设质量及调整其它各点）；
图 7－ 6
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3）检查与调整（见图 7－ 7），方法与步骤为：
由于测设时各种误差的累积，致使详细测设时的曲中点－ QZ′ 与主点测设时的 QZ点不重合，其距离称为曲线测设的闭合差 f。
f沿 QZ点切线方向的分量称为纵向闭合差 fx,其相对允许值为 1/2000；
f沿 QZ点向径方向的分量称为横向闭合差 fy,其允许值为 ± 10cm。若测设满足上述精度要求，则对各点按与距离成正比例关系进行点位调整；否则，应对测设点进行检查，修正粗差点和错误点。
图 7－ 7
调整的步骤如下：
（ 1）确定调整方向：与
QZ′ （细部测设）至 QZ（主点测设）的方向一致；
（ 2）确定调整量：调整量按与距离成正比例分配，即
)57(2/ ii lL fd
工程测量学长春工程学院勘测学院上面述及的方法为整桩法，各点测设完后一定要注意补齐百米桩。补设百米桩可直接依据测设的邻近点及里程内插。 如 ZY DK11+368.22，点间距为 20m。若整桩法第 1点为 DK11+388.22、第 2点为 DK11+408.22，各点调整后需要补设百米桩 DK11+400。
为防止丢失百米桩，也可采用 湊 整方法,即对测设的第 1点进行里程湊 整，但 湊 整距离不得大于规定的点间距，各点测设方法同整桩法 。见图 7－ 8。
图 7－ 8
如上例，若采用 湊 整方法测设，则第 1点里程应 湊 整为
DK11+380.22，其偏角按对应弧长 l1＝ 11.78m计算，其它点以 l＝ 20m弧长为基准计算。
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2.切线支距法（直角坐标法）
切线支距法,建立以 ZY点（或 YZ点）
为原点，以切线方向（指向 JD点）为 x
轴、向径方向为 y轴的独立直角坐标系，
并依据点间距 l计算各测设点的独立直角坐标，再用支距法实际测设各点位的方法,见图 7－ 9。
这种方法为实现由全站仪,RTK进行坐标放样提供了坐标转换模型基础。 图 7－ 9
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)c o s1(
s i n
180
ii
ii
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Ry
Rx
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l
1）测设元素：由给定的点间距 l（以直代曲的长度），计算各测设点的坐标 x,y，即：
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2）测设步骤（见图 7－ 10）
（ 1）在 ZY点整臵仪器，照准 JD点确定切线方向，沿此方向依次量取 x1,x2,…,得点 1′,2′,…,并临时标定之；
（ 2）分别在垂足点 1′,2′,… 整臵仪器，照准 JD点拨直角，并沿对应视线方向量取 y1,y2,…,得测设点 1,2,…,钉入木桩并以小钉标志点位；
（ 3）曲线细部点测设结束，应对点间距予以检查，使其点位误差合乎要求，否则，对误差超限点位，应予重新测设、调整；
图 7－ 10
（ 4）在确认各点位正确后，若有百米桩未测设，需要用其邻近的曲线细部点，用直线内插的方法测设，并分别钉入点位桩与标志桩。
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3.弦线线支距法（见图 7－ 11）
当线路工程位处狭长地带或地下线路工程掘进时适用此方法。
1）测设元素 (曲线点间距为 l)
图 7－ 11
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弦
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弦弦弦弦工程测量学长春工程学院勘测学院
2）测设步骤 (曲线点间距为 l)
（ 1）见图 7－ 12。在 ZY点臵仪，倒镜照准直线转点桩，纵转望远镜确定切线方向；
（ 2）沿此方向量取长 S1，确定 l’点，在 l’点作支距 d1后标定 1点；
（ 3）在 1点臵仪，倒镜照准 ZY点后纵转望远镜，确定弦线延长方向，
并沿此方向量取长 S2，确定 2’点；
（ 4）以直线 12’为基线,2’点为起点支距 d2，标定 2点；
（ 5）其它各点的标定方法与 2点的标定方法相同，如此直至标定完整条曲线。
图 7－ 12
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4.弦线线偏距法（见图 7－ 13）
当线路工程位处狭长地带或地下线路工程掘进时适用此方法。
1）测设元素 (曲线点间距为 l)
图 7－ 13
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弦弦弦工程测量学长春工程学院勘测学院
2）测设步骤 (曲线点间距为 l)
（ 1）见图 7－ 14。在 ZY点臵仪，倒镜照准直线转点桩，纵转望远镜确定切线方向；
（ 2）沿此方向量取长 S1，确定 l’点，在 l’点作支距 d1后标定 1点；
（ 3）在 1点臵仪，倒镜照准 ZY点后纵转望远镜，确定弦线延长方向，
并沿此方向量取长 l弦,确定 2’点；
（ 4）以 1点为圆心,l弦 长为半径画弧，再以 2’点为圆心,d2长为半径画弧，两弧交点即为 2点，并予标定；
（ 5）其它各点的标定方法与 2点的标定方法相同，如此直至标定完整条曲线。
图 7－ 14
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§ 7－ 3 缓和曲线车辆由直线进入圆曲线行驶时会产生离心力，故在圆曲线上要用外侧超高的方法克服离心力。离心力的大小与行车速度、曲线半径等因素有关，半径愈小离心力愈大，外侧超高也应愈大。为了保证行车安全和延长车辆使用寿命等，外侧超高应有一个渐变的过程，在等级线路中，通常在直线和圆曲线之间插入一段半径由 ∝ 渐变到 R（或由 R渐变到 ∝ ）的曲线－缓和曲线。 缓和曲线可以是螺旋线、三次抛物线等空间曲线。目前，我国公路、铁路通常用螺旋线作为缓和曲线。
一、缓和曲线的基本公式缓和曲线上任一点的曲率半径 ρ 为,)127(/ lc?
当 l为缓和曲线全长 ls时,ρ ＝ R，则：
)137( SRlc
)147(0 3 5.0 2 Vc )157(0 3 5.0 2
R
Vl
S
常数 C与车速 V(km/h)有关，目前我国公路采用式（ 7－ 14），那么缓和曲线长 ls为：
工程测量学长春工程学院勘测学院二、切线角（或偏向角）公式见图 7－ 15。对于微分弧段 dl有：
三、缓和曲线的参数方程建立如图 7－ 15所示的独立直角系。对于微分弧段 dl的分量 dx,dy有：
)197(s inc o s?
dld
dld
y
x
图 7－ 15
)167( dlcldld
)177(22 2200
S
l
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l
c
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当 l=ls时，切线角为：
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x
工程测量学长春工程学院勘测学院因 β 是小量，故对 sinβ,cosβ 进行级数展开得：
（ 7－ 22）式即为缓和曲线的参数方程，特别地当 l=ls时缓和曲线终点的坐标为（ 7－ 23）式。
图 7－ 15
)217(
3 8 48
1)
2
c o s (
3 8 4 0482
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c
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c
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c
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c
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c
l
将上式代至（ 7－ 20）式得：
)227(
63 3 66
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403 4 5 640
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SSS
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3
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R
l
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S
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§ 7－ 4 具有缓和曲线的圆曲线（综合曲线）测设当圆曲线两端插入缓和曲线后，圆曲线应内移一段距离，才能使缓和曲线与直线衔接。而内移圆曲线，可采用移动圆心或缩短半径的方法来实现。我国在公路、铁路的曲线测设中，通常采用内移圆心的方法，见图 7－ 16。
若 P－火车自重,b－轨距、
F－离心力与车重力的合力、
h0－超高,V-车速（ km/h）则：
h0/F＝ b/P
而 F＝ m× v2/R,P＝ m× g，那么,h0＝ F× b/P＝ 11.8v2/R
一般取平均速度主最高速度的 80%，则：
h0＝ F× b/P＝ 7.8V2max/R
如 V＝ 120km/h,R＝ 1200m，
则 h0=142mm。 图 7－ 16
工程测量学长春工程学院勘测学院一、具有缓和曲线的圆曲线的主点及曲线元素
1.主点（见图 7－ 16）
有直缓点－ ZH、缓圆点－ HY、
曲中点－ QZ、圆缓点－ YH、缓直点－ HZ这 5个主点。
2.缓和曲线参数缓和曲线的切线增量 m、曲线内移值 p及缓和曲线的切线角 β 0。
图 7－ 16
)247(
)c o s1(
s i n
)2/(
00
00
0
Ryp
Rxm
Rl S
)257(
24
)]
8
1(1[
6
)c o s1(
2 4 02
)
482
()
40
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2
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2
2
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00
2
3
00
3
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000
R
l
R
lR
R
lRyp
R
ll
R
l
R
lR
R
llRxm
工程测量学长春工程学院勘测学院图 7－ 16
)267(
2
2
s e c)(
180
)2(2
2
t a n)(
0
LTq
RpRE
RlL
pRmT
S
4.主点里程（见图 7－ 16）
3.曲线元素（见图 7－ 16）
有曲线偏角 α,圆曲线半径
R、缓和曲线长－ ls这 3个已知元素 和切线长－ T、曲线长－ L、
外矢距 E、切曲差－ q这 4个推算元素 。
ZH DK=JD DK - T,HY DK=ZH DK + ls,QZ DK=ZH DK + L/2,
HZ DK=ZH DK + L,HZ DK=JD DK + T – q（检核）
YH DK=HZ DK – ls,YH DK=QZ DK + (L-2ls)/2（检核）
工程测量学长春工程学院勘测学院图 7－ 16
二、曲线主点的测设测设步骤（见图 7－ 16）：
1）在 JD点臵仪，分别照准切线上的直线转点桩或交点桩，
并沿视线方向量取切线长 T，
确定 ZH点和 HZ点，并予以标定；
2）以 HZ点定向，正倒分中法拨角 (180° - α)/2 （右偏正拨、左偏反拨）确定外矢距方向，沿分中方向量取外矢距长 E，并标定 QZ点；
3）在 ZH点（或 HZ点）臵仪，照准 JD点，沿视线方向量取长 x0定点；
4）在所确定点处臵仪，以 JD点定向，向曲线方向拨直角，沿视线方向量取长 y0，标定 HY点（或 YH点）。
工程测量学长春工程学院勘测学院三、曲线细部点的测设
1.偏角法测设
1）测设元素缓和曲线点间距为 l，
圆曲线点间距为 lc。
缓和曲线上任意一点 i
和圆曲线上任意一点 I的偏角为：
图 7－ 17
)277(6a r c t a n 2
S
i
i
ii
Rl
l
x
y? )287(180)(
R
ll SI
I
2）测设步骤对缓和曲线、圆曲线细部点的定位、调整方法同单圆曲线的偏角法测设，此处略。
注：在确定 HY点处圆曲线的切线时，倒镜以 ZH点定向，度盘配臵 β 0
－ δ 0，纵转望远镜为正镜，当读数为 0° 00′00″
时视线的方向即为切线方向。
工程测量学长春工程学院勘测学院
2.切线支距法测设
1）测设元素缓和曲线点间距为 l，圆曲线点间距为 lc。
建立以 ZH(或 HY)点为原点、
以指向 JD点方向为 x轴、垂直 x
轴并指向曲线内侧的方向为 y
轴的独立直角坐标系，缓和曲线上任一点 i和圆曲线上任一点 I的坐标为：
2）测设步骤对缓和、圆曲线细部点的测设方法同单圆曲线的偏角法，此处略。
图 7－ 18
)297(
6
40
3
22
5
S
S
Rl
ly
lR
llx
)307(
)]c o s (1[
)s i n (
1 8 0)(
0
0?
II
II
SI
I
Rpy
Rmx
R
ll
工程测量学长春工程学院勘测学院
§ 7－ 5 困难地段曲线的测设在曲线测设中，因受地形、地质条件的限制，曲线测设往往不能用正常的方法逐点测设，而必须采用一些辅助或特殊的方法测设。
一、交点不能安臵仪器若 P－火车自重,b－轨距、
F－离心力与车重力的合力、
h0－超高,V-车速（ km/h）则：
h0/F＝ b/P
而 F＝ m× v2/R,P＝ m× g，那么,h0＝ F× b/P＝ 11.8v2/R
一般取平均速度主最高速度的 80%，则：
h0＝ F× b/P＝ 7.8V2max/R
如 V＝ 120km/h,R＝ 1200m，
则 h0=142mm。 图 7－ 16
工程测量学长春工程学院勘测学院
)16(c o s,s i n cSeecSee yyyx
)26(
c o s
s i n
c
SeeeeE
c
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yyyyy
yxxxx
c o s2s in2)(
)36(
222
222
c
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c
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yyxy
yx
)46()c o s2(
][
22
2
2
yee
m
c
S
c
Sm
n
Em
偏
2)测角误差对测设点位的影响
)56( Smm角
3)测角误差对测设点位的影响 )66(
)( 222
Sbam
Sm
S
S
测距：
量距,?
4)在地面上标定点位的误差 τ
工程测量学长春工程学院勘测学院
)76(
)(
)(
)()c o s2( 2
22
2
222
22222
Sba
S
Smm
c
S
c
Sm
mmmm
yee
S角偏综上，测设 P
点的点位误差为 (6－ 7)式。
结论：
(1)对中误差 me愈大，则 m愈大；因此，必须提高对中精度。
(2)S/c及 S愈大，则 m愈大；因此，必须控制放样距离 S，且应适当选择控制点作为定向点。
(3)测角误差 mα 愈大，则 m愈大；因此，必须提高测角精度。
(4)同等条件下，测设锐角较钝角好。
增量形式及起点量取相应增量，确定点 O，再去距另一增量，确定并标定点 P。
2.精度分析 （与极坐标法基本相同，公式见（ 6－ 8）式）
二、直角坐标法
1.基本原理如图 6－ 3。计算坐标增量，从控制点起按
)86(2)()( 2222
22
2222
AP
AP
ee Sba
SSmm
c
Smm
y
工程测量学长春工程学院勘测学院
§ 6－ 3 方向线交会法方向线交会法是对规则序列多点位进行测设最常用的方法，测设后的点位具有较好的共线性。
一、基本原理见图 6－ 4。 A－ D为矩形控制网点，黑色点及 P
点均需测设的点。以 P点为例说明，见图 6－ 5。
在纵轴线 AC,BD上依据 XP值分别设立 X21,X22
点，在横轴线 AB,CD上依据 YP值分别设立 Y21、
Y22点。
在 X21点臵站，照 X22，在可能 P点处的视线方向上设立骑马桩 a,b，并在桩上钉小铁钉以标志视线方向；同法设立骑马桩 c,d，并标志视线方向。
分别在骑马桩 a,b标志点上挂线和骑马桩 c、
d标志点上挂线，则两条细线交点的位臵即为 P
点的位臵，在该处钉桩，并予标志 P点。
工程测量学长春工程学院勘测学院二、精度分析影响因素：设臵方向线端点的误差、设臵方向线的误差、标定点位的误差等。
1.设臵方向线端点的误差影响 m端见图 6－ 6。设臵端点 X21,X22需在轴线上量距，设其真误差分别为 μ a,μ b，那么有：
)96(),( dLxdLLx bbaa
)106(,)( 22222222 dLmmdLLmm bxax ba
)116()( 222222222 dLmdLLmmmm baxx ba端
2.设臵方向线的误差影响 md
md主要包括：仪器对中误差的影响 m偏,目标偏心误差的影响 m偏 ’,
瞄准误差的影响 mS以及望远镜调焦误差的影响 mf。以下分别分析之。
工程测量学长春工程学院勘测学院
1)仪器对中误差的影响见图 6－ 7。
)126(c o s)1()(c o s LdedLLee
)136(c o s2
)1(][ 2
0
2
222
2
dL
dm
n
em e
偏
)146()1(2 Ldmm e偏
2)目标偏心误差的影响见图 6－ 8。
)156(c o sc o s LdedLee
)166(c o s2][ 20 222222 dLdmnem e偏
)176(2 Ldmm e偏工程测量学长春工程学院勘测学院现在考虑仪器臵于 X21点还是 X22点优越。
)1(2 Ldmm e偏由式 (6－ 20)知：
若 me>me’，则 d0＞ L/2，
即仪器臵于远离测设点一端；若 me<me’，
则 d0<L/2，即仪器臵于近测设点的一端。
L
dmm e
2偏
)186()(2)1(2 222222 LdmLdmmmy ee偏偏令
)196(0L,)1(L 2222222 LmmyLdmLdmy eeee
)206(
)(1
0 m i n0
2
0
yydd
m
m
Ldy
e
e
工程测量学长春工程学院勘测学院
3)瞄准误差的影响瞄准误差一般取 60″/V(V－望远镜的放大率 )。应用方向线交会法进行交会时，需瞄准两次，即一次为瞄准端点，一次为瞄准测设点。设两次瞄准的误差对测设点位的影响为：
)216(
V
06
V
06
V
06
)
V
06
(
ddm
d
L
d
Lm
S
S
点端
)226(206 dVm S?
4)调焦误差的影响望远镜调焦对于视线的影响可达 1.2″,在
10m－ 200m的范围内调焦，可取视准轴的变化为 1″ － 2″ 。则该项误差为 (6-23)式。
)236(21 S～m f?
由上 1)－ 4)知，应用仪器设臵方向线对测设点位的中误差影响为：
)246(222 向向 YXd mmm
)256()( 22S2222 fYX mmmmmm 偏偏向向 或工程测量学长春工程学院勘测学院
3.标定测设点位的误差影响 τ
τ 的大小取决于标定方法，在工民建中通常用铁钉或铁钎标定点位。若用仪器能直接看到铁钉，则标定误差约为 1.5－ 2mm。
综上，用方向线交会法测设交会点的点位中误差为：
)266(
)((
22
2
2
1
22
Y
2222
mm
mmmmm YXX 端向端向 ）
工程测量学长春工程学院勘测学院
§ 6－ 4 轴线交会法轴线交会法实质是一种侧方交会的方法，主要用于水利工程中的大坝工程建设中。
一、基本原理见图 6－ 9。 A,B为大坝轴线基点,1,2为控制点； P为需要测设的点，且在坝轴线上。
在坝轴线 AB适当位臵整臵仪器，通过测定 α 1、
α 2来确定点位 P。
)276(
|c o t| 111'
0
'
xyy
xx
P
P )286(
|c o t| 222"
0
"
xyy
xx
P
P
)296(
2
21
0
yyy
xx
P
P
除用直接法测定外,还可用角差法,即依测定的 α 角与理论值 α 0求出 δα,并由 δα计算
δy,再依 δy 修正 P点 。各 δ计算如下：
)306(|c s c|,
"
2
10
xy
依 δα符号判定 δy 移动工程测量学长春工程学院勘测学院一、精度分析因 P在坝轴线上，故在此先分析 Y坐标精度。
从式 (6－ 32）分析知：
1)myp与交会距离 Sp成正比，距离 Sp愈大，则点位误差愈大。
2)myp与交会角 α 有关,α 角愈小，则点位误差愈大。
3)myp与交会角测定的精度有关,mα 愈大，则点位误差愈大。
下面考虑，因 P点的设臵误差 (不正好在轴线上 )，对交会点 Y坐标的影响，及削减误差措施。
)316(c s c||c o t|| 1121111' dxxddydy P?
式中：前两项反映了施工控制网误差对 P点的点位精度影响，通常它们远小于第三项误差，故可略之，则：
)326(c s cc s c|| 11' 1121 mSmxm Py
P
)336(c s c214
22
mSmmm Pyyy PP
P
工程测量学长春工程学院勘测学院设因照准及外界条件影响而使 P移至 P’，即 P点的设臵误差，
则必因测设 α 角而给坐标 Y带来误差。见图 6－ 10。
)346(
222
111?
从上式分析知：若 1,2点关于轴线近于对称,则
ε 1≈ε 2,Δα 1≈Δα 2＝ Δα,在用 α ’值求 Y并取中数时，由设臵误差给 YP带来的误差可大部分削减，使其可以忽略不计。因此，在用轴线交会法测设点位时，最好选用关于轴线对称的控制点作为交会基准点。
轴线交会法除在坝轴线上使用外,还可推广至坝轴线的平行线上使用,
其应用方法与轴线交会法相同。因轴线平行线的设臵精度远比轴线 的精度低,因此,有必要对平行线的设臵误差对测设点的点位影响予以讨论。
)356(
222
111
22
11?
则令工程测量学长春工程学院勘测学院设臵坝轴线平行线的误差，将使平行线相对于正确位臵产生旋转和平移。
见图 6－ 11。
假设,平行线旋转一 δ 角，见图 6－
12。平行线 L转至 L’，这时因测定角 α
变化将引起 P点 Y坐标的误差。
从图中可看出,P位于平行线不同位臵时,δ 对 α 的影响不同。 P位于交点 P0时，有：
)366(
22
11?
)376()( )(
244
133?
P位于交点 P0以外任一点 P1时，有：
从上两式可看出,P位于交点 P0时,δ
对 α 影响最大,对 Y的影响为 (6-38)式。
)386(c s c|| 2 xy
工程测量学长春工程学院勘测学院
P位于交点 P0时，有：
)366(
22
11?
)376()( )(
244
133?
P位于 P0以外任一点 P1时，有：
从上两式可看出,P位于交点 P0时,δ
对 α 影响最大,对 Y的影响为 (6-38)式。
从式 (6-36)－ (6-38)可得结论,)386(c s c|| 2 xy
若 1,2两控制点关于平行线近于对称时,δ 对两测定角的影响量值近于相等，但符号相反；对 Y坐标的影响 δy 量值也基本相等，符号却相反。
因此，对各自测定的 Y坐标取均值时，将大大削减该项误差。
设臵坝轴线平行线的平移误差对 Yp的影响，其结论与上述同。
综上,利用关于轴线 (或平行线 )对称的控制点进行轴线交会,会大大削减 P点设臵误差对 YP的影响；而 P点设臵误差对 XP的影响是一个常数,不能通过有利的观测图形加以抵消。故必须严格控制 P点在轴线或平行线上。
工程测量学长春工程学院勘测学院
§ 6－ 5 正倒镜投点法正倒镜投点法实质是逐渐趋近直线内插点的一种方法。
一、基本原理见图 6-13,6-14。 A,B为控制点,P为内插点。因 P距 A,B较远，工作不便，或 A,B均不易臵仪，必须在 A,B期间臵仪内插确定点 P。
利用三角形相似原理或三角学公式，计算
(或近似 )臵仪点偏离直线量 δ,使臵仪点向直线移动 δ 从而确定、并检查 P点的方法。
图 6－ 13形式定 P计算 δ 的方法见式 (6-39)；
图 6－ 14形式定 P计算 δ 的方法见式 (6-40)。
)396( BBSS S
ba
a? )406(180?
ba
ba
SS
SS
工程测量学长春工程学院勘测学院二、精度分析影响因素：端点误差、目标偏心、瞄准误差等。
1.端点误差的影响 m端见图 6－ 15。仿方向线交会法端点误差的分析公式可写出：
)416()( 222222222 dLmdLLmmmm baxx ba端
2.目标偏心的影响 m标见图 6－ 16。仿方向线交会法目标偏心误差的分析公式可写出：
)426()(2)1(2 2222222 LdmLdmmmm baba ee标标标
3.瞄准误差的影响 mS
仿方向线交会法瞄准误差的分析公式可写出 (6-43)式。
)436(]V )(06[)V 06( 222 LddLL dLdm S
综上，有,)446(2222 Smmmm 标端偏工程测量学长春工程学院勘测学院若仪器架设在 P点对 1点进行投点时 (见右图 ),
其误差影响因素有,P,A端点误差,A目标偏心、瞄准误差、标定误差等。
1.端点 P,A误差的影响 m端
P：见图 6－ 17。 A：见图 6－ 18。
)456(, aAP mddmmd ddm 端偏端
2.A目标偏心的影响 m标 A
)476()(2 222 ddmm aeA标
3.瞄准误差的影响 mS-A1
)486()V06()V 06( 2122 1 ddddm AAS
综上，有,)496(
22 12221ASmmmm 标端
)466()()1( 2222222 aPAP mddmddmmm 偏端端端
4.标定误差 τ （ 1.5－ 2.0mm）
工程测量学长春工程学院勘测学院
§ 6－ 6 前方交会法测设点位前方交会法测设点位最主要应用于桥墩的测设。
一、前方交会测设的一般方法
1.基本原理
)516(?
BABPb
APABa
)506(
a r c t a n
a r c t a n
a r c t a n
BP
BP
BP
AP
AP
AP
AB
AB
AB
xx
yy
xx
yy
xx
yy
2）实地测设
(1)在 A臵仪，以 B定向；反拨 β a角，在 P可能相交位臵处设立两个骑马桩 1,2，并于桩上钉小铁钉以标志视线方向。
(2)在 B臵仪，以 A定向；正拨 β b角，同样设立骑马桩 3,4。
(3)拉线 12,34，其交点为 P，并予地面钉木桩，其上钉小钉标志。
见图 6-19。 A,B为控制点,P为测设点。
1）计算测设元素由控制点 A,B坐标及设计点 P坐标反算坐标方位角 α AB,α AP,α BP，再计算 β a,β b。
工程测量学长春工程学院勘测学院示例 1：某桥墩采用前方交会法测设的示意图（图 6－ 20）
工程测量学长春工程学院勘测学院示例 2：变形的前方交会法见图 6－ 21。当 A,C点不能通视时，可用 A、
C周边的控制点进行定向，予以交会。
)526(
2
1?
CDCP
ABAP
CP
CP
CP
CD
CD
CD
AP
AP
AP
AB
AB
AB
xx
yy
xx
yy
xx
yy
xx
yy
a r c t a n,a r c t a n
a r c t a n,a r c t a n
2.精度分析影响因素（见图 6－ 22）：仪器对中误差、目标偏心误差、照准误差、
定向方位误差、测角误差、标定误差等。
若需计算 P点坐标时，其余切公式中的 α,
β 角应适图形情况进行换算。
工程测量学长春工程学院勘测学院
2.精度分析影响因素（见图 6－ 22）：仪器对中误差、
目标偏心误差、照准误差、定向方位误差、
测角误差、标定误差等。
2
2222
222
2
2
,
2
AB
BPeAPe
BA
AB
BPe
B
AB
APe
A
S
SmSm
mmm
S
Sm
m
S
Sm
m
BA
BA
中中中中中
2
2222
222
2
2
,
2
AB
BPeAPe
BA
AB
BPe
B
AB
APe
A
S
SmSm
mmm
S
Sm
m
S
Sm
m
BA
BA
目目目目目
)()/06(2
)/06(2,)/06(2
222222
222222
BPAPBA
BPAPBAPBPA
SSVmmm
SVmSVm
照照照照照
)(
,
22
2
2
222
2
2
2
22
2
2
2
BPAPBA
BPBAPA
SS
m
mmm
S
m
mS
m
m
AB
ABAB
向向向向向 这 4项误差 (仪器对中误差,目标偏心误差,照准误差,
定向方位误差,标定误差等 )均较小，
故通常略之。
工程测量学长春工程学院勘测学院测角误差对测设点位误差的影响（用余切公式分析）
)536(
c o tc o t
c o tc o t
c o tc o t
c o tc o t
ba
BAaBbA
P
ba
BAaBbA
P
xxyy
y
yyxx
x
)546(s i n 2 22222 BPAPP SSmm
式中第 2项，若分子为定值,γ
为直角时，则 mP最小。
若 γ 为定值时,SAP和 SBP（或 β a,β b）怎样匹配较好？（图形结构）
2
2
2222
s i n
s i ns i n
s i n
s i n,
s i n
s i n
ABbaBPAPABaBPABbAP SSSSSSS?
m i nm i n22,s i ns i n mmyyy ba 时若令
)(s i ns i n)(1 8 0 22 aaab y?
babaaay 02s i n2s i n0)(2s i n2s i n
即当 γ 为定值时,β a＝ β b时,mP有极值；是极大值，还是极小值？
工程测量学长春工程学院勘测学院由上分析知：
1）若 γ ＞ 90°,则 2β a＜ 90°,4cos2β a ＞ 0，即 y″ ＞ 0,y有极小值。
亦即，当交会角为钝角时，对称交会将使 mP最小，最为有利。
2）若 γ ＝ 90°,则 2β a＝ 90°,4cos2β a ＝ 0，即 y″ ＝ 0,y′≡0,y无极值。亦即，当交会角为直角时，无论 β a,β b怎样改变,mP恒定为
SAB× m″/ρ″,与 β a,β b的数值无关。
3）若 γ ＜ 90°,则 2β a ＞ 90°,4cos2β a ＜ 0，即 y″ ＜ 0,y有极大值。亦即，当交会角为锐角时，对称交会将使 mP最大，是最为不利的。
baba
aay
02s i n2s i n
0)(2s i n2s i n
即当 γ 为定值时,β a＝ β b时,mP有极值；
是极大值，还是极小值？
aba yy 2co s42co s22co s2
工程测量学长春工程学院勘测学院二、前方交会测设的角差方法
1.基本原理图 6－ 23(a)是基本的前方交会法，在测设出 P’
点后，用测量方法测定角 βa’,βb’，并计算角差
Δβa,Δβb,即：
)556(
bbb
baa
因角差较小，不易直接改正，变换为间接改正 ΔS A,ΔS B，即：
)566(?
B
b
B
A
a
A
SS
SS
依据 ΔS A,ΔS B的大小和方向,从 P’点起作 AP’,BP’的垂线，并量 ΔS A、
ΔS B；过所得的端点分别作 AP’,BP’的平行线，其交点即为 P。
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2.角差图解法见图 6－ 24。
1)在大白纸中间某处定 P′点，依据所测的交会角
γ(γ ＝ 180° － β a′ － β b′) 绘制两直线，并按实际交会情况分别标注箭头指向 A,B。
2)在大白纸上分别作 AP′,BP′ 的垂线，并依角差线性改正量 ΔS A、
ΔS B的方向量取相应值。
3)过所量值的端点分别作 AP′,BP′的平行线,获得图上的交点位臵 P。
4)将绘制好的大白纸图上的 P′点对应于实地测设的 P′点,纸上 AP′,BP′方向分别对正实地的 AP′,BP′方向，则图上 P点位臵即为实地 P点的位臵。
5）将图上 P点位臵投至实地，并再次测定新的 β a′,β b′ 角，计算线性改正量。
6）同上法作图，若位移量 PP′达到要求，则不再改正；否则，按上述方法继续改正，直至满足要求为止。
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§ 6－ 7 后方交会法测设点位后方交会法测设点位，其外业工作比较简便，
但内业计算工作量略大。
一、角度后方交会法测设
1.基本原理见图 6-25。 A,B,C为控制点,P为测设点。
1）计算测设元素由控制点 A,B,C坐标及设计点 P坐标反算坐标方位角 α PA,α PB,α PC，
计算 α,β,为了检核，一般还需由方位角计算 γ 。
2）实地测设
(1)在合适位臵处（ P’）臵仪，分别测定 α,β,γ 角。
(2)依测定的各交会角计算 P’点坐标，并与设计坐标比较。
(3)若点位误差满足要求，则确定点 P；否则，用角差法或角差图解法改正。
(4)改正方法同前方交会法，此处不再赘述。后方交会仿权公式如下：
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)576(?
CBA
CCBBAA
P
CBA
CCBBAA
P
PPP
YPYPYP
Y
PPP
XPXPXP
X
在用后方交会法测设 P点时,P点（含过渡点）距的危险圆距离应不小于危险圆半径的 1/5。
)586(
3 6 0
c o tc o t
1
c o tc o t
1
c o tc o t
1
PBPA
PAPC
PCPB
C
B
A
C
P
B
P
A
P
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2.精度分析在分析测设点 P的精度时，因需建立过渡点 P’，对之进行测量、改正后得到 P点，故 P
点的精度与 P’点的精度相当，其计算公式
（见测量学教材－武测编，测绘出版社出版）
为：
)596()c o s ()s i n (
21
2
2
2
2
1
2
bb
SS
b
S
b
SSmm babac
P
通常交会边 Sa,Sb均比基线边 b1,b2小得多，故上式根号内的第三项可略去，则上式变为：
)606()s i n ( 2
2
2
2
1
2
b
S
b
SSmm bac
P
分析上式可知,mβ ↗,则 mP ↗ ；交会图形结构不好，则 mP ↗ 。以下对图形结构给以简单分析。
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1） P点位于△ ABC之内（图 6－ 26）
设△ ABC为正三角形，当 P点位于重心时，有：
)616(54.0 bmm P
2/360s i n)s i n (,3/bSSS cba
将上式代至（ 6－ 60）式，得：
2） P点偏离重心位于控制边中点（图 6－ 27）
2/3120s i n)s i n (,2/3,2/bSbSS cba
)626(70.0 bmm P
将上式代至（ 6－ 60）式，得：
3） P点位于△ ABC外构成正三角形（图 6－ 28）
2/3240s i n)s i n (,3,bSbSS cba
)636(80.2 bmm P
将上式代至（ 6－ 60）式，得：
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1） P点位于△ ABC之内（图 6－ 26）
设△ ABC为正三角形，当 P点位于重心时，有：
)616(54.0 bmm P
2） P点偏离重心位于控制边中点（图 6－ 27）
)626(70.0 bmm P
3） P点位于△ ABC外构成正三角形（图 6－ 28）
)636(80.2 bmm P
通过以上三式比较，可得如下结论：
（ 1）在 mβ 一定时，图形结构的优劣，直接影响着交会点精度的高低。
（ 2） P点位于重心时，精度最高；随着 P的逐步外移，精度逐渐下降，距离重心越远精度就越低。
特别是 P位于三角形之外时,mP随着交会边长的增加而迅速增加。因此，应尽量使 P位于三角形内。
工程测量学长春工程学院勘测学院二,边角联合后方交 （自由设站）
此方法在全站仪中又叫做自由设站，全站仪均设有此功能。
1.自由设站的基本原理见图 6－ 29,0,1,… i点为已知控制点,P为待定点。现在 P点架设全站仪，分别对 0,1,… i点进行水平角和距离观测，分别得到水平角为 0、
α 1,… α i，距离为 S0,S1,… Si。以 P为原点,P至测站 O方向为 X’轴方向，顺时针建立独立直角坐标系，则：
（ 6－ 64）
（ 6－ 65）
图 6－ 29
111
111
00
00
s in
c o s
0s in
0c o s
Sy
Sx
Sy
Sx
iii
iii
Sy
Sx
s i n
c o s
由独立直角坐标系点的坐标计算其在测量坐标系的坐标转换公式为：
P
P
i
i
i
i
y
x
y
xk
y
x
00
00
c o ss in
s inc o s
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（ 6－ 67）
（ 6－ 68）
对于上式有 a,b,xP,yP这 4个未知数，即至少需要有 2个已知点，
建立 4个线性方程。若已知点数多于 2个时，便存在多余观测，要在
VTPV＝ min的条件下求解，其解为：
Piii
Piii
yykxky
xykxkx
00
00
c o ss in
s inc o s
（ 6－ 66）
00 s in,co s kbka
若令,则：
Piii
Piii
yyaxby
xybxax
n
x
b
n
y
a
n
y
y
n
y
b
n
x
a
n
x
x
yx
n
yyxx
yxyx
n
yxyx
b
yx
n
yyxx
yyxx
n
yyxx
a
P
P
][][][
][][][
][][
1
][][
]][[]][[
1
][][
][][
1
][][
]][[]][[
1
][][
22
22
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（ 6－ 67）
（ 6－ 68）
对于上式有 a,b,xP,yP这 4个未知数，即至少需要有 2个已知点，
建立 4个线性方程。若已知点数多于 2个时，便存在多余观测，要在
VTPV＝ min的条件下求解，其解为：
Piii
Piii
yykxky
xykxkx
00
00
c o ss in
s inc o s
（ 6－ 66）
00 s in,co s kbka
若令,则：
Piii
Piii
yyaxby
xybxax
n
x
b
n
y
a
n
y
y
n
y
b
n
x
a
n
x
x
yx
n
yyxx
yxyx
n
yxyx
b
yx
n
yyxx
yyxx
n
yyxx
a
P
P
][][][
][][][
][][
1
][][
]][[]][[
1
][][
][][
1
][][
]][[]][[
1
][][
22
22
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2.自由设站的精度分析在自由设站中，由于观测边长、水平角均有误差，使得求得的 P点坐标 XP,YP和尺度比 K及坐标轴夹角 α 0（或 a,b）均有误差。
为评定 P点的精度，可以用所求出的参数
（ XP,YP,k,α 0 或 XP,YP,a,b）计算已知控制点的坐标（ XTi,YTi）,用此坐标与其已知坐标（ Xi,Yi）进行比较，求出其差值来近似的评定 P点的精度。即：
（ 6－ 69）
图 6－ 29
式中,XTi,YTi－ 控制点 i利用坐标转换模型计算的测量坐标系的坐标；
Xi,Yi－ 控制点 i的已知坐标（原始坐标）；
n－ 已知控制点数。
42
)()(
2 1
22
n
YYXX
m
n
i
iTiiTi
P
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§ 6－ 8 高程放样的方法高程放样方法主要分为几何水准测量方法和三角高程测量方法。
当测设的高程点精度要求较高或测设点与已知点的高差不大时，宜用几何水准测量的方法。当测设高程要求精度一般或测设点与已知点的高差较大时宜用三角高程测量方法。
2.测设步骤
1）在合适位臵处安臵水准仪，对 A上的水准尺观测，设读数为 a;
2）按（ 6－ 70）式计算测设读数 b;
3）在拟测设位臵处上下移动水准尺，当读数恰为 b时，则尺零端的位一、水准测量法直接测设高程点
1.基本原理见图 6－ 30。设控制点 A的高程为 HA，拟测设点 P的设计高程为 HP，在合适位臵处臵
)706()( PAPA HaHbbHaH
仪，测得 A点水准尺上的读数为 a，则在 P点处水准尺的测设读数应为：
臵即为测设位臵，并予标记该位臵。
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2.测设步骤
1）垂吊钢尺 (最好为标准拉力，否则，视情况加改正 )，并使之稳定；
2）在合适位臵 1,2处分别臵仪，并在 A尺、钢尺上分别读数 a,m,n；
3）按（ 6－ 71）式计算测设读数 b;
4）在拟测设位臵处上下移动水准尺，当读数恰为 b时（注意符号），
二、水准测量法间接测设高程
1.基本原理见图 6－ 31。设控制点 A的高程为 HA,P
点的设计高程为 HP，因高差 hAP较大，需要用垂直吊钢尺的方法间接测设 P点。
在地面 1处臵仪，在 A处尺及钢尺上读数分别为 a,m；在基坑内 2处臵仪，在钢尺上读数为 n；计算测设元素 b为：
)716()()()( APPA hnmabbHnmaH
则尺零端的位臵即为测设位臵，并予标记该位臵；
然后上下移动水准尺，当读数恰为 b时，则尺零端的位臵即为测设位臵。
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2.测设步骤
1）从 E点起按要求量取各点至 E的水平距离 (或每隔间距 S确定各位臵 );
2）在合适位臵处安臵水准仪，对 E上的水准尺观测，并读数，设为 a;
3）计算 E点至各点的高差 hEj，并按（ 6－ 72）式计算各测设读数 bj;
4）在拟测设位臵处上下移动水准尺，当读数恰为 bj时（注意符号），
三、水准测量法测设坡度线
1.基本原理见图 6－ 32。设坡度线起点为 E，
设计坡度为 i%，每 Sm测设一个坡度点 j，则各点相对于 E点的高
)726(%)( iSahaHHabbHaH jEjjEjjjE
则尺零端的位臵即为测设位臵，并予标记该位臵；
5）测设完后检查各点是否共线 (抽查点或挂线 )。
差为 Sj× i%。在合适位臵处安臵水准仪，并在 E点水准尺上读数，设为 a，
则在 j点水准尺上的测设读数为：
式中,Sj－ j点至 E点的水平距离。当测设读数 bj＜ 0时，说明视线低于坡度线，通常水准尺（或手钢尺等）要倒立测设。
施工控制网的建立
施工放样的方法和精度分析
曲线测设（与线路勘测合并）
地下建筑物的施工测量
竖井联系测量与陀螺经纬仪测量工程测量学长春工程学院勘测学院第三章 线路勘测工程测量学长春工程学院勘测学院
§ 3－ 1 线路勘测的任务与内容
1,线路按性质分类,铁路、公路、送变电线路、各种管线（输油、排污、排渣、热力、供水）等。
2,线路测量,凡为带状工程所进行的一切测量工作的总称。
3,线路测量的特点：
1）线路纵向较长 (几公里至几百公里 )、横向较窄 (十几米至上百米，
一般不超过 200m)，一般应顾及距离的投影改正问题 (应选择合适的投影面、投影带 )以及涉及跨带的一系列问题 (如接图、坐标换带等 )；
2）线路跨越的地形、地质条件和人文环境等多变，同类、同种工程的测量方法多变，交通运输及与社会交往的形式等多变；
3）线路涉及到的工程测量内容较多，如控制测量、地形测量、线路纵横断面测量、水深和水位测量、悬高测量、风偏测量、变形测量和工程测设等；
4）地形图及线路的各种设计图，一般均按线路纵向方向延伸。
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4、公路勘测,一般分为踏勘和详细测量这两个阶段。
踏勘：了解自然地理情况,选择线路大致位臵,为初步设计收集资料。
详勘：全面深入地研究线路各方面情况，精确地测定线路的位臵、长度等，为编制施工图收集资料。
5、送变电测量,一般分为 踏勘和终勘这两个阶段。
踏勘：以调查为主，一般仅对特殊地段（如跨越河流、大型沟谷等）
进行平面图和断面图的草绘，主要为室内选线收集资料。
终勘：依据初步设计的线路方案，进行实地的选线、定线和进行各种高程、断面、风偏测量及杆塔的定位测量等。
6、铁路,一般分为初测、定测和施工测量这三个阶段。
初测：依据对可行性的几个方案进行各方面实地测量，为初步设计提供资料。
定测：依据初步设计的方案，实地进行选定线路各方面的测量，为施工设计提供资料。
施工测量：依据施工设计的方案进行线路的施工测量，保障线路各工程按设计要求定位和施工等。
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§ 3－ 2 线路控制测量与带状图的测绘一、线路平面控制测量线路平面控制测量的形式以 GPS卫星测量为主，等级一般为 D,E级；
在布设网点时应充分考虑测图和施工测量的特点，重要地段每 1km左右、
一般地段每 1－ 2km必须有一对 GPS点相互通视；各控制网点应非常稳定，
便于使用和加密；布网时应尽量采用边连接，若条件较好时可以采用点连接；有关其它要求详见 GPS卫星测量规范及教材等。
二、线路高程控制测量平原和丘陵地区的 高程控制测量以水准测量为主，山区则以光电测距三角高程测量为主，等级一般为三、四等；在大沟谷和大河流的两侧、
在穿越铁路和高等级公路附近、在越岭的坡脚和垭口附近等处均应设立等级水准点；水准点的间距为 1－ 2km。
若采用光电测距三角高程，必须进行精度预计，确定点间的平均边长，
以保证布点按平均边长要求进行；确定距离、竖直角、仪器高、觇标高的测量精度及测回数，以保证在同等距离条件下三角高程的高差测量精度等同于水准测量的精度。
工程测量学长春工程学院勘测学院三、带状地形图的测绘目前测绘带状地形图的主要方法有：航空摄影测量方法和用全站仪、
GPS（ RTK）测量的方法等；成图均利用软件进行数字成图。
在测绘带状地形图时应注意以下几点：
1）地形图的走向与线路的纵向必须一致，测绘的宽度不得小于规定的距离；
2）对线路区域内的各种地上、地下管线和公路、铁路、通讯线、电力线等必须测绘；地下管线必须测量埋深，注明管径、管材等；悬空管线等必须测量净高；
3）对线路经由的大沟谷、河流等必须测绘沟岸、河岸、河流的水崖线和最高洪水位、沟谷的谷底等；
4）对线路经由的田地、树林等，必须测绘不同类别、不同性质的地类界，并要注明性质（如旱田、水田、澡泽地、经济林、苗莆等），若林地必须注明树林的平均高度；
5）出图原则要求图边与线路的纵向一致，接边按对应的方格网进行接图等。
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§ 3－ 3 线路的定测或详测线路的定测或详测就是要将图纸上设计（初步设计或终审设计）好的线路位臵测设于实地，并沿线路中线方向进行纵、横断面测量等。若设计在个别地段存在有严重缺陷，必须提交报告，进行变更设计。
一、线路中线的测设无论何种线路，对于中线的测设原则上分为线路交点的测设和线路中线的测设这两个阶段。其中，对于公路、铁路线路中线的测设又分为直线段、曲线段中线的测设。
1、线路交点的测设与偏角测量
1）线路的交点及偏角（见图 3－ 1）
线路交点：线路方向发生改变，两方向线的交点即为线路的交点，通常用 JD表示。
线路偏角：线路现行进方向偏离原行进方向的水平夹角，
偏离原行进方向右侧的称为右偏角，左侧的称为左偏角。
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2）线路交点的测设测设依据：依据线路交点的设计坐标（图解或设计给定）或给定线路的分段长度及线路偏角，测设交点。
测设方法：目前多采用 RTK实时定点或全站仪极坐标法测设。测设完后，需要再精确测定交点的坐标。
3）偏角测量若用 RTK方法精确测定交点的坐标后，可利用测定的坐标进行解算偏角；若用全站仪测设交点，一般应在交点测设完后，立即进行水平角测量（一测回），然后解算偏角。
2、线路中线的测设本节主要为直线段测设，有关曲线段测设在第七章中讲授。
直线段一般每 20－ 50m测设一点，测设后以木桩标示点位，并用里程代以点号，如点号为 DK10＋ 350.00表示其距离线路起点的里程为
10350.00m。距离为规定距离整倍数的为整桩。
若线路经由田地、林地、各类管线、道路、河流、沟谷等地，必须在交汇处及其重要特征点（如河堤、河岸、谷底等）
处设立加桩（见图 3－ 2）。
工程测量学长春工程学院勘测学院二、线路纵、横断面测量
1、线路纵断面测量线路纵断面测量就是要利用基平测量的高程点及成果，沿着线路的中线方向测定各中桩点的地面高程，并绘制纵断面图。
纵断面测量方法：主要为工程水准测量方法（工程中又称为视线高法）
和光电测距三角高程法。
1）工程水准测量方法工程水准测量方法实际上是水准测量方法与视线高法的结合，即对于水准点与转点、转点与转点间用水准测量方法，而在一站内用视线高法测定各中桩点的地面高程。见图 3－ 3。
工程测量学长春工程学院勘测学院测定与计算时应注意,1） 必须检测已知水准点间高差，限差为
30× L1/2mm； 2） 若测桩顶必须量取桩面高，以便计算中桩地面高程； 3）
必须记录清楚桩号与中视读数； 4） 前、后视读数至 mm位，中视读数至
cm位； 5） 附合水准路线闭合差为 40× L1/2mm，计算完转点高程后再计算中视点高程； 6） 中视点高程＝后视视线高－中视读数。
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2）光电测距三角高程法光电测距三角高程法与工程水准测量方法基本相同，只是对于长距离测量时必须考虑球气差，要加此项改正。
另外，测站点若为非水准点时必须进行直、反觇观测，其高差较差应符合限差要求（一般为 30× S1/2mm）。每日测量前必须检测竖盘指标差 i，
对中桩点竖直角观测一般为单镜位观测，且应加入指标差改正等。
2、线路纵断面图的绘制线路纵断面图实际上是线路沿中线方向的剖面图，即：以线路中线为横轴、以高程为纵轴展绘各中桩点的地面高程，并将相邻点用直线或光滑的曲线进行连接。
横轴比例尺 与地形图的比例尺一致，一般为 1/1000或 1/2000，起点为线路的起点，中桩点依据其里程展绘。 纵轴比例尺 视情况而定，通常为横轴比例尺的 1－ 10倍，且每幅图的纵轴起点可以依据幅内中桩点的高程确定，但一般均为 5m或 10m的整倍数。每幅图内 必须注明 纵、横向比例尺及在纵轴上注明整百米或整十米的高程，除此之外，在纵断面图上还必须标注其它相关的主要信息，见图 3－ 4、图 3－ 5。
工程测量学长春工程学院勘测学院 图 3－ 4
工程测量学长春工程学院勘测学院 图 3－ 5
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3、线路横断面测量及横断面图的绘制线路横断面即指垂直于线路中线方向的断面。并非所有的中桩点都要测横断面，一般整桩点均要测，除此之外，重要地段的加桩点、横断面较复杂的加桩点也要测横断面。
横断面的宽度适要求和断面情况而定，高等级公路和铁路单向宽度一般为 50-150m，一般公路和管线、送变电线路等为 20-50m。
1）线路横断面测量测量的方法主要有：水准仪法（适用于平坦地区）、经纬仪法、花杆皮尺法（适用于低精度断面测量）、全站仪测量法,RTK测量方法等。
在测量时主要应注意以下几点：
（ 1）横断面方向必须垂直于中线方向；
（ 2）以线路前进方向为准分左、右两侧，有关数据必须记录清楚是左侧的，还是右侧的；断面编号为中桩点号；
（ 3）对于不在横断面上且又近于横断面上的地物、重要地形点也必须测定，列入断面点；
（ 4）左侧和右侧距中桩最远断面点不得小于规定的要求，并应适情增加 1－ 2点。
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2）线路横断面图的绘制线路横断面图是以垂直线路中线方向为横轴、以高程为纵轴展绘断面点的地面高程，并将相邻点用直线或光滑的曲线进行连接。
纵轴、横轴比例尺一致，一般为 1/100－ 1/200，编号为中桩点里程号。
绘图时中桩点居中，分别依比例尺展绘左侧、右侧断面点，再用直线或光滑曲线连接。见图 3－ 6。
第七章 曲线测设工程测量学长春工程学院勘测学院
§ 7－ 1 概述当道路的方向发生改变时，需要用曲线予以连接。曲线测设是道路工程测量最主要的内容之一。
曲线按性质分类,平曲线、纵曲线。
平曲线按形式分类,圆曲线、缓和曲线、复曲线、反向曲线、回头曲线、卵型曲线、凸型曲线等，见图 7－ 1。
纵曲线按形式分类,圆曲线、抛物线等。
平曲线测设的主要方法,偏角法、切线支距法（直角坐标法）、极坐标法、全站仪曲线测设法,RTK坐标测设法等，目前应用较多的是全站仪曲线测设方法和偏角法。其中，直角坐标法的基本原理为各种坐标测设方法提供了模型转换基础。
竖曲线测设的主要方法：水准法、光电测距三角高程法。其中，竖曲线测设主要以水准法为主，若用光电测距三角高程法时对部分点位要用水准法予以检查。
工程测量学长春工程学院勘测学院复曲线反向曲线回头曲线螺旋线凸曲线卵型曲线线图 7－ 1
工程测量学长春工程学院勘测学院
§ 7－ 2 单圆曲线的测设单圆曲线简称圆曲线，若按常规方法测设，通常分两步进行，即：
圆曲线主点（起控制作用的点）的测设和曲线细部点的测设。
一、圆曲线要素及计算见图 7－ 2，圆曲线的半径 R、偏角 α,切线长 T、曲线长 L、外矢距 E、
切曲差 q，通称为圆曲线要素。
R,α 是已知数据。 R是在线路设计中按线路等级及地形条件等因素选定的,α 是线路定测时测定的。其余元素按下列关系式计算，即：
)17(
2),1
2
( s e c
1 8 0
,
2
t a n
LTqRE
RRLRT
例 1,α R＝ 10° 25′,R＝ 800m，则可计算出：
T＝ 72.92m,L＝ 145.45m,E＝ 3.32m
q＝ 0.39m。
工程测量学长春工程学院勘测学院二、圆曲线主点及主点里程的计算见图 7－ 2，圆曲线的主点为：直圆点－ ZY、曲中点－ QZ、圆直点－
YZ。
各主点里程的计算：各主点里程依据交点（ JD）的里程计算。设交点里程为 JD DK，则各主点的里程为：
例 2,JD里程为 DK11+295.78，其它数据同例 1，则可计算出各主点的里程为：
ZY DK＝ JD DK－ T
QZ DK＝ ZY DK＋ L/2 （ 7－ 2）
YZ DK＝ ZY DK＋ L
＝ JD DK＋ T－ q （检核）
ZY DK＝ JD DK11+295.78-72.92＝ ZY DK11+222.86
QZ DK＝ ZY DK11+222.86+72.72＝ QZ DK11+295.58
YZ DK＝ ZY DK11+222.86+145.45＝ YZ DK11+368.31
检核 YZ DK＝ JD DK11+295.78+72.92-0.39 ＝ YZ DK11+368.31
工程测量学长春工程学院勘测学院在计算各主点里程时应注意，交点里程（ JD DK）应是交点延线路中线方向至线路起点的距离。若是折线距离，其应减去从线路起点开始经由所有曲线线路的切曲差，即：
1
1
DKJDDKJD
i
j
jii q－（折线）＝（中线）
（注,i≥2 ）（ 7－ 3）
工程测量学长春工程学院勘测学院注意,主点是线路曲线段的骨架点，具有控制线路曲线的作用；在用常规方法测设曲线的细部点时，主点又起到检核作用。因此，必须精心的测设曲线各主点。
三、圆曲线主点的测设见图 7－ 4，测设圆曲线各主点的步骤如下：
1）在交点（ JD）臵仪，以线路方向（转点桩或交点桩）定向，即确定切线方向；
2）从 JD点起沿视线方向量分别取切线长 T，确定 ZY点和 YZ点；
3）后视 YZ点，用正、倒分中法正拨（右偏）或反拨（左偏） 90° －
α/2 （图中的 β 角）；
4）沿分中点视线方向量取外矢距 E，确定 QZ点。
工程测量学长春工程学院勘测学院四、圆曲线细部点的测设圆曲线细部点的测设方法较多，有：偏角法、切线支距法、弦线偏距法、弦线支距法、割线法、全站仪坐标测设法,RTK坐标测设法等，
本节主要讲授偏角法、切线支距法、弦线偏距法。
1.偏角法偏角法实质是角度与距离交会的一种方法。如图 7－ 5所示。
1）测设元素：给定的点间距 l（以直代曲的长度）、曲线点的偏角
δ i 。 δ i（以度为单位）的计算公式如下：
式中,li－ i点至 ZY点间的曲线弧长。
由于曲线半径 R较大，相邻两个测设点间的弧长所对的圆心角较小，使得弦长 C（测设时为 10m,20m或 50m）和弧长之差很小（通常小于量距误差），所以，实际测设时均以弦长代替弧长。
)47(18021 πRl ii?
图 7－ 5
工程测量学长春工程学院勘测学院
2）测设步骤（见图 7－ 6）
（ 1）在 ZY点整臵仪器，照准交点 JD，度盘臵 0；
（ 2）拨角 δ 1（注意：正拨角，还是反拨角），延视线方向量取长 l，
确定 1点，钉木桩并以小钉标志点位；
（ 3）拨角 δ 2，从已测设的 1点开始，量长 l，其端点恰与视线相交，
确定 2点，钉入木桩并以小钉标志点位；
（ 4）按上方法进行其它各点的测设，直至 QZ点（ QZ点也要按此方法放出，用以检查测设质量及调整其它各点）；
图 7－ 6
工程测量学长春工程学院勘测学院
3）检查与调整（见图 7－ 7），方法与步骤为：
由于测设时各种误差的累积，致使详细测设时的曲中点－ QZ′ 与主点测设时的 QZ点不重合，其距离称为曲线测设的闭合差 f。
f沿 QZ点切线方向的分量称为纵向闭合差 fx,其相对允许值为 1/2000；
f沿 QZ点向径方向的分量称为横向闭合差 fy,其允许值为 ± 10cm。若测设满足上述精度要求，则对各点按与距离成正比例关系进行点位调整；否则，应对测设点进行检查，修正粗差点和错误点。
图 7－ 7
调整的步骤如下：
（ 1）确定调整方向：与
QZ′ （细部测设）至 QZ（主点测设）的方向一致；
（ 2）确定调整量：调整量按与距离成正比例分配，即
)57(2/ ii lL fd
工程测量学长春工程学院勘测学院上面述及的方法为整桩法，各点测设完后一定要注意补齐百米桩。补设百米桩可直接依据测设的邻近点及里程内插。 如 ZY DK11+368.22，点间距为 20m。若整桩法第 1点为 DK11+388.22、第 2点为 DK11+408.22，各点调整后需要补设百米桩 DK11+400。
为防止丢失百米桩，也可采用 湊 整方法,即对测设的第 1点进行里程湊 整，但 湊 整距离不得大于规定的点间距，各点测设方法同整桩法 。见图 7－ 8。
图 7－ 8
如上例，若采用 湊 整方法测设，则第 1点里程应 湊 整为
DK11+380.22，其偏角按对应弧长 l1＝ 11.78m计算，其它点以 l＝ 20m弧长为基准计算。
工程测量学长春工程学院勘测学院
2.切线支距法（直角坐标法）
切线支距法,建立以 ZY点（或 YZ点）
为原点，以切线方向（指向 JD点）为 x
轴、向径方向为 y轴的独立直角坐标系，
并依据点间距 l计算各测设点的独立直角坐标，再用支距法实际测设各点位的方法,见图 7－ 9。
这种方法为实现由全站仪,RTK进行坐标放样提供了坐标转换模型基础。 图 7－ 9
)67(
)c o s1(
s i n
180
ii
ii
i
i
Ry
Rx
R
l
1）测设元素：由给定的点间距 l（以直代曲的长度），计算各测设点的坐标 x,y，即：
工程测量学长春工程学院勘测学院
2）测设步骤（见图 7－ 10）
（ 1）在 ZY点整臵仪器，照准 JD点确定切线方向，沿此方向依次量取 x1,x2,…,得点 1′,2′,…,并临时标定之；
（ 2）分别在垂足点 1′,2′,… 整臵仪器，照准 JD点拨直角，并沿对应视线方向量取 y1,y2,…,得测设点 1,2,…,钉入木桩并以小钉标志点位；
（ 3）曲线细部点测设结束，应对点间距予以检查，使其点位误差合乎要求，否则，对误差超限点位，应予重新测设、调整；
图 7－ 10
（ 4）在确认各点位正确后，若有百米桩未测设，需要用其邻近的曲线细部点，用直线内插的方法测设，并分别钉入点位桩与标志桩。
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3.弦线线支距法（见图 7－ 11）
当线路工程位处狭长地带或地下线路工程掘进时适用此方法。
1）测设元素 (曲线点间距为 l)
图 7－ 11
)77(
2
s in2
1 8 0
Rl
R
l
弦
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i
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弦弦弦弦工程测量学长春工程学院勘测学院
2）测设步骤 (曲线点间距为 l)
（ 1）见图 7－ 12。在 ZY点臵仪，倒镜照准直线转点桩，纵转望远镜确定切线方向；
（ 2）沿此方向量取长 S1，确定 l’点，在 l’点作支距 d1后标定 1点；
（ 3）在 1点臵仪，倒镜照准 ZY点后纵转望远镜，确定弦线延长方向，
并沿此方向量取长 S2，确定 2’点；
（ 4）以直线 12’为基线,2’点为起点支距 d2，标定 2点；
（ 5）其它各点的标定方法与 2点的标定方法相同，如此直至标定完整条曲线。
图 7－ 12
工程测量学长春工程学院勘测学院
4.弦线线偏距法（见图 7－ 13）
当线路工程位处狭长地带或地下线路工程掘进时适用此方法。
1）测设元素 (曲线点间距为 l)
图 7－ 13
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2
s in2
1 8 0
Rl
R
l
弦
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1
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lS
i
弦弦弦工程测量学长春工程学院勘测学院
2）测设步骤 (曲线点间距为 l)
（ 1）见图 7－ 14。在 ZY点臵仪，倒镜照准直线转点桩，纵转望远镜确定切线方向；
（ 2）沿此方向量取长 S1，确定 l’点，在 l’点作支距 d1后标定 1点；
（ 3）在 1点臵仪，倒镜照准 ZY点后纵转望远镜，确定弦线延长方向，
并沿此方向量取长 l弦,确定 2’点；
（ 4）以 1点为圆心,l弦 长为半径画弧，再以 2’点为圆心,d2长为半径画弧，两弧交点即为 2点，并予标定；
（ 5）其它各点的标定方法与 2点的标定方法相同，如此直至标定完整条曲线。
图 7－ 14
工程测量学长春工程学院勘测学院
§ 7－ 3 缓和曲线车辆由直线进入圆曲线行驶时会产生离心力，故在圆曲线上要用外侧超高的方法克服离心力。离心力的大小与行车速度、曲线半径等因素有关，半径愈小离心力愈大，外侧超高也应愈大。为了保证行车安全和延长车辆使用寿命等，外侧超高应有一个渐变的过程，在等级线路中，通常在直线和圆曲线之间插入一段半径由 ∝ 渐变到 R（或由 R渐变到 ∝ ）的曲线－缓和曲线。 缓和曲线可以是螺旋线、三次抛物线等空间曲线。目前，我国公路、铁路通常用螺旋线作为缓和曲线。
一、缓和曲线的基本公式缓和曲线上任一点的曲率半径 ρ 为,)127(/ lc?
当 l为缓和曲线全长 ls时,ρ ＝ R，则：
)137( SRlc
)147(0 3 5.0 2 Vc )157(0 3 5.0 2
R
Vl
S
常数 C与车速 V(km/h)有关，目前我国公路采用式（ 7－ 14），那么缓和曲线长 ls为：
工程测量学长春工程学院勘测学院二、切线角（或偏向角）公式见图 7－ 15。对于微分弧段 dl有：
三、缓和曲线的参数方程建立如图 7－ 15所示的独立直角系。对于微分弧段 dl的分量 dx,dy有：
)197(s inc o s?
dld
dld
y
x
图 7－ 15
)167( dlcldld
)177(22 2200
S
l
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l
c
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当 l=ls时，切线角为：
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)
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2
l
l
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x
工程测量学长春工程学院勘测学院因 β 是小量，故对 sinβ,cosβ 进行级数展开得：
（ 7－ 22）式即为缓和曲线的参数方程，特别地当 l=ls时缓和曲线终点的坐标为（ 7－ 23）式。
图 7－ 15
)217(
3 8 48
1)
2
c o s (
3 8 4 0482
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2
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c
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c
l
将上式代至（ 7－ 20）式得：
)227(
63 3 66
)
2
s i n (
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)
2
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3
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l
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3
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y
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lx
S
S
S
工程测量学长春工程学院勘测学院
§ 7－ 4 具有缓和曲线的圆曲线（综合曲线）测设当圆曲线两端插入缓和曲线后，圆曲线应内移一段距离，才能使缓和曲线与直线衔接。而内移圆曲线，可采用移动圆心或缩短半径的方法来实现。我国在公路、铁路的曲线测设中，通常采用内移圆心的方法，见图 7－ 16。
若 P－火车自重,b－轨距、
F－离心力与车重力的合力、
h0－超高,V-车速（ km/h）则：
h0/F＝ b/P
而 F＝ m× v2/R,P＝ m× g，那么,h0＝ F× b/P＝ 11.8v2/R
一般取平均速度主最高速度的 80%，则：
h0＝ F× b/P＝ 7.8V2max/R
如 V＝ 120km/h,R＝ 1200m，
则 h0=142mm。 图 7－ 16
工程测量学长春工程学院勘测学院一、具有缓和曲线的圆曲线的主点及曲线元素
1.主点（见图 7－ 16）
有直缓点－ ZH、缓圆点－ HY、
曲中点－ QZ、圆缓点－ YH、缓直点－ HZ这 5个主点。
2.缓和曲线参数缓和曲线的切线增量 m、曲线内移值 p及缓和曲线的切线角 β 0。
图 7－ 16
)247(
)c o s1(
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00
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R
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lR
R
llRxm
工程测量学长春工程学院勘测学院图 7－ 16
)267(
2
2
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2
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S
4.主点里程（见图 7－ 16）
3.曲线元素（见图 7－ 16）
有曲线偏角 α,圆曲线半径
R、缓和曲线长－ ls这 3个已知元素 和切线长－ T、曲线长－ L、
外矢距 E、切曲差－ q这 4个推算元素 。
ZH DK=JD DK - T,HY DK=ZH DK + ls,QZ DK=ZH DK + L/2,
HZ DK=ZH DK + L,HZ DK=JD DK + T – q（检核）
YH DK=HZ DK – ls,YH DK=QZ DK + (L-2ls)/2（检核）
工程测量学长春工程学院勘测学院图 7－ 16
二、曲线主点的测设测设步骤（见图 7－ 16）：
1）在 JD点臵仪，分别照准切线上的直线转点桩或交点桩，
并沿视线方向量取切线长 T，
确定 ZH点和 HZ点，并予以标定；
2）以 HZ点定向，正倒分中法拨角 (180° - α)/2 （右偏正拨、左偏反拨）确定外矢距方向，沿分中方向量取外矢距长 E，并标定 QZ点；
3）在 ZH点（或 HZ点）臵仪，照准 JD点，沿视线方向量取长 x0定点；
4）在所确定点处臵仪，以 JD点定向，向曲线方向拨直角，沿视线方向量取长 y0，标定 HY点（或 YH点）。
工程测量学长春工程学院勘测学院三、曲线细部点的测设
1.偏角法测设
1）测设元素缓和曲线点间距为 l，
圆曲线点间距为 lc。
缓和曲线上任意一点 i
和圆曲线上任意一点 I的偏角为：
图 7－ 17
)277(6a r c t a n 2
S
i
i
ii
Rl
l
x
y? )287(180)(
R
ll SI
I
2）测设步骤对缓和曲线、圆曲线细部点的定位、调整方法同单圆曲线的偏角法测设，此处略。
注：在确定 HY点处圆曲线的切线时，倒镜以 ZH点定向，度盘配臵 β 0
－ δ 0，纵转望远镜为正镜，当读数为 0° 00′00″
时视线的方向即为切线方向。
工程测量学长春工程学院勘测学院
2.切线支距法测设
1）测设元素缓和曲线点间距为 l，圆曲线点间距为 lc。
建立以 ZH(或 HY)点为原点、
以指向 JD点方向为 x轴、垂直 x
轴并指向曲线内侧的方向为 y
轴的独立直角坐标系，缓和曲线上任一点 i和圆曲线上任一点 I的坐标为：
2）测设步骤对缓和、圆曲线细部点的测设方法同单圆曲线的偏角法，此处略。
图 7－ 18
)297(
6
40
3
22
5
S
S
Rl
ly
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)307(
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1 8 0)(
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II
II
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I
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R
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工程测量学长春工程学院勘测学院
§ 7－ 5 困难地段曲线的测设在曲线测设中，因受地形、地质条件的限制，曲线测设往往不能用正常的方法逐点测设，而必须采用一些辅助或特殊的方法测设。
一、交点不能安臵仪器若 P－火车自重,b－轨距、
F－离心力与车重力的合力、
h0－超高,V-车速（ km/h）则：
h0/F＝ b/P
而 F＝ m× v2/R,P＝ m× g，那么,h0＝ F× b/P＝ 11.8v2/R
一般取平均速度主最高速度的 80%，则：
h0＝ F× b/P＝ 7.8V2max/R
如 V＝ 120km/h,R＝ 1200m，
则 h0=142mm。 图 7－ 16
工程测量学长春工程学院勘测学院
)16(c o s,s i n cSeecSee yyyx
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2)测角误差对测设点位的影响
)56( Smm角
3)测角误差对测设点位的影响 )66(
)( 222
Sbam
Sm
S
S
测距：
量距,?
4)在地面上标定点位的误差 τ
工程测量学长春工程学院勘测学院
)76(
)(
)(
)()c o s2( 2
22
2
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22222
Sba
S
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c
S
c
Sm
mmmm
yee
S角偏综上，测设 P
点的点位误差为 (6－ 7)式。
结论：
(1)对中误差 me愈大，则 m愈大；因此，必须提高对中精度。
(2)S/c及 S愈大，则 m愈大；因此，必须控制放样距离 S，且应适当选择控制点作为定向点。
(3)测角误差 mα 愈大，则 m愈大；因此，必须提高测角精度。
(4)同等条件下，测设锐角较钝角好。
增量形式及起点量取相应增量，确定点 O，再去距另一增量，确定并标定点 P。
2.精度分析 （与极坐标法基本相同，公式见（ 6－ 8）式）
二、直角坐标法
1.基本原理如图 6－ 3。计算坐标增量，从控制点起按
)86(2)()( 2222
22
2222
AP
AP
ee Sba
SSmm
c
Smm
y
工程测量学长春工程学院勘测学院
§ 6－ 3 方向线交会法方向线交会法是对规则序列多点位进行测设最常用的方法，测设后的点位具有较好的共线性。
一、基本原理见图 6－ 4。 A－ D为矩形控制网点，黑色点及 P
点均需测设的点。以 P点为例说明，见图 6－ 5。
在纵轴线 AC,BD上依据 XP值分别设立 X21,X22
点，在横轴线 AB,CD上依据 YP值分别设立 Y21、
Y22点。
在 X21点臵站，照 X22，在可能 P点处的视线方向上设立骑马桩 a,b，并在桩上钉小铁钉以标志视线方向；同法设立骑马桩 c,d，并标志视线方向。
分别在骑马桩 a,b标志点上挂线和骑马桩 c、
d标志点上挂线，则两条细线交点的位臵即为 P
点的位臵，在该处钉桩，并予标志 P点。
工程测量学长春工程学院勘测学院二、精度分析影响因素：设臵方向线端点的误差、设臵方向线的误差、标定点位的误差等。
1.设臵方向线端点的误差影响 m端见图 6－ 6。设臵端点 X21,X22需在轴线上量距，设其真误差分别为 μ a,μ b，那么有：
)96(),( dLxdLLx bbaa
)106(,)( 22222222 dLmmdLLmm bxax ba
)116()( 222222222 dLmdLLmmmm baxx ba端
2.设臵方向线的误差影响 md
md主要包括：仪器对中误差的影响 m偏,目标偏心误差的影响 m偏 ’,
瞄准误差的影响 mS以及望远镜调焦误差的影响 mf。以下分别分析之。
工程测量学长春工程学院勘测学院
1)仪器对中误差的影响见图 6－ 7。
)126(c o s)1()(c o s LdedLLee
)136(c o s2
)1(][ 2
0
2
222
2
dL
dm
n
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偏
)146()1(2 Ldmm e偏
2)目标偏心误差的影响见图 6－ 8。
)156(c o sc o s LdedLee
)166(c o s2][ 20 222222 dLdmnem e偏
)176(2 Ldmm e偏工程测量学长春工程学院勘测学院现在考虑仪器臵于 X21点还是 X22点优越。
)1(2 Ldmm e偏由式 (6－ 20)知：
若 me>me’，则 d0＞ L/2，
即仪器臵于远离测设点一端；若 me<me’，
则 d0<L/2，即仪器臵于近测设点的一端。
L
dmm e
2偏
)186()(2)1(2 222222 LdmLdmmmy ee偏偏令
)196(0L,)1(L 2222222 LmmyLdmLdmy eeee
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2
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m
m
Ldy
e
e
工程测量学长春工程学院勘测学院
3)瞄准误差的影响瞄准误差一般取 60″/V(V－望远镜的放大率 )。应用方向线交会法进行交会时，需瞄准两次，即一次为瞄准端点，一次为瞄准测设点。设两次瞄准的误差对测设点位的影响为：
)216(
V
06
V
06
V
06
)
V
06
(
ddm
d
L
d
Lm
S
S
点端
)226(206 dVm S?
4)调焦误差的影响望远镜调焦对于视线的影响可达 1.2″,在
10m－ 200m的范围内调焦，可取视准轴的变化为 1″ － 2″ 。则该项误差为 (6-23)式。
)236(21 S～m f?
由上 1)－ 4)知，应用仪器设臵方向线对测设点位的中误差影响为：
)246(222 向向 YXd mmm
)256()( 22S2222 fYX mmmmmm 偏偏向向 或工程测量学长春工程学院勘测学院
3.标定测设点位的误差影响 τ
τ 的大小取决于标定方法，在工民建中通常用铁钉或铁钎标定点位。若用仪器能直接看到铁钉，则标定误差约为 1.5－ 2mm。
综上，用方向线交会法测设交会点的点位中误差为：
)266(
)((
22
2
2
1
22
Y
2222
mm
mmmmm YXX 端向端向 ）
工程测量学长春工程学院勘测学院
§ 6－ 4 轴线交会法轴线交会法实质是一种侧方交会的方法，主要用于水利工程中的大坝工程建设中。
一、基本原理见图 6－ 9。 A,B为大坝轴线基点,1,2为控制点； P为需要测设的点，且在坝轴线上。
在坝轴线 AB适当位臵整臵仪器，通过测定 α 1、
α 2来确定点位 P。
)276(
|c o t| 111'
0
'
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P )286(
|c o t| 222"
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P
P
除用直接法测定外,还可用角差法,即依测定的 α 角与理论值 α 0求出 δα,并由 δα计算
δy,再依 δy 修正 P点 。各 δ计算如下：
)306(|c s c|,
"
2
10
xy
依 δα符号判定 δy 移动工程测量学长春工程学院勘测学院一、精度分析因 P在坝轴线上，故在此先分析 Y坐标精度。
从式 (6－ 32）分析知：
1)myp与交会距离 Sp成正比，距离 Sp愈大，则点位误差愈大。
2)myp与交会角 α 有关,α 角愈小，则点位误差愈大。
3)myp与交会角测定的精度有关,mα 愈大，则点位误差愈大。
下面考虑，因 P点的设臵误差 (不正好在轴线上 )，对交会点 Y坐标的影响，及削减误差措施。
)316(c s c||c o t|| 1121111' dxxddydy P?
式中：前两项反映了施工控制网误差对 P点的点位精度影响，通常它们远小于第三项误差，故可略之，则：
)326(c s cc s c|| 11' 1121 mSmxm Py
P
)336(c s c214
22
mSmmm Pyyy PP
P
工程测量学长春工程学院勘测学院设因照准及外界条件影响而使 P移至 P’，即 P点的设臵误差，
则必因测设 α 角而给坐标 Y带来误差。见图 6－ 10。
)346(
222
111?
从上式分析知：若 1,2点关于轴线近于对称,则
ε 1≈ε 2,Δα 1≈Δα 2＝ Δα,在用 α ’值求 Y并取中数时，由设臵误差给 YP带来的误差可大部分削减，使其可以忽略不计。因此，在用轴线交会法测设点位时，最好选用关于轴线对称的控制点作为交会基准点。
轴线交会法除在坝轴线上使用外,还可推广至坝轴线的平行线上使用,
其应用方法与轴线交会法相同。因轴线平行线的设臵精度远比轴线 的精度低,因此,有必要对平行线的设臵误差对测设点的点位影响予以讨论。
)356(
222
111
22
11?
则令工程测量学长春工程学院勘测学院设臵坝轴线平行线的误差，将使平行线相对于正确位臵产生旋转和平移。
见图 6－ 11。
假设,平行线旋转一 δ 角，见图 6－
12。平行线 L转至 L’，这时因测定角 α
变化将引起 P点 Y坐标的误差。
从图中可看出,P位于平行线不同位臵时,δ 对 α 的影响不同。 P位于交点 P0时，有：
)366(
22
11?
)376()( )(
244
133?
P位于交点 P0以外任一点 P1时，有：
从上两式可看出,P位于交点 P0时,δ
对 α 影响最大,对 Y的影响为 (6-38)式。
)386(c s c|| 2 xy
工程测量学长春工程学院勘测学院
P位于交点 P0时，有：
)366(
22
11?
)376()( )(
244
133?
P位于 P0以外任一点 P1时，有：
从上两式可看出,P位于交点 P0时,δ
对 α 影响最大,对 Y的影响为 (6-38)式。
从式 (6-36)－ (6-38)可得结论,)386(c s c|| 2 xy
若 1,2两控制点关于平行线近于对称时,δ 对两测定角的影响量值近于相等，但符号相反；对 Y坐标的影响 δy 量值也基本相等，符号却相反。
因此，对各自测定的 Y坐标取均值时，将大大削减该项误差。
设臵坝轴线平行线的平移误差对 Yp的影响，其结论与上述同。
综上,利用关于轴线 (或平行线 )对称的控制点进行轴线交会,会大大削减 P点设臵误差对 YP的影响；而 P点设臵误差对 XP的影响是一个常数,不能通过有利的观测图形加以抵消。故必须严格控制 P点在轴线或平行线上。
工程测量学长春工程学院勘测学院
§ 6－ 5 正倒镜投点法正倒镜投点法实质是逐渐趋近直线内插点的一种方法。
一、基本原理见图 6-13,6-14。 A,B为控制点,P为内插点。因 P距 A,B较远，工作不便，或 A,B均不易臵仪，必须在 A,B期间臵仪内插确定点 P。
利用三角形相似原理或三角学公式，计算
(或近似 )臵仪点偏离直线量 δ,使臵仪点向直线移动 δ 从而确定、并检查 P点的方法。
图 6－ 13形式定 P计算 δ 的方法见式 (6-39)；
图 6－ 14形式定 P计算 δ 的方法见式 (6-40)。
)396( BBSS S
ba
a? )406(180?
ba
ba
SS
SS
工程测量学长春工程学院勘测学院二、精度分析影响因素：端点误差、目标偏心、瞄准误差等。
1.端点误差的影响 m端见图 6－ 15。仿方向线交会法端点误差的分析公式可写出：
)416()( 222222222 dLmdLLmmmm baxx ba端
2.目标偏心的影响 m标见图 6－ 16。仿方向线交会法目标偏心误差的分析公式可写出：
)426()(2)1(2 2222222 LdmLdmmmm baba ee标标标
3.瞄准误差的影响 mS
仿方向线交会法瞄准误差的分析公式可写出 (6-43)式。
)436(]V )(06[)V 06( 222 LddLL dLdm S
综上，有,)446(2222 Smmmm 标端偏工程测量学长春工程学院勘测学院若仪器架设在 P点对 1点进行投点时 (见右图 ),
其误差影响因素有,P,A端点误差,A目标偏心、瞄准误差、标定误差等。
1.端点 P,A误差的影响 m端
P：见图 6－ 17。 A：见图 6－ 18。
)456(, aAP mddmmd ddm 端偏端
2.A目标偏心的影响 m标 A
)476()(2 222 ddmm aeA标
3.瞄准误差的影响 mS-A1
)486()V06()V 06( 2122 1 ddddm AAS
综上，有,)496(
22 12221ASmmmm 标端
)466()()1( 2222222 aPAP mddmddmmm 偏端端端
4.标定误差 τ （ 1.5－ 2.0mm）
工程测量学长春工程学院勘测学院
§ 6－ 6 前方交会法测设点位前方交会法测设点位最主要应用于桥墩的测设。
一、前方交会测设的一般方法
1.基本原理
)516(?
BABPb
APABa
)506(
a r c t a n
a r c t a n
a r c t a n
BP
BP
BP
AP
AP
AP
AB
AB
AB
xx
yy
xx
yy
xx
yy
2）实地测设
(1)在 A臵仪，以 B定向；反拨 β a角，在 P可能相交位臵处设立两个骑马桩 1,2，并于桩上钉小铁钉以标志视线方向。
(2)在 B臵仪，以 A定向；正拨 β b角，同样设立骑马桩 3,4。
(3)拉线 12,34，其交点为 P，并予地面钉木桩，其上钉小钉标志。
见图 6-19。 A,B为控制点,P为测设点。
1）计算测设元素由控制点 A,B坐标及设计点 P坐标反算坐标方位角 α AB,α AP,α BP，再计算 β a,β b。
工程测量学长春工程学院勘测学院示例 1：某桥墩采用前方交会法测设的示意图（图 6－ 20）
工程测量学长春工程学院勘测学院示例 2：变形的前方交会法见图 6－ 21。当 A,C点不能通视时，可用 A、
C周边的控制点进行定向，予以交会。
)526(
2
1?
CDCP
ABAP
CP
CP
CP
CD
CD
CD
AP
AP
AP
AB
AB
AB
xx
yy
xx
yy
xx
yy
xx
yy
a r c t a n,a r c t a n
a r c t a n,a r c t a n
2.精度分析影响因素（见图 6－ 22）：仪器对中误差、目标偏心误差、照准误差、
定向方位误差、测角误差、标定误差等。
若需计算 P点坐标时，其余切公式中的 α,
β 角应适图形情况进行换算。
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2.精度分析影响因素（见图 6－ 22）：仪器对中误差、
目标偏心误差、照准误差、定向方位误差、
测角误差、标定误差等。
2
2222
222
2
2
,
2
AB
BPeAPe
BA
AB
BPe
B
AB
APe
A
S
SmSm
mmm
S
Sm
m
S
Sm
m
BA
BA
中中中中中
2
2222
222
2
2
,
2
AB
BPeAPe
BA
AB
BPe
B
AB
APe
A
S
SmSm
mmm
S
Sm
m
S
Sm
m
BA
BA
目目目目目
)()/06(2
)/06(2,)/06(2
222222
222222
BPAPBA
BPAPBAPBPA
SSVmmm
SVmSVm
照照照照照
)(
,
22
2
2
222
2
2
2
22
2
2
2
BPAPBA
BPBAPA
SS
m
mmm
S
m
mS
m
m
AB
ABAB
向向向向向 这 4项误差 (仪器对中误差,目标偏心误差,照准误差,
定向方位误差,标定误差等 )均较小，
故通常略之。
工程测量学长春工程学院勘测学院测角误差对测设点位误差的影响（用余切公式分析）
)536(
c o tc o t
c o tc o t
c o tc o t
c o tc o t
ba
BAaBbA
P
ba
BAaBbA
P
xxyy
y
yyxx
x
)546(s i n 2 22222 BPAPP SSmm
式中第 2项，若分子为定值,γ
为直角时，则 mP最小。
若 γ 为定值时,SAP和 SBP（或 β a,β b）怎样匹配较好？（图形结构）
2
2
2222
s i n
s i ns i n
s i n
s i n,
s i n
s i n
ABbaBPAPABaBPABbAP SSSSSSS?
m i nm i n22,s i ns i n mmyyy ba 时若令
)(s i ns i n)(1 8 0 22 aaab y?
babaaay 02s i n2s i n0)(2s i n2s i n
即当 γ 为定值时,β a＝ β b时,mP有极值；是极大值，还是极小值？
工程测量学长春工程学院勘测学院由上分析知：
1）若 γ ＞ 90°,则 2β a＜ 90°,4cos2β a ＞ 0，即 y″ ＞ 0,y有极小值。
亦即，当交会角为钝角时，对称交会将使 mP最小，最为有利。
2）若 γ ＝ 90°,则 2β a＝ 90°,4cos2β a ＝ 0，即 y″ ＝ 0,y′≡0,y无极值。亦即，当交会角为直角时，无论 β a,β b怎样改变,mP恒定为
SAB× m″/ρ″,与 β a,β b的数值无关。
3）若 γ ＜ 90°,则 2β a ＞ 90°,4cos2β a ＜ 0，即 y″ ＜ 0,y有极大值。亦即，当交会角为锐角时，对称交会将使 mP最大，是最为不利的。
baba
aay
02s i n2s i n
0)(2s i n2s i n
即当 γ 为定值时,β a＝ β b时,mP有极值；
是极大值，还是极小值？
aba yy 2co s42co s22co s2
工程测量学长春工程学院勘测学院二、前方交会测设的角差方法
1.基本原理图 6－ 23(a)是基本的前方交会法，在测设出 P’
点后，用测量方法测定角 βa’,βb’，并计算角差
Δβa,Δβb,即：
)556(
bbb
baa
因角差较小，不易直接改正，变换为间接改正 ΔS A,ΔS B，即：
)566(?
B
b
B
A
a
A
SS
SS
依据 ΔS A,ΔS B的大小和方向,从 P’点起作 AP’,BP’的垂线，并量 ΔS A、
ΔS B；过所得的端点分别作 AP’,BP’的平行线，其交点即为 P。
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2.角差图解法见图 6－ 24。
1)在大白纸中间某处定 P′点，依据所测的交会角
γ(γ ＝ 180° － β a′ － β b′) 绘制两直线，并按实际交会情况分别标注箭头指向 A,B。
2)在大白纸上分别作 AP′,BP′ 的垂线，并依角差线性改正量 ΔS A、
ΔS B的方向量取相应值。
3)过所量值的端点分别作 AP′,BP′的平行线,获得图上的交点位臵 P。
4)将绘制好的大白纸图上的 P′点对应于实地测设的 P′点,纸上 AP′,BP′方向分别对正实地的 AP′,BP′方向，则图上 P点位臵即为实地 P点的位臵。
5）将图上 P点位臵投至实地，并再次测定新的 β a′,β b′ 角，计算线性改正量。
6）同上法作图，若位移量 PP′达到要求，则不再改正；否则，按上述方法继续改正，直至满足要求为止。
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§ 6－ 7 后方交会法测设点位后方交会法测设点位，其外业工作比较简便，
但内业计算工作量略大。
一、角度后方交会法测设
1.基本原理见图 6-25。 A,B,C为控制点,P为测设点。
1）计算测设元素由控制点 A,B,C坐标及设计点 P坐标反算坐标方位角 α PA,α PB,α PC，
计算 α,β,为了检核，一般还需由方位角计算 γ 。
2）实地测设
(1)在合适位臵处（ P’）臵仪，分别测定 α,β,γ 角。
(2)依测定的各交会角计算 P’点坐标，并与设计坐标比较。
(3)若点位误差满足要求，则确定点 P；否则，用角差法或角差图解法改正。
(4)改正方法同前方交会法，此处不再赘述。后方交会仿权公式如下：
工程测量学长春工程学院勘测学院
)576(?
CBA
CCBBAA
P
CBA
CCBBAA
P
PPP
YPYPYP
Y
PPP
XPXPXP
X
在用后方交会法测设 P点时,P点（含过渡点）距的危险圆距离应不小于危险圆半径的 1/5。
)586(
3 6 0
c o tc o t
1
c o tc o t
1
c o tc o t
1
PBPA
PAPC
PCPB
C
B
A
C
P
B
P
A
P
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2.精度分析在分析测设点 P的精度时，因需建立过渡点 P’，对之进行测量、改正后得到 P点，故 P
点的精度与 P’点的精度相当，其计算公式
（见测量学教材－武测编，测绘出版社出版）
为：
)596()c o s ()s i n (
21
2
2
2
2
1
2
bb
SS
b
S
b
SSmm babac
P
通常交会边 Sa,Sb均比基线边 b1,b2小得多，故上式根号内的第三项可略去，则上式变为：
)606()s i n ( 2
2
2
2
1
2
b
S
b
SSmm bac
P
分析上式可知,mβ ↗,则 mP ↗ ；交会图形结构不好，则 mP ↗ 。以下对图形结构给以简单分析。
工程测量学长春工程学院勘测学院
1） P点位于△ ABC之内（图 6－ 26）
设△ ABC为正三角形，当 P点位于重心时，有：
)616(54.0 bmm P
2/360s i n)s i n (,3/bSSS cba
将上式代至（ 6－ 60）式，得：
2） P点偏离重心位于控制边中点（图 6－ 27）
2/3120s i n)s i n (,2/3,2/bSbSS cba
)626(70.0 bmm P
将上式代至（ 6－ 60）式，得：
3） P点位于△ ABC外构成正三角形（图 6－ 28）
2/3240s i n)s i n (,3,bSbSS cba
)636(80.2 bmm P
将上式代至（ 6－ 60）式，得：
工程测量学长春工程学院勘测学院
1） P点位于△ ABC之内（图 6－ 26）
设△ ABC为正三角形，当 P点位于重心时，有：
)616(54.0 bmm P
2） P点偏离重心位于控制边中点（图 6－ 27）
)626(70.0 bmm P
3） P点位于△ ABC外构成正三角形（图 6－ 28）
)636(80.2 bmm P
通过以上三式比较，可得如下结论：
（ 1）在 mβ 一定时，图形结构的优劣，直接影响着交会点精度的高低。
（ 2） P点位于重心时，精度最高；随着 P的逐步外移，精度逐渐下降，距离重心越远精度就越低。
特别是 P位于三角形之外时,mP随着交会边长的增加而迅速增加。因此，应尽量使 P位于三角形内。
工程测量学长春工程学院勘测学院二,边角联合后方交 （自由设站）
此方法在全站仪中又叫做自由设站，全站仪均设有此功能。
1.自由设站的基本原理见图 6－ 29,0,1,… i点为已知控制点,P为待定点。现在 P点架设全站仪，分别对 0,1,… i点进行水平角和距离观测，分别得到水平角为 0、
α 1,… α i，距离为 S0,S1,… Si。以 P为原点,P至测站 O方向为 X’轴方向，顺时针建立独立直角坐标系，则：
（ 6－ 64）
（ 6－ 65）
图 6－ 29
111
111
00
00
s in
c o s
0s in
0c o s
Sy
Sx
Sy
Sx
iii
iii
Sy
Sx
s i n
c o s
由独立直角坐标系点的坐标计算其在测量坐标系的坐标转换公式为：
P
P
i
i
i
i
y
x
y
xk
y
x
00
00
c o ss in
s inc o s
工程测量学长春工程学院勘测学院
（ 6－ 67）
（ 6－ 68）
对于上式有 a,b,xP,yP这 4个未知数，即至少需要有 2个已知点，
建立 4个线性方程。若已知点数多于 2个时，便存在多余观测，要在
VTPV＝ min的条件下求解，其解为：
Piii
Piii
yykxky
xykxkx
00
00
c o ss in
s inc o s
（ 6－ 66）
00 s in,co s kbka
若令,则：
Piii
Piii
yyaxby
xybxax
n
x
b
n
y
a
n
y
y
n
y
b
n
x
a
n
x
x
yx
n
yyxx
yxyx
n
yxyx
b
yx
n
yyxx
yyxx
n
yyxx
a
P
P
][][][
][][][
][][
1
][][
]][[]][[
1
][][
][][
1
][][
]][[]][[
1
][][
22
22
工程测量学长春工程学院勘测学院
（ 6－ 67）
（ 6－ 68）
对于上式有 a,b,xP,yP这 4个未知数，即至少需要有 2个已知点，
建立 4个线性方程。若已知点数多于 2个时，便存在多余观测，要在
VTPV＝ min的条件下求解，其解为：
Piii
Piii
yykxky
xykxkx
00
00
c o ss in
s inc o s
（ 6－ 66）
00 s in,co s kbka
若令,则：
Piii
Piii
yyaxby
xybxax
n
x
b
n
y
a
n
y
y
n
y
b
n
x
a
n
x
x
yx
n
yyxx
yxyx
n
yxyx
b
yx
n
yyxx
yyxx
n
yyxx
a
P
P
][][][
][][][
][][
1
][][
]][[]][[
1
][][
][][
1
][][
]][[]][[
1
][][
22
22
工程测量学长春工程学院勘测学院
2.自由设站的精度分析在自由设站中，由于观测边长、水平角均有误差，使得求得的 P点坐标 XP,YP和尺度比 K及坐标轴夹角 α 0（或 a,b）均有误差。
为评定 P点的精度，可以用所求出的参数
（ XP,YP,k,α 0 或 XP,YP,a,b）计算已知控制点的坐标（ XTi,YTi）,用此坐标与其已知坐标（ Xi,Yi）进行比较，求出其差值来近似的评定 P点的精度。即：
（ 6－ 69）
图 6－ 29
式中,XTi,YTi－ 控制点 i利用坐标转换模型计算的测量坐标系的坐标；
Xi,Yi－ 控制点 i的已知坐标（原始坐标）；
n－ 已知控制点数。
42
)()(
2 1
22
n
YYXX
m
n
i
iTiiTi
P
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§ 6－ 8 高程放样的方法高程放样方法主要分为几何水准测量方法和三角高程测量方法。
当测设的高程点精度要求较高或测设点与已知点的高差不大时，宜用几何水准测量的方法。当测设高程要求精度一般或测设点与已知点的高差较大时宜用三角高程测量方法。
2.测设步骤
1）在合适位臵处安臵水准仪，对 A上的水准尺观测，设读数为 a;
2）按（ 6－ 70）式计算测设读数 b;
3）在拟测设位臵处上下移动水准尺，当读数恰为 b时，则尺零端的位一、水准测量法直接测设高程点
1.基本原理见图 6－ 30。设控制点 A的高程为 HA，拟测设点 P的设计高程为 HP，在合适位臵处臵
)706()( PAPA HaHbbHaH
仪，测得 A点水准尺上的读数为 a，则在 P点处水准尺的测设读数应为：
臵即为测设位臵，并予标记该位臵。
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2.测设步骤
1）垂吊钢尺 (最好为标准拉力，否则，视情况加改正 )，并使之稳定；
2）在合适位臵 1,2处分别臵仪，并在 A尺、钢尺上分别读数 a,m,n；
3）按（ 6－ 71）式计算测设读数 b;
4）在拟测设位臵处上下移动水准尺，当读数恰为 b时（注意符号），
二、水准测量法间接测设高程
1.基本原理见图 6－ 31。设控制点 A的高程为 HA,P
点的设计高程为 HP，因高差 hAP较大，需要用垂直吊钢尺的方法间接测设 P点。
在地面 1处臵仪，在 A处尺及钢尺上读数分别为 a,m；在基坑内 2处臵仪，在钢尺上读数为 n；计算测设元素 b为：
)716()()()( APPA hnmabbHnmaH
则尺零端的位臵即为测设位臵，并予标记该位臵；
然后上下移动水准尺，当读数恰为 b时，则尺零端的位臵即为测设位臵。
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2.测设步骤
1）从 E点起按要求量取各点至 E的水平距离 (或每隔间距 S确定各位臵 );
2）在合适位臵处安臵水准仪，对 E上的水准尺观测，并读数，设为 a;
3）计算 E点至各点的高差 hEj，并按（ 6－ 72）式计算各测设读数 bj;
4）在拟测设位臵处上下移动水准尺，当读数恰为 bj时（注意符号），
三、水准测量法测设坡度线
1.基本原理见图 6－ 32。设坡度线起点为 E，
设计坡度为 i%，每 Sm测设一个坡度点 j，则各点相对于 E点的高
)726(%)( iSahaHHabbHaH jEjjEjjjE
则尺零端的位臵即为测设位臵，并予标记该位臵；
5）测设完后检查各点是否共线 (抽查点或挂线 )。
差为 Sj× i%。在合适位臵处安臵水准仪，并在 E点水准尺上读数，设为 a，
则在 j点水准尺上的测设读数为：
式中,Sj－ j点至 E点的水平距离。当测设读数 bj＜ 0时，说明视线低于坡度线，通常水准尺（或手钢尺等）要倒立测设。
