第12章 拉普拉斯变换拉普拉斯变换是研究线性时不变电路的基本工具，在实际工程领域中得到了广泛的应用。拉普拉斯变换的核心问题是把以t为变量的时间函数f（t）与以复频率s为变量的复变函数
F（s）联系起来，即把时域问题通过数学变换后成为频域问题，把时间函数的线性常系数常微分方程化为复变函数的代数方程，在求出待求的复变函数后，再作逆变换，从而得到待求的时域函数。
本章的学习重点：
拉普拉斯变换的定义及其基本性质；
拉普拉斯反变换的分解定理；
电路定律的复频域形式，运算电路及其分析方法等；
利用拉普拉斯反变换求解电路的时域响应。
12．1 拉普拉斯的定义
1、学习指导
（1）时域分析和复频域分析前面第8章中，我们对一阶和二阶动态电路在时域中进行了分析，时域分析的主要优点是物理概念比较清晰，而且对常见的一阶电路运算也相当简捷。但是对含有多个动态元件且电路结构比较复杂时，应用时域分析法的电路求解过程就变得相当繁杂，为此引入建立在拉普拉斯变换这一数学基础上的运算法。运算法也称为电路的复频域分析法，它能将时域中的微分和积分运算变换为复频域中的代数运算，从而把时域中的微分或积分方程变换为复频域中的代数方程，并且在变换的开始阶段就把初始条件考虑在内，所得结果就是电路的全响应，使二阶电路的分析计算变得简单而且有效。
（2）拉普拉斯变换拉普拉斯变换的核心问题，就是把以时间t作为变量的时间函数f（t）通过数学变换后用一个以复频率s为变量的复变函数F（s）来代替，从而将时域问题转化为频域问题，把时间函数的线性常系数常微分方程化为复变函数的代数方程，在求出待求的复变函数后，再作拉氏反变换，最后得到待求的时间函数。
用拉普拉斯变换的方法分析电路，与前面的章节有着相当大的差异。但是，拉普拉斯变换所揭示的电路规律和概念与前面所讲得基本相同，只是更深入些。学习本章内容时，要了解拉普拉斯变换的基本原理及其性质，理解和掌握用拉普拉斯变换分析和计算线性电路的方法及其步骤，熟悉复频域形式的电路定律，理解电路的复频域分析变换到时域分析的原理。
2、学习检验结果解析
（1）何谓拉普拉斯变换？何谓拉普拉斯反变换？
解析：拉普拉斯变换是研究线性时不变电路的一种数学工具，它可以把时域函数f（t）变换成复频域函数F（s）。在拉氏变换中，一个时域函数f（t）惟一地对应一个复频域函数F（s）；反过来，一个复频域函数F（s）惟一地对应一个时域函数f（t）。若已知时域函数f（t）求解其复频域函数F（s）的过程，称为拉普拉斯变换；将复频域函数F（s）形式的解变换成时域函数f（t）形式的解的过程，称为拉普拉斯反变换。
（2）什么是原函数？什么是反函数？二者之间的关系如何？
解析：拉普拉斯变换中的原函数就是时域函数f（t），一般用小写表示；反函数就是指复频域函数F（s），也称为象函数，一般用大写字母表示。例如电压原函数为u（t），其象函数（反函数）为U（s）。二者之间的关系可用拉普拉斯变换的定义来表示，即：
12．2 拉普拉斯变换的基本性质
1、学习指导
（1）基本性质拉氏变换有许多重要的性质，如线性性质、微分性质和积分性质等。利用这些性质可以很方便地求得一些较为复杂的函数的象函数，同时也可以把线性常系数微分方程变换为复频域中的代数方程。
2、学习检验结果解析
（1）拉普拉斯变换有哪些性质？
解析,（式中f1（t）和f2（t）是两个任意的时间函数，它们的象函数分别为F1（s）和F2（s），A1和A2是两个任意常数。）拉氏变换的主要基本性质有：
① 线性性质：；
② 微分性质：
③ 积分性质,
④ 延迟性质,
（2）利用拉普拉斯变换的性质，对我们解决问题能带来何种收益？
解析：利用拉普拉斯变换的性质可以很方便地求得一些较为复杂的函数的象函数，同时也可以把线性常系数微分方程变换为复频域中的代数方程，利用这些性质课本中总结出了一些常用的时间函数的拉氏变换。
12．3 拉普拉斯反变换
1、学习指导
（1）拉氏反变换本章的重点是利用拉普拉斯反变换求解电路的时域响应。分析过程中，如遇比较简单的函数可以直接查拉氏变换表得到，对于较为复杂的函数，则应先进行恰当的数学处理，把一个较为复杂的函数分解为几个简单项之和，使得这些简单项都可在拉氏变换表中查到，这种方法称为分解定理，是拉普拉斯反变换的主要方法。
（2）分解定理分解定理分析问题的基本思想，就是把一个复杂的、在拉普拉斯变换表中找不到的象函数F（s），分解成为能够在拉普拉斯变换表中容易找到的多个象函数，这样就可以很方便地从拉氏变换表中查到它们所对应的原时域函数f（t），最后再进行线性组合即可得到待求的时域函数f（t）。应用分解定理时应注意：
①若F（s）是假分式，必须将分子除以分母将F（s）化为真分式或展开成几个真分式的多项式之和；
②若F（s）是真分式，但分母的根有重根时，应注意部分分式的表达情况不一样。
2、学习检验结果解析
（1）在求拉氏反变换的过程中，出现单根、共轭复根和重根时如何处理？
解析：求拉氏反变换的过程中，若
①F2(s)＝０有n个单根，且设n个单根分别为p1、p2、…、pn,于是F2(s)可以展开为
（12.6）
式中k1、k2、k3、……、kn为待定系数。这些系数可以按下述方法确定，即把上式两边同乘以（s-p1），得
令s= p1，则等式除右边第一项外都变为零，即可求得
同理可得
……
所以求待定系数ki的公式为
i=1，2，3，…，n
另外，把（12.6）两边同乘以（s-pi），再令s→pi，然后引用数学中的罗比塔法则，则有
因此，求待定系数ki的另一公式为
确定了待定系数后，对应的原函数为
② 当F2(s)＝０有共轭复根时，设共轭复根为，则
显然k1、k2也为共轭复数，设，则有
③ 若F2(s)＝０具有重根时，设p１为F2(s)＝０的双重根，pi为其余单根（i从２开始），则F(s)可分解为
（12.7）
对于单根，仍采用前面的方法计算。要确定k11、k12，将式(10.5)两边同乘(s-p1)２，即
（12.8）
则k11被单独分离出来，得
再对式(12.8)两边对s求一次导数，k12被单独分离出来，得
如果F2(s)＝０具有多重根时，利用上述方法可以得到各系数，即有
12．4 应用拉氏变换求解线性电路
1、学习指导
（1）运算法求解电路时应注意的问题实际当中，复变函数的代数方程要比时域微分方程更有规律求解起来更为简便。在研究用拉普拉斯变换求解线性电路问题时，我们应特别注意以下几个方面。
附加电源的参考方向与时域响应的参考方向保持一致。
运算电路中的运算阻抗（或运算导纳），实际上是正弦稳态电路中阻抗 （或导纳）概念的扩展，因此求解的基本步骤相似。
应用拉普拉斯变换分析线性电路时，注意时域分析中的各量均要由频域分析中的象函数代替，时域分析中的复阻抗用运算阻抗代替，并注意附加电源的正确处理，则时域分析的相量法中所有的分析方法和定理在形式上就可完全适用于运算法。
2、学习检验结果解析
（1）对单个正弦半波，你能否求出其拉氏变换？
解析：单个正弦半波是线性时变函数，不在拉氏变换的范畴，因此无法求出其拉氏变换。
（2）对零状态线性电路进行复频域分析时，能否应用叠加定理？若为非零状态，即运算电路中存在附加电源时，能否应用叠加原理？
解析：零状态线性电路的复频域分析中，不需要应用叠加定理。若电路为非零状态时，可应用叠加定理：即先求出零状态响应，再求出零输入响应，将二者叠加后可得到全响应。
第12章 章后习题解析
*12.1 求下列各函数的象函数：
（1） （2）
（3） （4）
解：利用表12.1可方便地求出各象函数分别为
=
12.2 求下列各象函数的原函数：
（1） （2）
（3） （4）
解：用分解定理求原函数。
查拉普拉斯变换表可得
电路如图12.9所示。试用运算法求UC(s)及uC(t)。
解：画出运算电路如图示，应用弥尔曼定理求解
令F2(s)=0可得,p1=0,p2=-106
可得
12.4 图12.10所示电路在零初始条件下，试求电阻两端电压。
解：画出运算电路如图示。
对电路用弥尔曼定理求解
令F2(s)=0，可得p1=－1为二重根，所以
12.5 试用运算法求R=2.5Ω、L=0.25H、C=0.25F的串联电路的零输入响应uC(t)、i(t)。初始条件为。
解：根据题意，可画出运算电路如图所示。
12.6 将12.5题中的R改为1Ω，再求电路的零输入响应uC(t)、i(t)。初始条件同上。
解：根据题意，可画出运算电路如图所示。
因为F2(s)有一对共轭复根，所以利用公式可求得
12.7 图12.11所示电路中，已知
解：首先求解在作用下的电路响应，并画出对应的运算电路如图示。
令F2(s)=0，可求得 p1=0,p2=－
所以，作用下，响应为
A
应用叠加定理可得响应为
A
12.8 图12.12所示电路原已达稳态，在t=0时把开关闭合。试画出运算电路。
解：由图可知，两个电感元件的电流初始值相同，即
画出运算电路如图所示。
第12章 试题库一、填空题（建议较易填空每空0.5分，较难填空每空1分）
1、拉普拉斯变换是数学中一种变换形式，它将 函数变换为 函数，中的变量s=称为,其实数部分始终为,虚数部分可以为,
或 。
2、拉氏变换是一种 变换。拉氏变换存在的条件是其 为有限值。
3、已知时域函数求解对应频域函数的过程称 变换，已知频域函数求解与它对应的时域函数的过程称为 变换。
4、又称为 函数，又称为 函数。在拉氏变换和反变换中，时域函数和频域函数之间具有 关系，称为拉氏变换中的 性。
5、拉氏变换的基本性质有 性质,性质和 性质等。利用这些性质可以很方便地求得一些较为复杂函数的 函数。
二、判断下列说法的正确与错误（建议每小题1分）
1、分解定理是进行拉氏反变换的主要方法。 （ ）
2、已知象函数求解原函数的过程称为拉氏变换。 （ ）
3、复频率s的实数部分和虚数部分均可为正、为负或为零。 （ ）
4、应用拉氏变换分析线性电路的方法称为运算法。 （ ）
5、线性运算电路在形式上和正弦交流电路的相量分析电路相同。 （ ）
三、简答题（建议每小题3～5分）
1、拉普拉斯变换有哪些常用的性质？
2、什么是原函数？什么是反函数？二者之间的关系如何？
3、对单个正弦半波，你能否求出其拉氏变换？
4、对零状态线性电路进行复频域分析时，能否应用叠加定理？若为非零状态，即运算电路中存在附加电源时，能否应用叠加原理？
四、计算分析题（根据实际难度定分，建议每题在6～12分范围）
1、若已知，试求对应的时域函数。
2、图4.2所示电路在零初始条件下，试求电阻两端电压。
F（s）联系起来，即把时域问题通过数学变换后成为频域问题，把时间函数的线性常系数常微分方程化为复变函数的代数方程，在求出待求的复变函数后，再作逆变换，从而得到待求的时域函数。
本章的学习重点：
拉普拉斯变换的定义及其基本性质；
拉普拉斯反变换的分解定理；
电路定律的复频域形式，运算电路及其分析方法等；
利用拉普拉斯反变换求解电路的时域响应。
12．1 拉普拉斯的定义
1、学习指导
（1）时域分析和复频域分析前面第8章中，我们对一阶和二阶动态电路在时域中进行了分析，时域分析的主要优点是物理概念比较清晰，而且对常见的一阶电路运算也相当简捷。但是对含有多个动态元件且电路结构比较复杂时，应用时域分析法的电路求解过程就变得相当繁杂，为此引入建立在拉普拉斯变换这一数学基础上的运算法。运算法也称为电路的复频域分析法，它能将时域中的微分和积分运算变换为复频域中的代数运算，从而把时域中的微分或积分方程变换为复频域中的代数方程，并且在变换的开始阶段就把初始条件考虑在内，所得结果就是电路的全响应，使二阶电路的分析计算变得简单而且有效。
（2）拉普拉斯变换拉普拉斯变换的核心问题，就是把以时间t作为变量的时间函数f（t）通过数学变换后用一个以复频率s为变量的复变函数F（s）来代替，从而将时域问题转化为频域问题，把时间函数的线性常系数常微分方程化为复变函数的代数方程，在求出待求的复变函数后，再作拉氏反变换，最后得到待求的时间函数。
用拉普拉斯变换的方法分析电路，与前面的章节有着相当大的差异。但是，拉普拉斯变换所揭示的电路规律和概念与前面所讲得基本相同，只是更深入些。学习本章内容时，要了解拉普拉斯变换的基本原理及其性质，理解和掌握用拉普拉斯变换分析和计算线性电路的方法及其步骤，熟悉复频域形式的电路定律，理解电路的复频域分析变换到时域分析的原理。
2、学习检验结果解析
（1）何谓拉普拉斯变换？何谓拉普拉斯反变换？
解析：拉普拉斯变换是研究线性时不变电路的一种数学工具，它可以把时域函数f（t）变换成复频域函数F（s）。在拉氏变换中，一个时域函数f（t）惟一地对应一个复频域函数F（s）；反过来，一个复频域函数F（s）惟一地对应一个时域函数f（t）。若已知时域函数f（t）求解其复频域函数F（s）的过程，称为拉普拉斯变换；将复频域函数F（s）形式的解变换成时域函数f（t）形式的解的过程，称为拉普拉斯反变换。
（2）什么是原函数？什么是反函数？二者之间的关系如何？
解析：拉普拉斯变换中的原函数就是时域函数f（t），一般用小写表示；反函数就是指复频域函数F（s），也称为象函数，一般用大写字母表示。例如电压原函数为u（t），其象函数（反函数）为U（s）。二者之间的关系可用拉普拉斯变换的定义来表示，即：
12．2 拉普拉斯变换的基本性质
1、学习指导
（1）基本性质拉氏变换有许多重要的性质，如线性性质、微分性质和积分性质等。利用这些性质可以很方便地求得一些较为复杂的函数的象函数，同时也可以把线性常系数微分方程变换为复频域中的代数方程。
2、学习检验结果解析
（1）拉普拉斯变换有哪些性质？
解析,（式中f1（t）和f2（t）是两个任意的时间函数，它们的象函数分别为F1（s）和F2（s），A1和A2是两个任意常数。）拉氏变换的主要基本性质有：
① 线性性质：；
② 微分性质：
③ 积分性质,
④ 延迟性质,
（2）利用拉普拉斯变换的性质，对我们解决问题能带来何种收益？
解析：利用拉普拉斯变换的性质可以很方便地求得一些较为复杂的函数的象函数，同时也可以把线性常系数微分方程变换为复频域中的代数方程，利用这些性质课本中总结出了一些常用的时间函数的拉氏变换。
12．3 拉普拉斯反变换
1、学习指导
（1）拉氏反变换本章的重点是利用拉普拉斯反变换求解电路的时域响应。分析过程中，如遇比较简单的函数可以直接查拉氏变换表得到，对于较为复杂的函数，则应先进行恰当的数学处理，把一个较为复杂的函数分解为几个简单项之和，使得这些简单项都可在拉氏变换表中查到，这种方法称为分解定理，是拉普拉斯反变换的主要方法。
（2）分解定理分解定理分析问题的基本思想，就是把一个复杂的、在拉普拉斯变换表中找不到的象函数F（s），分解成为能够在拉普拉斯变换表中容易找到的多个象函数，这样就可以很方便地从拉氏变换表中查到它们所对应的原时域函数f（t），最后再进行线性组合即可得到待求的时域函数f（t）。应用分解定理时应注意：
①若F（s）是假分式，必须将分子除以分母将F（s）化为真分式或展开成几个真分式的多项式之和；
②若F（s）是真分式，但分母的根有重根时，应注意部分分式的表达情况不一样。
2、学习检验结果解析
（1）在求拉氏反变换的过程中，出现单根、共轭复根和重根时如何处理？
解析：求拉氏反变换的过程中，若
①F2(s)＝０有n个单根，且设n个单根分别为p1、p2、…、pn,于是F2(s)可以展开为
（12.6）
式中k1、k2、k3、……、kn为待定系数。这些系数可以按下述方法确定，即把上式两边同乘以（s-p1），得
令s= p1，则等式除右边第一项外都变为零，即可求得
同理可得
……
所以求待定系数ki的公式为
i=1，2，3，…，n
另外，把（12.6）两边同乘以（s-pi），再令s→pi，然后引用数学中的罗比塔法则，则有
因此，求待定系数ki的另一公式为
确定了待定系数后，对应的原函数为
② 当F2(s)＝０有共轭复根时，设共轭复根为，则
显然k1、k2也为共轭复数，设，则有
③ 若F2(s)＝０具有重根时，设p１为F2(s)＝０的双重根，pi为其余单根（i从２开始），则F(s)可分解为
（12.7）
对于单根，仍采用前面的方法计算。要确定k11、k12，将式(10.5)两边同乘(s-p1)２，即
（12.8）
则k11被单独分离出来，得
再对式(12.8)两边对s求一次导数，k12被单独分离出来，得
如果F2(s)＝０具有多重根时，利用上述方法可以得到各系数，即有
12．4 应用拉氏变换求解线性电路
1、学习指导
（1）运算法求解电路时应注意的问题实际当中，复变函数的代数方程要比时域微分方程更有规律求解起来更为简便。在研究用拉普拉斯变换求解线性电路问题时，我们应特别注意以下几个方面。
附加电源的参考方向与时域响应的参考方向保持一致。
运算电路中的运算阻抗（或运算导纳），实际上是正弦稳态电路中阻抗 （或导纳）概念的扩展，因此求解的基本步骤相似。
应用拉普拉斯变换分析线性电路时，注意时域分析中的各量均要由频域分析中的象函数代替，时域分析中的复阻抗用运算阻抗代替，并注意附加电源的正确处理，则时域分析的相量法中所有的分析方法和定理在形式上就可完全适用于运算法。
2、学习检验结果解析
（1）对单个正弦半波，你能否求出其拉氏变换？
解析：单个正弦半波是线性时变函数，不在拉氏变换的范畴，因此无法求出其拉氏变换。
（2）对零状态线性电路进行复频域分析时，能否应用叠加定理？若为非零状态，即运算电路中存在附加电源时，能否应用叠加原理？
解析：零状态线性电路的复频域分析中，不需要应用叠加定理。若电路为非零状态时，可应用叠加定理：即先求出零状态响应，再求出零输入响应，将二者叠加后可得到全响应。
第12章 章后习题解析
*12.1 求下列各函数的象函数：
（1） （2）
（3） （4）
解：利用表12.1可方便地求出各象函数分别为
=
12.2 求下列各象函数的原函数：
（1） （2）
（3） （4）
解：用分解定理求原函数。
查拉普拉斯变换表可得
电路如图12.9所示。试用运算法求UC(s)及uC(t)。
解：画出运算电路如图示，应用弥尔曼定理求解
令F2(s)=0可得,p1=0,p2=-106
可得
12.4 图12.10所示电路在零初始条件下，试求电阻两端电压。
解：画出运算电路如图示。
对电路用弥尔曼定理求解
令F2(s)=0，可得p1=－1为二重根，所以
12.5 试用运算法求R=2.5Ω、L=0.25H、C=0.25F的串联电路的零输入响应uC(t)、i(t)。初始条件为。
解：根据题意，可画出运算电路如图所示。
12.6 将12.5题中的R改为1Ω，再求电路的零输入响应uC(t)、i(t)。初始条件同上。
解：根据题意，可画出运算电路如图所示。
因为F2(s)有一对共轭复根，所以利用公式可求得
12.7 图12.11所示电路中，已知
解：首先求解在作用下的电路响应，并画出对应的运算电路如图示。
令F2(s)=0，可求得 p1=0,p2=－
所以，作用下，响应为
A
应用叠加定理可得响应为
A
12.8 图12.12所示电路原已达稳态，在t=0时把开关闭合。试画出运算电路。
解：由图可知，两个电感元件的电流初始值相同，即
画出运算电路如图所示。
第12章 试题库一、填空题（建议较易填空每空0.5分，较难填空每空1分）
1、拉普拉斯变换是数学中一种变换形式，它将 函数变换为 函数，中的变量s=称为,其实数部分始终为,虚数部分可以为,
或 。
2、拉氏变换是一种 变换。拉氏变换存在的条件是其 为有限值。
3、已知时域函数求解对应频域函数的过程称 变换，已知频域函数求解与它对应的时域函数的过程称为 变换。
4、又称为 函数，又称为 函数。在拉氏变换和反变换中，时域函数和频域函数之间具有 关系，称为拉氏变换中的 性。
5、拉氏变换的基本性质有 性质,性质和 性质等。利用这些性质可以很方便地求得一些较为复杂函数的 函数。
二、判断下列说法的正确与错误（建议每小题1分）
1、分解定理是进行拉氏反变换的主要方法。 （ ）
2、已知象函数求解原函数的过程称为拉氏变换。 （ ）
3、复频率s的实数部分和虚数部分均可为正、为负或为零。 （ ）
4、应用拉氏变换分析线性电路的方法称为运算法。 （ ）
5、线性运算电路在形式上和正弦交流电路的相量分析电路相同。 （ ）
三、简答题（建议每小题3～5分）
1、拉普拉斯变换有哪些常用的性质？
2、什么是原函数？什么是反函数？二者之间的关系如何？
3、对单个正弦半波，你能否求出其拉氏变换？
4、对零状态线性电路进行复频域分析时，能否应用叠加定理？若为非零状态，即运算电路中存在附加电源时，能否应用叠加原理？
四、计算分析题（根据实际难度定分，建议每题在6～12分范围）
1、若已知，试求对应的时域函数。
2、图4.2所示电路在零初始条件下，试求电阻两端电压。
