习 题 课一、主要内容
（一）函数的定义
（二）极限的概念
（三）连续的概念函 数的定义函 数的性质单值与多值奇偶性单调性有界性周期性反函数 隐函数反函数与直接函数之间关系基本初等函数复合函数初等函数双曲函数与反双曲函数
（一）函数
1.函数的定义 函数的分类
2.函数的性质 有界、单调、奇偶、周期
3.反函数
4.隐函数
5.基本初等函数 幂、指、反、对、三
6.复合函数
7.初等函数
8.双曲函数与反双曲函数数列极限 函 数 极 限
axnnlim Axf
x )(limAxfxx )(lim 0
左右极限极限存在的 充要条件无穷大
)(lim xf
两者的关系无穷小的性质极限的性质求极限的常用方法无穷小 0)(lim?xf
判定极限存在的准则两个重要极限无穷小的比较等价无穷小及其性质唯一性
（二）极限
1、极限的定义,定义"" N 定义""
定义"" X
单侧极限
2、无穷小与无穷大无穷小； 无穷大； 无穷小与无穷大的关系无穷小的运算性质
3、极限的性质四则运算、复合函数的极限极限存在的条件
4、求极限的常用方法
a.多项式与分式函数代入法求极限 ;
b.消去零因子法求极限 ;
c.无穷小因子分出法求极限 ;
d.利用无穷小运算性质求极限 ;
e.利用左右极限求分段函数极限,
5、判定极限存在的准则夹逼定理、单调有界原理
6、两个重要极限
( 1) 1s i nl i m
0
x
x
x;1s i nl i m
某过程
( 2) ex x
x
)11(lim
ex x
x
1
0
)1(lim,)1(l i m
1
e
某过程
7、无穷小的比较
8、等价无穷小的替换性质
9、极限的唯一性、局部有界性、保号性
（三）连续 连 续 定 义
0l im
0
y
x
)()(l i m 0
0
xfxf
xx
连 续 定 义左右连续 连续的充要条件间断点定义振荡间断点无穷间断点跳跃间断点可去间断点第一类 第二类在区间 [a,b]
上连续连续函数的运算性质初等函数的连续性非初等函数的连续性连续函数的 性 质
1、连续的定义单侧连续 连续的充要条件 闭区间的连续性
2、间断点的定义间断点的分类 第一类、第二类
3、初等函数的连续性连续性的运算性质 反函数、复合函数的连续性
4、闭区间上连续函数的性质最值定理、有界性定理、介值定理、零点定理二、典型例题例 1
).(
.1,0,2)
1
()(
xf
xxx
x
x
fxf
求其中设
解 利用函数表示法的无关特性
,1xxt令,1 1 tx即 代入原方程得
,1 2)()1 1( ttftf,1 2)1 1()( xxfxf即
,11 1 uux令,1 1 ux即 代入上式得
,)1(2)1()1 1( uuuufuf,)1(2)1()1 1( xxxxfxf即解联立方程组
x
x
x
x
f
x
f
xx
fxf
x
x
x
fxf
)1(2
)
1
()
1
1
(
1
2
)
1
1
()(
2)
1
()(
.11 11)( xxxxf
例 2 求下列极限
① )11()311)(211(lim 222 n
n
n
n
n
n
n
11
3
4
3
2
2
3
2
1l i m
原式
n
n
n
1lim
2
1
2
1?
② )1|(|),1()1)(1)(1(lim 242
xxxxx
n
n?
x
xxxx n
n?
1
)1()1)(1)(1(lim 22?原式
x
x n
n?
1
1lim 12
x? 1
1
③ ]21[l i m nnnn
n
12
1lim
2
)1(lim
n
n
n
nn
nn
原式
20
2
2
1
2
④ 1l i m
2
1?
x
nxxx n
x
1
)1()1()1(lim 2
1?
x
xxx n
x
原式
1
])2()1()[1(lim 12
1?
x
xxnxnnx n
x
])2()1([l i m 121 nx xxnxnn?
12)1(nn 2 )1( nn
⑤ )0(,
2co s2co s2co slim 2 x
xxx
nn?
n
nn
n x
xxxx
2
s i n2
2
s i n2
2
c o s
2
c o s
2
c o s
l i m
2?
原式
n
nn
n x
xxxx
2
s i n2
2
s i n2
2
c o s
4
c o s
2
c o s
lim
2
11
n
nn x
x
2
s i n2
s i nl i m
n
n
n x
x
x
x
2
s i n
2l i ms i n
x
xsin?
例 3 ccx
cx x
x
，求设 4lim
解一
x
x
x
x cx
c
cx
cx?
21l i ml i m
c
c
c
cx
x cx
c
cx
c 2
1
2
1l i m
2
2
ce2? 4? 2ln22 c
2ln?c得解二
x
x
x
x
x
x
c
x
c
cx
cx
1
1
l i ml i m
c
c
e
e
ce2?
例 4,)s in1 ta n1(l im 3
1
0
x
x x
x
求解 解法讨论则设,)(li m,0)(li m xgxf
)](1l n [)(l i m)()](1l i m [ xfxgxg exf )]()[(l i m xfxge
))(~)](1l n [( xfxf,)()(lim xfxge
3
1
0
)]1s i n1 ta n1(1[lim x
x x
x?
原式
3
1
0
]s in1 s inta n1[lim x
x x
xx
30
1
s i n1
s i nta nlim
xx
xx
x
3
0
1
c o s)s i n1(
)c o s1(s i nlim
xxx
xx
x
xxx
x
x
x
x c o s)s i n1(
1c o s1s i nlim
20
2
1
.21e 原式例 5 证明
① 1lim nn a
② 1li m nn n
证 ① 1?a先设 1?n a则
01 nnn hah记得由 nn ha 1
2!2 )1(1)1( nnnn hnnnhha
nnh? （整体和大于部分和）
n
ah
n 0 由夹逼定理知
0lim nn h 1l im nn a
baa
11,记若 1?b则
nn
n
n b
a 1limlim
1?
② 1?n n首先 nn hn 1记
22 !2 )1(1)1( nnnn hnnnhhn
2
!2
)1(1
nh
nn
nh n
20 2 由夹逼定理知
0lim nn h 1l im nn n
例 6 求极限
nn
nn
n
n
n
n
n 222 2
2
1
1lim?
[分析 ] 要用夹逼定理，须进行放缩
1
)()1(
22?
n
nnn
nn
nn?
1)1(lim 2
nn
nn
n
但 21 )(l i m 2
n
nnn
n
不能这样用夹逼定理，
解 注意到分子成等差数列
nn nnnn 2 )()2()1(?
1
)()2()1(
2?
n
nnnn?
)1(2
)13(
)(2
)13(
22?
n
nn
nn
nn?即
2
3
)(2
)13(l i m
2
nn
nn
n 2
3
)1(2
)13(l i m
2
n
nn
n
2
3
2
2
1
1lim
222
nn
nn
n
n
n
n
n
例 7 )0()(2
1,0
11 ax
axxx
n
nn 有极限证明设证 0?nx显然
axaxx
n
nn )(2
1
1
)(211 n
n
nn xx
axx
02
1 2
n
n
x
xa
即 xn单调减，有下界故由单调有界原理得 存在n
n xli m
0lim AAx nn,则设两边取极限得在 )(211
n
nn x
axx
)(21 AaAA （舍去）解得 aAaA,
例 8
).(,1
)(
lim
,2
)(
lim,)(
0
2
3
xp
x
xp
x
xxp
xp
x
x
求且是多项式设
解,2)(lim 2
3
x
xxp
x
),(2)( 23 为待定系数其中可设 babaxxxxp
,1)(l i m
0
x
xp
x
又
)0(~2)( 23 xxbaxxxxp
.1,0 ab从而得 xxxxp 23 2)(故例 9
)0(
,,0][lim 2
a
xcbxax
x
求若解 0][li m 2
xcbxaxx?
0lim
2
x
xcbxax
x
x
x
x
cbxax
x
2lim
0lim 2
xx
c
x
ba
x
a
xcbxaxx 2lim
xacbxaxx 2lim
xacbxax
cbx
x
2
li m
a
x
c
x
b
a
x
c
b
x
2
l i m
a
b
2?
例 10 求下列极限
①
x
x
x
1)1(l i m
0
x
e x
x
1lim )1l n (
0
))1l n(~1( )1l n ( xe x
x
x
x
)1l n (l i m
0
xx ~1)1(
② xx xe
x
x s i n
s i nlim
0?
xx
ee xxx
x s i n
1lim s i ns i n
0?
1?
③ xx
x 2s in
ta nlim
2
1
2lim x
x
x
只记住了重要极限的形式，而没有掌握其实质
x
x
x 2s in
ta nlim
)22s i n (
)t a n (lim
0 t
txt
t?
令
t
t
t 2s in
t a nlim
0?
2
1
2lim0 t
t
t
例 11
1,0
)1)((
)(,
xx
xax
bx
xfba
，有可去间断点间断点有无穷的值，使确定解 因 f(x)在 x=0处为无穷间断，即
)(lim 0 xfx
bx
xax
xf xx?
)1)((lim
)(
1lim0
00
bx
ax
x?
0
lim 0,0 ba
又 x=1为可去间断,存在故 )(lim
1 xfx?
)(lim1 1 bxb x )]1)(()([lim 1 xaxxfx
)1)((lim)(lim 11 xaxxf xx 0?
1 b
例 12 ①
则有间断点连续函数，且为有定义在和设
,)(,0)(
)(,),()()(
xxf
xfxxf
必有间断点)]([,xfA? 必有间断点)]([,xfB?
必有间断点)( )(,xf xC? 必有间断点)(,2 xD?
01
01
)(.
01
01
)(,)(.
01
01
)(,)(.
||
x
x
xD
x
x
xexfB
x
x
xexfA
x
x
②,则满足与设数列 0lim nnnnn yxyx
必发散收敛,nn yxA,
必有界无界,nn yxB,
必为无穷小有界,nn yxC,
必为无穷小为无穷小,n
n
yxD 1.
ny
n
xC
kn
knn
y
knn
kn
xB
n
ynxA
nn
nn
nn
,
1
.
120
2
12
20
.
1
,.
2
2
例 13 )(lim,21 12s i n)(1lim 030 xfe xxf xxx 求已知解 2
1
12s in)(1lim
30
xx e
xxf由
0)1(lim 30 xx e而
)12s in)(1(lim 0 xxfx
)1(1 12s in)(1lim 33
0
x
xx ee
xxf
02 0?
12s i n)(1lim 0 xxfx
02s in)(lim 0 xxfx
从而由等价无穷小的代换性质得
1
12s i n)(1lim2
30?
xx e
xxf
x
xxf
x 3
2s i n)(
2
1
lim
0?
x xxf
x 2
2s i n)(l i m
3
1
0
12 2s i nlim
0
x
x
x
由
6)(lim)(lim 00 xfxf xx 存在，且例 14
.
1,
2
c o s
1,1
)( 的连续性讨论
x
x
xx
xf?
解 改写成将 )( xf
1,1
11,
2
cos
1,1
)(
xx
x
x
xx
xf
.),1(),1,1(),1,()( 内连续在显然xf
,1时当x
)(l i m1 xfx )1(l i m 1 xx,2
)(l i m1 xfx?
2c oslim 1
x
x
.0
)(lim)(lim 11 xfxf xx,1)( 间断在故xxf
,1时当?x
)(lim1 xfx 2co sl i m1 xx,0
)(lim 1 xfx )1(lim 1 xx,0,1)( 连续在故?xxf
.),1()1,()( 连续在xf
例 15 证明若 f(x)和 g(x)连续，则函数也连续和
)}(),(m i n{)(
)}(),(m ax {)(
xgxfx
xgxfx
证 )}(),(ma x {)( xgxfx
2
)()(
2
|)()(| xgxfxgxf
)}(),(min{)( xgxfx
2
)()(
2
|)()(| xgxfxgxf
由于 f(x)和 g(x)连续，故 f(x)+g(x)连续也连续2)]()([|)()(| xgxfxgxf
都连续)(),( xx
例 16 利用介值定理证明，当 n 为奇数时，方程
)0(,0 01110 aaxaxaxa nnnn?
至少有一实根证,0)( 1110 nnnn axaxaxaxf?令
nx x
xf )(lim
)(lim 1110 nnnn
x x
a
x
a
x
aa
00 a
故由函数极限的保号性质可知时使当 00 ||,0 XxX 同号，与 0)( ax xf n
同号与时，亦即，当 nxaxfXx 00 )(||?
又 n 是奇数，所以 异号与 nn XaXa )2()2( 0000?
0)2()2( 00 XfXf
上连续在而 ]2,2[)( 00 XXxf?
故由零点定理知 0)()2,2( 00 fXX,使至少有一实根即 01110 nnnn axaxaxa?
例 17
n
i
i
n
i
ii
i
n
p
xfp
f
banip
bxxabaxf
1
1
1
)(
)(
),(),,,2,1(0
],[)(
使证明上连续，且在若
证 由题设知 上连续在 ],[)( 1 nxxxf
故在 ],[ 1 nxx 上必存在最大值 M 和最小值 m
),,2,1()( niMxfm i
),,2,1()( niMpxfpmp iiii
Mpxfpmp i
n
i
ii
n
i
i
n
i
111
)(
M
p
xfp
m
n
i
i
n
i
ii
1
1
)(
由介值定理可得 ),(],[ 1 baxx n
n
i
i
n
i
ii
p
xfp
f
1
1
)(
)(?使
（一）函数的定义
（二）极限的概念
（三）连续的概念函 数的定义函 数的性质单值与多值奇偶性单调性有界性周期性反函数 隐函数反函数与直接函数之间关系基本初等函数复合函数初等函数双曲函数与反双曲函数
（一）函数
1.函数的定义 函数的分类
2.函数的性质 有界、单调、奇偶、周期
3.反函数
4.隐函数
5.基本初等函数 幂、指、反、对、三
6.复合函数
7.初等函数
8.双曲函数与反双曲函数数列极限 函 数 极 限
axnnlim Axf
x )(limAxfxx )(lim 0
左右极限极限存在的 充要条件无穷大
)(lim xf
两者的关系无穷小的性质极限的性质求极限的常用方法无穷小 0)(lim?xf
判定极限存在的准则两个重要极限无穷小的比较等价无穷小及其性质唯一性
（二）极限
1、极限的定义,定义"" N 定义""
定义"" X
单侧极限
2、无穷小与无穷大无穷小； 无穷大； 无穷小与无穷大的关系无穷小的运算性质
3、极限的性质四则运算、复合函数的极限极限存在的条件
4、求极限的常用方法
a.多项式与分式函数代入法求极限 ;
b.消去零因子法求极限 ;
c.无穷小因子分出法求极限 ;
d.利用无穷小运算性质求极限 ;
e.利用左右极限求分段函数极限,
5、判定极限存在的准则夹逼定理、单调有界原理
6、两个重要极限
( 1) 1s i nl i m
0
x
x
x;1s i nl i m
某过程
( 2) ex x
x
)11(lim
ex x
x
1
0
)1(lim,)1(l i m
1
e
某过程
7、无穷小的比较
8、等价无穷小的替换性质
9、极限的唯一性、局部有界性、保号性
（三）连续 连 续 定 义
0l im
0
y
x
)()(l i m 0
0
xfxf
xx
连 续 定 义左右连续 连续的充要条件间断点定义振荡间断点无穷间断点跳跃间断点可去间断点第一类 第二类在区间 [a,b]
上连续连续函数的运算性质初等函数的连续性非初等函数的连续性连续函数的 性 质
1、连续的定义单侧连续 连续的充要条件 闭区间的连续性
2、间断点的定义间断点的分类 第一类、第二类
3、初等函数的连续性连续性的运算性质 反函数、复合函数的连续性
4、闭区间上连续函数的性质最值定理、有界性定理、介值定理、零点定理二、典型例题例 1
).(
.1,0,2)
1
()(
xf
xxx
x
x
fxf
求其中设
解 利用函数表示法的无关特性
,1xxt令,1 1 tx即 代入原方程得
,1 2)()1 1( ttftf,1 2)1 1()( xxfxf即
,11 1 uux令,1 1 ux即 代入上式得
,)1(2)1()1 1( uuuufuf,)1(2)1()1 1( xxxxfxf即解联立方程组
x
x
x
x
f
x
f
xx
fxf
x
x
x
fxf
)1(2
)
1
()
1
1
(
1
2
)
1
1
()(
2)
1
()(
.11 11)( xxxxf
例 2 求下列极限
① )11()311)(211(lim 222 n
n
n
n
n
n
n
11
3
4
3
2
2
3
2
1l i m
原式
n
n
n
1lim
2
1
2
1?
② )1|(|),1()1)(1)(1(lim 242
xxxxx
n
n?
x
xxxx n
n?
1
)1()1)(1)(1(lim 22?原式
x
x n
n?
1
1lim 12
x? 1
1
③ ]21[l i m nnnn
n
12
1lim
2
)1(lim
n
n
n
nn
nn
原式
20
2
2
1
2
④ 1l i m
2
1?
x
nxxx n
x
1
)1()1()1(lim 2
1?
x
xxx n
x
原式
1
])2()1()[1(lim 12
1?
x
xxnxnnx n
x
])2()1([l i m 121 nx xxnxnn?
12)1(nn 2 )1( nn
⑤ )0(,
2co s2co s2co slim 2 x
xxx
nn?
n
nn
n x
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2
s i n2
2
s i n2
2
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2
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2
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原式
n
nn
n x
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s i n2
2
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2
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s i nl i m
n
n
n x
x
x
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2
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2l i ms i n
x
xsin?
例 3 ccx
cx x
x
，求设 4lim
解一
x
x
x
x cx
c
cx
cx?
21l i ml i m
c
c
c
cx
x cx
c
cx
c 2
1
2
1l i m
2
2
ce2? 4? 2ln22 c
2ln?c得解二
x
x
x
x
x
x
c
x
c
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1
1
l i ml i m
c
c
e
e
ce2?
例 4,)s in1 ta n1(l im 3
1
0
x
x x
x
求解 解法讨论则设,)(li m,0)(li m xgxf
)](1l n [)(l i m)()](1l i m [ xfxgxg exf )]()[(l i m xfxge
))(~)](1l n [( xfxf,)()(lim xfxge
3
1
0
)]1s i n1 ta n1(1[lim x
x x
x?
原式
3
1
0
]s in1 s inta n1[lim x
x x
xx
30
1
s i n1
s i nta nlim
xx
xx
x
3
0
1
c o s)s i n1(
)c o s1(s i nlim
xxx
xx
x
xxx
x
x
x
x c o s)s i n1(
1c o s1s i nlim
20
2
1
.21e 原式例 5 证明
① 1lim nn a
② 1li m nn n
证 ① 1?a先设 1?n a则
01 nnn hah记得由 nn ha 1
2!2 )1(1)1( nnnn hnnnhha
nnh? （整体和大于部分和）
n
ah
n 0 由夹逼定理知
0lim nn h 1l im nn a
baa
11,记若 1?b则
nn
n
n b
a 1limlim
1?
② 1?n n首先 nn hn 1记
22 !2 )1(1)1( nnnn hnnnhhn
2
!2
)1(1
nh
nn
nh n
20 2 由夹逼定理知
0lim nn h 1l im nn n
例 6 求极限
nn
nn
n
n
n
n
n 222 2
2
1
1lim?
[分析 ] 要用夹逼定理，须进行放缩
1
)()1(
22?
n
nnn
nn
nn?
1)1(lim 2
nn
nn
n
但 21 )(l i m 2
n
nnn
n
不能这样用夹逼定理，
解 注意到分子成等差数列
nn nnnn 2 )()2()1(?
1
)()2()1(
2?
n
nnnn?
)1(2
)13(
)(2
)13(
22?
n
nn
nn
nn?即
2
3
)(2
)13(l i m
2
nn
nn
n 2
3
)1(2
)13(l i m
2
n
nn
n
2
3
2
2
1
1lim
222
nn
nn
n
n
n
n
n
例 7 )0()(2
1,0
11 ax
axxx
n
nn 有极限证明设证 0?nx显然
axaxx
n
nn )(2
1
1
)(211 n
n
nn xx
axx
02
1 2
n
n
x
xa
即 xn单调减，有下界故由单调有界原理得 存在n
n xli m
0lim AAx nn,则设两边取极限得在 )(211
n
nn x
axx
)(21 AaAA （舍去）解得 aAaA,
例 8
).(,1
)(
lim
,2
)(
lim,)(
0
2
3
xp
x
xp
x
xxp
xp
x
x
求且是多项式设
解,2)(lim 2
3
x
xxp
x
),(2)( 23 为待定系数其中可设 babaxxxxp
,1)(l i m
0
x
xp
x
又
)0(~2)( 23 xxbaxxxxp
.1,0 ab从而得 xxxxp 23 2)(故例 9
)0(
,,0][lim 2
a
xcbxax
x
求若解 0][li m 2
xcbxaxx?
0lim
2
x
xcbxax
x
x
x
x
cbxax
x
2lim
0lim 2
xx
c
x
ba
x
a
xcbxaxx 2lim
xacbxaxx 2lim
xacbxax
cbx
x
2
li m
a
x
c
x
b
a
x
c
b
x
2
l i m
a
b
2?
例 10 求下列极限
①
x
x
x
1)1(l i m
0
x
e x
x
1lim )1l n (
0
))1l n(~1( )1l n ( xe x
x
x
x
)1l n (l i m
0
xx ~1)1(
② xx xe
x
x s i n
s i nlim
0?
xx
ee xxx
x s i n
1lim s i ns i n
0?
1?
③ xx
x 2s in
ta nlim
2
1
2lim x
x
x
只记住了重要极限的形式，而没有掌握其实质
x
x
x 2s in
ta nlim
)22s i n (
)t a n (lim
0 t
txt
t?
令
t
t
t 2s in
t a nlim
0?
2
1
2lim0 t
t
t
例 11
1,0
)1)((
)(,
xx
xax
bx
xfba
，有可去间断点间断点有无穷的值，使确定解 因 f(x)在 x=0处为无穷间断，即
)(lim 0 xfx
bx
xax
xf xx?
)1)((lim
)(
1lim0
00
bx
ax
x?
0
lim 0,0 ba
又 x=1为可去间断,存在故 )(lim
1 xfx?
)(lim1 1 bxb x )]1)(()([lim 1 xaxxfx
)1)((lim)(lim 11 xaxxf xx 0?
1 b
例 12 ①
则有间断点连续函数，且为有定义在和设
,)(,0)(
)(,),()()(
xxf
xfxxf
必有间断点)]([,xfA? 必有间断点)]([,xfB?
必有间断点)( )(,xf xC? 必有间断点)(,2 xD?
01
01
)(.
01
01
)(,)(.
01
01
)(,)(.
||
x
x
xD
x
x
xexfB
x
x
xexfA
x
x
②,则满足与设数列 0lim nnnnn yxyx
必发散收敛,nn yxA,
必有界无界,nn yxB,
必为无穷小有界,nn yxC,
必为无穷小为无穷小,n
n
yxD 1.
ny
n
xC
kn
knn
y
knn
kn
xB
n
ynxA
nn
nn
nn
,
1
.
120
2
12
20
.
1
,.
2
2
例 13 )(lim,21 12s i n)(1lim 030 xfe xxf xxx 求已知解 2
1
12s in)(1lim
30
xx e
xxf由
0)1(lim 30 xx e而
)12s in)(1(lim 0 xxfx
)1(1 12s in)(1lim 33
0
x
xx ee
xxf
02 0?
12s i n)(1lim 0 xxfx
02s in)(lim 0 xxfx
从而由等价无穷小的代换性质得
1
12s i n)(1lim2
30?
xx e
xxf
x
xxf
x 3
2s i n)(
2
1
lim
0?
x xxf
x 2
2s i n)(l i m
3
1
0
12 2s i nlim
0
x
x
x
由
6)(lim)(lim 00 xfxf xx 存在，且例 14
.
1,
2
c o s
1,1
)( 的连续性讨论
x
x
xx
xf?
解 改写成将 )( xf
1,1
11,
2
cos
1,1
)(
xx
x
x
xx
xf
.),1(),1,1(),1,()( 内连续在显然xf
,1时当x
)(l i m1 xfx )1(l i m 1 xx,2
)(l i m1 xfx?
2c oslim 1
x
x
.0
)(lim)(lim 11 xfxf xx,1)( 间断在故xxf
,1时当?x
)(lim1 xfx 2co sl i m1 xx,0
)(lim 1 xfx )1(lim 1 xx,0,1)( 连续在故?xxf
.),1()1,()( 连续在xf
例 15 证明若 f(x)和 g(x)连续，则函数也连续和
)}(),(m i n{)(
)}(),(m ax {)(
xgxfx
xgxfx
证 )}(),(ma x {)( xgxfx
2
)()(
2
|)()(| xgxfxgxf
)}(),(min{)( xgxfx
2
)()(
2
|)()(| xgxfxgxf
由于 f(x)和 g(x)连续，故 f(x)+g(x)连续也连续2)]()([|)()(| xgxfxgxf
都连续)(),( xx
例 16 利用介值定理证明，当 n 为奇数时，方程
)0(,0 01110 aaxaxaxa nnnn?
至少有一实根证,0)( 1110 nnnn axaxaxaxf?令
nx x
xf )(lim
)(lim 1110 nnnn
x x
a
x
a
x
aa
00 a
故由函数极限的保号性质可知时使当 00 ||,0 XxX 同号，与 0)( ax xf n
同号与时，亦即，当 nxaxfXx 00 )(||?
又 n 是奇数，所以 异号与 nn XaXa )2()2( 0000?
0)2()2( 00 XfXf
上连续在而 ]2,2[)( 00 XXxf?
故由零点定理知 0)()2,2( 00 fXX,使至少有一实根即 01110 nnnn axaxaxa?
例 17
n
i
i
n
i
ii
i
n
p
xfp
f
banip
bxxabaxf
1
1
1
)(
)(
),(),,,2,1(0
],[)(
使证明上连续，且在若
证 由题设知 上连续在 ],[)( 1 nxxxf
故在 ],[ 1 nxx 上必存在最大值 M 和最小值 m
),,2,1()( niMxfm i
),,2,1()( niMpxfpmp iiii
Mpxfpmp i
n
i
ii
n
i
i
n
i
111
)(
M
p
xfp
m
n
i
i
n
i
ii
1
1
)(
由介值定理可得 ),(],[ 1 baxx n
n
i
i
n
i
ii
p
xfp
f
1
1
)(
)(?使
