无穷小的比较一、无穷小的比较例如,.1s i n,s i n,,,0 22 都是无穷小时当 xxxxxx?
观察各极限
x
x
x 3
lim
2
0?,0?;32 要快得多比 xx
x
x
x
sinlim
0?,1?;s i n 大致相同与 xx
2
2
0
1s i n
lim
x
x
x
x? xx
1s inlim
0,不存在 不可比,
极限不同,反映了趋向于零的“快慢”程度不同,
定义,,0,, 且穷小是同一过程中的两个无设
);(
,,0l i m)1(
o记作高阶的无穷小是比就说如果;),0(lim)2( 是同阶的无穷小与就说如果 CC;~;,1lim
记作是等价的无穷小与则称如果特殊地
.
),0,0(lim)3(
无穷小阶的的是就说如果 kkCC
k
例 1,t a n4,0,3 的四阶无穷小为时当证明 xxxx?
解 4
3
0
t a n4l i m
x
xx
x?
3
0
)t a n(l i m4 x x
x?
,4?
.t a n4,0 3 的四阶无穷小为时故当 xxxx?
例 2,si nt a n,0 的阶数关于求时当 xxxx
解 3
0
s int a nlim
x
xx
x
)c o s1t a n(lim 2
0 x
x
x
x
x
,2
1?
.s i nt a n 的三阶无穷小为 xxx
常用等价无穷小,,0时当?x
.
2
1
~c o s1,~1,~)1l n (
,~a r c t a n,~t a n
,~a r c s i n,~s i n
2
xxxexx
xxxx
xxxx
x
xx 21~11 xnxn 1~11
xx ~1)1(
注 1,上述 10个等价无穷小（包括反、对、幂、
指、三）必须熟练掌握都成立换成将 0)(.2 xfx
用等价无穷小可给出函数的近似表达式,
,1lim,0lim ),( o即
).( o于是有 )( o同理也有一般地有 )(~ o
即 α与 β等价? α与 β互为主要部分例如,),(s in xoxx ).(211co s 22 xoxx
补充高阶无穷小的运算规律
},m i n {
)()()().1(
nmk
xoxoxo knm
其中
)()()().2( nmnm xoxoxo
)()().3( nmnm xoxox
为有界其中 )(
)()()().4(
x
xoxox nn
二、等价无穷小替换定理 (等价无穷小替换定理 )
.limlim,lim~,~ 则存在且设证
lim )l i m (
l i ml i ml i m,lim
意义求两个无穷小之比的极限时，可将其中的分子或分母或乘积因子中的无穷小用与其等价的较简单的无穷小代替，以简化计算。具体代换时，可只代换分子，也可只代换分母，或者分子分母同时代换。
例 3,co s1 2t a nl i m
2
0 x
x
x
求解,2~2t a n,21~c os1,0 2 xxxxx 时当
2
2
0
2
1
)2(
l i m
x
x
x?
原式
.8?
注意 不能滥用等价无穷小代换,
对于代数和中各无穷小不能分别替换,
等价关系具有：自反性，对称性，传递性例 4,2s i n s i nt anl i m 30 x xxx求解,~s i n,~t a n,0 xxxxx 时当?
30 )2(l i m x
xx
x
原式,0
错解,0时当?x,2~2s in xx
)c o s1(t a ns i nt a n xxxx,21~ 3x
3
3
0 )2(
2
1
l i m
x
x
x?
原式,
16
1?
例 5,3s i n 1c o s5t a nlim 0 x xxx求解 ),(5t a n xoxx ),(33s in xoxx
).(21co s1 22 xoxx
)(3
)(
2
1
)(5
lim
22
0 xox
xoxxox
x?
原式
x
xo
x
xo
x
x
xo
x )(
3
)(
2
1)(
5
l i m
2
0
,
3
5?
例 6 求 )1l n ()c o s1(
1c o ss i n
lim
2
0 xx
x
xx
x
解一
x
x
x
x
x
x
x
x )1l n (
)cos1(
1
cos
s i n
lim
0?
原式
12
01
2
1?
解二 xx
x
xx
x
)co s1(
1co ss i n
lim
2
0
原式
)
1c oss i n(
c os1
1lim
0 x
xx xx
x 2
1?
解三
xxx
x
xxx
xI
x
1c os
)1ln (c os1
1
)1ln ()c os1(
s inlim
0
012121 21?
例 7 求 1
3
1 )1(
)1()1)(1(lim
n
n
x x
xxx?
解 1 xu令 ux 1则得由 uu ~1)1(
1
3
0
)11()11)(11(lim
n
n
u u
uuuI?
10
1
3
1
2
1
lim?
n
u u
u
n
uu?
!
1
n?
关于 1∞ 型极限的求法
)()]([lim xgxf )(lim,1)(lim xgxf
)()]([lim xgxf )(ln)(li m xfxge?
)(ln)(lim xfxge?
)(
1
)]1)((1l n [
lim)(ln)(lim
xg
xf
xfxg
)(
1
1)(
l im
xg
xf?
]1)([)(lim xfxg
)()]([lim xgxf ]1)([)(lim xfxge
三、小结
1.无穷小的比较,
反映了同一过程中,两无穷小趋于零的速度快慢,但并不是所有的无穷小都可进行比较,
高 (低 )阶无穷小 ; 等价无穷小 ; 无穷小的阶,
2.等价无穷小的替换,
求极限的又一种方法,注意适用条件,
思考题任何两个无穷小量都可以比较吗？
思考题解答不能,例当 时x
,1)( xxf? x xxg s i n)(? 都是无穷小量但?
)(
)(lim
xf
xg
x xx s inlim
不存在且不为无穷大故当 时x )( xf 和 )( xg 不能比较,
观察各极限
x
x
x 3
lim
2
0?,0?;32 要快得多比 xx
x
x
x
sinlim
0?,1?;s i n 大致相同与 xx
2
2
0
1s i n
lim
x
x
x
x? xx
1s inlim
0,不存在 不可比,
极限不同,反映了趋向于零的“快慢”程度不同,
定义,,0,, 且穷小是同一过程中的两个无设
);(
,,0l i m)1(
o记作高阶的无穷小是比就说如果;),0(lim)2( 是同阶的无穷小与就说如果 CC;~;,1lim
记作是等价的无穷小与则称如果特殊地
.
),0,0(lim)3(
无穷小阶的的是就说如果 kkCC
k
例 1,t a n4,0,3 的四阶无穷小为时当证明 xxxx?
解 4
3
0
t a n4l i m
x
xx
x?
3
0
)t a n(l i m4 x x
x?
,4?
.t a n4,0 3 的四阶无穷小为时故当 xxxx?
例 2,si nt a n,0 的阶数关于求时当 xxxx
解 3
0
s int a nlim
x
xx
x
)c o s1t a n(lim 2
0 x
x
x
x
x
,2
1?
.s i nt a n 的三阶无穷小为 xxx
常用等价无穷小,,0时当?x
.
2
1
~c o s1,~1,~)1l n (
,~a r c t a n,~t a n
,~a r c s i n,~s i n
2
xxxexx
xxxx
xxxx
x
xx 21~11 xnxn 1~11
xx ~1)1(
注 1,上述 10个等价无穷小（包括反、对、幂、
指、三）必须熟练掌握都成立换成将 0)(.2 xfx
用等价无穷小可给出函数的近似表达式,
,1lim,0lim ),( o即
).( o于是有 )( o同理也有一般地有 )(~ o
即 α与 β等价? α与 β互为主要部分例如,),(s in xoxx ).(211co s 22 xoxx
补充高阶无穷小的运算规律
},m i n {
)()()().1(
nmk
xoxoxo knm
其中
)()()().2( nmnm xoxoxo
)()().3( nmnm xoxox
为有界其中 )(
)()()().4(
x
xoxox nn
二、等价无穷小替换定理 (等价无穷小替换定理 )
.limlim,lim~,~ 则存在且设证
lim )l i m (
l i ml i ml i m,lim
意义求两个无穷小之比的极限时，可将其中的分子或分母或乘积因子中的无穷小用与其等价的较简单的无穷小代替，以简化计算。具体代换时，可只代换分子，也可只代换分母，或者分子分母同时代换。
例 3,co s1 2t a nl i m
2
0 x
x
x
求解,2~2t a n,21~c os1,0 2 xxxxx 时当
2
2
0
2
1
)2(
l i m
x
x
x?
原式
.8?
注意 不能滥用等价无穷小代换,
对于代数和中各无穷小不能分别替换,
等价关系具有：自反性，对称性，传递性例 4,2s i n s i nt anl i m 30 x xxx求解,~s i n,~t a n,0 xxxxx 时当?
30 )2(l i m x
xx
x
原式,0
错解,0时当?x,2~2s in xx
)c o s1(t a ns i nt a n xxxx,21~ 3x
3
3
0 )2(
2
1
l i m
x
x
x?
原式,
16
1?
例 5,3s i n 1c o s5t a nlim 0 x xxx求解 ),(5t a n xoxx ),(33s in xoxx
).(21co s1 22 xoxx
)(3
)(
2
1
)(5
lim
22
0 xox
xoxxox
x?
原式
x
xo
x
xo
x
x
xo
x )(
3
)(
2
1)(
5
l i m
2
0
,
3
5?
例 6 求 )1l n ()c o s1(
1c o ss i n
lim
2
0 xx
x
xx
x
解一
x
x
x
x
x
x
x
x )1l n (
)cos1(
1
cos
s i n
lim
0?
原式
12
01
2
1?
解二 xx
x
xx
x
)co s1(
1co ss i n
lim
2
0
原式
)
1c oss i n(
c os1
1lim
0 x
xx xx
x 2
1?
解三
xxx
x
xxx
xI
x
1c os
)1ln (c os1
1
)1ln ()c os1(
s inlim
0
012121 21?
例 7 求 1
3
1 )1(
)1()1)(1(lim
n
n
x x
xxx?
解 1 xu令 ux 1则得由 uu ~1)1(
1
3
0
)11()11)(11(lim
n
n
u u
uuuI?
10
1
3
1
2
1
lim?
n
u u
u
n
uu?
!
1
n?
关于 1∞ 型极限的求法
)()]([lim xgxf )(lim,1)(lim xgxf
)()]([lim xgxf )(ln)(li m xfxge?
)(ln)(lim xfxge?
)(
1
)]1)((1l n [
lim)(ln)(lim
xg
xf
xfxg
)(
1
1)(
l im
xg
xf?
]1)([)(lim xfxg
)()]([lim xgxf ]1)([)(lim xfxge
三、小结
1.无穷小的比较,
反映了同一过程中,两无穷小趋于零的速度快慢,但并不是所有的无穷小都可进行比较,
高 (低 )阶无穷小 ; 等价无穷小 ; 无穷小的阶,
2.等价无穷小的替换,
求极限的又一种方法,注意适用条件,
思考题任何两个无穷小量都可以比较吗？
思考题解答不能,例当 时x
,1)( xxf? x xxg s i n)(? 都是无穷小量但?
)(
)(lim
xf
xg
x xx s inlim
不存在且不为无穷大故当 时x )( xf 和 )( xg 不能比较,
