闭区间上连续函数的性质闭区间上的连续函数有着十分优良的性质，
这些性质在函数的理论分析、研究中有着重大的价值，起着十分重要的作用。下面我们就不加证明地给出这些结论，好在这些结论在几何意义是比较明显的。
一、最大值和最小值定理定义,
.)()()(
))()(()()(
,
),(
0
00
0
值小上的最大在区间是函数则称都有使得对于任一如果有上有定义的函数对于在区间
Ixfxf
xfxfxfxf
IxIx
xfI
例如,,s i n1 xy,]2,0[ 上在?,2m ax?y ;0m i n?y
,s gn xy?,),( 上在,1m ax?y ;1m i ny
,),0( 上在,1m i nm a x yy
定理 1(最大值和最小值定理 ) 在闭区间上连续的函数一定有最大值和最小值,
).()(
),()(
],,[
],,[,
],,[)(
2
1
21
xff
xff
bax
ba
baCxf
有使得则若
x
y
o
)(xfy?
a b2? 1?
注意,1.若区间是开区间,定理不一定成立 ;
2.若区间内有间断点,定理不一定成立,
x
y
o 2?
)(xfy?
x
y
o
)(xfy?
21
1
定理 2(有界性定理 ) 在闭区间上连续的函数一定在该区间上有界,
证,],[)( 上连续在设函数 baxf ],,[ bax
,)( Mxfm有 },,ma x { MmK?取
.)( Kxf?则有,],[)( 上有界在函数 baxf?
二、介值定理定义,
.)(
,0)( 000
的零点称为函数则使如果
xf
xxfx?
定理 3( 零点定理 ) 设函数 )( xf 在闭区间ba,
上连续，且 )( af 与 )( bf 异号 ( 即 0)()( bfaf ),
那末在开区间ba,内至少有函数 )( xf 的一个零点,即至少有一点? )( ba,使 0)(f,
.),(0)( 内至少存在一个实根在即方程 baxf?
几何解释,
.
,
)(
轴至少有一个交点线弧与则曲轴的不同侧端点位于的两个连续曲线弧
x
x
xfy?
x
y
o
)(xfy?
a b1? 2? 3?
定理 4( 介值定理 ) 设函数 )( xf 在闭区间ba,
上连续，且在这区间的端点取不同的函数值
Aaf?)( 及 Bbf?)(,
那末，对于 A 与 B 之间的任意一个数 C,在开区间
ba,内至少有一点?,使得 Cf?)(? )( ba,
证,)()( Cxfx设
,],[)( 上连续在则 bax?
Cafa )()(?且
,CA
Cbfb )()(?,CB
,0)()( ba 由零点定理,使),,( ba
,0)(,0)()( Cf即,)( Cf
x
y
o
)( xfy?
a
bA
B
M
m
1x 2x
C
1? 2? 3?
几何解释,
.
)(
至少有一个交点直线与水平连续曲线弧
Cy
xfy
例 1
.
)1,0(014 23
至少有一根内在区间证明方程 xx
证,14)( 23 xxxf令,]1,0[)( 上连续在则 xf
,01)0(f又,02)(f 由零点定理,
使),,( ba,0)(f,014 23即推论 在闭区间上连续的函数必取得介于最大值 与最小值 之间的任何值,M m
.)1,0(014 23?内至少有一根在方程 xx
例 2
.)(),,(.)(
,)(,],[)(
fbabbf
aafbaxf
使得证明且上连续在区间设函数证,)()( xxfxF令,],[)( 上连续在则 baxF
aafaF )()(而,0?
bbfbF )()(,0? 由零点定理,
使),,( ba,0)()( fF
.)(f即例 3
)()(),0[
)2()0(]2,0[)(
affa
affaxf
使证明上连续，且在设证 则记 )()()( axfxfxF
))(],0([],0[)( 的定义域即上连续在 xFaaxF
)()0()0( affF且
)0()()2()()( fafafafaF
)()0( aff?若 即为所求则 0
)()0( aff?若 0)()0( aFF则由零点定理知 0)(),0( Fa 使
)()( aff即总之 )()(),0[ affa 使注
① 方程 f(x)=0的根 函数 f(x)的零点
② 有关闭区间上连续函数命题的证明方法
10直接法：先利用最值定理，再利用介值定理
20间接法（辅助函数法）：先作辅助函数，
再利用零点定理辅助函数的作法
（ 1）将结论中的 ξ(或 x0或 c)改写成 x
（ 2）移项使右边为 0，令左边的式子为 F(x)
则 F(x)即为所求区间一般在题设中或要证明的结论中已经给出，
余下只须验证 F(x)在所讨论的区间上 连续,再比较一下两个端点处的函数值的符号，或指出要证的值介于 F(x)在所论闭区间上的最大值与最小值之间。
三、小结四个定理有界性定理 ;最值定理 ;介值定理 ;根的存在性定理,
注意 1．闭区间； 2．连续函数．
这两点不满足上述定理不一定成立．
解题思路
1.直接法,先利用最值定理,再利用介值定理 ;
2.辅助函数法,先作辅助函数 F(x),再利用零点定理 ;
思考题下述命题是否正确？
如果 )( xf 在 ],[ ba 上有定义，在 ),( ba
内连续，且 0)()( bfaf,那么 )( xf 在
),( ba 内必有零点,
思考题解答不正确,
例函数
0,2
10,)(
x
xexf
)( xf 在 )1,0( 内连续,.02)1()0( ef
但 )( xf 在 )1,0( 内无零点,
这些性质在函数的理论分析、研究中有着重大的价值，起着十分重要的作用。下面我们就不加证明地给出这些结论，好在这些结论在几何意义是比较明显的。
一、最大值和最小值定理定义,
.)()()(
))()(()()(
,
),(
0
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值小上的最大在区间是函数则称都有使得对于任一如果有上有定义的函数对于在区间
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例如,,s i n1 xy,]2,0[ 上在?,2m ax?y ;0m i n?y
,s gn xy?,),( 上在,1m ax?y ;1m i ny
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定理 1(最大值和最小值定理 ) 在闭区间上连续的函数一定有最大值和最小值,
).()(
),()(
],,[
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1
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xff
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有使得则若
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a b2? 1?
注意,1.若区间是开区间,定理不一定成立 ;
2.若区间内有间断点,定理不一定成立,
x
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x
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定理 2(有界性定理 ) 在闭区间上连续的函数一定在该区间上有界,
证,],[)( 上连续在设函数 baxf ],,[ bax
,)( Mxfm有 },,ma x { MmK?取
.)( Kxf?则有,],[)( 上有界在函数 baxf?
二、介值定理定义,
.)(
,0)( 000
的零点称为函数则使如果
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定理 3( 零点定理 ) 设函数 )( xf 在闭区间ba,
上连续，且 )( af 与 )( bf 异号 ( 即 0)()( bfaf ),
那末在开区间ba,内至少有函数 )( xf 的一个零点,即至少有一点? )( ba,使 0)(f,
.),(0)( 内至少存在一个实根在即方程 baxf?
几何解释,
.
,
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轴至少有一个交点线弧与则曲轴的不同侧端点位于的两个连续曲线弧
x
x
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定理 4( 介值定理 ) 设函数 )( xf 在闭区间ba,
上连续，且在这区间的端点取不同的函数值
Aaf?)( 及 Bbf?)(,
那末，对于 A 与 B 之间的任意一个数 C,在开区间
ba,内至少有一点?,使得 Cf?)(? )( ba,
证,)()( Cxfx设
,],[)( 上连续在则 bax?
Cafa )()(?且
,CA
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,0)()( ba 由零点定理,使),,( ba
,0)(,0)()( Cf即,)( Cf
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a
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1? 2? 3?
几何解释,
.
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至少有一个交点直线与水平连续曲线弧
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例 1
.
)1,0(014 23
至少有一根内在区间证明方程 xx
证,14)( 23 xxxf令,]1,0[)( 上连续在则 xf
,01)0(f又,02)(f 由零点定理,
使),,( ba,0)(f,014 23即推论 在闭区间上连续的函数必取得介于最大值 与最小值 之间的任何值,M m
.)1,0(014 23?内至少有一根在方程 xx
例 2
.)(),,(.)(
,)(,],[)(
fbabbf
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使得证明且上连续在区间设函数证,)()( xxfxF令,],[)( 上连续在则 baxF
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使),,( ba,0)()( fF
.)(f即例 3
)()(),0[
)2()0(]2,0[)(
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affaxf
使证明上连续，且在设证 则记 )()()( axfxfxF
))(],0([],0[)( 的定义域即上连续在 xFaaxF
)()0()0( affF且
)0()()2()()( fafafafaF
)()0( aff?若 即为所求则 0
)()0( aff?若 0)()0( aFF则由零点定理知 0)(),0( Fa 使
)()( aff即总之 )()(),0[ affa 使注
① 方程 f(x)=0的根 函数 f(x)的零点
② 有关闭区间上连续函数命题的证明方法
10直接法：先利用最值定理，再利用介值定理
20间接法（辅助函数法）：先作辅助函数，
再利用零点定理辅助函数的作法
（ 1）将结论中的 ξ(或 x0或 c)改写成 x
（ 2）移项使右边为 0，令左边的式子为 F(x)
则 F(x)即为所求区间一般在题设中或要证明的结论中已经给出，
余下只须验证 F(x)在所讨论的区间上 连续,再比较一下两个端点处的函数值的符号，或指出要证的值介于 F(x)在所论闭区间上的最大值与最小值之间。
三、小结四个定理有界性定理 ;最值定理 ;介值定理 ;根的存在性定理,
注意 1．闭区间； 2．连续函数．
这两点不满足上述定理不一定成立．
解题思路
1.直接法,先利用最值定理,再利用介值定理 ;
2.辅助函数法,先作辅助函数 F(x),再利用零点定理 ;
思考题下述命题是否正确？
如果 )( xf 在 ],[ ba 上有定义，在 ),( ba
内连续，且 0)()( bfaf,那么 )( xf 在
),( ba 内必有零点,
思考题解答不正确,
例函数
0,2
10,)(
x
xexf
)( xf 在 )1,0( 内连续,.02)1()0( ef
但 )( xf 在 )1,0( 内无零点,
