初等函数一、基本初等函数
1.幂函数 )( 是常数xy
o x
y
2xy?
xy?
xy?
1
1 )1,1(
xy
1?
2.指数函数 )1,0( aaay x xey?
xay?
x
ay )
1(?
)1(?a
)1,0(
3.对数函数 )1,0(l o g aaxy ay ln?
xy alo g?
xy
a
1lo g?
)1(?a)0,1(
4.三角函数正弦函数 xy s in?
xy sin?
余弦函数
xy cos?
xy cos?
正切函数 xy ta n?
xy tan?
余切函数 xy cot?
xy co t?
正割函数 xy s ec?
xy se c?
余割函数 xy c s c?
xy csc?
5.反三角函数 xy a r cs i n?反正弦函数
xy a r c si n?
xy a r c c o s?反余弦函数
xy a r c c o s?
xy a r ct a n?反正切函数
xy a r ct a n?
xy co t?反余切函数 arc
xy co t?arc
幂函数,指数函数,对数函数,三角函数和反三角函数统称为 基本初等函数,
二、复合函数 初等函数
1.复合函数在实际问题中，有很多比较复杂的函数是由几个比较 简单的函数“叠置”而成的，如在简谐振动中位移 y与时间 t 的函数关系
)s in( ty
就是由三角函数 uy sin? 和线性函数 tu
“叠置”而成的，
,uy?设,1 2xu 21 xy
定义,
设函数 )( ufy? 的定义域 fD,而函数
)( xu 的值域为?Z,若ZD f,则称函数 )]([ xfy 为 x 的 复合函数,
,自变量?x,中间变量?u,因变量?y
注意,1.不是任何两个函数都可以复合成一个复合函数的 ;
fDZ ——复合条件
,a r c s i n uy?例如 ;2 2xu )2a rcs i n ( 2xy
复合函数的定义域
)(| xuDuDxxD f 使?D?
复合条件在实际应用时常取形式 fDZ
内层函数的值域落在外层函数的定义域之内
2.复合函数可以由两个以上的函数经过复合构成,
,2cot xy?例如,uy?,c o t v?,
2
xv?
2.初等函数由常数和基本初等函数经过有限次四则运算和有限次的函数复合步骤所构成并可用 一个式子表示 的函数,称为 初等函数,
例 1
)].([
,
0,1
0,2
)(,
1,
1,
)( 2
xf
xx
xx
x
xx
xe
xf
x
求设解
1)(),(
1)(,)]([ )(
xx
xexf x
,1)(1 0 时当 x
,0?x或,12)( xx ;1x
,0?x或,11)( 2 xx ;20 x
,1)(2 0 时当 x
,0?x或,12)( xx ;01 x
,0?x或,11)( 2 xx ;2?x
综上所述,
2,1
20
01
1
,
,2
,
)]([
2
1
2
2
xx
x
x
x
e
x
e
xf
x
x
三、双曲函数与反双曲函数
1.双曲函数
2s i n h
xx ee
x
双曲正弦
),,(,D 奇函数,
2cos h
xx ee
x
双曲余弦
),,(,D 偶函数,xy si nh?
xy c osh?
xey
2
1?
xey
2
1
xx
xx
ee
ee
x
xx
cos h
s i n ht an h双曲正切
),(,D 奇函数,有界函数,
双曲函数常用公式;s i n hc o s hc o s hs i n h)s i n h ( yxyxyx;s i n hs i n hc o s hc o s h)c o s h ( yxyxyx;1s i n hc o s h 22 xx;c o s hs i n h22s i n h xxx?
.s i n hc o s h2c o s h 22 xxx
2.反双曲函数;s i n h xy?反双曲正弦 ar
).1l n (
s i n h
2
xx
xy ar
),(,D
奇函数,
.),( 内单调增加在
si nhar? xy
y反双曲余弦 xar c os h
).1l n (
co s h
2
xx
xy ar
),1[,D
.),1[ 内单调增加在
coshar x?y
反双曲正切
xy t a n h?ar
.11ln21 xx
)1,1(,?D
奇函数,
.)1,1( 内单调增加在?
tanhar x?y
xy t a n h?ar
四、小结函数的分类,
函数初等函数非初等函数 (分段函数,有无穷多项等函数 )
代数函数超越函数有理函数无理函数有理整函数 (多项式函数 )
有理分函数 (分式函数 )
思考题下列函数能否复合为函数 )]([ xgfy?,
若能，写出其解析式、定义域、值域,
,)()1( uufy 2)( xxxgu
,ln)()2( uufy 1s i n)( xxgu
思考题解答
2)]([)1( xxxgfy
},10|{ xxDx ]21,0[)(?Df
)2( 不能,01s i n)( xxg?
)( xg 的值域与 )( uf 的定义域之交集是空集,
练 习 题
._ _ _ _ _ _ _ _ _
1
反三角函数统称对数函数，三角函数和、幂函数，指数函数，
._ _ _ _ _ _ _ _ _ _
)( l n]31[)(2
的定义域为
，则函数，的定义域为、函数 xfxf
一、填空题,
.______3 2 复合而成的函数为，、由函数 xuey u
.__ __ ___ __ _2lnsi n4 复合而成由、函数 xy?
._________)0()()(
___________)0)((
__________)(s i n__________
]10[)(5 2
的定义域为
，的定义域为
，的定义域为，为
）的定义域（，则，的定义域为、若
aaxfaxf
aaxf
xf
xfxf
.s i n 的图形”作函数二、应用图形的“叠加 xxy
.)]([)]([
)(
11
10
11
)(
，并作出它们的图形，求
，，
，
，
，
三、设
xfgxgf
exg
x
x
x
xf x?
.
)(
)()(30.0
5020.05002
20
形出图之间的函数关系，并作千克于行李重量元元，试建立行李收费出部分每千克千克超元，超出千克每千克收费～
千克以下不计费，定如下：四、火车站行李收费规
x
xf
练习题答案一,1,基本初等函数； 2,],[
3
ee ；
3,
2
x
ey? ； 4,xvvuuy 2,ln,s i n ；
5,[- 1,1 ],[ kk 2,2 ],]1,[ aa,
2
1
2
1
0]1,[
a
aaa
.
三、
1,1
0,0
0,1
)]([
x
x
x
xgf ；
1,
1
1,1
1,
)]([
x
e
x
xe
xfg,
四、
50),50(3.010
5020,2.0
200
xx
xx
x
y
1.幂函数 )( 是常数xy
o x
y
2xy?
xy?
xy?
1
1 )1,1(
xy
1?
2.指数函数 )1,0( aaay x xey?
xay?
x
ay )
1(?
)1(?a
)1,0(
3.对数函数 )1,0(l o g aaxy ay ln?
xy alo g?
xy
a
1lo g?
)1(?a)0,1(
4.三角函数正弦函数 xy s in?
xy sin?
余弦函数
xy cos?
xy cos?
正切函数 xy ta n?
xy tan?
余切函数 xy cot?
xy co t?
正割函数 xy s ec?
xy se c?
余割函数 xy c s c?
xy csc?
5.反三角函数 xy a r cs i n?反正弦函数
xy a r c si n?
xy a r c c o s?反余弦函数
xy a r c c o s?
xy a r ct a n?反正切函数
xy a r ct a n?
xy co t?反余切函数 arc
xy co t?arc
幂函数,指数函数,对数函数,三角函数和反三角函数统称为 基本初等函数,
二、复合函数 初等函数
1.复合函数在实际问题中，有很多比较复杂的函数是由几个比较 简单的函数“叠置”而成的，如在简谐振动中位移 y与时间 t 的函数关系
)s in( ty
就是由三角函数 uy sin? 和线性函数 tu
“叠置”而成的，
,uy?设,1 2xu 21 xy
定义,
设函数 )( ufy? 的定义域 fD,而函数
)( xu 的值域为?Z,若ZD f,则称函数 )]([ xfy 为 x 的 复合函数,
,自变量?x,中间变量?u,因变量?y
注意,1.不是任何两个函数都可以复合成一个复合函数的 ;
fDZ ——复合条件
,a r c s i n uy?例如 ;2 2xu )2a rcs i n ( 2xy
复合函数的定义域
)(| xuDuDxxD f 使?D?
复合条件在实际应用时常取形式 fDZ
内层函数的值域落在外层函数的定义域之内
2.复合函数可以由两个以上的函数经过复合构成,
,2cot xy?例如,uy?,c o t v?,
2
xv?
2.初等函数由常数和基本初等函数经过有限次四则运算和有限次的函数复合步骤所构成并可用 一个式子表示 的函数,称为 初等函数,
例 1
)].([
,
0,1
0,2
)(,
1,
1,
)( 2
xf
xx
xx
x
xx
xe
xf
x
求设解
1)(),(
1)(,)]([ )(
xx
xexf x
,1)(1 0 时当 x
,0?x或,12)( xx ;1x
,0?x或,11)( 2 xx ;20 x
,1)(2 0 时当 x
,0?x或,12)( xx ;01 x
,0?x或,11)( 2 xx ;2?x
综上所述,
2,1
20
01
1
,
,2
,
)]([
2
1
2
2
xx
x
x
x
e
x
e
xf
x
x
三、双曲函数与反双曲函数
1.双曲函数
2s i n h
xx ee
x
双曲正弦
),,(,D 奇函数,
2cos h
xx ee
x
双曲余弦
),,(,D 偶函数,xy si nh?
xy c osh?
xey
2
1?
xey
2
1
xx
xx
ee
ee
x
xx
cos h
s i n ht an h双曲正切
),(,D 奇函数,有界函数,
双曲函数常用公式;s i n hc o s hc o s hs i n h)s i n h ( yxyxyx;s i n hs i n hc o s hc o s h)c o s h ( yxyxyx;1s i n hc o s h 22 xx;c o s hs i n h22s i n h xxx?
.s i n hc o s h2c o s h 22 xxx
2.反双曲函数;s i n h xy?反双曲正弦 ar
).1l n (
s i n h
2
xx
xy ar
),(,D
奇函数,
.),( 内单调增加在
si nhar? xy
y反双曲余弦 xar c os h
).1l n (
co s h
2
xx
xy ar
),1[,D
.),1[ 内单调增加在
coshar x?y
反双曲正切
xy t a n h?ar
.11ln21 xx
)1,1(,?D
奇函数,
.)1,1( 内单调增加在?
tanhar x?y
xy t a n h?ar
四、小结函数的分类,
函数初等函数非初等函数 (分段函数,有无穷多项等函数 )
代数函数超越函数有理函数无理函数有理整函数 (多项式函数 )
有理分函数 (分式函数 )
思考题下列函数能否复合为函数 )]([ xgfy?,
若能，写出其解析式、定义域、值域,
,)()1( uufy 2)( xxxgu
,ln)()2( uufy 1s i n)( xxgu
思考题解答
2)]([)1( xxxgfy
},10|{ xxDx ]21,0[)(?Df
)2( 不能,01s i n)( xxg?
)( xg 的值域与 )( uf 的定义域之交集是空集,
练 习 题
._ _ _ _ _ _ _ _ _
1
反三角函数统称对数函数，三角函数和、幂函数，指数函数，
._ _ _ _ _ _ _ _ _ _
)( l n]31[)(2
的定义域为
，则函数，的定义域为、函数 xfxf
一、填空题,
.______3 2 复合而成的函数为，、由函数 xuey u
.__ __ ___ __ _2lnsi n4 复合而成由、函数 xy?
._________)0()()(
___________)0)((
__________)(s i n__________
]10[)(5 2
的定义域为
，的定义域为
，的定义域为，为
）的定义域（，则，的定义域为、若
aaxfaxf
aaxf
xf
xfxf
.s i n 的图形”作函数二、应用图形的“叠加 xxy
.)]([)]([
)(
11
10
11
)(
，并作出它们的图形，求
，，
，
，
，
三、设
xfgxgf
exg
x
x
x
xf x?
.
)(
)()(30.0
5020.05002
20
形出图之间的函数关系，并作千克于行李重量元元，试建立行李收费出部分每千克千克超元，超出千克每千克收费～
千克以下不计费，定如下：四、火车站行李收费规
x
xf
练习题答案一,1,基本初等函数； 2,],[
3
ee ；
3,
2
x
ey? ； 4,xvvuuy 2,ln,s i n ；
5,[- 1,1 ],[ kk 2,2 ],]1,[ aa,
2
1
2
1
0]1,[
a
aaa
.
三、
1,1
0,0
0,1
)]([
x
x
x
xgf ；
1,
1
1,1
1,
)]([
x
e
x
xe
xfg,
四、
50),50(3.010
5020,2.0
200
xx
xx
x
y
