高 等 数 学电子教案二 00一年七月绪论课程名称 高等数学计划学时 56+108=164
考核形式 考试（ 4+7=11学分）
课堂纪律 作业问题 答疑辅导学习方法 真、苦、巧、活课前预习、重点听讲、简记笔记、
整理咀嚼、后作练习参 考 书 目
＜工科数学分析基础＞
马知恩 等编 （高教出版社）
＜高等数学释疑解难＞
工科数学课委会编（高教出版社）
＜高等数学辅导＞
盛祥耀 等编（清华大学出版社）
＜高等数学解题方法及同步训练＞
同济大学编（同济大学出版社）
＜高等数学习题课教程＞
黄松奇 等编 （气象出版社）
我们这门课程叫高等数学，它的内容包括一元和多元微积分学，无穷级数论和作为理论基础的极限理论，以及作为一元微积分学的简单应用 —
— 常微分方程。由于构成它的主体是一元函数微积分学，所以有时又称为微积分。
17世纪（ 1763年） Descartes建立了解析几何，同时把变量引入数学，对数学的发展产生了巨大的影响，使数学从研究常量的初等数学进一步发展到研究变量的高等数学。微积分是高等数学的一个重要的组成部分，是研究变量间的依赖关系 —— 函数的一门学科，是学习其它自然科学的基础。
高等数学研究的主要对象是函数，主要研究函数的分析性质（连续、可导、可积等）和分析运算
（极限运算、微分法、积分法等）。那么高等数学用什么方法研究函数呢？这个方法就是极限方法，
也称为无穷小分析法。从方法论的观点来看，这是高等数学区别于初等数学的一个显著标志。
由于高等数学的研究对象和研究方法与初等数学有很大的不同，因此高等数学呈现出以下显著特点：
概念更复杂 理论性更强表达形式更加抽象推理更加严谨因此在学习高等数学时，应当认真阅读和深入钻研教材的内容，一方面要透过抽象的表达形式，深刻理解基本概念和理论的内涵与实质，以及它们之间的内在联系，正确领会一些重要的数学思想方法，另一方面也要培养抽象思维和逻辑推理的能力。
学习数学，必须做一定数量的习题，做习题不仅是为了掌握数学的基本运算方法，而且也可以帮助我们更好地理解概念、理论和思想方法。但我们不应该仅仅满足于做题，更不能认为，只要做了题，就算学好了数学。
高等数学中几乎所有的概念都离不开极限，因此极限概念是高等数学的重要概念，极限理论是高等数学的基础理论，极限是高等数学的精华所在，是高等数学的灵魂。因此很好地理解极限概念是学习好微积分的关键，同时也是从初等数学迈入高等数学的一个重要阶梯。
极限是研究在指定的过程中某变量的变化趋势，这里所讲的变化趋势有其明确的含义：不管所指定的变化过程多么复杂，我们所关心的仅仅是变量变化的终极目标，若这个终极目标存在，就称之为变量的极限本章我们首先介绍极限理论的基本概念、运算和性质，然后讨论函数的连续性重点极限概念，无穷小与极限的关系，极限运算法则，
两个重要极限，连续概念，初等函数的连续性，间断点及其分类难点极限概念及求极限的方法技巧基本要求
① 能准确叙述并深刻理解极限定义，明确其几何意义，会用定义验证极限
② 正确理解无穷小量及其与极限的关系
③ 牢固掌握极限运算法则，极限的性质，尤其是函数 极限的保号性质
④ 理解极限存在准则，熟记两个重要极限及其证明方法，灵活地运用它们及各种变形公式求极限
⑤ 正确理解连续概念，理解间断点的分类
⑥ 理解初等函数的连续性，掌握闭区间上连续函数的性质一、基本概念
1.集合,具有某种特定性质的事物的 总体,
组成这个集合的事物称为该集合的 元素,
,Ma?,Ma?
},,,{ 21 naaaA 有限集
}{ 所具有的特征xxM? 无限集
.,,的子集是就说则必若 BABxAx
.BA?记作数集分类,N----自然数集 Z----整数集
Q----有理数集 R----实数集数集间的关系,,,,RQQZZN
.,,相等与就称集合且若 BAABBA )( A?
例如 },2,1{?A
},023{ 2 xxxC,CA?则不含任何元素的集合称为 空集,)(?记作例如,}01,{ 2 xRxx
规定 空集为任何集合的子集,
2.区间,是指介于某两个实数之间的全体实数,
这两个实数叫做区间的端点,
.,,baRba 且
}{ bxax 称为开区间,),( ba记作
o xa b
}{ bxax 称为闭区间,],[ ba记作
o xa b
}{ bxax 称为半开区间,),[ ba记作
}{ bxax 称为半开区间,],( ba记作有限区间
}{),[ xaxa }{),( bxxb
无限区间
o xa
o xb
区间长度的定义,
两端点间的距离 (线段的长度 )称为区间的长度,
3.邻域,,0, 且是两个实数与设 a
,}{ 邻域的称为点数集 aaxx
,叫做这邻域的中心点 a,叫做这邻域的半径?
.}{)( axaxaU
xaaa
,邻域的去心的点?a ).(0 aU?记作
.}0{)( axxaU
4.绝对值,
0
0
aa
aaa
)0(?a
运算性质,;baab? ;b
a
b
a?
.yxyx绝对值不等式,
)0( aax ;axa
)0( aax ;axax 或绝对值不等式的两个变形公式：
||||||)1( yxyx
||||||)2( yxyx
绝对值不等式的证明
① ||||,|||| yyyxxx
两式相加得
|)||(||)||(| yxyxyx
|||||| yxyx
② 几何直观
③ 分四种情况验证
0,0)1( yx
0,0)2( yx
0,0,0)3( yxyx
0,0,0)4( yxyx
x
y
x+y
④ 在复数范围内成立
idcyibax,记 )()( dbicayx则
222 )()(|| dbcayx
222 ||||||2|||)||(| yyxxyx而
22222222 2 dcdcbaba
bdacdcbayxyx 222|||)||(| 222222
为证三角不等式只须证明
2222 dcbabdac
为证上式，又只须证明
))(()( 22222 dcbabdac
又只须证明 2222))((2 cbdabcad
由基本不等式 222 BAAB 上式是显然的对三角不等式及其证明方法要加深印象，深刻理解，灵活运用，后面将要讲到的极限在很多情况下要用到三角不等式来对不等式进行放大和缩小。
|||||||| yyxyyxx
|||||| yxyx
同理 |||||| xyyx
|||||| yxyx
二、函数概念例 圆内接正多边形的周长
3S 4S 5S 6S
nnrS n
s i n2
,5,4,3?n
圆内接正 n边形
O
rn?
定义 设 x和 y是两个变量,D是一个给定的数集,
若对于 x ∈ D,变量 y按照确定的法则总有确定的数值和它对应，则称 y是 x的函数记作 )( xfy?
自变量因变量
.)(,000 处的函数值为函数在点称时当 xxfDx?
.}),({ 称为函数的值域函数值全体组成的数集
DxxfyyW
函数的两要素,定义域 与 对应法则,
( )D 0xx 自变量
( )W )( 0xfy
对应法则 f
因变量约定,定义域是自变量所能取的使算式有意义的一切实数值,
21 xy例如,]1,1[,?D
21
1
xy例如,)1,1(,?D
如果自变量在定义域内任取一个数值时，对应的函数值总是只有一个，这种函数叫做单值函数，否则叫与多值函数．
o x
y
y
x
),( yx
D
W
．例如,222 ayx
定义,
.)(
}),(),{(
的图形函数称为点集
xfy
DxxfyyxC
几个特殊的函数举例
(1) 符号函数
01
00
01
s gn
x
x
x
xy
当当当
xxx s g n
1
-1
x
y
o
(2) 取整函数 y=[x]
[x]表示不超过 x 的最大整数
1 2 3 4 5
-2
-4
-4 -3 -2 -1
4 3 2 1
-1
-3
x
y
o
阶梯曲线
(3) 狄利克雷函数
是无理数时当是有理数时当
x
xxDy
0
1)(
有理数点无理数点
1
x
y
o
(4) 取最值函数
)}(),(m a x { xgxfy? )}(),(m i n { xgxfy?
y
xo
)(xf
)(xg
y
xo
)(xf
)(xg
在自变量的不同变化范围中,对应法则用不同的式子来表示的函数,称为 分段函数,
0,1
0,12)(,
2 xx
xxxf例如 12 xy12 xy
(5)绝对值函数
0,
0,||
xx
xxxy
o x
y
定义域 R 值域 ),0[
例 1 脉冲发生器产生一个单三角脉冲,其波形如图所示,写出电压 U与时间 的函数关系式,)0(?tt
解 U
to
E
),2( E?
)0,(?
2
单三角脉冲信号的电压
,]2,0[ 时当t
t
E
U
2
;2 tE
,],2( 时当t
),(
2
0
0
t
E
U
)(2 tEU即
,),( 时当t,0?U
其表达式为是一个分段函数,)( tUU
),(,0
],
2
(),(
2
]
2
,0[,
2
)(
t
tt
E
tt
E
tU
U
to
E
),2( E?
)0,(?
2
例 2
.)3(,212 101)( 的定义域求函数设?
xf
x
xxf
解
212
101)(
x
xxf?
2312
1301)3(
x
xxf
122
231
x
x
故 ]1,3[,fD
三、函数的特性
1．函数的有界性,
,)(,,0,成立有若 MxfXxMDX
..)( 否则称无界上有界在则称函数 Xxf
M
-M
y
xo
y=f(x)
X有界
M
-M
y
xo X0
x
无界
2．函数的单调性,
,,)( DIDxf?区间的定义域为设函数
,,2121 时当及上任意两点如果对于区间 xxxxI?
),()()1( 21 xfxf?恒有;)( 上是单调增加的在区间则称函数 Ixf
)(xfy?
)( 1xf
)( 2xf
x
y
o
I
,,2121 时当及上任意两点如果对于区间 xxxxI?
),()()2( 21 xfxf?恒有;)( 上是单调减少的在区间则称函数 Ixf
)(xfy?
)( 1xf
)( 2xf
x
y
o
I
,,)( DIDxf?区间的定义域为设函数
3．函数的奇偶性,
有对于关于原点对称设,,DxD
)()( xfxf ;)( 为偶函数称 xf
y
x
)( xf?
)( xfy?
o x-x
)(xf
偶函数有对于关于原点对称设,,DxD
)()( xfxf ;)( 为奇函数称 xf
)( xf?
y
x
)(xf
o x
-x
)( xfy?
奇函数
4．函数的周期性,
,)( Dxf 的定义域为设函数 如果存在一个不为零的
.)()( 恒成立且 xflxf
为周则称 )( xf,)(,,DlxDxl使得对于任一数
.)(,的周期称为期函数 xfl
（通常说周期函数的周期是指其最小正 周期 ）,
2l? 2l23l? 23l
四、反函数
x
y
D
W
)( xfy?函数
o x
y
D
W
)( yx反函数
o
)( xfy?直接函数
x
y
o
),( abQ
),( baP
)( xy反函数直接函数与反函数的图形关于直线 对称,xy?
例 3,0
1)(
Qx
QxxD设
.))(().21(),57( 的性质并讨论求 xDDDD
解,1)57(D,0)21(D,1))((?xDD
单值函数,有界函数,
偶函数,不是单调函数,
周期函数 (无最小正周期 ) o x
y
1
思考题设 0 x,函数值
21)1( xx
x
f,求函数 )0()( xxfy 的解析表达式,
思考题解答设 u
x?
1
则
2
111
uuuf,
1 2
u
u
故 )0(.11)(
2
xx xxf
练 习 题一,填空题,
1,若
2
2
51
t
tt
f
,则 _ _ _ _ _ _ _ _ _ _)(?tf,
_ _ _ _ _ _ _ _ _ _)1(
2
tf,
2,若
3
,s i n
3
,1
)(
xx
x
t,
则 )
6
(
=_________,)
3
(
=_________,
3,不等式
15x
的区间表示法是 _________,
4,设
2
xy?
,要使
),0(?Ux?
时，
)2,0(Uy?
,
须
__________,
二、证明 xy lg? 在 ),0( 上的单调性,
三、证明任一定义在区间 )0(),( aaa 上的函数可表示成一个奇函数与一个偶函数之和,
四、设 )( xf 是以 2 为周期的函数,
且
10,0
01,
)(
2
x
xx
xf,试在 ),( 上绘出
)( xf 的图形,
五、证明：两个偶函数的乘积是偶函数,两个奇函数的乘积是偶函数，偶函数与奇函数的乘积是奇函数,
六、证明函数
acx
bax
y
的反函数是其本身,
七、求 xx
xx
ee
eexf
)( 的反函数，并指出其定义域,
练习题答案一,1,
2
2
5
t
t?,
22
2
)1(
2
)1(5
t
t ； 2,1,1 ；
3,(4,6 ) ； 4,]2,0(?,
七,)1,1(,
1
1
ln?
x
x
y,
考核形式 考试（ 4+7=11学分）
课堂纪律 作业问题 答疑辅导学习方法 真、苦、巧、活课前预习、重点听讲、简记笔记、
整理咀嚼、后作练习参 考 书 目
＜工科数学分析基础＞
马知恩 等编 （高教出版社）
＜高等数学释疑解难＞
工科数学课委会编（高教出版社）
＜高等数学辅导＞
盛祥耀 等编（清华大学出版社）
＜高等数学解题方法及同步训练＞
同济大学编（同济大学出版社）
＜高等数学习题课教程＞
黄松奇 等编 （气象出版社）
我们这门课程叫高等数学，它的内容包括一元和多元微积分学，无穷级数论和作为理论基础的极限理论，以及作为一元微积分学的简单应用 —
— 常微分方程。由于构成它的主体是一元函数微积分学，所以有时又称为微积分。
17世纪（ 1763年） Descartes建立了解析几何，同时把变量引入数学，对数学的发展产生了巨大的影响，使数学从研究常量的初等数学进一步发展到研究变量的高等数学。微积分是高等数学的一个重要的组成部分，是研究变量间的依赖关系 —— 函数的一门学科，是学习其它自然科学的基础。
高等数学研究的主要对象是函数，主要研究函数的分析性质（连续、可导、可积等）和分析运算
（极限运算、微分法、积分法等）。那么高等数学用什么方法研究函数呢？这个方法就是极限方法，
也称为无穷小分析法。从方法论的观点来看，这是高等数学区别于初等数学的一个显著标志。
由于高等数学的研究对象和研究方法与初等数学有很大的不同，因此高等数学呈现出以下显著特点：
概念更复杂 理论性更强表达形式更加抽象推理更加严谨因此在学习高等数学时，应当认真阅读和深入钻研教材的内容，一方面要透过抽象的表达形式，深刻理解基本概念和理论的内涵与实质，以及它们之间的内在联系，正确领会一些重要的数学思想方法，另一方面也要培养抽象思维和逻辑推理的能力。
学习数学，必须做一定数量的习题，做习题不仅是为了掌握数学的基本运算方法，而且也可以帮助我们更好地理解概念、理论和思想方法。但我们不应该仅仅满足于做题，更不能认为，只要做了题，就算学好了数学。
高等数学中几乎所有的概念都离不开极限，因此极限概念是高等数学的重要概念，极限理论是高等数学的基础理论，极限是高等数学的精华所在，是高等数学的灵魂。因此很好地理解极限概念是学习好微积分的关键，同时也是从初等数学迈入高等数学的一个重要阶梯。
极限是研究在指定的过程中某变量的变化趋势，这里所讲的变化趋势有其明确的含义：不管所指定的变化过程多么复杂，我们所关心的仅仅是变量变化的终极目标，若这个终极目标存在，就称之为变量的极限本章我们首先介绍极限理论的基本概念、运算和性质，然后讨论函数的连续性重点极限概念，无穷小与极限的关系，极限运算法则，
两个重要极限，连续概念，初等函数的连续性，间断点及其分类难点极限概念及求极限的方法技巧基本要求
① 能准确叙述并深刻理解极限定义，明确其几何意义，会用定义验证极限
② 正确理解无穷小量及其与极限的关系
③ 牢固掌握极限运算法则，极限的性质，尤其是函数 极限的保号性质
④ 理解极限存在准则，熟记两个重要极限及其证明方法，灵活地运用它们及各种变形公式求极限
⑤ 正确理解连续概念，理解间断点的分类
⑥ 理解初等函数的连续性，掌握闭区间上连续函数的性质一、基本概念
1.集合,具有某种特定性质的事物的 总体,
组成这个集合的事物称为该集合的 元素,
,Ma?,Ma?
},,,{ 21 naaaA 有限集
}{ 所具有的特征xxM? 无限集
.,,的子集是就说则必若 BABxAx
.BA?记作数集分类,N----自然数集 Z----整数集
Q----有理数集 R----实数集数集间的关系,,,,RQQZZN
.,,相等与就称集合且若 BAABBA )( A?
例如 },2,1{?A
},023{ 2 xxxC,CA?则不含任何元素的集合称为 空集,)(?记作例如,}01,{ 2 xRxx
规定 空集为任何集合的子集,
2.区间,是指介于某两个实数之间的全体实数,
这两个实数叫做区间的端点,
.,,baRba 且
}{ bxax 称为开区间,),( ba记作
o xa b
}{ bxax 称为闭区间,],[ ba记作
o xa b
}{ bxax 称为半开区间,),[ ba记作
}{ bxax 称为半开区间,],( ba记作有限区间
}{),[ xaxa }{),( bxxb
无限区间
o xa
o xb
区间长度的定义,
两端点间的距离 (线段的长度 )称为区间的长度,
3.邻域,,0, 且是两个实数与设 a
,}{ 邻域的称为点数集 aaxx
,叫做这邻域的中心点 a,叫做这邻域的半径?
.}{)( axaxaU
xaaa
,邻域的去心的点?a ).(0 aU?记作
.}0{)( axxaU
4.绝对值,
0
0
aa
aaa
)0(?a
运算性质,;baab? ;b
a
b
a?
.yxyx绝对值不等式,
)0( aax ;axa
)0( aax ;axax 或绝对值不等式的两个变形公式：
||||||)1( yxyx
||||||)2( yxyx
绝对值不等式的证明
① ||||,|||| yyyxxx
两式相加得
|)||(||)||(| yxyxyx
|||||| yxyx
② 几何直观
③ 分四种情况验证
0,0)1( yx
0,0)2( yx
0,0,0)3( yxyx
0,0,0)4( yxyx
x
y
x+y
④ 在复数范围内成立
idcyibax,记 )()( dbicayx则
222 )()(|| dbcayx
222 ||||||2|||)||(| yyxxyx而
22222222 2 dcdcbaba
bdacdcbayxyx 222|||)||(| 222222
为证三角不等式只须证明
2222 dcbabdac
为证上式，又只须证明
))(()( 22222 dcbabdac
又只须证明 2222))((2 cbdabcad
由基本不等式 222 BAAB 上式是显然的对三角不等式及其证明方法要加深印象，深刻理解，灵活运用，后面将要讲到的极限在很多情况下要用到三角不等式来对不等式进行放大和缩小。
|||||||| yyxyyxx
|||||| yxyx
同理 |||||| xyyx
|||||| yxyx
二、函数概念例 圆内接正多边形的周长
3S 4S 5S 6S
nnrS n
s i n2
,5,4,3?n
圆内接正 n边形
O
rn?
定义 设 x和 y是两个变量,D是一个给定的数集,
若对于 x ∈ D,变量 y按照确定的法则总有确定的数值和它对应，则称 y是 x的函数记作 )( xfy?
自变量因变量
.)(,000 处的函数值为函数在点称时当 xxfDx?
.}),({ 称为函数的值域函数值全体组成的数集
DxxfyyW
函数的两要素,定义域 与 对应法则,
( )D 0xx 自变量
( )W )( 0xfy
对应法则 f
因变量约定,定义域是自变量所能取的使算式有意义的一切实数值,
21 xy例如,]1,1[,?D
21
1
xy例如,)1,1(,?D
如果自变量在定义域内任取一个数值时，对应的函数值总是只有一个，这种函数叫做单值函数，否则叫与多值函数．
o x
y
y
x
),( yx
D
W
．例如,222 ayx
定义,
.)(
}),(),{(
的图形函数称为点集
xfy
DxxfyyxC
几个特殊的函数举例
(1) 符号函数
01
00
01
s gn
x
x
x
xy
当当当
xxx s g n
1
-1
x
y
o
(2) 取整函数 y=[x]
[x]表示不超过 x 的最大整数
1 2 3 4 5
-2
-4
-4 -3 -2 -1
4 3 2 1
-1
-3
x
y
o
阶梯曲线
(3) 狄利克雷函数
是无理数时当是有理数时当
x
xxDy
0
1)(
有理数点无理数点
1
x
y
o
(4) 取最值函数
)}(),(m a x { xgxfy? )}(),(m i n { xgxfy?
y
xo
)(xf
)(xg
y
xo
)(xf
)(xg
在自变量的不同变化范围中,对应法则用不同的式子来表示的函数,称为 分段函数,
0,1
0,12)(,
2 xx
xxxf例如 12 xy12 xy
(5)绝对值函数
0,
0,||
xx
xxxy
o x
y
定义域 R 值域 ),0[
例 1 脉冲发生器产生一个单三角脉冲,其波形如图所示,写出电压 U与时间 的函数关系式,)0(?tt
解 U
to
E
),2( E?
)0,(?
2
单三角脉冲信号的电压
,]2,0[ 时当t
t
E
U
2
;2 tE
,],2( 时当t
),(
2
0
0
t
E
U
)(2 tEU即
,),( 时当t,0?U
其表达式为是一个分段函数,)( tUU
),(,0
],
2
(),(
2
]
2
,0[,
2
)(
t
tt
E
tt
E
tU
U
to
E
),2( E?
)0,(?
2
例 2
.)3(,212 101)( 的定义域求函数设?
xf
x
xxf
解
212
101)(
x
xxf?
2312
1301)3(
x
xxf
122
231
x
x
故 ]1,3[,fD
三、函数的特性
1．函数的有界性,
,)(,,0,成立有若 MxfXxMDX
..)( 否则称无界上有界在则称函数 Xxf
M
-M
y
xo
y=f(x)
X有界
M
-M
y
xo X0
x
无界
2．函数的单调性,
,,)( DIDxf?区间的定义域为设函数
,,2121 时当及上任意两点如果对于区间 xxxxI?
),()()1( 21 xfxf?恒有;)( 上是单调增加的在区间则称函数 Ixf
)(xfy?
)( 1xf
)( 2xf
x
y
o
I
,,2121 时当及上任意两点如果对于区间 xxxxI?
),()()2( 21 xfxf?恒有;)( 上是单调减少的在区间则称函数 Ixf
)(xfy?
)( 1xf
)( 2xf
x
y
o
I
,,)( DIDxf?区间的定义域为设函数
3．函数的奇偶性,
有对于关于原点对称设,,DxD
)()( xfxf ;)( 为偶函数称 xf
y
x
)( xf?
)( xfy?
o x-x
)(xf
偶函数有对于关于原点对称设,,DxD
)()( xfxf ;)( 为奇函数称 xf
)( xf?
y
x
)(xf
o x
-x
)( xfy?
奇函数
4．函数的周期性,
,)( Dxf 的定义域为设函数 如果存在一个不为零的
.)()( 恒成立且 xflxf
为周则称 )( xf,)(,,DlxDxl使得对于任一数
.)(,的周期称为期函数 xfl
（通常说周期函数的周期是指其最小正 周期 ）,
2l? 2l23l? 23l
四、反函数
x
y
D
W
)( xfy?函数
o x
y
D
W
)( yx反函数
o
)( xfy?直接函数
x
y
o
),( abQ
),( baP
)( xy反函数直接函数与反函数的图形关于直线 对称,xy?
例 3,0
1)(
Qx
QxxD设
.))(().21(),57( 的性质并讨论求 xDDDD
解,1)57(D,0)21(D,1))((?xDD
单值函数,有界函数,
偶函数,不是单调函数,
周期函数 (无最小正周期 ) o x
y
1
思考题设 0 x,函数值
21)1( xx
x
f,求函数 )0()( xxfy 的解析表达式,
思考题解答设 u
x?
1
则
2
111
uuuf,
1 2
u
u
故 )0(.11)(
2
xx xxf
练 习 题一,填空题,
1,若
2
2
51
t
tt
f
,则 _ _ _ _ _ _ _ _ _ _)(?tf,
_ _ _ _ _ _ _ _ _ _)1(
2
tf,
2,若
3
,s i n
3
,1
)(
xx
x
t,
则 )
6
(
=_________,)
3
(
=_________,
3,不等式
15x
的区间表示法是 _________,
4,设
2
xy?
,要使
),0(?Ux?
时，
)2,0(Uy?
,
须
__________,
二、证明 xy lg? 在 ),0( 上的单调性,
三、证明任一定义在区间 )0(),( aaa 上的函数可表示成一个奇函数与一个偶函数之和,
四、设 )( xf 是以 2 为周期的函数,
且
10,0
01,
)(
2
x
xx
xf,试在 ),( 上绘出
)( xf 的图形,
五、证明：两个偶函数的乘积是偶函数,两个奇函数的乘积是偶函数，偶函数与奇函数的乘积是奇函数,
六、证明函数
acx
bax
y
的反函数是其本身,
七、求 xx
xx
ee
eexf
)( 的反函数，并指出其定义域,
练习题答案一,1,
2
2
5
t
t?,
22
2
)1(
2
)1(5
t
t ； 2,1,1 ；
3,(4,6 ) ； 4,]2,0(?,
七,)1,1(,
1
1
ln?
x
x
y,
