初等函数的连续性一、四则运算的连续性定理 1
.
)0)((
)(
)(
),()(),()(
,)(),(
0
0
0
处也连续在点则处连续在点若函数
x
xg
xg
xf
xgxfxgxf
xxgxf
例如,,),(c o s,s i n 内连续在xx
.cs c,s ec,co t,t a n 在其定义域内连续故 xxxx
二、反函数与复合函数的连续性定理 2 严格单调的连续函数必有严格单调的连续反函数,
例如,,]2,2[s i n 上单调增加且连续在 xy
.]1,1[a r c s i n 上也是单调增加且连续在故 xy;]1,1[a r c c o s 上单调减少且连续在同理 xy
.],[c o t,a r c t a n 上单调且连续在 xa r cyxy
反三角函数在其定义域内皆连续,
定理 3
)].(l i m[)()]([l i m
,)(,)(l i m
00
0
xfafxf
aufax
xxxx
xx
则有连续在点函数若证,)( 连续在点 auuf
.)()(
,,0,0
成立恒有时使当
afuf
au
,)(l i m 0 axxx又
,0,0,0 0 时使当对于 xx
.)( 成立恒有 auax
将上两步合起来,
,0,0,0 0 时使当 xx
)()]([)()( afxfafuf.成立
)()]([lim 0 afxfxx )].(lim[ 0 xxx
意义 1.在定理的条件下，极限符号可以与函数符号互换，即极限号可以穿过外层函数符号直接取在内层，
.))((.2 的理论依据变量代换 xu
注 1.定理的条件,内层函数有极限，外层函数在极限值点处连续可得类似的定理换成将 xxx 0.2
例 1,
)1l n (l i m
0 x
x
x
求解 x
x x
1
0 )1l n (lim原式
])1(l i ml n [ 10 xx xeln?,1?
例 2,1l i m 0 xe
x
x
求解,1 ye x令 ),1l n ( yx则
.0,0 yx 时当
)1l n (lim 0 y
y
y?
原式
y
y
y
10
)1l n (
1lim
,1?
同理可得,ln1lim 0 axa
x
x
定理 4
.)]([
,)(,)(
,)(
0
000
0
也连续在点则复合函数连续在点而函数且连续在点设函数
xxxfy
uuufyux
xxxu
注意 定理 4是定理 3的特殊情况,
例如,,),0()0,(1 内连续在xu
,),(s i n 内连续在 uy
.),0()0,(1s i n 内连续在xy
三、初等函数的连续性
★ 三角函数及反三角函数在它们的定义域内是连续的,
★ )1,0( aaay x指数函数;),( 内单调且连续在
★ )1,0(l o g aaxy a对数函数;),0( 内单调且连续在
★?xy? xaa log,uay?,lo g xu a
,),0( 内连续在,不同值讨论?
(均在其定义域内连续 )
定理 5 基本初等函数在定义域内是连续的,
定理 6 一切初等函数在其 定义区间 内都是连续的,
定义区间是指包含在定义域内的区间,
注意 1,初等函数仅在其定义区间内连续,在其定义域内不一定连续 ;
例如,,1c o s xy?,4,2,0,xD
这些孤立点的邻域内没有定义,
,)1( 32 xxy,1,0, xxD 及在 0点的邻域内没有定义,
.),1[ 上连续函数在区间
注意 2,初等函数求极限的方法 代入法,
)()()(lim 00
0
定义区间 xxfxfxx
例 3 求 x
x
s inlnlim
2
解 是初等函数xy s i nln?
它的一个定义区间是 ),0(? ),0(20x而
2s inlns inlnlim
2
x
x
0?
例 4,11l i m
2
0 x
x
x
求解 )11( )11)(11(l i m 2
22
0
xx
xx
x
原式
11l i m 20 x
x
x 2
0?,0?
例 5 求 )1ar c s i n(lim 2 xxxx
解 都和时，当 22 1 xxxx
不能应用差的极限运算法则，须变形
—— 先分子有理化，然后再求极限
)1(lim 2 xxxx
xx
xxxxx
x
1
)1)(1(lim
2
22
111
1
lim
1
lim
2
2
x
xx
x
xx
2
1?
)1a r c s in (li m 2 xxxx
)]1(lima r c s in [ 2 xxxx
62
1a r cs i n
四、小结连续函数的和差积商的连续性,
反函数的连续性,
复合函数的连续性,
初等函数的连续性,
定义区间与定义域的区别 ;
求极限的又一种方法,
思考题 设 xxf s gn)(?,21)( xxg,试研究复合函数 )]([ xgf 与 )]([ xfg 的连续性,
思考题解答
21)( xxg
0,1
0,0
0,1
)(
x
x
x
xf
)1s g n ()]([ 2xxgf 1?
在 ),( 上处处连续 )]([ xgf
2s gn1)]([ xxfg
0,1
0,2
x
x
在 )0,( ),0( 上处处连续 )]([ xfg
0?x 是它的可去间断点
.
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,)(),(
0
0
0
处也连续在点则处连续在点若函数
x
xg
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xf
xgxfxgxf
xxgxf
例如,,),(c o s,s i n 内连续在xx
.cs c,s ec,co t,t a n 在其定义域内连续故 xxxx
二、反函数与复合函数的连续性定理 2 严格单调的连续函数必有严格单调的连续反函数,
例如,,]2,2[s i n 上单调增加且连续在 xy
.]1,1[a r c s i n 上也是单调增加且连续在故 xy;]1,1[a r c c o s 上单调减少且连续在同理 xy
.],[c o t,a r c t a n 上单调且连续在 xa r cyxy
反三角函数在其定义域内皆连续,
定理 3
)].(l i m[)()]([l i m
,)(,)(l i m
00
0
xfafxf
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xx
则有连续在点函数若证,)( 连续在点 auuf
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,,0,0
成立恒有时使当
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,)(l i m 0 axxx又
,0,0,0 0 时使当对于 xx
.)( 成立恒有 auax
将上两步合起来,
,0,0,0 0 时使当 xx
)()]([)()( afxfafuf.成立
)()]([lim 0 afxfxx )].(lim[ 0 xxx
意义 1.在定理的条件下，极限符号可以与函数符号互换，即极限号可以穿过外层函数符号直接取在内层，
.))((.2 的理论依据变量代换 xu
注 1.定理的条件,内层函数有极限，外层函数在极限值点处连续可得类似的定理换成将 xxx 0.2
例 1,
)1l n (l i m
0 x
x
x
求解 x
x x
1
0 )1l n (lim原式
])1(l i ml n [ 10 xx xeln?,1?
例 2,1l i m 0 xe
x
x
求解,1 ye x令 ),1l n ( yx则
.0,0 yx 时当
)1l n (lim 0 y
y
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原式
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y
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同理可得,ln1lim 0 axa
x
x
定理 4
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0
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也连续在点则复合函数连续在点而函数且连续在点设函数
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uuufyux
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注意 定理 4是定理 3的特殊情况,
例如,,),0()0,(1 内连续在xu
,),(s i n 内连续在 uy
.),0()0,(1s i n 内连续在xy
三、初等函数的连续性
★ 三角函数及反三角函数在它们的定义域内是连续的,
★ )1,0( aaay x指数函数;),( 内单调且连续在
★ )1,0(l o g aaxy a对数函数;),0( 内单调且连续在
★?xy? xaa log,uay?,lo g xu a
,),0( 内连续在,不同值讨论?
(均在其定义域内连续 )
定理 5 基本初等函数在定义域内是连续的,
定理 6 一切初等函数在其 定义区间 内都是连续的,
定义区间是指包含在定义域内的区间,
注意 1,初等函数仅在其定义区间内连续,在其定义域内不一定连续 ;
例如,,1c o s xy?,4,2,0,xD
这些孤立点的邻域内没有定义,
,)1( 32 xxy,1,0, xxD 及在 0点的邻域内没有定义,
.),1[ 上连续函数在区间
注意 2,初等函数求极限的方法 代入法,
)()()(lim 00
0
定义区间 xxfxfxx
例 3 求 x
x
s inlnlim
2
解 是初等函数xy s i nln?
它的一个定义区间是 ),0(? ),0(20x而
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2
x
x
0?
例 4,11l i m
2
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x
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22
0
xx
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原式
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x
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例 5 求 )1ar c s i n(lim 2 xxxx
解 都和时，当 22 1 xxxx
不能应用差的极限运算法则，须变形
—— 先分子有理化，然后再求极限
)1(lim 2 xxxx
xx
xxxxx
x
1
)1)(1(lim
2
22
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1
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1a r cs i n
四、小结连续函数的和差积商的连续性,
反函数的连续性,
复合函数的连续性,
初等函数的连续性,
定义区间与定义域的区别 ;
求极限的又一种方法,
思考题 设 xxf s gn)(?,21)( xxg,试研究复合函数 )]([ xgf 与 )]([ xfg 的连续性,
思考题解答
21)( xxg
0,1
0,0
0,1
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在 ),( 上处处连续 )]([ xgf
2s gn1)]([ xxfg
0,1
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x
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在 )0,( ),0( 上处处连续 )]([ xfg
0?x 是它的可去间断点
