物理学第五版第 一 章 质点运动学 27/41
矢量分析基础
22
0
1
4 /4
q
y y l
22
22
0
4ln
4 4
y l lq
l y l l


22
22
( ) l n l n( ) l n( )y l lf y u l u l
y l l


( ) 1 1()d f y f u u
d y u y u l u l y


22 2 2 2 2
( ) 2 2,d f y l y l
d y u l y l y y l


2 22
2
2
2
2
2
l n,(,1),,u y l uy l l
yl
y
y yll



80份
1+1份物理学第五版第 一 章 质点运动学 28/41
矢量分析基础
22
0
1
4 /4
q
y y l
22
22
0
4ln
4 4
y l lq
l y l l


22
2 2 2 2
22
( ) l n l n( ) l n((3 )),y l lf y y l l y l l
y l l


()df y
dy
22
22
( ) l n( 4),y l lfy
y l l


22
22
22
( ) l n 2 l n( ) l n 2( 2),y l lf y y l l y
y l l


5份
15份
26份 32份物理学第五版第 一 章 质点运动学 29/41
附录 1:直角坐标系
x
y
z
o
ze
ye
xe
(,,)P x y z
y
x
z
a
坐标范围,,x y z
单位矢量,,x y ze e e
单位矢量之间关系矢量表示
( ) (,,) (,,) (,,) (,,)x x y y z za l a x y z a x y z e a x y z e a x y z e
矢量分析基础
1,
0,
,,
0
x x y y z z
x y y z x z
x y z y z x x z y
x x y y z z
e e e e e e
e e e e e e
e e e e e e e e e
e e e e e e




物理学第五版第 一 章 质点运动学 30/41
长度元 x y zd l d x e d y e d z e
面积元
,,,x y z
x x y y z z
d S d y d z d S d x d z d S d x d y
d S d S e d S e d S e


体积元 d V d x d y d z?
哈密顿算符
x y ze e ex y z


矢量分析基础附录 1:直角坐标系
x
y
z
o
ze
ye
xe
(,,)P x y z
y
x
z
a
物理学第五版第 一 章 质点运动学 31/41
梯度
x y ze e ex y z


散度
yx zaa aa
x y x


旋度
x y z
x y z
e e e
a
x y z
a a a



拉普拉斯运算
222
2
2 2 2x y z


矢量分析基础附录 1:直角坐标系
x
y
z
o
ze
ye
xe
(,,)P x y z
y
x
z
a
物理学第五版第 一 章 质点运动学 32/41
附录 2:圆柱坐标系坐标范围 0,0 2,rz
单位矢量,,rze e e?
(,,)P r z?
x
z
o y
z
r
re
ze
e?
坐标变换关系
2 2 2,t a n,,
c os,si n,
y
r x y z z
x
x r y r z z



单位矢量之间关系
1,
0,
,,,
0.
r r z z
r z r z
r z z r r z
r r z z
e e e e e e
e e e e e e
e e e e e e e e e
e e e e e e








矢量分析基础物理学第五版第 一 章 质点运动学 33/41
与直角坐标系单位矢量之间关系
c o s s i n,s i n c o s,
c o s s i n,s i n c o s,
r x y x y z z
x r y r z z
e e e e e e e e
e e e e e e e e





矢量分析基础
(,,)P r z?
x
z
o y
z
r
re
ze
e?
附录 2:圆柱坐标系
c os si n 0
si n c os 0
0 0 1
c os si n 0
si n c os 0
0 0 1
xr
y
z z
x r
y
zz
ee
ee
e e
e e
ee
ee


















ze
ye
xe
物理学第五版第 一 章 质点运动学 34/41
矢量表示
( ) (,,) (,,) (,,) (,,)r r z za l a r z a r z e a r z e a r z e
a
附录 2:圆柱坐标系
(,,)P r z?
x
z
o y
z
r
re
ze
e?
ze
ye
xe
c os sin 0
sin c os 0
0 0 1
c os sin 0
sin c os 0
0 0 1
xr
y
z z
x r
y
zz
aa
aa
a a
a a
aa
aa















矢量分析基础物理学第五版第 一 章 质点运动学 35/41
长度元
rzd l d r e r d e d z e
面积元
,,rz
r r z z
d S r d d z d S d r d z d S r d r d
d S d S e d S e d S e



体积元 d V r d r d d z
哈密顿算符
1
rze e er r z


附录 2:圆柱坐标系
a
(,,)P r z?
x
z
o y
z
r
re
ze
e?
ze
ye
xe
矢量分析基础物理学第五版第 一 章 质点运动学 36/41
11( ) ( ) z
r
a aa ra
r r r z


散度旋度
11
rz
rz
e e e
rr
a
rz
a ra a



拉普拉斯运算
22
2
2 2 2
11()r
r r r r z



梯度 1
rze e er r z?



矢量分析基础附录 2:圆柱坐标系
a
(,,)P r z?
x
z
o y
z
r
re
ze
e?
ze
ye
xe
物理学第五版第 一 章 质点运动学 37/41
坐标范围 0,0,0 2r
单位矢量,,
re e e
坐标变换关系
22
2 2 2 2,ta n,ta n,
s in c o s,s in s in,c o s
xy y
r x y z
zx
x r y r z r




单位矢量之间关系
1,
0,
,,,
0.
rr
rr
r r r
rr
e e e e e e
e e e e e e
e e e e e e e e e
e e e e e e








(,,)Pr
re
e?
e?
x
z
o
y
r
矢量分析基础附录 3:球坐标系物理学第五版第 一 章 质点运动学 38/41
与直角坐标系单位矢量之间关系
si n c os si n si n c os,
c os c os c os si n si n,
si n c os
si n c os c os c os si n,
si n si n c os si n c os,
c os si n
r x y z
x y z
xy
xr
yr
zr
e e e e
e e e e
e e e
e e e e
e e e e
e e e














矢量分析基础
(,,)Pr
re
e?
e?
x
z
o
y
r
附录 3:球坐标系
ze
ye
xe
物理学第五版第 一 章 质点运动学 39/41
与直角坐标系单位矢量之间关系
si n c os si n si n c os
c os c os c os si n si n
si n c os 0
si n c os c os c os si n
si n si n c os si n
xr
y
z
x
y
z
ee
ee
e e
e
e
e
















c os
c os si n 0
r
e
e
e





(,,)Pr
re
e?
e?
x
z
o
y
r
a
ze
ye
xe矢量表示
( ) (,,) (,,) (,,) (,,)rra l a r a r e a r e a r e
附录 3:球坐标系物理学第五版第 一 章 质点运动学 40/41
si n c os si n si n c os
c os c os c os si n si n
si n c os 0
si n c os c os c os si n
si n si n c os si n c os
c os
xr
y
z
x
y
z
aa
aa
a a
a
a
a
















si n 0
r
a
a
a





矢量表示
( ) (,,) (,,) (,,) (,,)rra l a r a r e a r e a r e
附录 3:球坐标系
(,,)Pr
re
e?
e?
x
z
o
y
r
a
ze
ye
xe
矢量分析基础物理学第五版第 一 章 质点运动学 41/41
长度元 s i n
rd l d r e r d e r d e
面积元
2 sin,sin,
r
rr
dS r d d dS r drd dS rdrd
dS dS e dS e dS e




体积元 2 s ind V r d r d d
哈密顿算符
11
sinre e er r r


矢量分析基础附录 3:球坐标系
(,,)Pr
re
e?
e?
x
z
o
y
r
a
ze
ye
xe
物理学第五版第 一 章 质点运动学 42/41
散度旋度拉普拉斯运算
2
22
2 2 2 2 2
1 1 1( ) ( si n )
si n si nrr r r r r




2
1 1 1
s in s in
s in
r
r
e e e
r r r
a
r
a r a r a







2
2
1 1 1( ) ( si n ) ( )
si n si nr
aa r a a
r r r r



梯度 11
sinre e er r r




矢量分析基础附录 3:球坐标系
(,,)Pr
re
e?
e?
x
z
o
y
r
a
ze
ye
xe
物理学第五版第 一 章 质点运动学 43/41
矢量分析基础附录 4:高斯定理
=
SV
a d S a d V
附录 5:斯托克斯定理
=
LS
a d l a d S