1-1 质点运动的描述第一章 质点运动学物理学第五版
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一参考系坐标系质点
1 参考系 (Frame of reference)
选取的参考系不同，对物体运动情况的描述不同，这就是 运动描述的相对性,
The chosen standard objects as a reference
of the motion is called a reference frmae
The motion looks differently with respect to
different reference,this is called
relativity of descriptionof motion
为描述物体的运动而选择的标准物叫做 参考系,
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参考系选定以后，为了定量描述物体的运动，须在参考系上选择一个 坐标系 。
2 坐标系 (Coordinate system )
直角坐标系
(Cartesian coordinate)
z
x
yo
P(x,y,z)
z
y
x
z
ρx y
o
z
P(ρ,?,z )
球坐 标系
(Spherical coordinate )
柱坐标系
(Cylindrical coordinate )
z
o?r
x
y
P(r,?,? )
After the reference frmae is selected,a coordinate
system must be constructed on it to quantitatively
describe motion of objects
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质点是经过科学抽象而形成的理想化的物理模型,目的是为了突出研究对象的 主要性质,
暂不考虑一些 次要因素,
如果我 们研究某一物体的运动，而可以忽略其大小和形状对物体运动的影响，可以把物体当作是一个具有质量的点（即 质点 ）来处理,
3 质点 (Mass points)
质点,具有一定质量没有形状或大小的理想物体
Mass points,it is the ideal objects with
certain mass & withouta shape or size
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主要性质次要因素具有质量形状大小
物体能否抽象为质点，视具体情况而定．
Main characters Possessive mass Occupative spatial position
占有空间位置
Secondary factors shape or size
Objects can be or cannot de described as
mass points,depending on the specific case
地 — 日平均间距：
1.5?× 108 km
地球半径：
6.37?× 103 km太阳地球
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二 位置矢量 运动方程 位移
1 位置矢量 (Position vector)
确定质点 P某一时刻在坐标系里的位置的物理量称 位置矢量,简称位矢,r?
Position vector Equation of motion Displacement
Physical quantity of position determined mass
point P in the coordinate system is called
position vector
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r?
*P
x
y
z x
z
y
o
kzjyixr
2 2 2r r x y z
位矢 r的值为式中 i,j,k分别为 x、
y,z 方向的 单位矢量
(Unit vector).
ik
j
(,,)x y z
直角坐标系 (Cartesian coordinate)
位矢 r的 方向余弦 (Directional cosine)
c o s,c o s,c o sx y zr r r
2 2 2c o s c o s c o s 1
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x
z
y
o
2运动方程 (Equation of motion )
ktzjtyitxtr )()()()(
()
()
()
x x t
y y t
z z t
分量式 (Component equation)
从中消去参数 t得轨迹方程 (Trajectory equation)
0),,(?zyxf
)(tr?
)(tx
)(ty
)(tz
P (,,)x y z
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3位移 (Displacement )
x
y
o
描述质点位置矢量发生变化的物理量
Physical quantity describing position vector
variation of mass point
经过时间间隔 △ t后,
质点位置矢量发生变化,
由始点 A 指向终点 B 的有向线段 AB 称为点 A
到 B 的位移矢量 △ r,位移矢量也简称位移,
B
Br
Ar
A r
BAr r r
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Ar
B
Br
A r
x
y
o
A A A
B B B
r x i y j
r x i y j
BxAx
By
Ay
AB rrr
所以位移
jyyixxr ABAB )()(
AB xx?
AB yy?
若质点在 三维 空间中运动,则在直角坐标系 Oxyz中位移为
kzzjyyixxr ABABAB )()()(
222 zyxr
位移的大小为
4路程 (Distance )(△ s):
s?
The lngth of the actual trajectory of mass point
质点实际运动轨迹的长度
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位移的物理意义
A) 确切反映物体在空间位置的变化,与路径无关，只决定于质点的始末位置,
B） 反映 了运动的矢量性和叠加性,
Physical meaning of Displacement
Exactly reflect the changes of spatial position
of objects,nothing to do with the path,only a
decision on starting & ending position
Reflect the vector property &
superposition property of motion
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2 2 2
2 2 2
2 1 2 1 2 1( ) ( ) ( )
r x y z
x x y y z z
rr
2 2 2 2 2 2
2 2 2 1 1 1r x y z x y z
注意
s?
x
y
O
z
2 1 2 1 2 1( ) ( ) ( )
r xi y j z k
x x i y y j z z k
位矢长度的变化
1 1 1 1
2 2 2 2
(,,)
(,,)
P x y z
P x y z
)( 1tr?
1P
)( 2tr?
2Pr
r?
Changes of length of position vector
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x
y
O
z
注意
,,r r r 的 意 义 。
1r
1P
2r
2Pr
r?
1 1 1 1
2 2 2 2
(,,)
(,,)
P x y z
P x y z
2
1
2
1
2
1 z yx2
2
2
2
2
2 z yx
rΔ
2 2 2
2 1 2 1 2 1( ) ( ) ( )r x x y y z z
2 1 2 1 2 1( ) ( ) ( )r x x i y y j z z k
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s?
)( 1tr?
1p
)( 2tr?
2pr
x
y
O
z
's?
讨论
(A) 两点间的路程是不唯一的,而位移是唯一的,
位移与路程的区别
P1P2 两点间的路程可以是 △ s或 △ s’ 而位移 △ r
是唯一的,
Distance between two
points is not only,and
the displacement is only
The distinction between displacement & distance
1-1 质点运动的描述第一章 质点运动学物理学第五版
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(B) 一般情况,位移大小不等于路程,
rs
(D)位移是矢量,路程是标量,
(C)什么情况下？ sr
不改变方向的直线运动 ;
当 △ t→0 时 sr
In general,the size of displacement is not equal to distance
Under what circumstances?
Does not change the direction
of linear motion;when △ t→0
s?
)( 1tr?
1p
)( 2tr?
2pr
x
y
O
z
's?
Displacement is a vector,distance is a scalar
1-1 质点运动的描述第一章 质点运动学物理学第五版
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三 速度 (Velocity)
1平均速度 (Average velocity)
r
)( ttr
B
)(tr?
A
x
y
o
s?
描述质点位置矢量变化快慢的物理量
Physical quantity describing the pace of
position vector variation of mass point
在 △ t时间内,质点从点
A 运动到点 B,其位移为
)()( trttrr
△ t时间内,质点的平均速度
rv
t
平均速度 与 同方向,rv
1-1 质点运动的描述第一章 质点运动学物理学第五版
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x y zi j i
t t t
v
平均速度大小 2 2 2
2 2 2( ) ( ) ( )
x y z
x y z
t t t
v v v + v
x y zi j kv v v v
r
)( ttr
B
)(tr?
A
x
y
o
s?
rv
t
,,x y zx y z
t t t
v v v
1-1 质点运动的描述第一章 质点运动学物理学第五版
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2瞬时速度 (Instantaneous velocity )
当 △ t→0 时平均速度的极限值叫做 瞬时速度,
简称 速度,
jtyitx
tt
00
l i ml i mv
t
r
t
r
t d
dl i m
0
v
As△ t → 0,the limit value of
the average velocity is called
the instantaneous velocity
(also called velocity in short)
1-1 质点运动的描述第一章 质点运动学物理学第五版
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当质点做曲线运动时,质点在某一点的速度方向就是沿该点曲线的切线方向,
sr dd当 △ t→0 时,
td
d e
t
sv t
r
t
r
t d
dl i m
0
v
When a mass point executes a
curvilinear movement,at some
point of the curve the direction
of the velocity of the mass point
is the direction of the tangent
line of the curve at the point
1-1 质点运动的描述第一章 质点运动学物理学第五版
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x
y
o
v?
2 2 2d d d( ) ( ) ( )
d d d
x y z
t t t
vv
瞬时速率：速度 v的大小称为速率
yv?
xv?
ji yx vvvj
t
yi
t
x
d
d
d
dv
若质点在 三维 空间中运动,其速度为
ktzjtyitx ddddddv
d
d
s
t
v
td
d e
t
sv
Instantaneous speed,The size
of velocity v is called speed
1-1 质点运动的描述第一章 质点运动学物理学第五版
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小结
1 位置矢量,r x i y j zk
2 位 移：
3 运动方程,( ) ( ) ( ) ( )r t x t i y t j z t k
( ) ( ) ( ( ) ( ) )
( ( ) ( ) ) ( ( ) ( ) )
r r t t r t x t t x t i
y t t y t j z t t z t k
4、轨迹方程：
(,,) 0f x y z?
二、速度,
1 平均速度：
一,位移：
x y zi j k
t t t
rv
t
d d d d
d d d d
r x y zi j k
t t t tv
2 瞬时速度：
t
d
d
s e
t
v
描述质点位矢发生变化的物理量描述质点位矢变化快慢的物理量
1-1 质点运动的描述第一章 质点运动学物理学第五版
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平均速率
t
s
v
r
)( ttr
B
)(tr?
A
x
y
o
s?
d
d
s
t
v
瞬时速率一运动质点在某瞬时位于矢径 r(x,y)的端点处，
其速度大小为
d( ),
d
rA
t
d( ),
d
rB
t
d( ),
d
rC
t
22dd( ),( ) ( )
dd
xyD
tt?注意
t
r
t
r
d
d
d
d
No No No
OK
讨论
1-1 质点运动的描述第一章 质点运动学物理学第五版
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例 1 设质点的运动方程为 ( ) ( ) ( ),r t x t i y t j
( ) 2x t t 2( ) 0,2 5 2y t t
解 （ 1）由题意可得速度分量分别为
d d 11,
d d 2xy
xy t
ttvv
1.5ijvt=3s时速度为速度 v与 x轴之间的夹角?3.56
1
5.1a r c t an
其中
（ 1）求 t=3s时的速度,（ 2） 作出质点的运动轨迹图,
速度 v的大小
221 1,5 3,2 5 1,8 /msv
1-1 质点运动的描述第一章 质点运动学物理学第五版
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（ 2） 运动方程
2
( ) 2
1( ) 2
4
x t t
y t t
由运动方程消去参数 可得轨迹方程为t
/mx
/my
0
轨迹图
2 4 6- 6 - 4 - 2
2
4
6
0?t s2?ts2t
s4t s4?t
21 3
4y x x
1-1 质点运动的描述第一章 质点运动学物理学第五版
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例 2 如图所示,A,B 两物体由一长为 l的刚性细杆相连,A,B 两物体可在光滑轨道上滑行,如物体 A
以恒定的速率 v向左滑行,当 α =600时,物体 B的速率为多少？
解 建立坐标系如图,
OAB为一直角三角形，刚性细杆的长度 l 为一常量
x
y
o
A
B
l
v?
物体 A 的速度
iitxixA vvv dd
物体 B 的速度
jtyiyB dd vv
1-1 质点运动的描述第一章 质点运动学物理学第五版
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y?2 2 2x = l
x
y
o
A
B
l
v?
两边求导得
0dd2dd2 tyytxx
即
t
x
y
x
t
y
d
d
d
d j
t
x
y
x
B
d
dv
y
x
t
xt an,
d
d v? jB
t a nvv
vB沿 y轴正向,当 α =600时 1,7 3?
Bvv
1-1 质点运动的描述第一章 质点运动学物理学第五版
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描述质点速度变化快慢的物理量
x
y
O
四加速度 (Acceleration)
Physical quantity describing the pace
of velocity variation of mass point
Bv
B
Av
Bv
v
Av
A单位时间内的速度增量即平均加速度
1平均加速度
(Average acceleration)
a
t
v
与 同方向,?va
1-1 质点运动的描述第一章 质点运动学物理学第五版
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x
y
O
Bv
B
Av
Bv
v
Av
A
2 （瞬时）加速度 (Instantaneous acceleration)
As△ t → 0,the limit value of the
average acceleration is called the
instantaneous acceleration
(also called acceleration in short)
当 △ t→0 时平均加速度的极限值叫做 瞬时加速度,简称加 速度,
0
dl im
dt
a
tt
vv
1-1 质点运动的描述第一章 质点运动学物理学第五版
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x y za a i a j a k
2
2
2
2
2
2
d d
dd
d d
dd
d d
dd
x
x
y
y
x
a
tt
y
a
tt
a
tt
z
z
v
v
v z加速度大小
222
x y za a a a
2
2
dd
dd
ra
tt
v
加速度 j
tit
yx
d
d
d
d vv
加速度大小 22
0
lim yx
t
aa
t
a
v?
质点作三维运动时加速度为
1-1 质点运动的描述第一章 质点运动学物理学第五版
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？vv
( ) ( )t t tv v v
a c c b a bv
()tv ()ttv
v
O
a
b
c
)()( ttt vvv
o c o a?在 Ob上截取有
cbv
ntv v v
n acv
t cbv
abv
讨论速度大小变化速度方向变化 Change in velocity direction
Changes in velocity value
1-1 质点运动的描述第一章 质点运动学物理学第五版
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O
d?
d
aa
t
v
dv
()tv
( d )tt?v
( ) ( d )t t tvv
因为
d 0
dt
v
所以而例 匀速率圆周运动所以
t
a
d
d v?
d
0
d
aa
t
v
讨论
( ) ( d )t t tvv
1-1 质点运动的描述第一章 质点运动学物理学第五版
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三,加速度
1 平均加速度：
yx za i j k
t t t
vv vv
t
2 瞬时加速度：
2
2
2 2 2
2 2 2
dd ddd
d d d d d
d d d
d d d
yx zr
a i j k
t t t t t
xy
i j k
t t t
vv vv
z
描述质点速度变化快慢的物理量小结
2d
d tn
a e e
t?
vv
1-1 质点运动的描述第一章 质点运动学物理学第五版
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质点运动学两类基本问题一 由质点的运动方程可以求得质点在任一时刻的位矢、速度和加速度；
Two caterogiesof problemss in kinematics of mass point
One is looking for the position vector,velocity
& acceleration of mass point at any time with the
knomn equation of motion of mass point;
二 已知质点的加速度以及初始速度和初始位置,可求质点速度及其运动方程,
Two is looking for the velocity & equation of motion
of mass point with the knomn acceleration of mass
point & initial velocity and initial position;
1-1 质点运动的描述第一章 质点运动学物理学第五版
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)(ta?)(tr? ()tv
质点运动学两类基本问题
Two caterogies of problemss in kinematics of mass point
求导
Derivation
求导
Derivation
积分
Integration
积分
Integration
1-1 质点运动的描述第一章 质点运动学物理学第五版
34/48
解 （ 1）由运动方程，可得最初 2s内平均速度：
34 2 ( )x t t SI
（ 2） 1s末到 3s末的位移、平均速度；
（ 3） 1s末到 3s末的平均加速度,3s末的瞬时加速度。
例 3 一质点沿在 x轴运动坐标与时间的变化关系为：
求（ 1）在最初 2s内的平均速度,2s末的瞬时速度；
( 2 ) (0 ) 4/
20
x x x ms
t
v
由运动方程，可得 2s末的瞬时速度：
2
2
2
( 4 6 ) 2 0 /
t
t
dx t m s
dt
v
1-1 质点运动的描述第一章 质点运动学物理学第五版
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解 （ 2）由运动方程，可得 1s末到 3s末位移：
( 3 ) (1 ) 4 4x x x m
平均速度：
( 3 ) ( 1 ) 2 2 /
31
x x x ms
t
v
34 2 ( )x t t SI
（ 2） 1s末到 3s末的位移、平均速度；
（ 3） 1s末到 3s末的平均加速度,3s末的瞬时加速度。
求（ 1）在最初 2s内的平均速度,2s末的瞬时速度；
例 3 一质点沿在 x轴运动坐标与时间的变化关系为,
1-1 质点运动的描述第一章 质点运动学物理学第五版
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解 （ 3）由运动方程，可得任意时刻瞬时速度：
由定义，可得 1s末到 3s末的平均加速度：
2( 4 6 )dx t
dtv
( 3 ) (1 ) 2 4 /
31a m st
v v v
34 2 ( )x t t SI
（ 2） 1s末到 3s末的位移、平均速度；
（ 3） 1s末到 3s末的平均加速度,3s末的瞬时加速度。
求（ 1）在最初 2s内的平均速度,2s末的瞬时速度；
由瞬时速度，可得 3s末的瞬时加速度：
2
3
3
12 36 /t
t
da t m s
dt
v
例 3 一质点沿在 x轴运动坐标与时间的变化关系为：
1-1 质点运动的描述第一章 质点运动学物理学第五版
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2( 4 6 )dx t
dtv
( ) ( ) 1 2 6t t ta t t
tt
v v v
34 2 ( )x t t SI
平均速度：
12datdtv
讨论瞬时加速度：
平均加速度：
瞬时速度：
位移,2 2 3( ) ( ) 4 2 ( 3 3 )x x t t x t t t t t t t
224 6 6 2x t t t t
t
v
位矢：
1-1 质点运动的描述第一章 质点运动学物理学第五版
38/48
2( 4 6 )dx t
dtv
平均速度：
1ts?
讨论瞬时速度：
224 6 6 2x t t t t
t
v
v
t? 1
10?262?
10
2602?
100
2.62?
0.1
2.0602?
0.01
2.006002?
0.001
1,0t s t
2
0 1
1
4 6 2t
t
t
dx t
dt
vv
24 6 2tv
1-1 质点运动的描述第一章 质点运动学物理学第五版
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d
da t
v v解：由加速度定义
（ 1）经过多少时间后可以认为小球已停止运动,
0v
y
o
0
t
0
d d,tv
v
v
v
0
d e
d
ty
t
vv
000d e d
yt tyt v
（ 2）此球体在停止运动前经历的路程有多长？
0 e
tvv
1 0 ( 1 e ) mty
它的加速度为
0 10 j?v aj v
例 4 有 一个球体在某液体中竖直下落,其初速度为
1-1 质点运动的描述第一章 质点运动学物理学第五版
40/48
0
/my
/st
10
-1/m s?v
0v
0 /st
9,2 s,0,1 0mtyv
0 e
tvv 1 0 (1 e ) m
ty
v
/st
/my
0/10v 0/100v 0/1000v 0 /10000v
2.3 4.6 6.9 9.2
8.9974 9.8995 9.9899 9.9990
1-1 质点运动的描述第一章 质点运动学物理学第五版
41/48
解 （ 1）由参数方程
22 (1 9 2 ) ( )r t i t j S I
（ 2）在 t1=1s到 t2=2s时间内的平均速度；
（ 3） t1=1s时的速度及加速度。
求（ 1）质点的轨迹方程；
22,19 2x t y t
219 0.5yx消去 t 得质点的轨迹方程
（ 2）在 t1=1s到 t2=2s时间内的平均速度
26xyi j i j
tt
rv
t
例 5 质点在 Oxy面内运动，其运动方程为
1-1 质点运动的描述第一章 质点运动学物理学第五版
42/48
解
22 (1 9 2 ) ( )r t i t j S I
（ 2）在 t1=1s到 t2=2s时间内的平均速度；
（ 3） t1=1s时的速度及加速度。
求（ 1）质点的轨迹方程；
dd 24
dd
xyi j i t j
tt
v
22
22
dd 4
dd
xya i j j
tt
则 t1=1s时的速度：
则 t1=1s时的加速度：
24ijv
4aj?
（ 3）质点在任意时刻的速度和加速度分别为：
例 5 质点在 Oxy面内运动，其运动方程为
1-1 质点运动的描述第一章 质点运动学物理学第五版
43/48
解 （ 1）由加速度的定义，根据初始条件,t=0时
v0=0，积分可得：
（ 2）质点的轨道方程，并画出轨道的示意图。
6 4 ( )a i j S I例 6:1-15 一质点具有恒定加速度求（ 1）在任意时刻的速度和位置矢量；
在 t=0时，其速度为零，位移矢量
0 10ri?
tt
0 0 0d d ( 6 4 ) da t i j t
v v 64t i tjv
又由速度的定义，根据初始条件,t=0时 r0=10i，积分可得：
0
tt
00d d ( 6 4 ) dr v t t i t j t
r r 22(10 3 ) 2t i t jr
1-1 质点运动的描述第一章 质点运动学物理学第五版
44/48
解 （ 2）由（ 1）可得质点运动方程的分量式：
（ 2）质点的轨道方程，并画出轨道的示意图。
6 4 ( )a i j S I例 6:1-15 一质点具有恒定加速度求（ 1）在任意时刻的速度和位置矢量；
在 t=0时，其速度为零，位移矢量
0 10ri?
221 0 3,2x t y t
2 20,
33yx
消去参数 t可得质点运动轨迹方程：
这是一个直线方程，直线斜率：
02,3 3 4 1 '
3
dyk t g
dx
/xm
/ym
10O
2 20,
33yx
1-1 质点运动的描述第一章 质点运动学物理学第五版
45/48
例 7 如图一抛体在地球表面附近，从原点 O 以初速度 v0沿与水平面上 Ox 轴的正向成 α角抛出。如略去抛体在运动过程中空气的阻力作用，求 抛体运动的轨迹方程和最大射程．
解
ya a g j0?xa
2
0 2
1 tgtr v
t =0:
00
00
c o s
sin
x
y
vv
vv
0x
y
a
ag
x
y
0v
2
2
1 tg?
r?
t0v?
P
1-1 质点运动的描述第一章 质点运动学物理学第五版
46/48
，txco s0v
2
0 2
1s i n gttyv
xv?
yv
v?
xv?
yv
v?
0d
x
y
o
0v
x0v
y0v
α
解得：
2
22
0 co s2
t an xgαxy
v
轨迹方程为：
1-1 质点运动的描述第一章 质点运动学物理学第五版
47/48
02co s2
d
d 200
g
d v
由于空气阻力，实际射程小于最大射程．
， co ss in
2 20
0 gd
v
求最大射程
gd 20m0 v?
，
4
π当
x
y
o
0d
真空中路径实际路径
d
第一章 质点运动学物理学第五版
48/48
本章目录
1-1 质点运动的描述
1-2 圆周运动
1-3 相对运动
1-0 教学基本要求选择进入下一节：
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一参考系坐标系质点
1 参考系 (Frame of reference)
选取的参考系不同，对物体运动情况的描述不同，这就是 运动描述的相对性,
The chosen standard objects as a reference
of the motion is called a reference frmae
The motion looks differently with respect to
different reference,this is called
relativity of descriptionof motion
为描述物体的运动而选择的标准物叫做 参考系,
1-1 质点运动的描述第一章 质点运动学物理学第五版
2/48
参考系选定以后，为了定量描述物体的运动，须在参考系上选择一个 坐标系 。
2 坐标系 (Coordinate system )
直角坐标系
(Cartesian coordinate)
z
x
yo
P(x,y,z)
z
y
x
z
ρx y
o
z
P(ρ,?,z )
球坐 标系
(Spherical coordinate )
柱坐标系
(Cylindrical coordinate )
z
o?r
x
y
P(r,?,? )
After the reference frmae is selected,a coordinate
system must be constructed on it to quantitatively
describe motion of objects
1-1 质点运动的描述第一章 质点运动学物理学第五版
3/48
质点是经过科学抽象而形成的理想化的物理模型,目的是为了突出研究对象的 主要性质,
暂不考虑一些 次要因素,
如果我 们研究某一物体的运动，而可以忽略其大小和形状对物体运动的影响，可以把物体当作是一个具有质量的点（即 质点 ）来处理,
3 质点 (Mass points)
质点,具有一定质量没有形状或大小的理想物体
Mass points,it is the ideal objects with
certain mass & withouta shape or size
1-1 质点运动的描述第一章 质点运动学物理学第五版
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主要性质次要因素具有质量形状大小
物体能否抽象为质点，视具体情况而定．
Main characters Possessive mass Occupative spatial position
占有空间位置
Secondary factors shape or size
Objects can be or cannot de described as
mass points,depending on the specific case
地 — 日平均间距：
1.5?× 108 km
地球半径：
6.37?× 103 km太阳地球
1-1 质点运动的描述第一章 质点运动学物理学第五版
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二 位置矢量 运动方程 位移
1 位置矢量 (Position vector)
确定质点 P某一时刻在坐标系里的位置的物理量称 位置矢量,简称位矢,r?
Position vector Equation of motion Displacement
Physical quantity of position determined mass
point P in the coordinate system is called
position vector
1-1 质点运动的描述第一章 质点运动学物理学第五版
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r?
*P
x
y
z x
z
y
o
kzjyixr
2 2 2r r x y z
位矢 r的值为式中 i,j,k分别为 x、
y,z 方向的 单位矢量
(Unit vector).
ik
j
(,,)x y z
直角坐标系 (Cartesian coordinate)
位矢 r的 方向余弦 (Directional cosine)
c o s,c o s,c o sx y zr r r
2 2 2c o s c o s c o s 1
1-1 质点运动的描述第一章 质点运动学物理学第五版
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x
z
y
o
2运动方程 (Equation of motion )
ktzjtyitxtr )()()()(
()
()
()
x x t
y y t
z z t
分量式 (Component equation)
从中消去参数 t得轨迹方程 (Trajectory equation)
0),,(?zyxf
)(tr?
)(tx
)(ty
)(tz
P (,,)x y z
1-1 质点运动的描述第一章 质点运动学物理学第五版
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3位移 (Displacement )
x
y
o
描述质点位置矢量发生变化的物理量
Physical quantity describing position vector
variation of mass point
经过时间间隔 △ t后,
质点位置矢量发生变化,
由始点 A 指向终点 B 的有向线段 AB 称为点 A
到 B 的位移矢量 △ r,位移矢量也简称位移,
B
Br
Ar
A r
BAr r r
1-1 质点运动的描述第一章 质点运动学物理学第五版
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Ar
B
Br
A r
x
y
o
A A A
B B B
r x i y j
r x i y j
BxAx
By
Ay
AB rrr
所以位移
jyyixxr ABAB )()(
AB xx?
AB yy?
若质点在 三维 空间中运动,则在直角坐标系 Oxyz中位移为
kzzjyyixxr ABABAB )()()(
222 zyxr
位移的大小为
4路程 (Distance )(△ s):
s?
The lngth of the actual trajectory of mass point
质点实际运动轨迹的长度
1-1 质点运动的描述第一章 质点运动学物理学第五版
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位移的物理意义
A) 确切反映物体在空间位置的变化,与路径无关，只决定于质点的始末位置,
B） 反映 了运动的矢量性和叠加性,
Physical meaning of Displacement
Exactly reflect the changes of spatial position
of objects,nothing to do with the path,only a
decision on starting & ending position
Reflect the vector property &
superposition property of motion
1-1 质点运动的描述第一章 质点运动学物理学第五版
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2 2 2
2 2 2
2 1 2 1 2 1( ) ( ) ( )
r x y z
x x y y z z
rr
2 2 2 2 2 2
2 2 2 1 1 1r x y z x y z
注意
s?
x
y
O
z
2 1 2 1 2 1( ) ( ) ( )
r xi y j z k
x x i y y j z z k
位矢长度的变化
1 1 1 1
2 2 2 2
(,,)
(,,)
P x y z
P x y z
)( 1tr?
1P
)( 2tr?
2Pr
r?
Changes of length of position vector
1-1 质点运动的描述第一章 质点运动学物理学第五版
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x
y
O
z
注意
,,r r r 的 意 义 。
1r
1P
2r
2Pr
r?
1 1 1 1
2 2 2 2
(,,)
(,,)
P x y z
P x y z
2
1
2
1
2
1 z yx2
2
2
2
2
2 z yx
rΔ
2 2 2
2 1 2 1 2 1( ) ( ) ( )r x x y y z z
2 1 2 1 2 1( ) ( ) ( )r x x i y y j z z k
1-1 质点运动的描述第一章 质点运动学物理学第五版
13/48
s?
)( 1tr?
1p
)( 2tr?
2pr
x
y
O
z
's?
讨论
(A) 两点间的路程是不唯一的,而位移是唯一的,
位移与路程的区别
P1P2 两点间的路程可以是 △ s或 △ s’ 而位移 △ r
是唯一的,
Distance between two
points is not only,and
the displacement is only
The distinction between displacement & distance
1-1 质点运动的描述第一章 质点运动学物理学第五版
14/48
(B) 一般情况,位移大小不等于路程,
rs
(D)位移是矢量,路程是标量,
(C)什么情况下？ sr
不改变方向的直线运动 ;
当 △ t→0 时 sr
In general,the size of displacement is not equal to distance
Under what circumstances?
Does not change the direction
of linear motion;when △ t→0
s?
)( 1tr?
1p
)( 2tr?
2pr
x
y
O
z
's?
Displacement is a vector,distance is a scalar
1-1 质点运动的描述第一章 质点运动学物理学第五版
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三 速度 (Velocity)
1平均速度 (Average velocity)
r
)( ttr
B
)(tr?
A
x
y
o
s?
描述质点位置矢量变化快慢的物理量
Physical quantity describing the pace of
position vector variation of mass point
在 △ t时间内,质点从点
A 运动到点 B,其位移为
)()( trttrr
△ t时间内,质点的平均速度
rv
t
平均速度 与 同方向,rv
1-1 质点运动的描述第一章 质点运动学物理学第五版
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x y zi j i
t t t
v
平均速度大小 2 2 2
2 2 2( ) ( ) ( )
x y z
x y z
t t t
v v v + v
x y zi j kv v v v
r
)( ttr
B
)(tr?
A
x
y
o
s?
rv
t
,,x y zx y z
t t t
v v v
1-1 质点运动的描述第一章 质点运动学物理学第五版
17/48
2瞬时速度 (Instantaneous velocity )
当 △ t→0 时平均速度的极限值叫做 瞬时速度,
简称 速度,
jtyitx
tt
00
l i ml i mv
t
r
t
r
t d
dl i m
0
v
As△ t → 0,the limit value of
the average velocity is called
the instantaneous velocity
(also called velocity in short)
1-1 质点运动的描述第一章 质点运动学物理学第五版
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当质点做曲线运动时,质点在某一点的速度方向就是沿该点曲线的切线方向,
sr dd当 △ t→0 时,
td
d e
t
sv t
r
t
r
t d
dl i m
0
v
When a mass point executes a
curvilinear movement,at some
point of the curve the direction
of the velocity of the mass point
is the direction of the tangent
line of the curve at the point
1-1 质点运动的描述第一章 质点运动学物理学第五版
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x
y
o
v?
2 2 2d d d( ) ( ) ( )
d d d
x y z
t t t
vv
瞬时速率：速度 v的大小称为速率
yv?
xv?
ji yx vvvj
t
yi
t
x
d
d
d
dv
若质点在 三维 空间中运动,其速度为
ktzjtyitx ddddddv
d
d
s
t
v
td
d e
t
sv
Instantaneous speed,The size
of velocity v is called speed
1-1 质点运动的描述第一章 质点运动学物理学第五版
20/48
小结
1 位置矢量,r x i y j zk
2 位 移：
3 运动方程,( ) ( ) ( ) ( )r t x t i y t j z t k
( ) ( ) ( ( ) ( ) )
( ( ) ( ) ) ( ( ) ( ) )
r r t t r t x t t x t i
y t t y t j z t t z t k
4、轨迹方程：
(,,) 0f x y z?
二、速度,
1 平均速度：
一,位移：
x y zi j k
t t t
rv
t
d d d d
d d d d
r x y zi j k
t t t tv
2 瞬时速度：
t
d
d
s e
t
v
描述质点位矢发生变化的物理量描述质点位矢变化快慢的物理量
1-1 质点运动的描述第一章 质点运动学物理学第五版
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平均速率
t
s
v
r
)( ttr
B
)(tr?
A
x
y
o
s?
d
d
s
t
v
瞬时速率一运动质点在某瞬时位于矢径 r(x,y)的端点处，
其速度大小为
d( ),
d
rA
t
d( ),
d
rB
t
d( ),
d
rC
t
22dd( ),( ) ( )
dd
xyD
tt?注意
t
r
t
r
d
d
d
d
No No No
OK
讨论
1-1 质点运动的描述第一章 质点运动学物理学第五版
22/48
例 1 设质点的运动方程为 ( ) ( ) ( ),r t x t i y t j
( ) 2x t t 2( ) 0,2 5 2y t t
解 （ 1）由题意可得速度分量分别为
d d 11,
d d 2xy
xy t
ttvv
1.5ijvt=3s时速度为速度 v与 x轴之间的夹角?3.56
1
5.1a r c t an
其中
（ 1）求 t=3s时的速度,（ 2） 作出质点的运动轨迹图,
速度 v的大小
221 1,5 3,2 5 1,8 /msv
1-1 质点运动的描述第一章 质点运动学物理学第五版
23/48
（ 2） 运动方程
2
( ) 2
1( ) 2
4
x t t
y t t
由运动方程消去参数 可得轨迹方程为t
/mx
/my
0
轨迹图
2 4 6- 6 - 4 - 2
2
4
6
0?t s2?ts2t
s4t s4?t
21 3
4y x x
1-1 质点运动的描述第一章 质点运动学物理学第五版
24/48
例 2 如图所示,A,B 两物体由一长为 l的刚性细杆相连,A,B 两物体可在光滑轨道上滑行,如物体 A
以恒定的速率 v向左滑行,当 α =600时,物体 B的速率为多少？
解 建立坐标系如图,
OAB为一直角三角形，刚性细杆的长度 l 为一常量
x
y
o
A
B
l
v?
物体 A 的速度
iitxixA vvv dd
物体 B 的速度
jtyiyB dd vv
1-1 质点运动的描述第一章 质点运动学物理学第五版
25/48
y?2 2 2x = l
x
y
o
A
B
l
v?
两边求导得
0dd2dd2 tyytxx
即
t
x
y
x
t
y
d
d
d
d j
t
x
y
x
B
d
dv
y
x
t
xt an,
d
d v? jB
t a nvv
vB沿 y轴正向,当 α =600时 1,7 3?
Bvv
1-1 质点运动的描述第一章 质点运动学物理学第五版
26/48
描述质点速度变化快慢的物理量
x
y
O
四加速度 (Acceleration)
Physical quantity describing the pace
of velocity variation of mass point
Bv
B
Av
Bv
v
Av
A单位时间内的速度增量即平均加速度
1平均加速度
(Average acceleration)
a
t
v
与 同方向,?va
1-1 质点运动的描述第一章 质点运动学物理学第五版
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x
y
O
Bv
B
Av
Bv
v
Av
A
2 （瞬时）加速度 (Instantaneous acceleration)
As△ t → 0,the limit value of the
average acceleration is called the
instantaneous acceleration
(also called acceleration in short)
当 △ t→0 时平均加速度的极限值叫做 瞬时加速度,简称加 速度,
0
dl im
dt
a
tt
vv
1-1 质点运动的描述第一章 质点运动学物理学第五版
28/48
x y za a i a j a k
2
2
2
2
2
2
d d
dd
d d
dd
d d
dd
x
x
y
y
x
a
tt
y
a
tt
a
tt
z
z
v
v
v z加速度大小
222
x y za a a a
2
2
dd
dd
ra
tt
v
加速度 j
tit
yx
d
d
d
d vv
加速度大小 22
0
lim yx
t
aa
t
a
v?
质点作三维运动时加速度为
1-1 质点运动的描述第一章 质点运动学物理学第五版
29/48
？vv
( ) ( )t t tv v v
a c c b a bv
()tv ()ttv
v
O
a
b
c
)()( ttt vvv
o c o a?在 Ob上截取有
cbv
ntv v v
n acv
t cbv
abv
讨论速度大小变化速度方向变化 Change in velocity direction
Changes in velocity value
1-1 质点运动的描述第一章 质点运动学物理学第五版
30/48
O
d?
d
aa
t
v
dv
()tv
( d )tt?v
( ) ( d )t t tvv
因为
d 0
dt
v
所以而例 匀速率圆周运动所以
t
a
d
d v?
d
0
d
aa
t
v
讨论
( ) ( d )t t tvv
1-1 质点运动的描述第一章 质点运动学物理学第五版
31/48
三,加速度
1 平均加速度：
yx za i j k
t t t
vv vv
t
2 瞬时加速度：
2
2
2 2 2
2 2 2
dd ddd
d d d d d
d d d
d d d
yx zr
a i j k
t t t t t
xy
i j k
t t t
vv vv
z
描述质点速度变化快慢的物理量小结
2d
d tn
a e e
t?
vv
1-1 质点运动的描述第一章 质点运动学物理学第五版
32/48
质点运动学两类基本问题一 由质点的运动方程可以求得质点在任一时刻的位矢、速度和加速度；
Two caterogiesof problemss in kinematics of mass point
One is looking for the position vector,velocity
& acceleration of mass point at any time with the
knomn equation of motion of mass point;
二 已知质点的加速度以及初始速度和初始位置,可求质点速度及其运动方程,
Two is looking for the velocity & equation of motion
of mass point with the knomn acceleration of mass
point & initial velocity and initial position;
1-1 质点运动的描述第一章 质点运动学物理学第五版
33/48
)(ta?)(tr? ()tv
质点运动学两类基本问题
Two caterogies of problemss in kinematics of mass point
求导
Derivation
求导
Derivation
积分
Integration
积分
Integration
1-1 质点运动的描述第一章 质点运动学物理学第五版
34/48
解 （ 1）由运动方程，可得最初 2s内平均速度：
34 2 ( )x t t SI
（ 2） 1s末到 3s末的位移、平均速度；
（ 3） 1s末到 3s末的平均加速度,3s末的瞬时加速度。
例 3 一质点沿在 x轴运动坐标与时间的变化关系为：
求（ 1）在最初 2s内的平均速度,2s末的瞬时速度；
( 2 ) (0 ) 4/
20
x x x ms
t
v
由运动方程，可得 2s末的瞬时速度：
2
2
2
( 4 6 ) 2 0 /
t
t
dx t m s
dt
v
1-1 质点运动的描述第一章 质点运动学物理学第五版
35/48
解 （ 2）由运动方程，可得 1s末到 3s末位移：
( 3 ) (1 ) 4 4x x x m
平均速度：
( 3 ) ( 1 ) 2 2 /
31
x x x ms
t
v
34 2 ( )x t t SI
（ 2） 1s末到 3s末的位移、平均速度；
（ 3） 1s末到 3s末的平均加速度,3s末的瞬时加速度。
求（ 1）在最初 2s内的平均速度,2s末的瞬时速度；
例 3 一质点沿在 x轴运动坐标与时间的变化关系为,
1-1 质点运动的描述第一章 质点运动学物理学第五版
36/48
解 （ 3）由运动方程，可得任意时刻瞬时速度：
由定义，可得 1s末到 3s末的平均加速度：
2( 4 6 )dx t
dtv
( 3 ) (1 ) 2 4 /
31a m st
v v v
34 2 ( )x t t SI
（ 2） 1s末到 3s末的位移、平均速度；
（ 3） 1s末到 3s末的平均加速度,3s末的瞬时加速度。
求（ 1）在最初 2s内的平均速度,2s末的瞬时速度；
由瞬时速度，可得 3s末的瞬时加速度：
2
3
3
12 36 /t
t
da t m s
dt
v
例 3 一质点沿在 x轴运动坐标与时间的变化关系为：
1-1 质点运动的描述第一章 质点运动学物理学第五版
37/48
2( 4 6 )dx t
dtv
( ) ( ) 1 2 6t t ta t t
tt
v v v
34 2 ( )x t t SI
平均速度：
12datdtv
讨论瞬时加速度：
平均加速度：
瞬时速度：
位移,2 2 3( ) ( ) 4 2 ( 3 3 )x x t t x t t t t t t t
224 6 6 2x t t t t
t
v
位矢：
1-1 质点运动的描述第一章 质点运动学物理学第五版
38/48
2( 4 6 )dx t
dtv
平均速度：
1ts?
讨论瞬时速度：
224 6 6 2x t t t t
t
v
v
t? 1
10?262?
10
2602?
100
2.62?
0.1
2.0602?
0.01
2.006002?
0.001
1,0t s t
2
0 1
1
4 6 2t
t
t
dx t
dt
vv
24 6 2tv
1-1 质点运动的描述第一章 质点运动学物理学第五版
39/48
d
da t
v v解：由加速度定义
（ 1）经过多少时间后可以认为小球已停止运动,
0v
y
o
0
t
0
d d,tv
v
v
v
0
d e
d
ty
t
vv
000d e d
yt tyt v
（ 2）此球体在停止运动前经历的路程有多长？
0 e
tvv
1 0 ( 1 e ) mty
它的加速度为
0 10 j?v aj v
例 4 有 一个球体在某液体中竖直下落,其初速度为
1-1 质点运动的描述第一章 质点运动学物理学第五版
40/48
0
/my
/st
10
-1/m s?v
0v
0 /st
9,2 s,0,1 0mtyv
0 e
tvv 1 0 (1 e ) m
ty
v
/st
/my
0/10v 0/100v 0/1000v 0 /10000v
2.3 4.6 6.9 9.2
8.9974 9.8995 9.9899 9.9990
1-1 质点运动的描述第一章 质点运动学物理学第五版
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解 （ 1）由参数方程
22 (1 9 2 ) ( )r t i t j S I
（ 2）在 t1=1s到 t2=2s时间内的平均速度；
（ 3） t1=1s时的速度及加速度。
求（ 1）质点的轨迹方程；
22,19 2x t y t
219 0.5yx消去 t 得质点的轨迹方程
（ 2）在 t1=1s到 t2=2s时间内的平均速度
26xyi j i j
tt
rv
t
例 5 质点在 Oxy面内运动，其运动方程为
1-1 质点运动的描述第一章 质点运动学物理学第五版
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解
22 (1 9 2 ) ( )r t i t j S I
（ 2）在 t1=1s到 t2=2s时间内的平均速度；
（ 3） t1=1s时的速度及加速度。
求（ 1）质点的轨迹方程；
dd 24
dd
xyi j i t j
tt
v
22
22
dd 4
dd
xya i j j
tt
则 t1=1s时的速度：
则 t1=1s时的加速度：
24ijv
4aj?
（ 3）质点在任意时刻的速度和加速度分别为：
例 5 质点在 Oxy面内运动，其运动方程为
1-1 质点运动的描述第一章 质点运动学物理学第五版
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解 （ 1）由加速度的定义，根据初始条件,t=0时
v0=0，积分可得：
（ 2）质点的轨道方程，并画出轨道的示意图。
6 4 ( )a i j S I例 6:1-15 一质点具有恒定加速度求（ 1）在任意时刻的速度和位置矢量；
在 t=0时，其速度为零，位移矢量
0 10ri?
tt
0 0 0d d ( 6 4 ) da t i j t
v v 64t i tjv
又由速度的定义，根据初始条件,t=0时 r0=10i，积分可得：
0
tt
00d d ( 6 4 ) dr v t t i t j t
r r 22(10 3 ) 2t i t jr
1-1 质点运动的描述第一章 质点运动学物理学第五版
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解 （ 2）由（ 1）可得质点运动方程的分量式：
（ 2）质点的轨道方程，并画出轨道的示意图。
6 4 ( )a i j S I例 6:1-15 一质点具有恒定加速度求（ 1）在任意时刻的速度和位置矢量；
在 t=0时，其速度为零，位移矢量
0 10ri?
221 0 3,2x t y t
2 20,
33yx
消去参数 t可得质点运动轨迹方程：
这是一个直线方程，直线斜率：
02,3 3 4 1 '
3
dyk t g
dx
/xm
/ym
10O
2 20,
33yx
1-1 质点运动的描述第一章 质点运动学物理学第五版
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例 7 如图一抛体在地球表面附近，从原点 O 以初速度 v0沿与水平面上 Ox 轴的正向成 α角抛出。如略去抛体在运动过程中空气的阻力作用，求 抛体运动的轨迹方程和最大射程．
解
ya a g j0?xa
2
0 2
1 tgtr v
t =0:
00
00
c o s
sin
x
y
vv
vv
0x
y
a
ag
x
y
0v
2
2
1 tg?
r?
t0v?
P
1-1 质点运动的描述第一章 质点运动学物理学第五版
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，txco s0v
2
0 2
1s i n gttyv
xv?
yv
v?
xv?
yv
v?
0d
x
y
o
0v
x0v
y0v
α
解得：
2
22
0 co s2
t an xgαxy
v
轨迹方程为：
1-1 质点运动的描述第一章 质点运动学物理学第五版
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02co s2
d
d 200
g
d v
由于空气阻力，实际射程小于最大射程．
， co ss in
2 20
0 gd
v
求最大射程
gd 20m0 v?
，
4
π当
x
y
o
0d
真空中路径实际路径
d
第一章 质点运动学物理学第五版
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本章目录
1-1 质点运动的描述
1-2 圆周运动
1-3 相对运动
1-0 教学基本要求选择进入下一节：
