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第一章傅里叶光学基础第 1节第 2节第 3节第 4节目 录第 1章
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第一章 傅里叶光学基础
1,1 二维傅里叶分析
1,2 空间带宽积和测不准关系式
1,3 平面波的角谱和角谱的衍射
1,4 透镜系统的傅里叶变换性质第 1节第 2节第 3节第 4节目 录第 1章
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1.1 二维傅里叶分析
1.1.1 定义及存在条件复变函数器 g(x,y) 的 傅里叶变换 可表为
G(u,v) = F {g(x,y)}
=∞-∞g(x,y)exp[-i2?(ux+vy)]dxdy (1)
称 g(x,y)为 原函数,G(u,v)为变换函数或 像函数 。
(1)式的 逆变换 为
g(x,y) = F -1{G(u,v) }
=∞-∞G(u,v)exp[i2?(ux+vy)]dudv (2)
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傅里叶 -贝塞尔变换设 函数 g(r,?) = g(r) 具有圆对称，
傅里叶 -贝塞尔变换为
G(?) = B {g(r)}
= 2∞org(r)Jo(2r)dr
其中 Jo 为第一类零阶贝塞尔函数傅里叶 -贝塞尔逆变换为
g(r) = B-1 {G(?)}
= 2∞o?G(?)Jo(2r)d?
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变换存在的条件 为
(1) g(x,y)在全平面绝对可积；
(2) g(x,y)在全平面只有有限个间断点,在任何有限的区域内只有有限个极值；
(3) g(x,y)没有无穷大型间断点 。
以上条件并非必要,实际上,,物理的真实,就是变换存在的充分条件 。
以下我们常用 g(x,y)? G(u,v) 表示变换对,
对于光学傅里叶变换,x,y是空间变量,u,v 则是空间频率变量 。 在一维情况下,有时也用希腊字母 v 表示频率变量 。
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1.1.2 δ函数的傅里叶变换由 δ函数的定义容易得到
δ(x-xo,y-yo)? exp [-i2?(uxo+ vyo)] (3)
当 xo=0,yo= 0 时得到 δ(x,y)? 1 (4)
上式的物理意义表示 点源函数具有权重为 l 的最丰富的频谱分量,因此 光学中常用点光源来检测系统的响应特性,即 脉冲响应,(3)式还可表为,
δ(x-xo,y-yo)=∞- ∞exp{-i2?[u(x-xo)+v(y-yo)]}dudv
它正是 δ函数的积分表达式,
根据 δ函数的偏导数的定义
∞- ∞ δ(n)(x)g(x)dx = (-1)n g(n)(0) (6)
得到 δ(k,l)(x,y)的傅里叶变换
δ(k,l)(x,y) =?k+lδ(x,y)/?xk?yl )
(i2?u)k (i2?v)l (7)
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1.1.3 傅里叶变换的基本性质
(1) 线性 ( linearity )
Ag(x,y) + Bh(x,y)? AG(u,v) + BH(u,v) (8)
(2) 缩放及反演 (scaling and inversion)
g(ax,by)? G(u/a,v/b)/|ab| (9)
上式表明 空域信号的展宽将引起频域信号的压缩,
特别是当 a = b = -1 时，得到反演的变换性质：
g(-x,-y)? G(-u,-v) (10)
(3) 位移 (shift)
g(x+xo,y+yo)? exp[i2?(uxo+vyo)]G(u,v) (11)
上式表示 原函数的位移引起变换函数的相移,
(4) 共扼 (conjugation)
g*(x,y)? G*(-u,-v) (12)
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(5) 卷积 (convo1ution)
g(x,y)和 h(x,y)的卷积定义：
g(x,y)?h(x,y) =∞-∞g(?,? )h(x-?,y-?)d?d?
易证明,g(x,y)? h(x,y)? G(u,v) H(u,v)
δ函数的卷积有特殊的性质：
g(x)?δ(x-xo) = g(x-xo) (15)
g(x,y)?δ(k,l)(x,y) = g (k,l)(x,y) (16)
(6)导数的变换 公式可由 (7)式导出
g(k,l)(x,y)? (i2?u)k (i2?v)l G(u,v) (17)
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(7) 相关 (correlation)
函数 g(x,y)和 h(x,y) 的相关定义为
g(x,y)? h(x,y) =∞-∞g(?,? )h(x+?,y+?)d?d?
当 g = h 时成为 自相关,有
g(x,y)? g(x,y) =∞-∞g(?,? )g(x+?,y+?)d?d?
相关的变换可以利用卷积的变换公式导出：
g(x,y)? h(x,y) = g*(-x,-y)? h(x,y)
G*(u,v) H(u,v)
g(x,y)? g(x,y)? ∣ G(u,v)∣ 2 (21)
自相关与功率谱构成傅里叶变换第 1节第 2节第 3节第 4节目 录第 1章
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(8) 矩 (moment)
g(x,y)的 (k,l )阶矩定义为
M k,l =∞-∞ g(x,y)xk yl dxdy (22)
将逆变换表达式 (2)代入上式,得到
M k,l=∞-∞G(u,v)dudv∞-∞xkylexp[i2?(ux+vy)]dxdy
由 δ函数导数的变换表达式 (7),上式内部的积分
∞-∞xkylexp[i2?(ux+vy)]dxdy = (i2?)-k-l δ(k,l)(u,v)
矩的表达式
M k,l = (-i2?)-k-l G (k,l) (0,0)
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(9) Parseval 定理
g(x,y)? h(x,y)? G*(u,v)H(u,v)式可用逆变换表达式改写为
∞-∞g(?,? )h(x+?,y+?)d?d?
=∞-∞G*(u,v)H(u,v)exp [i2?(ux+vy)]dudv
令 x = y = 0,上式为
∞-∞g(?,?)h(?,?)d?d? =∞-∞G*(u,v)H(u,v)dudv
这一关系式称为 Parseval 定理,
当 h =g 时，上式化为
∞-∞?g(?,?)?2 d?d? =∞-∞?G(u,v)?2 dudv
该式又称 完备关系式,实际上是 能量守恒定律 在空域和频域中表达式一致性的表现．
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1.1.4 特殊函数及其傅里叶变换
1,rect(x),?(x)及 sinc(x)函数定义
(1) rect(x)函数
rect(x) = 1,| x |
rect(x) = 0,其他
(2)?(x)函数
(x) = 1- | x |,| x |? 1
(x) = 0,其他
(3) sinc(x)函数
sinc(x) = (sin?x)/?x
-?
1
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1.1.4 特殊函数及其傅里叶变换
rect(x),?(x)及 sinc(x)函数 傅里叶变换,
傅里叶变换分别为
rect(x)? sinc(u)
sinc(x)? rect(u)
(x)? sinc2(u)
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1.1.4 特殊函数及其傅里叶变换
2,符号函数 sgn(x)和阶跃函数 step(x)
符号函数 sgn(x)定义
sgn(x)= 1,x > 0
sgn(x)= 0,x = 0
sgn(x)= -1,x < 0
阶跃函数 step(x)定义
step(x) =1,x > 0
step(x) =0,x < 0
o
o
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1.1.4 特殊函数及其傅里叶变换
sgn(x)函数和 step(x)函数 傅里叶变换傅里叶变换为
sgn(x)? 1 / i?u
step(x) = sgn(x)/2+1/2? 1/i 2?u +?(u)/2
利用 step(x)的变换式及卷积定理，可求出积分?x-∞g(? )d? 的变换,
x-∞g(? )d? =?∞- ∞g(?) step (x-?)d?
= g(x)? step (x)
G(u)[1/i 2?u +?(u)/2]
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1.1.4 特殊函数及其傅里叶变换
3,周期函数设函数 g(x)可展开为傅里叶级数
g(x) =?∞-∞Cnexp(i2n?fox) (38)
式中 Cn =(1/X)?X/2-X/2 g(x)exp(-i2n?fox)dx
周期 X=1/fo,对 (38)式两边取傅氏变换得
G(u) =?∞-∞Cn?(u - n fo) (40)
推导中用到积分变换式：
(u - n fo)? exp(i2?nfox),
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1.1.4 特殊函数及其傅里叶变换
g(x) =?∞-∞Cnexp(i2n?fox)
G(u) =?∞-∞Cn?(u - n fo) (40)
4,函数 comb(x)
comb(x) =?∞-∞?(x - n)
=?∞-∞exp(i2n?x) (42)
系数 Cn =1,因此由 (40)式可得
comb(x)? comb(u) (43)
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1.1.4 特殊函数及其傅里叶变换
4,函数 comb(x)
设 X为实数常数,则有
(1/X)g(x)? comb(x/X)
= (1/X)?∞-∞g(?) comb[(x -?)/X]d?
= (1/X)?∞-∞g(?)?∞-∞?[(x-?)/X - n] d?
=?∞-∞?∞-∞g[X(?/X)]?[x/X-?/X-n]d(?/X)
=?∞-∞g [X(x/X-n ]=?∞-∞g(x - nX) (44)
结果得到了 以 nX (n = 0,± 1,± 2,…) 为中心的一系列重复出现的波形 g(x - nX),这一现象称为“复现”．
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1.1.4 特殊函数及其傅里叶变换
4,函数 comb(x)
gs(x)= g(x) comb(x/X)
= g(x)?∞-∞?(x/X - n)
=?∞-∞g(nX)?(x - nX)
gs称 g 的 抽样函数,X为 抽样间隙,xn=nX
称 样点,g(xn)称 样值,所以 g(x)的抽样函数 gs(x)是以样值为权重的? 函数序列,
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1.1.5 功率谱与空间自相关函数由 Parseval 定理
∞-∞?g(x,y)?2 dxdy =∞-∞?G(u,v)?2 dudv
g(x,y)为光场的复振幅分布，
g(x,y)?2代表光强分布，
G(u,v)?2 则表示单位频率间隔的光能量，
称为 功率谱,用 s(u,v)表示为
s(u,v) =?G(u,v)?2 (46)
根据变换定理,我们得到
g(x,y)? g(x,y)?∣ G(u,v)∣ 2 = s(u,v) (47)
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1.1.5 功率谱与空间自相关函数
g(x,y)? g(x,y)? ∣ G(u,v)∣ 2 = s(u,v) (47)
g?g 在光学上称为 空间自相关函数,上式表示功率谱是空间自相关函数的傅氏变换,
空间自相关函数表征空间相距为 (x,y)的两点之间场的相似性或关联性,它是场的空间相干性的度量 。 场的 相干性较高 时,功率谱的弥散 就 较小,表示光功率在频域内集中在很小的区域中 (可称为 准单色光 )；反之当场的 相干性较差 时,功率谱的弥散就较大,表示光功率在频域中分布在较大的区域内,包含较宽的波段 。
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1.2 空间带宽积和测不准关系式
1.2.1 空间带宽积与自由度如果信号 g 在频域内不为零的分量限制在某一区域内，则称为,带限函数,。
1,Whittaker-Shannon抽样定律：
带限函数 g(x,y)被它的抽样值的无穷集合 { g mn = g( m/?u,n/?v) } 完全确定，式中?u,?v 是频带的宽度,m,n = 0,± l,
± 2,… 。
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2,空间带宽积与自由度傅氏变换及解析函数的一般理论告诉我们：
频域内的带限函数，在空域内必然扩展到全平面,因为带限函数的傅里叶变换是一个解析函数，它不可能在一个有限的区域内处处为零，否则通过解析开拓就可以证明这个函数在全平面内处处为零．
1.2.1 空间带宽积与自由度第 1节第 2节第 3节第 4节目 录第 1章
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1.2.1 空间带宽积与自由度
2,自由度实际信号测量系统的输入平面总是有限制的，设信号被限制在 r [-?x/2,?x/2,
-?y/2,?y/2]矩形区域内，又设系统的带宽
u,?v 与抽样间隙 X,Y满足倒数的关系，
则在 r 内共有抽样点 N 个，
N =?x?y/XY=?x?y?u?v = SW (1)
式中 S =?x?y,W =?u?v 。 SW称空间带宽积,是评价系统性能的重要参数,(1)
式指出 通过系统的样点数等于空间带宽积,
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因为一个在频域中非无限扩展的信号
(带限信号 )，在空域中必然是无限扩展的，
若用一个具有有限大小的输入端面的系统对该信号进行测量，必然造成信息量的损失，使测量结果失真。
例如 信号分布在 矩形 r 内,那么这个信号就被它的 N个样值基本上确定了 。 我们称这个信号有 N 个自由度,显然 自由度数等于空间带宽积,
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如果系统的输入端面的尺寸小于 r，
则自由度数将小于 N,所以空间带宽积与其说是信号的特征，还不如说是系统的特征,因为系统有限的空域和频域尺寸限制了通过它的信息量．
例如对于一个成像系统,限制 空域尺寸 的是 视场光阑 的大小,限制 频域尺寸 的是 孔径光阑 的大小 。 显然视场越大,孔径越大的系统能传递更多的信息,
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1.2.2 系统的分辨率考虑一个低通滤波性能的系统的分辨率,
即输入平面上能被系统分辨开来的两个点的最小间距 (最小分辨长度 )的倒数 。
由抽样定理可知,对任意输入信号 g(x,y)来讲,
由于系统频率响应特性的限制,其效果都是带限的,因此可以用抽样函数 gs(x,y)来代替它 。
只要抽样点充分稠密,即条件
X ≤ 1/?u,Y ≤ 1/?v (4)
满足时,对于系统输出端而言,gs和 g 等价,在输出端并不能觉察出 gs 的周期结构,或者说 gs
包含的脉冲是不可分辨的 。
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1.2.2 系统的分辨率当条件 (4)不满足时,gs和 g 对于输出端不再等价，从而在输出端就能觉察出 gs 的周期结构，
或者讲 gs 中两个相邻脉冲能够被系统分辨开来。
这样，系统的最小分辨长度?x 和?y应当与 (4)式表示的 X,Y 同数量级，从而与带宽成反比：
x? 1/?u,?y? 1/?v (5)
最小分辨长度与空间带宽积的关系为
x?yx?y/SW (6)
可见在给定输入端面尺寸?x,?y后,SW越大,
最小分辨长度就越小,系统的分辨率就越高,测量过程的失真越小 。
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1,2.3 等效带宽和测不准关系仅考虑一维情况
G(u) =?∞-∞g(x)exp(-i2?ux)dx (7)
g(x) =?∞-∞ G(u)exp(i2?ux)du (8)
由以上两式可得
G(0) =?∞-∞g(x)dx (9)
g(0) =?∞-∞ G(u)du (10)
设信号在空域和频域中不显著为 0的分量都集中在原点近旁有限区域内，则可用近似度量
g(x)和 G(u)的弥散或展宽的程度．引入 和,
)0(G/d)(G~
)0(g/dx)x(gs~
uu
s~?~
(11)
(12)
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意义,
如一个矩形高度等于 G(0)，面积与曲线 G(u)下的面积相同，则它的宽度为,
又称为,等效带宽,。
~
~?~
~
等效带宽
Goodman提出了等效带宽的概念，它是频谱曲线展宽程度的某种度量,G(u)越宽,越大，因而常用来评价系统的性能。~
G(u)
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将 (11),(12)交叉相除得到
(13)
由于 可表征信号在空域的 展宽或弥散,上式意味着 信号在空域和频域中的展宽是互相制约的．
假设要对信号进行长度或位置测量，测量系统可看成是对被测对象的一个变换，在位置测量时必须使系统首先“对准”空间的一个定点或长度的一个端点，该点可以用?函数表示，它就是系统的输入，而输出恰恰就是系统的脉冲响应 h。
必须指出，通过测量我们只能获得 h 所包含的信息，我们永远无法直接得到被测点本身．
1~s~
s~
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所有测量系统的等效带宽 都是有限的，从而?
函数的脉冲响应 h 就有一定的弥散,它表征了对准误差，因而也就是系统空间分辨率大小的度量．注意到 取决于整个频谱函数 G(u)，因此两个系统即使有等同的截止频率，由于 G(u)不相同，
也会得到不同的等效带宽,因而 也不一致．一般来讲,越大，频响特性就越好，脉冲响应的弥散 就越小,由于 = ∞的系统不存在，所以 永远不等于 0．在这个意义上讲，
测量永远都不是绝对准确的,(13)式称为光学系统的测不准关系，它与量子力学中的测不准关系实质上一致．
~
s~
~
~ s~
~
s~?~
s~
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1.2.4 广义测不准关系
(? x)2 (? u )2≥ 1/16?2
或? x? u ≥ 1/4? (18)
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1.3 平面波的角谱和角谱的衍射从变换光学入手来讨论衍射效应,
1,3.1 角谱设单色光波沿 z 方向传播,照射到 xy平面上,
在 xy平面上的光场复振幅分布用函数
(x,y,0)=?(x,y)
=∞-∞A(u,v)exp[i2?(ux+vy)]dudv (1)
一个波矢量为 k 的平面波
o(x,y,z) = A(u,v,z) exp(ik·r)
= A(u,v,z) exp[i2?(?x +?y +?z)/?]
其中?,? 和? 是 k 的方向余弦．
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1.3 平面波的角谱和角谱的衍射
1,3.1 角谱
(x,y,0)=∞-∞A(u,v)exp[i2?(ux+vy)]dudv (1)
引入矢量 a = (?,?),则在 z = 0 的平面上
o(x,y,0) = A(u,v) exp(i2?a·r/?)
= A(u,v) exp[i2?(?x +?y)/?] (4)
将 (4)式和 (1)式作比较,得
u =?/?,v =?/? (5)
则 (1)式可用 a 表示为
(x,y)=∞-∞A(?/?,?/?)exp[i2?(?x+?y)/?]d(?/?)d(?/?) (6)
上式表示,z = 0平面上的场,即透过 x y 平面向
+z 方向传播的波,可用不同方向的平面波展开,
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1.3 平面波的角谱和角谱的衍射
u =?/?,v =?/? (5)
(x,y)=∞-∞A(?/?,?/?)exp[i2?(?x+?y)/?]d(?/?)d(?/?) (6)
(5)式表示空间频率正比于?/? 或?/?，在?(x,y)中的低频分量对应于与轴夹角不大的平面波分量。
而高频分量则对应于与 z 轴夹角较大的平面波分量。不同方向的平面波的权函数 A(?/?,?/?) 称为
(x,y)的 角谱,和空间频谱的实质是相同的。
A(?/?,?/?) 与?(x,y) 的关系就是 傅里叶变换,
A(?/?,?/?) =∞-∞?(x,y) exp[-i2?(?x+?y)/?]dxdy (7)
(6)和 (7)两式构成傅里叶变换对 。
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1.3.2 角谱的传播首先 A(?/?,?/?;z)与 A(?/?,?/?)的关系为,
A(?/?,?/?;z)=∞-∞?(x,y,z) exp[-i2?(?x+?y)/?]dxdy
(x,y,z)=∞-∞A(?/?,?/?;z)exp[i2?(?x+?y)/?]d(?/?)d(?/?)
以?(x,y,z) 代入亥姆霍兹方程，交换积分与微分的次序，可知 A(?/?,?/?;z) 也满足亥姆霍兹方程：
(d2/dz2 +kz2)A(?/?,?/?,z) = 0 (10)
式中 (11)
(10)式的一个解是
(12)
)(12k 22z
)(1z2ie x p,Az;,A 22
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1.3.2 角谱的传播当?2+?2 < 1 时，光波沿 +z 方向传播的效果，
在频域内表现为乘以一个沿 z 轴的 相位延迟因子
,在第二章，我们将看到 这一效应等价于空间滤波,
当?2+?2 > 1 时,取正数,
则角谱为 A(?/?,?/?;z)= A(?/?,?/?) exp(-i2z/?)
表示一个随 z 的增大迅速衰减的波,称 隐失波,
它只存在于很接近于 xy平面的一个薄层内,这是近场光学 要讨论的问题,
)(1z2ie x p,Az;,A 22
/)(1z2ie x p 22
1)( 22
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1.3.3 菲涅耳衍射将 (12)式中相因子内的根号作泰勒展开：
(14)
在上式中只保留二级小量,则
A(?/?,?/?;z)= A(u,v) exp[i2?z(1-?2?2/2)/?]
= A(u,v) exp(i2?z/?) exp(-iz?2)
= A(u,v) exp(i2?z/?) exp[-iz(u2+v2)]
由于 A(u,v)(x,y)
exp[-iz(u2+v2)]? exp[-i?(x2+y 2)/?z] / i?z
(x,y,z)? A(?/?,?/?;z)
8/2/1
1)vu(1)(1
4422
2222222
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40
A(?/?,?/?;z)=A(u,v) exp(i2?z/?) exp[-iz(u2+v2)]
A(u,v)(x,y)
exp[-iz(u2+v2)]? exp[-i?(x2+y 2)/?z] / i?z
(x,y,z)? A(?/?,?/?;z)
卷积的性质,g(x,y)? h(x,y)? G(u,v)H(u,v)
相应的 空域信号 为
(x,y,z)=exp(i2?z/?)?(x,y)? exp{i?[(x2+y2)]/?z}/i?z (16)
=exp(i2?z/?)/i?z∞-∞?(?,?)exp{i?[(x-?)2+(y-?)2]/?z}d?d?
上式即为 菲涅耳衍射的公式,积分在 z = 0的平面进行，式中?(x,y)表示 z = 0的光场复振幅分布。
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41
1.3.4 夫琅和费衍射若 z >>?(?2 +?2)/? (17)
则 菲涅耳衍射的公式 化为
(x,y,z) = exp(i2?z/?)/i?z exp[i?(x2+y2)/?z]
×∞-∞?(?,?) exp[-i2?(?x+?y)/?z]d?d? (18)
(18)就化为远场衍射即夫琅和费衍射的情况 。
(18)式还可表为
(x,y,z) = (A/?z)?(x/?z,y/?z) (19)
上式表示除了与积分变量无关的相位因子
A以外,? 为? 的傅里叶变换,频域宗量为
x/?z 及 y/?z,
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42
1.3.5 角谱的衍射设在 xy平面上有一不透光的屏，屏上带一透光的孔，孔的复数透过率用光瞳函数 p(x,y)来表示，
p(x,y)可以是复数．这样，屏后面的透射场?t 可用入射波的场?i 表为
t (x,y) =? i (x,y) p(x,y) (20)
在频域中，上式变为
At(?/?,?/?) = Ai(?/?,?/?)? P(?/?,?/?) (21)
式中 P 为 p 的角谱,(21)式说明 透射波角谱为入射波角谱与光瞳函数角谱的卷积,引入光阑后，一般来讲信号的空间分布受到压缩．
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43
根据测不准原理，信号在频域中的分布必然展宽,(21)式所示的卷积运算的结果，总是使入射波的角谱变得更加平滑，换言之，有更多的能量扩散到高频段中去．
(12)式为角谱在自由空间中的衍射公式,如果考虑到 xy平面上光瞳函数的作用,(12)式改写为
(22)
(12)式或 (22)式原则上可以解决任何光波的传播及衍射问题,
)(1z2ie x p,P*z;,Az;,A 22
i
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44
1.4 透镜系统的傅里叶变换性质远场衍射即夫琅和费衍射
(x,y,z) = exp(i2?z/?)/i?z exp[i?(x2+y2)/?z]
×∞-∞?(?,?) exp[-i2?(?x+?y)/?z]d?d? (18)
(18)式表明,远场衍射具有傅里叶变换的特性,由于薄透镜或透镜组的后焦面等价于 ∞,因而可以想像凡是具有正焦距的光学系统都应当具有傅里叶变换的功能,
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45
设用振幅为 l 的单色平面波照射一个在 xy平面上,且振幅透过率为 g(x,y)的物体,则物体后面的场为 g(x,y),光场展开成为平面波角谱：
g(x,y) =∞-∞G(?/?,?/?)exp[i2?(?x+?y)/?]d(?/?)d(?/?)
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46
由于透镜组具有聚焦的特性，所有方向相同，即具有同样的方向余弦?,? 的入射波都将会聚到透镜组后焦面的一点 Q(u,v)
上。当透镜组焦距 f >> (u2+v2)1/2 时，即 Q
点很接近于原点时，有下面的近似等式
u ≈?f,v ≈? f (2)
g(x,y)的角谱中所有方向余弦为?,? 的角谱分量都对 Q点有贡献,Q点的的复振幅自然就等于 G(?/?,?/?),因而后焦面上的复振幅分布为
G(?/?,?/?) = G(u/?f,v/?f) (3)
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47
这样，透镜组的后焦面就成为信号的频域,透镜组起了傅里叶变换的作用 。大部分具有聚焦性能的器件，例如反光镜、自聚焦透镜等，都具有傅里叶变换的功能。薄透镜的傅里叶变换功能可以直接计算出来，但它只是光学傅里叶变换器件的一个特例．
我们用 u,v 来表示频域的坐标，也可以表示空间频率变量。在一维的情形下也用 v
来表示空间频率变量。
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48
注意 u ≈?f,v ≈? f (2)
只是近轴近似．严格来说，
u =f tg? = f? /(1-?2)1/2 (4)
式中?是波矢量 k 与 z 轴的夹角。为简单起见，设
k 位于 xz平面内,(4)式又称 正切条件,只是在?
很 小时，才满足 (2)式。当?较大时，傅里叶平面
(后焦面 )上的线度 u 与空间频率
/? 并不满足正比关系。
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49
从几何光学知道，一个像差校正得很好的透镜必须满足正弦条件，而 正弦条件与正切条件是难以同时满足 的，所以,性能完善的傅里叶变换透镜是很难设计的。
不过在大多数情况下，光学变换是作为近似的模拟变换而加以应用的，再说推导薄透镜的相位变换公式时已经引入了近轴近似。 在大多数应用中，无论是薄透镜或是透镜组仍然是最方便、廉价的光学傅里叶变换器件。
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透镜系统的相位变换公式由于透镜系统能将平面波转换成球面波，所以它的相位变换效应可以表为
tl = exp(ik?) exp(–ikr)/r (5)
式中?为透镜组的等效厚度。 r = OP,O是会聚球面波的中心，也是透镜系统的焦点，
OQ = OM= f，
f 为焦距,在近轴近似下，
PQ ≈ MN = h，
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tl = exp(ik?) exp(–ikr)/r r = f + PQ ≈ f + h。
因为?2 +?2 + f 2 = r2 ≈ (f + h)2
→?2 +?2 ≈ (f + h)2 - f 2 ≈ 2fh → h ≈ (?2 +?2)/2f
所以 r ≈ f + h = f + (?2 +?2)/2f (6)
式中 (?,?)是 P 点坐标，代入 (5)式，取分母上的
r ≈ f,得 透镜系统的相位变换公式
tl = exp[ik(?-f)]exp[–ik(?2 +?2)/2f ]/ f (7)
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透镜系统对图像的变换公式设光波在 dl和 d2范围内的传播满足菲涅耳近似条件,则由 1.3节 (16)式透镜前表面的场?l可表为
l(?,?)= eikd1/i?d1
×∞-∞?o(x,y)exp{ik[(?-x)2+(?-y)2]/2d1}dxdy (8)
透镜 L的相位变换效应 可表为
l’(?,?)=tl?l=(e-ikf/f)exp[-ik(?2+?2)/2f]?l(?,?) (9)
其中略去了常数相位项 exp(ik?)．
设输入平面的透过率为?o(x,y)，它位于透镜 L
前 dl 处．输出平面 uv位于
L后 d2 处。物体用振幅为
1的单色光波照明。
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利用菲涅耳变换公式,得到输出平面 (u,v)上的场
l(u,v)= exp(ikd2)/i?d2
×∞-∞?l’(?,?)exp{ik[(u-?)2+(v-?)2]/2d2}d?d? (10)
将 (8),(9)代入 (10)式,得
l(u,v)=-exp(ik(d1+d2-f)exp[ik(u2+v2)/2d2]/?2d1d2f
×∞-∞?o(x,y)exp[ik(x2+y2)/2d1]I(x,y)dxdy (11)
其中 I(x,y)=∞-∞exp{ik/2[(1/d1+1/d2-1/f)(?2+?2)]
-2(x/d1+u/d2)?-2(y/d1+v/d2)?}d?d?
= I1(x,y)I2(x,y) (12)
Ij =?∞-∞exp[i(k2/2-k?j?)]d? ( j=1,2) (13)
= 1/d1+1/d2-1/f,?1 = x/d1+u/d2,?2 = y/d1+v/d2
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54
讨论：
以 (15),(16)式代入 (12)式，再代入 (11)式，经整理，得到
(a)?≠ 0
]2/)d/vd/y(ike x p [/iI
]2/)d/ud/x(ike x p [/iI
212
211
(15)
(16)
(18)
-
222
21
o
221
2121
)fdd(ik
dx dy)yvxu(2)yx(
f
d
1
dd2
k
ie x p)y,x(
)vu(
f
d
1
dd2
k
ie x p
fddi
e
)v,u(
21
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55
当 d2 = f,即以后焦面作为输出平面,则
(18)式化作
(19)
此时?是?o的傅里叶变换 (相位因子除外，
在探测光强时相位因子不起作用 )，宗量是 ( u/?f,v/?f )．
-
o
221
2
i k d
d x d y)yvxu(
f
k
ie x p)y,x(
)vu(
f
d
1
f2
k
ie x p
fi
e
)v,u(
1
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当 d2= f,d1= f 时,相位因子消去,
(20)
是?o的傅里叶变换在一般情况下,d1 和 d2 与 f 并不相等．在这种情况下，有可能实现广义傅里叶变换 (分数阶傅里叶变换 )。我们将在第五章中详细讨论这一课题。
-
o2
i k f
d x d y)yvxu(
f
kie x p)y,x(
fi
e)v,u(
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(b)? = 1/d1+1/d2-1/f = 0,即输入输出平面关于透镜组 满足成像关系,此时
I1 =?d1?( x - u/? ) (21)
I2 =?d2?( y - v/? ) (22)
式中? = - d2 /d1 为系统的 横向放大率,以 (21)、
(22)式代入 (12),(11)式得
(23)
在输出平面上得到放大? 倍的像,回到几何光学的结果,这个结论只是近似成立的,因为我们完全不考虑光瞳函数的影响,也忽略了透镜的像差,
v,u)vu(fie x pfe)v,u( 222
)fdd(ik 21
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1
第一章傅里叶光学基础第 1节第 2节第 3节第 4节目 录第 1章
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2
第一章 傅里叶光学基础
1,1 二维傅里叶分析
1,2 空间带宽积和测不准关系式
1,3 平面波的角谱和角谱的衍射
1,4 透镜系统的傅里叶变换性质第 1节第 2节第 3节第 4节目 录第 1章
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3
1.1 二维傅里叶分析
1.1.1 定义及存在条件复变函数器 g(x,y) 的 傅里叶变换 可表为
G(u,v) = F {g(x,y)}
=∞-∞g(x,y)exp[-i2?(ux+vy)]dxdy (1)
称 g(x,y)为 原函数,G(u,v)为变换函数或 像函数 。
(1)式的 逆变换 为
g(x,y) = F -1{G(u,v) }
=∞-∞G(u,v)exp[i2?(ux+vy)]dudv (2)
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4
傅里叶 -贝塞尔变换设 函数 g(r,?) = g(r) 具有圆对称，
傅里叶 -贝塞尔变换为
G(?) = B {g(r)}
= 2∞org(r)Jo(2r)dr
其中 Jo 为第一类零阶贝塞尔函数傅里叶 -贝塞尔逆变换为
g(r) = B-1 {G(?)}
= 2∞o?G(?)Jo(2r)d?
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5
变换存在的条件 为
(1) g(x,y)在全平面绝对可积；
(2) g(x,y)在全平面只有有限个间断点,在任何有限的区域内只有有限个极值；
(3) g(x,y)没有无穷大型间断点 。
以上条件并非必要,实际上,,物理的真实,就是变换存在的充分条件 。
以下我们常用 g(x,y)? G(u,v) 表示变换对,
对于光学傅里叶变换,x,y是空间变量,u,v 则是空间频率变量 。 在一维情况下,有时也用希腊字母 v 表示频率变量 。
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6
1.1.2 δ函数的傅里叶变换由 δ函数的定义容易得到
δ(x-xo,y-yo)? exp [-i2?(uxo+ vyo)] (3)
当 xo=0,yo= 0 时得到 δ(x,y)? 1 (4)
上式的物理意义表示 点源函数具有权重为 l 的最丰富的频谱分量,因此 光学中常用点光源来检测系统的响应特性,即 脉冲响应,(3)式还可表为,
δ(x-xo,y-yo)=∞- ∞exp{-i2?[u(x-xo)+v(y-yo)]}dudv
它正是 δ函数的积分表达式,
根据 δ函数的偏导数的定义
∞- ∞ δ(n)(x)g(x)dx = (-1)n g(n)(0) (6)
得到 δ(k,l)(x,y)的傅里叶变换
δ(k,l)(x,y) =?k+lδ(x,y)/?xk?yl )
(i2?u)k (i2?v)l (7)
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7
1.1.3 傅里叶变换的基本性质
(1) 线性 ( linearity )
Ag(x,y) + Bh(x,y)? AG(u,v) + BH(u,v) (8)
(2) 缩放及反演 (scaling and inversion)
g(ax,by)? G(u/a,v/b)/|ab| (9)
上式表明 空域信号的展宽将引起频域信号的压缩,
特别是当 a = b = -1 时，得到反演的变换性质：
g(-x,-y)? G(-u,-v) (10)
(3) 位移 (shift)
g(x+xo,y+yo)? exp[i2?(uxo+vyo)]G(u,v) (11)
上式表示 原函数的位移引起变换函数的相移,
(4) 共扼 (conjugation)
g*(x,y)? G*(-u,-v) (12)
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8
(5) 卷积 (convo1ution)
g(x,y)和 h(x,y)的卷积定义：
g(x,y)?h(x,y) =∞-∞g(?,? )h(x-?,y-?)d?d?
易证明,g(x,y)? h(x,y)? G(u,v) H(u,v)
δ函数的卷积有特殊的性质：
g(x)?δ(x-xo) = g(x-xo) (15)
g(x,y)?δ(k,l)(x,y) = g (k,l)(x,y) (16)
(6)导数的变换 公式可由 (7)式导出
g(k,l)(x,y)? (i2?u)k (i2?v)l G(u,v) (17)
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9
(7) 相关 (correlation)
函数 g(x,y)和 h(x,y) 的相关定义为
g(x,y)? h(x,y) =∞-∞g(?,? )h(x+?,y+?)d?d?
当 g = h 时成为 自相关,有
g(x,y)? g(x,y) =∞-∞g(?,? )g(x+?,y+?)d?d?
相关的变换可以利用卷积的变换公式导出：
g(x,y)? h(x,y) = g*(-x,-y)? h(x,y)
G*(u,v) H(u,v)
g(x,y)? g(x,y)? ∣ G(u,v)∣ 2 (21)
自相关与功率谱构成傅里叶变换第 1节第 2节第 3节第 4节目 录第 1章
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10
(8) 矩 (moment)
g(x,y)的 (k,l )阶矩定义为
M k,l =∞-∞ g(x,y)xk yl dxdy (22)
将逆变换表达式 (2)代入上式,得到
M k,l=∞-∞G(u,v)dudv∞-∞xkylexp[i2?(ux+vy)]dxdy
由 δ函数导数的变换表达式 (7),上式内部的积分
∞-∞xkylexp[i2?(ux+vy)]dxdy = (i2?)-k-l δ(k,l)(u,v)
矩的表达式
M k,l = (-i2?)-k-l G (k,l) (0,0)
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11
(9) Parseval 定理
g(x,y)? h(x,y)? G*(u,v)H(u,v)式可用逆变换表达式改写为
∞-∞g(?,? )h(x+?,y+?)d?d?
=∞-∞G*(u,v)H(u,v)exp [i2?(ux+vy)]dudv
令 x = y = 0,上式为
∞-∞g(?,?)h(?,?)d?d? =∞-∞G*(u,v)H(u,v)dudv
这一关系式称为 Parseval 定理,
当 h =g 时，上式化为
∞-∞?g(?,?)?2 d?d? =∞-∞?G(u,v)?2 dudv
该式又称 完备关系式,实际上是 能量守恒定律 在空域和频域中表达式一致性的表现．
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12
1.1.4 特殊函数及其傅里叶变换
1,rect(x),?(x)及 sinc(x)函数定义
(1) rect(x)函数
rect(x) = 1,| x |
rect(x) = 0,其他
(2)?(x)函数
(x) = 1- | x |,| x |? 1
(x) = 0,其他
(3) sinc(x)函数
sinc(x) = (sin?x)/?x
-?
1
1-1
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13
1.1.4 特殊函数及其傅里叶变换
rect(x),?(x)及 sinc(x)函数 傅里叶变换,
傅里叶变换分别为
rect(x)? sinc(u)
sinc(x)? rect(u)
(x)? sinc2(u)
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14
1.1.4 特殊函数及其傅里叶变换
2,符号函数 sgn(x)和阶跃函数 step(x)
符号函数 sgn(x)定义
sgn(x)= 1,x > 0
sgn(x)= 0,x = 0
sgn(x)= -1,x < 0
阶跃函数 step(x)定义
step(x) =1,x > 0
step(x) =0,x < 0
o
o
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15
1.1.4 特殊函数及其傅里叶变换
sgn(x)函数和 step(x)函数 傅里叶变换傅里叶变换为
sgn(x)? 1 / i?u
step(x) = sgn(x)/2+1/2? 1/i 2?u +?(u)/2
利用 step(x)的变换式及卷积定理，可求出积分?x-∞g(? )d? 的变换,
x-∞g(? )d? =?∞- ∞g(?) step (x-?)d?
= g(x)? step (x)
G(u)[1/i 2?u +?(u)/2]
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16
1.1.4 特殊函数及其傅里叶变换
3,周期函数设函数 g(x)可展开为傅里叶级数
g(x) =?∞-∞Cnexp(i2n?fox) (38)
式中 Cn =(1/X)?X/2-X/2 g(x)exp(-i2n?fox)dx
周期 X=1/fo,对 (38)式两边取傅氏变换得
G(u) =?∞-∞Cn?(u - n fo) (40)
推导中用到积分变换式：
(u - n fo)? exp(i2?nfox),
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17
1.1.4 特殊函数及其傅里叶变换
g(x) =?∞-∞Cnexp(i2n?fox)
G(u) =?∞-∞Cn?(u - n fo) (40)
4,函数 comb(x)
comb(x) =?∞-∞?(x - n)
=?∞-∞exp(i2n?x) (42)
系数 Cn =1,因此由 (40)式可得
comb(x)? comb(u) (43)
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18
1.1.4 特殊函数及其傅里叶变换
4,函数 comb(x)
设 X为实数常数,则有
(1/X)g(x)? comb(x/X)
= (1/X)?∞-∞g(?) comb[(x -?)/X]d?
= (1/X)?∞-∞g(?)?∞-∞?[(x-?)/X - n] d?
=?∞-∞?∞-∞g[X(?/X)]?[x/X-?/X-n]d(?/X)
=?∞-∞g [X(x/X-n ]=?∞-∞g(x - nX) (44)
结果得到了 以 nX (n = 0,± 1,± 2,…) 为中心的一系列重复出现的波形 g(x - nX),这一现象称为“复现”．
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19
1.1.4 特殊函数及其傅里叶变换
4,函数 comb(x)
gs(x)= g(x) comb(x/X)
= g(x)?∞-∞?(x/X - n)
=?∞-∞g(nX)?(x - nX)
gs称 g 的 抽样函数,X为 抽样间隙,xn=nX
称 样点,g(xn)称 样值,所以 g(x)的抽样函数 gs(x)是以样值为权重的? 函数序列,
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20
1.1.5 功率谱与空间自相关函数由 Parseval 定理
∞-∞?g(x,y)?2 dxdy =∞-∞?G(u,v)?2 dudv
g(x,y)为光场的复振幅分布，
g(x,y)?2代表光强分布，
G(u,v)?2 则表示单位频率间隔的光能量，
称为 功率谱,用 s(u,v)表示为
s(u,v) =?G(u,v)?2 (46)
根据变换定理,我们得到
g(x,y)? g(x,y)?∣ G(u,v)∣ 2 = s(u,v) (47)
第 1节第 2节第 3节第 4节目 录第 1章
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21
1.1.5 功率谱与空间自相关函数
g(x,y)? g(x,y)? ∣ G(u,v)∣ 2 = s(u,v) (47)
g?g 在光学上称为 空间自相关函数,上式表示功率谱是空间自相关函数的傅氏变换,
空间自相关函数表征空间相距为 (x,y)的两点之间场的相似性或关联性,它是场的空间相干性的度量 。 场的 相干性较高 时,功率谱的弥散 就 较小,表示光功率在频域内集中在很小的区域中 (可称为 准单色光 )；反之当场的 相干性较差 时,功率谱的弥散就较大,表示光功率在频域中分布在较大的区域内,包含较宽的波段 。
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22
1.2 空间带宽积和测不准关系式
1.2.1 空间带宽积与自由度如果信号 g 在频域内不为零的分量限制在某一区域内，则称为,带限函数,。
1,Whittaker-Shannon抽样定律：
带限函数 g(x,y)被它的抽样值的无穷集合 { g mn = g( m/?u,n/?v) } 完全确定，式中?u,?v 是频带的宽度,m,n = 0,± l,
± 2,… 。
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23
2,空间带宽积与自由度傅氏变换及解析函数的一般理论告诉我们：
频域内的带限函数，在空域内必然扩展到全平面,因为带限函数的傅里叶变换是一个解析函数，它不可能在一个有限的区域内处处为零，否则通过解析开拓就可以证明这个函数在全平面内处处为零．
1.2.1 空间带宽积与自由度第 1节第 2节第 3节第 4节目 录第 1章
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24
1.2.1 空间带宽积与自由度
2,自由度实际信号测量系统的输入平面总是有限制的，设信号被限制在 r [-?x/2,?x/2,
-?y/2,?y/2]矩形区域内，又设系统的带宽
u,?v 与抽样间隙 X,Y满足倒数的关系，
则在 r 内共有抽样点 N 个，
N =?x?y/XY=?x?y?u?v = SW (1)
式中 S =?x?y,W =?u?v 。 SW称空间带宽积,是评价系统性能的重要参数,(1)
式指出 通过系统的样点数等于空间带宽积,
第 1节第 2节第 3节第 4节目 录第 1章
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25
因为一个在频域中非无限扩展的信号
(带限信号 )，在空域中必然是无限扩展的，
若用一个具有有限大小的输入端面的系统对该信号进行测量，必然造成信息量的损失，使测量结果失真。
例如 信号分布在 矩形 r 内,那么这个信号就被它的 N个样值基本上确定了 。 我们称这个信号有 N 个自由度,显然 自由度数等于空间带宽积,
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26
如果系统的输入端面的尺寸小于 r，
则自由度数将小于 N,所以空间带宽积与其说是信号的特征，还不如说是系统的特征,因为系统有限的空域和频域尺寸限制了通过它的信息量．
例如对于一个成像系统,限制 空域尺寸 的是 视场光阑 的大小,限制 频域尺寸 的是 孔径光阑 的大小 。 显然视场越大,孔径越大的系统能传递更多的信息,
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27
1.2.2 系统的分辨率考虑一个低通滤波性能的系统的分辨率,
即输入平面上能被系统分辨开来的两个点的最小间距 (最小分辨长度 )的倒数 。
由抽样定理可知,对任意输入信号 g(x,y)来讲,
由于系统频率响应特性的限制,其效果都是带限的,因此可以用抽样函数 gs(x,y)来代替它 。
只要抽样点充分稠密,即条件
X ≤ 1/?u,Y ≤ 1/?v (4)
满足时,对于系统输出端而言,gs和 g 等价,在输出端并不能觉察出 gs 的周期结构,或者说 gs
包含的脉冲是不可分辨的 。
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28
1.2.2 系统的分辨率当条件 (4)不满足时,gs和 g 对于输出端不再等价，从而在输出端就能觉察出 gs 的周期结构，
或者讲 gs 中两个相邻脉冲能够被系统分辨开来。
这样，系统的最小分辨长度?x 和?y应当与 (4)式表示的 X,Y 同数量级，从而与带宽成反比：
x? 1/?u,?y? 1/?v (5)
最小分辨长度与空间带宽积的关系为
x?yx?y/SW (6)
可见在给定输入端面尺寸?x,?y后,SW越大,
最小分辨长度就越小,系统的分辨率就越高,测量过程的失真越小 。
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29
1,2.3 等效带宽和测不准关系仅考虑一维情况
G(u) =?∞-∞g(x)exp(-i2?ux)dx (7)
g(x) =?∞-∞ G(u)exp(i2?ux)du (8)
由以上两式可得
G(0) =?∞-∞g(x)dx (9)
g(0) =?∞-∞ G(u)du (10)
设信号在空域和频域中不显著为 0的分量都集中在原点近旁有限区域内，则可用近似度量
g(x)和 G(u)的弥散或展宽的程度．引入 和,
)0(G/d)(G~
)0(g/dx)x(gs~
uu
s~?~
(11)
(12)
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意义,
如一个矩形高度等于 G(0)，面积与曲线 G(u)下的面积相同，则它的宽度为,
又称为,等效带宽,。
~
~?~
~
等效带宽
Goodman提出了等效带宽的概念，它是频谱曲线展宽程度的某种度量,G(u)越宽,越大，因而常用来评价系统的性能。~
G(u)
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31
将 (11),(12)交叉相除得到
(13)
由于 可表征信号在空域的 展宽或弥散,上式意味着 信号在空域和频域中的展宽是互相制约的．
假设要对信号进行长度或位置测量，测量系统可看成是对被测对象的一个变换，在位置测量时必须使系统首先“对准”空间的一个定点或长度的一个端点，该点可以用?函数表示，它就是系统的输入，而输出恰恰就是系统的脉冲响应 h。
必须指出，通过测量我们只能获得 h 所包含的信息，我们永远无法直接得到被测点本身．
1~s~
s~
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所有测量系统的等效带宽 都是有限的，从而?
函数的脉冲响应 h 就有一定的弥散,它表征了对准误差，因而也就是系统空间分辨率大小的度量．注意到 取决于整个频谱函数 G(u)，因此两个系统即使有等同的截止频率，由于 G(u)不相同，
也会得到不同的等效带宽,因而 也不一致．一般来讲,越大，频响特性就越好，脉冲响应的弥散 就越小,由于 = ∞的系统不存在，所以 永远不等于 0．在这个意义上讲，
测量永远都不是绝对准确的,(13)式称为光学系统的测不准关系，它与量子力学中的测不准关系实质上一致．
~
s~
~
~ s~
~
s~?~
s~
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1.2.4 广义测不准关系
(? x)2 (? u )2≥ 1/16?2
或? x? u ≥ 1/4? (18)
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1.3 平面波的角谱和角谱的衍射从变换光学入手来讨论衍射效应,
1,3.1 角谱设单色光波沿 z 方向传播,照射到 xy平面上,
在 xy平面上的光场复振幅分布用函数
(x,y,0)=?(x,y)
=∞-∞A(u,v)exp[i2?(ux+vy)]dudv (1)
一个波矢量为 k 的平面波
o(x,y,z) = A(u,v,z) exp(ik·r)
= A(u,v,z) exp[i2?(?x +?y +?z)/?]
其中?,? 和? 是 k 的方向余弦．
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35
1.3 平面波的角谱和角谱的衍射
1,3.1 角谱
(x,y,0)=∞-∞A(u,v)exp[i2?(ux+vy)]dudv (1)
引入矢量 a = (?,?),则在 z = 0 的平面上
o(x,y,0) = A(u,v) exp(i2?a·r/?)
= A(u,v) exp[i2?(?x +?y)/?] (4)
将 (4)式和 (1)式作比较,得
u =?/?,v =?/? (5)
则 (1)式可用 a 表示为
(x,y)=∞-∞A(?/?,?/?)exp[i2?(?x+?y)/?]d(?/?)d(?/?) (6)
上式表示,z = 0平面上的场,即透过 x y 平面向
+z 方向传播的波,可用不同方向的平面波展开,
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1.3 平面波的角谱和角谱的衍射
u =?/?,v =?/? (5)
(x,y)=∞-∞A(?/?,?/?)exp[i2?(?x+?y)/?]d(?/?)d(?/?) (6)
(5)式表示空间频率正比于?/? 或?/?，在?(x,y)中的低频分量对应于与轴夹角不大的平面波分量。
而高频分量则对应于与 z 轴夹角较大的平面波分量。不同方向的平面波的权函数 A(?/?,?/?) 称为
(x,y)的 角谱,和空间频谱的实质是相同的。
A(?/?,?/?) 与?(x,y) 的关系就是 傅里叶变换,
A(?/?,?/?) =∞-∞?(x,y) exp[-i2?(?x+?y)/?]dxdy (7)
(6)和 (7)两式构成傅里叶变换对 。
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1.3.2 角谱的传播首先 A(?/?,?/?;z)与 A(?/?,?/?)的关系为,
A(?/?,?/?;z)=∞-∞?(x,y,z) exp[-i2?(?x+?y)/?]dxdy
(x,y,z)=∞-∞A(?/?,?/?;z)exp[i2?(?x+?y)/?]d(?/?)d(?/?)
以?(x,y,z) 代入亥姆霍兹方程，交换积分与微分的次序，可知 A(?/?,?/?;z) 也满足亥姆霍兹方程：
(d2/dz2 +kz2)A(?/?,?/?,z) = 0 (10)
式中 (11)
(10)式的一个解是
(12)
)(12k 22z
)(1z2ie x p,Az;,A 22
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1.3.2 角谱的传播当?2+?2 < 1 时，光波沿 +z 方向传播的效果，
在频域内表现为乘以一个沿 z 轴的 相位延迟因子
,在第二章，我们将看到 这一效应等价于空间滤波,
当?2+?2 > 1 时,取正数,
则角谱为 A(?/?,?/?;z)= A(?/?,?/?) exp(-i2z/?)
表示一个随 z 的增大迅速衰减的波,称 隐失波,
它只存在于很接近于 xy平面的一个薄层内,这是近场光学 要讨论的问题,
)(1z2ie x p,Az;,A 22
/)(1z2ie x p 22
1)( 22
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1.3.3 菲涅耳衍射将 (12)式中相因子内的根号作泰勒展开：
(14)
在上式中只保留二级小量,则
A(?/?,?/?;z)= A(u,v) exp[i2?z(1-?2?2/2)/?]
= A(u,v) exp(i2?z/?) exp(-iz?2)
= A(u,v) exp(i2?z/?) exp[-iz(u2+v2)]
由于 A(u,v)(x,y)
exp[-iz(u2+v2)]? exp[-i?(x2+y 2)/?z] / i?z
(x,y,z)? A(?/?,?/?;z)
8/2/1
1)vu(1)(1
4422
2222222
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A(?/?,?/?;z)=A(u,v) exp(i2?z/?) exp[-iz(u2+v2)]
A(u,v)(x,y)
exp[-iz(u2+v2)]? exp[-i?(x2+y 2)/?z] / i?z
(x,y,z)? A(?/?,?/?;z)
卷积的性质,g(x,y)? h(x,y)? G(u,v)H(u,v)
相应的 空域信号 为
(x,y,z)=exp(i2?z/?)?(x,y)? exp{i?[(x2+y2)]/?z}/i?z (16)
=exp(i2?z/?)/i?z∞-∞?(?,?)exp{i?[(x-?)2+(y-?)2]/?z}d?d?
上式即为 菲涅耳衍射的公式,积分在 z = 0的平面进行，式中?(x,y)表示 z = 0的光场复振幅分布。
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41
1.3.4 夫琅和费衍射若 z >>?(?2 +?2)/? (17)
则 菲涅耳衍射的公式 化为
(x,y,z) = exp(i2?z/?)/i?z exp[i?(x2+y2)/?z]
×∞-∞?(?,?) exp[-i2?(?x+?y)/?z]d?d? (18)
(18)就化为远场衍射即夫琅和费衍射的情况 。
(18)式还可表为
(x,y,z) = (A/?z)?(x/?z,y/?z) (19)
上式表示除了与积分变量无关的相位因子
A以外,? 为? 的傅里叶变换,频域宗量为
x/?z 及 y/?z,
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42
1.3.5 角谱的衍射设在 xy平面上有一不透光的屏，屏上带一透光的孔，孔的复数透过率用光瞳函数 p(x,y)来表示，
p(x,y)可以是复数．这样，屏后面的透射场?t 可用入射波的场?i 表为
t (x,y) =? i (x,y) p(x,y) (20)
在频域中，上式变为
At(?/?,?/?) = Ai(?/?,?/?)? P(?/?,?/?) (21)
式中 P 为 p 的角谱,(21)式说明 透射波角谱为入射波角谱与光瞳函数角谱的卷积,引入光阑后，一般来讲信号的空间分布受到压缩．
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根据测不准原理，信号在频域中的分布必然展宽,(21)式所示的卷积运算的结果，总是使入射波的角谱变得更加平滑，换言之，有更多的能量扩散到高频段中去．
(12)式为角谱在自由空间中的衍射公式,如果考虑到 xy平面上光瞳函数的作用,(12)式改写为
(22)
(12)式或 (22)式原则上可以解决任何光波的传播及衍射问题,
)(1z2ie x p,P*z;,Az;,A 22
i
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1.4 透镜系统的傅里叶变换性质远场衍射即夫琅和费衍射
(x,y,z) = exp(i2?z/?)/i?z exp[i?(x2+y2)/?z]
×∞-∞?(?,?) exp[-i2?(?x+?y)/?z]d?d? (18)
(18)式表明,远场衍射具有傅里叶变换的特性,由于薄透镜或透镜组的后焦面等价于 ∞,因而可以想像凡是具有正焦距的光学系统都应当具有傅里叶变换的功能,
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45
设用振幅为 l 的单色平面波照射一个在 xy平面上,且振幅透过率为 g(x,y)的物体,则物体后面的场为 g(x,y),光场展开成为平面波角谱：
g(x,y) =∞-∞G(?/?,?/?)exp[i2?(?x+?y)/?]d(?/?)d(?/?)
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由于透镜组具有聚焦的特性，所有方向相同，即具有同样的方向余弦?,? 的入射波都将会聚到透镜组后焦面的一点 Q(u,v)
上。当透镜组焦距 f >> (u2+v2)1/2 时，即 Q
点很接近于原点时，有下面的近似等式
u ≈?f,v ≈? f (2)
g(x,y)的角谱中所有方向余弦为?,? 的角谱分量都对 Q点有贡献,Q点的的复振幅自然就等于 G(?/?,?/?),因而后焦面上的复振幅分布为
G(?/?,?/?) = G(u/?f,v/?f) (3)
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这样，透镜组的后焦面就成为信号的频域,透镜组起了傅里叶变换的作用 。大部分具有聚焦性能的器件，例如反光镜、自聚焦透镜等，都具有傅里叶变换的功能。薄透镜的傅里叶变换功能可以直接计算出来，但它只是光学傅里叶变换器件的一个特例．
我们用 u,v 来表示频域的坐标，也可以表示空间频率变量。在一维的情形下也用 v
来表示空间频率变量。
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注意 u ≈?f,v ≈? f (2)
只是近轴近似．严格来说，
u =f tg? = f? /(1-?2)1/2 (4)
式中?是波矢量 k 与 z 轴的夹角。为简单起见，设
k 位于 xz平面内,(4)式又称 正切条件,只是在?
很 小时，才满足 (2)式。当?较大时，傅里叶平面
(后焦面 )上的线度 u 与空间频率
/? 并不满足正比关系。
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从几何光学知道，一个像差校正得很好的透镜必须满足正弦条件，而 正弦条件与正切条件是难以同时满足 的，所以,性能完善的傅里叶变换透镜是很难设计的。
不过在大多数情况下，光学变换是作为近似的模拟变换而加以应用的，再说推导薄透镜的相位变换公式时已经引入了近轴近似。 在大多数应用中，无论是薄透镜或是透镜组仍然是最方便、廉价的光学傅里叶变换器件。
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透镜系统的相位变换公式由于透镜系统能将平面波转换成球面波，所以它的相位变换效应可以表为
tl = exp(ik?) exp(–ikr)/r (5)
式中?为透镜组的等效厚度。 r = OP,O是会聚球面波的中心，也是透镜系统的焦点，
OQ = OM= f，
f 为焦距,在近轴近似下，
PQ ≈ MN = h，
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tl = exp(ik?) exp(–ikr)/r r = f + PQ ≈ f + h。
因为?2 +?2 + f 2 = r2 ≈ (f + h)2
→?2 +?2 ≈ (f + h)2 - f 2 ≈ 2fh → h ≈ (?2 +?2)/2f
所以 r ≈ f + h = f + (?2 +?2)/2f (6)
式中 (?,?)是 P 点坐标，代入 (5)式，取分母上的
r ≈ f,得 透镜系统的相位变换公式
tl = exp[ik(?-f)]exp[–ik(?2 +?2)/2f ]/ f (7)
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透镜系统对图像的变换公式设光波在 dl和 d2范围内的传播满足菲涅耳近似条件,则由 1.3节 (16)式透镜前表面的场?l可表为
l(?,?)= eikd1/i?d1
×∞-∞?o(x,y)exp{ik[(?-x)2+(?-y)2]/2d1}dxdy (8)
透镜 L的相位变换效应 可表为
l’(?,?)=tl?l=(e-ikf/f)exp[-ik(?2+?2)/2f]?l(?,?) (9)
其中略去了常数相位项 exp(ik?)．
设输入平面的透过率为?o(x,y)，它位于透镜 L
前 dl 处．输出平面 uv位于
L后 d2 处。物体用振幅为
1的单色光波照明。
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53
利用菲涅耳变换公式,得到输出平面 (u,v)上的场
l(u,v)= exp(ikd2)/i?d2
×∞-∞?l’(?,?)exp{ik[(u-?)2+(v-?)2]/2d2}d?d? (10)
将 (8),(9)代入 (10)式,得
l(u,v)=-exp(ik(d1+d2-f)exp[ik(u2+v2)/2d2]/?2d1d2f
×∞-∞?o(x,y)exp[ik(x2+y2)/2d1]I(x,y)dxdy (11)
其中 I(x,y)=∞-∞exp{ik/2[(1/d1+1/d2-1/f)(?2+?2)]
-2(x/d1+u/d2)?-2(y/d1+v/d2)?}d?d?
= I1(x,y)I2(x,y) (12)
Ij =?∞-∞exp[i(k2/2-k?j?)]d? ( j=1,2) (13)
= 1/d1+1/d2-1/f,?1 = x/d1+u/d2,?2 = y/d1+v/d2
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54
讨论：
以 (15),(16)式代入 (12)式，再代入 (11)式，经整理，得到
(a)?≠ 0
]2/)d/vd/y(ike x p [/iI
]2/)d/ud/x(ike x p [/iI
212
211
(15)
(16)
(18)
-
222
21
o
221
2121
)fdd(ik
dx dy)yvxu(2)yx(
f
d
1
dd2
k
ie x p)y,x(
)vu(
f
d
1
dd2
k
ie x p
fddi
e
)v,u(
21
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55
当 d2 = f,即以后焦面作为输出平面,则
(18)式化作
(19)
此时?是?o的傅里叶变换 (相位因子除外，
在探测光强时相位因子不起作用 )，宗量是 ( u/?f,v/?f )．
-
o
221
2
i k d
d x d y)yvxu(
f
k
ie x p)y,x(
)vu(
f
d
1
f2
k
ie x p
fi
e
)v,u(
1
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56
当 d2= f,d1= f 时,相位因子消去,
(20)
是?o的傅里叶变换在一般情况下,d1 和 d2 与 f 并不相等．在这种情况下，有可能实现广义傅里叶变换 (分数阶傅里叶变换 )。我们将在第五章中详细讨论这一课题。
-
o2
i k f
d x d y)yvxu(
f
kie x p)y,x(
fi
e)v,u(
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(b)? = 1/d1+1/d2-1/f = 0,即输入输出平面关于透镜组 满足成像关系,此时
I1 =?d1?( x - u/? ) (21)
I2 =?d2?( y - v/? ) (22)
式中? = - d2 /d1 为系统的 横向放大率,以 (21)、
(22)式代入 (12),(11)式得
(23)
在输出平面上得到放大? 倍的像,回到几何光学的结果,这个结论只是近似成立的,因为我们完全不考虑光瞳函数的影响,也忽略了透镜的像差,
v,u)vu(fie x pfe)v,u( 222
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