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第二章经典光学信息处理第 1节第 2节第 3节第 4节第 5节第 6节目 录第 7节第 8节第 9节第 10节第 2章
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第二章 经典光学信息处理
2,1 引言
2,2 早期发展
2,3 傅里叶处理器
2,4 线性系统与卷积
2,5 空间滤波
2,6 照相图像的恢复
2,7 全息术
2,8 傅里叶变换全息图
2,9 相关和卷积
2,10 结论第 1节第 2节第 3节第 4节第 5节第 6节目 录第 7节第 8节第 9节第 10节第 2章
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2.1 引 言
信息,客观事物的运动状态的表征和描述 。
能量从能量源传递到探测器,在能量传递过程中伴随着信息的传递,就形成 信号 。 探测到的能量中所包含的不需要的信息则称为 噪声 。
光学信息,指光的强度 (或振幅 ),相位,颜色
(波长 )和偏振态等 。 本课程 光学信息 特指 光强分布所形成的图像,它可以是日常生活中自然图像,也可以是人造的或人工模拟的图像 。
光学信息处理,指的是光学图像的 产生,传递,
探测 和 处理 。 所需要的图像称为 信号,在处理过程中伴生的不需要的图像称 噪声 。
本章介绍经典的光学信息处理,被处理的图形是真实物体的像,
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1873年,德国科学家 阿贝 (Abbe)创建了 二次成像理论,为光学信息处理打下了一定的理论基础
1935年,物理学家 策尼克 (Zernike)发明了 相衬显微镜,将相位分布转化为强度分布,成功地直接观察到微小的相位物体 ——细菌 。
1963年,范德拉格特 (A.Vander Lugt)提出了 复数空间滤波 的概念,使光学信息处理进入了一个广泛应用的新阶段 。
20世纪 80年代以后,随着关键器件 ——空间调制器 的日益完善,光学信息处理以其速度快,抗干扰能力强,并行处理等特点逐渐显示其独特的优越性,成为当今最热门学科方向 。
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2.2 早期发展
1,阿贝 (Abbe)二次衍射成像理论认为相干照明下显微镜成像过程可分做两步：
物面上发出的光波经物镜,在 其后焦面上产生夫琅禾费衍射,得到 第一次衍射像 ；
衍射像作为新的相干波源,由它发出的次波在像面上干涉而构成 物体的像,称为 第二次衍射 像 。
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阿贝研究结论：
显微镜的 相对孔径越大,系统的通频带越宽,物体中所包含的高频信息在成像过程中的损失就越少,像的质量就越高 。
相对孔径越小,在传递过程中高频信息的损失就越大,像的失真或畸变就越严重,
清晰度或分辨率越低 。
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2、阿贝 —波特系列实验阿贝于 1873年,波特于 1906年分别做了实验 。
部分实验内容及结果,
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部分实验内容及结果,
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由实验结果归纳出几点结论如下：
1.实验充分证明了阿贝成像理论的正确性：
像的结构直接依赖于频谱的结构,只要改变频谱的组分,便能够改变像的结构；
2,实验充分证明了傅里叶分析的正确性：
(1)频谱面上的横向分布是物的纵向结构的信息 (图 B)；频谱面上的纵向分布是物的横向结构的信息 (图 C)；
(2)零频分量是一个直流分量,它只代表像的本底 (图 D)；
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由实验结果归纳出几点结论如下：
(3)阻挡零频分量,在一定条件下可使像发生衬度反转 (图 E)；
(4)仅允许低频分量通过时,像的边缘锐度降低；仅允许高频分量通过时,像的边缘效应增强；
(5)采用选择型滤波器,可望完全改变像的性质 (图 F)。
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2.3 傅里叶处理器
1960年,Cutrona等明确提出用透镜进行傅里叶变换的方案 。
略去相位因子前焦面输入复振幅函数 f(x,y)，后焦面的复振幅函数就是 f(x,y) 的傅里叶变换，记为 F(u,v)。
d x d y)yx(2ie x p)y,x(f)(F vuvu,
dd)yx(2ie x p)(F)y,x(f vuvuvu,
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4f 光学信息处理系统输入平面,输入信号函数 f (x,y)；
谱平面 (两个透镜的共同焦面 ),傅里叶谱 F(u,v)；
输出平面,输出信号函数 f (?,?)。
信号的频谱从抽象的数学概念变成了物理现实 。
注意所有的探测器,包括眼睛,都只能探测到光强,即振幅的模的平方 。
用两个透镜 L1 和 L2 构成 著名的 4f 系统 。
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4f 光学信息处理系统借助于符号 F,可以把 (1)及 (2)式表为
F(u,v) = F {f(x,y)} (3)
f(x’,y’) = F {F(u,v)} (4)
这里 (x’,y’)是输出平面上的坐标,坐标轴方向与 (z，
y)相同,它可以用傅里叶逆变换表示如下：
f(-x’,-y’) = F -1 {F(u,v)} (5)
由图 2.5,有? = -x’及? = -y’,从而得到
f (?,? ) = F -1 {F(u,v)} (6)
这样,顺序进行的两次变换可以用图 2.6表示,
图 2.6 包含傅里叶变换及逆变换的傅里叶处理系统
F { f } F -1{ F }
f(x,y) F(u,v) f (?,? )
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2.4 线性系统与卷积
线性系统的定义：
设 g1(?,? )＝ L { f1(x,y) } (1)
g2(?,? )＝ L { f2(x,y) } (2)
则有
α g1(?,?) + β g2(?,?) = L { αf1(x,y)}+ L { βf2(x,y)}
式中 α,β 为常数 。
卷积的定义,
f (x,y)*h (x,y) =g (x,y)=∞- ∞f(?,? )h(x-?,y-?)d?d?
引入,g1(x,y) =∞-∞ f1(?,? )h(x-?,y-?)d?d?
g2(x,y) =∞-∞ f2(?,? )h(x-?,y-?)d?d?
可得,α g1(?,?) + β g2(?,?)
=∞-∞ [αf1(x,y) + β f2(?,? )]h(x-?,y-?)d?d?
这样就证明了卷积是线性运算,
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如果输入函数是?(x,y),则输出 g(x,y) = h(x,y)
h(x,y)称为系统对脉冲的响应 (简称 脉冲响应 )．
当输入是一个点或一个脉冲时,其振幅是
(x,y),输出振幅函数即 h(x,y),观察到的光强函数则为 |h(x,y)|2,它表示一个物点所形成的像的弥散,称点 扩散函数,
成像过程可以看成是线性变换,
物点 → 透镜 → 弥散像原始的物体看成是大量点的集合,则该物体通过光学系统形成的像将是同样数量的弥散的光斑的集合,
对于非相干情况,f(x,y),h(x,y)和 g(x,y)均为光强,h(x,y)直接表示点扩散函数,不需求平方 。
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2.5 空间滤波
f (x,y)*h (x,y) =g (x,y)=∞- ∞f(?,?)h(x-?,y-?)d?d?
设 f,h 和 g 的傅里叶变换分别为 F,H和 G，
则 根据卷积的变换定理,我们得到
G(u,v)＝ F(u,v)H(u,v)
传递函数,脉冲响应 h(x,y)的傅里叶变换 H(u,v)
它表征系统对输入信号的传递性能,使输入信号转换成输出信号 。
一般来讲,可把线性系统的成像,等价为图
2.6 所示的两步过程来模拟 。 或者用 4f 光学系统来实现 。 进一步,一个畸变像可以借助于 4f 光学系统来校正 。
空间滤波,改变频谱成分的操作 。
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1、空间滤波的傅里叶分析下面仅讨论一维情况,并利用 4f系统进行滤波 。
设物为 朗奇 (Ronchi)光栅,其透过率函数为：
t(x) = |(1/d)rect(x/a)*comb(x/d) | rect(x/B)
式中 d 为缝间距,a 为缝宽,B 为光栅总宽度 。
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将物置于 4f 系统输入面上,频谱为
T(u) =F {t(x)}
= (aB/d){sinc(Bu) + sinc(a/d)·sinc[B(u – 1/d)]
+ sinc(a/d)·sinc [B(u + 1/d)] + … }
其中 u = x /?f 。 式中第 1 项为 零级谱,第 2,3
项分别为 +1,-1 级谱,后面依次为高级频谱,频谱的强度分布实际上是栅状物的夫琅禾费衍射 。
在 未进行空间滤波前,输出面上得到的是 T(u)
的傅里叶逆变换
F -1{T(u)},它应是原物的像 t(x) 。
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滤波器采用狭缝或开孔式二进制 (0,1)光阑,
置于频谱面上 。 现分四种情况讨论：
(1)滤波器是一个通光孔,只允许 0 级通过,其透过率函数为
F(u) = 1 | u | < 1 / B
F(u) = 0 | u | 为其它值在滤波器后,仅有 T(u)中的零级谱通过,其余项均被挡住,因而频谱面后的光振幅为
T(u) F(u) = (aB/d)sinc(Bu)
输出面上得到上式的傅里叶逆变换
t’(?) = F -1{T(u) F(u) } = F -1{(aB/d)sinc(Bu)) }
= (a/d)rect(?/B)
这与 Porter实验 D 结果相符 。
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t’(?)
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(2)滤波器是一个狭缝,使 0 级和 +1,-1 级频谱通过 。 滤波后的光场复振幅为
T(u)F(u)=(aB/d){sinc(Bu)+sinc(a/d)·sinc[B(u –1/d)]
+ sinc(a/d)·sinc[B(u + 1/d)]}
输出面得到它的傅里叶逆变换
t’(?)= F -1{T(u) F(u) }
= (a/d)[rect(?/B)+sinc(a/d)rect(?/B)exp(i2/d )
+ sinc(a/d)rect(?/B)exp(-i2/d )
= (a/d)rect(?/B)[1 + 2sinc(a/d)cos(2/d )]
可知,像与物的周期相同,但由于失去高频信息而造成边缘锐度消失 。
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F(u)
T(u)F(u)
t’(?)
u
u
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(3)滤波器为双狭缝,只允许 +2,-2 级频谱通过 。
滤波后的光场复振幅为
T(u)F(u) = (aB/d){sinc(2a/d)·sinc[B(u –2/d)]
+ sinc(2a/d)·sinc[B(u + 2/d)]}
输出振幅为
t’(?) = F -1{T(u) F(u) }
= (2a/d) sinc(2a/d) rect(?/B)cos(4/d )
可见像振幅的周期是物周期的 1/2，实验中观察到的输出一般表现为强度分布，因而本例的像强度分布周期应是物周期的 1/4。
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F(u)
T(u)F(u)
t’(?)
u
u
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(4)滤波器为一光屏,只阻挡零级,允许其他频谱通过 。 经过傅里叶变换后,像的分布有两种可能的情况：
当 a = d/2时,即栅状物的缝宽等于缝间隙时,像的振幅分布具有周期性,
其周期与物周期相同,但强度是均匀的,
t(x)
F(u)
t’(?)
x
u
I(?)
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当 a > d/2 时,像的振幅分布向下错位,强度分布出现衬度反转,原来的亮区变为暗区,原来的暗区变为亮区 。
t(x)
F(u)
t’(?)
x
u
I(?)
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2,滤波器的种类及应用举例滤波器分为 振幅型 和 相位型 两类,可根据需要选择不同的滤波器 。
(1)振幅型滤波器振幅型滤波器只改变傅里叶频谱的振幅分布,
不改变它的相位分布,通常用 F(u,v) 表示 。 它是一个振幅分布函数,其值可在 0～ 1的范围内变化 。
如滤波器的透过率函数表达为
F(u,v) = 1 孔内
F(u,v) = 0 孔外则称其为 二元振幅型滤波器 。 根据不同的滤波频段又可分为 低通,高通和带通 三类,其功能及应用举例如下：
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低通滤波器低通滤波器主要用于消除图像中的高频噪声 。
例如,电视图像照片,新闻传真照片等往往含有密度较高的网点,由于周期短,频率高,它们的频谱分布展宽 。
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低通滤波的例子
(a)输入图像 (b)用针孔滤掉高频的输出图像图 2.8低通滤波：高频成分被阻拦,输出图像不再带有高频成分,照片上就不出现光栅结构,
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高通滤波器高通滤波器用于滤除频谱中的低频部分,以增强像的边缘,或实现衬度反转 。 其大体结构如左图所示,中央光屏的尺寸由物体低频分布的宽度而定 。
高通滤波器主要用于增强模糊图像的边缘,
以提高对图像的识别能力 。 由于能量损失较大,
所以输出结果一般较暗 。
高通滤波器结构第 1节第 2节第 3节第 4节第 5节第 6节目 录第 7节第 8节第 9节第 10节第 2章
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带通滤波器带通滤波器用于选择某些频谱分量通过,阻挡另一些分量 。 带通滤波器形式很多,这里仅举几例 。
例 1,正交光栅上污点的清除设正交光栅的透过率为 to(x,y),其上的污点为 g(x,y),边框为?(x,y),输入面光振幅为
t (x,y) = to g?
设 To,G,?分别是 to,g,?的频谱,则频谱面得到 T = To*G*?。 由于 to是正交光栅,因而它的频谱 To为 sinc函数构成的二维阵列,G,?分别为一阶贝塞尔函数 。 由于 g 的宽度小于?的宽度,所以
G的尺寸大于?。
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采用带通滤波器,在每一个阵列点位置开一个通光小孔,其孔径应选择恰好使?通过,
而使 G的第一个暗点被阻挡 。 滤波后可在像面上得到去除了污点的正交光栅 。
带有污点的正交光栅零级频谱函数的一维剖面示意图第 1节第 2节第 3节第 4节第 5节第 6节目 录第 7节第 8节第 9节第 10节第 2章
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例 2：缩短光栅的周期采用带通滤波狭缝,可有选择地允许光栅的某些频谱分量通过,以改变光栅的周期 。 如允许正,
负一级通过,光栅的周期缩短一倍；如允许正,
负二级和零级通过,光栅的周期也缩短一倍 。
例 3：抑制周期性信号中的噪声如蛋白质结晶的高倍率电子显微镜照片中的噪声是随机分布的,而结晶本身却有着严格的周期性,因而噪声的频谱是随机的,结晶的频谱是有规律的点阵列 。 用 适当的针孔阵列作为滤波器,
把噪声的频谱挡住,只允许结晶的频谱通过,可有效地改善照片的信噪比 。
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方向滤波器例 1：印刷电路中掩模疵点的检查印刷电路掩模的构成是 横向或纵向的线条
[见图 (a)],它的 频谱较多分布在 x,y轴附近 。 而疵点 的形状往往是不规则的,线度也较小,所以其 频谱必定较宽,在离轴一定距离处都有分布 。
可用图 (b)所示的十字形滤波器将轴线附近的信息阻挡,提取出疵点信息,输出面上仅显示出疵点的图像,如图 (c)所示 。
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例 2：组合照片上接缝的去除航空摄影得到的组合照片往往留有接缝,如图 (a)所示 。 接缝的频谱分布在与之垂直的轴上,利用如图 (b)所示的条形滤波器,将该频谱阻挡,可在像面上得到理想的照片,如图 (c)所示 。
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例 3：地震记录中强信号的提取由地震检测记录特点可知,弱信号起伏很小,总体分布是横向线条,如图 (a)所示,因此其频谱主要分布在纵向上 。 采用图 (b)所示的滤波器,可将强信号提取出来,
[见图 (c)],以便分析震情 。
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2,相位型滤波器 ——相衬显微镜
相位物体,物体本身只存在折射率的分布不均或表面高度的分布不均 。
相位型滤波器,只改变傅里叶频谱的相位分布,
不改变它的振幅分布,其主要功能是用于观察相位物体 。
当用相干光照明时,相位物体 各部分都是透明的,其透过率只包含相位分布函数
to(x,y) = exp[ i?(x,y)]
用 普通显微镜将无法观察这种相位物体 。 只有将相位信息变换为振幅信息,才有可能用肉眼直接观察到物体 。 1935年策尼克 (Zernike)发明了相衬显微镜,解决了相位到振幅的变换,因此而获得诺贝尔奖 。
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已知当相位的改变量? 小于 1 弧度 时,其透过率函数可做如下近似：
to(x,y) = exp[ i?(x,y)] ≈ 1 + i?(x,y)
未经滤波时,像的强度分布为
I = to to* = ( 1 + i? )( 1 - i?) ≈ 1
根本无法观察到物体的图像,像面上只是一片均匀的光场 。
当在滤波面上放置一个相位滤波器,仅使物的零级谱的相位增加?/2(或 3?/2),则可使像的强度分布与物的相位分布成线性关系 。 由此可得物的频谱
T(u,v) = F {to(x,y) } = F {1 + i?(x,y) }
=? (u,v) + i?(u,v)
式中第一项为零频,第二项为衍射项 。
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频谱面放置相位滤波器,其后的光场分布为
T’(u,v) =? (u,v) exp(± i?/2) + i?(u,v)
= i [±? (u,v) +?(u,v) ]
像面复振幅分布,t’=F–1{T’(u,v)} = i[± 1 +?(?,?)]
像的强度分布为
Ii = | t’ |2 = |± 1 +?(?,?)}|2 = 1 ± 2?(?,?)
可见,像强度 Ii 与相位? 呈线性关系,也就是说像强度随物的相位分布线性地分布,这就 实现了相位到振幅 (强度 )的变换 。 式中的 ± 号代表正相位反衬和负相位反衬,前者表示相位越大像强度越大,后者则相反 。
例如,用 相衬显微镜观察透明生物切片 ；利用 相位滤波系统检查透明光学元件内部折射率是否均匀,或检查抛光表面的质量,等等 。
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相衬法图 2.2 相衬法使相位物体变为可见
P 为相位物体,I 为透镜,PF 为相位片,
AI 为振幅图像,P 用相干光照明,
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Schlieren 方法早在 1864年在阿贝理论以前,Toepler 就发明了相衬法,这一技术称为 Schlieren方法,早先用来探测透镜的疵病 。 与相衬显微镜类似,在这一方法中,只是简单地 把衍射图形挡去一半多一点,透镜中的疵病等相位物体就可以看见 。
HS是光阑,P仍用相干光照明．
图 2.3 Schlieren方法使相位物体变为可见第 1节第 2节第 3节第 4节第 5节第 6节目 录第 7节第 8节第 9节第 10节第 2章
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3,多重像的产生方法：利用正交光栅调制输入图像设输入图像为 g(x,y)置于 P1平面； P2平面放置一正交 朗奇光栅,其振幅透过率为式中 d为光栅常数。上式也可写成卷积形式，
2/d ndr e c t2/d mdr e c t)(F
nm
vuvu,
u
v
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在 P2平面后的光场,u2’ = F | g(x,y) | F(u,v)
P3平面得到的输出光场,
式中后两项的卷积形成了一个 sinc函数的阵列，事实上它可近似看成是?函数阵列，物函数与之卷积的结果是在 P3平面上构成输入图形的多重像。
说明,上面的推导过程中忽略了光栅孔径和透镜孔径的影响，但这无碍于对多重像产生过程的物理概念的理解。
dc o m b2/dr e c td1 dc o m b2/dr e c td1)(F
mm
vvuuvu,
d/2
d/n
cs i n
d/2
d/m
cs i n),(g
)(F),(gu
nm
1
3
vu,F
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多重像的产生
u
v
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4,图像相减
朗奇光栅编码将 d = 2a 朗奇光栅贴放在照相底片上，
对像进行编码，如图所示。
第 1次曝光时,记录下乘以光栅透射因子 t(x)
的像 A。 t(x) 可傅里叶级数展开为：
)R1(21a x23s i n31a x2s i n4121)x(t
(1) 空域编码频域解码相减方法第 1节第 2节第 3节第 4节第 5节第 6节目 录第 7节第 8节第 9节第 10节第 2章
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H∝ IA[(1 + R)/2] + IB[(1- R)/2]
= ( IA + IB )/2 + ( IA – IB )R/2
上式的物理意义,
在图像 A和图像 B相同的部分得到一张普通的负片，在图像 A和图像 B不同的部分得到一张其差值受光栅调制的负片．
两次曝光时的光栅位置互补，
如图所示。设图像 A和图像
B 的光强分别为 IA和 IB，于是照相底片上的曝光量为第 2次曝光时,将光栅平行移动半个周期，记录下乘以光栅透射因子 t(x)的像 B,t’(x) = (1-R)/2
于是得到乘以光栅透射因子 t’(x)的第二个像 B．
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解码解码光路采用常规的 4f 系统，将调制片置于输入平面上,假定图像的频率低于光栅频率，使用高通滤波器,阻止相应于 IA + IB 的谱的低频部分，而容许相应于 (IA – IB )R的谱的高频成分通过。
在输出平面上我们只得到 (IA – IB )R项,实现了图像相减 。它显示出两个图像不同的区域，这些区域在暗背景上出现光亮。
采用这种空域编码的方法，使 图像和 与 图像差 的信息分别受到光栅 零频 和 较高频率 的调制，
在空间频域上实现了和、差信息的信道分离,因此通过频域滤波，可以单独提取图像 A和 B的差异。
空域编码和频域解码是相干光学信息处理中的一种基本技术，它不仅可以用于图像相减，还可以用于其它的图像运算。
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(2)正弦光栅滤波器相减方法将正弦光栅置于频谱平面位置，并忽略光栅的有限尺寸，则滤波函数可以写为
H(?,?)=? +?cos(2o x2 +?o )
=?+exp[i(ox2+?o)]/4+exp[-i(ox2 +?o)]/4
式中,?= x2/?f,? = y2/?f ；?o是光栅频率；?o 表示初相位，它决定了光栅相对于坐标原点的位置。
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图像 A和 B在 4f系统物面上，沿 x2方向相对原点对称放置，其中心点与原点的距离为 b =?f?o，
输入场分布可表示为
g(x1,y1) = gA(x1 - b,y1) + gB(x1 + b,y1)
则入射到光栅上的光场是上式的傅里叶变换，即
G(?,?) = GA(?,?)exp(-i2?b?)+GB(?,?)exp(i2?b?)
= GA(?,?)exp(-i2ox2)+GB(?,?)exp(i2ox2)
经光栅滤波后的频谱为
G(?,?)H(?,?) = [GA(?,?)exp(i?o)+GB(?,?)exp(-i?o)]/4
+[GA(?,?)exp(-i2ox2)+GB(?,?)exp(i2ox2)]/2
+ GA(?,?)exp[-i(4ox2 +?o)] /4
+GB(?,?)exp[i(4ox2 +?o)]/4
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P3平面上输出场的分布是上式的逆傅里叶变换
g(x3,y3) = exp(i?o)[gA(x3,y3) +gB(x3,y3)exp(-i2?o)]/4
+ [gA(x3 - b,y3) + gB(x3 + b,y3) ]/2
+ [gA(x3 - 2b,y3) exp(-i?o)] /4
+ [gB(x3 - 2b,y3) exp(i?o)] /4
当光栅的初相位?o =?/2，即光栅偏离光轴 1/4周期时，因子 exp(-i2?o) = -1，上式中的第一项表明，
在 P3平面中心部位实现了图像相减。
若要实现图像相加，初相位?o应如何选择？
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(3)应用图像相减操作在许多方面已经得到应用，通过对卫星拍摄的照片的图像相减处理：
可监测海洋面积的改变、陆地板块移动的速度 ;
可监测地壳运动的变迁，如山脉的升高或降低 ;
可对各种自然灾害灾情的监测，如森林大火、
洪水等灾情的发展；
对侦察卫星发回的照片进行相减操作，可提高监测敌方军事部署变化的敏感度和准确度；
可对人体内部器官的检查，可通过不同时期的 X
光片进行相减处理，及时发现病变的所在；
用于检测工件的加工，可通过与标准件图片的相减结果检查工件外形加工是否合格，并能显示出缺陷之所在；等等。
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5,光学微分 ——像边缘增强利用高通滤波可使像边缘增强，但光能量损失太大，因而像的能见度大大降低，减弱了信号。
利用光学微分法可以得到较满意的结果。
(1)光学系统及微分原理光路系统采用 4f 系统，待微分的图像置于输入面的原点位置，微分滤波器置于频谱面上，当位置调整适当时可在输出面得到微分图形。
设输入图像为 t (x1,y1)，它的傅里叶频谱为
T(u,v)，输出图像是 T(u,v) 的逆变换若想得到图像的微分输出，那么在 P2平面后的光扰动必须满足,
dd)](2ie x p [)(T),(t
f
y,
f
x ff
vuvuvuvu,
)T(i2 ),(tt '2 vu,u
F
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显然，置于频谱面上的滤波器的振幅透过率应为
G(xf,yf) = i 2?xf /?f
实际上，微分滤波器的振幅透过率只需满足正比于 xf,即可达到微分的目的。
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(2)微分滤波器的制作
微分滤波器制作,光全息方法，计算全息法 。
光全息方法：
全息微分滤波器实际上是一枚复合光栅,它由两套空间取向完全一致、空间频率差为?f 的一维正弦型振幅光栅叠合而成。
第一次曝光时，干板对于两束光呈对称状态；第二次曝光前将平台转过一微小角度，曝光后经处理便得到复合光栅，也就是微分滤波器。
经推导可知，当复合光栅中心相对于坐标原点有一位移量恰好等于半条莫尔条纹时，
G(xf,yf) ∝ xf 的条件成立，说明复合光栅可以起到微分滤波器的作用。
(a)图像在 x方向上微分 (b)对相位图像进行微分图 微分滤波操作的实验结果照片第 1节第 2节第 3节第 4节第 5节第 6节目 录第 7节第 8节第 9节第 10节第 2章
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(3)光学微分的应用人的视觉对于物的轮廓十分敏感，轮廓也是物体的重要特征之一，只要能看到轮廓线，便可大体分辨出是何种物体。因而如果将模糊图片 (如透过云层的卫星照片、雾中摄影片 )进行光学微分，
勾画出物体的轮廓来，便能加以识别，这在军事侦察上颇为有用。
微分滤波用于相位物，也有应用价值。例如，
可用光学微分检测透明光学元件内部缺陷或折射率的不均匀性，也可用于检测相位型光学元件的加工是否符合设计要求，等等。
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2.6 照相图像的恢复照片的复原可以说是空间滤波的第一个应用,这些工作是由 Marechal和 Croce,以及稍后的 Tsujiuchi完成的 。 在上一节中我们曾讲过图像是点的集合,由于衍射效应,透镜的像是弥散光斑的集合 。 如果透镜的像形成在理想成像位置上,它是清晰的,具有较高的反差 。 如果成像的位置偏离理想像面 (又称,离焦,)，
光斑就将更加弥散,使像变得更加模糊,在照相时,由于未准确对焦,经常会照出模糊的相片,就是例子 。 以上两篇文章的作者指出,离焦的模糊图像可以借助于空间滤波技术加以恢复 。
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振幅滤波器和相位滤波器设：理想平面上的像 ——f (x,y)
f (x,y)的傅里叶变换 —— F(u,v)
h(x,y)为点扩散函数离焦象 g(x,y) = f(x,y)*h(x,y)，
离焦象傅里叶变换 G (u,v) = F(u,v)H(u,v)，
为了获得清晰图像,频谱函数必须是
G (u,v)[1/H(u,v)] = F(u,v)H(u,v) [1/H(u,v)]
= F(u,v)
因为我们构造 逆滤波器 [1/H(u,v)]：
[1/H(u,v)] = H(u,v)*/|H(u,v)|2
所以 逆滤波器有 一个 振幅滤波器 和一个 相位滤波器 叠加组成 。
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例,某一线性模糊点象的透射率函数为
f(?) = 1 ( -/2≤x ≤ - /2 )
f(?) = 0 ( 其它 )
其中是模糊长度。则在空间频谱为
F(p) =sin(p/2) / p/2 (p为 频率 )
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傅里叶频谱是双极性的。在原理上，这个模糊象可以借助逆滤波器来校正。一个合适的逆滤波函数为
1/F(p) = p/2 / sin(p/2)
我们注意到这个逆滤波函数本身不仅是双极性的而且也是一个无限极点的函数。
这样，它在物理上不能实现。然而，如果愿意牺牲一些分辨率的话，则可以实现一个接近的滤波函数。为做到这一点，我们将振幅滤波器 A(p)与位相滤波器?(p)合并在一起。这个合成体的传递函数为
1/F(p) = A(p) exp[ i?(p)]
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振幅滤波器和相位滤波器振幅滤波器
A(p)
位相滤波器
(p)
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模糊图像的恢复第 1节第 2节第 3节第 4节第 5节第 6节目 录第 7节第 8节第 9节第 10节第 2章
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例,设原始图像为 f (x,y),由于离焦,像点变成了一个光斑,用 h(x,y)表示,结果,输出图像为输入图像和点扩散函数 h(x,y)的卷积：
f (x,y)*h (x,y) =g (x,y)=∞- ∞f(?,?)h(x-?,y-?)d?d?
在初级近似下,h (x,y) 表示为一个圆形的光斑：
h(r) = circ(r/a)/?a2
a为 圆形光斑半径,它的傅里叶变换 为,
H(?) = (1/?a2)2aorJo(2r)dr
令 r’= 2r,则上式可写成
H(?) = (1/?a2) (1/22)?aor’Jo(r’)dr’
利用积分公式,?xo?Jo(?)d? = x J1(x)
可将上式 积分得,H(?) = 2 J1(2?a?)/2?a?
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图 2.10 (a) h (x,y) 表示一个圆形光斑
(b)圆对称函数 h(r) (c)h(r)的傅里叶变换 H(?)
首先构造一个振幅滤波器和一个相位滤波器，
振幅滤波器上的不同透过率可以用镀膜方法实现，
相位滤波器则仅提供符号 +1和 -1，使 H(?)与两个滤波器的连乘积为常数，则两个滤波器的乘积就表示 1/H(?)(差一个常数因子 ),见图 2.11 。
h(r)
r
H(?)
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65图 2.11 H(?) × 逆滤波器 ≈常数逆滤波器 = 振幅滤波器 + 位相滤波器当我们用这一复合的滤波器对 F(u,v)进行滤波后，在离焦的像面上将生成清晰图像 f (x,y) 。
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位相吸收传递函数 H(?) = 2 J1(2?a?)/2?a? 在高频处损失严重，而且在某一中间频率区域，传递函数的符号发生反转。 50年代初期,巴黎大学研究所麦尔查等人 采用下图所示的组合滤波器,放在 4f 系统的频谱面上 补偿这个带缺陷的传递函数 。其中吸收板用来 衰减很强的低频峰值,以便提高像的对比，突出细节 。 相移板 使 H(?) 的第一负瓣相移?,以 纠正 对比反转 。
未补偿已补偿第 1节第 2节第 3节第 4节第 5节第 6节目 录第 7节第 8节第 9节第 10节第 2章
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模糊图像的恢复实例图 2.12 (a)离焦像 (b)经过校正复原后的像第 1节第 2节第 3节第 4节第 5节第 6节目 录第 7节第 8节第 9节第 10节第 2章
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例,摄影时由于不小心，在横向抖动了 2a，形成两个像的重影，设计一个改良此照片的逆滤波器解：在此情况下造成成像缺陷的点扩散函数为
hI(x,y) =?(x + a) +?(x - a)
它的傅里叶变换 (即有成像缺陷的系统 )的传递函数 Hc 为
Hc(?,?) = F{hI(x,y)}
= F {?(x + a) +?(x - a)}
= exp(i2?a?) + exp(-i2?a?)
= 2cos(2?a?)
逆滤波器 H (?,?) 的透过率函数为
H (?,?) = 1/Hc(?,?) =1/ 2cos(2?a?)
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2.7 全息术盖柏 (Gaber)在 1948年发明了全息术的,它是一个记录和重建波前的技术 。
一,全息术原理设三维物体光波的复振幅分布为 O(u,v),它的振幅及相位分别为 ∣ O(u,v)∣ 及?(u,v),亦即
O(u,v)＝ ∣ O(u,v)∣ exp[i?(u,v)] (1)
记录材料记录了 物光的光强分布,∣ O(u,v)∣ 2。
显然在记录过程中丢失了相位信息,而且被丢失的相位信息无法恢复 。 当我们观察这个记录时,我们显然看不到原来的物 。
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在记录过程中添加一参考光 R(u,v),参考光与物光发生干涉,因而干版上记录的将是干涉图样,
这一记录就称为全息图,它记录的光强分布为
∣ O(u,v)+ R(u,v)∣ 2 =∣ O(u,v)∣ 2 +∣ R(u,v)∣ 2
+ O(u,v) R*(u,v) + O*(u,v) R(u,v)
经冲洗后的全息图的透过率正比于记录的光强 。 当用原来记录全息图的参考光单独照射全息图时,透过全息图的光波复振幅为
∣ O(u,v)+ R(u,v)∣ 2 R(u,v)
=∣ O(u,v)∣ 2 R(u,v) +∣ R(u,v)∣ 2 R(u,v)
+ O(u,v)∣ R(u,v)∣ 2 + O*(u,v) R(u,v) R(u,v)
上式 第三项 正比于物光的复振幅 O(u,v),
第四项 是物光的复共轭波,对应的是,虚,物 。
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2.8 傅里叶变换全息图傅里叶变换全息图,记录物光 o(x,y)及参考光 r(x,y)
的傅里叶谱的全息图 。
记录傅里叶变换全息图的光路见图 2.13。
图 2.13 傅里叶变换全息图的记录第 1节第 2节第 3节第 4节第 5节第 6节目 录第 7节第 8节第 9节第 10节第 2章
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傅里叶变换全息图的记录全息图记录 O(u,v)和倾斜平面参考光波 R(u,v)
的干涉图。 R 的振幅为 1，可表为,
R(u,v) = exp[ i 2?sin? /?]
是参考光与光轴的夹角,?为波长。
∣ O(u,v)+ R(u,v)∣ 2 =∣ O(u,v)∣ 2 + 1
+ O(u,v) exp[ - i 2?sin? /?]
+ O*(u,v) exp[ i 2?sin? /?]
输入信号 o(x,y)记录在透明片上，用准直的相干光照明，
在透镜 L 的后焦面上出现
o(z,y)的傅里叶变换 O(u,v)，
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傅里叶变换全息的再现当用参考光再现物光时,透过全息图的光波波前为,∣ O(u,v)+ R(u,v)∣ 2 R(u,v)
= (∣ O(u,v)∣ 2 + 1 ) exp[ i 2?sin? /?]
+ O(u,v) + O*(u,v) exp[ i 4?sin? /?]
式中等号右边 第一项仍沿着参考光的方向传播,与光轴夹角为?； 第二项是重建的物光,沿光轴传播 ； 第三项则沿着与光轴的夹角为 2? 的方向传播,
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用傅里叶变换器进行傅里叶变换全息的再现重建全息图的参考光与光轴平行。重建的波前为
∣ O(u,v)+ R(u,v)∣ 2,
它的傅里叶逆变换由下式给出：
F –1{∣ O(u,v)∣ 2 + 1} + o(? -b,?) + o(-? +b,-?)
在推导中我们用到宗量平移的傅里叶变换性质,并注意透镜傅里叶变换的频率变量为 u /?f,原来的物体 o(?,?)在输出平面上 (b,0)处出现,它的复共扼镜面对称像 o*(-?,-?)则在 (-b,0)处出现,b =f sin?
而 F –1{∣ O(u,v)∣ 2 + 1}项则位于输出平面中心 。
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傅里叶变换全息的应用,全息存储全息存储,是以全息图的形式进行光学存储 。
常规的图像存储,例如常规高密度缩微胶片,
片基上的一点点疵病都会引起部分记录的丢失,
而且丢失的信息是永远无法恢复的 。
全息存储,在片基上的疵病诸如划痕和灰尘都不会破坏信息,只是在信息再现时稍微增加了一点噪声,因而疵病并不意味着某一部分信息的损失 。
页存储,以二维的形式存储在全息图中 。
在全息再现时,记录下来的三维干涉图又还原成二维图形 。 三维干涉图称体积全息,简称 体全息 。 以三维记录介质进行存储使存储容量显著加大 。
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傅里叶变换全息图页存储的 最大优点
1,最小的空间带宽积,且任意一个代码都存储在整个全息图平面上 。
2,多个全息图可以存储在一张全息图中 。
二进制码通常不能进行多重存储，因为无法将它们分离。然而，采用不同的记录角度，多重全息图可以分别再现。
90年代初,Mok等成功演示了在一个
2cm× 1.5cm× 1cm的掺铁银酸铿晶体中存储的 5000个全息图的实验 。
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2.9 相关和卷积
全息图的主要优点在于它可以记录和重建波前,
因此可以用全息图来产生一个复数函数滤波器 。
全息术的重要应用之一,是实现 Vander Lugt
提出的复数匹配滤波,该复数滤波器就是图
2.13所示的傅里叶变换全息图 。 输入函数是
g(x,y)而不是 o(x,y)。 全息图的透过率分布函数为
T (u,v) =∣ G(u,v)+ R(u,v)∣ 2
=∣ G(u,v)∣ 2 + 1 + G(u,v) exp[ - i 2?sin?/?]
+ G*(u,v) exp[ i 2?sin? /?]
该全息图又称 复匹配滤波器,
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F(u,v) T (u,v) = F(u,v) (∣ G(u,v)∣ 2 + 1)
+ F(u,v) G(u,v) exp[ - i 2?sin?/?]
+ F(u,v) G*(u,v) exp[ i 2?sin? /?]
第一项的傅里叶变换位于输出平面的中心,F(u,v)
G(u,v)和 F(u,v) G*(u,v) 对应的变换项则出现在输出平面 (b,0)及 (-b,0)处 。
把一个新的输入 f (x,y) 放到输入平面上去，在傅里叶平面上产生它的谱函数 F(u,v)，在紧靠复数滤波器后面的场为：
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光学 卷积和 相干关于卷积和相关的变换法则表明,
F(u,v)G(u,v)? f (?,?) * g (?,?),
F –1 [F(u,v)G*(u,v) ] = f (?,?)? g (?,?)
相关可以作为两个图形相似性的度量，如果待识别图形 f(x,y)和目标 g(x,y)全同，相关输出 o(?,?)
将包含一个明显的相关峰；如果 f(x,y)和 g(x,y)不同，
相关输出 o(?,?)将是平坦的，具有很小的起伏。
相关的图示第 1节第 2节第 3节第 4节第 5节第 6节目 录第 7节第 8节第 9节第 10节第 2章
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光学图形识别被识别的图形记录在复匹配滤波器中，滤波器放置于傅里叶平面上。当输入信号就是 g(x,y)时，
输出平面上出现尖锐的相关峰。可以用 CCD来扫描相关输出平面加以探测。相关峰的出现表明输入图形与目标相同或相似，相关峰的信噪比则表征相似的程度,Vander Lugt 当时的实验结果显示在图 2.18之中。我们将在第四章中详细讨论。
图 2.18 (a)输入物体 (b)相关峰指示了字母,g”
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2.10 结 论本章在相干光透镜傅里叶变换的基础上介绍了光学信息处理的基本概念 。
我们列举了若干早期和近代的应用的例子,说明相干光信息处理可以实现空间滤波,使相位物体成为可见,全息成像,
离焦照片的恢复,光学信息的存储和再现,及应用全息匹配滤波器实现卷积和相关 。
第二章经典光学信息处理第 1节第 2节第 3节第 4节第 5节第 6节目 录第 7节第 8节第 9节第 10节第 2章
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第二章 经典光学信息处理
2,1 引言
2,2 早期发展
2,3 傅里叶处理器
2,4 线性系统与卷积
2,5 空间滤波
2,6 照相图像的恢复
2,7 全息术
2,8 傅里叶变换全息图
2,9 相关和卷积
2,10 结论第 1节第 2节第 3节第 4节第 5节第 6节目 录第 7节第 8节第 9节第 10节第 2章
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2.1 引 言
信息,客观事物的运动状态的表征和描述 。
能量从能量源传递到探测器,在能量传递过程中伴随着信息的传递,就形成 信号 。 探测到的能量中所包含的不需要的信息则称为 噪声 。
光学信息,指光的强度 (或振幅 ),相位,颜色
(波长 )和偏振态等 。 本课程 光学信息 特指 光强分布所形成的图像,它可以是日常生活中自然图像,也可以是人造的或人工模拟的图像 。
光学信息处理,指的是光学图像的 产生,传递,
探测 和 处理 。 所需要的图像称为 信号,在处理过程中伴生的不需要的图像称 噪声 。
本章介绍经典的光学信息处理,被处理的图形是真实物体的像,
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1873年,德国科学家 阿贝 (Abbe)创建了 二次成像理论,为光学信息处理打下了一定的理论基础
1935年,物理学家 策尼克 (Zernike)发明了 相衬显微镜,将相位分布转化为强度分布,成功地直接观察到微小的相位物体 ——细菌 。
1963年,范德拉格特 (A.Vander Lugt)提出了 复数空间滤波 的概念,使光学信息处理进入了一个广泛应用的新阶段 。
20世纪 80年代以后,随着关键器件 ——空间调制器 的日益完善,光学信息处理以其速度快,抗干扰能力强,并行处理等特点逐渐显示其独特的优越性,成为当今最热门学科方向 。
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2.2 早期发展
1,阿贝 (Abbe)二次衍射成像理论认为相干照明下显微镜成像过程可分做两步：
物面上发出的光波经物镜,在 其后焦面上产生夫琅禾费衍射,得到 第一次衍射像 ；
衍射像作为新的相干波源,由它发出的次波在像面上干涉而构成 物体的像,称为 第二次衍射 像 。
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阿贝研究结论：
显微镜的 相对孔径越大,系统的通频带越宽,物体中所包含的高频信息在成像过程中的损失就越少,像的质量就越高 。
相对孔径越小,在传递过程中高频信息的损失就越大,像的失真或畸变就越严重,
清晰度或分辨率越低 。
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2、阿贝 —波特系列实验阿贝于 1873年,波特于 1906年分别做了实验 。
部分实验内容及结果,
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部分实验内容及结果,
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由实验结果归纳出几点结论如下：
1.实验充分证明了阿贝成像理论的正确性：
像的结构直接依赖于频谱的结构,只要改变频谱的组分,便能够改变像的结构；
2,实验充分证明了傅里叶分析的正确性：
(1)频谱面上的横向分布是物的纵向结构的信息 (图 B)；频谱面上的纵向分布是物的横向结构的信息 (图 C)；
(2)零频分量是一个直流分量,它只代表像的本底 (图 D)；
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由实验结果归纳出几点结论如下：
(3)阻挡零频分量,在一定条件下可使像发生衬度反转 (图 E)；
(4)仅允许低频分量通过时,像的边缘锐度降低；仅允许高频分量通过时,像的边缘效应增强；
(5)采用选择型滤波器,可望完全改变像的性质 (图 F)。
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2.3 傅里叶处理器
1960年,Cutrona等明确提出用透镜进行傅里叶变换的方案 。
略去相位因子前焦面输入复振幅函数 f(x,y)，后焦面的复振幅函数就是 f(x,y) 的傅里叶变换，记为 F(u,v)。
d x d y)yx(2ie x p)y,x(f)(F vuvu,
dd)yx(2ie x p)(F)y,x(f vuvuvu,
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4f 光学信息处理系统输入平面,输入信号函数 f (x,y)；
谱平面 (两个透镜的共同焦面 ),傅里叶谱 F(u,v)；
输出平面,输出信号函数 f (?,?)。
信号的频谱从抽象的数学概念变成了物理现实 。
注意所有的探测器,包括眼睛,都只能探测到光强,即振幅的模的平方 。
用两个透镜 L1 和 L2 构成 著名的 4f 系统 。
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4f 光学信息处理系统借助于符号 F,可以把 (1)及 (2)式表为
F(u,v) = F {f(x,y)} (3)
f(x’,y’) = F {F(u,v)} (4)
这里 (x’,y’)是输出平面上的坐标,坐标轴方向与 (z，
y)相同,它可以用傅里叶逆变换表示如下：
f(-x’,-y’) = F -1 {F(u,v)} (5)
由图 2.5,有? = -x’及? = -y’,从而得到
f (?,? ) = F -1 {F(u,v)} (6)
这样,顺序进行的两次变换可以用图 2.6表示,
图 2.6 包含傅里叶变换及逆变换的傅里叶处理系统
F { f } F -1{ F }
f(x,y) F(u,v) f (?,? )
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2.4 线性系统与卷积
线性系统的定义：
设 g1(?,? )＝ L { f1(x,y) } (1)
g2(?,? )＝ L { f2(x,y) } (2)
则有
α g1(?,?) + β g2(?,?) = L { αf1(x,y)}+ L { βf2(x,y)}
式中 α,β 为常数 。
卷积的定义,
f (x,y)*h (x,y) =g (x,y)=∞- ∞f(?,? )h(x-?,y-?)d?d?
引入,g1(x,y) =∞-∞ f1(?,? )h(x-?,y-?)d?d?
g2(x,y) =∞-∞ f2(?,? )h(x-?,y-?)d?d?
可得,α g1(?,?) + β g2(?,?)
=∞-∞ [αf1(x,y) + β f2(?,? )]h(x-?,y-?)d?d?
这样就证明了卷积是线性运算,
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如果输入函数是?(x,y),则输出 g(x,y) = h(x,y)
h(x,y)称为系统对脉冲的响应 (简称 脉冲响应 )．
当输入是一个点或一个脉冲时,其振幅是
(x,y),输出振幅函数即 h(x,y),观察到的光强函数则为 |h(x,y)|2,它表示一个物点所形成的像的弥散,称点 扩散函数,
成像过程可以看成是线性变换,
物点 → 透镜 → 弥散像原始的物体看成是大量点的集合,则该物体通过光学系统形成的像将是同样数量的弥散的光斑的集合,
对于非相干情况,f(x,y),h(x,y)和 g(x,y)均为光强,h(x,y)直接表示点扩散函数,不需求平方 。
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2.5 空间滤波
f (x,y)*h (x,y) =g (x,y)=∞- ∞f(?,?)h(x-?,y-?)d?d?
设 f,h 和 g 的傅里叶变换分别为 F,H和 G，
则 根据卷积的变换定理,我们得到
G(u,v)＝ F(u,v)H(u,v)
传递函数,脉冲响应 h(x,y)的傅里叶变换 H(u,v)
它表征系统对输入信号的传递性能,使输入信号转换成输出信号 。
一般来讲,可把线性系统的成像,等价为图
2.6 所示的两步过程来模拟 。 或者用 4f 光学系统来实现 。 进一步,一个畸变像可以借助于 4f 光学系统来校正 。
空间滤波,改变频谱成分的操作 。
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1、空间滤波的傅里叶分析下面仅讨论一维情况,并利用 4f系统进行滤波 。
设物为 朗奇 (Ronchi)光栅,其透过率函数为：
t(x) = |(1/d)rect(x/a)*comb(x/d) | rect(x/B)
式中 d 为缝间距,a 为缝宽,B 为光栅总宽度 。
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将物置于 4f 系统输入面上,频谱为
T(u) =F {t(x)}
= (aB/d){sinc(Bu) + sinc(a/d)·sinc[B(u – 1/d)]
+ sinc(a/d)·sinc [B(u + 1/d)] + … }
其中 u = x /?f 。 式中第 1 项为 零级谱,第 2,3
项分别为 +1,-1 级谱,后面依次为高级频谱,频谱的强度分布实际上是栅状物的夫琅禾费衍射 。
在 未进行空间滤波前,输出面上得到的是 T(u)
的傅里叶逆变换
F -1{T(u)},它应是原物的像 t(x) 。
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滤波器采用狭缝或开孔式二进制 (0,1)光阑,
置于频谱面上 。 现分四种情况讨论：
(1)滤波器是一个通光孔,只允许 0 级通过,其透过率函数为
F(u) = 1 | u | < 1 / B
F(u) = 0 | u | 为其它值在滤波器后,仅有 T(u)中的零级谱通过,其余项均被挡住,因而频谱面后的光振幅为
T(u) F(u) = (aB/d)sinc(Bu)
输出面上得到上式的傅里叶逆变换
t’(?) = F -1{T(u) F(u) } = F -1{(aB/d)sinc(Bu)) }
= (a/d)rect(?/B)
这与 Porter实验 D 结果相符 。
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t’(?)
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(2)滤波器是一个狭缝,使 0 级和 +1,-1 级频谱通过 。 滤波后的光场复振幅为
T(u)F(u)=(aB/d){sinc(Bu)+sinc(a/d)·sinc[B(u –1/d)]
+ sinc(a/d)·sinc[B(u + 1/d)]}
输出面得到它的傅里叶逆变换
t’(?)= F -1{T(u) F(u) }
= (a/d)[rect(?/B)+sinc(a/d)rect(?/B)exp(i2/d )
+ sinc(a/d)rect(?/B)exp(-i2/d )
= (a/d)rect(?/B)[1 + 2sinc(a/d)cos(2/d )]
可知,像与物的周期相同,但由于失去高频信息而造成边缘锐度消失 。
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F(u)
T(u)F(u)
t’(?)
u
u
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(3)滤波器为双狭缝,只允许 +2,-2 级频谱通过 。
滤波后的光场复振幅为
T(u)F(u) = (aB/d){sinc(2a/d)·sinc[B(u –2/d)]
+ sinc(2a/d)·sinc[B(u + 2/d)]}
输出振幅为
t’(?) = F -1{T(u) F(u) }
= (2a/d) sinc(2a/d) rect(?/B)cos(4/d )
可见像振幅的周期是物周期的 1/2，实验中观察到的输出一般表现为强度分布，因而本例的像强度分布周期应是物周期的 1/4。
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F(u)
T(u)F(u)
t’(?)
u
u
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(4)滤波器为一光屏,只阻挡零级,允许其他频谱通过 。 经过傅里叶变换后,像的分布有两种可能的情况：
当 a = d/2时,即栅状物的缝宽等于缝间隙时,像的振幅分布具有周期性,
其周期与物周期相同,但强度是均匀的,
t(x)
F(u)
t’(?)
x
u
I(?)
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当 a > d/2 时,像的振幅分布向下错位,强度分布出现衬度反转,原来的亮区变为暗区,原来的暗区变为亮区 。
t(x)
F(u)
t’(?)
x
u
I(?)
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2,滤波器的种类及应用举例滤波器分为 振幅型 和 相位型 两类,可根据需要选择不同的滤波器 。
(1)振幅型滤波器振幅型滤波器只改变傅里叶频谱的振幅分布,
不改变它的相位分布,通常用 F(u,v) 表示 。 它是一个振幅分布函数,其值可在 0～ 1的范围内变化 。
如滤波器的透过率函数表达为
F(u,v) = 1 孔内
F(u,v) = 0 孔外则称其为 二元振幅型滤波器 。 根据不同的滤波频段又可分为 低通,高通和带通 三类,其功能及应用举例如下：
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低通滤波器低通滤波器主要用于消除图像中的高频噪声 。
例如,电视图像照片,新闻传真照片等往往含有密度较高的网点,由于周期短,频率高,它们的频谱分布展宽 。
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低通滤波的例子
(a)输入图像 (b)用针孔滤掉高频的输出图像图 2.8低通滤波：高频成分被阻拦,输出图像不再带有高频成分,照片上就不出现光栅结构,
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高通滤波器高通滤波器用于滤除频谱中的低频部分,以增强像的边缘,或实现衬度反转 。 其大体结构如左图所示,中央光屏的尺寸由物体低频分布的宽度而定 。
高通滤波器主要用于增强模糊图像的边缘,
以提高对图像的识别能力 。 由于能量损失较大,
所以输出结果一般较暗 。
高通滤波器结构第 1节第 2节第 3节第 4节第 5节第 6节目 录第 7节第 8节第 9节第 10节第 2章
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带通滤波器带通滤波器用于选择某些频谱分量通过,阻挡另一些分量 。 带通滤波器形式很多,这里仅举几例 。
例 1,正交光栅上污点的清除设正交光栅的透过率为 to(x,y),其上的污点为 g(x,y),边框为?(x,y),输入面光振幅为
t (x,y) = to g?
设 To,G,?分别是 to,g,?的频谱,则频谱面得到 T = To*G*?。 由于 to是正交光栅,因而它的频谱 To为 sinc函数构成的二维阵列,G,?分别为一阶贝塞尔函数 。 由于 g 的宽度小于?的宽度,所以
G的尺寸大于?。
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采用带通滤波器,在每一个阵列点位置开一个通光小孔,其孔径应选择恰好使?通过,
而使 G的第一个暗点被阻挡 。 滤波后可在像面上得到去除了污点的正交光栅 。
带有污点的正交光栅零级频谱函数的一维剖面示意图第 1节第 2节第 3节第 4节第 5节第 6节目 录第 7节第 8节第 9节第 10节第 2章
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例 2：缩短光栅的周期采用带通滤波狭缝,可有选择地允许光栅的某些频谱分量通过,以改变光栅的周期 。 如允许正,
负一级通过,光栅的周期缩短一倍；如允许正,
负二级和零级通过,光栅的周期也缩短一倍 。
例 3：抑制周期性信号中的噪声如蛋白质结晶的高倍率电子显微镜照片中的噪声是随机分布的,而结晶本身却有着严格的周期性,因而噪声的频谱是随机的,结晶的频谱是有规律的点阵列 。 用 适当的针孔阵列作为滤波器,
把噪声的频谱挡住,只允许结晶的频谱通过,可有效地改善照片的信噪比 。
第 1节第 2节第 3节第 4节第 5节第 6节目 录第 7节第 8节第 9节第 10节第 2章
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方向滤波器例 1：印刷电路中掩模疵点的检查印刷电路掩模的构成是 横向或纵向的线条
[见图 (a)],它的 频谱较多分布在 x,y轴附近 。 而疵点 的形状往往是不规则的,线度也较小,所以其 频谱必定较宽,在离轴一定距离处都有分布 。
可用图 (b)所示的十字形滤波器将轴线附近的信息阻挡,提取出疵点信息,输出面上仅显示出疵点的图像,如图 (c)所示 。
第 1节第 2节第 3节第 4节第 5节第 6节目 录第 7节第 8节第 9节第 10节第 2章
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例 2：组合照片上接缝的去除航空摄影得到的组合照片往往留有接缝,如图 (a)所示 。 接缝的频谱分布在与之垂直的轴上,利用如图 (b)所示的条形滤波器,将该频谱阻挡,可在像面上得到理想的照片,如图 (c)所示 。
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例 3：地震记录中强信号的提取由地震检测记录特点可知,弱信号起伏很小,总体分布是横向线条,如图 (a)所示,因此其频谱主要分布在纵向上 。 采用图 (b)所示的滤波器,可将强信号提取出来,
[见图 (c)],以便分析震情 。
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2,相位型滤波器 ——相衬显微镜
相位物体,物体本身只存在折射率的分布不均或表面高度的分布不均 。
相位型滤波器,只改变傅里叶频谱的相位分布,
不改变它的振幅分布,其主要功能是用于观察相位物体 。
当用相干光照明时,相位物体 各部分都是透明的,其透过率只包含相位分布函数
to(x,y) = exp[ i?(x,y)]
用 普通显微镜将无法观察这种相位物体 。 只有将相位信息变换为振幅信息,才有可能用肉眼直接观察到物体 。 1935年策尼克 (Zernike)发明了相衬显微镜,解决了相位到振幅的变换,因此而获得诺贝尔奖 。
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已知当相位的改变量? 小于 1 弧度 时,其透过率函数可做如下近似：
to(x,y) = exp[ i?(x,y)] ≈ 1 + i?(x,y)
未经滤波时,像的强度分布为
I = to to* = ( 1 + i? )( 1 - i?) ≈ 1
根本无法观察到物体的图像,像面上只是一片均匀的光场 。
当在滤波面上放置一个相位滤波器,仅使物的零级谱的相位增加?/2(或 3?/2),则可使像的强度分布与物的相位分布成线性关系 。 由此可得物的频谱
T(u,v) = F {to(x,y) } = F {1 + i?(x,y) }
=? (u,v) + i?(u,v)
式中第一项为零频,第二项为衍射项 。
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频谱面放置相位滤波器,其后的光场分布为
T’(u,v) =? (u,v) exp(± i?/2) + i?(u,v)
= i [±? (u,v) +?(u,v) ]
像面复振幅分布,t’=F–1{T’(u,v)} = i[± 1 +?(?,?)]
像的强度分布为
Ii = | t’ |2 = |± 1 +?(?,?)}|2 = 1 ± 2?(?,?)
可见,像强度 Ii 与相位? 呈线性关系,也就是说像强度随物的相位分布线性地分布,这就 实现了相位到振幅 (强度 )的变换 。 式中的 ± 号代表正相位反衬和负相位反衬,前者表示相位越大像强度越大,后者则相反 。
例如,用 相衬显微镜观察透明生物切片 ；利用 相位滤波系统检查透明光学元件内部折射率是否均匀,或检查抛光表面的质量,等等 。
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相衬法图 2.2 相衬法使相位物体变为可见
P 为相位物体,I 为透镜,PF 为相位片,
AI 为振幅图像,P 用相干光照明,
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Schlieren 方法早在 1864年在阿贝理论以前,Toepler 就发明了相衬法,这一技术称为 Schlieren方法,早先用来探测透镜的疵病 。 与相衬显微镜类似,在这一方法中,只是简单地 把衍射图形挡去一半多一点,透镜中的疵病等相位物体就可以看见 。
HS是光阑,P仍用相干光照明．
图 2.3 Schlieren方法使相位物体变为可见第 1节第 2节第 3节第 4节第 5节第 6节目 录第 7节第 8节第 9节第 10节第 2章
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3,多重像的产生方法：利用正交光栅调制输入图像设输入图像为 g(x,y)置于 P1平面； P2平面放置一正交 朗奇光栅,其振幅透过率为式中 d为光栅常数。上式也可写成卷积形式，
2/d ndr e c t2/d mdr e c t)(F
nm
vuvu,
u
v
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在 P2平面后的光场,u2’ = F | g(x,y) | F(u,v)
P3平面得到的输出光场,
式中后两项的卷积形成了一个 sinc函数的阵列，事实上它可近似看成是?函数阵列，物函数与之卷积的结果是在 P3平面上构成输入图形的多重像。
说明,上面的推导过程中忽略了光栅孔径和透镜孔径的影响，但这无碍于对多重像产生过程的物理概念的理解。
dc o m b2/dr e c td1 dc o m b2/dr e c td1)(F
mm
vvuuvu,
d/2
d/n
cs i n
d/2
d/m
cs i n),(g
)(F),(gu
nm
1
3
vu,F
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多重像的产生
u
v
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4,图像相减
朗奇光栅编码将 d = 2a 朗奇光栅贴放在照相底片上，
对像进行编码，如图所示。
第 1次曝光时,记录下乘以光栅透射因子 t(x)
的像 A。 t(x) 可傅里叶级数展开为：
)R1(21a x23s i n31a x2s i n4121)x(t
(1) 空域编码频域解码相减方法第 1节第 2节第 3节第 4节第 5节第 6节目 录第 7节第 8节第 9节第 10节第 2章
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H∝ IA[(1 + R)/2] + IB[(1- R)/2]
= ( IA + IB )/2 + ( IA – IB )R/2
上式的物理意义,
在图像 A和图像 B相同的部分得到一张普通的负片，在图像 A和图像 B不同的部分得到一张其差值受光栅调制的负片．
两次曝光时的光栅位置互补，
如图所示。设图像 A和图像
B 的光强分别为 IA和 IB，于是照相底片上的曝光量为第 2次曝光时,将光栅平行移动半个周期，记录下乘以光栅透射因子 t(x)的像 B,t’(x) = (1-R)/2
于是得到乘以光栅透射因子 t’(x)的第二个像 B．
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解码解码光路采用常规的 4f 系统，将调制片置于输入平面上,假定图像的频率低于光栅频率，使用高通滤波器,阻止相应于 IA + IB 的谱的低频部分，而容许相应于 (IA – IB )R的谱的高频成分通过。
在输出平面上我们只得到 (IA – IB )R项,实现了图像相减 。它显示出两个图像不同的区域，这些区域在暗背景上出现光亮。
采用这种空域编码的方法，使 图像和 与 图像差 的信息分别受到光栅 零频 和 较高频率 的调制，
在空间频域上实现了和、差信息的信道分离,因此通过频域滤波，可以单独提取图像 A和 B的差异。
空域编码和频域解码是相干光学信息处理中的一种基本技术，它不仅可以用于图像相减，还可以用于其它的图像运算。
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(2)正弦光栅滤波器相减方法将正弦光栅置于频谱平面位置，并忽略光栅的有限尺寸，则滤波函数可以写为
H(?,?)=? +?cos(2o x2 +?o )
=?+exp[i(ox2+?o)]/4+exp[-i(ox2 +?o)]/4
式中,?= x2/?f,? = y2/?f ；?o是光栅频率；?o 表示初相位，它决定了光栅相对于坐标原点的位置。
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图像 A和 B在 4f系统物面上，沿 x2方向相对原点对称放置，其中心点与原点的距离为 b =?f?o，
输入场分布可表示为
g(x1,y1) = gA(x1 - b,y1) + gB(x1 + b,y1)
则入射到光栅上的光场是上式的傅里叶变换，即
G(?,?) = GA(?,?)exp(-i2?b?)+GB(?,?)exp(i2?b?)
= GA(?,?)exp(-i2ox2)+GB(?,?)exp(i2ox2)
经光栅滤波后的频谱为
G(?,?)H(?,?) = [GA(?,?)exp(i?o)+GB(?,?)exp(-i?o)]/4
+[GA(?,?)exp(-i2ox2)+GB(?,?)exp(i2ox2)]/2
+ GA(?,?)exp[-i(4ox2 +?o)] /4
+GB(?,?)exp[i(4ox2 +?o)]/4
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P3平面上输出场的分布是上式的逆傅里叶变换
g(x3,y3) = exp(i?o)[gA(x3,y3) +gB(x3,y3)exp(-i2?o)]/4
+ [gA(x3 - b,y3) + gB(x3 + b,y3) ]/2
+ [gA(x3 - 2b,y3) exp(-i?o)] /4
+ [gB(x3 - 2b,y3) exp(i?o)] /4
当光栅的初相位?o =?/2，即光栅偏离光轴 1/4周期时，因子 exp(-i2?o) = -1，上式中的第一项表明，
在 P3平面中心部位实现了图像相减。
若要实现图像相加，初相位?o应如何选择？
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(3)应用图像相减操作在许多方面已经得到应用，通过对卫星拍摄的照片的图像相减处理：
可监测海洋面积的改变、陆地板块移动的速度 ;
可监测地壳运动的变迁，如山脉的升高或降低 ;
可对各种自然灾害灾情的监测，如森林大火、
洪水等灾情的发展；
对侦察卫星发回的照片进行相减操作，可提高监测敌方军事部署变化的敏感度和准确度；
可对人体内部器官的检查，可通过不同时期的 X
光片进行相减处理，及时发现病变的所在；
用于检测工件的加工，可通过与标准件图片的相减结果检查工件外形加工是否合格，并能显示出缺陷之所在；等等。
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5,光学微分 ——像边缘增强利用高通滤波可使像边缘增强，但光能量损失太大，因而像的能见度大大降低，减弱了信号。
利用光学微分法可以得到较满意的结果。
(1)光学系统及微分原理光路系统采用 4f 系统，待微分的图像置于输入面的原点位置，微分滤波器置于频谱面上，当位置调整适当时可在输出面得到微分图形。
设输入图像为 t (x1,y1)，它的傅里叶频谱为
T(u,v)，输出图像是 T(u,v) 的逆变换若想得到图像的微分输出，那么在 P2平面后的光扰动必须满足,
dd)](2ie x p [)(T),(t
f
y,
f
x ff
vuvuvuvu,
)T(i2 ),(tt '2 vu,u
F
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显然，置于频谱面上的滤波器的振幅透过率应为
G(xf,yf) = i 2?xf /?f
实际上，微分滤波器的振幅透过率只需满足正比于 xf,即可达到微分的目的。
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(2)微分滤波器的制作
微分滤波器制作,光全息方法，计算全息法 。
光全息方法：
全息微分滤波器实际上是一枚复合光栅,它由两套空间取向完全一致、空间频率差为?f 的一维正弦型振幅光栅叠合而成。
第一次曝光时，干板对于两束光呈对称状态；第二次曝光前将平台转过一微小角度，曝光后经处理便得到复合光栅，也就是微分滤波器。
经推导可知，当复合光栅中心相对于坐标原点有一位移量恰好等于半条莫尔条纹时，
G(xf,yf) ∝ xf 的条件成立，说明复合光栅可以起到微分滤波器的作用。
(a)图像在 x方向上微分 (b)对相位图像进行微分图 微分滤波操作的实验结果照片第 1节第 2节第 3节第 4节第 5节第 6节目 录第 7节第 8节第 9节第 10节第 2章
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(3)光学微分的应用人的视觉对于物的轮廓十分敏感，轮廓也是物体的重要特征之一，只要能看到轮廓线，便可大体分辨出是何种物体。因而如果将模糊图片 (如透过云层的卫星照片、雾中摄影片 )进行光学微分，
勾画出物体的轮廓来，便能加以识别，这在军事侦察上颇为有用。
微分滤波用于相位物，也有应用价值。例如，
可用光学微分检测透明光学元件内部缺陷或折射率的不均匀性，也可用于检测相位型光学元件的加工是否符合设计要求，等等。
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2.6 照相图像的恢复照片的复原可以说是空间滤波的第一个应用,这些工作是由 Marechal和 Croce,以及稍后的 Tsujiuchi完成的 。 在上一节中我们曾讲过图像是点的集合,由于衍射效应,透镜的像是弥散光斑的集合 。 如果透镜的像形成在理想成像位置上,它是清晰的,具有较高的反差 。 如果成像的位置偏离理想像面 (又称,离焦,)，
光斑就将更加弥散,使像变得更加模糊,在照相时,由于未准确对焦,经常会照出模糊的相片,就是例子 。 以上两篇文章的作者指出,离焦的模糊图像可以借助于空间滤波技术加以恢复 。
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振幅滤波器和相位滤波器设：理想平面上的像 ——f (x,y)
f (x,y)的傅里叶变换 —— F(u,v)
h(x,y)为点扩散函数离焦象 g(x,y) = f(x,y)*h(x,y)，
离焦象傅里叶变换 G (u,v) = F(u,v)H(u,v)，
为了获得清晰图像,频谱函数必须是
G (u,v)[1/H(u,v)] = F(u,v)H(u,v) [1/H(u,v)]
= F(u,v)
因为我们构造 逆滤波器 [1/H(u,v)]：
[1/H(u,v)] = H(u,v)*/|H(u,v)|2
所以 逆滤波器有 一个 振幅滤波器 和一个 相位滤波器 叠加组成 。
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例,某一线性模糊点象的透射率函数为
f(?) = 1 ( -/2≤x ≤ - /2 )
f(?) = 0 ( 其它 )
其中是模糊长度。则在空间频谱为
F(p) =sin(p/2) / p/2 (p为 频率 )
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傅里叶频谱是双极性的。在原理上，这个模糊象可以借助逆滤波器来校正。一个合适的逆滤波函数为
1/F(p) = p/2 / sin(p/2)
我们注意到这个逆滤波函数本身不仅是双极性的而且也是一个无限极点的函数。
这样，它在物理上不能实现。然而，如果愿意牺牲一些分辨率的话，则可以实现一个接近的滤波函数。为做到这一点，我们将振幅滤波器 A(p)与位相滤波器?(p)合并在一起。这个合成体的传递函数为
1/F(p) = A(p) exp[ i?(p)]
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振幅滤波器和相位滤波器振幅滤波器
A(p)
位相滤波器
(p)
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模糊图像的恢复第 1节第 2节第 3节第 4节第 5节第 6节目 录第 7节第 8节第 9节第 10节第 2章
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例,设原始图像为 f (x,y),由于离焦,像点变成了一个光斑,用 h(x,y)表示,结果,输出图像为输入图像和点扩散函数 h(x,y)的卷积：
f (x,y)*h (x,y) =g (x,y)=∞- ∞f(?,?)h(x-?,y-?)d?d?
在初级近似下,h (x,y) 表示为一个圆形的光斑：
h(r) = circ(r/a)/?a2
a为 圆形光斑半径,它的傅里叶变换 为,
H(?) = (1/?a2)2aorJo(2r)dr
令 r’= 2r,则上式可写成
H(?) = (1/?a2) (1/22)?aor’Jo(r’)dr’
利用积分公式,?xo?Jo(?)d? = x J1(x)
可将上式 积分得,H(?) = 2 J1(2?a?)/2?a?
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图 2.10 (a) h (x,y) 表示一个圆形光斑
(b)圆对称函数 h(r) (c)h(r)的傅里叶变换 H(?)
首先构造一个振幅滤波器和一个相位滤波器，
振幅滤波器上的不同透过率可以用镀膜方法实现，
相位滤波器则仅提供符号 +1和 -1，使 H(?)与两个滤波器的连乘积为常数，则两个滤波器的乘积就表示 1/H(?)(差一个常数因子 ),见图 2.11 。
h(r)
r
H(?)
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65图 2.11 H(?) × 逆滤波器 ≈常数逆滤波器 = 振幅滤波器 + 位相滤波器当我们用这一复合的滤波器对 F(u,v)进行滤波后，在离焦的像面上将生成清晰图像 f (x,y) 。
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位相吸收传递函数 H(?) = 2 J1(2?a?)/2?a? 在高频处损失严重，而且在某一中间频率区域，传递函数的符号发生反转。 50年代初期,巴黎大学研究所麦尔查等人 采用下图所示的组合滤波器,放在 4f 系统的频谱面上 补偿这个带缺陷的传递函数 。其中吸收板用来 衰减很强的低频峰值,以便提高像的对比，突出细节 。 相移板 使 H(?) 的第一负瓣相移?,以 纠正 对比反转 。
未补偿已补偿第 1节第 2节第 3节第 4节第 5节第 6节目 录第 7节第 8节第 9节第 10节第 2章
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模糊图像的恢复实例图 2.12 (a)离焦像 (b)经过校正复原后的像第 1节第 2节第 3节第 4节第 5节第 6节目 录第 7节第 8节第 9节第 10节第 2章
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例,摄影时由于不小心，在横向抖动了 2a，形成两个像的重影，设计一个改良此照片的逆滤波器解：在此情况下造成成像缺陷的点扩散函数为
hI(x,y) =?(x + a) +?(x - a)
它的傅里叶变换 (即有成像缺陷的系统 )的传递函数 Hc 为
Hc(?,?) = F{hI(x,y)}
= F {?(x + a) +?(x - a)}
= exp(i2?a?) + exp(-i2?a?)
= 2cos(2?a?)
逆滤波器 H (?,?) 的透过率函数为
H (?,?) = 1/Hc(?,?) =1/ 2cos(2?a?)
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2.7 全息术盖柏 (Gaber)在 1948年发明了全息术的,它是一个记录和重建波前的技术 。
一,全息术原理设三维物体光波的复振幅分布为 O(u,v),它的振幅及相位分别为 ∣ O(u,v)∣ 及?(u,v),亦即
O(u,v)＝ ∣ O(u,v)∣ exp[i?(u,v)] (1)
记录材料记录了 物光的光强分布,∣ O(u,v)∣ 2。
显然在记录过程中丢失了相位信息,而且被丢失的相位信息无法恢复 。 当我们观察这个记录时,我们显然看不到原来的物 。
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在记录过程中添加一参考光 R(u,v),参考光与物光发生干涉,因而干版上记录的将是干涉图样,
这一记录就称为全息图,它记录的光强分布为
∣ O(u,v)+ R(u,v)∣ 2 =∣ O(u,v)∣ 2 +∣ R(u,v)∣ 2
+ O(u,v) R*(u,v) + O*(u,v) R(u,v)
经冲洗后的全息图的透过率正比于记录的光强 。 当用原来记录全息图的参考光单独照射全息图时,透过全息图的光波复振幅为
∣ O(u,v)+ R(u,v)∣ 2 R(u,v)
=∣ O(u,v)∣ 2 R(u,v) +∣ R(u,v)∣ 2 R(u,v)
+ O(u,v)∣ R(u,v)∣ 2 + O*(u,v) R(u,v) R(u,v)
上式 第三项 正比于物光的复振幅 O(u,v),
第四项 是物光的复共轭波,对应的是,虚,物 。
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2.8 傅里叶变换全息图傅里叶变换全息图,记录物光 o(x,y)及参考光 r(x,y)
的傅里叶谱的全息图 。
记录傅里叶变换全息图的光路见图 2.13。
图 2.13 傅里叶变换全息图的记录第 1节第 2节第 3节第 4节第 5节第 6节目 录第 7节第 8节第 9节第 10节第 2章
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傅里叶变换全息图的记录全息图记录 O(u,v)和倾斜平面参考光波 R(u,v)
的干涉图。 R 的振幅为 1，可表为,
R(u,v) = exp[ i 2?sin? /?]
是参考光与光轴的夹角,?为波长。
∣ O(u,v)+ R(u,v)∣ 2 =∣ O(u,v)∣ 2 + 1
+ O(u,v) exp[ - i 2?sin? /?]
+ O*(u,v) exp[ i 2?sin? /?]
输入信号 o(x,y)记录在透明片上，用准直的相干光照明，
在透镜 L 的后焦面上出现
o(z,y)的傅里叶变换 O(u,v)，
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傅里叶变换全息的再现当用参考光再现物光时,透过全息图的光波波前为,∣ O(u,v)+ R(u,v)∣ 2 R(u,v)
= (∣ O(u,v)∣ 2 + 1 ) exp[ i 2?sin? /?]
+ O(u,v) + O*(u,v) exp[ i 4?sin? /?]
式中等号右边 第一项仍沿着参考光的方向传播,与光轴夹角为?； 第二项是重建的物光,沿光轴传播 ； 第三项则沿着与光轴的夹角为 2? 的方向传播,
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用傅里叶变换器进行傅里叶变换全息的再现重建全息图的参考光与光轴平行。重建的波前为
∣ O(u,v)+ R(u,v)∣ 2,
它的傅里叶逆变换由下式给出：
F –1{∣ O(u,v)∣ 2 + 1} + o(? -b,?) + o(-? +b,-?)
在推导中我们用到宗量平移的傅里叶变换性质,并注意透镜傅里叶变换的频率变量为 u /?f,原来的物体 o(?,?)在输出平面上 (b,0)处出现,它的复共扼镜面对称像 o*(-?,-?)则在 (-b,0)处出现,b =f sin?
而 F –1{∣ O(u,v)∣ 2 + 1}项则位于输出平面中心 。
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傅里叶变换全息的应用,全息存储全息存储,是以全息图的形式进行光学存储 。
常规的图像存储,例如常规高密度缩微胶片,
片基上的一点点疵病都会引起部分记录的丢失,
而且丢失的信息是永远无法恢复的 。
全息存储,在片基上的疵病诸如划痕和灰尘都不会破坏信息,只是在信息再现时稍微增加了一点噪声,因而疵病并不意味着某一部分信息的损失 。
页存储,以二维的形式存储在全息图中 。
在全息再现时,记录下来的三维干涉图又还原成二维图形 。 三维干涉图称体积全息,简称 体全息 。 以三维记录介质进行存储使存储容量显著加大 。
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傅里叶变换全息图页存储的 最大优点
1,最小的空间带宽积,且任意一个代码都存储在整个全息图平面上 。
2,多个全息图可以存储在一张全息图中 。
二进制码通常不能进行多重存储，因为无法将它们分离。然而，采用不同的记录角度，多重全息图可以分别再现。
90年代初,Mok等成功演示了在一个
2cm× 1.5cm× 1cm的掺铁银酸铿晶体中存储的 5000个全息图的实验 。
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2.9 相关和卷积
全息图的主要优点在于它可以记录和重建波前,
因此可以用全息图来产生一个复数函数滤波器 。
全息术的重要应用之一,是实现 Vander Lugt
提出的复数匹配滤波,该复数滤波器就是图
2.13所示的傅里叶变换全息图 。 输入函数是
g(x,y)而不是 o(x,y)。 全息图的透过率分布函数为
T (u,v) =∣ G(u,v)+ R(u,v)∣ 2
=∣ G(u,v)∣ 2 + 1 + G(u,v) exp[ - i 2?sin?/?]
+ G*(u,v) exp[ i 2?sin? /?]
该全息图又称 复匹配滤波器,
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F(u,v) T (u,v) = F(u,v) (∣ G(u,v)∣ 2 + 1)
+ F(u,v) G(u,v) exp[ - i 2?sin?/?]
+ F(u,v) G*(u,v) exp[ i 2?sin? /?]
第一项的傅里叶变换位于输出平面的中心,F(u,v)
G(u,v)和 F(u,v) G*(u,v) 对应的变换项则出现在输出平面 (b,0)及 (-b,0)处 。
把一个新的输入 f (x,y) 放到输入平面上去，在傅里叶平面上产生它的谱函数 F(u,v)，在紧靠复数滤波器后面的场为：
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光学 卷积和 相干关于卷积和相关的变换法则表明,
F(u,v)G(u,v)? f (?,?) * g (?,?),
F –1 [F(u,v)G*(u,v) ] = f (?,?)? g (?,?)
相关可以作为两个图形相似性的度量，如果待识别图形 f(x,y)和目标 g(x,y)全同，相关输出 o(?,?)
将包含一个明显的相关峰；如果 f(x,y)和 g(x,y)不同，
相关输出 o(?,?)将是平坦的，具有很小的起伏。
相关的图示第 1节第 2节第 3节第 4节第 5节第 6节目 录第 7节第 8节第 9节第 10节第 2章
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光学图形识别被识别的图形记录在复匹配滤波器中，滤波器放置于傅里叶平面上。当输入信号就是 g(x,y)时，
输出平面上出现尖锐的相关峰。可以用 CCD来扫描相关输出平面加以探测。相关峰的出现表明输入图形与目标相同或相似，相关峰的信噪比则表征相似的程度,Vander Lugt 当时的实验结果显示在图 2.18之中。我们将在第四章中详细讨论。
图 2.18 (a)输入物体 (b)相关峰指示了字母,g”
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2.10 结 论本章在相干光透镜傅里叶变换的基础上介绍了光学信息处理的基本概念 。
我们列举了若干早期和近代的应用的例子,说明相干光信息处理可以实现空间滤波,使相位物体成为可见,全息成像,
离焦照片的恢复,光学信息的存储和再现,及应用全息匹配滤波器实现卷积和相关 。
