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第三章非相干光学信息处理第 1节第 2节第 3节第 4节第 5节第 6节目 录第 7节第 8节第 9节第 3章
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第三章 非相干光学信息处理
3,1 杨氏干涉仪和空间相干性
3,2 非相干像的形成
3,3 MTF的测量
3,4 非相干空间滤波
3,5 迈克耳孙干涉仪和时间相干性
3,6 傅里叶变换光谱仪
3,7 投影显示的消像素技术
3,8 计算层析技术
3,9 结论第 1节第 2节第 3节第 4节第 5节第 6节目 录第 7节第 8节第 9节第 3章
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第三章 非相干光学信息处理由于廉价的激光器的广泛应用,非相干光学信息处理已变得不那么重要了,与相干光学信息处理相比,非相干光学信息处理的优势很少,现在很少有人试图去建立一个非相干光学信息处理器,例如非相干光学相关器 (参见第四章 ),尽管如此,大量光学仪器仍是采用非相干光或自然光作为光源的,其中大多数是成像仪器,例如照相机,显微镜,望远镜,投影仪,
制版设备等等,应当说,常规意义下的成像,
也是光学信息处理的重要应用,在这个意义上,
非相干光学信息处理的基本概念仍然有必要加以研究,这些概念已广泛应用于非相干光成像之中,
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3.1 杨氏干涉仪和空间相干性干涉仪是产生光波干涉的仪器或装置,仅仅相干光才能产生干涉效应,因此干涉仪是研究光的干涉性的恰当的设备 。 常见的杨氏干涉仪是由双狭缝或双孔构成的 。
光源相干性,如果在屏上能得到相干的条纹的话，
就说照明小孔的光波是相干的。
图 3.1 同轴点光源杨氏干涉仪第 1节第 2节第 3节第 4节第 5节第 6节目 录第 7节第 8节第 9节第 3章
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光源相干性如果点光源位于轴外,则干涉条纹也将发生位移,亮纹将在 W,V 等处出现,如图 3.2所示,此时仍然有 (a+c) ＝ (b+d),和 (b+f) ＝
(a+e+?)．
如果 S1和 S2同时存在，将看到两个独立的干涉图样的非相干叠加，因为 S1和 S2是非相干的。
图 3,2离轴点光源杨氏干涉仪第 1节第 2节第 3节第 4节第 5节第 6节目 录第 7节第 8节第 9节第 3章
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空间相干性杨氏干涉仪可以用来研究光波的相干性 。 通过 P1和 P2两个小孔是否在屏上产生干涉条纹来确定照明这两点的光波是否相干 。
若屏上出现 高反差的条纹,光波就是 相干的 ；
若屏上出现 均匀的照明,光波就是 非相干的 ；
若屏上出现 低反差的条纹,光波就是 部分相干的 。
以 P1,P2的位置为函数的相干性表征光波在
P1,P2 的相干的程度,称为 空间相干性 。
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空间相干性的测量我们可以改变 P1 和 P2 的间距来测量空间相干性。间距增大时，发生两个效应，一个是条纹间距的变小，另一个是条纹反差度的下降。条纹反差度决定了空间相干性。
如果小孔的间距大于某一极限后屏上的条纹不再出现，则称此极限间距为 空间相干宽度
(spatial coherence width)．
在 相干光处理系统 中，我们总是假定空间相干宽度大于光学系统的横向特征尺度；
在 非相干光处理系统 中，我们总是假定空间相干宽度为零；
而在 部分相干光处理系统 中，假定空间相干宽度大于零，并小于系统的特征尺度。
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3.2 非相干像的形成
1,相干光的成像过程 (相干光的照明 )
设在输入平面上有一点光源?(x,y),在输出平面上的像即系统的脉冲响应为 h(x,y),相应的强度分布为 | h(x,y) |2,
输入的二维物体? 大量点源的连续分布输出的复振幅是所有点源对应的 h(x,y)的叠加,
输入 物体的复振幅分布为 f (x,y)
输出 像的 复振幅 分布为 g(?,?) = f(?,?) * h(?,?),
在 频域中 的表达式为 G(u,v) = F(u,v)H(u,v)
输出的 光强 分布为 | g(?,?) |2
其中 G,F 和 H 分别是 g,f 和 h 的傅里叶变换,H(u,v)又称成像系统的 相干传递函数,简写为
CTF(coherent transfer function)
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复振幅的脉冲响应仍是 h(x,y),相应的强度分布为 | h(x,y) |2,
由于照明光为非相干光,从各个点光源辐射的光波彼此是不相干的,各点光源的像也是彼此不相干的,输出像是输入平面物体上各点的像的强度叠加,其强度分布为
| g(?,?) |2 =∞-∞ | f(x,y) |2 | h(?-x,?-y) |2 dxdy
在频域中,GI(u,v) = FI(u,v) HI(u,v)
式中 GI,FI和 HI分别表示 |g|2,|f|2和 |h|2的傅里叶变换,|h(x,y)|2 又称 点扩散函 数,记为 PSF
(point spread function),而 HI(u,v)则称为非相干成像系统的传递函数,简称 光学传递函数,
简写为 OTF(optical transfer function)．
2、非相干光的成像过程 (非相干光的照明 )
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2,非相干光的成像过程 (非相干光的照明 )
由于 H(u,v)是 h(x,y)的傅里叶变换,根据傅里叶变换的法则,|h(x,y)|2的傅里叶变换为 H(u,v)的自相关,亦即
HI(u,v) =∞-∞ H*(p,q) H(p+u,q+v) dpdq
上式表明 OTF是 CTF 的自相关,OTF通常是复函数,可表为
OTF = |OTF|exp(i?) = MTF exp(i?)
记 MTF = |OTF|,
MTF称为 调制传递函数 (modulation transfer function);
而相位? 则记为 PTF =?,
PTF称为 相位传递函数 (phase transfer function).
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3.3 MTF的测量非相干成像系统的 MTF可以借助于输入平面上的余弦光栅来测量,
余弦光栅的光强分布为 i (x) = 1 + cos(2?po x) (1)
设系统的输出为 o (x) = 1 + m cos(2?po x +?) (2)
式中反差度即调制度 m可如下测出在频域中,输入函数可表为
I(p) =? (p) +?(p - po )/2 +? (p + po)/2 (4)
输出信号可写作 o (p) = I(p) OTF(p)
= OTF(0)?(p) + OTF(po)?(p - po )/2
+ OTF(-po)? (p + po)/2
通常的归一化手续规定 OTF(0) =1
m i nm a x
m i nm a x
)x(o)x(o
)x(o)x(om
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o (p) =?(p) + OTF(po)?(p - po )/2
+ OTF(-po)? (p + po)/2
由于 OTF是自相关函数,具有对称性,所以有
OTF(-po) = OTF(po) = MTF (po) exp(i?)
o (p) =?(p)+MTF(po)exp(i?)[?(p-po)+?(p+po)]/2
上式的傅里叶逆变换为
o (x) = 1 + MTF (po)cos(2?po x +?)
将上式与 o (x) = 1 + m cos(2?po x +?) 相比,
得到 MTF (po) = m
而 PTF 则为? =?
空间频率为 p。 的调制传递函数 MTF 通过 m
测得,为了获得完整的调制传递函数曲线,应对不同频率 p 的余弦光栅重复上述测量过程,
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3.4 非相干空间滤波在相干光学信息处理系统 (4f系统 )中,当我们把相干光源 (激光 )换成非相干光源 (钨丝灯 ),傅里叶平面上的傅里叶变换图像就消失了,这一情形与杨氏干涉仪类似,这是否意味着我们不能实现空间滤波? 答案是否定的 。
设想在傅氏平面上设置一小窗口滤波器 H(u)，
系统的 CTF=H(u),而 OTF则是 CTF的自相关,
图 3.3 滤波平面上的实窗口函数生成的 CTF及 OTF
CTF是高通滤波器,从 u =a 到 u = a+b，
但 MTF仍是低通滤波器,从 u = -b 到 u = b 与 a无关由一组无规则分布的小孔构成的孔径的作用相当于低通滤波器,这样一个滤波器的截止频率可以由针孔的直径导出,相当于 b．
如果用照相机去拍摄一个场景,该滤波器可以直接加在镜头上,拍得的照片中即不包含高频分量,日常生活的经验告诉我们,当我们缩小照相机的光圈时,
拍得的照片的分辨率 (也就是,解析度,)下降,但景深加大,
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非相干 Vander Lugt 相关器
Lohmann指出,Vander Lugt 相关器也能用在非相干光的情形,相干 Vander Lugt 相关器的输出中,相关项为 （ 参见节 4.3(14)式 ）
c(?,?) =∞-∞f(x,y) g[x-(?-b),y-?] dxdy
强度分布为
| c(?,?) |2 = |∞-∞f(x,y) g[x-(?-b),y-?] dxdy |2
当输入物体用非相干光时,相关项的强度分布为
| c(?,?) |2 =∞-∞ | f(x,y) |2 | g[x-(?-b),y-?] |2 dxdy
即 |f|2 和 |g|2 的相关,因而当 f 与 g 全同时相关峰出现在 (b,0)处,也就是相干光处理器的相关峰位置,
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图 3.4 非相干 Vander Lugt
相关结果然而在非相干情形下联合傅里叶变换器 (JTC，参见节 4.8)不起作用．联合傅里叶变换器实际上相当于杨氏干涉仪，而且两个小孔 (或两个狭缝 )
的距离大于输入图形的横向尺寸．根据节
3.1的讨论可知，非相干情形下是看不到相干条纹的，因为非相干光的横向宽度儿乎为零．
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3.5 迈克耳孙干涉仪和时间相干性迈克耳孙干涉仪见图,当两臂长度相等时 (a=b),相干条纹出现,注意两个反射镜应稍微倾斜一点,否则 在 屏 上 看 不 到 条纹,
若使得反射镜 M2沿光轴方向移远，使 b > a,
干涉条纹的反差就会下降．当 (2b-2a)大于一定长度 l 后，屏上的条纹消失，变成均匀的亮斑,l
称光波的 相干长度,
相干时间 定义为? = l /c ( 式中 c 为光速 )
图迈克耳孙干涉仪第 1节第 2节第 3节第 4节第 5节第 6节目 录第 7节第 8节第 9节第 3章
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3.5 迈克耳孙干涉仪和时间相干性在迈克耳孙干涉仪中,两个光束能够形成 干涉条纹的前提条件 是它们到达屏的时间差不大于?,或它们的光程差不大于 l ；
否则就不会产生干涉条纹,
相干长度 l 相当于波列的平均长度．因此对于一个给定的时刻,沿光波传播方向相干性度量体现为 时间相干性,在垂直于传播方向的截面中相干性度量体现为 空间相干性,
图迈克耳孙干涉仪第 1节第 2节第 3节第 4节第 5节第 6节目 录第 7节第 8节第 9节第 3章
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3.6 傅里叶变换光谱仪考虑屏上的一个点,
称为 观察点,该点的相位差取决于两光路的光程差
p,由图 3.5 有
p = 2 ( b – a )
相干叠加的光强度为
I(p,?)=S(?)[1+cos(2?p?/c)]
图迈克耳孙干涉仪式中 S(?)是产生干涉前的光强,称初始光强,S(?)
表征了光波中的频率成分含量,正是我们感兴趣的光谱函数,当光程差为 p 时,在观察点探测到的总光强为 I(p) =?∞o I(p,?) d?
=?∞o S(?)d? +?∞o S(?) cos(2?p? /c) d?
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I(p) =?∞o S(?)d? +?∞o S(?) cos(2?p? /c) d?
设?∞o S(?)d? = A (与光程差无关的常量 )
则 I(p) = A +?∞o S(?) cos(2?p? /c) d?
或?∞o S(?) cos(2?p? /c) d? = I(p) - A
我们一面移动第二块反射镜 M2,一面在观察点测 I(p),测得足够稠密的 I(p) 值,
S(?)的傅里叶逆变换为
s(x) =?∞-∞ S(?) cxp( -i 2 x) d?
S(?) 则可以用 s(x)表为
S(?) =?∞- ∞ s(x) cxp( i 2 x) dx
由于负的空间频率物理上不存在,它也不携带任何新的信息,上式中直接假定 S(-?) = S(?),
得到 s(x) = 2?∞o S(?) cos( 2 x) d?
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s(x) = 2?∞o S(?) cos( 2 x) d?
S(?) =?∞- ∞ s(x) cxp( i 2 x) dx
设 x = p/c,代入上两式得到
s(p/c) = 2?∞o S(?) cos( 2?p? /c) d? = 2[I(p) - A]
S(?) =?∞-∞ s(p/c) cxp( i 2?p? /c) d(p/c)
S(?) = (2/c)?∞-∞ [ I(p) – A ] cxp( i 2?p? /c) dp
这里 I(p)和 A都是可测量,
最后,我们看到光波的频率分布 S(?)可以由
[ I(p) – A ]的傅里叶逆变换得到,而 [ I(p) – A ]可以用移动反射镜 M2 的过程中多次抽样测量的数据来充分逼近,与前面的假设相对应,我们设 S(-?) =
S(?),S(-?)没有物理意义,我们将它略去,
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3.7 投影显示的消像素技术当使用液晶显示器 LCD进行投影成像时,
LCD上的像素结构就会出现在投影屏上,
1,利用小孔滤波消除像素结构由于像素的周期结构,在频率平面上出现一系列傅里叶频项,这正是原始图形与周期结构函数的乘积经傅里叶变换后,在频率平面上形成的图形的谱与?函数列阵的卷积,每一个谱项都只是中心谱项在不同位置的,复现,,因此只要在频率平面上放置小孔滤波器,仅让一个谱项 (例如零级谱项 )通过,就可以消除像素结构,见因
3.6,然而在这一过程中大部分能量都被滤波器拦去,输出像十分暗淡,
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图 3.6 利用小孔滤波消除像素结构第 1节第 2节第 3节第 4节第 5节第 6节目 录第 7节第 8节第 9节第 3章
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2,利用不同相位延迟的相位滤波消除像素结构有趣现象,选取任意一个谱项通过小孔,产生的图像均位于同一位置,如果两个谱项通过两个小孔,产生的图像上就可以看到杨氏条纹,如果所有的谱项一起通过滤波 (事实上不放任何滤波器 ),产生的干涉条纹就综合形成了像素的结构,上面讲过,如果只让一个谱项通过滤波小孔,
尽管像素结构消除了,但能量损失太大,为了弥补这一缺点,可以让所有的谱项都通过傅里叶变换平面,既然像素结构是由干涉效应引起的,我们可以让不同的谱项通过不同厚度的透明的相位片,以获得不同的延迟,参见图 3.7．
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图 3.6 利用小孔滤波消除像素结构图 3.7 利用不同相位延迟的相位滤波消除像素结构第 1节第 2节第 3节第 4节第 5节第 6节目 录第 7节第 8节第 9节第 3章
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3.7 投影显示的消像素技术
2,利用不同相位延迟的相位滤波消除像素结构只要相位的延迟大于相干长度,各谱项间的相干性就被破坏,结果像素结构就消除了,而强度并不受到影响,对于白光光源,由于频谱很宽,
典型的相干长度仅 10?m 左右,
上述技术显著地改善了液晶投影显示的成像质量,特别是一些分辨率较低的投影仪,利用这一技术改善了像质,使它的投影像看起来好像是高分辨率的投影仪,
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3.8 计算层折技术 (CT断层扫描 )
计算层折技术原理
X射线 CT用于获取人体的剖面图像,注意通常的 X射线的图像仅仅是投影,而不是图像本身,
设 X射线穿透一个物体,透过率或光衰减率用 f(x,y)表示,探测到的 X射线的强度分布为
I = Io exp{? f(x,y)dS} (式中 Io 为初始光强 )
上式可改写为? f(x,y)dS = - ln( I / Io )
尽管可以测得积分?f(x,y)dS,但我们并不能得到被积函数 f(x,y),然而真正需要的还是 f(x,y)，
即断层图像,
X 射线通过一个物体第 1节第 2节第 3节第 4节第 5节第 6节目 录第 7节第 8节第 9节第 3章
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计算层折技术原理层析术的基本思路,是从 f(x,y)的傅里叶变换
F(u,v)入手,F(u,v)可表为
F(u,v) =∞-∞ f(x,y) cxp[- i 2?(ux+vy)] dxdy
设 v = 0,上式化作
F(u,0) =∞-∞f(x,y) cxp(- i 2?ux) dxdy
=?∞-∞ [?∞-∞ f(x,y) dy ] cxp(- i 2?ux) dx
=?∞-∞p(x) cxp(- i 2?ux) dx
式中 p(x) =?∞-∞f(x,y) dy
p(x)可以用 X射线沿平行于 y 的方向的投影得到。
图 3.10 X射线平行于 y 轴穿透物体，产生函数 p(x)
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F(u,v)的获得如果 p(x)用图 3.10的方法得到,F(u,0)就可以计算出来 ( 沿 u 轴方向的傅里叶变换 ).
F(u,0) =?∞-∞ p(x) cxp(- i 2?ux) dx
为了获得更多的信息，可以把坐标轴 (u,v)
转动一个小角度?得到 (u’,v’)，相应地把
(x,y)旋转? 角得到
(x’,y’)，而物体不转动，
见图 3.11．于是得到
p(x’)，并采用同样的手续获得 F(u’,v’=0)；
图 3.11
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F(u,v)的获得再把坐标系转过?,又获取 F(u”,v”=0)，总共旋转 180o，就得到傅里叶频域中的一系列数据，
参见图 3.12．图中旋转坐标系测出 p(x),p(x’)，
p(x”),…,由此计算出 F(u,v)，物体保持不动．
图 3.11 图 3.12
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断层图像 f(x,y) 的获得根据 F(u,v)的数据集合后,就可以通过傅里叶逆变换得到 f(x,y),有两种不同的处理方法：
第一种方法,通过内插,得到在直角坐标系中的
F(u,v),然后进行傅里叶逆变换,
f(x,y) =∞-∞ F(u,v) cxp[i 2?(ux+vy)] dudv
第二种方法,直接在极坐标下进行傅里叶变换,因而免去了在傅里叶域中的内插手续,极坐标系下的傅里叶逆变换为,
f(x,y) =?2?o?∞o F(?cos?,?sin?)
,exp[i 2(xcos? +y sin?)]?d?d?
其中的积分用求和代替,
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图 3.13 人体的 CT图像脊椎和肋骨呈现出明亮的白色，图像左边的大块的组织是肝脏，右上角可看到胃里的液体和气体．
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3.9 结 论
1,对比了非相干光与相干光的成像过程与空间滤波；
2,非相干光学传递函数 (OTF)为相干光学传递函数 (CTF)的自相关；
3,非相干系统的本性就是低频滤波；
4,简要分析了光的相干性；
5,傅里叶变换光谱仪；
6,计算层析术 (CT)；
7,消除液晶显示技术中像素结构的方法,
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3.10 图像的相乘和积分设两张透明片的透过率分别为?1(x,y)和?2(x,y)，
系统 1
S是均匀非相干光源,经透镜 L1均匀照明 xy平面 。
将两张透明片紧贴置于 xy平面上,在平面后便可得到两者的乘积,I(x,y) = k?1(x,y)?2(x,y)
式中 k是比例常数 。 透镜 L2的作用是将 xy平面上的图像成一缩小像投射在小的光电探测器 D上,
光电流的数值为,I = k-1(x,y)?2(x,y)dxdy
光电探测器上得到的便是两个图像的积分运算 。
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但是,如果要适时更换透明片,则采用下图所示的系统更为方便 。
L2的作用是将 x1y1平面以放大率 M=1成像于
x2y2平面上 。 应该说明的是,置于 x1y1上的透明片应该倒置,形成?1(-x1,-y1),原因是 L2 成像后将使之坐标反转 。
系统 2
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3.11 图像的相关和卷积实现图像相关运算方法,运动法,无运动法
1,运动法采用 3.10系统 2,?1仍然反置 。 令?1在 x1方向上位移 xo,在 y1方向上 yo,则 D的光电流输出将为
I = k-1(x - xo,y - yo )?2(x,y)dxdy
因为对于一个实函数而言,其共扼函数与其本身是相同的,用?1*代替?1,上式可看成是两者之间的相关运算,即?12在 (xo,yo)点的值 。 若使?1
沿 x方向以速度 v匀速移动,则光电探测器将得到两者在 y = yo 处的一维相关运算,它是一个时间的函数 I(vt)。
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若在 x方向每扫描一次，图形就向上移动?y1
的距离，则得到光电流的一维阵列,
Im(vt) = k-1*(x -vt,y -ym)?2(x,y)dxdy =?12
上式是完整二维相关运算,它在 Y方向是抽样的,
卷积运算 的实现只需把 x1y1平面上的?1 置于正方向,则很容易得到两者的卷积,?1*?2,这里不再详述 。 （ 自己证明 ）
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2、无运动法光学系统原理：
考虑 S面上一点 (-xS,-yS)发出的光,经 L1后成为平行光透过?1 照明?2,照明光强度分布正比于
1[ -x + (d/f) xS,-y + (d/f) yS ]。 经?2 后由 L2聚焦到焦面 xDyD 上 。 这里假定 L1和 L2焦距相等 。 位于
xDyD的探测器测得的强度为
IS = k-1[(d/f)xS -x,(d/f)yS–y]?2(x,y)dxdy =?1*?2
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应该看到,以几何光学为基础的非相干处理系统 只能处理光的强度分布,即只能处理非负的实函数,在有些应用中会受到很大的限制 。
另一方面,由于系统完全是根据几何光学原理设计的,对于细节过于丰富的图像,由于衍射效应其内含的高频信息往往会丢失,使得输出结果引入较大的偏差 。
因此,以几何光学为基础的非相干光学处理系统只能在保证几何光学定理成立的条件下才能使用 。
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3.12 白光光学信息处理技术采用相干光源能使光学系统实现许多复杂的信息处理运算,但 相干光学信息处理 的 相干噪声较大 。 此外,相干光源通常是 昂贵 的,并且对光学处理的 环境要求非常严格 。
非相干光学处理 采用横向扩展的光源,没有空间相干性,若同时采用白光,则时间相干性也减少到很小的程度,因此这种处理方法具有 噪声低,
结构简单的优点 。 可是,非相干处理系统没有物理上的频谱平面,因而 频域综合就比较困难 。 由于系统的 输入和脉冲响应都只能是非负的实函数,
这又大大限制了系统所能完成的运算,
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于是,人们会提出这样一个问题：在光学处理中能否降低对光源相干性的要求,但又同时保持对复振幅的线性运算性质?
为了回答这个问题,人们研究了一类新的光学处理方法,称为 白光光学处理 。
白光光学处理采用宽谱带白光光源,但采用 微小的光源 尺寸以提高空间相干性,另一方面在输入平面上 引入光栅 来提高时间相干性,这样既不存在相干噪声,又在某种程度上保留了相干光学处理系统对复振幅进行运算的能力,运算灵活性好 。 由于采用宽谱带光源,特别适合于处理彩色图像,近年来受到愈来愈多的重视 。 将白光光学处理归人非相干光学处理一章,仅仅是从它采用了非相干光源这一角度考虑,我们应该注意到,它与通常所说的非相干光学处理是明显不同的 。
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1,白光光学处理的基本原理白光光学处理系统如图所示,
其中 S是白光点光源或者白光光源照明的小孔,
这一系统类似于相干光学处理的 4f系统 。 但在白光处理中,通常物函数均用光栅抽样 (调制 )后才放入输入面上,通过对频谱面上色散的物频谱作处理,实现对物函数的处理 。
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令输入透明片的复振幅透过率为 t(x1,y1),与输入透明片紧贴的正弦光栅为
tg (x1) = 1 + cos(2o x1)
式中?o为光栅频率,并假定物透明片对照明光源中各种波长的光波的振幅透过率相同 。 则经光栅抽样后的复振幅分布为
f (x1,y1) = t(x1,y1) [ 1 + cos(2o x1) ]
对某一确定的波长?,在消色差变换透镜 L2后焦面
P2的空间频谱为
F(?,?)=T(?,?)*[?(?,?)+?(?-?o,?)/2+?(?+?o,?)/2]
=T(?,?) + T(?-?o,?)/2 + T(?+?o,?)/2 (1)
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利用 P2平面上频率坐标与空间坐标的关系：
= x2 /?f,? = y2 /?f,
方程 (1)可写为
F(x2,y2 ;?) = T(x2 /?f,y2 /?f)+T(x2 /?f -?o,y2 /?f)/2
+ T(x2 /?f +?o,y2 /?f)/2 (2)
从 (2)式看到：第一项为零级物谱,而且不同波长的零级物谱的中心位置是相同的；第二项和第三项是 ± 1级信号谱带,每个谱带中心在 x2=±?f?o处,
色散为彩虹颜色,
对于波长间隔为的两种色光,其一级谱中心在 x2轴上的偏移量是 x2=?f?o,假定信号的空间频带宽度为 Wt,则不同波长的物谱能够分离的条件是
/? >> Wt /?o (3)
式中,?为两种色光的平均波长,
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显然,只要光栅频率?o远大于输入信号带宽,
就可以忽略各波长频谱间的重叠,从而在 +1级或 —-1级谱面,象相干处理那样,对一系列的波长进行滤波操作,对于某一确定波长?n来说,若设滤波函数为 Hn(x2 /?nf -?o,y2 /?nf),则经过滤波和 L3的逆傅里叶变换后,如同相干处理那样,在输出平面上波长为?n 的像场复振幅为
gn(x3,y3;?n) = F-1{T(x2/?nf-?o,y2/?nf) Hn(x2/?nf-?o,y2 /?nf)}
忽略与强度分布无关的量,输出面上波长为?n的像强度分布为
I(x3,y3;?n) =?t(x3,y3)*hn(x3,y3;?n)?2
式中,hn是 Hn的逆傅里叶变换,
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实际上滤波器 Hn总不可能做到只让?n 的光波通过,至少包含?n的某一波长间隔n的光波都能通过,当然,当n比?n小得多时,可以作为准单色处理,考虑到这一点,可以把通过滤波后在像平面上的像强度分布写成
In =n?t(x3,y3)*hn(x3,y3;?n)?2
式中,hn是第 n个滤波器的脉冲响应,当有 N个离散的滤波器同时作用于频谱面时,由于不同波长的色光是不相干的,因而输出面上得到的是不同波长输出的非相干叠加,即
I(x3,y3) = ∑n?t(x3,y3)*hn(x3,y3;?n)?2
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从上述分析可以看出,白光处理技术的确能够处理复振幅信号,并且由于输出强度是互不相干的窄带光强度之和,因而又能抑制令人讨厌的相干噪声,应该指出,我们采用的分析方法是对确定波长的处理看作相干光处理,而对不同波长处理后像的叠加又看成是完全非相干的,这在理论上是不严格的,更严格的讨论涉及到部分相干理论,尽管如此,在很多实际应用中,我们只涉及少数几个分离的波长 (例如红,绿,蓝三原色 )，
此时若在信号频谱后加滤色片,还可以进一步改善时间相干性,而且在采用矩形光栅时,由于光栅的多级衍射,在各个频谱上都可以进行滤波操作,对于这一类问题的处理,上述的近似分析已经足够了,实际上,(3)式的条件对很多应用是过份严格了,
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2,实时假彩色编码白光信息处理系统对不同波长的单色光,提供了类似于相干光处理系统的运算能力,采用宽带光源使系统可以使用不同的色通道,有利于对图像进行彩色化处理,这里介绍两种图像假彩色编码的方法,等密度假彩色编码 和 等空间频率假彩色编码,这两种方法都不需要对输入的图像透明片进行预处理,而只需要在白光信息处理系统的频谱面上放置适当的滤波器,就可以在输出平面上直接得到彩色化的图像,由于具有实时处理的特点,因而又称为实时假彩色编码,
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(1) 等空间频率假彩色编码将一复振幅透过率 t(x1,y1)的黑白透明片与正交光栅一起放入白光处理系统的输入平面 P1处,
为分析简便起见,假定正交光栅在两个正交方向上是相加性的,其振幅透过率可以记为
tg(x1,y1) = [1 + cos(2ox1)/2 + cos(2oy1)/2]
式中?o,?o分别是光栅在 x1,y1方向上的空间频率,在频谱面 P2 上,相应于波长? 的复振幅分布正比于
F(x2,y2 ;?) =T(x2 /?f,y2 /?f)+T(x2 /?f -?o,y2 /?f)/4
+ T(x2 /?f +?o,y2 /?f)/4 + T(x2 /?f,y2 /?f -?o)/4
+ T(x2 /?f,y2 /?f +?o)/4
由上述方程可见,沿 x2和 y2轴共有四个彩虹色信号的一级衍射谱,
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由于空间滤波只有在沿着垂直于颜色弥散的方向上才有效,所以我们用右图所示的一维空间滤波器来进行假彩色化,
图中位于 x2轴上 蓝色 谱带处的是一维低通空间滤波器 H1(y2 /?f),只让 y2 方向的低频通过；位于 y2
轴上 蓝色 谱带处的是一维低通空间滤波器 H1(x2
/?f),只让 x2方向上的低频通过；位于 x2轴上 红色谱带处的是一维高通空间滤波器 H2(y2 /?f),只让
y2方向的高频通过；位于 y2轴上 红色 谱带处的是一维高通空间滤波器 H2(x2 /?f),只让 x2方向的高频通过,
式中 Tb和 Tr分别是所选择的 蓝色 及 红色 彩色信号谱,在输出面 P3上,相应的复振幅分布为
)y(h)y,x()txe x p ( - i 2)x(h)y,x()tye x p ( i 2
)x(h)y,x()tye x p ( - i 2)y(h)y,x()txe x p ( i 2
f
y
H,
f
y
,
f
x
T
f
x
H
f
y
,
f
x
T
f
x
H
f
y
,
f
x
T
f
y
H
f
y
,
f
x
T);y,x(g
3233r3o3233r3o
3133b3o3133b3o
2
2
2
o
2
r
2
2o
22
r
2
1o
22
b
2
1
2
o
2
b33
F
F
f
y
H,
f
y
,
f
x
T
f
x
H
f
y
,
f
x
T
f
x
H
f
y
,
f
x
T
f
y
H
f
y
,
f
x
T);
f
y
,
f
x
(G
2
2
2
o
2
r
2
2o
22
r
2
1o
22
b
2
1
2
o
2
b
22
于是，平面 P2上经过滤波后的谱函数可写为如果光栅的空间频率?o 及?o 足够高，则上式可近似地表示为式中b 和r 是信号的 蓝色 及 红色 的光谱宽度；
h1 及 h2 分别是 H1 和 H2 的点扩散函数。上式表明，两个非相干像在输出平面 P3 合成彩色编码像，像的 低频结构呈蓝色,高频结构呈红色 。 相等的空间频率结构呈现同一颜色，故称为等空间频率编码。
2
3233r3o3233r3or
2
3133b3o3133b3ob33
)y(h)y,x()txe x p ( - i 2)x(h)y,x()tye x p ( i 2
)x(h)y,x()tye x p ( - i 2)y(h)y,x()txe x p ( i 2)y,x(I
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等空间频率假彩色编码第 1节第 2节第 3节第 4节第 5节第 6节目 录第 7节第 8节第 9节第 3章
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(2) 等密度假彩色编码如果在 P2平面上两个呈彩虹颜色的一级谱处安放如图所示的滤波器,其中红色滤波器是一个简单的 红滤色片,另一个绿色滤波器是由一个 绿滤色片和绿色频带中心位置的?
相位滤波器 组成 。
于是,在 输出平面上形成红色原像和绿色反转像叠加的结果,使得 原图像不同密度的区域呈现不同的颜色 。
分析,谱平面上放置一个红色全通滤波器,一个绿色滤色片并在其中心加一个? 相位滤波器组成,其数学表达式为,
,1
0f/ y,1
f
y
H
,1
0f/x,1
f
x
H
22
22
其它其它
f
x
H
f
y
,
f
x
T
f
y
H
f
y
,
f
x
T
f
y
,
f
x
T
f
y
,
f
x
T);
f
y
,
f
x
(G
2
o
22
g
22
o
2
g
o
22
r
2
o
2
r
22
f
x
H
f
y
,
f
x
T
f
y
H
f
y
,
f
x
T
f
y
,
f
x
T
f
y
,
f
x
T);y,x(g
2
o
22
g
22
o
2
g
o
22
r
2
o
2
r33
F
F
在白光处理的输出平面 P3上的复振幅分布为,
谱平面上滤波后的频谱分布为,
如果光栅频率足够高,则 (10)式可近似地写成：
tgn(x3,y3) = tg(x3,y3) – 2〈 tg(x3,y3) 〉
式中 tgn(x3,y3)是绿色的对比度反转像,这里的 〈 tg(x3,
y3) 〉 表示 tg(x3,y3) 的集平均或系综平均 。 由于像 tr 和
tgn 分别来自光源中不同颜色的光谱带,它们之间是非相干的,所以输出面强度分布是
I(x3,y3) =?|g(x3,y3;?)|2 d?
=r Ir(x3,y3) +g Irn(x3,y3)
Ir(x3,y3)是红色正像,Irn(x3,y3)是绿色负像,r 和
g 分别是红色和绿色的光谱宽度 。 当这两个像重合在一起时就得到了密度假彩色编码的像 。 原物中密度最小处呈红色,密度最大处呈绿色,中间部分分别对应粉红,黄,浅绿 等颜色,密度相同处出现相同的颜色 。
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等密度假彩色编码第 1节第 2节第 3节第 4节第 5节第 6节目 录第 7节第 8节第 9节第 3章
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3.13 相位调制假彩色编码在已研究的实现图像彩色化的许多方法中,
相位调制彩色编码方法 由于其 光强利用率高,色饱和度好,噪声低,操作简单,已在遥感,生物医学,气象等图像处理中得到应用 。 相位调制彩色编码方法经过对信息的调制和解调,实现了空间强度调制信息与空间波长调制信息的转换 。 这些技术对于理解光学信息处理的实质具有典型的意义,也是白光光学处理的原理性概念的一种具体应用,
密度假彩色编码可分为三个步骤：
光栅抽样,漂白处理,白光处理系统中滤波解调,
1,光栅抽样将周期为 a 的朗奇光栅与输入图像重叠在一张复制底片上均匀曝光。
设输入图像的密度为 Di(x,y)，罗奇光栅的透过率为 Ts(x,y) = rect(2x/a) *comb(x/a) /a (1)
则经光栅抽样后所得负片的密度分布 D(x,y)为
D(x,y)={[D10 -?Di(x,y)]-D0}rect(2x/a)*comb(x/a)/a+D0
式中 Do是底片的灰雾密度,D10是可通过改变曝光条件来控制的常数,? 是底片的反差系数 。 这样得到的一张矩形级数光栅其底片光密度可以简记为
D(x,y) = D0 Ts 为 0 处
D(x,y) = D10 -?Di(x,y) Ts 为 1 处 (2)
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(2) 漂白处理将经抽样所得到的负片进行漂白处理,并适当控制漂白工艺,可以得到近似满足光程差正比于底片密度的效果,即
L(x,y) = Lo = CDo Ts = 0
L(x,y) = Lo= C[D10 -?Di(x,y)] Ts = 1
其 相位分布
(x,y) =?o = 2?Lo /? Ts = 0
(x,y) =?1 = 2?L1 /? Ts = 1
复振幅透过率
exp[i?(x,y)] = exp(i2?CDo /?) Ts = 0
exp[i?(x,y)] = exp{i2?C[D10 -?Di(x,y)]/?} Ts = 1
或
1T )y,x(DD[C
2
ie x p)ie x p (T
0T CD
2
ie x p)ie x p (T
)y,x(T
si1011
sooo
最后得到编码的相位光栅的振幅透过率为
）（，并记，式中
o1o1
i
1
i
o
oo1
LL
2
eTeT
T
a
x
c o m b
a
1
a
x2
r e c t]TT[)y,x(T
1o?
(3)
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(3) 白光信息处理系统中的滤波解调将编码相位光栅放在白光信息处理系统的输入平面上,设入射单色光强度为
A(?),则频谱平面 (x2,y2)上的复振幅为
(4)
式中 x2 =?f?,x2 =?f?,将 (3)式代人 (4)式,
计算并化简后得 (5)
)}y,x(T{)(A);y,x(F 1122 F
)y()x(T)y(
a
fm
x
)}y,x(
f2
ax
cs i n
2
1
)TT()(A);y,x(F
22o
m
22
11
2
o122
当 m = 0时,有
)y()x(]T- 2/)TT[()(A);y,x(F 22oo122
)y(a fmx2mcs i n)TT(21)(A);y,x(F 22o122
]T2/)a/mx2ie x p ()2/m(cs i n)TT[()(A);y,x(E
]T2/)TT[()(A);y,x(E
o3o133m
oo133o
m/)c o s1)((A2);y,x(I
2/)c o s1)((A);y,x(I
22
33m
33o
其对应的强度只与相位差和?有关，即如滤波器分别让零级频谱和 m 级频谱通过，则在输出平面上的复振幅分布为当 m≠0时，有
(6)
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若用?d表示与相位差相对应的光程差,则
(6)式可改写为该式表明对于每一个衍射级次,输出图像的强度随波长和光程差而变化 。
图 (a)和 (b)分别为零级和 1级的输出强度随光程差?d而变化的曲线,其中 A(?) = 1,?作为参变量 。
m/)]/d2c o s (1)[(A2);y,x(I
2/)]/d2c o s (1)[(A);y,x(I
22
33m
33o
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假如用图中画出的 红,绿,蓝 三种色光?r，
g,?b 照相,则强度输出是三种色光输出的非相干叠加,I(?d) = I(?d,?r) + I(?d,?g) + I(?d,?b)
即得到随?d 而变化的彩色输出 。 当采用白光光源时,各色光的非相干叠加变成下列积分：
I(?d) =? I(?d,?)d?
仍然是随?d而变化的彩色输出 。 由于在编码和漂白处理中,已使光程差随输入密度而改变,因此得到按输入图像密度变化的假彩色编码 。 这种编码方法输出图像的色度丰富,饱和度也很好,在低衍射级次 (包括零极 )输出的情况下,也能得到彩色化效果很好的输出图像,因此光强度利用率高,
图像亮度好 。
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3.14 彩色胶片资料存贮彩色胶片的资料存贮 是胶片工业中长期没有得到解决的问题，其 主要原因是彩色胶片所用的染料不稳定而造成逐渐褪色 。虽然有一些技术可以用来保存彩色像，但都存在着不少问题。 最常用的方法是用三个基色滤色片将彩色像保持在三个不同的黑白底片上，然后用三个基色幻灯机来合成彩色像 。在这过程中三个像要非常精确地重合，此外这个方法还有 两个主要缺点,一是每个彩色片需用的存贮体积是黑白片的三倍；二是彩色像合成系统，非常昂贵和复杂。
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回顾
1906年依伏斯 首先报导了从黑白透明片恢复出彩色像的技术。他使用了一个用衍射现象来产生彩色像的幻灯器，其中使用了不同频率或不同方位的光栅。
1969年缪勒 用了相似的方法即用三色光栅来进行彩色像的编码。在解码时，用三个准单色光源来恢复彩色像。
马可夫斯基 (1972年 ),克罗松和基纳雷
(1978年 ),杨振寰和母国光 等人 (1980年 )的工作。
彩色胶片记录在黑白透明片上的技术记录过程是将彩色胶片通过 伦奇光栅 依次用三次接触法记录在黑白底片上，每次记录时通过不同的基色滤色片 (即红、蓝、绿三色 )，而对应的伦奇光栅的方位角分别为 0o位置 (红色滤色片 ),60o位置 (蓝色滤色片 ),120o
位置 (绿色滤色片 )。
如果这三次曝光很准确地记录在照相底片上，这就是一张空间编码的黑白透明片，相应的强度分布可用下式表示
po 是光栅的空间频率,Tn 表示负像的强度透射率，而
Tr,Tb、及 Tg 分别是在底片上红、蓝、绿三色的曝光量,(x,y),(x’,y’)及 (x”,y”)分别对应于光栅在 0o、
60o及 120o位置时的坐标系统,?n1 是底片的伽玛值,K1
为常数。
可利用接触曝光来得到适合于处理的正像透明片。
多重光栅空间调制的正像透明片的强度透过率为其中 K2为比例常数,Tp为正片密度透过率,?n2为第二张透明片的伽玛值。为了得到像振幅的线性透过率，
我们取?n1?n2 = 2，这样振幅透过率为第 1节第 2节第 3节第 4节第 5节第 6节目 录第 7节第 8节第 9节第 3章
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为了从所得到的黑白编码透明片再现逼真的彩色像，我们采用白光处理技术。如图所示，
将该透明片放置在白光处理器的输入平面 P1处，
于是在空间频谱面 P2上对波长为?的光强分布为为简单起见，略去上式中的常数因子，则其中 Tr(p,q),Tb(p’,q’)及 Tg(p”,q”) 分别是 Tr(x,y),Tb(x’,
y’)及 Tg(x”,t”) 的傅里叶变换。而 p=(2?/?f)?,q =(2?/?f)?,
p’ = (2?/?f)?’,q = (2?/?f)?’,p” = (2?/?f)?”,q = (2?/?f)?”
即 (?,?),(?’,?’) 及 (?”,?”) 分别是坐标系统 (p,q),(p’,q’)
及 (p”,q”)的线性变换,an 是傅里叶系数。
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上式可用?,?,?’,?’,?”,?”来表示，即由上式可见，在沿?,?’及?” 轴上象的傅里叶谱的不同级将线性色散成为彩虹色。如果光栅的空间频率 po 大于彩色像所含的最大空间频率的二倍，
则不同的衍射级次不会相互重叠。
在解码时，让三个一级衍射分别通过红、
蓝、绿色滤色片，如图所示。由于是彩色滤波放能让彩色像的空间谱全部通过，所以不会有象分辨率损失。
通过空间频谱面 P2后相应的光的复振幅分布为：
这里?r,?b 及?g 分别为红、蓝、绿色的波长。
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在输出平面上光的复振幅分布为：
由于式中三个基色像之间是非相干的，所以相应的辐照度为
I(x,y) = Tr2 (x,y) + Tb2 (x,y) + Tg2 (x,y)
上式就是恢复了的彩色像。这样用很简单的白光处理技术可以再现解码的多色像。还须指出，如果在输出平面 P3 上放置一个毛玻璃，则该系统还可以进行直接观察。
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为简单起见，实验中在沿 x 及 y 轴方向分别对红色及绿色编码。第一个负片用柯达 4147 Plus
X 胶片，它具有相当平滑的光谱响应及低的伽玛值，而用具有高伽玛值的柯达 4154 Ortho胶片来得到正片。在处理过程中负片及正片的伽玛值分别控制在 0.8 及 2.5，这样就可以得到线性的正像透明片。
我们可以看到，尽管实验条件并没有控制在最佳状态，白光处理系统也没有进行精细的调整，
但已经可以看到用这种技术所得到的彩色再现是很理想的，并且像的分辨率也很好。若用较高频率的光栅，其分辨率还可以进一步提高。当然，
为了得到逼真的彩色复原必须用三基色进行编码。
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彩色像的空间谱彩色复原 1 彩色复原 2
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3.15 褪色片的彩色增强首先说明用空间编码及彩色滤波技术可以使彩色得到增强，然后说明彩色增强还可以用实时白光处理技术来获得。虽然空间彩色编码技术有若干优点，但它并非是实时的。假定褪色的程度是已知的。而颜色可以用空间调制方法编码在黑白透明片上。用上述编码方法所得到的胶片的振幅透过率为
(1)
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这里我们取三次空间编码之间的角度都是 60o。
如果已知绿色的褪色比较严重，则在编码时使它的调制度 Ag 大一些，换句话说应该事先确定义 Ar,
Ab 及 Ag 之间的合理的比例。
若将以式 (1)所表示的编码透明片放在白光处理系统的输入平面 P1 上；则在频谱面 P2 上可以看到彩虹色的各级编码像谱。在彩色恢复中，将三个可调密度的滤色片 (即红、绿、蓝滤色片 )放在象的频谱上，在输出平面 P3 处就可以观察到增强了的彩色像。由此可见彩色恢复主要是通过空间编码及彩色滤波来达到的。
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图 a是运用这种方法来进行彩色增强的一个例子。
为简单起见，在实验中我们仅用红、绿两色进行编码。图 b是原褪色像的彩色照片。虽然实验上并没有将所有的条件都控制到最佳，但结果还是很好的,需要指出，在输出象中所出现的噪声主要是由于编码过程及光学系统不够清洁所引起的。如进行细致的处理这些噪声原则上是可以避免的。还须强调，如果一彩色像已完全褪色，
就不能再得到彩色增强的效果，但是只要褪色是不完全的，就总可以用这种技术使彩色得到某种程度的增强。换句话说，褪色越严重，彩色增强也就越困难。
作为实验演示，在彩色图 (a)中是一个用这种方法得到的彩色图，这是个色彩很丰富的郁金香花照片。为进行比较，彩色图 (b)给出了原彩色像。
(b) 原彩色像(a) 恢复的彩色像第 1节第 2节第 3节第 4节第 5节第 6节目 录第 7节第 8节第 9节第 3章
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实时彩色增强的方法正弦光栅
第三章非相干光学信息处理第 1节第 2节第 3节第 4节第 5节第 6节目 录第 7节第 8节第 9节第 3章
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第三章 非相干光学信息处理
3,1 杨氏干涉仪和空间相干性
3,2 非相干像的形成
3,3 MTF的测量
3,4 非相干空间滤波
3,5 迈克耳孙干涉仪和时间相干性
3,6 傅里叶变换光谱仪
3,7 投影显示的消像素技术
3,8 计算层析技术
3,9 结论第 1节第 2节第 3节第 4节第 5节第 6节目 录第 7节第 8节第 9节第 3章
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第三章 非相干光学信息处理由于廉价的激光器的广泛应用,非相干光学信息处理已变得不那么重要了,与相干光学信息处理相比,非相干光学信息处理的优势很少,现在很少有人试图去建立一个非相干光学信息处理器,例如非相干光学相关器 (参见第四章 ),尽管如此,大量光学仪器仍是采用非相干光或自然光作为光源的,其中大多数是成像仪器,例如照相机,显微镜,望远镜,投影仪,
制版设备等等,应当说,常规意义下的成像,
也是光学信息处理的重要应用,在这个意义上,
非相干光学信息处理的基本概念仍然有必要加以研究,这些概念已广泛应用于非相干光成像之中,
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3.1 杨氏干涉仪和空间相干性干涉仪是产生光波干涉的仪器或装置,仅仅相干光才能产生干涉效应,因此干涉仪是研究光的干涉性的恰当的设备 。 常见的杨氏干涉仪是由双狭缝或双孔构成的 。
光源相干性,如果在屏上能得到相干的条纹的话，
就说照明小孔的光波是相干的。
图 3.1 同轴点光源杨氏干涉仪第 1节第 2节第 3节第 4节第 5节第 6节目 录第 7节第 8节第 9节第 3章
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光源相干性如果点光源位于轴外,则干涉条纹也将发生位移,亮纹将在 W,V 等处出现,如图 3.2所示,此时仍然有 (a+c) ＝ (b+d),和 (b+f) ＝
(a+e+?)．
如果 S1和 S2同时存在，将看到两个独立的干涉图样的非相干叠加，因为 S1和 S2是非相干的。
图 3,2离轴点光源杨氏干涉仪第 1节第 2节第 3节第 4节第 5节第 6节目 录第 7节第 8节第 9节第 3章
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空间相干性杨氏干涉仪可以用来研究光波的相干性 。 通过 P1和 P2两个小孔是否在屏上产生干涉条纹来确定照明这两点的光波是否相干 。
若屏上出现 高反差的条纹,光波就是 相干的 ；
若屏上出现 均匀的照明,光波就是 非相干的 ；
若屏上出现 低反差的条纹,光波就是 部分相干的 。
以 P1,P2的位置为函数的相干性表征光波在
P1,P2 的相干的程度,称为 空间相干性 。
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空间相干性的测量我们可以改变 P1 和 P2 的间距来测量空间相干性。间距增大时，发生两个效应，一个是条纹间距的变小，另一个是条纹反差度的下降。条纹反差度决定了空间相干性。
如果小孔的间距大于某一极限后屏上的条纹不再出现，则称此极限间距为 空间相干宽度
(spatial coherence width)．
在 相干光处理系统 中，我们总是假定空间相干宽度大于光学系统的横向特征尺度；
在 非相干光处理系统 中，我们总是假定空间相干宽度为零；
而在 部分相干光处理系统 中，假定空间相干宽度大于零，并小于系统的特征尺度。
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3.2 非相干像的形成
1,相干光的成像过程 (相干光的照明 )
设在输入平面上有一点光源?(x,y),在输出平面上的像即系统的脉冲响应为 h(x,y),相应的强度分布为 | h(x,y) |2,
输入的二维物体? 大量点源的连续分布输出的复振幅是所有点源对应的 h(x,y)的叠加,
输入 物体的复振幅分布为 f (x,y)
输出 像的 复振幅 分布为 g(?,?) = f(?,?) * h(?,?),
在 频域中 的表达式为 G(u,v) = F(u,v)H(u,v)
输出的 光强 分布为 | g(?,?) |2
其中 G,F 和 H 分别是 g,f 和 h 的傅里叶变换,H(u,v)又称成像系统的 相干传递函数,简写为
CTF(coherent transfer function)
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复振幅的脉冲响应仍是 h(x,y),相应的强度分布为 | h(x,y) |2,
由于照明光为非相干光,从各个点光源辐射的光波彼此是不相干的,各点光源的像也是彼此不相干的,输出像是输入平面物体上各点的像的强度叠加,其强度分布为
| g(?,?) |2 =∞-∞ | f(x,y) |2 | h(?-x,?-y) |2 dxdy
在频域中,GI(u,v) = FI(u,v) HI(u,v)
式中 GI,FI和 HI分别表示 |g|2,|f|2和 |h|2的傅里叶变换,|h(x,y)|2 又称 点扩散函 数,记为 PSF
(point spread function),而 HI(u,v)则称为非相干成像系统的传递函数,简称 光学传递函数,
简写为 OTF(optical transfer function)．
2、非相干光的成像过程 (非相干光的照明 )
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2,非相干光的成像过程 (非相干光的照明 )
由于 H(u,v)是 h(x,y)的傅里叶变换,根据傅里叶变换的法则,|h(x,y)|2的傅里叶变换为 H(u,v)的自相关,亦即
HI(u,v) =∞-∞ H*(p,q) H(p+u,q+v) dpdq
上式表明 OTF是 CTF 的自相关,OTF通常是复函数,可表为
OTF = |OTF|exp(i?) = MTF exp(i?)
记 MTF = |OTF|,
MTF称为 调制传递函数 (modulation transfer function);
而相位? 则记为 PTF =?,
PTF称为 相位传递函数 (phase transfer function).
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3.3 MTF的测量非相干成像系统的 MTF可以借助于输入平面上的余弦光栅来测量,
余弦光栅的光强分布为 i (x) = 1 + cos(2?po x) (1)
设系统的输出为 o (x) = 1 + m cos(2?po x +?) (2)
式中反差度即调制度 m可如下测出在频域中,输入函数可表为
I(p) =? (p) +?(p - po )/2 +? (p + po)/2 (4)
输出信号可写作 o (p) = I(p) OTF(p)
= OTF(0)?(p) + OTF(po)?(p - po )/2
+ OTF(-po)? (p + po)/2
通常的归一化手续规定 OTF(0) =1
m i nm a x
m i nm a x
)x(o)x(o
)x(o)x(om
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o (p) =?(p) + OTF(po)?(p - po )/2
+ OTF(-po)? (p + po)/2
由于 OTF是自相关函数,具有对称性,所以有
OTF(-po) = OTF(po) = MTF (po) exp(i?)
o (p) =?(p)+MTF(po)exp(i?)[?(p-po)+?(p+po)]/2
上式的傅里叶逆变换为
o (x) = 1 + MTF (po)cos(2?po x +?)
将上式与 o (x) = 1 + m cos(2?po x +?) 相比,
得到 MTF (po) = m
而 PTF 则为? =?
空间频率为 p。 的调制传递函数 MTF 通过 m
测得,为了获得完整的调制传递函数曲线,应对不同频率 p 的余弦光栅重复上述测量过程,
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3.4 非相干空间滤波在相干光学信息处理系统 (4f系统 )中,当我们把相干光源 (激光 )换成非相干光源 (钨丝灯 ),傅里叶平面上的傅里叶变换图像就消失了,这一情形与杨氏干涉仪类似,这是否意味着我们不能实现空间滤波? 答案是否定的 。
设想在傅氏平面上设置一小窗口滤波器 H(u)，
系统的 CTF=H(u),而 OTF则是 CTF的自相关,
图 3.3 滤波平面上的实窗口函数生成的 CTF及 OTF
CTF是高通滤波器,从 u =a 到 u = a+b，
但 MTF仍是低通滤波器,从 u = -b 到 u = b 与 a无关由一组无规则分布的小孔构成的孔径的作用相当于低通滤波器,这样一个滤波器的截止频率可以由针孔的直径导出,相当于 b．
如果用照相机去拍摄一个场景,该滤波器可以直接加在镜头上,拍得的照片中即不包含高频分量,日常生活的经验告诉我们,当我们缩小照相机的光圈时,
拍得的照片的分辨率 (也就是,解析度,)下降,但景深加大,
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非相干 Vander Lugt 相关器
Lohmann指出,Vander Lugt 相关器也能用在非相干光的情形,相干 Vander Lugt 相关器的输出中,相关项为 （ 参见节 4.3(14)式 ）
c(?,?) =∞-∞f(x,y) g[x-(?-b),y-?] dxdy
强度分布为
| c(?,?) |2 = |∞-∞f(x,y) g[x-(?-b),y-?] dxdy |2
当输入物体用非相干光时,相关项的强度分布为
| c(?,?) |2 =∞-∞ | f(x,y) |2 | g[x-(?-b),y-?] |2 dxdy
即 |f|2 和 |g|2 的相关,因而当 f 与 g 全同时相关峰出现在 (b,0)处,也就是相干光处理器的相关峰位置,
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图 3.4 非相干 Vander Lugt
相关结果然而在非相干情形下联合傅里叶变换器 (JTC，参见节 4.8)不起作用．联合傅里叶变换器实际上相当于杨氏干涉仪，而且两个小孔 (或两个狭缝 )
的距离大于输入图形的横向尺寸．根据节
3.1的讨论可知，非相干情形下是看不到相干条纹的，因为非相干光的横向宽度儿乎为零．
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3.5 迈克耳孙干涉仪和时间相干性迈克耳孙干涉仪见图,当两臂长度相等时 (a=b),相干条纹出现,注意两个反射镜应稍微倾斜一点,否则 在 屏 上 看 不 到 条纹,
若使得反射镜 M2沿光轴方向移远，使 b > a,
干涉条纹的反差就会下降．当 (2b-2a)大于一定长度 l 后，屏上的条纹消失，变成均匀的亮斑,l
称光波的 相干长度,
相干时间 定义为? = l /c ( 式中 c 为光速 )
图迈克耳孙干涉仪第 1节第 2节第 3节第 4节第 5节第 6节目 录第 7节第 8节第 9节第 3章
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3.5 迈克耳孙干涉仪和时间相干性在迈克耳孙干涉仪中,两个光束能够形成 干涉条纹的前提条件 是它们到达屏的时间差不大于?,或它们的光程差不大于 l ；
否则就不会产生干涉条纹,
相干长度 l 相当于波列的平均长度．因此对于一个给定的时刻,沿光波传播方向相干性度量体现为 时间相干性,在垂直于传播方向的截面中相干性度量体现为 空间相干性,
图迈克耳孙干涉仪第 1节第 2节第 3节第 4节第 5节第 6节目 录第 7节第 8节第 9节第 3章
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3.6 傅里叶变换光谱仪考虑屏上的一个点,
称为 观察点,该点的相位差取决于两光路的光程差
p,由图 3.5 有
p = 2 ( b – a )
相干叠加的光强度为
I(p,?)=S(?)[1+cos(2?p?/c)]
图迈克耳孙干涉仪式中 S(?)是产生干涉前的光强,称初始光强,S(?)
表征了光波中的频率成分含量,正是我们感兴趣的光谱函数,当光程差为 p 时,在观察点探测到的总光强为 I(p) =?∞o I(p,?) d?
=?∞o S(?)d? +?∞o S(?) cos(2?p? /c) d?
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I(p) =?∞o S(?)d? +?∞o S(?) cos(2?p? /c) d?
设?∞o S(?)d? = A (与光程差无关的常量 )
则 I(p) = A +?∞o S(?) cos(2?p? /c) d?
或?∞o S(?) cos(2?p? /c) d? = I(p) - A
我们一面移动第二块反射镜 M2,一面在观察点测 I(p),测得足够稠密的 I(p) 值,
S(?)的傅里叶逆变换为
s(x) =?∞-∞ S(?) cxp( -i 2 x) d?
S(?) 则可以用 s(x)表为
S(?) =?∞- ∞ s(x) cxp( i 2 x) dx
由于负的空间频率物理上不存在,它也不携带任何新的信息,上式中直接假定 S(-?) = S(?),
得到 s(x) = 2?∞o S(?) cos( 2 x) d?
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s(x) = 2?∞o S(?) cos( 2 x) d?
S(?) =?∞- ∞ s(x) cxp( i 2 x) dx
设 x = p/c,代入上两式得到
s(p/c) = 2?∞o S(?) cos( 2?p? /c) d? = 2[I(p) - A]
S(?) =?∞-∞ s(p/c) cxp( i 2?p? /c) d(p/c)
S(?) = (2/c)?∞-∞ [ I(p) – A ] cxp( i 2?p? /c) dp
这里 I(p)和 A都是可测量,
最后,我们看到光波的频率分布 S(?)可以由
[ I(p) – A ]的傅里叶逆变换得到,而 [ I(p) – A ]可以用移动反射镜 M2 的过程中多次抽样测量的数据来充分逼近,与前面的假设相对应,我们设 S(-?) =
S(?),S(-?)没有物理意义,我们将它略去,
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3.7 投影显示的消像素技术当使用液晶显示器 LCD进行投影成像时,
LCD上的像素结构就会出现在投影屏上,
1,利用小孔滤波消除像素结构由于像素的周期结构,在频率平面上出现一系列傅里叶频项,这正是原始图形与周期结构函数的乘积经傅里叶变换后,在频率平面上形成的图形的谱与?函数列阵的卷积,每一个谱项都只是中心谱项在不同位置的,复现,,因此只要在频率平面上放置小孔滤波器,仅让一个谱项 (例如零级谱项 )通过,就可以消除像素结构,见因
3.6,然而在这一过程中大部分能量都被滤波器拦去,输出像十分暗淡,
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图 3.6 利用小孔滤波消除像素结构第 1节第 2节第 3节第 4节第 5节第 6节目 录第 7节第 8节第 9节第 3章
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2,利用不同相位延迟的相位滤波消除像素结构有趣现象,选取任意一个谱项通过小孔,产生的图像均位于同一位置,如果两个谱项通过两个小孔,产生的图像上就可以看到杨氏条纹,如果所有的谱项一起通过滤波 (事实上不放任何滤波器 ),产生的干涉条纹就综合形成了像素的结构,上面讲过,如果只让一个谱项通过滤波小孔,
尽管像素结构消除了,但能量损失太大,为了弥补这一缺点,可以让所有的谱项都通过傅里叶变换平面,既然像素结构是由干涉效应引起的,我们可以让不同的谱项通过不同厚度的透明的相位片,以获得不同的延迟,参见图 3.7．
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图 3.6 利用小孔滤波消除像素结构图 3.7 利用不同相位延迟的相位滤波消除像素结构第 1节第 2节第 3节第 4节第 5节第 6节目 录第 7节第 8节第 9节第 3章
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3.7 投影显示的消像素技术
2,利用不同相位延迟的相位滤波消除像素结构只要相位的延迟大于相干长度,各谱项间的相干性就被破坏,结果像素结构就消除了,而强度并不受到影响,对于白光光源,由于频谱很宽,
典型的相干长度仅 10?m 左右,
上述技术显著地改善了液晶投影显示的成像质量,特别是一些分辨率较低的投影仪,利用这一技术改善了像质,使它的投影像看起来好像是高分辨率的投影仪,
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3.8 计算层折技术 (CT断层扫描 )
计算层折技术原理
X射线 CT用于获取人体的剖面图像,注意通常的 X射线的图像仅仅是投影,而不是图像本身,
设 X射线穿透一个物体,透过率或光衰减率用 f(x,y)表示,探测到的 X射线的强度分布为
I = Io exp{? f(x,y)dS} (式中 Io 为初始光强 )
上式可改写为? f(x,y)dS = - ln( I / Io )
尽管可以测得积分?f(x,y)dS,但我们并不能得到被积函数 f(x,y),然而真正需要的还是 f(x,y)，
即断层图像,
X 射线通过一个物体第 1节第 2节第 3节第 4节第 5节第 6节目 录第 7节第 8节第 9节第 3章
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计算层折技术原理层析术的基本思路,是从 f(x,y)的傅里叶变换
F(u,v)入手,F(u,v)可表为
F(u,v) =∞-∞ f(x,y) cxp[- i 2?(ux+vy)] dxdy
设 v = 0,上式化作
F(u,0) =∞-∞f(x,y) cxp(- i 2?ux) dxdy
=?∞-∞ [?∞-∞ f(x,y) dy ] cxp(- i 2?ux) dx
=?∞-∞p(x) cxp(- i 2?ux) dx
式中 p(x) =?∞-∞f(x,y) dy
p(x)可以用 X射线沿平行于 y 的方向的投影得到。
图 3.10 X射线平行于 y 轴穿透物体，产生函数 p(x)
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F(u,v)的获得如果 p(x)用图 3.10的方法得到,F(u,0)就可以计算出来 ( 沿 u 轴方向的傅里叶变换 ).
F(u,0) =?∞-∞ p(x) cxp(- i 2?ux) dx
为了获得更多的信息，可以把坐标轴 (u,v)
转动一个小角度?得到 (u’,v’)，相应地把
(x,y)旋转? 角得到
(x’,y’)，而物体不转动，
见图 3.11．于是得到
p(x’)，并采用同样的手续获得 F(u’,v’=0)；
图 3.11
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F(u,v)的获得再把坐标系转过?,又获取 F(u”,v”=0)，总共旋转 180o，就得到傅里叶频域中的一系列数据，
参见图 3.12．图中旋转坐标系测出 p(x),p(x’)，
p(x”),…,由此计算出 F(u,v)，物体保持不动．
图 3.11 图 3.12
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断层图像 f(x,y) 的获得根据 F(u,v)的数据集合后,就可以通过傅里叶逆变换得到 f(x,y),有两种不同的处理方法：
第一种方法,通过内插,得到在直角坐标系中的
F(u,v),然后进行傅里叶逆变换,
f(x,y) =∞-∞ F(u,v) cxp[i 2?(ux+vy)] dudv
第二种方法,直接在极坐标下进行傅里叶变换,因而免去了在傅里叶域中的内插手续,极坐标系下的傅里叶逆变换为,
f(x,y) =?2?o?∞o F(?cos?,?sin?)
,exp[i 2(xcos? +y sin?)]?d?d?
其中的积分用求和代替,
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图 3.13 人体的 CT图像脊椎和肋骨呈现出明亮的白色，图像左边的大块的组织是肝脏，右上角可看到胃里的液体和气体．
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3.9 结 论
1,对比了非相干光与相干光的成像过程与空间滤波；
2,非相干光学传递函数 (OTF)为相干光学传递函数 (CTF)的自相关；
3,非相干系统的本性就是低频滤波；
4,简要分析了光的相干性；
5,傅里叶变换光谱仪；
6,计算层析术 (CT)；
7,消除液晶显示技术中像素结构的方法,
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3.10 图像的相乘和积分设两张透明片的透过率分别为?1(x,y)和?2(x,y)，
系统 1
S是均匀非相干光源,经透镜 L1均匀照明 xy平面 。
将两张透明片紧贴置于 xy平面上,在平面后便可得到两者的乘积,I(x,y) = k?1(x,y)?2(x,y)
式中 k是比例常数 。 透镜 L2的作用是将 xy平面上的图像成一缩小像投射在小的光电探测器 D上,
光电流的数值为,I = k-1(x,y)?2(x,y)dxdy
光电探测器上得到的便是两个图像的积分运算 。
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但是,如果要适时更换透明片,则采用下图所示的系统更为方便 。
L2的作用是将 x1y1平面以放大率 M=1成像于
x2y2平面上 。 应该说明的是,置于 x1y1上的透明片应该倒置,形成?1(-x1,-y1),原因是 L2 成像后将使之坐标反转 。
系统 2
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3.11 图像的相关和卷积实现图像相关运算方法,运动法,无运动法
1,运动法采用 3.10系统 2,?1仍然反置 。 令?1在 x1方向上位移 xo,在 y1方向上 yo,则 D的光电流输出将为
I = k-1(x - xo,y - yo )?2(x,y)dxdy
因为对于一个实函数而言,其共扼函数与其本身是相同的,用?1*代替?1,上式可看成是两者之间的相关运算,即?12在 (xo,yo)点的值 。 若使?1
沿 x方向以速度 v匀速移动,则光电探测器将得到两者在 y = yo 处的一维相关运算,它是一个时间的函数 I(vt)。
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若在 x方向每扫描一次，图形就向上移动?y1
的距离，则得到光电流的一维阵列,
Im(vt) = k-1*(x -vt,y -ym)?2(x,y)dxdy =?12
上式是完整二维相关运算,它在 Y方向是抽样的,
卷积运算 的实现只需把 x1y1平面上的?1 置于正方向,则很容易得到两者的卷积,?1*?2,这里不再详述 。 （ 自己证明 ）
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2、无运动法光学系统原理：
考虑 S面上一点 (-xS,-yS)发出的光,经 L1后成为平行光透过?1 照明?2,照明光强度分布正比于
1[ -x + (d/f) xS,-y + (d/f) yS ]。 经?2 后由 L2聚焦到焦面 xDyD 上 。 这里假定 L1和 L2焦距相等 。 位于
xDyD的探测器测得的强度为
IS = k-1[(d/f)xS -x,(d/f)yS–y]?2(x,y)dxdy =?1*?2
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应该看到,以几何光学为基础的非相干处理系统 只能处理光的强度分布,即只能处理非负的实函数,在有些应用中会受到很大的限制 。
另一方面,由于系统完全是根据几何光学原理设计的,对于细节过于丰富的图像,由于衍射效应其内含的高频信息往往会丢失,使得输出结果引入较大的偏差 。
因此,以几何光学为基础的非相干光学处理系统只能在保证几何光学定理成立的条件下才能使用 。
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3.12 白光光学信息处理技术采用相干光源能使光学系统实现许多复杂的信息处理运算,但 相干光学信息处理 的 相干噪声较大 。 此外,相干光源通常是 昂贵 的,并且对光学处理的 环境要求非常严格 。
非相干光学处理 采用横向扩展的光源,没有空间相干性,若同时采用白光,则时间相干性也减少到很小的程度,因此这种处理方法具有 噪声低,
结构简单的优点 。 可是,非相干处理系统没有物理上的频谱平面,因而 频域综合就比较困难 。 由于系统的 输入和脉冲响应都只能是非负的实函数,
这又大大限制了系统所能完成的运算,
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于是,人们会提出这样一个问题：在光学处理中能否降低对光源相干性的要求,但又同时保持对复振幅的线性运算性质?
为了回答这个问题,人们研究了一类新的光学处理方法,称为 白光光学处理 。
白光光学处理采用宽谱带白光光源,但采用 微小的光源 尺寸以提高空间相干性,另一方面在输入平面上 引入光栅 来提高时间相干性,这样既不存在相干噪声,又在某种程度上保留了相干光学处理系统对复振幅进行运算的能力,运算灵活性好 。 由于采用宽谱带光源,特别适合于处理彩色图像,近年来受到愈来愈多的重视 。 将白光光学处理归人非相干光学处理一章,仅仅是从它采用了非相干光源这一角度考虑,我们应该注意到,它与通常所说的非相干光学处理是明显不同的 。
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1,白光光学处理的基本原理白光光学处理系统如图所示,
其中 S是白光点光源或者白光光源照明的小孔,
这一系统类似于相干光学处理的 4f系统 。 但在白光处理中,通常物函数均用光栅抽样 (调制 )后才放入输入面上,通过对频谱面上色散的物频谱作处理,实现对物函数的处理 。
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令输入透明片的复振幅透过率为 t(x1,y1),与输入透明片紧贴的正弦光栅为
tg (x1) = 1 + cos(2o x1)
式中?o为光栅频率,并假定物透明片对照明光源中各种波长的光波的振幅透过率相同 。 则经光栅抽样后的复振幅分布为
f (x1,y1) = t(x1,y1) [ 1 + cos(2o x1) ]
对某一确定的波长?,在消色差变换透镜 L2后焦面
P2的空间频谱为
F(?,?)=T(?,?)*[?(?,?)+?(?-?o,?)/2+?(?+?o,?)/2]
=T(?,?) + T(?-?o,?)/2 + T(?+?o,?)/2 (1)
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利用 P2平面上频率坐标与空间坐标的关系：
= x2 /?f,? = y2 /?f,
方程 (1)可写为
F(x2,y2 ;?) = T(x2 /?f,y2 /?f)+T(x2 /?f -?o,y2 /?f)/2
+ T(x2 /?f +?o,y2 /?f)/2 (2)
从 (2)式看到：第一项为零级物谱,而且不同波长的零级物谱的中心位置是相同的；第二项和第三项是 ± 1级信号谱带,每个谱带中心在 x2=±?f?o处,
色散为彩虹颜色,
对于波长间隔为的两种色光,其一级谱中心在 x2轴上的偏移量是 x2=?f?o,假定信号的空间频带宽度为 Wt,则不同波长的物谱能够分离的条件是
/? >> Wt /?o (3)
式中,?为两种色光的平均波长,
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显然,只要光栅频率?o远大于输入信号带宽,
就可以忽略各波长频谱间的重叠,从而在 +1级或 —-1级谱面,象相干处理那样,对一系列的波长进行滤波操作,对于某一确定波长?n来说,若设滤波函数为 Hn(x2 /?nf -?o,y2 /?nf),则经过滤波和 L3的逆傅里叶变换后,如同相干处理那样,在输出平面上波长为?n 的像场复振幅为
gn(x3,y3;?n) = F-1{T(x2/?nf-?o,y2/?nf) Hn(x2/?nf-?o,y2 /?nf)}
忽略与强度分布无关的量,输出面上波长为?n的像强度分布为
I(x3,y3;?n) =?t(x3,y3)*hn(x3,y3;?n)?2
式中,hn是 Hn的逆傅里叶变换,
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实际上滤波器 Hn总不可能做到只让?n 的光波通过,至少包含?n的某一波长间隔n的光波都能通过,当然,当n比?n小得多时,可以作为准单色处理,考虑到这一点,可以把通过滤波后在像平面上的像强度分布写成
In =n?t(x3,y3)*hn(x3,y3;?n)?2
式中,hn是第 n个滤波器的脉冲响应,当有 N个离散的滤波器同时作用于频谱面时,由于不同波长的色光是不相干的,因而输出面上得到的是不同波长输出的非相干叠加,即
I(x3,y3) = ∑n?t(x3,y3)*hn(x3,y3;?n)?2
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从上述分析可以看出,白光处理技术的确能够处理复振幅信号,并且由于输出强度是互不相干的窄带光强度之和,因而又能抑制令人讨厌的相干噪声,应该指出,我们采用的分析方法是对确定波长的处理看作相干光处理,而对不同波长处理后像的叠加又看成是完全非相干的,这在理论上是不严格的,更严格的讨论涉及到部分相干理论,尽管如此,在很多实际应用中,我们只涉及少数几个分离的波长 (例如红,绿,蓝三原色 )，
此时若在信号频谱后加滤色片,还可以进一步改善时间相干性,而且在采用矩形光栅时,由于光栅的多级衍射,在各个频谱上都可以进行滤波操作,对于这一类问题的处理,上述的近似分析已经足够了,实际上,(3)式的条件对很多应用是过份严格了,
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2,实时假彩色编码白光信息处理系统对不同波长的单色光,提供了类似于相干光处理系统的运算能力,采用宽带光源使系统可以使用不同的色通道,有利于对图像进行彩色化处理,这里介绍两种图像假彩色编码的方法,等密度假彩色编码 和 等空间频率假彩色编码,这两种方法都不需要对输入的图像透明片进行预处理,而只需要在白光信息处理系统的频谱面上放置适当的滤波器,就可以在输出平面上直接得到彩色化的图像,由于具有实时处理的特点,因而又称为实时假彩色编码,
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(1) 等空间频率假彩色编码将一复振幅透过率 t(x1,y1)的黑白透明片与正交光栅一起放入白光处理系统的输入平面 P1处,
为分析简便起见,假定正交光栅在两个正交方向上是相加性的,其振幅透过率可以记为
tg(x1,y1) = [1 + cos(2ox1)/2 + cos(2oy1)/2]
式中?o,?o分别是光栅在 x1,y1方向上的空间频率,在频谱面 P2 上,相应于波长? 的复振幅分布正比于
F(x2,y2 ;?) =T(x2 /?f,y2 /?f)+T(x2 /?f -?o,y2 /?f)/4
+ T(x2 /?f +?o,y2 /?f)/4 + T(x2 /?f,y2 /?f -?o)/4
+ T(x2 /?f,y2 /?f +?o)/4
由上述方程可见,沿 x2和 y2轴共有四个彩虹色信号的一级衍射谱,
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由于空间滤波只有在沿着垂直于颜色弥散的方向上才有效,所以我们用右图所示的一维空间滤波器来进行假彩色化,
图中位于 x2轴上 蓝色 谱带处的是一维低通空间滤波器 H1(y2 /?f),只让 y2 方向的低频通过；位于 y2
轴上 蓝色 谱带处的是一维低通空间滤波器 H1(x2
/?f),只让 x2方向上的低频通过；位于 x2轴上 红色谱带处的是一维高通空间滤波器 H2(y2 /?f),只让
y2方向的高频通过；位于 y2轴上 红色 谱带处的是一维高通空间滤波器 H2(x2 /?f),只让 x2方向的高频通过,
式中 Tb和 Tr分别是所选择的 蓝色 及 红色 彩色信号谱,在输出面 P3上,相应的复振幅分布为
)y(h)y,x()txe x p ( - i 2)x(h)y,x()tye x p ( i 2
)x(h)y,x()tye x p ( - i 2)y(h)y,x()txe x p ( i 2
f
y
H,
f
y
,
f
x
T
f
x
H
f
y
,
f
x
T
f
x
H
f
y
,
f
x
T
f
y
H
f
y
,
f
x
T);y,x(g
3233r3o3233r3o
3133b3o3133b3o
2
2
2
o
2
r
2
2o
22
r
2
1o
22
b
2
1
2
o
2
b33
F
F
f
y
H,
f
y
,
f
x
T
f
x
H
f
y
,
f
x
T
f
x
H
f
y
,
f
x
T
f
y
H
f
y
,
f
x
T);
f
y
,
f
x
(G
2
2
2
o
2
r
2
2o
22
r
2
1o
22
b
2
1
2
o
2
b
22
于是，平面 P2上经过滤波后的谱函数可写为如果光栅的空间频率?o 及?o 足够高，则上式可近似地表示为式中b 和r 是信号的 蓝色 及 红色 的光谱宽度；
h1 及 h2 分别是 H1 和 H2 的点扩散函数。上式表明，两个非相干像在输出平面 P3 合成彩色编码像，像的 低频结构呈蓝色,高频结构呈红色 。 相等的空间频率结构呈现同一颜色，故称为等空间频率编码。
2
3233r3o3233r3or
2
3133b3o3133b3ob33
)y(h)y,x()txe x p ( - i 2)x(h)y,x()tye x p ( i 2
)x(h)y,x()tye x p ( - i 2)y(h)y,x()txe x p ( i 2)y,x(I
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(2) 等密度假彩色编码如果在 P2平面上两个呈彩虹颜色的一级谱处安放如图所示的滤波器,其中红色滤波器是一个简单的 红滤色片,另一个绿色滤波器是由一个 绿滤色片和绿色频带中心位置的?
相位滤波器 组成 。
于是,在 输出平面上形成红色原像和绿色反转像叠加的结果,使得 原图像不同密度的区域呈现不同的颜色 。
分析,谱平面上放置一个红色全通滤波器,一个绿色滤色片并在其中心加一个? 相位滤波器组成,其数学表达式为,
,1
0f/ y,1
f
y
H
,1
0f/x,1
f
x
H
22
22
其它其它
f
x
H
f
y
,
f
x
T
f
y
H
f
y
,
f
x
T
f
y
,
f
x
T
f
y
,
f
x
T);
f
y
,
f
x
(G
2
o
22
g
22
o
2
g
o
22
r
2
o
2
r
22
f
x
H
f
y
,
f
x
T
f
y
H
f
y
,
f
x
T
f
y
,
f
x
T
f
y
,
f
x
T);y,x(g
2
o
22
g
22
o
2
g
o
22
r
2
o
2
r33
F
F
在白光处理的输出平面 P3上的复振幅分布为,
谱平面上滤波后的频谱分布为,
如果光栅频率足够高,则 (10)式可近似地写成：
tgn(x3,y3) = tg(x3,y3) – 2〈 tg(x3,y3) 〉
式中 tgn(x3,y3)是绿色的对比度反转像,这里的 〈 tg(x3,
y3) 〉 表示 tg(x3,y3) 的集平均或系综平均 。 由于像 tr 和
tgn 分别来自光源中不同颜色的光谱带,它们之间是非相干的,所以输出面强度分布是
I(x3,y3) =?|g(x3,y3;?)|2 d?
=r Ir(x3,y3) +g Irn(x3,y3)
Ir(x3,y3)是红色正像,Irn(x3,y3)是绿色负像,r 和
g 分别是红色和绿色的光谱宽度 。 当这两个像重合在一起时就得到了密度假彩色编码的像 。 原物中密度最小处呈红色,密度最大处呈绿色,中间部分分别对应粉红,黄,浅绿 等颜色,密度相同处出现相同的颜色 。
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3.13 相位调制假彩色编码在已研究的实现图像彩色化的许多方法中,
相位调制彩色编码方法 由于其 光强利用率高,色饱和度好,噪声低,操作简单,已在遥感,生物医学,气象等图像处理中得到应用 。 相位调制彩色编码方法经过对信息的调制和解调,实现了空间强度调制信息与空间波长调制信息的转换 。 这些技术对于理解光学信息处理的实质具有典型的意义,也是白光光学处理的原理性概念的一种具体应用,
密度假彩色编码可分为三个步骤：
光栅抽样,漂白处理,白光处理系统中滤波解调,
1,光栅抽样将周期为 a 的朗奇光栅与输入图像重叠在一张复制底片上均匀曝光。
设输入图像的密度为 Di(x,y)，罗奇光栅的透过率为 Ts(x,y) = rect(2x/a) *comb(x/a) /a (1)
则经光栅抽样后所得负片的密度分布 D(x,y)为
D(x,y)={[D10 -?Di(x,y)]-D0}rect(2x/a)*comb(x/a)/a+D0
式中 Do是底片的灰雾密度,D10是可通过改变曝光条件来控制的常数,? 是底片的反差系数 。 这样得到的一张矩形级数光栅其底片光密度可以简记为
D(x,y) = D0 Ts 为 0 处
D(x,y) = D10 -?Di(x,y) Ts 为 1 处 (2)
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(2) 漂白处理将经抽样所得到的负片进行漂白处理,并适当控制漂白工艺,可以得到近似满足光程差正比于底片密度的效果,即
L(x,y) = Lo = CDo Ts = 0
L(x,y) = Lo= C[D10 -?Di(x,y)] Ts = 1
其 相位分布
(x,y) =?o = 2?Lo /? Ts = 0
(x,y) =?1 = 2?L1 /? Ts = 1
复振幅透过率
exp[i?(x,y)] = exp(i2?CDo /?) Ts = 0
exp[i?(x,y)] = exp{i2?C[D10 -?Di(x,y)]/?} Ts = 1
或
1T )y,x(DD[C
2
ie x p)ie x p (T
0T CD
2
ie x p)ie x p (T
)y,x(T
si1011
sooo
最后得到编码的相位光栅的振幅透过率为
）（，并记，式中
o1o1
i
1
i
o
oo1
LL
2
eTeT
T
a
x
c o m b
a
1
a
x2
r e c t]TT[)y,x(T
1o?
(3)
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(3) 白光信息处理系统中的滤波解调将编码相位光栅放在白光信息处理系统的输入平面上,设入射单色光强度为
A(?),则频谱平面 (x2,y2)上的复振幅为
(4)
式中 x2 =?f?,x2 =?f?,将 (3)式代人 (4)式,
计算并化简后得 (5)
)}y,x(T{)(A);y,x(F 1122 F
)y()x(T)y(
a
fm
x
)}y,x(
f2
ax
cs i n
2
1
)TT()(A);y,x(F
22o
m
22
11
2
o122
当 m = 0时,有
)y()x(]T- 2/)TT[()(A);y,x(F 22oo122
)y(a fmx2mcs i n)TT(21)(A);y,x(F 22o122
]T2/)a/mx2ie x p ()2/m(cs i n)TT[()(A);y,x(E
]T2/)TT[()(A);y,x(E
o3o133m
oo133o
m/)c o s1)((A2);y,x(I
2/)c o s1)((A);y,x(I
22
33m
33o
其对应的强度只与相位差和?有关，即如滤波器分别让零级频谱和 m 级频谱通过，则在输出平面上的复振幅分布为当 m≠0时，有
(6)
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若用?d表示与相位差相对应的光程差,则
(6)式可改写为该式表明对于每一个衍射级次,输出图像的强度随波长和光程差而变化 。
图 (a)和 (b)分别为零级和 1级的输出强度随光程差?d而变化的曲线,其中 A(?) = 1,?作为参变量 。
m/)]/d2c o s (1)[(A2);y,x(I
2/)]/d2c o s (1)[(A);y,x(I
22
33m
33o
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假如用图中画出的 红,绿,蓝 三种色光?r，
g,?b 照相,则强度输出是三种色光输出的非相干叠加,I(?d) = I(?d,?r) + I(?d,?g) + I(?d,?b)
即得到随?d 而变化的彩色输出 。 当采用白光光源时,各色光的非相干叠加变成下列积分：
I(?d) =? I(?d,?)d?
仍然是随?d而变化的彩色输出 。 由于在编码和漂白处理中,已使光程差随输入密度而改变,因此得到按输入图像密度变化的假彩色编码 。 这种编码方法输出图像的色度丰富,饱和度也很好,在低衍射级次 (包括零极 )输出的情况下,也能得到彩色化效果很好的输出图像,因此光强度利用率高,
图像亮度好 。
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3.14 彩色胶片资料存贮彩色胶片的资料存贮 是胶片工业中长期没有得到解决的问题，其 主要原因是彩色胶片所用的染料不稳定而造成逐渐褪色 。虽然有一些技术可以用来保存彩色像，但都存在着不少问题。 最常用的方法是用三个基色滤色片将彩色像保持在三个不同的黑白底片上，然后用三个基色幻灯机来合成彩色像 。在这过程中三个像要非常精确地重合，此外这个方法还有 两个主要缺点,一是每个彩色片需用的存贮体积是黑白片的三倍；二是彩色像合成系统，非常昂贵和复杂。
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回顾
1906年依伏斯 首先报导了从黑白透明片恢复出彩色像的技术。他使用了一个用衍射现象来产生彩色像的幻灯器，其中使用了不同频率或不同方位的光栅。
1969年缪勒 用了相似的方法即用三色光栅来进行彩色像的编码。在解码时，用三个准单色光源来恢复彩色像。
马可夫斯基 (1972年 ),克罗松和基纳雷
(1978年 ),杨振寰和母国光 等人 (1980年 )的工作。
彩色胶片记录在黑白透明片上的技术记录过程是将彩色胶片通过 伦奇光栅 依次用三次接触法记录在黑白底片上，每次记录时通过不同的基色滤色片 (即红、蓝、绿三色 )，而对应的伦奇光栅的方位角分别为 0o位置 (红色滤色片 ),60o位置 (蓝色滤色片 ),120o
位置 (绿色滤色片 )。
如果这三次曝光很准确地记录在照相底片上，这就是一张空间编码的黑白透明片，相应的强度分布可用下式表示
po 是光栅的空间频率,Tn 表示负像的强度透射率，而
Tr,Tb、及 Tg 分别是在底片上红、蓝、绿三色的曝光量,(x,y),(x’,y’)及 (x”,y”)分别对应于光栅在 0o、
60o及 120o位置时的坐标系统,?n1 是底片的伽玛值,K1
为常数。
可利用接触曝光来得到适合于处理的正像透明片。
多重光栅空间调制的正像透明片的强度透过率为其中 K2为比例常数,Tp为正片密度透过率,?n2为第二张透明片的伽玛值。为了得到像振幅的线性透过率，
我们取?n1?n2 = 2，这样振幅透过率为第 1节第 2节第 3节第 4节第 5节第 6节目 录第 7节第 8节第 9节第 3章
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为了从所得到的黑白编码透明片再现逼真的彩色像，我们采用白光处理技术。如图所示，
将该透明片放置在白光处理器的输入平面 P1处，
于是在空间频谱面 P2上对波长为?的光强分布为为简单起见，略去上式中的常数因子，则其中 Tr(p,q),Tb(p’,q’)及 Tg(p”,q”) 分别是 Tr(x,y),Tb(x’,
y’)及 Tg(x”,t”) 的傅里叶变换。而 p=(2?/?f)?,q =(2?/?f)?,
p’ = (2?/?f)?’,q = (2?/?f)?’,p” = (2?/?f)?”,q = (2?/?f)?”
即 (?,?),(?’,?’) 及 (?”,?”) 分别是坐标系统 (p,q),(p’,q’)
及 (p”,q”)的线性变换,an 是傅里叶系数。
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上式可用?,?,?’,?’,?”,?”来表示，即由上式可见，在沿?,?’及?” 轴上象的傅里叶谱的不同级将线性色散成为彩虹色。如果光栅的空间频率 po 大于彩色像所含的最大空间频率的二倍，
则不同的衍射级次不会相互重叠。
在解码时，让三个一级衍射分别通过红、
蓝、绿色滤色片，如图所示。由于是彩色滤波放能让彩色像的空间谱全部通过，所以不会有象分辨率损失。
通过空间频谱面 P2后相应的光的复振幅分布为：
这里?r,?b 及?g 分别为红、蓝、绿色的波长。
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在输出平面上光的复振幅分布为：
由于式中三个基色像之间是非相干的，所以相应的辐照度为
I(x,y) = Tr2 (x,y) + Tb2 (x,y) + Tg2 (x,y)
上式就是恢复了的彩色像。这样用很简单的白光处理技术可以再现解码的多色像。还须指出，如果在输出平面 P3 上放置一个毛玻璃，则该系统还可以进行直接观察。
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为简单起见，实验中在沿 x 及 y 轴方向分别对红色及绿色编码。第一个负片用柯达 4147 Plus
X 胶片，它具有相当平滑的光谱响应及低的伽玛值，而用具有高伽玛值的柯达 4154 Ortho胶片来得到正片。在处理过程中负片及正片的伽玛值分别控制在 0.8 及 2.5，这样就可以得到线性的正像透明片。
我们可以看到，尽管实验条件并没有控制在最佳状态，白光处理系统也没有进行精细的调整，
但已经可以看到用这种技术所得到的彩色再现是很理想的，并且像的分辨率也很好。若用较高频率的光栅，其分辨率还可以进一步提高。当然，
为了得到逼真的彩色复原必须用三基色进行编码。
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彩色像的空间谱彩色复原 1 彩色复原 2
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3.15 褪色片的彩色增强首先说明用空间编码及彩色滤波技术可以使彩色得到增强，然后说明彩色增强还可以用实时白光处理技术来获得。虽然空间彩色编码技术有若干优点，但它并非是实时的。假定褪色的程度是已知的。而颜色可以用空间调制方法编码在黑白透明片上。用上述编码方法所得到的胶片的振幅透过率为
(1)
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这里我们取三次空间编码之间的角度都是 60o。
如果已知绿色的褪色比较严重，则在编码时使它的调制度 Ag 大一些，换句话说应该事先确定义 Ar,
Ab 及 Ag 之间的合理的比例。
若将以式 (1)所表示的编码透明片放在白光处理系统的输入平面 P1 上；则在频谱面 P2 上可以看到彩虹色的各级编码像谱。在彩色恢复中，将三个可调密度的滤色片 (即红、绿、蓝滤色片 )放在象的频谱上，在输出平面 P3 处就可以观察到增强了的彩色像。由此可见彩色恢复主要是通过空间编码及彩色滤波来达到的。
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图 a是运用这种方法来进行彩色增强的一个例子。
为简单起见，在实验中我们仅用红、绿两色进行编码。图 b是原褪色像的彩色照片。虽然实验上并没有将所有的条件都控制到最佳，但结果还是很好的,需要指出，在输出象中所出现的噪声主要是由于编码过程及光学系统不够清洁所引起的。如进行细致的处理这些噪声原则上是可以避免的。还须强调，如果一彩色像已完全褪色，
就不能再得到彩色增强的效果，但是只要褪色是不完全的，就总可以用这种技术使彩色得到某种程度的增强。换句话说，褪色越严重，彩色增强也就越困难。
作为实验演示，在彩色图 (a)中是一个用这种方法得到的彩色图，这是个色彩很丰富的郁金香花照片。为进行比较，彩色图 (b)给出了原彩色像。
(b) 原彩色像(a) 恢复的彩色像第 1节第 2节第 3节第 4节第 5节第 6节目 录第 7节第 8节第 9节第 3章
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实时彩色增强的方法正弦光栅
