电子教案华北电力大学物理教研室
2004年 2月第一次课第一章 质点运动学一,质点运动学的基本概念
1、质点在某些问题中，物体的形状和大小并不重要，可以忽略，可看成一个只有质量、没有大小和形状的理想的点，这样的物体可称为 质点 。
宇宙中的一切物体都在运动，没有绝对静止的物体，这叫 运动的绝对性 。
为了描述一个物体的机械运动，必须选另一个物体作参照物，被选作参照的物体称为 参照系,参照系的选择可视问题性质而任意选定。
2、参照系和坐标系只有参照系不能定量地描述物体的位置。所以要在参照系上固定一个 坐标系 。常用的坐标系有 直角坐标系,柱坐标系,球坐标系,自然“坐标系”。
同一物体的运动，由于我们选取的参照系不同，对它的运动的描述就不同，这称为 运动描述的相对性 。 因此，描述运动必须指出参照系 。
3、时间和时刻一个过程对应的时间间隔称 时间,某一瞬时称 时刻 。
二、质点的位矢、位移、速度和加速度
1、
r rr r t= ( )
位置矢量（或矢径）
确定质点在空间位置的物理量在直角 坐标 系中大小？
方向？
ktzjtyitxtr rrr )()()()(=
x
z
·
y
z( t )
y( t )
x( t )
r( t )
P( t )
0ir j
r
kr
2222 zyxr=r
方向余弦质点在平面内运动时，位矢为：
jtyitxtr )()()(?=
大小,22 yxr?=＝
方向：
的夹角与为 xrxy t a n =
注,在直线运动中，常取直线为 x(y)轴，此时质点运动只有一个空间方向，所以可用标量表示，记作 x=x(t)。
x
·
y
y( t )
x( t )
r( t )
P( t )
0
ir
jr?
单位,m
t+Δt 时刻在 Q点位矢为其大小为 PQ的距离方向则从 P指向 Q
)(2 ttr
12 rrr?=?
t时刻,P点位矢为
P? Q 位移
2、位移 描写质点位置变动的物理量
)(1 tr
x
1r
Δ r
y
z
Q
P
0
·
2r
路程与位移的区别路程 是 Δ t内走过的 轨道的长度,用 Δ s表示,而位移为矢量,其大小是质点实际移动的直线距离。
注意：
12 rrr
rr
=?
sr?=? 1r
Δ r
y
z
Q
P
0
Δ S
0
Δ r
Δ r
·
)(1 tr
2r
)(2 ttr
x
当 Δ t→0 时
3,速度
( t ) rr t 11 =时刻
.
0
l i m
0 dt
rd
t
r
v
t
t
=
=
令
t(trr t t )22= 时刻
rrr 12?=?
t
r
=平均速度平均速度瞬时速度
1r
Δ r
y
z
Q
P
0
Δ S
0
Δ r
Δ r
·
)(1 tr
2r
)(2 ttr
x
大小：
dt
rdv =
方向,沿切线描写 质点运动快慢的物理量平面运动中：
jvivjdtdyidtdxdt rdv yx?=?==
单位,m/s
22 yx vvv?=
平均速率
t
sv
=
瞬时速率 v
dt
rd
dt
dsv ===
dt
dr?
注意：
x
y
v
v=?t a n 大小,方向：
4、加速度,
1221 ;,;,vvvvttvt?=
平均加速度 =
t
v
2
2
0
lim
dt
rd
dt
vd
t
va
t
==
=
大小：
dt
vd
aa ==
瞬时加速度
x
r2
r1
y
z
Q
P
0
v1
v2
Δ v
v1(t )
v2(t+Δ t )
·
dt
vd
表示速度变化的快慢方向,?t?0时速度增量的极限方向，
在曲线运动中，总是指向曲线的凹侧。
j
dt
ydi
dt
xdj
dt
dv
i
dt
dvjaiaa yx
yx 2
2
2
2
=?=?=
大小：
22
yx aaaa?==
方向：
轴的夹角与为 xa
a
a
x
y t a n =
单位为 m/s2
在平面运动中：
5、描述质点运动的状态参量的特性：
（ 2）瞬时性。注意瞬时量和过程量的区别
avr,,
状态参量包括：
（ 1）矢量性。注意矢量和标量的区别。
（ 3）相对性。对不同参照系有不同的描述。
例 1,一运动质点在某瞬时位于矢径 r (x,y)
的端点处，其速度大小为
dt
drA )(
dt
rdB r )(
dt
rdC r )(
22
)(?
dt
dy
dt
dxD
[ D ]
例 2、一质点沿 x轴作直线运动，其位置与时间的关系为 x=10+8t-4t2,求：
（ 1）质点在第一秒第二秒内的平均速度。
（ 2）质点在 t = 0,1,2秒时的速度。
解：用定义式、微分法轴正向相反方向与 x
smv
)(4488 21?==?
24810 1 ttxt=时刻）（
2)(4)(810)( ttttxxtt= 时刻
2)(488 ttttxt= 内位移为
tt
t
xv
x=?
=? 488
轴正向相同方向与 x
smv
)(4408 10 ==?
轴正向相反与 xsmv 82?=
t
dt
dxv
x 88 2?==）（
轴正向相同与 xsmv 80 =
0 1 1 此时转向== vt
jivt 42 2 2?==
求,t=0秒及 t=2秒时质点的速度，并求后者的大小和方向。
解：
jtitr )2(2,2=已知例 3、
方向：
轴的夹角与为 xv 262632 4a r c t a n=?=?
smv /47.442 222 =?=
大小：
ivt 2 0 0 ==
jtidt rdv 22?==
例 4：一质点运动轨迹为抛物线
24
2
2 tty
tx
=
=
===> xxy 22=
(z=0)
求,x = - 4 m 时（ t > 0 )
质点的速度、速率、
加速度。
分析,x = - 4,t = 2
X
y
( 轨迹方程 )
解：
42?== =tx
dt
dxv | 24
2?== =ty dt
dyv |
smvvv yx /37422 =?=
44?=ya练习
222
2
=== =txx
dt
xd
dt
dv
a
24
2
2 tty
tx
=
=
2/44 sma =
例 5、一质点在 oxy 平面内作曲线运动，其加速度是时间的函数。已知 ax= 2,ay= 36 t2。
设,质点 t＝ 0 时 r0=0,v0= 0。 求,(1)此质点的运动方程； (2)此质点的轨道方程 。
解：
)(
dt
dv
a
dt
dva y
y
x
x ==?
dttdvdtdv yx 236 2 ==
== tv ytv x dttdvdtdv yx 0 2000 36 2
12 2 3tvtv yx ==
jtitv 3122?=?
dt
dyv
dt
dxv
yx ==
jtitr
ty
tx 42
4
2
3
3
=
=
=
所以质点的运动方程为：
dttdyt d tdx 312 2 ==
== tytx dttdyt d tdx 0 3000 12 2
42 3 tytx ==
(2)上式中消去 t,得 y=3x2 即为轨道方程可知是抛物线。
1,匀加速运动
ra 为常矢量
2
00 2
1 tatvrr rrrr=
tavv rrr?= 0
),( 00 vr rr
初始位置和初始速度通常称为质点运动的 初始条件 。
三,几种特殊运动运动方程：
２,匀加速直线运动
ra
0v
r为常矢量，和在一条直线上只用一维描述
2
00 2
1 attvxx=
如自由落体另两个公式：？
xaxx 2202?=
tavv?= 0
３,抛体运动典型的匀加速运动,r ra g=
运动平面在
),( gv rr 0
内
y
x
v0
0
gaa yx?== 0
000 == yx
s i nc o s 0000 vvvv yx ==
初始：
特点：
实际子弹和炮弹受空气阻力很大，但基础是以上的运动学。
gtvv
vv
y
x
=
=
s i n
,c o s
0
0
tavv rrr?=?
tatvrr rrrr=
2
0
0
2
1
gttvy
tvx
=
=
s i n
c o s
2
0
2
2 c o s
t a n
v
gxxy?=轨迹方程：
例如斜抛体运动中被抛物体同时参加水平方向的匀速运动和竖直方向的自由落体运动，其轨道为抛物线。当抛射角为 90o时，称为 竖直上抛运动。
4、运动叠加原理当物体同时参与两个或多个运动时，其总的运动乃是各个独立运动的合成结果。
这称为 运动叠加原理,或运动的 独立性原理 。
作业,1.9 1.10 1.11
2004年 2月第一次课第一章 质点运动学一,质点运动学的基本概念
1、质点在某些问题中，物体的形状和大小并不重要，可以忽略，可看成一个只有质量、没有大小和形状的理想的点，这样的物体可称为 质点 。
宇宙中的一切物体都在运动，没有绝对静止的物体，这叫 运动的绝对性 。
为了描述一个物体的机械运动，必须选另一个物体作参照物，被选作参照的物体称为 参照系,参照系的选择可视问题性质而任意选定。
2、参照系和坐标系只有参照系不能定量地描述物体的位置。所以要在参照系上固定一个 坐标系 。常用的坐标系有 直角坐标系,柱坐标系,球坐标系,自然“坐标系”。
同一物体的运动，由于我们选取的参照系不同，对它的运动的描述就不同，这称为 运动描述的相对性 。 因此，描述运动必须指出参照系 。
3、时间和时刻一个过程对应的时间间隔称 时间,某一瞬时称 时刻 。
二、质点的位矢、位移、速度和加速度
1、
r rr r t= ( )
位置矢量（或矢径）
确定质点在空间位置的物理量在直角 坐标 系中大小？
方向？
ktzjtyitxtr rrr )()()()(=
x
z
·
y
z( t )
y( t )
x( t )
r( t )
P( t )
0ir j
r
kr
2222 zyxr=r
方向余弦质点在平面内运动时，位矢为：
jtyitxtr )()()(?=
大小,22 yxr?=＝
方向：
的夹角与为 xrxy t a n =
注,在直线运动中，常取直线为 x(y)轴，此时质点运动只有一个空间方向，所以可用标量表示，记作 x=x(t)。
x
·
y
y( t )
x( t )
r( t )
P( t )
0
ir
jr?
单位,m
t+Δt 时刻在 Q点位矢为其大小为 PQ的距离方向则从 P指向 Q
)(2 ttr
12 rrr?=?
t时刻,P点位矢为
P? Q 位移
2、位移 描写质点位置变动的物理量
)(1 tr
x
1r
Δ r
y
z
Q
P
0
·
2r
路程与位移的区别路程 是 Δ t内走过的 轨道的长度,用 Δ s表示,而位移为矢量,其大小是质点实际移动的直线距离。
注意：
12 rrr
rr
=?
sr?=? 1r
Δ r
y
z
Q
P
0
Δ S
0
Δ r
Δ r
·
)(1 tr
2r
)(2 ttr
x
当 Δ t→0 时
3,速度
( t ) rr t 11 =时刻
.
0
l i m
0 dt
rd
t
r
v
t
t
=
=
令
t(trr t t )22= 时刻
rrr 12?=?
t
r
=平均速度平均速度瞬时速度
1r
Δ r
y
z
Q
P
0
Δ S
0
Δ r
Δ r
·
)(1 tr
2r
)(2 ttr
x
大小：
dt
rdv =
方向,沿切线描写 质点运动快慢的物理量平面运动中：
jvivjdtdyidtdxdt rdv yx?=?==
单位,m/s
22 yx vvv?=
平均速率
t
sv
=
瞬时速率 v
dt
rd
dt
dsv ===
dt
dr?
注意：
x
y
v
v=?t a n 大小,方向：
4、加速度,
1221 ;,;,vvvvttvt?=
平均加速度 =
t
v
2
2
0
lim
dt
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dt
vd
t
va
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==
=
大小：
dt
vd
aa ==
瞬时加速度
x
r2
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y
z
Q
P
0
v1
v2
Δ v
v1(t )
v2(t+Δ t )
·
dt
vd
表示速度变化的快慢方向,?t?0时速度增量的极限方向，
在曲线运动中，总是指向曲线的凹侧。
j
dt
ydi
dt
xdj
dt
dv
i
dt
dvjaiaa yx
yx 2
2
2
2
=?=?=
大小：
22
yx aaaa?==
方向：
轴的夹角与为 xa
a
a
x
y t a n =
单位为 m/s2
在平面运动中：
5、描述质点运动的状态参量的特性：
（ 2）瞬时性。注意瞬时量和过程量的区别
avr,,
状态参量包括：
（ 1）矢量性。注意矢量和标量的区别。
（ 3）相对性。对不同参照系有不同的描述。
例 1,一运动质点在某瞬时位于矢径 r (x,y)
的端点处，其速度大小为
dt
drA )(
dt
rdB r )(
dt
rdC r )(
22
)(?
dt
dy
dt
dxD
[ D ]
例 2、一质点沿 x轴作直线运动，其位置与时间的关系为 x=10+8t-4t2,求：
（ 1）质点在第一秒第二秒内的平均速度。
（ 2）质点在 t = 0,1,2秒时的速度。
解：用定义式、微分法轴正向相反方向与 x
smv
)(4488 21?==?
24810 1 ttxt=时刻）（
2)(4)(810)( ttttxxtt= 时刻
2)(488 ttttxt= 内位移为
tt
t
xv
x=?
=? 488
轴正向相同方向与 x
smv
)(4408 10 ==?
轴正向相反与 xsmv 82?=
t
dt
dxv
x 88 2?==）（
轴正向相同与 xsmv 80 =
0 1 1 此时转向== vt
jivt 42 2 2?==
求,t=0秒及 t=2秒时质点的速度，并求后者的大小和方向。
解：
jtitr )2(2,2=已知例 3、
方向：
轴的夹角与为 xv 262632 4a r c t a n=?=?
smv /47.442 222 =?=
大小：
ivt 2 0 0 ==
jtidt rdv 22?==
例 4：一质点运动轨迹为抛物线
24
2
2 tty
tx
=
=
===> xxy 22=
(z=0)
求,x = - 4 m 时（ t > 0 )
质点的速度、速率、
加速度。
分析,x = - 4,t = 2
X
y
( 轨迹方程 )
解：
42?== =tx
dt
dxv | 24
2?== =ty dt
dyv |
smvvv yx /37422 =?=
44?=ya练习
222
2
=== =txx
dt
xd
dt
dv
a
24
2
2 tty
tx
=
=
2/44 sma =
例 5、一质点在 oxy 平面内作曲线运动，其加速度是时间的函数。已知 ax= 2,ay= 36 t2。
设,质点 t＝ 0 时 r0=0,v0= 0。 求,(1)此质点的运动方程； (2)此质点的轨道方程 。
解：
)(
dt
dv
a
dt
dva y
y
x
x ==?
dttdvdtdv yx 236 2 ==
== tv ytv x dttdvdtdv yx 0 2000 36 2
12 2 3tvtv yx ==
jtitv 3122?=?
dt
dyv
dt
dxv
yx ==
jtitr
ty
tx 42
4
2
3
3
=
=
=
所以质点的运动方程为：
dttdyt d tdx 312 2 ==
== tytx dttdyt d tdx 0 3000 12 2
42 3 tytx ==
(2)上式中消去 t,得 y=3x2 即为轨道方程可知是抛物线。
1,匀加速运动
ra 为常矢量
2
00 2
1 tatvrr rrrr=
tavv rrr?= 0
),( 00 vr rr
初始位置和初始速度通常称为质点运动的 初始条件 。
三,几种特殊运动运动方程：
２,匀加速直线运动
ra
0v
r为常矢量，和在一条直线上只用一维描述
2
00 2
1 attvxx=
如自由落体另两个公式：？
xaxx 2202?=
tavv?= 0
３,抛体运动典型的匀加速运动,r ra g=
运动平面在
),( gv rr 0
内
y
x
v0
0
gaa yx?== 0
000 == yx
s i nc o s 0000 vvvv yx ==
初始：
特点：
实际子弹和炮弹受空气阻力很大，但基础是以上的运动学。
gtvv
vv
y
x
=
=
s i n
,c o s
0
0
tavv rrr?=?
tatvrr rrrr=
2
0
0
2
1
gttvy
tvx
=
=
s i n
c o s
2
0
2
2 c o s
t a n
v
gxxy?=轨迹方程：
例如斜抛体运动中被抛物体同时参加水平方向的匀速运动和竖直方向的自由落体运动，其轨道为抛物线。当抛射角为 90o时，称为 竖直上抛运动。
4、运动叠加原理当物体同时参与两个或多个运动时，其总的运动乃是各个独立运动的合成结果。
这称为 运动叠加原理,或运动的 独立性原理 。
作业,1.9 1.10 1.11
