§ 5.5 转动中的功和能
1、力矩的功
||c o s rdFrdFdW
力矩对转动物体作的功等于相应力矩和角位移的乘积。
称为力矩的功。
rdF c o s?
MrFc o s?
MddW
x
O
r
v F
P
dr
d?
2
1
2
2 2
1
2
1 JJ 2
1
dJ
ddtdJ 2
1?
2
1
dM
合外力矩对一个绕固定轴转动的刚体所做的功等于刚体的转动动能的增量。
12 KK EEW
所以有：
将定轴转动的转动定律两边乘以 d? 再同时对?
积分有,
2、刚体定轴转动的动能定理
3、刚体的重力势能
h
hi
hc
xO
m
C
m
一 个质元：
ii ghm?
i
i
iP hgmE重
c
i
ii m g hhmg )(
整个刚体：
一个不太大的刚体的重力势能相当于它的全部质量都集中在质心时所具有的势能。
4、机械能守恒对于含有刚体的系统,如果在运动过程中只有保守内力作功,则此系统的机械能守恒。
例,如图所示,滑块转动惯量为 0.01 kg.m2,半径为 7cm,
物体的质量为 5kg,有一 细绳与劲度系数 k=200N.m-1的弹簧相连,若 绳与滑轮间无相对滑动,滑轮轴上的摩擦忽略不计 。
求,（ 1）当 绳拉直、弹簧无伸长 时使物体 由静止 而下落的最大距离。 (2) 物体的速度达最大值时的位置及最大速率。
Jk
m
,21)1( 2xkmgx?kmgx 2? m49.0?
,)2( 0 mgxk? kmgx /0? m245.0?
xkJvmxmg 2020200 212121
mgRJmkv )/( 2 210
1-sm3.1
解：
作业,5.11 5.12 5.13 5.15 5.16
§ 5.6 刚体的角动量、角动量定理和角动量守恒定律
1,刚体的角动量刚体上的一个质元,绕固定轴做圆周运动角动量为,
vmrPrL
质点对点的角动量为：
iiiiii mrvmrL 2
所以刚体绕此轴的角动量为：
JrmLL
i
ii
i
i )(
2
刚体对固定转动轴的角动量 L,等于它对该轴的转动惯量 J 和角速度? 的乘积。
2、刚体的角动量定理
dt
LdM ＝质点的角动量定理为：1) 微分形式：
对质点组,
dt
iLd
iM
任一质点内外式中 iMiMiM
i i
M
i dt
iLd
dt
LdM?
对整个刚体
i i
MiM )( 内外
前知 一对内力的力矩之和为零，如图。
jiMijM
Z
mj
mifji
ro rj
riOi
fij
dt
LdMM
外刚体是特殊的质点组,在定轴转动中只考虑力矩和角动量平行于转轴的分量，设转轴为 z 轴,取角动量定理沿 z轴的分量式有,
dt
dLM z
z?外
dLM d t?或写成
2):积分形式
LLLdLM dtt L
L
12
0
2
1
对某个固定轴的外力矩的作用在某段时间内的积累 (称为 冲量矩 ),等于 刚体对同一转动轴的角动量的增量。
J 不变时,
12 JJL
J 也改变时,
1122 JJL
3、角动量守恒定律常量则中，若在 LM
dt
dLM,0
L 不变的含义为：
刚体,J 不变 非刚体,J?不变
M = 0 的原因，可能 F＝ 0； r = 0; F∥r.
在定轴转动中还有 M≠0,但它对定轴转动没有作用，则刚体对此轴的角动量依然守恒。
例,如图所示,一均匀细杆长为 l,质量为 m,
平放在摩擦系数为 m
的水平桌面上,设开始时杆以角速度?0 绕过中心 o 且垂直与桌面的轴转动,试求,（ 1）作用在杆的摩擦力矩 ;
（ 2）经过多长时间杆才会停止转动。
olm,
0?
m
rgdmdM m?)1(解：
rgdrlmm?
2/02 l drrlmgdMM mm g lm41?
olm,
0?
m
由角动量定理：)2(
00 JJJtM
M
Jt 0?
ug
l
3
例：如图所示,一质量为 m 的子弹以水平速度射入一静止悬于顶端长棒的下端,穿出后速度损失 3/4,
求子弹穿出后棒的角速度?。已知棒长为 l,质量为 M.
v0 vm
M
解,以 f 代表棒对子弹的阻力,对子弹有,
00 4
3)( mvvvmf d t
子弹对棒的反作用力对棒的冲量 矩为：
Jdtfll dtf
因,由两式得
ff
v0 vm
M
200
3
1
4
9
4
3 MlJ
Ml
mv
J
lmv 这里?
请问,子弹和棒的总动量守恒吗?
为 什么?
总角动量守恒吗?若守恒,其方程应如何写?
例：如图所示，将单摆和一等长的匀质直杆悬挂在同一点，杆的质量 m与单摆的摆锤相等。开始时直杆自然下垂，将单摆的摆锤拉到高度 ho,令它自静止状态下 摆 于铅垂位置和直杆作弹性碰撞。求碰撞后直杆下端达到的高度 h。
ba
m
l
ho
l
解,碰撞前单摆摆锤的速度为
00 2 ghv?
c
hc
h’ h
①
令碰撞后直杆的角速度为?，摆锤的速度为 v＇。
由角动量守恒，有在弹性碰撞过程中机械能也是守恒的,
l
vvv
2
3,
2
00
二式联立解得：
2
0 3
1,)( mlJJvvml 式中?
222
0 2
1)(
2
1?Jvvm
②
cm g hJ?
2
2
1?
2
32 0hhh
c
由此得直杆 摆动 过程 机械能守恒作业,5.17 5.19 5.20 5.21
③
④
1、力矩的功
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力矩对转动物体作的功等于相应力矩和角位移的乘积。
称为力矩的功。
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合外力矩对一个绕固定轴转动的刚体所做的功等于刚体的转动动能的增量。
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所以有：
将定轴转动的转动定律两边乘以 d? 再同时对?
积分有,
2、刚体定轴转动的动能定理
3、刚体的重力势能
h
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xO
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一 个质元：
ii ghm?
i
i
iP hgmE重
c
i
ii m g hhmg )(
整个刚体：
一个不太大的刚体的重力势能相当于它的全部质量都集中在质心时所具有的势能。
4、机械能守恒对于含有刚体的系统,如果在运动过程中只有保守内力作功,则此系统的机械能守恒。
例,如图所示,滑块转动惯量为 0.01 kg.m2,半径为 7cm,
物体的质量为 5kg,有一 细绳与劲度系数 k=200N.m-1的弹簧相连,若 绳与滑轮间无相对滑动,滑轮轴上的摩擦忽略不计 。
求,（ 1）当 绳拉直、弹簧无伸长 时使物体 由静止 而下落的最大距离。 (2) 物体的速度达最大值时的位置及最大速率。
Jk
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,21)1( 2xkmgx?kmgx 2? m49.0?
,)2( 0 mgxk? kmgx /0? m245.0?
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1-sm3.1
解：
作业,5.11 5.12 5.13 5.15 5.16
§ 5.6 刚体的角动量、角动量定理和角动量守恒定律
1,刚体的角动量刚体上的一个质元,绕固定轴做圆周运动角动量为,
vmrPrL
质点对点的角动量为：
iiiiii mrvmrL 2
所以刚体绕此轴的角动量为：
JrmLL
i
ii
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2
刚体对固定转动轴的角动量 L,等于它对该轴的转动惯量 J 和角速度? 的乘积。
2、刚体的角动量定理
dt
LdM ＝质点的角动量定理为：1) 微分形式：
对质点组,
dt
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iM
任一质点内外式中 iMiMiM
i i
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对整个刚体
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前知 一对内力的力矩之和为零，如图。
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外刚体是特殊的质点组,在定轴转动中只考虑力矩和角动量平行于转轴的分量，设转轴为 z 轴,取角动量定理沿 z轴的分量式有,
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dLM d t?或写成
2):积分形式
LLLdLM dtt L
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对某个固定轴的外力矩的作用在某段时间内的积累 (称为 冲量矩 ),等于 刚体对同一转动轴的角动量的增量。
J 不变时,
12 JJL
J 也改变时,
1122 JJL
3、角动量守恒定律常量则中，若在 LM
dt
dLM,0
L 不变的含义为：
刚体,J 不变 非刚体,J?不变
M = 0 的原因，可能 F＝ 0； r = 0; F∥r.
在定轴转动中还有 M≠0,但它对定轴转动没有作用，则刚体对此轴的角动量依然守恒。
例,如图所示,一均匀细杆长为 l,质量为 m,
平放在摩擦系数为 m
的水平桌面上,设开始时杆以角速度?0 绕过中心 o 且垂直与桌面的轴转动,试求,（ 1）作用在杆的摩擦力矩 ;
（ 2）经过多长时间杆才会停止转动。
olm,
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rgdrlmm?
2/02 l drrlmgdMM mm g lm41?
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00 JJJtM
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3
例：如图所示,一质量为 m 的子弹以水平速度射入一静止悬于顶端长棒的下端,穿出后速度损失 3/4,
求子弹穿出后棒的角速度?。已知棒长为 l,质量为 M.
v0 vm
M
解,以 f 代表棒对子弹的阻力,对子弹有,
00 4
3)( mvvvmf d t
子弹对棒的反作用力对棒的冲量 矩为：
Jdtfll dtf
因,由两式得
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3 MlJ
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请问,子弹和棒的总动量守恒吗?
为 什么?
总角动量守恒吗?若守恒,其方程应如何写?
例：如图所示，将单摆和一等长的匀质直杆悬挂在同一点，杆的质量 m与单摆的摆锤相等。开始时直杆自然下垂，将单摆的摆锤拉到高度 ho,令它自静止状态下 摆 于铅垂位置和直杆作弹性碰撞。求碰撞后直杆下端达到的高度 h。
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解,碰撞前单摆摆锤的速度为
00 2 ghv?
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①
令碰撞后直杆的角速度为?，摆锤的速度为 v＇。
由角动量守恒，有在弹性碰撞过程中机械能也是守恒的,
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二式联立解得：
2
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由此得直杆 摆动 过程 机械能守恒作业,5.17 5.19 5.20 5.21
③
④
