一,牛顿运动定律二,技术中常见的几种力三,基本的自然力四,惯性系与非惯性系第二章 牛顿运动定律回顾上次课第三次课六、应用牛顿定律解题例 1、水平面上有一质量为 51kg 的小车 D,其上有一定滑轮 C,通过绳在滑轮两侧分别连有质量为
m1=5kg 和 m2= 4kg 的物体 A 和 B。 其中物体 A在小车的水平面上，物体 B 被绳悬挂，系统处于静止瞬间，
如图所示。各接触面和滑轮轴均光滑，求以多大力作用在小车上，才能使物体 A与小车 D之间无相对滑动。（滑轮和绳的质量均不计，绳与滑轮间无滑动）
D
C
B
A
解：建立坐标系并作受力分析图：
X
Y
O
B
m2g
T
列方程：
x
x
x
MaTTF
gmT
amT
amT
s in
c o s
s in
2
2
1
＝
解出：
2
2
2
1
221
2
2
2
1
2
)(
mm
gmMmm
F
mm
gm
a
x
=784N
A
m1g
N1
T
D
Mg
N2
F
T
T
N1
例 2、质量为 m的小球，在水中受的浮力为常力 F,当它从静止开始沉降时，受到水的粘滞阻力为 f=kv (k为常数），证明小球在水中竖直沉降的速度 v与时间 t的关系为
f
F
mg
a
x
)1( m
kt
e
k
Fmgv
式中 t 为从沉降开始计算的时间证明：取坐标，作受力图。
dt
dvmmaFkvmg
根据牛顿第二定律，有初始条件,t=0 时 v=0
keFmgv
dt
mFkvmg
dv
m
kt
tv
/)1)((
/)( 00
得证。
第三章 动量和角动量一,动量和冲量 动量定理二,质点系的动量定理 动量守恒定律三,质点的角动量四,角动量定理和角动量守恒定律五,质心 质心运动定律六、物理学与现代技术 — 火箭 (阅读 )
一、动量和冲量 动量定理大小,m v 方向：速度的方向单位,kgm/s 量纲,MLT－ 1
1、动量 （描述质点运动状态，矢量） vmP＝
大小,? 2
1
t
t F dt
方向：速度变化的方向单位,Ns 量纲,MLT－ 1
2、冲量 （力的作用对时间的积累，矢量）
I
3、动量定理：（将力的作用过程与效果 〔 动量变化 〕 联系在一起）
2112 tt dtFIPP ＝
F 为恒力时，可以得出 I＝ F?t
21I vmvmPtF
质点所受合外力的冲量，等于该质点动量的增量 。 这个结论称为动量定理 。
2121 ttPP dtFPd
dtFPd?
dt
PdF? 据牛二 有注意：动量为状态量，冲量为过程量。
zzzzz
yyyyy
xxxxx
mvmvppI
mvmvppI
mvmvppI
1212
1212
1212
动量定理可写成分量式，即：
12
12
12
2
1
tt
PP
tt
dtF
F
t
t
对碰撞过程平均冲力为：
例、质量为 2.5g的乒乓球以 10m/s的速率飞来，被板推挡后，又以 20m/s
的速率飞出。设两速度在垂直于板面的同一平面内，且它们与板面法线的夹角分别为 45o和 30o，
求：（ 1） 乒乓球得到的冲量；
（ 2）若撞击时间为 0.01s,板施于球的平均冲力 的大小和方向。
45o
30o
n
v2
v1
45o
30o
n
v2
v1
O
x
y解：取球为研究对象，由于作用时间很短，忽略重力影响。
设挡板对球的冲力为则有：
F
12 vmvmdtFI
取坐标系，将上式投影，有：
tFmvmvdtFI xxx )45c o s(30c o s 12
tFmvmvdtFI yyy 45s i n30s i n 12
2,5 g m / s m / s 0,0 1 s 2 m vvt?
N,N,N, yxyx FFFFF
为 I与 x方向的夹角。
此题也可用矢量法解，
作矢量图用余弦定理和正弦定理，可得,v2v1v1
t
F
6,5 4 1 1 4 8.0t a n
x
y
I
I
Ns1014.6 222 yx III
Ns007.0 Ns061.0 yx II
105c o s2
21
22
2
22
1
2 vvmvmvmdtFI＝
N14.6 Ns1014.6 2?
t
I
F
1 0 5s ins in
2
tFmv
5 1,8 6 0,7 8 6 6s i n
86.6455 1,8 6
45o
30o
n
v2
v1
O x
y
v2
v1
v1
tF
)θ? x
二、质点系的动量定理 动量守恒定律
1、质点系的动量定理 质点系（内力 f、外力 F）
两个质点的系统
dt
Pd
fFFfm
dt
Pd
fFFfm
2
222
1
111
dt
Pd
dt
Pd
FFff
dt
Pd
dt
Pd
fFfF
21
21
21
21
-
n个质点的系统由于内力总是成对出现的，所以矢量和为零。
有：
i
i
i
i P
dt
dF
以 F 和 P 表示系统的合外力和总动量，上式可写为：
dt
PdF?
质点系的动量定理：
PddtF ＝
PPddtF
P
P
t
t
2
1
2
1
＝
积分形式微分形式
2,动量守恒定律常矢量
i
ii
i
i vmp
一个质点系所受的合外力为零时，
这一质点系的总动量就保持不变。
0 0 常矢量 P
dt
Pd
F
注意：
1、系统动量守恒，但每个质点的动量可能变化。
2、在碰撞、打击、爆炸等相互作用时间极短的过程中，往往可忽略外力。
3、动量守恒可在某一方向上成立。
4、定律中的速度应是对同一惯性系的速度，
动量和应是同一时刻的动量之和。
5、动量守恒定律在微观高速范围仍适用。
6、动量守恒定律只适用于惯性系。
三、质点的角动量
mo r P
L
θ LPvrm,知注意：作圆周运动的质点的角动量 L＝ m r v
PL
ro
大小,L＝ r m v sin?
方向：右手螺旋定则判定单位,kgm2/s 量纲,ML2T-1
vmrPrL:定义例、一质量为 m的质点沿着一条空间曲线运动，该曲线在直角坐标下的矢径为：
jtbitar s i nc o s
其中 a,b,?
皆为常数，求：该质点对 原点的角动量 。
jtbitadtrdv c o ss i n
vmrL
解,∵
ktma bktma b 22 s i nc o s
km a b
jtbitar s i nc o s
四、角动量定理和角动量守恒定律
1、角动量定理
prL
dt
pdrp
dt
rdpr
dt
d
dt
Ld )(
Frvmv
dt
Ld
vmp? v
dt
rd? F
dt
pd?
令：
FrM
为合外力对同一固定点的力矩
dt
Ld
M
MFr
dt
Ld
vmv
＝
＝
＝
0?
大小,M＝ rFsin? (?为矢径与力之间的夹角 )
方向：右手螺旋定则单位,mN 量纲,ML2T-2
mo
r
F
M
角动量定理：
质点所受的合外力矩等于它的角动量对时间的变化率。
2、角动量守恒定律
dt
LdM ＝?
如果对于某一固定点，质点所受的合外力矩为零，则此点对该固定点的角动量矢量保持不变。
注意,1、这也是自然界普遍适用的一条基本规律。
2,M＝ 0,可以是 r=0,也可以是 F=0,还可能是 r与 F同向或反向，例如有心力情况。
00?
dt
LdM 则＝如果
＝常矢量即 L
L?
r?
v? m
r
L
v
r
例题,p161的例
3.16为证明关于行星运动的开普勒第二定律：行星对太阳的矢径在相等的时间内扫过相等的面积。这个结论也叫 等面积原理 。
五、质心,质心运动定律
1、质心：质点系的质量中心质点系 N个质点质量,m1 m2 m3 … m i … m N
位矢,r1 r2 r3 … r i … r N
质心的位矢：
(m为总质量 ) m
rm
m
rm
r i
ii
i
i
i
ii
c
质心的位矢随坐标系的选取而变化，但对一个质点系，质心的位置是固定的。
直角坐标系中的分量式为：
m
zm
m
ym
m
xm
x i
ii
c
i
ii
c
i
ii
c
z y
质量连续分布时：
mz d mmy d mmx d mx ccc /z /y /
对称物体的质心就是物体的对称中心。
由两个质点组成的质点系，常取质心处
xc= 0 以便于分析和计算。
例：一段均匀铁丝弯成半径为 R的半圆形，求此半圆形铁丝的质心。
解：选如图坐标系，取长为 dl 的铁丝，质量为 dm，
以 λ表示线密度,dm=?dl.
分析得质心应在 y轴上。
RddlRy
m
y d l
y c s i n
注意：质心不在铁丝上 。
2
0
21s i n1 RmRdRmy c
RyRm c 2
2、质心运动定律
c
i
iic vmPPvmvm
质点系的总动量等于它的总质量与它的质心的运动速度的乘积。
i
ii
i
i
i
c
c vm
mdt
rd
m
mdt
rd
v
11
m
rm
r i
ii
c
c
c
c
amF
am
dt
vd
m
dt
Pd
F
质心运动定律：
系统的总质量和质心加速度的乘积等于质点系所受外力的矢量和。
作业,3.1 3.3 3.25 3.29
m1=5kg 和 m2= 4kg 的物体 A 和 B。 其中物体 A在小车的水平面上，物体 B 被绳悬挂，系统处于静止瞬间，
如图所示。各接触面和滑轮轴均光滑，求以多大力作用在小车上，才能使物体 A与小车 D之间无相对滑动。（滑轮和绳的质量均不计，绳与滑轮间无滑动）
D
C
B
A
解：建立坐标系并作受力分析图：
X
Y
O
B
m2g
T
列方程：
x
x
x
MaTTF
gmT
amT
amT
s in
c o s
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2
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1
＝
解出：
2
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F
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a
x
=784N
A
m1g
N1
T
D
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N2
F
T
T
N1
例 2、质量为 m的小球，在水中受的浮力为常力 F,当它从静止开始沉降时，受到水的粘滞阻力为 f=kv (k为常数），证明小球在水中竖直沉降的速度 v与时间 t的关系为
f
F
mg
a
x
)1( m
kt
e
k
Fmgv
式中 t 为从沉降开始计算的时间证明：取坐标，作受力图。
dt
dvmmaFkvmg
根据牛顿第二定律，有初始条件,t=0 时 v=0
keFmgv
dt
mFkvmg
dv
m
kt
tv
/)1)((
/)( 00
得证。
第三章 动量和角动量一,动量和冲量 动量定理二,质点系的动量定理 动量守恒定律三,质点的角动量四,角动量定理和角动量守恒定律五,质心 质心运动定律六、物理学与现代技术 — 火箭 (阅读 )
一、动量和冲量 动量定理大小,m v 方向：速度的方向单位,kgm/s 量纲,MLT－ 1
1、动量 （描述质点运动状态，矢量） vmP＝
大小,? 2
1
t
t F dt
方向：速度变化的方向单位,Ns 量纲,MLT－ 1
2、冲量 （力的作用对时间的积累，矢量）
I
3、动量定理：（将力的作用过程与效果 〔 动量变化 〕 联系在一起）
2112 tt dtFIPP ＝
F 为恒力时，可以得出 I＝ F?t
21I vmvmPtF
质点所受合外力的冲量，等于该质点动量的增量 。 这个结论称为动量定理 。
2121 ttPP dtFPd
dtFPd?
dt
PdF? 据牛二 有注意：动量为状态量，冲量为过程量。
zzzzz
yyyyy
xxxxx
mvmvppI
mvmvppI
mvmvppI
1212
1212
1212
动量定理可写成分量式，即：
12
12
12
2
1
tt
PP
tt
dtF
F
t
t
对碰撞过程平均冲力为：
例、质量为 2.5g的乒乓球以 10m/s的速率飞来，被板推挡后，又以 20m/s
的速率飞出。设两速度在垂直于板面的同一平面内，且它们与板面法线的夹角分别为 45o和 30o，
求：（ 1） 乒乓球得到的冲量；
（ 2）若撞击时间为 0.01s,板施于球的平均冲力 的大小和方向。
45o
30o
n
v2
v1
45o
30o
n
v2
v1
O
x
y解：取球为研究对象，由于作用时间很短，忽略重力影响。
设挡板对球的冲力为则有：
F
12 vmvmdtFI
取坐标系，将上式投影，有：
tFmvmvdtFI xxx )45c o s(30c o s 12
tFmvmvdtFI yyy 45s i n30s i n 12
2,5 g m / s m / s 0,0 1 s 2 m vvt?
N,N,N, yxyx FFFFF
为 I与 x方向的夹角。
此题也可用矢量法解，
作矢量图用余弦定理和正弦定理，可得,v2v1v1
t
F
6,5 4 1 1 4 8.0t a n
x
y
I
I
Ns1014.6 222 yx III
Ns007.0 Ns061.0 yx II
105c o s2
21
22
2
22
1
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N14.6 Ns1014.6 2?
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I
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1 0 5s ins in
2
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5 1,8 6 0,7 8 6 6s i n
86.6455 1,8 6
45o
30o
n
v2
v1
O x
y
v2
v1
v1
tF
)θ? x
二、质点系的动量定理 动量守恒定律
1、质点系的动量定理 质点系（内力 f、外力 F）
两个质点的系统
dt
Pd
fFFfm
dt
Pd
fFFfm
2
222
1
111
dt
Pd
dt
Pd
FFff
dt
Pd
dt
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21
21
21
21
-
n个质点的系统由于内力总是成对出现的，所以矢量和为零。
有：
i
i
i
i P
dt
dF
以 F 和 P 表示系统的合外力和总动量，上式可写为：
dt
PdF?
质点系的动量定理：
PddtF ＝
PPddtF
P
P
t
t
2
1
2
1
＝
积分形式微分形式
2,动量守恒定律常矢量
i
ii
i
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一个质点系所受的合外力为零时，
这一质点系的总动量就保持不变。
0 0 常矢量 P
dt
Pd
F
注意：
1、系统动量守恒，但每个质点的动量可能变化。
2、在碰撞、打击、爆炸等相互作用时间极短的过程中，往往可忽略外力。
3、动量守恒可在某一方向上成立。
4、定律中的速度应是对同一惯性系的速度，
动量和应是同一时刻的动量之和。
5、动量守恒定律在微观高速范围仍适用。
6、动量守恒定律只适用于惯性系。
三、质点的角动量
mo r P
L
θ LPvrm,知注意：作圆周运动的质点的角动量 L＝ m r v
PL
ro
大小,L＝ r m v sin?
方向：右手螺旋定则判定单位,kgm2/s 量纲,ML2T-1
vmrPrL:定义例、一质量为 m的质点沿着一条空间曲线运动，该曲线在直角坐标下的矢径为：
jtbitar s i nc o s
其中 a,b,?
皆为常数，求：该质点对 原点的角动量 。
jtbitadtrdv c o ss i n
vmrL
解,∵
ktma bktma b 22 s i nc o s
km a b
jtbitar s i nc o s
四、角动量定理和角动量守恒定律
1、角动量定理
prL
dt
pdrp
dt
rdpr
dt
d
dt
Ld )(
Frvmv
dt
Ld
vmp? v
dt
rd? F
dt
pd?
令：
FrM
为合外力对同一固定点的力矩
dt
Ld
M
MFr
dt
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＝
＝
＝
0?
大小,M＝ rFsin? (?为矢径与力之间的夹角 )
方向：右手螺旋定则单位,mN 量纲,ML2T-2
mo
r
F
M
角动量定理：
质点所受的合外力矩等于它的角动量对时间的变化率。
2、角动量守恒定律
dt
LdM ＝?
如果对于某一固定点，质点所受的合外力矩为零，则此点对该固定点的角动量矢量保持不变。
注意,1、这也是自然界普遍适用的一条基本规律。
2,M＝ 0,可以是 r=0,也可以是 F=0,还可能是 r与 F同向或反向，例如有心力情况。
00?
dt
LdM 则＝如果
＝常矢量即 L
L?
r?
v? m
r
L
v
r
例题,p161的例
3.16为证明关于行星运动的开普勒第二定律：行星对太阳的矢径在相等的时间内扫过相等的面积。这个结论也叫 等面积原理 。
五、质心,质心运动定律
1、质心：质点系的质量中心质点系 N个质点质量,m1 m2 m3 … m i … m N
位矢,r1 r2 r3 … r i … r N
质心的位矢：
(m为总质量 ) m
rm
m
rm
r i
ii
i
i
i
ii
c
质心的位矢随坐标系的选取而变化，但对一个质点系，质心的位置是固定的。
直角坐标系中的分量式为：
m
zm
m
ym
m
xm
x i
ii
c
i
ii
c
i
ii
c
z y
质量连续分布时：
mz d mmy d mmx d mx ccc /z /y /
对称物体的质心就是物体的对称中心。
由两个质点组成的质点系，常取质心处
xc= 0 以便于分析和计算。
例：一段均匀铁丝弯成半径为 R的半圆形，求此半圆形铁丝的质心。
解：选如图坐标系，取长为 dl 的铁丝，质量为 dm，
以 λ表示线密度,dm=?dl.
分析得质心应在 y轴上。
RddlRy
m
y d l
y c s i n
注意：质心不在铁丝上 。
2
0
21s i n1 RmRdRmy c
RyRm c 2
2、质心运动定律
c
i
iic vmPPvmvm
质点系的总动量等于它的总质量与它的质心的运动速度的乘积。
i
ii
i
i
i
c
c vm
mdt
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m
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v
11
m
rm
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ii
c
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Pd
F
质心运动定律：
系统的总质量和质心加速度的乘积等于质点系所受外力的矢量和。
作业,3.1 3.3 3.25 3.29
