第三章 动量和角动量一,动量和冲量 动量定理二,质点系的动量定理 动量守恒定律三,质点的角动量四,角动量定理和角动量守恒定律五,质心 质心运动定律六、物理学与现代技术 — 火箭 (阅读 )
第四次课三、质点的角动量
mo r P
L
θ LPvrm,知注意：作圆周运动的质点的角动量 L＝ m r v
PL
ro
大小,L＝ r m v sin?
方向：右手螺旋定则判定单位,kgm2/s 量纲,ML2T-1
vmrPrL:定义例、一质量为 m的质点沿着一条空间曲线运动，该曲线在直角坐标下的矢径为：
jtbitar s i nc o s
其中 a,b,?
皆为常数，求：该质点对 原点的角动量 。
jtbitadtrdv c o ss i n
vmrL
解,∵
ktma bktma b 22 s i nc o s
km a b
jtbitar s i nc o s
四、角动量定理和角动量守恒定律
1、角动量定理
prL
dt
pdrp
dt
rdpr
dt
d
dt
Ld )(
Frvmv
dt
Ld
vmp? v
dt
rd? F
dt
pd?
令：
FrM
为合外力对同一固定点的力矩
dt
Ld
M
MFr
dt
Ld
vmv
＝
＝
＝
0?
大小,M＝ rFsin? (?为矢径与力之间的夹角 )
方向：右手螺旋定则单位,mN 量纲,ML2T-2
mo
r
F
M
角动量定理：
质点所受的合外力矩等于它的角动量对时间的变化率。
2、角动量守恒定律
dt
LdM ＝?
如果对于某一固定点，质点所受的合外力矩为零，则此点对该固定点的角动量矢量保持不变。
注意,1、这也是自然界普遍适用的一条基本规律。
2,M＝ 0,可以是 r=0,也可以是 F=0,还可能是 r与 F同向或反向，例如有心力情况。
00?
dt
LdM 则＝如果
＝常矢量即 L
L?
r?
v? m
r
L
v
r
例题,p161的例
3.16为证明关于行星运动的开普勒第二定律：行星对太阳的矢径在相等的时间内扫过相等的面积。这个结论也叫 等面积原理 。
五、质心,质心运动定律
1、质心：质点系的质量中心质点系 N个质点质量,m1 m2 m3 … m i … m N
位矢,r1 r2 r3 … r i … r N
质心的位矢：
(m为总质量 ) m
rm
m
rm
r i
ii
i
i
i
ii
c
质心的位矢随坐标系的选取而变化，但对一个质点系，质心的位置是固定的。
直角坐标系中的分量式为：
m
zm
m
ym
m
xm
x i
ii
c
i
ii
c
i
ii
c
z y
质量连续分布时：
mz d mmy d mmx d mx ccc /z /y /
对称物体的质心就是物体的对称中心。
由两个质点组成的质点系，常取质心处
xc= 0 以便于分析和计算。
例：一段均匀铁丝弯成半径为 R的半圆形，求此半圆形铁丝的质心。
解：选如图坐标系，取长为 dl 的铁丝，质量为 dm，
以 λ表示线密度,dm=?dl.
分析得质心应在 y轴上。
RddlRy
m
y d l
y c s i n
注意：质心不在铁丝上 。
2
0
21s i n1 RmRdRmy c
RyRm c 2
2、质心运动定律
c
i
iic vmPPvmvm
质点系的总动量等于它的总质量与它的质心的运动速度的乘积。
i
ii
i
i
i
c
c vm
mdt
rd
m
mdt
rd
v
11
m
rm
r i
ii
c
c
c
c
amF
am
dt
vd
m
dt
Pd
F
质心运动定律：
系统的总质量和质心加速度的乘积等于质点系所受外力的矢量和。
第四章 功和能一,功和功率二,动能定理三,保守力和势能四,能量守恒定律五,守恒定律的意义及其应用一、功和功率
1、恒力的功
rFW记作位移无限小时：
c osrdFrdFdW
dW称为元功功等于质点受的力和它的位移的点积单位,J 量纲,ML2T－ 2
M M
F F
Δr
W=Fcosr
功的其它单位,1eV=1.6× 10-19J
注意,1、功是过程量，与路径有关。 2、功是标量，但有正负。 3、合力的功为各分力的功的代数和。
解析式：
ba zyx dzFdyFdxFW )(
baba rdFdWW
如果力是位置的函数，设质点在力的作用下沿一曲线运动,
在元位移 中将力视为恒力，力沿 ab的功为所有无限小段位移上的元功 dW 之和。
r d
F
m
a
b
×
×
r d
2、变力的功例 1、一陨石从距地面高为 h处由静止开始落向地面，忽略空气阻力，求陨石下落过程中，万有引力的功是多少？
解：取地心为原点，引力与矢径方向相反
a
bh
R
o
R
hR rdFW
)( hRR
G M m h
2?
R
hR
drrMmG
hRRG M mr
drG M m R
hR
11
2
例 2、质量为 2 kg 的质点在力 itF 12＝
(SI)
的作用下，从静止出发，沿 x轴正向作直线运动。求前三秒内该力所作的功。
解：（一维运动可以用标量）
v d ttrdFW 12＝
2
0000
3
2
120 tdttdt
m
Fadtvv ttt
JtdttdtttW 729936312 4
3
0
33
0
2
3、功率 力在单位时间内所作的功
t
WP
平均功率：
单位,W或 Js-1 量纲,ML2T－ 3
dt
dW
t
WP
t
0
lim瞬时功率：
vF
dt
rdFPrdFdW
4、一对作用力和反作用力的功
1111 rdfrm
m1,m2组成一个封闭系统在?t时间内
2211 rdfrdfdW
2222 rdfrm
2112 rrr
)()( 122122 rrdfrdrdfdW21 ff
212 rdfdW
o
r1 r
2
r21
m1 m2
dr1
dr2
f2
f1
两质点间的一对作用力和反作用力所做功之和等于其中一个质点受的力沿着该质点相对于另一质点所移动的路径所做的功。
二、动能定理
1、质点的动能定理
22
2
1
2
1
AB
v
v
B
AAB
mvmvv d vmv d tdtdvmW B
A
＝
合外力对质点所做的功等于质点动能的增量。
BABABAAB rdamrdFrdFW＝
v d trddtdva
定义：动能 Ek = m v2 / 2 WAB = EKB - EKA 。
单位,J 量纲,ML2T－ 2
2、质点系的动能定理质点,m1 m2
内力,初速度：
21 FF
AA vv 21
2
11
2
1111111 2
1
2
1,1
1
1
1
AB
B
A
B
A
vmvmrdfrdFm
外力,末速度：
21 ff
BB vv 21
2
22
2
2222222 2
1
2
1,2
2
2
2
AB
B
A
B
A
vmvmrdfrdFm
两式相加得：
22112211 22112211 BABABABA rdfrdfrdFrdF ＋
即：外力的功之和＋内力的功之和
＝系统末动能－系统初动能记作,W外 ＋ W内 ＝ EKB - EKA
所有外力对质点系做的功和内力对质点系做的功之和等于质点系总动能的增量。
注意：内力能改变系统的总动能，但不能改变系统的总动量。
）＋（＋ 222211222211 21212121 AABB vmvmvmvm
例 3、一链条总长为 l,质量为 m。 放在桌面上并使其下垂，下垂的长度为 a,设链条与桌面的滑动摩擦系数为?，令链条从静止开始运动，则：（ 1）到链条离开桌面的过程中，摩擦力对链条做了多少功？（ 2）链条离开桌面时的速率是多少？
a
l-a
x
O
解,(1)建坐标系如图
lalaf dxxllmgrdfW )(?
负号说明：
摩擦力作负功！
lxlmgf /)(
22 )(
2
)
2
1( al
l
mgxlx
l
mg l
a
(2)对链条应用动能定理：
202 2121,mvmvWWW fP ＋＝据
21222 )()( alallgv得
2
0 2
10 mvWWv
fP ＋?
l
almgx d x
l
mgrdPW l
a
l
aP 2
)( 22
l
almgW
f 2
)( 2前已得出：
2
222
2
1
2
)(
2
)( mv
l
almg
l
almg
说明：
1、动能是状态量，任一运动状态对应一定的动能。
2,?EK为动能的增量，增量可正可负，视功的正负而变
3、动能是质点因运动而具有的做功本领。
三、保守力和势能
1、保守力：某些力对质点 做功的大小只与质点的始末位置有关,而与路径无关。这种力称为 保守力 。
2、势能：在具有保守力相互作用的系统内，
只由质点间的 相对位置决定的能量 称为 势能 。
3、几种保守力和相应的势能
* 重力的功和重力势能
M 在重力作用下由 a 运动到 b,取地面为坐标原点，
y 轴向上为正,a,b 的坐标分别为 ya,yb 。
m g d yrdgmdW
可见，重力是保守力。
Pab EyymgW ＝－)( P
E?
为势能增量重力的功等于重力势能增量的负值。
重力势能以地面为零势能点，
m g yymgm g d yE
yP
)0(0
y a
b
o
)()( baaby
y
yymgyymgm g d yW b
a
* 引力的功和引力势能两个质点之间在引力作用下相对运动时,以 M 所在处为原点,M 指向 m 的方向为矢径的正方向。 m
受的引力方向与矢径方向相反。
P
ba
r
r
E
rr
G M mdr
r
G M mW b
a
111 2
可见。万有引力是保守力。
万有引力的功等于引力势能增量的负值。
引力势能以无穷远为零势能点。
r
G M mdr
r
MmGE
rP
1
2
－＝ M
ma
b
r
* 弹力的功和弹性势能
b akxF
可见，弹性力是保守力。
弹性力的功等于弹性势能增量的负值。
弹性势能以弹簧原长为零势能点。
220
2
1)
2
10( kxkxk x d xE
xP
注意：零势能点可以任意取，前述是一般取法。
Pab
x
x
Ekxkxk x d xW b
a
)
2
1
2
1( 22
说明,
1、只要 有保守力,就 可引入相应的势能 。质点在某一点的势能大小等于在相应的保守力的作用下，由所在点移动到零势能点时保守力所做的功。
2,势能 仅有 相对 意义，所以必须指出零势能参考点。两点间的 势能差是绝对的 。
3,势能是 属于具有保守力相互作用的质点 系统的 。
PEW
保守力的功等于弹性势能增量的负值。
结论,
4,势能和保守力的关系：
势能是保守力对路径的线积分，
baP ldFE ＝
dl
dEF P
l
保守力沿某一给定的 l 方向的分量等于与此保守力相应的势能函数沿
l 方向的空间变化率。
k
z
Ej
y
Ei
x
EkFjFiFF PPP
zyx
若势能为 EP（ x,y,z)
dlFdlFldFdE lPc o s
xEF Px y
EF P
y?
z
EF P
z?
dl lFl
F
BA
四、能量守恒定律
1、质点系的功能原理质点系的动能定理,W外 +W内 =EkB - EkA
因为 W内 =W保内 ＋ W非保内所以 W外 + W保内 ＋ W非保内 = EkB - EkA
又因为 W保内 ＝ － ( EPB－ EPA )
所以 W外 ＋ W非保内 ＝ (EkB+EPB )-(EkA +EPA)
即 W外 ＋ W非保内 ＝ EB - EA
质点系在运动过程中，它所 受外力的功与 系统内非 保守力的功的总和等于它的机械能的增量 。称功能原理。
2、机械能守恒定律
W外 ＝ 0 W非保内 ＝ 0 则 EB ＝ EA＝ 常量如果在只有保守内力做功的情况下，质点系的机械能保持不变。
3、能量守恒定律封闭系统 (不受外界作用的系统 )内有非保守力做功时，机械能不守恒，能量的形式可能变化，也可能在物体之间转移。
一个封闭系统内经历任何变化时，该系统的所有能量的总和保持不变。即,普遍的能量守恒定律。
五、守恒定律的意义及其应用动量守恒角动量守恒能量守恒特点和优点,不追究过程细节而能对系统的状态下结论。
意义,守恒定律的发现、
推广和修正 能推动人们深入认识自然界。
作业,3.26 3.29 4.2 4.8 4.18 4.22
习题指导 4-17
第四次课三、质点的角动量
mo r P
L
θ LPvrm,知注意：作圆周运动的质点的角动量 L＝ m r v
PL
ro
大小,L＝ r m v sin?
方向：右手螺旋定则判定单位,kgm2/s 量纲,ML2T-1
vmrPrL:定义例、一质量为 m的质点沿着一条空间曲线运动，该曲线在直角坐标下的矢径为：
jtbitar s i nc o s
其中 a,b,?
皆为常数，求：该质点对 原点的角动量 。
jtbitadtrdv c o ss i n
vmrL
解,∵
ktma bktma b 22 s i nc o s
km a b
jtbitar s i nc o s
四、角动量定理和角动量守恒定律
1、角动量定理
prL
dt
pdrp
dt
rdpr
dt
d
dt
Ld )(
Frvmv
dt
Ld
vmp? v
dt
rd? F
dt
pd?
令：
FrM
为合外力对同一固定点的力矩
dt
Ld
M
MFr
dt
Ld
vmv
＝
＝
＝
0?
大小,M＝ rFsin? (?为矢径与力之间的夹角 )
方向：右手螺旋定则单位,mN 量纲,ML2T-2
mo
r
F
M
角动量定理：
质点所受的合外力矩等于它的角动量对时间的变化率。
2、角动量守恒定律
dt
LdM ＝?
如果对于某一固定点，质点所受的合外力矩为零，则此点对该固定点的角动量矢量保持不变。
注意,1、这也是自然界普遍适用的一条基本规律。
2,M＝ 0,可以是 r=0,也可以是 F=0,还可能是 r与 F同向或反向，例如有心力情况。
00?
dt
LdM 则＝如果
＝常矢量即 L
L?
r?
v? m
r
L
v
r
例题,p161的例
3.16为证明关于行星运动的开普勒第二定律：行星对太阳的矢径在相等的时间内扫过相等的面积。这个结论也叫 等面积原理 。
五、质心,质心运动定律
1、质心：质点系的质量中心质点系 N个质点质量,m1 m2 m3 … m i … m N
位矢,r1 r2 r3 … r i … r N
质心的位矢：
(m为总质量 ) m
rm
m
rm
r i
ii
i
i
i
ii
c
质心的位矢随坐标系的选取而变化，但对一个质点系，质心的位置是固定的。
直角坐标系中的分量式为：
m
zm
m
ym
m
xm
x i
ii
c
i
ii
c
i
ii
c
z y
质量连续分布时：
mz d mmy d mmx d mx ccc /z /y /
对称物体的质心就是物体的对称中心。
由两个质点组成的质点系，常取质心处
xc= 0 以便于分析和计算。
例：一段均匀铁丝弯成半径为 R的半圆形，求此半圆形铁丝的质心。
解：选如图坐标系，取长为 dl 的铁丝，质量为 dm，
以 λ表示线密度,dm=?dl.
分析得质心应在 y轴上。
RddlRy
m
y d l
y c s i n
注意：质心不在铁丝上 。
2
0
21s i n1 RmRdRmy c
RyRm c 2
2、质心运动定律
c
i
iic vmPPvmvm
质点系的总动量等于它的总质量与它的质心的运动速度的乘积。
i
ii
i
i
i
c
c vm
mdt
rd
m
mdt
rd
v
11
m
rm
r i
ii
c
c
c
c
amF
am
dt
vd
m
dt
Pd
F
质心运动定律：
系统的总质量和质心加速度的乘积等于质点系所受外力的矢量和。
第四章 功和能一,功和功率二,动能定理三,保守力和势能四,能量守恒定律五,守恒定律的意义及其应用一、功和功率
1、恒力的功
rFW记作位移无限小时：
c osrdFrdFdW
dW称为元功功等于质点受的力和它的位移的点积单位,J 量纲,ML2T－ 2
M M
F F
Δr
W=Fcosr
功的其它单位,1eV=1.6× 10-19J
注意,1、功是过程量，与路径有关。 2、功是标量，但有正负。 3、合力的功为各分力的功的代数和。
解析式：
ba zyx dzFdyFdxFW )(
baba rdFdWW
如果力是位置的函数，设质点在力的作用下沿一曲线运动,
在元位移 中将力视为恒力，力沿 ab的功为所有无限小段位移上的元功 dW 之和。
r d
F
m
a
b
×
×
r d
2、变力的功例 1、一陨石从距地面高为 h处由静止开始落向地面，忽略空气阻力，求陨石下落过程中，万有引力的功是多少？
解：取地心为原点，引力与矢径方向相反
a
bh
R
o
R
hR rdFW
)( hRR
G M m h
2?
R
hR
drrMmG
hRRG M mr
drG M m R
hR
11
2
例 2、质量为 2 kg 的质点在力 itF 12＝
(SI)
的作用下，从静止出发，沿 x轴正向作直线运动。求前三秒内该力所作的功。
解：（一维运动可以用标量）
v d ttrdFW 12＝
2
0000
3
2
120 tdttdt
m
Fadtvv ttt
JtdttdtttW 729936312 4
3
0
33
0
2
3、功率 力在单位时间内所作的功
t
WP
平均功率：
单位,W或 Js-1 量纲,ML2T－ 3
dt
dW
t
WP
t
0
lim瞬时功率：
vF
dt
rdFPrdFdW
4、一对作用力和反作用力的功
1111 rdfrm
m1,m2组成一个封闭系统在?t时间内
2211 rdfrdfdW
2222 rdfrm
2112 rrr
)()( 122122 rrdfrdrdfdW21 ff
212 rdfdW
o
r1 r
2
r21
m1 m2
dr1
dr2
f2
f1
两质点间的一对作用力和反作用力所做功之和等于其中一个质点受的力沿着该质点相对于另一质点所移动的路径所做的功。
二、动能定理
1、质点的动能定理
22
2
1
2
1
AB
v
v
B
AAB
mvmvv d vmv d tdtdvmW B
A
＝
合外力对质点所做的功等于质点动能的增量。
BABABAAB rdamrdFrdFW＝
v d trddtdva
定义：动能 Ek = m v2 / 2 WAB = EKB - EKA 。
单位,J 量纲,ML2T－ 2
2、质点系的动能定理质点,m1 m2
内力,初速度：
21 FF
AA vv 21
2
11
2
1111111 2
1
2
1,1
1
1
1
AB
B
A
B
A
vmvmrdfrdFm
外力,末速度：
21 ff
BB vv 21
2
22
2
2222222 2
1
2
1,2
2
2
2
AB
B
A
B
A
vmvmrdfrdFm
两式相加得：
22112211 22112211 BABABABA rdfrdfrdFrdF ＋
即：外力的功之和＋内力的功之和
＝系统末动能－系统初动能记作,W外 ＋ W内 ＝ EKB - EKA
所有外力对质点系做的功和内力对质点系做的功之和等于质点系总动能的增量。
注意：内力能改变系统的总动能，但不能改变系统的总动量。
）＋（＋ 222211222211 21212121 AABB vmvmvmvm
例 3、一链条总长为 l,质量为 m。 放在桌面上并使其下垂，下垂的长度为 a,设链条与桌面的滑动摩擦系数为?，令链条从静止开始运动，则：（ 1）到链条离开桌面的过程中，摩擦力对链条做了多少功？（ 2）链条离开桌面时的速率是多少？
a
l-a
x
O
解,(1)建坐标系如图
lalaf dxxllmgrdfW )(?
负号说明：
摩擦力作负功！
lxlmgf /)(
22 )(
2
)
2
1( al
l
mgxlx
l
mg l
a
(2)对链条应用动能定理：
202 2121,mvmvWWW fP ＋＝据
21222 )()( alallgv得
2
0 2
10 mvWWv
fP ＋?
l
almgx d x
l
mgrdPW l
a
l
aP 2
)( 22
l
almgW
f 2
)( 2前已得出：
2
222
2
1
2
)(
2
)( mv
l
almg
l
almg
说明：
1、动能是状态量，任一运动状态对应一定的动能。
2,?EK为动能的增量，增量可正可负，视功的正负而变
3、动能是质点因运动而具有的做功本领。
三、保守力和势能
1、保守力：某些力对质点 做功的大小只与质点的始末位置有关,而与路径无关。这种力称为 保守力 。
2、势能：在具有保守力相互作用的系统内，
只由质点间的 相对位置决定的能量 称为 势能 。
3、几种保守力和相应的势能
* 重力的功和重力势能
M 在重力作用下由 a 运动到 b,取地面为坐标原点，
y 轴向上为正,a,b 的坐标分别为 ya,yb 。
m g d yrdgmdW
可见，重力是保守力。
Pab EyymgW ＝－)( P
E?
为势能增量重力的功等于重力势能增量的负值。
重力势能以地面为零势能点，
m g yymgm g d yE
yP
)0(0
y a
b
o
)()( baaby
y
yymgyymgm g d yW b
a
* 引力的功和引力势能两个质点之间在引力作用下相对运动时,以 M 所在处为原点,M 指向 m 的方向为矢径的正方向。 m
受的引力方向与矢径方向相反。
P
ba
r
r
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rr
G M mdr
r
G M mW b
a
111 2
可见。万有引力是保守力。
万有引力的功等于引力势能增量的负值。
引力势能以无穷远为零势能点。
r
G M mdr
r
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rP
1
2
－＝ M
ma
b
r
* 弹力的功和弹性势能
b akxF
可见，弹性力是保守力。
弹性力的功等于弹性势能增量的负值。
弹性势能以弹簧原长为零势能点。
220
2
1)
2
10( kxkxk x d xE
xP
注意：零势能点可以任意取，前述是一般取法。
Pab
x
x
Ekxkxk x d xW b
a
)
2
1
2
1( 22
说明,
1、只要 有保守力,就 可引入相应的势能 。质点在某一点的势能大小等于在相应的保守力的作用下，由所在点移动到零势能点时保守力所做的功。
2,势能 仅有 相对 意义，所以必须指出零势能参考点。两点间的 势能差是绝对的 。
3,势能是 属于具有保守力相互作用的质点 系统的 。
PEW
保守力的功等于弹性势能增量的负值。
结论,
4,势能和保守力的关系：
势能是保守力对路径的线积分，
baP ldFE ＝
dl
dEF P
l
保守力沿某一给定的 l 方向的分量等于与此保守力相应的势能函数沿
l 方向的空间变化率。
k
z
Ej
y
Ei
x
EkFjFiFF PPP
zyx
若势能为 EP（ x,y,z)
dlFdlFldFdE lPc o s
xEF Px y
EF P
y?
z
EF P
z?
dl lFl
F
BA
四、能量守恒定律
1、质点系的功能原理质点系的动能定理,W外 +W内 =EkB - EkA
因为 W内 =W保内 ＋ W非保内所以 W外 + W保内 ＋ W非保内 = EkB - EkA
又因为 W保内 ＝ － ( EPB－ EPA )
所以 W外 ＋ W非保内 ＝ (EkB+EPB )-(EkA +EPA)
即 W外 ＋ W非保内 ＝ EB - EA
质点系在运动过程中，它所 受外力的功与 系统内非 保守力的功的总和等于它的机械能的增量 。称功能原理。
2、机械能守恒定律
W外 ＝ 0 W非保内 ＝ 0 则 EB ＝ EA＝ 常量如果在只有保守内力做功的情况下，质点系的机械能保持不变。
3、能量守恒定律封闭系统 (不受外界作用的系统 )内有非保守力做功时，机械能不守恒，能量的形式可能变化，也可能在物体之间转移。
一个封闭系统内经历任何变化时，该系统的所有能量的总和保持不变。即,普遍的能量守恒定律。
五、守恒定律的意义及其应用动量守恒角动量守恒能量守恒特点和优点,不追究过程细节而能对系统的状态下结论。
意义,守恒定律的发现、
推广和修正 能推动人们深入认识自然界。
作业,3.26 3.29 4.2 4.8 4.18 4.22
习题指导 4-17
