第五章 刚体的定轴转动
§ 5.1 刚体的运动
§ 5.2 刚体的 转动 能,转动惯量
§ 5.3 刚体定轴转动的转动定律
§ 5.4 刚体定轴转动的转动定律的应用
§ 5.5 转动中的功和能
§ 5.6 刚体的角动量、角动量定理和角动量守恒定律刚体,任何情况下形状和体积都不改变的物体第五章 刚体的定轴转动
1.平动 ----在运动中，如果连接刚体内任意两点的直线在各个时刻的位置都彼此平行，则这样的运动称为 刚体的平动。
（理想化模型）。 刚体是特殊的质点系,其上各质点间的相对位置保持不变。有关质点系的规律都可用于刚体。
§ 5.1 刚体的运动一,刚体的运动形式刚体做平动时，可用质心或其上任何一点的运动来代表整体的运动。
o
·
o
o
·o?
o?
o?
2,转动
▲ 定轴转动：运动中各质元均做圆周运动,且各圆心都在同一条固定的直线 （ 转轴 ） 上 。
（ 本章着重讨论定轴转动 ）
▲ 定点转动：运动中刚体上只有一点固定不动,整个刚体绕过该定点的某一瞬时轴线转动 （ 如陀螺的运动 ） 。
3.平面运动刚体上各点都平行于某一固定平面的运动称为刚体的平面运动,又称为刚体的平面平行运动 。
4.一般运动刚体不受任何限制的的任意运动,称为刚体的一般运动 。 它可视为刚体的平动和转动的叠加,
二,刚体转动的描述
（ 1）角量的描述为反映瞬时轴的方向及刚体转动的快慢和转向，引入角速度矢量
td
d
td
d
一般情况下，并不一定沿着瞬时轴。
O
v
ω
r
r P
×
瞬时轴刚体r?
式中 是刚体绕瞬时轴转动的无限小角位移。规定 角速度的方向沿瞬时轴,且与刚体转向成右手螺旋关系。
d
为反映刚体角速度的变化情况,引入角加速度 矢量,
（ 2）线量和角量的关系称作向轴加速度 。
rrv
v
v
r
t
r
r
tt
a
d
d
d
d
d
d
r
v
刚体上任意点 P点线速度：
P点线加速度,
称作旋转加速度；
O
v
ω
r
r P
×
瞬时轴刚体
r?
r?
v?
（ 3） 定轴转动刚体上各点都绕同一轴作圆周运动,且各点都分别相同,且用正负表示方向,
、
rr
r
t
r
t
a
rra
t
n
d
d
d
vd
22
当 时,.c o n s t
)(2
2
1
)(
0
2
0
2
2
0
0
tt
t
z
Z
刚体
O
v
P
ω,α
r
定轴
参考方向
r?
,
（ 其描述方法类同圆周运动）
当 时？.c o n s t
§ 5,2 刚体 转动的动能,转动惯量一、刚体定轴转动的动能刚体上所有质元的动能之和为：
i
ii
i
iiK
rm
vmE
2
2
)(
2
1
2
1
z
Z
刚体
v
ω,α
r
定轴
ir
,
im?
iv
22 )(
2
1
i
ii rm
2
2
1?JE
K?
i
ii rmJ
2令称为刚体的 转动惯量刚体的 转动动能二,刚体的 转动惯量
* 刚体的质量
* 转轴的位置
* 质量分布
i
ii rmJ
2＝
若质量连续分布 dmrJ 2
描述刚体的 转动惯量的物理量
1、与转动惯量有关的因素：
J 的 单位：
2mKg? 量綱,2LM在（ SI） 中
dm简称质元
2、转动惯量的 计算方法：
dldm
dsdm
dVdm
质量为线分布质量为面分布质量为体分布其中?,?,?分别为质量的线密度、面密度和体密度。
线分布 面分布 体分布例 1,求质量为 m,半径为 R的均匀圆环的转动惯量。
轴与圆环平面垂直并通过圆心。
解：
222 mRdmRdmRJ
J 是可加的，所以若为薄圆筒（不计厚度）结果相同。
例 2,求质量为 m,半径为 R,厚为 l的均匀圆盘的转动惯量。轴与盘平面垂直并通过盘心 。
解,取半径为 r宽为 dr的薄圆环,
l O
R r drldrrdm 2
drlrdmrdJ 32 2
RO
dm
lRdrlrdJJ R 4
0
3
2
12
可见，转动惯量与 l 无关。所以，实心圆柱对其轴的转动惯量也是 mR2/2。
例 3、求长为 L,质量为 m的均匀细棒对图中不同轴的转动惯量。
解：取如图坐标,dm=?dx
12/22
2
2 mLdxxJ
L
LC
2
2 2
1 mRJ
lR
m
3/20 2 mLdxxJ LA A B
L/2 L/2
C
X
dx
A B
L X
X
dx
o
o
2、平行轴定理前例中 JC表示相对通过质心的轴的转动惯量,JA表示相对通过棒端的轴的转动惯量。两轴平行，相距 L/2。 可见：
222
2
3
1
4
1
12
1
2
mLmLmLLmJJ CA
＋＝
推广上述结论，若有任一轴与过质心的轴平行，相距为 d,刚体对其转动惯量则有：
J＝ JC＋ m d2。
次结论称为 平行轴定理 。
A B
L/2 L/2
C
X
dx
右图所示刚体对经过 棒端 且与棒垂直的轴的转动惯量如何计算？ (棒长为 L,圆半径为 R）
2
1 3
1 LmJ
LL?
2
2
1 RmJ
oo?
222 )(
2
1
3
1 RLmRmLmJ
ooL
据 J＝ JC＋ m d2。
z
Oi r
i
fi Fit
Fi
§ 5,3 刚体定轴转动的转动定律对?mi用牛顿第二定律：
切向分量式为：
Fit+fit=?miait=?miri?
切向分力与圆的半径及转轴三者互相垂直两边乘以 ri,有：
Fit ri +fit ri =?miri2?
外力矩 内力矩
mi
iiii amfF
fit
对所有质元的同样的式子求和：
∑Fit ri+∑fit ri= ∑?miri2?
一对内力的力矩之和为零，所以有
∑Fit ri = （ ∑?miri2）?
式中 J 表示 ∑?mi ri2 转动惯量用 M表示 ∑Fit ri（ 合外力矩 ）
则有 M＝ J?
即 刚体定轴转动的 转动定律
fij?mj?m
i
fjiro rj
riOi
Z
刚体所受的对于 某一固定转动轴 的 合外力矩 等于刚体 对此转轴 的 转动惯量 与刚体 在 此合外力矩 作用下所获得的 角加速度 的乘积。
例 1,如图所示，一个质量为 m 的物体与绕在定滑轮上的绳子相联，绳子的质量可以忽略，它与定滑轮之间无滑动．假设定滑轮质量为
M、半径为 R,其转动惯量为
MR2/2,试求,该物体由静止开始下落的过程中，下落速度与时间的关系．
m
M
R
§ 5,4 刚体定轴转动的转动定律的应用解,根据牛顿定律和转动定律列方程
maTmg
Ra?
)2/( Mmm g/a
将（ 1）（ 2）（ 3）式联立得：
运动学关系,（ 3）
对滑轮,（ 2）?JTR?
（ 1）对物体,
)2/( Mmm gt/atv
00?v? T
M
R
T
gm
a
例 2,一轻绳跨过两个质量为 m、半径为 r
的均匀圆盘状定滑轮,绳的两端分别挂着质量为 2 m 和 m 的重物,如图所示,绳与滑轮间无相对滑动,滑轮轴光滑,两个定滑轮的转动惯量均为 mr2/2,将由两个定滑轮以及质量为 2m 和
m 的重物组成的系统从静止释放,
m m2
rm,rm,求,重物的加速度和两滑轮之间绳内的张力。
解：
①
②
③
④
⑤
,4/ga?得
T3
mg
T2 T2
T3
T1
mg2
T1
ra?
mamgT3
221)( 21 mrrTT
maTmg 22 1
4/52 mgT?
221)( 32 mrrTT
例 3,以 30N·m 的恒力矩作用在有固定轴的飞轮上,在 10s 内飞轮的转速由零增大到
5rad/s,此时移去该力矩,飞轮因摩擦力距的作用经 90s 而停止,试计算此飞轮对其固定轴的转动惯量。
内有用下，在恒力矩和摩察力矩作 s100?
解：
111 t
①
②
1?JMM r
:s900 内有移去力矩后,?
2210 t
③
④
2?JM r
由 ②
1
1
1 t
得分别代入得
2
1
2 t
由 ④
① ③,
然后两式相减得：
tt
ttMJ
211
21
2kg54 m )9010(5
901030
作业：
5.2 5.8
5.11 5.12
§ 5.1 刚体的运动
§ 5.2 刚体的 转动 能,转动惯量
§ 5.3 刚体定轴转动的转动定律
§ 5.4 刚体定轴转动的转动定律的应用
§ 5.5 转动中的功和能
§ 5.6 刚体的角动量、角动量定理和角动量守恒定律刚体,任何情况下形状和体积都不改变的物体第五章 刚体的定轴转动
1.平动 ----在运动中，如果连接刚体内任意两点的直线在各个时刻的位置都彼此平行，则这样的运动称为 刚体的平动。
（理想化模型）。 刚体是特殊的质点系,其上各质点间的相对位置保持不变。有关质点系的规律都可用于刚体。
§ 5.1 刚体的运动一,刚体的运动形式刚体做平动时，可用质心或其上任何一点的运动来代表整体的运动。
o
·
o
o
·o?
o?
o?
2,转动
▲ 定轴转动：运动中各质元均做圆周运动,且各圆心都在同一条固定的直线 （ 转轴 ） 上 。
（ 本章着重讨论定轴转动 ）
▲ 定点转动：运动中刚体上只有一点固定不动,整个刚体绕过该定点的某一瞬时轴线转动 （ 如陀螺的运动 ） 。
3.平面运动刚体上各点都平行于某一固定平面的运动称为刚体的平面运动,又称为刚体的平面平行运动 。
4.一般运动刚体不受任何限制的的任意运动,称为刚体的一般运动 。 它可视为刚体的平动和转动的叠加,
二,刚体转动的描述
（ 1）角量的描述为反映瞬时轴的方向及刚体转动的快慢和转向，引入角速度矢量
td
d
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一般情况下，并不一定沿着瞬时轴。
O
v
ω
r
r P
×
瞬时轴刚体r?
式中 是刚体绕瞬时轴转动的无限小角位移。规定 角速度的方向沿瞬时轴,且与刚体转向成右手螺旋关系。
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为反映刚体角速度的变化情况,引入角加速度 矢量,
（ 2）线量和角量的关系称作向轴加速度 。
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v
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刚体上任意点 P点线速度：
P点线加速度,
称作旋转加速度；
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瞬时轴刚体
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（ 3） 定轴转动刚体上各点都绕同一轴作圆周运动,且各点都分别相同,且用正负表示方向,
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,
（ 其描述方法类同圆周运动）
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§ 5,2 刚体 转动的动能,转动惯量一、刚体定轴转动的动能刚体上所有质元的动能之和为：
i
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2令称为刚体的 转动惯量刚体的 转动动能二,刚体的 转动惯量
* 刚体的质量
* 转轴的位置
* 质量分布
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2＝
若质量连续分布 dmrJ 2
描述刚体的 转动惯量的物理量
1、与转动惯量有关的因素：
J 的 单位：
2mKg? 量綱,2LM在（ SI） 中
dm简称质元
2、转动惯量的 计算方法：
dldm
dsdm
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质量为线分布质量为面分布质量为体分布其中?,?,?分别为质量的线密度、面密度和体密度。
线分布 面分布 体分布例 1,求质量为 m,半径为 R的均匀圆环的转动惯量。
轴与圆环平面垂直并通过圆心。
解：
222 mRdmRdmRJ
J 是可加的，所以若为薄圆筒（不计厚度）结果相同。
例 2,求质量为 m,半径为 R,厚为 l的均匀圆盘的转动惯量。轴与盘平面垂直并通过盘心 。
解,取半径为 r宽为 dr的薄圆环,
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可见，转动惯量与 l 无关。所以，实心圆柱对其轴的转动惯量也是 mR2/2。
例 3、求长为 L,质量为 m的均匀细棒对图中不同轴的转动惯量。
解：取如图坐标,dm=?dx
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2、平行轴定理前例中 JC表示相对通过质心的轴的转动惯量,JA表示相对通过棒端的轴的转动惯量。两轴平行，相距 L/2。 可见：
222
2
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＋＝
推广上述结论，若有任一轴与过质心的轴平行，相距为 d,刚体对其转动惯量则有：
J＝ JC＋ m d2。
次结论称为 平行轴定理 。
A B
L/2 L/2
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X
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右图所示刚体对经过 棒端 且与棒垂直的轴的转动惯量如何计算？ (棒长为 L,圆半径为 R）
2
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§ 5,3 刚体定轴转动的转动定律对?mi用牛顿第二定律：
切向分量式为：
Fit+fit=?miait=?miri?
切向分力与圆的半径及转轴三者互相垂直两边乘以 ri,有：
Fit ri +fit ri =?miri2?
外力矩 内力矩
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对所有质元的同样的式子求和：
∑Fit ri+∑fit ri= ∑?miri2?
一对内力的力矩之和为零，所以有
∑Fit ri = （ ∑?miri2）?
式中 J 表示 ∑?mi ri2 转动惯量用 M表示 ∑Fit ri（ 合外力矩 ）
则有 M＝ J?
即 刚体定轴转动的 转动定律
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刚体所受的对于 某一固定转动轴 的 合外力矩 等于刚体 对此转轴 的 转动惯量 与刚体 在 此合外力矩 作用下所获得的 角加速度 的乘积。
例 1,如图所示，一个质量为 m 的物体与绕在定滑轮上的绳子相联，绳子的质量可以忽略，它与定滑轮之间无滑动．假设定滑轮质量为
M、半径为 R,其转动惯量为
MR2/2,试求,该物体由静止开始下落的过程中，下落速度与时间的关系．
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M
R
§ 5,4 刚体定轴转动的转动定律的应用解,根据牛顿定律和转动定律列方程
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将（ 1）（ 2）（ 3）式联立得：
运动学关系,（ 3）
对滑轮,（ 2）?JTR?
（ 1）对物体,
)2/( Mmm gt/atv
00?v? T
M
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例 2,一轻绳跨过两个质量为 m、半径为 r
的均匀圆盘状定滑轮,绳的两端分别挂着质量为 2 m 和 m 的重物,如图所示,绳与滑轮间无相对滑动,滑轮轴光滑,两个定滑轮的转动惯量均为 mr2/2,将由两个定滑轮以及质量为 2m 和
m 的重物组成的系统从静止释放,
m m2
rm,rm,求,重物的加速度和两滑轮之间绳内的张力。
解：
①
②
③
④
⑤
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例 3,以 30N·m 的恒力矩作用在有固定轴的飞轮上,在 10s 内飞轮的转速由零增大到
5rad/s,此时移去该力矩,飞轮因摩擦力距的作用经 90s 而停止,试计算此飞轮对其固定轴的转动惯量。
内有用下，在恒力矩和摩察力矩作 s100?
解：
111 t
①
②
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作业：
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