第 2章 电路的等效变换
2.1 电阻的串、并、混联
2.2 Δ形和 Y形电阻电路的等效变换
2.3 两种电源模型的等效变换
2.4 受控源及其等效变换
小结
2.１电阻的串、并、混联
2.1.1
1,等效串联电阻及分压关系
R＝ R１ +R２ +R３ （ 2— 4）
图 2.1电阻串联及其等效电路
＋ －
a
R
1
U
1
＋ －
R
2
U
3
R
3
＋
－
U
2
b
I
( a )
＋
－
U
a
＋
－
RU
b
I
( b )
在串联电路中,若总电压 U为已知,于是根据式 (2— 3)和式 (2— 4),各电阻上的电压可由下式求出：
2,串联电阻的功率分配关系
RRRUUU
R
R
IRU
R
R
IRU
R
R
IRU
U
U
U
321321
3
33
2
22
1
11
:::,?
（ 2— 5）
式 (2.5)为串联电阻的分压公式； 由此可得
RRRPPP
RIPRIPRIP
PPPP
IUIUIUIU
321321
3
2
32
2
21
2
1
321
321
::::
,,
各电阻消耗的功率可以写成如下形式：
故有例 2.1 有一量程为 100mV,内阻为 1kΩ的电压表 。 如欲将其改装成量程为 U1=1V,U2=10V,U3=100V的电压表,
试问应采用什么措施?
图 2.2 例 2.1图
＋
－ U
1
U
g
U
2
U
3
R
1
R
2
R
3
R
g
－
解,
kRU
UR
R
RR
U
U
g
g
g
g
g
91)1
1 0 0
1()1( 10
10
3
3
1
1
11
则
kRRR
k
U
U
RRR
R
RRRR
U
U
kRR
R
U
U
RR
R
RRR
U
U
g
g
g
g
g
g
g
g
g
g
k
9 0 09 9 9
9 9 910
101 0 0
1 0 0
9099
99101
101 0 0
10
(
213
3
3
321
3213
12
3
3
2
21
2
2
)1
3
()1(
)(
)1()1(
)
所以
2.1.2
1,等效并联电阻及分流关系图 2.3电阻并联及其等效电路
a
R
3
b
I
( a )
＋
－
U
I
3
( G
3
)
R
2
I
2
( G
2
)
R
1
I
1
( G
1
)
a
＋
－
RU
b
I
( b )
( G )
RRRR
GGGG
321
321
1111
（ 2— 9）
（ 2— 10）
在并联电路中,若总电流 I为已知,于是根据式 (2—8)和式 (2—
9),各电导支路的电流由下式求出：
2,并联电阻的功率分配关系若给式 (2—6)两边各乘以电压 U,则得各电导所消耗的功率可以写成如下形式：
上式说明各并联电导所消耗的功率与该电导的大小成正比，
即与电阻成反比。
3,两电阻并联时的等效电阻计算及分流公式
PPPP
IUIUIUIU
321
321
即
GGGPPP GUPGUPGUP 321321 3
2
32
2
21
2
1
::::
,,
故有
RR
R
I
I
RR
R
I
RR
RR
RRR
21
1
2
21
2
1
21
21
21
//
（ 2— 12）
（ 2— 13）
例 2.2 有一量程为 100 μA,内阻为 1.6 kΩ的电流表,如欲将其改装成量程 I1=500μA,I2=5mA,I3=50mA的电流表 。 试问应采取什么措施?
图 2.4 例 2.2图图中 Rg为电流表内阻,Ig为其量程,R1,R2,R3为分流电阻 。
首先求出最小量程 I1的分流电阻,此时,I2,I3的端钮均断开,分流电阻为 R1+R2+R3,根据并联电阻分流关系,
0 3 2 1
R
1
R
2
R
3
R
g
I
g
I
2
I
3 I 1
4 0 0
10)1 0 05 0 0(
106.1101 0 0
6
36
1
321
1
321
321
II
RIRRR
IRRRR RRRI
g
g
g
所以当量程 I2=5mA时,分流电阻为 R2+R3,而 R1与 Rg相串联,根据并联电阻分流关系,有
36040400
404001600
105
10100
1
3
6
321
2
32
2
321
32
)()(
R
RRRR
I
I
RR
I
RRRR
RRI
g
g
g
g
故当量程 I3=50mA时,分流电阻为 R3,R1,R2均与 Rg相串联,同理有
440016001050 10100 )()( 3 6321
3
3 RRRRI
IR
g
g
所以,R2=40－４ =36 Ω。 对应各量程电流表内阻为
2.39
1600436360
1600360436
320
1600436360
436360
)()())((
)()(
321
123
02
321
321
01
RRRR
RRRR
R
RRRR
RRRR
R
g
g
g
g
2.1.3
既有电阻串联又有电阻并联的电路称为电阻混联电路 。 对于电阻混联电路,可以应用等效的概念,逐次求出各串,并联部分的等效电路,从而最终将其简化成一个无分支的等效电路,通常称这类电路为简单电路； 若不能用串,并联的方法简化的电路,则称为复杂电路 。
例 2.3 求图 2.5(a)所示电路中的 Uab和 I
解 对此种电路的处理方法可以归纳为三步,设电位点； 画直观图；利用串,并联方法求等效电阻 。 据此,原电路可逐步简化成无分支电路,如图 2.5(b),(c),(d)所示,相关等效电阻为
4992.31600436360 1600363604 )()(
321
321
03 RRRR
RRRRR
g
g
1 4 43 6 02 4 0 3 6 02 4 0
903 6 01 2 0 3 6 01 2 0
R
R
( c )
240?
c
＋ －
1 2 0 V
270? 90?
d
( d )
＋ －
1 2 0 V
144?I
总
a
U
b
( a )
＋－
270?
160?140?
c
＋
－
1 2 0 V 100? 200?
120?
I
e
d
( b )
100?
200?
I
d
120?
160?
120 V
c
e
a
b
＋ －
140?
I
3
I
2
I
1
I
总
270?
图 2.5 例 2.3图由图 2.5(d)可求出总电流为
AI 651 4 41 2 0总最后回到图 2.5(b),利用分流公式可得
AI 3190270100140 100140651
例 2.4 求图 2.6(a)所示电路中 a,b两端的等
A
A
A
A
U
I
I
I
ab
3
100
100
2
1
200
12
1
12
1
120200160
120
3
1
4
1
120200160
200160
3
1
2
1
90270100140
90270
6
5
3
2
( b )
a bdc
6?
3?
4?
4?
4?
6?
( a )
a
3?
b
cc
d
6?
6?
4?
4? 4?
( d )
3?
2?
b
a
( c )
ba
4?2?
6?
2?
解 按三步处理法逐步化简,可得图 2.6(b),(c),(d),由此可得
Rab=2+3=5Ω
作业,P29页 （ 1）
P（ 46— 47）页 2.6 2.7
２,２ Δ和 Y
1,Δ和 Y形 电路等效变换的原则
RRR
RRR
RR
RRR
RRR
RR
RRR
RRR
RR
312312
231231
13
312312
311223
32
312312
312312
21
)(
)(
)(
2,Δ形变换 Y形的公式将 Δ形电路变换成 Y形电路,就是已知 Δ 形电路中的三个电阻 R１２,
R２３,R３１,待求量为等效 Y形电路中的三个电阻 R１,R２,R３ 。
为此,只须将式 (2—14),(2—15)和式 (2—16)相加后除以 2,可得
RRR RRRRRRRRR 312312 311231231223321
（ 2— 14）
（ 2— 15）
（ 2— 16）
（ 2— 17）
从式 (2— 17)中分别减去式 (2— 15),(2— 16)和式 (2— 14),可
RRR
RR
R
RRR
RR
R
RRR
RR
R
312312
3123
3
312312
2312
2
312312
3112
1
以上三式就是 Δ形电路变换为等效 Y形电路的公式 。 三个公式可概括为形中电阻之和形中相邻两电阻的乘积
R
Y
当 Δ形电路的三个电阻相等时,即
RRRR
RRRR
3
1
321
312312则
（ 2— 18）
（ 2— 19）
（ 2— 20）
（ 2— 21）
3,Y形变换成 Δ形的公式将 Y形电路变换成 Δ形电路,就是已知 Y形电路中的三个电阻 R１,
R２,R３,待求量为等效 Δ形电路中的三个电阻 R１２,R２３,R３１ 。
为此,只须将式 (2—18),(2—19)和式 (2—20)两两相乘后再相加,经化简后可得
RRR RRRRRRRRR 312312 312312133221 （ 2— 22）
R
RR
RRR
R
RR
RRR
R
RR
RRR
3
13
1331
1
23
3223
3
21
2112
将式 (2— 22)分别除以式 (2— 20),(2— 18)和式 (2— 19),可得
（ 2— 23）
（ 2— 24）
（ 2— 25）
以上三式就是 Y形电路变换为等效 Δ形电路的公式 。 三个公式可概括为应当指出,上述等效变换公式仅适用于无源三端电路。
例 2.5 在图 2.9(a)所示电路中,已知 R１ =10Ω,R２ =30Ω,
R３ =22Ω,R４ =4Ω,R５ =60Ω,UＳ =22V,求电流 I。
形中对面的电阻 和形中两两电阻的乘积之R
当 Y形电路的三个电阻相等时,即
RRRR 321
（ 2— 25）
（ 2— 26）
RRRR 3312312则
( a )
R
1
db
c
a
R
4
R
5
R
2 R
3
I
＋
U
S
－
( b )
R
a
d
b
c
a
R
4
R
c R 3
I
＋
U
S
－
R
b
图 2.9 例 2.5 图解 这是一个电桥电路,既含有 Δ形电路又含有 Y形电路,因此等效变换方案有多种,现仅选一种,如图 2.9(b)所示 。 根据式
(2—18),(2—19)和式 (2—20)
18
603010
6030
3
603010
3010
6
603010
6010
521
52
521
21
321
51
RRR
RR
R
RRR
RR
R
RRR
RR
R
c
b
a
再用串,并联的方法求出等效电 Rbd
11
422186
221846
3
))((
))((
43
34
RRRR
RRRRRR
ca
ca
bbd
则总电流
ARUI
bd
s 21122
例 2.6 图 2.10(a)所示电路为计算机数模网络的简化电路,
试证明：
(1) 当开关 S扳至位置 1时,
(2) 当开关 S扳至位置 2时,
证明 (1) 开关 S扳至位置 1时的电路可依次等效为图 2.10(b)、
(c),(d)。 根据图 2.10(d),可得
UU
UU
sab
sab
12
7
3
1
URRRUU ssab 312
( a )
a
U
S
b
R R
2 R 2 R
2 R 2 R 2 R
S
12
( b )
a
b
＋
U
S
2 R
2 R2 R2 R2 R
R R
－
( c )
a
b
＋
U
S
2 R
2 R2 R
－
( d )
a
b
＋
U
S
2 R
R
－
( e )
a
b
R R
2 R 2 R 2 R
2 R
2 R
＋
U
S
－
( f )
a
b
R
1
2 R R
2
2 R
2 R ＋
U
S
R
3
2 R
－
( g )
a
b
( 5 / 2 ) R
R 2 R
2 R
2 R ＋
U
S
10
7
R
10
7
－
( h )
a
b
R
4
2 R2 R ＋
U
S
R
5
R
6
－
( i )
a
b
R
7
2 R
＋
U
S
R
8
R
9
－
图 2.10 例 2.6图
(2) 当开关 S扳至位置 2时,等效电路如图 2.10(e)所示,该电路含有多个 Δ形电路和 Y形电路,等效方案也有多种,首先将 R,2R
和 R组成的 Y形电路变换成 Δ电路,如图 2.10(f)所示,其中将图 2.10(f)中的电阻 R2与其左边的 2R,R3与其右边的 2R合并可得图 2.10(g),相关数据已标注在图上,将图 2.10(g)中的 Δ形电路变换成 Y形电路如图 2.10(h)所示 。 其中
R
R
RR
RRR
R
R
RR
RRR
R
R
RR
RRR
5
2
2
5
2
2
5
2
3
2
1
R
RRR
RR
R
RRR
R
RRR
RR
R
21
8
7
10
7
10
2
5
7
10
7
10
3
2
3
2
7
10
7
10
2
5
7
10
2
5
6
45
将图 2.10(h)中的 2R与 R4,R5,R6组成的 Y形电路再变换形成
Δ形电路并加以整理,如图 2.10(i)所示 。 其中
R
R
RR
RRR
R
R
RR
RRR
R
R
RR
RRR
8
21
8
3
2
3
8
3
2
3
8
7
8
3
8
21
8
3
2
21
8
3
2
7
32
3
2
21
8
3
8
21
8
3
8
9
8
7
UR
RR
UU
S
s
ab 12
7
10
16
10
16
7
8
所以作业,P（ 47— 48） 2.10 2.11 2.13
P34页 （ 2）
2.3 两种电源模型的等效变换
1,两种电源模型的等效条件对于图 2.14(a),根据 KVL,有对于图 2.14(b),根据 KCL,有
IRUU SUS
IRIRU
R
UII
SISSI
SI
S
即
（ 2— 27）
（ 2— 28）
比较式 (227)和式 (228),若
IR IRU SISU SSIS?
则这两种电源模型的外部电压,电流关系完全相同,因此,
对外电路而言,它们是等效的 。 式 (2—29)也可以写成另一种形式,即
( a ) 电压源模型
＋
－
R
SU
U
S
＋
－
U
I
( b ) 电流源模型
I
＋
－
UR SII S
图 2.14两种电源模型图 2.15电流源模型等效变换为电压源模型图 2.16电压源模型等效变换为电流源模型
＋
－
U
I
2A 5?
I
＋
－
U
U
S
R
S
＋
－ －
＋
U
OC
I
＋
－
U
1 2 V
4?
＋
－ ＋
－
U
I
I
S R SI SC
2,几点说明
（ 1）电源模型的内部是不等效的。
（ 2）理想电压源与理想电流源不能相互等效变换。
（ 3）两种电源模型的等效变换可以进一步理解为含源支路的等效变换 。
例 2.8 如图 2.18(a)所示电路,求电位 φA
5 A 8?
( a )
＋
－
1 0 0 V
10?
20?
20? 8?
1?
A
5 A
( b )
1 0 A
1?
4?10?10?
A
5 A 5?
( c )
4?
1?
A
I
图 2.18 例 2.8图解 对于有几个接地点的电路,可以将这几个接地点用短路线连接在一起,这样做以后与原来是等效的 。 然后应用电阻串,并联及电源等效变换原理可将图 2.18(a)依次等效变换为图 2.18(b),(c),
由图 2.18(c)可得
VI
AI
A
105.244
5.25
415
5
例 2.9 试求图 2.19(a)所示电路中的电流 I１,I2,I3。
3?
( a )
2?
I
3
I
2
I
1
2 A
2?
6 V
＋
－
＋ －
3 V
2?a c
b
3?
( b )
2?3 A
＋ －
3 V
2?a c
b
6 V
2?
＋
－
1?
( c )
2?
3 V
Ia c
b
3 V
3?
6 V
＋
－
＋
－
＋ －
图 2.19 例 2.9图解 根据电源模型等效变换原理,可将图 2.19(a)依次变换为图
2.19(b)(c)。 根据图 2.19(c)可得
AI 1123 336
从图 2.19(a)变换到图 2.19(c),只有 ac支路未经变换,故知在图
2.19(a)的 ac支路中电流大小方向与已求出的 I完全相同,即为 1 A，
则
AI 1122
为求 I１ 和 I２,应先求出 Uab。 根据图 2.19(c),有
VU ab 413
再根据图 2.19(a),有
A
A
A
UI
III
UI
ab
ab
1
2
6
1
2
2
1
21
2
例 2.10 试计算图 2.20(a)所示电路中的电压 Ｕ 。
1?
( a )
1?
1 0 A
2?
1 0 V
＋
－
＋－
1 0 V
1?
1 0 V
＋
－
＋
－
U
( b )
2?
5 A
＋－
1 0 V
1?
U
1?
＋
－
1 0 A 1 0 A1?
1?
( c )
1 0 A
1 0 V
＋
－
＋－
1 0 V
1?
＋
－
U
2
3
( d )
U
＋
－
1 0 A1?
5
3
图 2.20 例 2.10图解 根据电源模型等效变换原理,可将图 2.20(a)依次变换为图 2.20(b),(c),(d)。 根据图 2.20(d)
VU
4
25
3
5
3
5
10
作业,P（ 48— 49）页
2.16 2.17 2.17
２,４ 受控源及其等效变换
1,四种理想受控源模型
u
1
＋
－
u
2
＋
－
＋
－
u
1
( a ) V C V S
i
1
u
2
＋
－
＋
－
i
1
( b ) C C V S
u
1
＋
－
g u
1
( c ) V C C S
i
2
i
1
i
1
( d ) C C C S
i
2
图 2.23 四种理想受控源
2,四种实际受控源模型
u
1
＋
－
g u
1
( c ) V C C S
i
2
＋
－
u
2
R
o
R
i
i
1
( d ) C C C S
i
2
＋
－
u
2
R
o
R
i
i
1
u
1
＋
－
u
1
( a ) V C V S
＋
－
u
2
R
i
＋
－
R
o
u
1
i
1
( b ) C C V S
＋
－
u
2
R
i
＋
－
R
o
i
1
图 2.24 四种实际受控源
3,受控的实际及其等效变换图 2.25 受控源举例
i b
( b )
i c
r i
i b
CB
E
( a )
i c
i b
C
B
E
例 2.11 试求图 2.26所示电路中的 US。
解 0.2I电流源 (CCCS)与 4Ω电阻相串联,流经 4Ω电阻的电流为
＋
－
U
S
2?
5?
I
1
0,2 I
4?
＋
－
U = 0,8 V
I a
b
图 2.26 例 2.11图例 2.12 化简图 2.27所示的电路。
A
A
A
I
U
1
2.0
2.0
2.02.0
2.0
4
8.0
4
此电流应与 CCCS的电流相等,即所以根据 KCL有
V
A
A
U
UIU
U
IIII
S
SS
ab
624
224
458.0
8.02.02.01
所以根据 KVL有
＋
－
1 6 V
1,6 k?
＋
－
U
I
( c )
＋
－
1 6 V
＋
－
U
I
( b )
1 k?1 k?＋－
400 I
＋
－
1 6 V
＋
－
U
I
( a )
1 k?1 k?
0,4 I
图 2.27 例 2.12图解 将 0.4I与 1kΩ并联的受控电流源等效变换成 400I与 1kΩ
相串联的受控电压源,如图 2.27(b)所示,其中 U与 I的关系为
kI IIUR
IIIU
O 6.1
1600
161600162000400
令上式中的 I=0,则 U=16就是电压源的开路电压 UOC,该电压源的内阻为例 2.13 求图 2.28(a)所示电路的输入电阻 Ri
I
1
( a )
3?
I
2
2?
R
i
2 I
1
＋
－
I
1
( b )
3?
I
2
2?
2 I
1
I
S
U
S
图 2.28 例 2.13图解 由于电路中含有受控源,不能直接应用电阻串,并联的方法进行化简,因此可以设想在入口两端施加一个电压源 US，
则会产生端钮电流 IS,如图 2.28(b)所示 。 故 Ri可由下式计算：
6
6
61
2
32
2 121
U
U
I
U
R
UUUU
IIII
I
U
R
S
S
S
S
i
SSSS
S
S
S
i
对于图 2.28(b),有则
Ri为负值,意味着 Ri所消耗的功率为负,说明该电路是向外电路提供能量的 。
例 2.14 求图 2.29(a)所示电路中的电流 I及电压 U。
图 2.29 例 2.14图
I
1
( a )
3?
0,5 I
1
＋
－
7A
＋
－
U
1?
I
1
( b )
1?
3?
0,5 I
1
U
＋
－
7A
解 将图 2.29(a)电路等效变换成图 2.29(b)所示电路,根据图
2.29(b)所示电路,于是有
VIU
AI
II
63
2
5.0713 1
1
1
1
)(
解得所以例 2.15 将图 2.30(a)所示电路简化成一个电压源的形式 。
解 该电路既有独立源,又有受控源,可以把它们同样处理 (但必须把控制变量所在支路保留不动 )。
＋
－
U
S
＋
－
U
I
( b )
R
1
R
2
R
3
I
S
＋－
R
1
I
＋
－
R
1
＋ R
2
＋
－
U
( c )
R
3
I
S
U
S
I
－ R
1
I R
1
＋ R
2
＋
－
U
( d )
R
3
I
S
I
R
1
＋ R
2
U
S
R
1
＋ R
2
R
1
I
＋
－
U
S
＋
－
U
I
( a )
R
1
I
R
2
R
3
I
S
＋
－
U
( f )
I
－
R
1
＋ R
2
＋ R
3
U
S
＋ I
S
( R
1
＋ R
2
) － R
1
I
＋
R
1
＋ R
2
＋
－
U
( e )
R
3
I
I
S
＋
R
1
＋ R
2
U
S
R
1
＋ R
2
R
1
I
－
＋
－
U
( g )
I
－
R
2
＋ R
3
＋ (1 － ) R
1
U
S
＋ I
S
( R
1
＋ R
2
)
＋
图 2.30 例 2.15图根据图 2.30(f),有
RRRIRRIU RRRIIRRRIUU SS SS 32121 321121 )()( )()( 1
从上式可得等效电路如图 2.30(g)所示。
作业,P（ 49— 50）页
2.18 2.20 2.22
小 结本章内容始终贯穿着,等效,这条主线,这是电路理论中一个非常重要的概念 。 所谓两个结构和元件参数完全不同的电路,等效,,
是指它们对外电路的作用效果完全相同,即它们对外端钮上的电压和电流的关系完全相同 。 因此将电路中的某一部分用另一种电路结构与元件参数代替后,不会影响原电路中留下来末作变换的任何一条支路中的电压和电流 。 据此便可推出各种电路的等效变换关系,从而极大地方便了电路分析和计算 。
(１ ) 在电阻串联电路中：
① 通过各电阻的电流相同 。
② 等效电阻Ｒ等于各电阻之和,即
.,.
.,.
321
321
UUUU
RRRR
③ 电路的总电压等于各电阻上电压之和,即
④ 分压公式
(２ ) 在电阻并联电路中：
① 各电阻两端的电压相同 。
② 等效电导等于各电导之和,即
..,,,332211 URRUURRUURRU
,.,.,,
..,
..,
3
3
2
2
1
1
321
21
21
321
I
G
G
II
G
G
II
G
G
I
IIII
RR
RR
R
GGGG
当只有两个电阻并联时,等效电阻为
③ 电路中的总电流等于各电流之和,即
④ 分流公式
(3) 在等效原则下推导出的 Δ形和 Y形电路的等效互换公式,使得对无源三端式电路的化简变得容易,特别是当 Δ形或 Y形电路的电阻相等时,使用公式进行两种电路之间的相互变换尤显方便 。
(４ ) 一个具有内阻的实际电源,可以选用电压源模型或电流源模型来表征,即两种电源模型对外电路可以等效互换 。 这是在等效原则下得出的又一结论 。 这一结论将使我们在求解电路时,思路更广阔,办法更多样 。
(5) 受控源与独立源虽有本质的不同,既然也被称作电源,因此,在电路分析中对其处理方法 (包括它们之间的等效互换 )与独立源完全相同,只须做到在整个变换过程中,控制量所在的支路保持不动即可 。
RRRR 313或
2.1 电阻的串、并、混联
2.2 Δ形和 Y形电阻电路的等效变换
2.3 两种电源模型的等效变换
2.4 受控源及其等效变换
小结
2.１电阻的串、并、混联
2.1.1
1,等效串联电阻及分压关系
R＝ R１ +R２ +R３ （ 2— 4）
图 2.1电阻串联及其等效电路
＋ －
a
R
1
U
1
＋ －
R
2
U
3
R
3
＋
－
U
2
b
I
( a )
＋
－
U
a
＋
－
RU
b
I
( b )
在串联电路中,若总电压 U为已知,于是根据式 (2— 3)和式 (2— 4),各电阻上的电压可由下式求出：
2,串联电阻的功率分配关系
RRRUUU
R
R
IRU
R
R
IRU
R
R
IRU
U
U
U
321321
3
33
2
22
1
11
:::,?
（ 2— 5）
式 (2.5)为串联电阻的分压公式； 由此可得
RRRPPP
RIPRIPRIP
PPPP
IUIUIUIU
321321
3
2
32
2
21
2
1
321
321
::::
,,
各电阻消耗的功率可以写成如下形式：
故有例 2.1 有一量程为 100mV,内阻为 1kΩ的电压表 。 如欲将其改装成量程为 U1=1V,U2=10V,U3=100V的电压表,
试问应采用什么措施?
图 2.2 例 2.1图
＋
－ U
1
U
g
U
2
U
3
R
1
R
2
R
3
R
g
－
解,
kRU
UR
R
RR
U
U
g
g
g
g
g
91)1
1 0 0
1()1( 10
10
3
3
1
1
11
则
kRRR
k
U
U
RRR
R
RRRR
U
U
kRR
R
U
U
RR
R
RRR
U
U
g
g
g
g
g
g
g
g
g
g
k
9 0 09 9 9
9 9 910
101 0 0
1 0 0
9099
99101
101 0 0
10
(
213
3
3
321
3213
12
3
3
2
21
2
2
)1
3
()1(
)(
)1()1(
)
所以
2.1.2
1,等效并联电阻及分流关系图 2.3电阻并联及其等效电路
a
R
3
b
I
( a )
＋
－
U
I
3
( G
3
)
R
2
I
2
( G
2
)
R
1
I
1
( G
1
)
a
＋
－
RU
b
I
( b )
( G )
RRRR
GGGG
321
321
1111
（ 2— 9）
（ 2— 10）
在并联电路中,若总电流 I为已知,于是根据式 (2—8)和式 (2—
9),各电导支路的电流由下式求出：
2,并联电阻的功率分配关系若给式 (2—6)两边各乘以电压 U,则得各电导所消耗的功率可以写成如下形式：
上式说明各并联电导所消耗的功率与该电导的大小成正比，
即与电阻成反比。
3,两电阻并联时的等效电阻计算及分流公式
PPPP
IUIUIUIU
321
321
即
GGGPPP GUPGUPGUP 321321 3
2
32
2
21
2
1
::::
,,
故有
RR
R
I
I
RR
R
I
RR
RR
RRR
21
1
2
21
2
1
21
21
21
//
（ 2— 12）
（ 2— 13）
例 2.2 有一量程为 100 μA,内阻为 1.6 kΩ的电流表,如欲将其改装成量程 I1=500μA,I2=5mA,I3=50mA的电流表 。 试问应采取什么措施?
图 2.4 例 2.2图图中 Rg为电流表内阻,Ig为其量程,R1,R2,R3为分流电阻 。
首先求出最小量程 I1的分流电阻,此时,I2,I3的端钮均断开,分流电阻为 R1+R2+R3,根据并联电阻分流关系,
0 3 2 1
R
1
R
2
R
3
R
g
I
g
I
2
I
3 I 1
4 0 0
10)1 0 05 0 0(
106.1101 0 0
6
36
1
321
1
321
321
II
RIRRR
IRRRR RRRI
g
g
g
所以当量程 I2=5mA时,分流电阻为 R2+R3,而 R1与 Rg相串联,根据并联电阻分流关系,有
36040400
404001600
105
10100
1
3
6
321
2
32
2
321
32
)()(
R
RRRR
I
I
RR
I
RRRR
RRI
g
g
g
g
故当量程 I3=50mA时,分流电阻为 R3,R1,R2均与 Rg相串联,同理有
440016001050 10100 )()( 3 6321
3
3 RRRRI
IR
g
g
所以,R2=40－４ =36 Ω。 对应各量程电流表内阻为
2.39
1600436360
1600360436
320
1600436360
436360
)()())((
)()(
321
123
02
321
321
01
RRRR
RRRR
R
RRRR
RRRR
R
g
g
g
g
2.1.3
既有电阻串联又有电阻并联的电路称为电阻混联电路 。 对于电阻混联电路,可以应用等效的概念,逐次求出各串,并联部分的等效电路,从而最终将其简化成一个无分支的等效电路,通常称这类电路为简单电路； 若不能用串,并联的方法简化的电路,则称为复杂电路 。
例 2.3 求图 2.5(a)所示电路中的 Uab和 I
解 对此种电路的处理方法可以归纳为三步,设电位点； 画直观图；利用串,并联方法求等效电阻 。 据此,原电路可逐步简化成无分支电路,如图 2.5(b),(c),(d)所示,相关等效电阻为
4992.31600436360 1600363604 )()(
321
321
03 RRRR
RRRRR
g
g
1 4 43 6 02 4 0 3 6 02 4 0
903 6 01 2 0 3 6 01 2 0
R
R
( c )
240?
c
＋ －
1 2 0 V
270? 90?
d
( d )
＋ －
1 2 0 V
144?I
总
a
U
b
( a )
＋－
270?
160?140?
c
＋
－
1 2 0 V 100? 200?
120?
I
e
d
( b )
100?
200?
I
d
120?
160?
120 V
c
e
a
b
＋ －
140?
I
3
I
2
I
1
I
总
270?
图 2.5 例 2.3图由图 2.5(d)可求出总电流为
AI 651 4 41 2 0总最后回到图 2.5(b),利用分流公式可得
AI 3190270100140 100140651
例 2.4 求图 2.6(a)所示电路中 a,b两端的等
A
A
A
A
U
I
I
I
ab
3
100
100
2
1
200
12
1
12
1
120200160
120
3
1
4
1
120200160
200160
3
1
2
1
90270100140
90270
6
5
3
2
( b )
a bdc
6?
3?
4?
4?
4?
6?
( a )
a
3?
b
cc
d
6?
6?
4?
4? 4?
( d )
3?
2?
b
a
( c )
ba
4?2?
6?
2?
解 按三步处理法逐步化简,可得图 2.6(b),(c),(d),由此可得
Rab=2+3=5Ω
作业,P29页 （ 1）
P（ 46— 47）页 2.6 2.7
２,２ Δ和 Y
1,Δ和 Y形 电路等效变换的原则
RRR
RRR
RR
RRR
RRR
RR
RRR
RRR
RR
312312
231231
13
312312
311223
32
312312
312312
21
)(
)(
)(
2,Δ形变换 Y形的公式将 Δ形电路变换成 Y形电路,就是已知 Δ 形电路中的三个电阻 R１２,
R２３,R３１,待求量为等效 Y形电路中的三个电阻 R１,R２,R３ 。
为此,只须将式 (2—14),(2—15)和式 (2—16)相加后除以 2,可得
RRR RRRRRRRRR 312312 311231231223321
（ 2— 14）
（ 2— 15）
（ 2— 16）
（ 2— 17）
从式 (2— 17)中分别减去式 (2— 15),(2— 16)和式 (2— 14),可
RRR
RR
R
RRR
RR
R
RRR
RR
R
312312
3123
3
312312
2312
2
312312
3112
1
以上三式就是 Δ形电路变换为等效 Y形电路的公式 。 三个公式可概括为形中电阻之和形中相邻两电阻的乘积
R
Y
当 Δ形电路的三个电阻相等时,即
RRRR
RRRR
3
1
321
312312则
（ 2— 18）
（ 2— 19）
（ 2— 20）
（ 2— 21）
3,Y形变换成 Δ形的公式将 Y形电路变换成 Δ形电路,就是已知 Y形电路中的三个电阻 R１,
R２,R３,待求量为等效 Δ形电路中的三个电阻 R１２,R２３,R３１ 。
为此,只须将式 (2—18),(2—19)和式 (2—20)两两相乘后再相加,经化简后可得
RRR RRRRRRRRR 312312 312312133221 （ 2— 22）
R
RR
RRR
R
RR
RRR
R
RR
RRR
3
13
1331
1
23
3223
3
21
2112
将式 (2— 22)分别除以式 (2— 20),(2— 18)和式 (2— 19),可得
（ 2— 23）
（ 2— 24）
（ 2— 25）
以上三式就是 Y形电路变换为等效 Δ形电路的公式 。 三个公式可概括为应当指出,上述等效变换公式仅适用于无源三端电路。
例 2.5 在图 2.9(a)所示电路中,已知 R１ =10Ω,R２ =30Ω,
R３ =22Ω,R４ =4Ω,R５ =60Ω,UＳ =22V,求电流 I。
形中对面的电阻 和形中两两电阻的乘积之R
当 Y形电路的三个电阻相等时,即
RRRR 321
（ 2— 25）
（ 2— 26）
RRRR 3312312则
( a )
R
1
db
c
a
R
4
R
5
R
2 R
3
I
＋
U
S
－
( b )
R
a
d
b
c
a
R
4
R
c R 3
I
＋
U
S
－
R
b
图 2.9 例 2.5 图解 这是一个电桥电路,既含有 Δ形电路又含有 Y形电路,因此等效变换方案有多种,现仅选一种,如图 2.9(b)所示 。 根据式
(2—18),(2—19)和式 (2—20)
18
603010
6030
3
603010
3010
6
603010
6010
521
52
521
21
321
51
RRR
RR
R
RRR
RR
R
RRR
RR
R
c
b
a
再用串,并联的方法求出等效电 Rbd
11
422186
221846
3
))((
))((
43
34
RRRR
RRRRRR
ca
ca
bbd
则总电流
ARUI
bd
s 21122
例 2.6 图 2.10(a)所示电路为计算机数模网络的简化电路,
试证明：
(1) 当开关 S扳至位置 1时,
(2) 当开关 S扳至位置 2时,
证明 (1) 开关 S扳至位置 1时的电路可依次等效为图 2.10(b)、
(c),(d)。 根据图 2.10(d),可得
UU
UU
sab
sab
12
7
3
1
URRRUU ssab 312
( a )
a
U
S
b
R R
2 R 2 R
2 R 2 R 2 R
S
12
( b )
a
b
＋
U
S
2 R
2 R2 R2 R2 R
R R
－
( c )
a
b
＋
U
S
2 R
2 R2 R
－
( d )
a
b
＋
U
S
2 R
R
－
( e )
a
b
R R
2 R 2 R 2 R
2 R
2 R
＋
U
S
－
( f )
a
b
R
1
2 R R
2
2 R
2 R ＋
U
S
R
3
2 R
－
( g )
a
b
( 5 / 2 ) R
R 2 R
2 R
2 R ＋
U
S
10
7
R
10
7
－
( h )
a
b
R
4
2 R2 R ＋
U
S
R
5
R
6
－
( i )
a
b
R
7
2 R
＋
U
S
R
8
R
9
－
图 2.10 例 2.6图
(2) 当开关 S扳至位置 2时,等效电路如图 2.10(e)所示,该电路含有多个 Δ形电路和 Y形电路,等效方案也有多种,首先将 R,2R
和 R组成的 Y形电路变换成 Δ电路,如图 2.10(f)所示,其中将图 2.10(f)中的电阻 R2与其左边的 2R,R3与其右边的 2R合并可得图 2.10(g),相关数据已标注在图上,将图 2.10(g)中的 Δ形电路变换成 Y形电路如图 2.10(h)所示 。 其中
R
R
RR
RRR
R
R
RR
RRR
R
R
RR
RRR
5
2
2
5
2
2
5
2
3
2
1
R
RRR
RR
R
RRR
R
RRR
RR
R
21
8
7
10
7
10
2
5
7
10
7
10
3
2
3
2
7
10
7
10
2
5
7
10
2
5
6
45
将图 2.10(h)中的 2R与 R4,R5,R6组成的 Y形电路再变换形成
Δ形电路并加以整理,如图 2.10(i)所示 。 其中
R
R
RR
RRR
R
R
RR
RRR
R
R
RR
RRR
8
21
8
3
2
3
8
3
2
3
8
7
8
3
8
21
8
3
2
21
8
3
2
7
32
3
2
21
8
3
8
21
8
3
8
9
8
7
UR
RR
UU
S
s
ab 12
7
10
16
10
16
7
8
所以作业,P（ 47— 48） 2.10 2.11 2.13
P34页 （ 2）
2.3 两种电源模型的等效变换
1,两种电源模型的等效条件对于图 2.14(a),根据 KVL,有对于图 2.14(b),根据 KCL,有
IRUU SUS
IRIRU
R
UII
SISSI
SI
S
即
（ 2— 27）
（ 2— 28）
比较式 (227)和式 (228),若
IR IRU SISU SSIS?
则这两种电源模型的外部电压,电流关系完全相同,因此,
对外电路而言,它们是等效的 。 式 (2—29)也可以写成另一种形式,即
( a ) 电压源模型
＋
－
R
SU
U
S
＋
－
U
I
( b ) 电流源模型
I
＋
－
UR SII S
图 2.14两种电源模型图 2.15电流源模型等效变换为电压源模型图 2.16电压源模型等效变换为电流源模型
＋
－
U
I
2A 5?
I
＋
－
U
U
S
R
S
＋
－ －
＋
U
OC
I
＋
－
U
1 2 V
4?
＋
－ ＋
－
U
I
I
S R SI SC
2,几点说明
（ 1）电源模型的内部是不等效的。
（ 2）理想电压源与理想电流源不能相互等效变换。
（ 3）两种电源模型的等效变换可以进一步理解为含源支路的等效变换 。
例 2.8 如图 2.18(a)所示电路,求电位 φA
5 A 8?
( a )
＋
－
1 0 0 V
10?
20?
20? 8?
1?
A
5 A
( b )
1 0 A
1?
4?10?10?
A
5 A 5?
( c )
4?
1?
A
I
图 2.18 例 2.8图解 对于有几个接地点的电路,可以将这几个接地点用短路线连接在一起,这样做以后与原来是等效的 。 然后应用电阻串,并联及电源等效变换原理可将图 2.18(a)依次等效变换为图 2.18(b),(c),
由图 2.18(c)可得
VI
AI
A
105.244
5.25
415
5
例 2.9 试求图 2.19(a)所示电路中的电流 I１,I2,I3。
3?
( a )
2?
I
3
I
2
I
1
2 A
2?
6 V
＋
－
＋ －
3 V
2?a c
b
3?
( b )
2?3 A
＋ －
3 V
2?a c
b
6 V
2?
＋
－
1?
( c )
2?
3 V
Ia c
b
3 V
3?
6 V
＋
－
＋
－
＋ －
图 2.19 例 2.9图解 根据电源模型等效变换原理,可将图 2.19(a)依次变换为图
2.19(b)(c)。 根据图 2.19(c)可得
AI 1123 336
从图 2.19(a)变换到图 2.19(c),只有 ac支路未经变换,故知在图
2.19(a)的 ac支路中电流大小方向与已求出的 I完全相同,即为 1 A，
则
AI 1122
为求 I１ 和 I２,应先求出 Uab。 根据图 2.19(c),有
VU ab 413
再根据图 2.19(a),有
A
A
A
UI
III
UI
ab
ab
1
2
6
1
2
2
1
21
2
例 2.10 试计算图 2.20(a)所示电路中的电压 Ｕ 。
1?
( a )
1?
1 0 A
2?
1 0 V
＋
－
＋－
1 0 V
1?
1 0 V
＋
－
＋
－
U
( b )
2?
5 A
＋－
1 0 V
1?
U
1?
＋
－
1 0 A 1 0 A1?
1?
( c )
1 0 A
1 0 V
＋
－
＋－
1 0 V
1?
＋
－
U
2
3
( d )
U
＋
－
1 0 A1?
5
3
图 2.20 例 2.10图解 根据电源模型等效变换原理,可将图 2.20(a)依次变换为图 2.20(b),(c),(d)。 根据图 2.20(d)
VU
4
25
3
5
3
5
10
作业,P（ 48— 49）页
2.16 2.17 2.17
２,４ 受控源及其等效变换
1,四种理想受控源模型
u
1
＋
－
u
2
＋
－
＋
－
u
1
( a ) V C V S
i
1
u
2
＋
－
＋
－
i
1
( b ) C C V S
u
1
＋
－
g u
1
( c ) V C C S
i
2
i
1
i
1
( d ) C C C S
i
2
图 2.23 四种理想受控源
2,四种实际受控源模型
u
1
＋
－
g u
1
( c ) V C C S
i
2
＋
－
u
2
R
o
R
i
i
1
( d ) C C C S
i
2
＋
－
u
2
R
o
R
i
i
1
u
1
＋
－
u
1
( a ) V C V S
＋
－
u
2
R
i
＋
－
R
o
u
1
i
1
( b ) C C V S
＋
－
u
2
R
i
＋
－
R
o
i
1
图 2.24 四种实际受控源
3,受控的实际及其等效变换图 2.25 受控源举例
i b
( b )
i c
r i
i b
CB
E
( a )
i c
i b
C
B
E
例 2.11 试求图 2.26所示电路中的 US。
解 0.2I电流源 (CCCS)与 4Ω电阻相串联,流经 4Ω电阻的电流为
＋
－
U
S
2?
5?
I
1
0,2 I
4?
＋
－
U = 0,8 V
I a
b
图 2.26 例 2.11图例 2.12 化简图 2.27所示的电路。
A
A
A
I
U
1
2.0
2.0
2.02.0
2.0
4
8.0
4
此电流应与 CCCS的电流相等,即所以根据 KCL有
V
A
A
U
UIU
U
IIII
S
SS
ab
624
224
458.0
8.02.02.01
所以根据 KVL有
＋
－
1 6 V
1,6 k?
＋
－
U
I
( c )
＋
－
1 6 V
＋
－
U
I
( b )
1 k?1 k?＋－
400 I
＋
－
1 6 V
＋
－
U
I
( a )
1 k?1 k?
0,4 I
图 2.27 例 2.12图解 将 0.4I与 1kΩ并联的受控电流源等效变换成 400I与 1kΩ
相串联的受控电压源,如图 2.27(b)所示,其中 U与 I的关系为
kI IIUR
IIIU
O 6.1
1600
161600162000400
令上式中的 I=0,则 U=16就是电压源的开路电压 UOC,该电压源的内阻为例 2.13 求图 2.28(a)所示电路的输入电阻 Ri
I
1
( a )
3?
I
2
2?
R
i
2 I
1
＋
－
I
1
( b )
3?
I
2
2?
2 I
1
I
S
U
S
图 2.28 例 2.13图解 由于电路中含有受控源,不能直接应用电阻串,并联的方法进行化简,因此可以设想在入口两端施加一个电压源 US，
则会产生端钮电流 IS,如图 2.28(b)所示 。 故 Ri可由下式计算：
6
6
61
2
32
2 121
U
U
I
U
R
UUUU
IIII
I
U
R
S
S
S
S
i
SSSS
S
S
S
i
对于图 2.28(b),有则
Ri为负值,意味着 Ri所消耗的功率为负,说明该电路是向外电路提供能量的 。
例 2.14 求图 2.29(a)所示电路中的电流 I及电压 U。
图 2.29 例 2.14图
I
1
( a )
3?
0,5 I
1
＋
－
7A
＋
－
U
1?
I
1
( b )
1?
3?
0,5 I
1
U
＋
－
7A
解 将图 2.29(a)电路等效变换成图 2.29(b)所示电路,根据图
2.29(b)所示电路,于是有
VIU
AI
II
63
2
5.0713 1
1
1
1
)(
解得所以例 2.15 将图 2.30(a)所示电路简化成一个电压源的形式 。
解 该电路既有独立源,又有受控源,可以把它们同样处理 (但必须把控制变量所在支路保留不动 )。
＋
－
U
S
＋
－
U
I
( b )
R
1
R
2
R
3
I
S
＋－
R
1
I
＋
－
R
1
＋ R
2
＋
－
U
( c )
R
3
I
S
U
S
I
－ R
1
I R
1
＋ R
2
＋
－
U
( d )
R
3
I
S
I
R
1
＋ R
2
U
S
R
1
＋ R
2
R
1
I
＋
－
U
S
＋
－
U
I
( a )
R
1
I
R
2
R
3
I
S
＋
－
U
( f )
I
－
R
1
＋ R
2
＋ R
3
U
S
＋ I
S
( R
1
＋ R
2
) － R
1
I
＋
R
1
＋ R
2
＋
－
U
( e )
R
3
I
I
S
＋
R
1
＋ R
2
U
S
R
1
＋ R
2
R
1
I
－
＋
－
U
( g )
I
－
R
2
＋ R
3
＋ (1 － ) R
1
U
S
＋ I
S
( R
1
＋ R
2
)
＋
图 2.30 例 2.15图根据图 2.30(f),有
RRRIRRIU RRRIIRRRIUU SS SS 32121 321121 )()( )()( 1
从上式可得等效电路如图 2.30(g)所示。
作业,P（ 49— 50）页
2.18 2.20 2.22
小 结本章内容始终贯穿着,等效,这条主线,这是电路理论中一个非常重要的概念 。 所谓两个结构和元件参数完全不同的电路,等效,,
是指它们对外电路的作用效果完全相同,即它们对外端钮上的电压和电流的关系完全相同 。 因此将电路中的某一部分用另一种电路结构与元件参数代替后,不会影响原电路中留下来末作变换的任何一条支路中的电压和电流 。 据此便可推出各种电路的等效变换关系,从而极大地方便了电路分析和计算 。
(１ ) 在电阻串联电路中：
① 通过各电阻的电流相同 。
② 等效电阻Ｒ等于各电阻之和,即
.,.
.,.
321
321
UUUU
RRRR
③ 电路的总电压等于各电阻上电压之和,即
④ 分压公式
(２ ) 在电阻并联电路中：
① 各电阻两端的电压相同 。
② 等效电导等于各电导之和,即
..,,,332211 URRUURRUURRU
,.,.,,
..,
..,
3
3
2
2
1
1
321
21
21
321
I
G
G
II
G
G
II
G
G
I
IIII
RR
RR
R
GGGG
当只有两个电阻并联时,等效电阻为
③ 电路中的总电流等于各电流之和,即
④ 分流公式
(3) 在等效原则下推导出的 Δ形和 Y形电路的等效互换公式,使得对无源三端式电路的化简变得容易,特别是当 Δ形或 Y形电路的电阻相等时,使用公式进行两种电路之间的相互变换尤显方便 。
(４ ) 一个具有内阻的实际电源,可以选用电压源模型或电流源模型来表征,即两种电源模型对外电路可以等效互换 。 这是在等效原则下得出的又一结论 。 这一结论将使我们在求解电路时,思路更广阔,办法更多样 。
(5) 受控源与独立源虽有本质的不同,既然也被称作电源,因此,在电路分析中对其处理方法 (包括它们之间的等效互换 )与独立源完全相同,只须做到在整个变换过程中,控制量所在的支路保持不动即可 。
RRRR 313或
