第 7章 动态电路的时域分析
7.1 换路定律及初始值的计算
7.2 一阶电路的零输入响应
7.3 一阶电路的零状态响应
7.4 一阶电路的的全响应
7.5 一阶电路的三要素
7.6 二阶电路分析小结
7.1 换路定律及初始值的计算
7.1.1 过渡过程的概念当开关 S闭合时,电阻支路的灯泡立即发亮,而且亮度始终不变,说明电阻支路在开关闭合后没有经历过渡过程,立即进入稳定状态 。 电感支路的灯泡在开关闭合瞬间不亮,
图 7.1实验电路然后逐渐变亮,最后亮度稳定不再变化 。
电容支路的灯泡在开关闭合瞬间很亮,然后逐渐变暗直至熄灭 。 这两个支路的现象说明电感支路的灯泡和电容支路的灯泡达到最后稳定,都要经历一段过渡过程 。 一般说来,电路从一种稳定状态变化到另一种稳定状态的中间过程叫做电路 的过渡过程 。 实际电路中的过渡过程是暂时存在最后消失,故称为暂态过程,简称暂态 。
R C
L
＋
－
U
S
S ( t ＝ 0)
图 7.1 实验电路含有储能元件 L,C（或称动态元件）的电路在换路时通常都要产生过渡过程。
7.1.2 换路定律及初始值的计算
1,换路及换路定律
)0()0(
)0()0(
LL
CC
ii
uu (7——1)
2,求独立初始值
(1) 作 t=0-等效电路,求出 uC(0—)和 iL(0—);
(2) 根据换路定律确定出 uC(0+)及 iL(0+)
3,相关初始值计算
(1)用电压为 uC(0+)的电压源和电流为 iL(0+)的电流源取代原电路中 C和 L的位置,可得 t=0+等效电路 ;
(2)以 t=0+等效电路求出相关初始值 。
例 7.1 图 7.2（ a） 所示电路中,已知 US=18V,
R1=1Ω,R2=2Ω,R3=3Ω,L=0.5H,C=4.7μF,－开关 S在 t=0时合上,
设 S合上前电路已进入稳态 。 试求 i1(0+),i2(0+),i3(0+),uL(0+)、
uC(0+)。
解 第一步,作 t=0—等效电路如图 7.2（ b） 所示,这时电感相当于短路,电容相当于开路 。,根据 t=0—等效电路,计算换路前的电感电流和电容电压,
L C
R
3
＋
－
U
S
S ( t ＝ 0)
R
2
＋
－
u
C
＋
－
u
L
R
1 i
1
i
L
i
2
＋
－
U
S
i
L
(0
－
)
R
2
R
3
u
C
(0
－
)
＋
－
U
S
i
L
(0
＋
)
R
2
R
3
i
2
(0
＋
)
i
1
(0
＋
)
＋
－
u
L
(0
＋
)
6 A
＋
－
1 2 V
( a ) ( b ) ( c )
R
1
＋
－
图 7.2 例 7.1图第三步,作 t=0+等效电路如图 7.2（ c） 所示,这时电感 L相当于一个 12A的电流源,电容 C相当于一个 12V的电压源 。
第四步,根据 t=0+等效电路,计算其它的相关初始值,
Vuu
ii
ViRu
RR
U
i
CC
LL
LC
S
L
12)0()0(
6)0()0(
1262)0()0(
6
21
18
)0(
2
21
根据换路定律,可得
ViRUu
iii
R
uU
i
LSL
L
cS
66218)0()0(
826)0()0()0(
2
3
1218)0(
)0(
2
21
3
3
例 7.2 图 7.3（ a） 所示电路在 t=0时换路,即开关 S由位置 1合到位置 2。 设换路前电路已经稳定,求换路后的初始值
i1(0+),i2(0+)和 uL(0+)。
解 (1） 作 t=0—等效电路如图 7.3（ b） 所示 。 则有
339)0()0(
1R
Uii S
LL
＋
－
9 V
1
2
i
1
S ( t ＝ 0)
R
2
R
1
i
2
6?
＋
－
u
L
L
1
H
i
L
R
1
＋
－
U
S
i
L
(0
－
)
R
1i 1 (0 ＋ )
i
2
(0
＋
)
R
2
3A
＋
－
u
L
(0
＋
)
( a ) ( b ) ( c )
3?
图 7.3 例 7.2图例 7.3 如图 7.4（ a） 所示电路,t=0时刻开关 S闭合,换路前电路无储能 。 试求开关闭合后各电压,电流的初始值 。
（ 2）作 t=0+等效电路如图 7.3（ c）所示。由此可得
ViRu
iii
i
RR
R
i
L
L
L
6)1(6)0()0(
132)0()0()0(
23
63
6
)0()0(
22
12
21
2
1
＋
－
10V i
C
R
3
6?
＋ －
4?
u
R
1
R
1
－
＋
＋
3?
－
R
2
i
L
＋
－
u
L
u
R
2
S ( t ＝ 0)
i
＋
－
1 0 V
i
C
(0
＋
)
6?
＋ －
4?
u
R
1
－
＋
＋
3?
－
u
L
(0
＋
)
i (0
＋
)
(0
＋
)
u
R
2
(0
＋
)
u
R
3
(0
＋
)
＋
－
( a ) ( b )
u
R
3
C
＋
－
u
C
L
R
1
R
2
R
3
图 7.4 例 7.3图 V
解 （ 1）根据题中所给定条件,换路前电路无储能,故得出
0)0()0(
0)0()0(
LL
CC
ii
uu
（ 2） 作 t=0+等效电路如图 7.4（ b） 所示,这时电容相当于短路,电感相当于开路 。 则有
Vuu
u
ViRu
ViRu
ii
RL
R
CR
R
C
6)0()0(
0)0(
616)0()0(
414)0()0(
1
64
10
)0()0(
3
2
3
1
3
1
作业,P224页 7.1
7.2 一阶电路的零输入响应
7.2.1 RC电路的零输入响应
1,RC电路的零输入响应 的数学分析根据图 7.6所示电路电压,电流的参考方向,依 KVL,有
S ( t ＝ 0)
＋
－
u
R
R
＋
－
u
C
C
i
图 7.6 RC电路的零输入响应
)0(0 tuu RC
将 （ 式中负号是因为电容电压和电流参考方向不一致 ）,将其代入上式可得
dt
duCiRiu C
R,
)0(0 tudtduRC CC (7—2)
式 （ 7—2） 是一个常系数一阶线性齐次微分方程 。 由高等数学知识可知其通解形式为 uC=Aept。 其中,常数 p是特征方程的根,A为待定的积分常数 。 式 （ 7—2） 的特征方程可将 uC=Aept代入而得
RC
C Aeu
RC
p
RC p
1
1
01
特征根为所以将初始条件 uC(0+)=Uo代入上式,可得 A=Uo,则
)0()( 1 teUtu RCoC （ 7—3）
式 （ 7—3） 就是零输入响应,即电容放电过程中电容电压 uC随时间变化规律的表达式 。
2,RC电路的零输入响应曲线从式 （ 7—3）,（ 7—4） 和式 （ 7—5） 中可以看出,电压 uC(t)、
uR(t)和电流 i(t)都是按同样的指数规律衰减的,它们随时间变化的曲线如图 7.7（ a）,（ b） 所示 。
)0()()(
)0()(
1
1
teUtutu
te
R
U
dt
du
Cti
RC
oCR
RCoC （ 7—4）
（ 7—5）
u
C
,u
R
U
o
0,3 6 8 U
o
0? t
( a )
i
0,3 6
8
0? t
( b )
U
o
R
U
o
R
图 7.7 RC电路零输入响应曲线
3,时间系数 τ及其对暂态过程的影响
秒伏 秒安欧伏库欧法欧RC
所以称其为时间常数,并令
RC (7——6)
引入时间常数 τ后,式 （ 7—3）,（ 7—4） 和式 （ 7—5） 可表示为
)0()(
)0()(
)0()(
1
1
1
teUtu
te
R
U
ti
teUtu
oR
o
oC
u
C
U
o
0,3 6 8 U
o
0?
1
t?
2
3
1
＜?
2
＜?
3
图 7.8 时间常数 τ对暂态过程的影响现以电容电压 uC(t)为例来说明时间常数 τ的意义 。 将 t=τ,2τ、
3τ,…等不同时间的响应 uC值列于表
7.1之中 。
例 7.4 如图 7.9（ a） 所示电路,在 t=0时刻开关 S闭合,S闭合前电路已稳定 。 试求 t≥0时的 i1(t),i2(t)和 iC(t)。
C
0,5 F
i
C
6?
R
1i
1
R
2
3?
i
2
2A u C (0 － )
6?
R
1
R
2
3?2 A
＋
－
C
0,5 F
i
C
6?
R
1i
1
R
2
3?
i
2
＋
－
u
C
＋
－
u
C
C R
S ( t ＝ 0)
( a ) ( b ) ( c ) ( d )
图 7.9 例 7.4图解 （ 1） 作 t=0–等效电路如图 7.9（ b） 所示 。 则有
Vuu CC 632)0()0(（ 2） 作 t≥0电路如图 7.9（ c） 所示,其等效电路如图 7.9（ d）
所示 。 则等效电阻
)0(6
15.02
2
36
36
// 21
tVeu
sRC
RRR
C
故电路的时间常数根据式 （ 7—3） 可得
)0(3
)(
)(
)0(2
)(
)(
)0(
)(
)(
2
2
1
1
te
dt
tdu
Cti
te
R
tu
ti
te
R
tu
ti
C
C
C
C
在图 7.9（ c）所示电路中,可求得
7.2.2 RL电路的零输入响应
1,RL电路 零输入响应的数字分析
＋
－
U
S
1
2
S ( t ＝ 0)
R
R
S
L
i
L
( a )
i
L
＋
－
u
L
LR
( b )
图 7.10 RL电路的零输入响应在图 7.10（ b）中,依 KVL,可得
)0(0 tRiu LL
将电感的伏安关系代入上式,可得 dt
diLu LL?
)0(0 tRidtdiL LL
(7—7)
式 (7—7)也是一个常系数一阶线性齐次微分方程,与式 （ 7—2）
相似,其通解的形式为 。 其中,τ是电路的时间常数 。 特征方程为
tL Aeti)(
L
Rp
RLp
0
则
)0( tAei tL
R
L
代入初始条件 iL(0+)=Io,可得 A=Io,故电路的零输入响应
)0()(
)0()(
)0()(
teRIeRI
dt
di
Ltu
teRIeRIRitu
teIeIti
t
o
t
T
R
o
L
L
t
o
t
T
R
oLR
t
o
t
T
R
oL
(7——8)
(7——9)
(7——10)
2,RL电路 零输入响应 曲线式 (7—10)中电感电压为负值,是因为电流不断减小,根据楞次定律可知,电感上的感应电压,力图维持原来电流不变,故实际的感应电压的极性与参考极性相反,因而为负值 。 （ 7—8）,（ 7—9）
和式 （ 7—10） 中可以看出,iL(t),uR(t)和 uL(t)都是按同一时间常数的指数规律衰减,它们随时间变化的曲线如图 7.11所示 。
RL电路的时间常数,同样具有时间量纲,其大小同样反映了电路中过渡过程进行的快慢 。
都可写成相同的形式,即
R
L
u,i
I
o
RI
o
0
－ RI
o
u
R
i
L
u
L
t
图 7.11 RL电路的零输入响应曲线
)0()0()( teftf t?
(7—11)
例 7.5 如图 7.12（ a）所示为一测量电路,已知 如图 7.12（ a）
所示为一测量电路,已知 L=0.4H,R=1Ω,US=12V,电压表的内阻
RV=10kΩ,量程为 50V。开关 S原来闭合,电路已处于稳态。在 t=0时,
将开关打开,试求,
（ 1） 电流 i(t)和电压表两端的电压 uV(t);
（ 2） t=0时（ S刚打开）电压表两端的电压。
R
L
V
＋
－
i
S ( t ＝ 0)
＋
u
V
－
U
S
( a )
＋
－
u
V
i
R
L
( b )
R
V
R
V
图 7.12 例 7.5图解 （ 1） t≥0电路如图 7.12（ b） 所示,为一 RL电路 。 电路的时间常数为
sRR L
V
5
3 1041010
4.0
)0(1012)()(
)0(12)0()(
12)0()0(
4
4
105.24
105.2
tVetiRtu
teeiti
R
U
ii
t
VV
t
t
S
电感中电流的初始值为根据式（ 7—11）,可得电感电流的表达式为电压表两端的电压为该数值远远超过电压表的量程,将损坏电压表 。 在断开电感电路时,
必须先拆除电压表 。 从上例分析中可见,电感线圈的直流电源断开时,线圈两端会产生很高的电压,从而出现火花甚至电弧,轻则损坏开关设备,重则引起火灾 。 因此工程上都采取一些保护措施 。
常用的办法是在线圈两端并联续流二极管或接入阻容吸收电路,如图 7.13（ a）,（ b） 所示 。
Vu V 41012
（ 2） 当 t=0时图 7.13 RL电路切断电源时的保护措施
R
L
S ( t ＝ 0)
＋
－
U
S
( a )
V
D
R
L
S ( t ＝ 0)
＋
－
U
S
( b )
R ′
C ′作业,P225页
7.2 7.3
7.4 7.5
7.3 一阶电路的零状态响应
7.3.1 RC电路的零状态响应
1,RC电路的零状态响应的数学分析根据图 7.16中 S闭合后的电路,依 KVL,有
＋
－
U
S
＋ －u
R
R
＋
－
u C C
S ( t ＝ 0) i
图 7.16 RC电路的零状态响应
)0(
)0(
tUu
dt
du
RC
tUuu
SC
C
SCR
将 R,C的伏安关系,
代入上式后可得
,,RiudtduCi RC
(7——12)
式 (7—12)是一个常系数一阶线性非齐次微分方程 。 由高等数学知识可知,它的解由其特解 ucp和相应齐次方程的通解 uch两部分组成,即
)0()1()(
)0()(
11
1
1
teUeUUtu
Ua
tAeUtu
Uu
Aeu
uuu
RC
S
RC
SSC
S
RC
SC
Scp
RC
ch
chcpC
对应于式 （ 7—12） 的齐次微分方程即式 （ 7—2）,其通解为非齐次方程式 (7—12)的特解为电路达到稳态时的解因此 uC的全解为将初始条件 uC(0+)=0代入上式,可得则电容电压的零状态响应为
2,RC电路的零状态响应曲线
uC(t),uR(t)和 i(t)随时间变化的曲线如图 7.17（ a）,（ b）
所示 。
7.3.2 RL电路的零状态响应
1,RC电路的零状态响应的数学分析
)0()(
)0()(
teURitu
te
R
U
dt
du
Cti
t
SR
t
SC
充电电流 i(t)和电阻电压 uR(t)为
(7—15)
(7—16)
＋
－
U
S
＋ －u
R
R
＋
－
u
L
i
L
L
S ( t ＝ 0)
图 7.18 RL电路的零状态响应根据图 7.18中 S闭合后的电路,依
KVL,有
)0( tURidtdiL SLL （ 7—17）
式 （ 7—17） 也是一常系数一阶线性非齐次微分方程,它的解同样由其特解 ilp和相应的齐次方程的通解 ilh组成,即
R
U
i
iii
S
P
hPL
1
11
其中,特解仍是电路达到稳态时的解齐次微分方程的通解与 RL串联电路的零输入响应形式相同,即
R
U
A
t
R
U
Aeti
Aei
S
S
t
L
t
L
R
h
)0()(
1
令,故得
R
L
将 iL(0+)=0代入上式可得
)0()1()(
)0()(
)0()1()(
teURitu
teU
dt
di
Ltu
te
R
U
e
R
U
R
U
ti
t
SLR
t
S
L
L
t
S
t
SS
L
则电路的零状态响应 iL(t)为电感电压 uL(t)和电阻电压 uR(t)分别为
(7—18)
(7—19)
U
S
u
0
u
R
u
L
t
U
S
i
L
0
t
R
( b )( a )
图 7.19 RL电路零状态响应曲线
2,RC电路的零状态响应
iL(t),uL(t)和 uR(t)随时间变化的波形曲线如图 7.19（ a）,（ b）
所示 。
RC电路的零状态响应电压 uC(t)和 RL电路的零状态响应电流
iL(t),都可以写成相同的形式,即
)0()1)(()( teftf
t
(7—20)
例 7.6 图 7.20所示电路,t=0时开关 S闭合 。 已知 uC(0_)=0,求 t≥0
时的 uC(t),iC(t)和 i(t)。
u
C
＋
－
1 5 V
i
6 k?
3 k? i C
＋
－
S ( t ＝ 0)
C
5? F
图 7.20 例 7.6图解 因为 uC(0_)=0,故换路后电路属于零状态响应 。 因此电容电压可套用式 （ 7—20） 求出 。
又因为电路稳定后,电容相当于开路,所以
s
RC
Vu
C
3
63
1010
10510
63
63
1015
63
6
)(
时间常数
)0()1(
3
5
6
)(
)(
)0(5)(
)0()1(10)(
1 0 0
1 0 0
1 0 0
tme
tu
ti
tme
dt
du
Cti
tVetu
tC
C
tC
C
t
C根据式（ 7—20）得则例 7.7 图 7.21所示电路,换路前电路已达稳态,在 t=0时开关 S打开,求 t≥0时的 iL(t)和 uL(t)。
解 因为 iL(0_)=0,故换路后电路的响应为零状态响应 。 因此电感电流表达式可套用式 （ 7—20） 。 又因为电路稳定后,电感相当于短路,所以
u
L
2?
R
2
i
L
＋ －
S ( t ＝ 0)
3 H
4?
R
1
I
S
3A
s
R
L
I
RR
Ri
SL
50
42
3
13
42
2)(
21
1
时间常数图 7.21 例 7.7图
)0(6)(
)0(1)(
2
2
tVe
dt
diLtu
teti
tL
L
t
L
根据式（ 7—20）得
7.4 一阶电路的全响应
1,一阶电路全响应的数学分析根据图 7.23中 S闭合后的电路,依 KVL,有
u
C
＋
－
U
S
＋
－
S ( t ＝ 0)
C
R
图 7.23 RC电路的全响应RC
ch
SC
C
Aeu
tUu
dt
du
RC
1
)0(
（ 7—21）
对应于式 (7—21)的齐次微分方程的通解为
)0()(
1
tAeUtu
Uu
RC
SC
Scp
非齐次微分方程的特解为因此,微分方程式 （ 7—21） 的全解为电路的全响应可分解为稳态分量和暂态分量之和。即全响应 =稳态分量 +暂态分量
2,RC电路的全响应曲线
)0()()(
1
teUUUtu
UUA
RC
SoSC
So
代入初始条件 uC(0+)=Uo,可得则全响应稳态分量全响应暂态分量
u
C
U
S
U
o
0
U
o
－ U
S
全响应＝稳态分量
u
C
0
U
o
＝ U
S
t
t
稳态分量全响应暂态分量
u
C
U
S
U
o
0
U
o
－ U
S
t
( a ) U
o
＜ U
S
( b ) U
o
＝ U
S
( c ) U
o
＞ U
S
图 7.24 三种情况下 uC随时间变化的曲线
(7—23)
(7—22)
图 7.24给出了 Uo<US,Uo=US,Uo>US三种不同初始状态下,
RC电路的全响应 uC(t)的曲线。还可将式（ 7—23）写成下列形式
)1( 11 RCSRCoC eUeUu (7—24)
全响应还可以分解为零输入响应和零状态响应的叠加 。 即全响应 =零输入响应 +
)1)(()0()( tt efeftf
根据线性电路的叠加定理,电路的全响应 uC(t)可以看作是分别由外加激励 US和初始状态 uC(0+)单独作用时产生响应的叠加 。
当 US=0时,响应 uC(t)′由初始状态 uC(0+)作用所产生,它就是零输入响应,则
)0()(
1
' teUtu RC
oC
)0()1()(
1
'' teUtu RC
SC
当 uC(0+)=0时,响应 uC(t)″由外加激励 US所产生,它就是零状态响应,
则因此,电路的全响应为
)0()1()()()(
11
''' teUeUtututu RC
SRCoCCC
上式与式（ 7—24）完全相同。
图 7.25给出了 Ｕ o<US,Uo=US,Uo>US三种情况下,用零输入响应和零状态响应叠加而得到的 uC(t)的全响应曲线,其结果与稳态零状态响应全响应
u
C
U
S
U
o
0
全响应
u
C
0
U
S
t t
全响应
u
C
U
o
0
t
( a ) U
o
＜ U
S
( b ) U
o
＝ U
S
( c ) U
o
＞ U
S
零输入响应零状态响应零输入响应
U
S
图 7.25 三种情况下 uC随时间变化的曲线对于一阶电路全响应,暂态响应分量是,A是初始值与稳态值之差,即 A= f(0+)— f(∞),当 f(0+)= f(∞)时,则暂态响应分量为零,电路无过渡过程 。 其中稳态值 f(∞) 可以由直流稳态电路求得,此时,电容相当于开路,电感相当于短路 。
例 7.8 图 7.26所示电路,在 t=0时开关 S打开,uC(0+)=5V。 求 t≥0
电路的全响应 uC(t)。
解 作 t≥0电路如图 7.26（ b） 所示 。 用响应的两种分解方法求全响应 uC(t)。
方法 1 全响应分解为零输入响应和零状态响应的叠加 。
tAe?
20?
S ( t ＝ 0)
R
1
1 A
R
2
30?
u
C
＋
－
C
0,5 F
I
S
20?
R
1
1 A
R
2
30?
u
C
＋
－
C
0,5 F
( a ) ( b )
I
S
图 7.26 例 7.8图按图 7.26（ b） 所示电路,当 IS=0时,uC(0+)=5V,则电路的零输入响应为
)0(5)(
255.0)2030(
5)0()(
25'
'
tVetu
sRC
eeutu
t
C
tt
CC
故得出按图 7.26(b)所示电路,当 uC(0+)=0时,IS=1A,则电路的零状态响应为
)0()1(20)1)(()( 25'' tVeeftu
tt
C?
电路的全响应电容电压则为
)0(1520)1(205)()()( 252525''' tVeeetututu
ttt
CCC
方法 2 全响应分解为稳态分量和暂态分量的叠加。
)0(1520)(
15205)()0(,
20)(
25
25
tVetu
VffAAe
Vu
t
C
t
C
稳态分量暂态分量为所以全响应为作业,P226页
7.11 7.12 7.13 7.14
7.5 一阶电路的三要素法
1,一阶电路的三要素与三要素法在动态电路中任一电流或电压均由初始值 f(0+),稳态值 f(∞)和时间常数 τ三个要素所确定 。 由于一阶电路的全响应为零输入响应与零状态响应之和,所以全响应是动态电路响应的一般形式 。 若全响应变量用 f(t)表示,则全响应可按下式求出
teffftf )()0()()( (7—25)
由上式可见,对一阶电路的分析,只要计算出响应变量的初始值,
稳态值和时间常数三个要素,依式 （ 7—25） 便可直接得出结果,这一分析方法,称为一阶电路分析的三要素法 。
2,三要素的计算
(1)初始值 f(0+)。 第一步作 t=0—等效电路,确定独立初始值 ;第二步作 t=0+等效电路,计算相关初始值 。
(2)稳态值 f(∞)。 可通过作换路后 t=∞稳态等效电路来求取 。 作
t=∞电路时,电容相当于开路 ;电感相当于短路 。
(3)时间常数 τ。 RC电路 τ=RC,RL电路 τ=L/R。 其中 R是换路后从动态元件两端看进去的代文宁等效电阻 。,三要素法仅适用于一阶线性电路,对于二阶或高阶电路是不适用的 。
例 7.9 图 7.28（ a） 所示电路,在 t=0时开关 S打开,设 S打开前电路已处于稳态,已知 US=24V,R1=8Ω,R2=4Ω,L=0.6H。 求 t≥0时的 iL(t)
和 uL(t)并画出其波形 。
解 (1） 求初始值 iL(0+),uL(0+)。 作 t=0—等效电路如图 7.28
（ b） 所示 。 则有
ARUii SLL 6424)0()0(
2
作 t=0+等效电路如图 7.28（ c） 所示 。 依 KVL,可得
S ( t ＝ 0)
R
1
U
S
＋
－
C
R
2
( a )
S ( t ＝ 0)
U
S
＋
－
C
R
2
( b )
S ( t ＝ 0)
R
1
U
S
＋
－
L
R
2
( c )
S ( t ＝ 0)
R
1
＋
－
L
R
2
( d )
U
S
S ( t ＝ 0)
L
R
( e )
u
S
＝ s i n? t V
S ( t ＝ 0)
8?
1 2 V
＋
－
( f )
4?
C
＋
－
4 V
R
1
图 7.28 例 7.9图
VRRiUu LSL 48)48(624)()0()0( 21
（ 2） 求稳态值 iL(∞),uL(∞)。 作 t=∞稳态等效电路如图 7.28（ d）
所示,则有
2
48
24)(
0)(
21 RR
Ui
u
S
L
L
（ 3） 求时间常数 τ。 先计算电感元件断开后端口电路的输入电阻,电路如图 7.28（ e） 所示,于是有
s
K
L
RRR
05.0
12
6.0
124821
则时间常数为根据式 （ 7—25） 计算出各响应量为
)0(48)048(0)(
)0(42)26(2)(
2020
2005.0
tVeetu
teeti
tt
L
t
t
L
iL(t),uL(t)的波形如图 7.28（ f）所示。
例 7.10 图 7.29（ a） 所示电路,在 t=0时开关 S闭合,S闭合前电路已 达稳态 。 求 t≥0时 uC(t),iC(t)和 i(t)。
解 (1） 求初始值 uC(0+),iC(0+),i(0+)。 作 t=0—等效电路如图
7.29（ b） 所示 。 则有
20)0(6)0(4
20)0(4)0(8
20)0()0(
C
C
CC
ii
ii
Vuu
作 t=0+等效电路如图 7.29（ c） 所示 。 列出网孔电流方程
S ( t ＝ 0)
4 k?
2 k?
4 k?
2? F
＋
－
u
C
＋
－
2 0 V
( a )
4 k? 2 k?
＋
－
＋
－
2 0 V
( b )
u
C
(0
－
)
4 k? 2 k?
4 k?
＋
－
＋
－
2 0 V
(c )
i (0
＋
)
2 0 V
i
C
(0
＋
)
4 k? 2 k?
( e )
4 k?
R
4 k? 2 k?
＋
－
( d )
4 k?
＋
－
2 0 V
i ( ∞ )
i
C
( ∞ )
u
C
( ∞ )
i
i
C
图 7.29 例 7.10图
mi
miC
25.1)0(
5.2)0(
联立求解可得
（ 2） 求稳态值 uC(∞),iC(∞),i(∞)。 作 t=∞时稳态等效电路如图 7.29（ d） 所示,则有
mi
i
Vu
C
C
5.2
44
20
)(
0)(
1020
44
4
)(
（ 3） 求时间常数 τ。 将电容元件断开,电压源短路,如图 7.29
（ e） 所示,求得等效电阻
sRC
kR
363 108102104
4
44
442
时间常数
(4) 根据式（ 7—25）得出电路的响应电压、电流分别为
)0()1(10)1020(10)( 1 2 51 2 5 tVeetu ttC
例 7.11 如图 7.30（ a） 所示含受控源电路,开关 S闭合前电路已处于稳态,在 t=0时开关 S闭合 。 求 t≥0时的 iL(t),uL(t)和 i(t)。
)0(25.15.2)5.225.1(5.2)(
)0(5.2)(
1 2 51 2 5
1 2 5
tmeeti
tmeti
tt
t
C
＋
－
1 0 V
＋
－
u
L
i
L ＋
－
u
L
2
1
5
＋
－
1 0 V
5
S ( t ＝ 0)
( a ) ( b )
＋
－
u
L
(0
＋
)
2
1
1 A
＋
－
1 0 V
5
＋
－
u
L
(0
＋
)
i
L
(0
＋
)
i (0
＋
) 5
( c )
＋
－
＋
－
1 0 V
5
i
L
( ∞ )
i ( ∞ )
5
u
L
( ∞ ) ＝ 0
u
L
(∞ ) ＝ 0
2
1
( d )
＋
－
5
5
＋
－
U
I
2
U
10
2 H
i
图 7.30 例 7.11图解 （ 1） 求 iL(0-),因此时电路已处于稳态,2 H电感相当于短路线,故 iL(0-)=1A。
（ 2） 求初始值 i L(0+),uL(0+),i(0+),因 iL(0_)= 1A,故由换路定律得作 t=0+等效电路如图 7.30（ b） 所示,这时电感相当于 1A的电流源 。 列出节点电位方程
3
4
5
3
10
10
5
)0(10
)0(
3
10
)0(
5
)0(
2
1
1
5
10
)0()
5
1
5
1
(
L
L
L
L
u
i
Vu
u
u
解之,得
1)0()0( LL ii
（ 3） 求稳态值 iL(∞),uL(∞),i(∞)。 作 t=∞时稳态等效电路如图 7.30（ c） 所示,则有
（ 4） 求时间常数 τ。 先计算电感元件断开后端口电路的输入电阻,其等效电路如图 7.30（ d） 所示 。 图中在端口外加电压 U,产生输入电流为
2
5
10)()(
0)(
L
L
ii
u
3
10
10
3
1055
2
1
5
I
U
R
U
UUUUU
I
故则时间常数为
s
R
L
5
3
3
10
2
(5） 根据式 （ 7—25） 计算出各响应量为
)0(
3
2
2)2
3
4
(2)(
)0(
3
10
)(
)0(2)21(2)(
3
5
3
5
3
5
3
5
3
5
teeti
tVetu
teeti
tt
t
L
tt
L
例 7.12 如图 7.31（ a）所示电路中,已知 US=12V,
R1=3kΩ,R2=6kΩ,C=5μF,开关 S原先断开已久,电容中无储能。
t=0时将开关 S闭合,经 0.02s后又重新打开,试求 t≥0时的 uC(t)及解 由于开关 S闭合后又打开,故电路的过渡过程分为两个阶段 。
(1) t=0作为换路时刻,开关 S闭合后,为电容的充电过程,利用三要素法求得电容电压 uC的变化规律 。
t ＝ 0,0 2 s
S( t ＝ 0)
3 k?
R
1
6 k?
R
2
U
S
＋
－
1 2 V
C
5? F
＋
－
u
C
0 0,0 2
u
C
/ V
8
6,9 2
t
/ s
( a )
( b )
图 7.31 例 7.12图
(2)以 t=0.02s 作为新的换路时刻,开关 S打开后,电容的放电过程开始,利用三要素法求出电容放电时电压的变化规律 。
)02.00()1(8)(
01.010510
63
63
812
63
6
)(
0)0(
1 0 0
63
21
2
stVetu
sRC
VU
RR
R
u
u
t
C
SC
C
则
sCR
Vu
Veuuu
C
CCC
03.0105106
0)(
92.6)1(8)02.0()0()0(
63
2
02.0100
作业,P227页
7.16 7.17 7.18 7.19
)02.0(92.6)( )02.0(3.33 stVetu tC
uC(t)的变化曲线如图 7.31（ b）所示。
7.6 二阶电路分析
1,RLC 串联电路零输入响应的数学分析依 KVL,得
R
＋ －u
R
S ( t ＝ 0)
＋
－
u
C
＋
－
u
L
LC
i
图 7.33 RLC串联电路的零输入响应
0 CLR uuu
按图中标定的电压、电流参考方向有
2
2
dt
ud
LC
dt
di
Lu
dt
du
RCRiu
dt
du
Ci
C
L
C
R
C
将以上各式代入 KVL方程,便可以得出以 uC为响应变量的微分方程,为
2
0
22
2,1
2
2
2
1
)
2
(
2
01
)0(0
aa
LCL
R
L
R
p
R C pLC p
Tu
dt
ud
RC
dt
ud
LC
C
CC
式 (7—26)为一常系数二阶线性齐次微分方程,其特征方程为其特征根为
(7——27)
(7——26)
式中,α=R/2L称为衰减系数,称为固有振荡角频率 。
(1) 当 (R/2L)2>1/LC时,p1,p2为不相等的负实根,称为过阻尼情况 。 特征根为
LC10
tptp
C eAeAtu
aap
21
21
2
0
2
2,1
)(
微分方程的通解为
(7—28)
式中待定常数 A1,A2由初始条件来确定,其方法是当 t=0+时刻,
则由式 (7—28)可得
C
i
pApA
dt
tdu
u
AAtu
t
C
C
C
)0()(
)0(
)(
22110
21
对式 (7—28)求导,可得 t=0+时刻 uC(t)对 t的导数的初始值为
(7—29)
(7—30)
联立求解式 (7—29)和式 (7—30),便可以解出 A1,A2。
根据式 (7—28)可见,零输入响应 uC(t)是随时间按指数规律衰减的,为非振荡性质 。 uC(t)的波形如图 7.34所示 。
u
C
O t
图 7.34 过阻尼时的 uC(t)波形
(2)当 (R/2L)2=1/LC时,p１,p2为相等的负实根,称为临界阻尼情况 。 特征根为
at
C etAAtu
pp
)()( 21
21?
微分方程的通解为
(7—31)
式中常数 A1,A2由初始条件 uC(0+)和 uC′(0+)来确定 。 uC(t)的波形图根据式 (7—31)可知,这种情况的响应也是非振荡的 。 uC(t)随时间变化的波形图如图 7.35所示 。
(3)当 (R/2L)2<1/LC时,p1,p2为具有负实部的共轭复根,称为欠阻尼情况 。 特征根为
djL
R
LC
j
L
Rp 2
2,1 )2(
1
2
根据式 (7—33)可知,响应随时间变化的规律具有衰减的振荡特性,它的振幅 随时间按指数规律衰减,衰减的快慢取决于衰减系数 α的大小,α越大则衰减就越快 。 衰减振荡的角频率为
ωd,ωd越大,则振荡周期 T=2π/ωd就越小 。 uC(t)的波形图如图 7.36
所示 。
(4)当 R=0时,p1,p2为一对共轭虚根,称为无阻尼情况 。 特征根为
22
0
2)
2
(1
L
R
LCd
式中 (7—32)
称为阻尼振荡角频率。微分方程的通解为
)s in ()( tAetu datC (7—33)
式中常数 A和 φ由初始条件确定。
ateA
ojp2,1
响应的表达式为从式 (7—34)和 uC(t)的波形图中可见,电路的零输入响应是不衰减的正弦振荡,其角频率为 ω0。 由于电路电阻为零,故称为无阻尼等幅振荡情况 。
)s in ()( tAtu oC (7—34)
A和 φ可以直接由初始条件确定。 uC(t)的波形如图 7.37所示。T
O t
A e
－ t
( 包络线 )
u
C
u
C
O t
图 7.36 欠阻尼情况电路零输入响应
uC(t)波形曲线图 7.37 无阻尼等幅振荡情况电容电压响应波形图
2,以上几种情况的物理意义电容和电感都是储能元件,只有电阻是耗能元件 。 电容放电时它所储存的电场能量,一部分消耗在电阻中,一部分转移到电感储存于磁场中 。 在过阻尼情况下,由于 R较大,能量消耗极为迅速,因此电感获得的磁场能量不可能再返回给电容,而是随电路电流的下降而逐渐释放出来,一起消耗在电阻上 。 所以,电容电压 uC是单调下降的,
形成非振荡的放电过程 。 而在欠阻尼情况下,由于 R较小,电容放电时,被电阻消耗的能量较少,大部分电场能转变为磁场能储存于电感中 。 当电容储能为零时,电感开始放电,电容被反向充电 。 当电感储能为零时,电容又开始放电 。 这样周而复始 。 由于电阻不停地消耗着能量,因此电容电压呈指数衰减的振荡过程 。 如果 R=0,即电路中无能量损耗,则在振荡过程中,电容释放给电感的能量和电感吸收后又释放给电容的能量将始终相同 。 因此电容电压 uC的振幅将不会衰减,振荡将无限制地持续下去,形成等幅振荡 。 这就是无阻尼情况 。
例 7.13 图 7.33电路中,已知 L=10H,C=0.1F。
（ 1） R=40Ω,uC(0+)=16V,i(0+)=0.4A时的零输入响应 uC(t)。
（ 2） R=10Ω,uC(0+)=10V,i(0+)=1A时的零输入响应 uC(t)。 并画出其波形 。
解 （ 1） R=40Ω时,按式 (7—27)求方程特征根为
321.010 1)102 40(102 401)2(2 222,1 LCLRLRp
显然,电路属于过阻尼情况 。 根据式 (7—28),电路方程的解为
ttC eAeAtu 7 3 2.322 6 8.01)(
根据初始条件确定常数 A1,A2。 当 t=0+时刻
4)0(7 3 2.32 6 8.0)0(
16)0(
21
21
C
iAAu
AAu
C
C
上两式联立解出,A1=16.083,A2=—0.083,故得出零输入响应电容电压为
)0(083.0083.16)( 7 3 2.32 6 8.0 tVeetu ttC
uC(t)的波形图示于图 7.38中。
u
C
/ V
0
1 6,0 8 3
16
－ 0,0 8 3
u
C
t / s
u
C
/ V
1 1,5 5
0
－ 1 1,5 5
1 1,5 5 e
－ 0,5 t
t / s
图 7.38 例 7.13在过阻尼时的 uC波形 图 7.39 例 7.13在欠阻尼时的 uC波形
（ 2） R=10Ω时,方程的特征根为
8 6 6.05.01)21(21 22,1 jp
显然,电路属于欠阻尼情况。根据式（ 7—33）可得零输入响应电容电压为
)866.0s in ()( 5.0 tAetu tC
根据初始条件确定常数 A和角度 φ值 。
当 t=0+时刻
10
)0(
c o s866.0s i n5.0)0(
s i n
10
10s i n)0(
C
i
AAu
A
Au
C
C
再有
(A)
(B)
将 (A)式代入 (B)式得
)0()608 66.0s i n (55.11)(
55.11
)60s i n (
10
60
7 32.1
5
66.8
t a n
10
s i n
c os
108 66.0105.0
5.0
ttetu
A
ot
C
o
o
故解得电路的零输入响应电容电压为例 7.14 如图 7.40所示 RLC串联电路,开关 S在 t=0时闭合,已知 R=10Ω,L=1H,C= 1/9F,US=16V,求零状态响应 uC(t)。
解 根据电路及元件的两种约束关系,t≥0电路的微分方程为这是一常系数线性二阶非齐次微分方程,根据数学理论,该方程的解应由两部分组成,即
SCCC Uudt
udRC
dt
udLC
2
2 (7—35)
chcpC uuu
R L
U
S
S ( t ＝ 0)
＋
－
u
C
＋
－
C
i
图 7.40 例 7.14图式中的 ucp为方程的特解,实际上就是电路的稳态值 。 式中的
uch是方程式 (7—35)所对应的齐次方程的通解 。 解的形式根据特征根的不同情况来确定,分为过阻尼,欠阻尼,临界阻尼和无阻尼四种形式 。
本题由已知条件得特征根为
9,1
451)
2
(
2
21
2
2,1
pp
LCL
R
L
Rp
故电路属于过阻尼情况 。 齐次微分方程的通解为
tt
chcpC
Scp
tttptp
ch
eAeAuutu
VUu
eAeAeAeAu
9
21
9
2121
16)(
16
21
非齐次微分方程的特解为故得根据初始条件确定常数 A1,A2。 。
)0(1816)(
2,18
0
)0(
9)0(
016)0(
9
2
21
21
21
tVeAetu
AA
C
i
AAu
AAu
tt
C
C
C
联立求上两式得出响应曲线如图 7.41所示。
u
C
/ V
t / s
16
0
图 7.41 例 7.14的响应 uC波形作业,P223页 （ 1）
小 结
1.动态电路的过渡过程一阶电路在过渡过程中电压电流的变化规则是从换路后的初始值按指数规律变化到稳态值的过程 。 过渡过程进行的快慢取决于电路的时间常数 。 。 换路前后瞬间,电感电流,电容电压不能突变,称为换路定律 。 即
)0()0(
)0()0(
CC
LL
uu
ii
利用换路定律和 0+等效电路,可求得电路中各电流、电压的初始值。
2.
零输入响应就是无电源一阶线性电路,在初始储能作用下产生的响应 。 其形式为
)0()0()( teftf t?
式中,f(0+)是响应的初始值,τ是电路的时间常数,RC电路的
τ=RC,RL电路的 τ=L/R,它是决定响应衰减快慢的物理量,是重要的常数 。
3,一阶电路的零状态响应零状态响应就是电路初始状态为零时由输入激励产生的响应 。
其形式为
)0()1)(()( teftf
t
式中,f(∞)是响应的稳态值。
4.一阶电路的全响应全响应就是初始状态不为零的电路在输入恒定直流激励下产生的响应 。 其两种分解为
5.
一阶电路的响应 f(t),由初始值 f(0+),稳态值 f(∞)和时间常数 τ三要素所确定,利用三要素公式可以简便地求解一阶电路在直流电源作用下的电路响应 。 三要素公式为计算响应变量的初始值 f(0+)和稳态值 f(∞),分别用 t=0+电路和
t=∞电路解出 。 作 t=0+电路时 uC(0+)和 iL(0+)分别视为电压源和
)0()()()0()(
)0()1)(()0()(
tfefftf
tefeftf
t
tt
(零输入响应 ) (零状态响应 )
(暂态响应 ) (稳态响应 )
)0()()0()()( teffftf t?
电流源。作 t=∞电路时,电容相当于开路 ;电感相当于短路。时间常数
τ中的电阻 R,
6.无电源二阶电路的零输入响应和直流二阶电路的零状态响应明确由于特征根 p1,p2取值的 4种不同的情况,二阶电路的响应分为过阻尼,临界阻尼,欠阻尼和无阻尼 。
7.1 换路定律及初始值的计算
7.2 一阶电路的零输入响应
7.3 一阶电路的零状态响应
7.4 一阶电路的的全响应
7.5 一阶电路的三要素
7.6 二阶电路分析小结
7.1 换路定律及初始值的计算
7.1.1 过渡过程的概念当开关 S闭合时,电阻支路的灯泡立即发亮,而且亮度始终不变,说明电阻支路在开关闭合后没有经历过渡过程,立即进入稳定状态 。 电感支路的灯泡在开关闭合瞬间不亮,
图 7.1实验电路然后逐渐变亮,最后亮度稳定不再变化 。
电容支路的灯泡在开关闭合瞬间很亮,然后逐渐变暗直至熄灭 。 这两个支路的现象说明电感支路的灯泡和电容支路的灯泡达到最后稳定,都要经历一段过渡过程 。 一般说来,电路从一种稳定状态变化到另一种稳定状态的中间过程叫做电路 的过渡过程 。 实际电路中的过渡过程是暂时存在最后消失,故称为暂态过程,简称暂态 。
R C
L
＋
－
U
S
S ( t ＝ 0)
图 7.1 实验电路含有储能元件 L,C（或称动态元件）的电路在换路时通常都要产生过渡过程。
7.1.2 换路定律及初始值的计算
1,换路及换路定律
)0()0(
)0()0(
LL
CC
ii
uu (7——1)
2,求独立初始值
(1) 作 t=0-等效电路,求出 uC(0—)和 iL(0—);
(2) 根据换路定律确定出 uC(0+)及 iL(0+)
3,相关初始值计算
(1)用电压为 uC(0+)的电压源和电流为 iL(0+)的电流源取代原电路中 C和 L的位置,可得 t=0+等效电路 ;
(2)以 t=0+等效电路求出相关初始值 。
例 7.1 图 7.2（ a） 所示电路中,已知 US=18V,
R1=1Ω,R2=2Ω,R3=3Ω,L=0.5H,C=4.7μF,－开关 S在 t=0时合上,
设 S合上前电路已进入稳态 。 试求 i1(0+),i2(0+),i3(0+),uL(0+)、
uC(0+)。
解 第一步,作 t=0—等效电路如图 7.2（ b） 所示,这时电感相当于短路,电容相当于开路 。,根据 t=0—等效电路,计算换路前的电感电流和电容电压,
L C
R
3
＋
－
U
S
S ( t ＝ 0)
R
2
＋
－
u
C
＋
－
u
L
R
1 i
1
i
L
i
2
＋
－
U
S
i
L
(0
－
)
R
2
R
3
u
C
(0
－
)
＋
－
U
S
i
L
(0
＋
)
R
2
R
3
i
2
(0
＋
)
i
1
(0
＋
)
＋
－
u
L
(0
＋
)
6 A
＋
－
1 2 V
( a ) ( b ) ( c )
R
1
＋
－
图 7.2 例 7.1图第三步,作 t=0+等效电路如图 7.2（ c） 所示,这时电感 L相当于一个 12A的电流源,电容 C相当于一个 12V的电压源 。
第四步,根据 t=0+等效电路,计算其它的相关初始值,
Vuu
ii
ViRu
RR
U
i
CC
LL
LC
S
L
12)0()0(
6)0()0(
1262)0()0(
6
21
18
)0(
2
21
根据换路定律,可得
ViRUu
iii
R
uU
i
LSL
L
cS
66218)0()0(
826)0()0()0(
2
3
1218)0(
)0(
2
21
3
3
例 7.2 图 7.3（ a） 所示电路在 t=0时换路,即开关 S由位置 1合到位置 2。 设换路前电路已经稳定,求换路后的初始值
i1(0+),i2(0+)和 uL(0+)。
解 (1） 作 t=0—等效电路如图 7.3（ b） 所示 。 则有
339)0()0(
1R
Uii S
LL
＋
－
9 V
1
2
i
1
S ( t ＝ 0)
R
2
R
1
i
2
6?
＋
－
u
L
L
1
H
i
L
R
1
＋
－
U
S
i
L
(0
－
)
R
1i 1 (0 ＋ )
i
2
(0
＋
)
R
2
3A
＋
－
u
L
(0
＋
)
( a ) ( b ) ( c )
3?
图 7.3 例 7.2图例 7.3 如图 7.4（ a） 所示电路,t=0时刻开关 S闭合,换路前电路无储能 。 试求开关闭合后各电压,电流的初始值 。
（ 2）作 t=0+等效电路如图 7.3（ c）所示。由此可得
ViRu
iii
i
RR
R
i
L
L
L
6)1(6)0()0(
132)0()0()0(
23
63
6
)0()0(
22
12
21
2
1
＋
－
10V i
C
R
3
6?
＋ －
4?
u
R
1
R
1
－
＋
＋
3?
－
R
2
i
L
＋
－
u
L
u
R
2
S ( t ＝ 0)
i
＋
－
1 0 V
i
C
(0
＋
)
6?
＋ －
4?
u
R
1
－
＋
＋
3?
－
u
L
(0
＋
)
i (0
＋
)
(0
＋
)
u
R
2
(0
＋
)
u
R
3
(0
＋
)
＋
－
( a ) ( b )
u
R
3
C
＋
－
u
C
L
R
1
R
2
R
3
图 7.4 例 7.3图 V
解 （ 1）根据题中所给定条件,换路前电路无储能,故得出
0)0()0(
0)0()0(
LL
CC
ii
uu
（ 2） 作 t=0+等效电路如图 7.4（ b） 所示,这时电容相当于短路,电感相当于开路 。 则有
Vuu
u
ViRu
ViRu
ii
RL
R
CR
R
C
6)0()0(
0)0(
616)0()0(
414)0()0(
1
64
10
)0()0(
3
2
3
1
3
1
作业,P224页 7.1
7.2 一阶电路的零输入响应
7.2.1 RC电路的零输入响应
1,RC电路的零输入响应 的数学分析根据图 7.6所示电路电压,电流的参考方向,依 KVL,有
S ( t ＝ 0)
＋
－
u
R
R
＋
－
u
C
C
i
图 7.6 RC电路的零输入响应
)0(0 tuu RC
将 （ 式中负号是因为电容电压和电流参考方向不一致 ）,将其代入上式可得
dt
duCiRiu C
R,
)0(0 tudtduRC CC (7—2)
式 （ 7—2） 是一个常系数一阶线性齐次微分方程 。 由高等数学知识可知其通解形式为 uC=Aept。 其中,常数 p是特征方程的根,A为待定的积分常数 。 式 （ 7—2） 的特征方程可将 uC=Aept代入而得
RC
C Aeu
RC
p
RC p
1
1
01
特征根为所以将初始条件 uC(0+)=Uo代入上式,可得 A=Uo,则
)0()( 1 teUtu RCoC （ 7—3）
式 （ 7—3） 就是零输入响应,即电容放电过程中电容电压 uC随时间变化规律的表达式 。
2,RC电路的零输入响应曲线从式 （ 7—3）,（ 7—4） 和式 （ 7—5） 中可以看出,电压 uC(t)、
uR(t)和电流 i(t)都是按同样的指数规律衰减的,它们随时间变化的曲线如图 7.7（ a）,（ b） 所示 。
)0()()(
)0()(
1
1
teUtutu
te
R
U
dt
du
Cti
RC
oCR
RCoC （ 7—4）
（ 7—5）
u
C
,u
R
U
o
0,3 6 8 U
o
0? t
( a )
i
0,3 6
8
0? t
( b )
U
o
R
U
o
R
图 7.7 RC电路零输入响应曲线
3,时间系数 τ及其对暂态过程的影响
秒伏 秒安欧伏库欧法欧RC
所以称其为时间常数,并令
RC (7——6)
引入时间常数 τ后,式 （ 7—3）,（ 7—4） 和式 （ 7—5） 可表示为
)0()(
)0()(
)0()(
1
1
1
teUtu
te
R
U
ti
teUtu
oR
o
oC
u
C
U
o
0,3 6 8 U
o
0?
1
t?
2
3
1
＜?
2
＜?
3
图 7.8 时间常数 τ对暂态过程的影响现以电容电压 uC(t)为例来说明时间常数 τ的意义 。 将 t=τ,2τ、
3τ,…等不同时间的响应 uC值列于表
7.1之中 。
例 7.4 如图 7.9（ a） 所示电路,在 t=0时刻开关 S闭合,S闭合前电路已稳定 。 试求 t≥0时的 i1(t),i2(t)和 iC(t)。
C
0,5 F
i
C
6?
R
1i
1
R
2
3?
i
2
2A u C (0 － )
6?
R
1
R
2
3?2 A
＋
－
C
0,5 F
i
C
6?
R
1i
1
R
2
3?
i
2
＋
－
u
C
＋
－
u
C
C R
S ( t ＝ 0)
( a ) ( b ) ( c ) ( d )
图 7.9 例 7.4图解 （ 1） 作 t=0–等效电路如图 7.9（ b） 所示 。 则有
Vuu CC 632)0()0(（ 2） 作 t≥0电路如图 7.9（ c） 所示,其等效电路如图 7.9（ d）
所示 。 则等效电阻
)0(6
15.02
2
36
36
// 21
tVeu
sRC
RRR
C
故电路的时间常数根据式 （ 7—3） 可得
)0(3
)(
)(
)0(2
)(
)(
)0(
)(
)(
2
2
1
1
te
dt
tdu
Cti
te
R
tu
ti
te
R
tu
ti
C
C
C
C
在图 7.9（ c）所示电路中,可求得
7.2.2 RL电路的零输入响应
1,RL电路 零输入响应的数字分析
＋
－
U
S
1
2
S ( t ＝ 0)
R
R
S
L
i
L
( a )
i
L
＋
－
u
L
LR
( b )
图 7.10 RL电路的零输入响应在图 7.10（ b）中,依 KVL,可得
)0(0 tRiu LL
将电感的伏安关系代入上式,可得 dt
diLu LL?
)0(0 tRidtdiL LL
(7—7)
式 (7—7)也是一个常系数一阶线性齐次微分方程,与式 （ 7—2）
相似,其通解的形式为 。 其中,τ是电路的时间常数 。 特征方程为
tL Aeti)(
L
Rp
RLp
0
则
)0( tAei tL
R
L
代入初始条件 iL(0+)=Io,可得 A=Io,故电路的零输入响应
)0()(
)0()(
)0()(
teRIeRI
dt
di
Ltu
teRIeRIRitu
teIeIti
t
o
t
T
R
o
L
L
t
o
t
T
R
oLR
t
o
t
T
R
oL
(7——8)
(7——9)
(7——10)
2,RL电路 零输入响应 曲线式 (7—10)中电感电压为负值,是因为电流不断减小,根据楞次定律可知,电感上的感应电压,力图维持原来电流不变,故实际的感应电压的极性与参考极性相反,因而为负值 。 （ 7—8）,（ 7—9）
和式 （ 7—10） 中可以看出,iL(t),uR(t)和 uL(t)都是按同一时间常数的指数规律衰减,它们随时间变化的曲线如图 7.11所示 。
RL电路的时间常数,同样具有时间量纲,其大小同样反映了电路中过渡过程进行的快慢 。
都可写成相同的形式,即
R
L
u,i
I
o
RI
o
0
－ RI
o
u
R
i
L
u
L
t
图 7.11 RL电路的零输入响应曲线
)0()0()( teftf t?
(7—11)
例 7.5 如图 7.12（ a）所示为一测量电路,已知 如图 7.12（ a）
所示为一测量电路,已知 L=0.4H,R=1Ω,US=12V,电压表的内阻
RV=10kΩ,量程为 50V。开关 S原来闭合,电路已处于稳态。在 t=0时,
将开关打开,试求,
（ 1） 电流 i(t)和电压表两端的电压 uV(t);
（ 2） t=0时（ S刚打开）电压表两端的电压。
R
L
V
＋
－
i
S ( t ＝ 0)
＋
u
V
－
U
S
( a )
＋
－
u
V
i
R
L
( b )
R
V
R
V
图 7.12 例 7.5图解 （ 1） t≥0电路如图 7.12（ b） 所示,为一 RL电路 。 电路的时间常数为
sRR L
V
5
3 1041010
4.0
)0(1012)()(
)0(12)0()(
12)0()0(
4
4
105.24
105.2
tVetiRtu
teeiti
R
U
ii
t
VV
t
t
S
电感中电流的初始值为根据式（ 7—11）,可得电感电流的表达式为电压表两端的电压为该数值远远超过电压表的量程,将损坏电压表 。 在断开电感电路时,
必须先拆除电压表 。 从上例分析中可见,电感线圈的直流电源断开时,线圈两端会产生很高的电压,从而出现火花甚至电弧,轻则损坏开关设备,重则引起火灾 。 因此工程上都采取一些保护措施 。
常用的办法是在线圈两端并联续流二极管或接入阻容吸收电路,如图 7.13（ a）,（ b） 所示 。
Vu V 41012
（ 2） 当 t=0时图 7.13 RL电路切断电源时的保护措施
R
L
S ( t ＝ 0)
＋
－
U
S
( a )
V
D
R
L
S ( t ＝ 0)
＋
－
U
S
( b )
R ′
C ′作业,P225页
7.2 7.3
7.4 7.5
7.3 一阶电路的零状态响应
7.3.1 RC电路的零状态响应
1,RC电路的零状态响应的数学分析根据图 7.16中 S闭合后的电路,依 KVL,有
＋
－
U
S
＋ －u
R
R
＋
－
u C C
S ( t ＝ 0) i
图 7.16 RC电路的零状态响应
)0(
)0(
tUu
dt
du
RC
tUuu
SC
C
SCR
将 R,C的伏安关系,
代入上式后可得
,,RiudtduCi RC
(7——12)
式 (7—12)是一个常系数一阶线性非齐次微分方程 。 由高等数学知识可知,它的解由其特解 ucp和相应齐次方程的通解 uch两部分组成,即
)0()1()(
)0()(
11
1
1
teUeUUtu
Ua
tAeUtu
Uu
Aeu
uuu
RC
S
RC
SSC
S
RC
SC
Scp
RC
ch
chcpC
对应于式 （ 7—12） 的齐次微分方程即式 （ 7—2）,其通解为非齐次方程式 (7—12)的特解为电路达到稳态时的解因此 uC的全解为将初始条件 uC(0+)=0代入上式,可得则电容电压的零状态响应为
2,RC电路的零状态响应曲线
uC(t),uR(t)和 i(t)随时间变化的曲线如图 7.17（ a）,（ b）
所示 。
7.3.2 RL电路的零状态响应
1,RC电路的零状态响应的数学分析
)0()(
)0()(
teURitu
te
R
U
dt
du
Cti
t
SR
t
SC
充电电流 i(t)和电阻电压 uR(t)为
(7—15)
(7—16)
＋
－
U
S
＋ －u
R
R
＋
－
u
L
i
L
L
S ( t ＝ 0)
图 7.18 RL电路的零状态响应根据图 7.18中 S闭合后的电路,依
KVL,有
)0( tURidtdiL SLL （ 7—17）
式 （ 7—17） 也是一常系数一阶线性非齐次微分方程,它的解同样由其特解 ilp和相应的齐次方程的通解 ilh组成,即
R
U
i
iii
S
P
hPL
1
11
其中,特解仍是电路达到稳态时的解齐次微分方程的通解与 RL串联电路的零输入响应形式相同,即
R
U
A
t
R
U
Aeti
Aei
S
S
t
L
t
L
R
h
)0()(
1
令,故得
R
L
将 iL(0+)=0代入上式可得
)0()1()(
)0()(
)0()1()(
teURitu
teU
dt
di
Ltu
te
R
U
e
R
U
R
U
ti
t
SLR
t
S
L
L
t
S
t
SS
L
则电路的零状态响应 iL(t)为电感电压 uL(t)和电阻电压 uR(t)分别为
(7—18)
(7—19)
U
S
u
0
u
R
u
L
t
U
S
i
L
0
t
R
( b )( a )
图 7.19 RL电路零状态响应曲线
2,RC电路的零状态响应
iL(t),uL(t)和 uR(t)随时间变化的波形曲线如图 7.19（ a）,（ b）
所示 。
RC电路的零状态响应电压 uC(t)和 RL电路的零状态响应电流
iL(t),都可以写成相同的形式,即
)0()1)(()( teftf
t
(7—20)
例 7.6 图 7.20所示电路,t=0时开关 S闭合 。 已知 uC(0_)=0,求 t≥0
时的 uC(t),iC(t)和 i(t)。
u
C
＋
－
1 5 V
i
6 k?
3 k? i C
＋
－
S ( t ＝ 0)
C
5? F
图 7.20 例 7.6图解 因为 uC(0_)=0,故换路后电路属于零状态响应 。 因此电容电压可套用式 （ 7—20） 求出 。
又因为电路稳定后,电容相当于开路,所以
s
RC
Vu
C
3
63
1010
10510
63
63
1015
63
6
)(
时间常数
)0()1(
3
5
6
)(
)(
)0(5)(
)0()1(10)(
1 0 0
1 0 0
1 0 0
tme
tu
ti
tme
dt
du
Cti
tVetu
tC
C
tC
C
t
C根据式（ 7—20）得则例 7.7 图 7.21所示电路,换路前电路已达稳态,在 t=0时开关 S打开,求 t≥0时的 iL(t)和 uL(t)。
解 因为 iL(0_)=0,故换路后电路的响应为零状态响应 。 因此电感电流表达式可套用式 （ 7—20） 。 又因为电路稳定后,电感相当于短路,所以
u
L
2?
R
2
i
L
＋ －
S ( t ＝ 0)
3 H
4?
R
1
I
S
3A
s
R
L
I
RR
Ri
SL
50
42
3
13
42
2)(
21
1
时间常数图 7.21 例 7.7图
)0(6)(
)0(1)(
2
2
tVe
dt
diLtu
teti
tL
L
t
L
根据式（ 7—20）得
7.4 一阶电路的全响应
1,一阶电路全响应的数学分析根据图 7.23中 S闭合后的电路,依 KVL,有
u
C
＋
－
U
S
＋
－
S ( t ＝ 0)
C
R
图 7.23 RC电路的全响应RC
ch
SC
C
Aeu
tUu
dt
du
RC
1
)0(
（ 7—21）
对应于式 (7—21)的齐次微分方程的通解为
)0()(
1
tAeUtu
Uu
RC
SC
Scp
非齐次微分方程的特解为因此,微分方程式 （ 7—21） 的全解为电路的全响应可分解为稳态分量和暂态分量之和。即全响应 =稳态分量 +暂态分量
2,RC电路的全响应曲线
)0()()(
1
teUUUtu
UUA
RC
SoSC
So
代入初始条件 uC(0+)=Uo,可得则全响应稳态分量全响应暂态分量
u
C
U
S
U
o
0
U
o
－ U
S
全响应＝稳态分量
u
C
0
U
o
＝ U
S
t
t
稳态分量全响应暂态分量
u
C
U
S
U
o
0
U
o
－ U
S
t
( a ) U
o
＜ U
S
( b ) U
o
＝ U
S
( c ) U
o
＞ U
S
图 7.24 三种情况下 uC随时间变化的曲线
(7—23)
(7—22)
图 7.24给出了 Uo<US,Uo=US,Uo>US三种不同初始状态下,
RC电路的全响应 uC(t)的曲线。还可将式（ 7—23）写成下列形式
)1( 11 RCSRCoC eUeUu (7—24)
全响应还可以分解为零输入响应和零状态响应的叠加 。 即全响应 =零输入响应 +
)1)(()0()( tt efeftf
根据线性电路的叠加定理,电路的全响应 uC(t)可以看作是分别由外加激励 US和初始状态 uC(0+)单独作用时产生响应的叠加 。
当 US=0时,响应 uC(t)′由初始状态 uC(0+)作用所产生,它就是零输入响应,则
)0()(
1
' teUtu RC
oC
)0()1()(
1
'' teUtu RC
SC
当 uC(0+)=0时,响应 uC(t)″由外加激励 US所产生,它就是零状态响应,
则因此,电路的全响应为
)0()1()()()(
11
''' teUeUtututu RC
SRCoCCC
上式与式（ 7—24）完全相同。
图 7.25给出了 Ｕ o<US,Uo=US,Uo>US三种情况下,用零输入响应和零状态响应叠加而得到的 uC(t)的全响应曲线,其结果与稳态零状态响应全响应
u
C
U
S
U
o
0
全响应
u
C
0
U
S
t t
全响应
u
C
U
o
0
t
( a ) U
o
＜ U
S
( b ) U
o
＝ U
S
( c ) U
o
＞ U
S
零输入响应零状态响应零输入响应
U
S
图 7.25 三种情况下 uC随时间变化的曲线对于一阶电路全响应,暂态响应分量是,A是初始值与稳态值之差,即 A= f(0+)— f(∞),当 f(0+)= f(∞)时,则暂态响应分量为零,电路无过渡过程 。 其中稳态值 f(∞) 可以由直流稳态电路求得,此时,电容相当于开路,电感相当于短路 。
例 7.8 图 7.26所示电路,在 t=0时开关 S打开,uC(0+)=5V。 求 t≥0
电路的全响应 uC(t)。
解 作 t≥0电路如图 7.26（ b） 所示 。 用响应的两种分解方法求全响应 uC(t)。
方法 1 全响应分解为零输入响应和零状态响应的叠加 。
tAe?
20?
S ( t ＝ 0)
R
1
1 A
R
2
30?
u
C
＋
－
C
0,5 F
I
S
20?
R
1
1 A
R
2
30?
u
C
＋
－
C
0,5 F
( a ) ( b )
I
S
图 7.26 例 7.8图按图 7.26（ b） 所示电路,当 IS=0时,uC(0+)=5V,则电路的零输入响应为
)0(5)(
255.0)2030(
5)0()(
25'
'
tVetu
sRC
eeutu
t
C
tt
CC
故得出按图 7.26(b)所示电路,当 uC(0+)=0时,IS=1A,则电路的零状态响应为
)0()1(20)1)(()( 25'' tVeeftu
tt
C?
电路的全响应电容电压则为
)0(1520)1(205)()()( 252525''' tVeeetututu
ttt
CCC
方法 2 全响应分解为稳态分量和暂态分量的叠加。
)0(1520)(
15205)()0(,
20)(
25
25
tVetu
VffAAe
Vu
t
C
t
C
稳态分量暂态分量为所以全响应为作业,P226页
7.11 7.12 7.13 7.14
7.5 一阶电路的三要素法
1,一阶电路的三要素与三要素法在动态电路中任一电流或电压均由初始值 f(0+),稳态值 f(∞)和时间常数 τ三个要素所确定 。 由于一阶电路的全响应为零输入响应与零状态响应之和,所以全响应是动态电路响应的一般形式 。 若全响应变量用 f(t)表示,则全响应可按下式求出
teffftf )()0()()( (7—25)
由上式可见,对一阶电路的分析,只要计算出响应变量的初始值,
稳态值和时间常数三个要素,依式 （ 7—25） 便可直接得出结果,这一分析方法,称为一阶电路分析的三要素法 。
2,三要素的计算
(1)初始值 f(0+)。 第一步作 t=0—等效电路,确定独立初始值 ;第二步作 t=0+等效电路,计算相关初始值 。
(2)稳态值 f(∞)。 可通过作换路后 t=∞稳态等效电路来求取 。 作
t=∞电路时,电容相当于开路 ;电感相当于短路 。
(3)时间常数 τ。 RC电路 τ=RC,RL电路 τ=L/R。 其中 R是换路后从动态元件两端看进去的代文宁等效电阻 。,三要素法仅适用于一阶线性电路,对于二阶或高阶电路是不适用的 。
例 7.9 图 7.28（ a） 所示电路,在 t=0时开关 S打开,设 S打开前电路已处于稳态,已知 US=24V,R1=8Ω,R2=4Ω,L=0.6H。 求 t≥0时的 iL(t)
和 uL(t)并画出其波形 。
解 (1） 求初始值 iL(0+),uL(0+)。 作 t=0—等效电路如图 7.28
（ b） 所示 。 则有
ARUii SLL 6424)0()0(
2
作 t=0+等效电路如图 7.28（ c） 所示 。 依 KVL,可得
S ( t ＝ 0)
R
1
U
S
＋
－
C
R
2
( a )
S ( t ＝ 0)
U
S
＋
－
C
R
2
( b )
S ( t ＝ 0)
R
1
U
S
＋
－
L
R
2
( c )
S ( t ＝ 0)
R
1
＋
－
L
R
2
( d )
U
S
S ( t ＝ 0)
L
R
( e )
u
S
＝ s i n? t V
S ( t ＝ 0)
8?
1 2 V
＋
－
( f )
4?
C
＋
－
4 V
R
1
图 7.28 例 7.9图
VRRiUu LSL 48)48(624)()0()0( 21
（ 2） 求稳态值 iL(∞),uL(∞)。 作 t=∞稳态等效电路如图 7.28（ d）
所示,则有
2
48
24)(
0)(
21 RR
Ui
u
S
L
L
（ 3） 求时间常数 τ。 先计算电感元件断开后端口电路的输入电阻,电路如图 7.28（ e） 所示,于是有
s
K
L
RRR
05.0
12
6.0
124821
则时间常数为根据式 （ 7—25） 计算出各响应量为
)0(48)048(0)(
)0(42)26(2)(
2020
2005.0
tVeetu
teeti
tt
L
t
t
L
iL(t),uL(t)的波形如图 7.28（ f）所示。
例 7.10 图 7.29（ a） 所示电路,在 t=0时开关 S闭合,S闭合前电路已 达稳态 。 求 t≥0时 uC(t),iC(t)和 i(t)。
解 (1） 求初始值 uC(0+),iC(0+),i(0+)。 作 t=0—等效电路如图
7.29（ b） 所示 。 则有
20)0(6)0(4
20)0(4)0(8
20)0()0(
C
C
CC
ii
ii
Vuu
作 t=0+等效电路如图 7.29（ c） 所示 。 列出网孔电流方程
S ( t ＝ 0)
4 k?
2 k?
4 k?
2? F
＋
－
u
C
＋
－
2 0 V
( a )
4 k? 2 k?
＋
－
＋
－
2 0 V
( b )
u
C
(0
－
)
4 k? 2 k?
4 k?
＋
－
＋
－
2 0 V
(c )
i (0
＋
)
2 0 V
i
C
(0
＋
)
4 k? 2 k?
( e )
4 k?
R
4 k? 2 k?
＋
－
( d )
4 k?
＋
－
2 0 V
i ( ∞ )
i
C
( ∞ )
u
C
( ∞ )
i
i
C
图 7.29 例 7.10图
mi
miC
25.1)0(
5.2)0(
联立求解可得
（ 2） 求稳态值 uC(∞),iC(∞),i(∞)。 作 t=∞时稳态等效电路如图 7.29（ d） 所示,则有
mi
i
Vu
C
C
5.2
44
20
)(
0)(
1020
44
4
)(
（ 3） 求时间常数 τ。 将电容元件断开,电压源短路,如图 7.29
（ e） 所示,求得等效电阻
sRC
kR
363 108102104
4
44
442
时间常数
(4) 根据式（ 7—25）得出电路的响应电压、电流分别为
)0()1(10)1020(10)( 1 2 51 2 5 tVeetu ttC
例 7.11 如图 7.30（ a） 所示含受控源电路,开关 S闭合前电路已处于稳态,在 t=0时开关 S闭合 。 求 t≥0时的 iL(t),uL(t)和 i(t)。
)0(25.15.2)5.225.1(5.2)(
)0(5.2)(
1 2 51 2 5
1 2 5
tmeeti
tmeti
tt
t
C
＋
－
1 0 V
＋
－
u
L
i
L ＋
－
u
L
2
1
5
＋
－
1 0 V
5
S ( t ＝ 0)
( a ) ( b )
＋
－
u
L
(0
＋
)
2
1
1 A
＋
－
1 0 V
5
＋
－
u
L
(0
＋
)
i
L
(0
＋
)
i (0
＋
) 5
( c )
＋
－
＋
－
1 0 V
5
i
L
( ∞ )
i ( ∞ )
5
u
L
( ∞ ) ＝ 0
u
L
(∞ ) ＝ 0
2
1
( d )
＋
－
5
5
＋
－
U
I
2
U
10
2 H
i
图 7.30 例 7.11图解 （ 1） 求 iL(0-),因此时电路已处于稳态,2 H电感相当于短路线,故 iL(0-)=1A。
（ 2） 求初始值 i L(0+),uL(0+),i(0+),因 iL(0_)= 1A,故由换路定律得作 t=0+等效电路如图 7.30（ b） 所示,这时电感相当于 1A的电流源 。 列出节点电位方程
3
4
5
3
10
10
5
)0(10
)0(
3
10
)0(
5
)0(
2
1
1
5
10
)0()
5
1
5
1
(
L
L
L
L
u
i
Vu
u
u
解之,得
1)0()0( LL ii
（ 3） 求稳态值 iL(∞),uL(∞),i(∞)。 作 t=∞时稳态等效电路如图 7.30（ c） 所示,则有
（ 4） 求时间常数 τ。 先计算电感元件断开后端口电路的输入电阻,其等效电路如图 7.30（ d） 所示 。 图中在端口外加电压 U,产生输入电流为
2
5
10)()(
0)(
L
L
ii
u
3
10
10
3
1055
2
1
5
I
U
R
U
UUUUU
I
故则时间常数为
s
R
L
5
3
3
10
2
(5） 根据式 （ 7—25） 计算出各响应量为
)0(
3
2
2)2
3
4
(2)(
)0(
3
10
)(
)0(2)21(2)(
3
5
3
5
3
5
3
5
3
5
teeti
tVetu
teeti
tt
t
L
tt
L
例 7.12 如图 7.31（ a）所示电路中,已知 US=12V,
R1=3kΩ,R2=6kΩ,C=5μF,开关 S原先断开已久,电容中无储能。
t=0时将开关 S闭合,经 0.02s后又重新打开,试求 t≥0时的 uC(t)及解 由于开关 S闭合后又打开,故电路的过渡过程分为两个阶段 。
(1) t=0作为换路时刻,开关 S闭合后,为电容的充电过程,利用三要素法求得电容电压 uC的变化规律 。
t ＝ 0,0 2 s
S( t ＝ 0)
3 k?
R
1
6 k?
R
2
U
S
＋
－
1 2 V
C
5? F
＋
－
u
C
0 0,0 2
u
C
/ V
8
6,9 2
t
/ s
( a )
( b )
图 7.31 例 7.12图
(2)以 t=0.02s 作为新的换路时刻,开关 S打开后,电容的放电过程开始,利用三要素法求出电容放电时电压的变化规律 。
)02.00()1(8)(
01.010510
63
63
812
63
6
)(
0)0(
1 0 0
63
21
2
stVetu
sRC
VU
RR
R
u
u
t
C
SC
C
则
sCR
Vu
Veuuu
C
CCC
03.0105106
0)(
92.6)1(8)02.0()0()0(
63
2
02.0100
作业,P227页
7.16 7.17 7.18 7.19
)02.0(92.6)( )02.0(3.33 stVetu tC
uC(t)的变化曲线如图 7.31（ b）所示。
7.6 二阶电路分析
1,RLC 串联电路零输入响应的数学分析依 KVL,得
R
＋ －u
R
S ( t ＝ 0)
＋
－
u
C
＋
－
u
L
LC
i
图 7.33 RLC串联电路的零输入响应
0 CLR uuu
按图中标定的电压、电流参考方向有
2
2
dt
ud
LC
dt
di
Lu
dt
du
RCRiu
dt
du
Ci
C
L
C
R
C
将以上各式代入 KVL方程,便可以得出以 uC为响应变量的微分方程,为
2
0
22
2,1
2
2
2
1
)
2
(
2
01
)0(0
aa
LCL
R
L
R
p
R C pLC p
Tu
dt
ud
RC
dt
ud
LC
C
CC
式 (7—26)为一常系数二阶线性齐次微分方程,其特征方程为其特征根为
(7——27)
(7——26)
式中,α=R/2L称为衰减系数,称为固有振荡角频率 。
(1) 当 (R/2L)2>1/LC时,p1,p2为不相等的负实根,称为过阻尼情况 。 特征根为
LC10
tptp
C eAeAtu
aap
21
21
2
0
2
2,1
)(
微分方程的通解为
(7—28)
式中待定常数 A1,A2由初始条件来确定,其方法是当 t=0+时刻,
则由式 (7—28)可得
C
i
pApA
dt
tdu
u
AAtu
t
C
C
C
)0()(
)0(
)(
22110
21
对式 (7—28)求导,可得 t=0+时刻 uC(t)对 t的导数的初始值为
(7—29)
(7—30)
联立求解式 (7—29)和式 (7—30),便可以解出 A1,A2。
根据式 (7—28)可见,零输入响应 uC(t)是随时间按指数规律衰减的,为非振荡性质 。 uC(t)的波形如图 7.34所示 。
u
C
O t
图 7.34 过阻尼时的 uC(t)波形
(2)当 (R/2L)2=1/LC时,p１,p2为相等的负实根,称为临界阻尼情况 。 特征根为
at
C etAAtu
pp
)()( 21
21?
微分方程的通解为
(7—31)
式中常数 A1,A2由初始条件 uC(0+)和 uC′(0+)来确定 。 uC(t)的波形图根据式 (7—31)可知,这种情况的响应也是非振荡的 。 uC(t)随时间变化的波形图如图 7.35所示 。
(3)当 (R/2L)2<1/LC时,p1,p2为具有负实部的共轭复根,称为欠阻尼情况 。 特征根为
djL
R
LC
j
L
Rp 2
2,1 )2(
1
2
根据式 (7—33)可知,响应随时间变化的规律具有衰减的振荡特性,它的振幅 随时间按指数规律衰减,衰减的快慢取决于衰减系数 α的大小,α越大则衰减就越快 。 衰减振荡的角频率为
ωd,ωd越大,则振荡周期 T=2π/ωd就越小 。 uC(t)的波形图如图 7.36
所示 。
(4)当 R=0时,p1,p2为一对共轭虚根,称为无阻尼情况 。 特征根为
22
0
2)
2
(1
L
R
LCd
式中 (7—32)
称为阻尼振荡角频率。微分方程的通解为
)s in ()( tAetu datC (7—33)
式中常数 A和 φ由初始条件确定。
ateA
ojp2,1
响应的表达式为从式 (7—34)和 uC(t)的波形图中可见,电路的零输入响应是不衰减的正弦振荡,其角频率为 ω0。 由于电路电阻为零,故称为无阻尼等幅振荡情况 。
)s in ()( tAtu oC (7—34)
A和 φ可以直接由初始条件确定。 uC(t)的波形如图 7.37所示。T
O t
A e
－ t
( 包络线 )
u
C
u
C
O t
图 7.36 欠阻尼情况电路零输入响应
uC(t)波形曲线图 7.37 无阻尼等幅振荡情况电容电压响应波形图
2,以上几种情况的物理意义电容和电感都是储能元件,只有电阻是耗能元件 。 电容放电时它所储存的电场能量,一部分消耗在电阻中,一部分转移到电感储存于磁场中 。 在过阻尼情况下,由于 R较大,能量消耗极为迅速,因此电感获得的磁场能量不可能再返回给电容,而是随电路电流的下降而逐渐释放出来,一起消耗在电阻上 。 所以,电容电压 uC是单调下降的,
形成非振荡的放电过程 。 而在欠阻尼情况下,由于 R较小,电容放电时,被电阻消耗的能量较少,大部分电场能转变为磁场能储存于电感中 。 当电容储能为零时,电感开始放电,电容被反向充电 。 当电感储能为零时,电容又开始放电 。 这样周而复始 。 由于电阻不停地消耗着能量,因此电容电压呈指数衰减的振荡过程 。 如果 R=0,即电路中无能量损耗,则在振荡过程中,电容释放给电感的能量和电感吸收后又释放给电容的能量将始终相同 。 因此电容电压 uC的振幅将不会衰减,振荡将无限制地持续下去,形成等幅振荡 。 这就是无阻尼情况 。
例 7.13 图 7.33电路中,已知 L=10H,C=0.1F。
（ 1） R=40Ω,uC(0+)=16V,i(0+)=0.4A时的零输入响应 uC(t)。
（ 2） R=10Ω,uC(0+)=10V,i(0+)=1A时的零输入响应 uC(t)。 并画出其波形 。
解 （ 1） R=40Ω时,按式 (7—27)求方程特征根为
321.010 1)102 40(102 401)2(2 222,1 LCLRLRp
显然,电路属于过阻尼情况 。 根据式 (7—28),电路方程的解为
ttC eAeAtu 7 3 2.322 6 8.01)(
根据初始条件确定常数 A1,A2。 当 t=0+时刻
4)0(7 3 2.32 6 8.0)0(
16)0(
21
21
C
iAAu
AAu
C
C
上两式联立解出,A1=16.083,A2=—0.083,故得出零输入响应电容电压为
)0(083.0083.16)( 7 3 2.32 6 8.0 tVeetu ttC
uC(t)的波形图示于图 7.38中。
u
C
/ V
0
1 6,0 8 3
16
－ 0,0 8 3
u
C
t / s
u
C
/ V
1 1,5 5
0
－ 1 1,5 5
1 1,5 5 e
－ 0,5 t
t / s
图 7.38 例 7.13在过阻尼时的 uC波形 图 7.39 例 7.13在欠阻尼时的 uC波形
（ 2） R=10Ω时,方程的特征根为
8 6 6.05.01)21(21 22,1 jp
显然,电路属于欠阻尼情况。根据式（ 7—33）可得零输入响应电容电压为
)866.0s in ()( 5.0 tAetu tC
根据初始条件确定常数 A和角度 φ值 。
当 t=0+时刻
10
)0(
c o s866.0s i n5.0)0(
s i n
10
10s i n)0(
C
i
AAu
A
Au
C
C
再有
(A)
(B)
将 (A)式代入 (B)式得
)0()608 66.0s i n (55.11)(
55.11
)60s i n (
10
60
7 32.1
5
66.8
t a n
10
s i n
c os
108 66.0105.0
5.0
ttetu
A
ot
C
o
o
故解得电路的零输入响应电容电压为例 7.14 如图 7.40所示 RLC串联电路,开关 S在 t=0时闭合,已知 R=10Ω,L=1H,C= 1/9F,US=16V,求零状态响应 uC(t)。
解 根据电路及元件的两种约束关系,t≥0电路的微分方程为这是一常系数线性二阶非齐次微分方程,根据数学理论,该方程的解应由两部分组成,即
SCCC Uudt
udRC
dt
udLC
2
2 (7—35)
chcpC uuu
R L
U
S
S ( t ＝ 0)
＋
－
u
C
＋
－
C
i
图 7.40 例 7.14图式中的 ucp为方程的特解,实际上就是电路的稳态值 。 式中的
uch是方程式 (7—35)所对应的齐次方程的通解 。 解的形式根据特征根的不同情况来确定,分为过阻尼,欠阻尼,临界阻尼和无阻尼四种形式 。
本题由已知条件得特征根为
9,1
451)
2
(
2
21
2
2,1
pp
LCL
R
L
Rp
故电路属于过阻尼情况 。 齐次微分方程的通解为
tt
chcpC
Scp
tttptp
ch
eAeAuutu
VUu
eAeAeAeAu
9
21
9
2121
16)(
16
21
非齐次微分方程的特解为故得根据初始条件确定常数 A1,A2。 。
)0(1816)(
2,18
0
)0(
9)0(
016)0(
9
2
21
21
21
tVeAetu
AA
C
i
AAu
AAu
tt
C
C
C
联立求上两式得出响应曲线如图 7.41所示。
u
C
/ V
t / s
16
0
图 7.41 例 7.14的响应 uC波形作业,P223页 （ 1）
小 结
1.动态电路的过渡过程一阶电路在过渡过程中电压电流的变化规则是从换路后的初始值按指数规律变化到稳态值的过程 。 过渡过程进行的快慢取决于电路的时间常数 。 。 换路前后瞬间,电感电流,电容电压不能突变,称为换路定律 。 即
)0()0(
)0()0(
CC
LL
uu
ii
利用换路定律和 0+等效电路,可求得电路中各电流、电压的初始值。
2.
零输入响应就是无电源一阶线性电路,在初始储能作用下产生的响应 。 其形式为
)0()0()( teftf t?
式中,f(0+)是响应的初始值,τ是电路的时间常数,RC电路的
τ=RC,RL电路的 τ=L/R,它是决定响应衰减快慢的物理量,是重要的常数 。
3,一阶电路的零状态响应零状态响应就是电路初始状态为零时由输入激励产生的响应 。
其形式为
)0()1)(()( teftf
t
式中,f(∞)是响应的稳态值。
4.一阶电路的全响应全响应就是初始状态不为零的电路在输入恒定直流激励下产生的响应 。 其两种分解为
5.
一阶电路的响应 f(t),由初始值 f(0+),稳态值 f(∞)和时间常数 τ三要素所确定,利用三要素公式可以简便地求解一阶电路在直流电源作用下的电路响应 。 三要素公式为计算响应变量的初始值 f(0+)和稳态值 f(∞),分别用 t=0+电路和
t=∞电路解出 。 作 t=0+电路时 uC(0+)和 iL(0+)分别视为电压源和
)0()()()0()(
)0()1)(()0()(
tfefftf
tefeftf
t
tt
(零输入响应 ) (零状态响应 )
(暂态响应 ) (稳态响应 )
)0()()0()()( teffftf t?
电流源。作 t=∞电路时,电容相当于开路 ;电感相当于短路。时间常数
τ中的电阻 R,
6.无电源二阶电路的零输入响应和直流二阶电路的零状态响应明确由于特征根 p1,p2取值的 4种不同的情况,二阶电路的响应分为过阻尼,临界阻尼,欠阻尼和无阻尼 。
