第 6章 非正弦周期信号电路
6.1 非正弦周期信号及分解
6.2 非正弦周期信号的频谱
6.3 非正弦周期信号的有效值、
平均值和平均功率
6.4 非正弦周期电路的计算小 结
6.1 非正弦周期信号及分解
6.1.1 非正弦周期信号几种常见的非正弦波图 6.1
（ a） 尖脉冲电流； （ b） 矩形波电压 ; （ c） 锯齿波电压
i
t0 T
( a )
u
t0 T
( b )
u
t0 T
( c )
6.1.2 非正弦周期信号的分解在介绍非正弦周期信号的分解之前,我们先讨论几个不同频率的正弦波的合成 。 设有一个正弦电压 u1=U1msinωt,其波形如图
6.2（ a） 所示 。 显然这一波形与同频率矩形波相差甚远 。 如果在这个波形上面加上第二个正弦电压波形,其频率是 u1的 3倍,而振幅为 u1的 1/3,则表示式为
tUtUu mm 3s in31s in 112
其波形如图 6.2（ b） 所示 。 如果再加上第三个正弦电压波形,其频率为 u1的 5倍,振幅为 u1的 1/5,其表示式为
tUtUtUu mmm 5s i n513s i n31s i n 1113
其波形如图 6.2（ c） 所示 。 照这样继续下去,如果叠加的正弦项是无穷多个,那么它们的合成波形就会与图 6.2（ d） 的矩形波一样 。
( a )
t
u
1
0
( b )
t
u
2
0
( c )
t
u
3
0
( d )
t
u
0
图 6.2 矩形波的合成由此可以看出,几个不同频率的正弦波可以合成一个非正弦的周期波 。 反之,一个非正弦的周期波可以分解成许多不同频率的正弦波之和 。
由数学知识可知,如果一个函数是周期性的,且满足狄里赫利条件,那么它可以展开成一个收敛级数,即付里叶级数 。 电工技术中所遇到的周期函数一般都能满足这个条件 。 设给定的周期函数
f（ t） 的周期为 T,角频率 ω＝ 2π/T,则 f（ t） 的付里叶级数展开式为
1
0
22110
)s i n (
)s i n (
)2s i n ()s i n ()(
k
kkm
kkm
mm
tkAA
tkA
tAtAAtf
（ 6 — 1）
利用三角函数公式,还可以把式（ 6 — 1）写成另一种形式,
1
0
22110
)s i nc o s(
)s i nc o s(
)2s i n2c o s()s i nc o s()(
k
kk
kk
tkbtkaa
tkbtka
tbtatbtaatf
（ 6 — 2）
式中,a0,ak,bk称为付里叶系数,可由下列积分求得,
2
00
2
00
2
00
0
)(s i n)(
1
s i n)(
2
)(c o s)(
1
c o s)(
2
)()(
2
1
)(
1
ttdktft d tktf
T
b
ttdktft d tktf
T
a
tdtfdttf
T
a
T
k
T
k
T
(6 — 3)
k
k
k
kkkm
b
a
baA
aA
a r c ta n
22
00
式 （ 6 — 1） 和式 （ 6— 2） 各系数之间存在如下关系,
(6 — 4)
例 6.1 已知矩形周期电压的波形如图 6.3所示 。 求 u（ t） 的付里叶级数 。
解 图示矩形周期电压在一个周期内的表示式为
kkmk
kkmk
Ab
Aa
c o s
s in
(6 — 5)
图 6.3 例 6.1 图
t
u
0
U m
－ U m
TT
2
)
2
(
)(
)
2
0(
Tt
T
U
tu
T
tU
m
t
m
由式（ 6— 3）可知,
)()(
2
1 2
00?
tdtua
0)()(2 1 200 tdUtdU mm
)(s i n)(s i n
1
)(s i n)(
1
0s i ns i n
)(c o s
1
)(c o s
1
)(c o s)(
1
2
00
2
0
2
0
2
00
2
0
ttdkUttdkU
ttdktub
tk
k
U
tk
k
U
ttdkUttdkU
ttdktua
mm
k
mm
mm
k
)c o s1(
2
c o s
2
)(s i n
2
0
0
k
k
U
tk
k
U
ttdk
U
m
mm
0,1c os
4
,1c os
k
m
k
bk
k
U
bk
当 k为奇数时,
当 k为偶数时,
由此可得为奇数）ktk
k
ttt
U
tu m
()s i n
1
5s i n
5
1
3s i n
3
1
( s i n
4
)(
例 6.2 求图 6.4所示周期信号的付里叶级数展开式。
解 i (t)在一个周期内的表示式为
t
i ( t )
0
I
m
－
T
2
T
2
图 6.4 例 6.2 图
2
2
2
0
0
2
2
0
2
2
2
2
0
0
c o s
4
c o s)(
2
0
2
2
)(
1
)
22
(
2
)(
T
T
m
T
k
T
T
m
T
T
m
T
m
t d tkt
T
I
t d tkti
T
a
t d tt d t
T
I
t d t
T
I
dtti
T
a
T
t
T
t
T
I
ti
利用分步积分法及,得
T
2?
),3,2,1()
c os
(
2
)(
s i n4
s i n
4
s i n)(
2
0
)(
c os
(0
4
s i ns i n4
2
2
22
2
2
2
0
2
2
22
2
2
2
2
2
k
k
kI
k
tt c o nk
k
tk
T
I
t dtkt
T
I
t dtkti
T
b
k
tk
T
I
dt
k
tk
k
tkt
T
I
a
m
T
T
m
T
T
m
T
k
T
T
m
T
T
T
T
m
k
利用函数的对称性质,可使系数 a0,ak,bk的确定得到简化。
(1) 如果周期函数的波形对称于横轴 。 即在一个周期内,横轴上方的正面积与横轴下方的负面积互相抵消,就不存在直流分量 。 如图 6.3所示 。
(2) 如果周期函数的波形对称于坐标原点,即 f（ t） ＝－ f（ － t）
为奇函数 。 如图 6.4所示 。 其付里叶级数展开式将不含直流分量和余弦项,只含正弦项 。
(3) 如果周期函数的波形对称于纵轴,即 f（ t） ＝ f（ － t） 为偶函数 。 如图 6.5所示 。 将它分解成付里叶级数时,将不含正弦项,只含有直流分量和余弦项 。
(4) 如果函数的波形是镜像对称,即 f(t)=－ f(t+T/2)。 也就是在任一周期内把第二个半波的波形向前移动
i(t) 的付里叶级数展开式为
)3s i n312s i n21( s i n2s i n)(
1
tttItkbti
k
m
k
t
f ( t )
0
A m
T
2
T t
f ( t )
0 T
图 6.5 偶函数波形 图 6.6 镜像对称波形成作业,P181页 （ 3）
P194页 6.1
6.2 非正弦周期信号的频谱
)
2
7s i n (
7
1
)
2
5s i n (
5
1
)
2
3s i n (
3
1
)
2
s i n (
4
7c o s
7
1
5c o s
5
1
3c o s
3
1
c o s
4
)(
t
ttt
tttttf1,振幅频谱图的作法
A
k
0
A
0
A
1
A
3
A
5
A
7
k?7?5?3
图 6.9 振幅频谱图画出一个直角坐标,以谐波角频率 kω为横坐标,在各谐波角频率所对应的点上,作出一条条垂直的线叫做谱线 。 如果每条谱线的高度代表该频率谐波的振幅,这样画出的图形称为振幅频谱图,
如图 6.9所示 。 将各谱线的顶点连接起来的曲线 （ 一般用虚线表示 ）
称为振幅包络线 。
例 6.3 图 6.10（ a） 为电视机和示波器扫描电路中常用的锯齿波,试画出其振幅频 谱图 。
解 查表 6.1,可得锯齿波电压的付里叶级数展开式为
k?
A
k
0?
( b )
U
m
2 U m
U
m
U
m
U
m
U
m
t
u
0 T
( a )
U
m
图 6.10 例 6.3 图根据上式可以画出其频谱图如图 6.10（ b）所示。
例 6.4 图 6.11给出了矩形脉冲电压的波形,它是无线电技术中一种很重要的信号 。 其中脉冲幅度为 Um,脉冲的持续时间为 τ,脉冲的周期为 Ｔ,试画出其频谱图 。
)3s i n312s i n21( s i n2)( tttUUtu mm
t0 T
( a )
－
2
2
u
k?
A
k
0
( b )
2?
4?
T = 3?
2 a
0
图 6.11 例 6.4 图解 该信号在一个周期的数学表达式为
)
22
,
22
(0
)(
)
22
(
T
tt
T
tu
tU m
由于此信号对称于纵轴,因此,bk＝０,付里叶级数不含正弦分量,只含直流分量和余弦 分量 。
t d tkU
T
t d tktu
T
a
T
U
dtU
T
dttu
T
a
T
T m
T
Tk
m
m
T
T
c o s
2
c o s)(
2
1
)(
1
2
2
2
2
2
2
2
2
0
若令 T＝ 3τ,则其频谱图如图 6.11(b)所示。
2,周期信号的频谱特性。
(1) 频谱是由一系列不连续的谱线组成。
(2) 相临两条谱线之间的间隔是基波频率 ω,谱线的这种
2
)
2
s in (
2
)
2
s in (
2
s in
2
2
2
k
k
T
U
k
Tk
U
tk
tk
U
m
mm
矩形脉冲的付里叶级数展开式为
11
0 c o s
2
2
s i n
2c o s)(
k
m
k
k tk
k
k
T
U
tkaatu?
性质称为谱波性。
(3) 各谱线的高度,总的趋势是逐渐减小的。
(4) 如果脉冲的周期 T不变,脉冲的持续时间 τ减小,也就是脉冲变窄 。 此时,振幅频谱的收敛速度将变慢 。 如图 6.12（ b） 所示,
此图的 τ′=τ/2,T=6τ′。 与图 6.12(a)比较 （ T=3τ）,收敛速度明显变慢了 。
(5) 如果脉冲的持续时间 τ不变,周期 T增大时,谱线将变密 。
如图 6.12（ c） 所示,此图的 T′=6τ。
作业,P195页 6.2
6.3 非正弦周期信号的有效值、
6.3.1 有效值
T dtiTI 0 21
(6 — 6)
下面我们讨论非正弦周期信号的有效值与各次谐波有效值的关系 。 若将电流 i 分解成付里叶级数,
1
0
22110
)s i n (
)s i n (
)2s i n ()s i n (
k
kkm
kkm
mmm
tkII
tkI
tItIIi
将上式积分号内直流分量与各次谐波之和的平方展开,结果有以下四种类型,
dttkIITI
k
kkm
T
2
1
00 )s i n (
1
将该表达式代入式（ 6— 6）得
)(0)s i n ()(s i n2
1
)4(
0)(s i n2
1
)3(
2
)(s i n
1
)2(
1
)1(
0
0
0
2
2
2
0
2
2
0
0
2
0
qkdttqItkI
T
dttkII
T
I
I
dttkI
T
IdtI
T
qqmkkm
T
kkm
T
k
km
k
T
km
T
因此,电流 i 的有效值可按下式计算,
22
2
2
1
2
0
1
22
0
22
2
2
1
2
0
1
22
0
k
k
k
k
k
k
UUUUUUU
IIIIIII
同理,非正弦周期电压的有效值为
(6 — 7)
(6 — 8)
所以,非正弦周期电流和电压的有效值等于各次谐波有效值平方和的平方根 。 各次谐波有效值与最大值之间的关系为
2,2
kmkkmk UUII
例 6.5 已知周期电流的付里叶级数展开式为
i=100—63.7 sinωt—31.8 sin 2ωt—21.2 sin 3ωt A
求其有效值。
解
15
2
2.21
5.22
2
8.31
45
2
7.63
100
3
2
1
0
I
I
I
I
所以
9.1 1 2155.22451 0 0 222223222120 IIIII
电流 i的有效值为 112.9 A 。
6.3.2 平均值实践中还会用到平均值的概念 。 以电流为例,其定义为
dtiTI Tav 01 (6 — 9)
即非正弦周期电流的平均值等于此电流绝对值的平均值 。 式 （ 6 —
9） 也称为整流平均值,它相当于正弦电流经全波整流后的平均值 。
例如,当 i=I m sin ωt 时,其平均值为
II
I
dttI
T
dttI
T
dti
T
I
m
m
m
T
m
TT
av
898.0637.0
2
s in
2
s in
11
2
0
00
比较式 （ 6 — 3）,（ 6— 6）,（ 6—9） 可以看出,非正弦交流电路中的直流分量,有效值和平均值是三个不同的概念,应加以区分。
6.3.3 平均功率设有一个二端网络,在非正弦周期电压 u的作用下产生非正弦周期电流 i,若选择电压和电流的方向一致 (如图 6.14所示 ),此二端网同理,电压平均值的表示式为
dtuTU Tav 01
(6 — 10)
i
二端网络
u
＋
－
图 6.14 平均功率用图
ui dt
T
pdt
T
p
uip
TT
00
11
将电压和电流展开成付里叶级数,有
)s in (
)s in (
1
1
ki
k
kmo
ku
k
kmo
tkIIi
tkUUu
二端网络吸收的平均功率为
dttkIItkUUTP kukm
k
kukm
k
T )s i n ()s i n (1
1
0
1
00
将上式积分号内两个积数的乘积展开,分别计算各乘积项在一个周期内的平均值,有以下五种类型项,
dttktkIU
T
IUIU
T
kikukmkm
T
T
)s i n ()s i n (
1
)2(
1
)1(
0
00000
)(0)s i n ()s i n (
1
)5(
0)s i n (
1
)4(
0)s i n (
1
)3(
c os)(
2
1
0
0
0
0
0
0
qkdttqItkIU
T
dttkIU
T
dttkIU
T
IUIU
qiqmkukm
T
kukm
T
kikm
T
kkkkikukmkm
因此,二端网络吸收的平均功率可按下式计算：
k
k
k
kkk
k
PPPP
PPIUIUP
210
1
0
1
00 c os?
(6 — 11)
其中,,是 k次谐波的平均功率 。
kkkkkukkk IUIUP c o s)c o s (
必须注意,只有同频率的谐波电压和电流才能构成平均功率,
不同频率的谐波电压和电流不能构成平均功率,也不等于端口电压的有效值与端口电流有效值的乘积 。
例 6.6 流过 10 Ω电阻的电流为 i=10+28.28cos t+14.14 cos 2t A
求其平均功率 。
解
W
IIIRRIRIRIPPPP
6 0 0 0)
2
14.14()
2
28.28(1010
)(
222
2
2
2
1
2
0
2
2
2
1
2
0210
例 6.7 某二端网络的电压和电流分别为
u=100 sin (ωt+30° )+50sin (3ωt+60° )+25sin 5ωt V
i=10 sin (ωt—30° )+5 sin (3ωt+30° )+2 sin (5ωt—30° )A
求二端网络吸收的功率。
解 基波功率
WIUP
WIUP
WIUP
o
o
o
6.2130c os
2
2
2
25
c os
2.10830c os
2
5
2
50
c os
25060c os
2
10
2
100
c os
5555
3333
1111
三次谐波功率五次谐波功率作业,P195页 6.4 6.6
因此,总的平均功率为
WPPPP 8.3 7 96.212.1 0 82 5 0531
6.4 非正弦周期电路的计算把付里叶级数,直流电路,交流电路的分析和计算方法以及叠加原理应用于非正弦的周期电路中,就可以对其电路进行分析和计算 。
其具体步骤如下,
(1) 把给定的非正弦输入信号分解成直流分量和各次谐波分量,
并根据精度的具体要求取前几项 。
(2) 分别计算各谐波分量单独作用于电路时的电压和电流 。
但要注意电容和电感对各次谐波表现出来的感抗和容抗的不同,对于 k次谐波有
(3) 应用线性电路的叠加原理,将各次谐波作用下的电压或电流的瞬时值进行叠加 。 应注意的是,由于各次谐波的频率不同,不能用相量形式进行叠加 。
CkX
LkX
kC
kL
1?
例 6.8 如图 6.15（ a） 所示的矩形脉冲作用于图 6.15（ b） 所示的 RLC串联电路,其中矩形脉冲的幅度为 100 V,周期为 1ms,电阻 R＝ 10 Ω,电感 L＝ 10 mH,电容 C＝ 5 F,求电路中的电流 i及平均功率 。
解 查表 6.1可得矩形脉冲电压的付里叶级数表达式为
)3c o s31( c o s2 0 050 ttu
其中基波频率,若取前三项就有图 6.15（ c）
所求的等效电路 。 sr a dT /102
2 3
i
R
L
C
u
＋
－
( b )
i
R
L
C
U
0
＋
－
( c )
U
1
＋
－
U
3
＋
－
t / m s0
u
100
0,2 5 1
( a )
图 6.15 例 6.8 图
(1) 求直流分量 。 当 U0＝ 50V 的直流电压作用于电路时,电感相当于短路,电容相当于开路,故 I 0＝ 0。
(2) 求基波分量 。
)1.72c os (95.1)9.17s i n (95.1
9.17/95.1
1.72/6.32
90/7.63
1.72/6.323110)8.318.62(10
)
5102
10
1010102(10)
1
(
90/7.63
)90s i n (7.63c os
200
1
3
3
.
1
.
3
6
33
1
1
.
1
oo
o
o
o
m
m
o
o
m
o
tti
Z
U
I
jj
j
C
LjRZ
VU
Vttu
(3) 求三次谐波分量
)2.933c os (12.0
8.86/1.178
90/2.21
8.86/1.1788.17710
)
51023
10
101023(10
)
3
1
3(
90/2.21
)903s i n (2.213c os
3
200
.
3
.
3
3
3
6
3
3
.
3
3
o
o
o
m
m
o
o
m
o
t
Z
U
I
j
j
C
LjRZ
VU
Vttu
(4) 将各次谐波分量的瞬时值叠加得
W
IUIUP
ttIIIi
oo
oo
2.19)8.86c o s (
2
12.0
2
2.21
)1.72c o s (
2
95.1
2
7.63
c o sc o s
)2.933c o s (12.0)1.72c o s (95.1
333111
310
电路中的平均功率为例 6.9 如图 6.16所示的电路,R＝ 3 Ω,L＝ 0.4 H,C＝ 1000μF,
u＝ 45＋ 180sin 10t＋ 60 sin 30t V 。 求电流 i及其有效值 。
解 (1) 求直流分量,
)3.5110s in (6.34
3.51/6.34
3.51/2.5
0/180
3.51/2.5
)1004(3
)100)(43(
)
1
(
)
1
)((
15
3
45
1
1
.
1
o
o
o
m
o
o
ti
I
j
jj
C
LjR
C
jLjR
Z
A
R
U
I
(2) 求基波分量,
(3) 求三次谐波分量,
)6830s i n (1.3
68/1.3
68/2.19
0/60
68/2.19
)3.3312(3
)3.33)(123(
)
3
1
3(
)
3
1
)(3(
3
.
3
3
o
o
o
o
m
o
ti
I
j
j
C
LjR
C
jLjR
Z
(4) 叠加后可得电流 i为
)6830s i n (1.3)3.5110s i n (6.341531 ooo ttiiIi
(5) 电流 i的有效值为
8.28)21.3()2 6.34(15 222232120 IIII
例 6.10 为了减小整流器输出电压的纹波,使其更接近直流 。
常在整流的输出端与负载电阻 R间接有 LC滤波器,其电路如图
6.17(a)所示 。 若已知 R=1 kΩ,L=5 H,C=30 μF,输入电压 u的波形如图 6.17(b)所示,其中振幅 Um =157 V,基波角频率 ω= 314 rad/s,
求输出电压 u R 。
Cu
＋
－
L
R
＋
－
u
R
( a )
t0
u
U
m
( b )
T
2
图 6.17 例 6.10 图解 查表 6.1,可得电压 u 的付里叶级数为
)4c o s1512c o s3121(4 tUu m
取到四次谐波,并代入 U m =157 V 得
tVtu 34.132cos7.661 0 0
(1) 求直流分量 。 对于直流分量,电感相当于短路,电容相当于开路,故 U0R=100 V 。
(2) 求二次谐波分量,
Vtu
C
jR
C
jR
Z
U
U
jj
j
j
j
C
jR
C
jR
LjZ
o
R
o
o
o
o
m
mR
)5.872s i n (15.1
5.87/15.1
87/53
95.89/1.3 08 7
90/7.66
2
1
)
2
1
(
95.89/1.3 08 71.3 08 78.287/533 14 0
303 142
10
10
)
303 142
10
(10
53 142
2
1
)
2
1
(
2
2
2
2
.
2
00
6
3
6
3
2
(3) 求四次谐波分量,
Vtu
C
jR
C
jR
U
U
j
C
jR
C
jR
LjZ
o
R
o
o
o
o
m
mR
oo
)5.914s i n (05 6.0
5.91/05 6.0
5.88/5.26
90/5.62 53
90/3.13
4
1
)
4
1
(
4
90/5.62 535.88/5.2662 80
4
1
)
4
1
(
4
4
4
.
4
.
4
(4) 输出电压为
VttU ooR )5.914s i n (0 5 6.0)5.872s i n (15.11 0 0
比较本例题的输入电压和输出电压,可看到,二次谐波分量由原本占直流分量的 66.7% 减小到 1.15%,四次谐波分量由原本占直流分量的 13.3%减小到 0.056% 。 因此,输入电压 u经过 LC滤波后,
高次谐波分量受到抑制,负载两端得到较平稳的输出电压 。
作业,P195页 6.8 6.9 6.10 6.11
小 结
(1) 非正弦的周期信号,在满足狄里赫利条件的情况下可以分解成付里叶级数 。 付里叶级数一般包含有直流分量,基波分量和高次谐波分量 。 它有两种表示式,
)s in ()(
)s inc o s()(
1
0
1
0
kk
k
k
k
k
tkAAtf
tkbtkaatf
两种形式的系数之间的对应关系为
k
k
k
kkk
b
a
baA
a rc ta n
22
一般都是先求 ak,bk后,再利用上式求出 A k和 φk。
(2) 非正弦周期信号还可以用频谱图来表示 。 所谓频谱图,就是用谱线表示各次谐波的振幅和相位,然后把这些线段由高到低依次排列起来 。 非正弦周期信号的频谱有以下特点,
① 频谱的离散性 ;
② 频谱的谱波性 ;
③ 频谱的收敛性 ;
④ 脉宽与频宽成反比 。
(3) 非正弦周期信号有效值的定义与正弦信号有效值的定义相同 。
即
T
T
dtu
T
U
dti
T
I
0
2
0
2
1
1
与各次谐波分量有效值的关系为
22
1
2
0
22
1
2
0
k
k
UUUU
IIII
非正弦交流电路的平均值指一个周期内函数绝对值的平均值 。
其定义为
dtu
T
U
dti
T
I
T
av
T
av
0
0
1
1
非正弦交流电路的平均功率的定义也与正弦交流电路平均功率的定义相同,都表示瞬时功率在一个周期内的平均值 。 其定义为
TT u id tTp d tTP 00 11
(4) 非正弦交流电路的计算,实际上是应用了线性电路的叠加原理,并借助于直流及交流电路的计算方法,其步骤如下,
① 将非正弦信号分解成付里叶级数 ;
② 计算直流分量和各次谐波分量分别作用于电路时的电压和电流响应 。 但要注意感抗和容抗在不同谐波所表现的不同 。 即
kkk
k
IUIUIUIU
PPPPP
c o sc o sc o s 22211100
210
与各次谐波功率之间的关系为
Ck
X
LkX
kL
kL
1?
③ 将各次谐波的电压和电流响应用瞬时值表示后再叠加。 其过程可用图 6.19表示。
y
1
( t )
线性电路
y
2
( t )
y
0
( t )
y ( t )
叠加
f
1
( t )
f
2
( t )
f
0
( t )
f ( t )
分解图 6.19 非正弦电路分析流图
6.1 非正弦周期信号及分解
6.2 非正弦周期信号的频谱
6.3 非正弦周期信号的有效值、
平均值和平均功率
6.4 非正弦周期电路的计算小 结
6.1 非正弦周期信号及分解
6.1.1 非正弦周期信号几种常见的非正弦波图 6.1
（ a） 尖脉冲电流； （ b） 矩形波电压 ; （ c） 锯齿波电压
i
t0 T
( a )
u
t0 T
( b )
u
t0 T
( c )
6.1.2 非正弦周期信号的分解在介绍非正弦周期信号的分解之前,我们先讨论几个不同频率的正弦波的合成 。 设有一个正弦电压 u1=U1msinωt,其波形如图
6.2（ a） 所示 。 显然这一波形与同频率矩形波相差甚远 。 如果在这个波形上面加上第二个正弦电压波形,其频率是 u1的 3倍,而振幅为 u1的 1/3,则表示式为
tUtUu mm 3s in31s in 112
其波形如图 6.2（ b） 所示 。 如果再加上第三个正弦电压波形,其频率为 u1的 5倍,振幅为 u1的 1/5,其表示式为
tUtUtUu mmm 5s i n513s i n31s i n 1113
其波形如图 6.2（ c） 所示 。 照这样继续下去,如果叠加的正弦项是无穷多个,那么它们的合成波形就会与图 6.2（ d） 的矩形波一样 。
( a )
t
u
1
0
( b )
t
u
2
0
( c )
t
u
3
0
( d )
t
u
0
图 6.2 矩形波的合成由此可以看出,几个不同频率的正弦波可以合成一个非正弦的周期波 。 反之,一个非正弦的周期波可以分解成许多不同频率的正弦波之和 。
由数学知识可知,如果一个函数是周期性的,且满足狄里赫利条件,那么它可以展开成一个收敛级数,即付里叶级数 。 电工技术中所遇到的周期函数一般都能满足这个条件 。 设给定的周期函数
f（ t） 的周期为 T,角频率 ω＝ 2π/T,则 f（ t） 的付里叶级数展开式为
1
0
22110
)s i n (
)s i n (
)2s i n ()s i n ()(
k
kkm
kkm
mm
tkAA
tkA
tAtAAtf
（ 6 — 1）
利用三角函数公式,还可以把式（ 6 — 1）写成另一种形式,
1
0
22110
)s i nc o s(
)s i nc o s(
)2s i n2c o s()s i nc o s()(
k
kk
kk
tkbtkaa
tkbtka
tbtatbtaatf
（ 6 — 2）
式中,a0,ak,bk称为付里叶系数,可由下列积分求得,
2
00
2
00
2
00
0
)(s i n)(
1
s i n)(
2
)(c o s)(
1
c o s)(
2
)()(
2
1
)(
1
ttdktft d tktf
T
b
ttdktft d tktf
T
a
tdtfdttf
T
a
T
k
T
k
T
(6 — 3)
k
k
k
kkkm
b
a
baA
aA
a r c ta n
22
00
式 （ 6 — 1） 和式 （ 6— 2） 各系数之间存在如下关系,
(6 — 4)
例 6.1 已知矩形周期电压的波形如图 6.3所示 。 求 u（ t） 的付里叶级数 。
解 图示矩形周期电压在一个周期内的表示式为
kkmk
kkmk
Ab
Aa
c o s
s in
(6 — 5)
图 6.3 例 6.1 图
t
u
0
U m
－ U m
TT
2
)
2
(
)(
)
2
0(
Tt
T
U
tu
T
tU
m
t
m
由式（ 6— 3）可知,
)()(
2
1 2
00?
tdtua
0)()(2 1 200 tdUtdU mm
)(s i n)(s i n
1
)(s i n)(
1
0s i ns i n
)(c o s
1
)(c o s
1
)(c o s)(
1
2
00
2
0
2
0
2
00
2
0
ttdkUttdkU
ttdktub
tk
k
U
tk
k
U
ttdkUttdkU
ttdktua
mm
k
mm
mm
k
)c o s1(
2
c o s
2
)(s i n
2
0
0
k
k
U
tk
k
U
ttdk
U
m
mm
0,1c os
4
,1c os
k
m
k
bk
k
U
bk
当 k为奇数时,
当 k为偶数时,
由此可得为奇数）ktk
k
ttt
U
tu m
()s i n
1
5s i n
5
1
3s i n
3
1
( s i n
4
)(
例 6.2 求图 6.4所示周期信号的付里叶级数展开式。
解 i (t)在一个周期内的表示式为
t
i ( t )
0
I
m
－
T
2
T
2
图 6.4 例 6.2 图
2
2
2
0
0
2
2
0
2
2
2
2
0
0
c o s
4
c o s)(
2
0
2
2
)(
1
)
22
(
2
)(
T
T
m
T
k
T
T
m
T
T
m
T
m
t d tkt
T
I
t d tkti
T
a
t d tt d t
T
I
t d t
T
I
dtti
T
a
T
t
T
t
T
I
ti
利用分步积分法及,得
T
2?
),3,2,1()
c os
(
2
)(
s i n4
s i n
4
s i n)(
2
0
)(
c os
(0
4
s i ns i n4
2
2
22
2
2
2
0
2
2
22
2
2
2
2
2
k
k
kI
k
tt c o nk
k
tk
T
I
t dtkt
T
I
t dtkti
T
b
k
tk
T
I
dt
k
tk
k
tkt
T
I
a
m
T
T
m
T
T
m
T
k
T
T
m
T
T
T
T
m
k
利用函数的对称性质,可使系数 a0,ak,bk的确定得到简化。
(1) 如果周期函数的波形对称于横轴 。 即在一个周期内,横轴上方的正面积与横轴下方的负面积互相抵消,就不存在直流分量 。 如图 6.3所示 。
(2) 如果周期函数的波形对称于坐标原点,即 f（ t） ＝－ f（ － t）
为奇函数 。 如图 6.4所示 。 其付里叶级数展开式将不含直流分量和余弦项,只含正弦项 。
(3) 如果周期函数的波形对称于纵轴,即 f（ t） ＝ f（ － t） 为偶函数 。 如图 6.5所示 。 将它分解成付里叶级数时,将不含正弦项,只含有直流分量和余弦项 。
(4) 如果函数的波形是镜像对称,即 f(t)=－ f(t+T/2)。 也就是在任一周期内把第二个半波的波形向前移动
i(t) 的付里叶级数展开式为
)3s i n312s i n21( s i n2s i n)(
1
tttItkbti
k
m
k
t
f ( t )
0
A m
T
2
T t
f ( t )
0 T
图 6.5 偶函数波形 图 6.6 镜像对称波形成作业,P181页 （ 3）
P194页 6.1
6.2 非正弦周期信号的频谱
)
2
7s i n (
7
1
)
2
5s i n (
5
1
)
2
3s i n (
3
1
)
2
s i n (
4
7c o s
7
1
5c o s
5
1
3c o s
3
1
c o s
4
)(
t
ttt
tttttf1,振幅频谱图的作法
A
k
0
A
0
A
1
A
3
A
5
A
7
k?7?5?3
图 6.9 振幅频谱图画出一个直角坐标,以谐波角频率 kω为横坐标,在各谐波角频率所对应的点上,作出一条条垂直的线叫做谱线 。 如果每条谱线的高度代表该频率谐波的振幅,这样画出的图形称为振幅频谱图,
如图 6.9所示 。 将各谱线的顶点连接起来的曲线 （ 一般用虚线表示 ）
称为振幅包络线 。
例 6.3 图 6.10（ a） 为电视机和示波器扫描电路中常用的锯齿波,试画出其振幅频 谱图 。
解 查表 6.1,可得锯齿波电压的付里叶级数展开式为
k?
A
k
0?
( b )
U
m
2 U m
U
m
U
m
U
m
U
m
t
u
0 T
( a )
U
m
图 6.10 例 6.3 图根据上式可以画出其频谱图如图 6.10（ b）所示。
例 6.4 图 6.11给出了矩形脉冲电压的波形,它是无线电技术中一种很重要的信号 。 其中脉冲幅度为 Um,脉冲的持续时间为 τ,脉冲的周期为 Ｔ,试画出其频谱图 。
)3s i n312s i n21( s i n2)( tttUUtu mm
t0 T
( a )
－
2
2
u
k?
A
k
0
( b )
2?
4?
T = 3?
2 a
0
图 6.11 例 6.4 图解 该信号在一个周期的数学表达式为
)
22
,
22
(0
)(
)
22
(
T
tt
T
tu
tU m
由于此信号对称于纵轴,因此,bk＝０,付里叶级数不含正弦分量,只含直流分量和余弦 分量 。
t d tkU
T
t d tktu
T
a
T
U
dtU
T
dttu
T
a
T
T m
T
Tk
m
m
T
T
c o s
2
c o s)(
2
1
)(
1
2
2
2
2
2
2
2
2
0
若令 T＝ 3τ,则其频谱图如图 6.11(b)所示。
2,周期信号的频谱特性。
(1) 频谱是由一系列不连续的谱线组成。
(2) 相临两条谱线之间的间隔是基波频率 ω,谱线的这种
2
)
2
s in (
2
)
2
s in (
2
s in
2
2
2
k
k
T
U
k
Tk
U
tk
tk
U
m
mm
矩形脉冲的付里叶级数展开式为
11
0 c o s
2
2
s i n
2c o s)(
k
m
k
k tk
k
k
T
U
tkaatu?
性质称为谱波性。
(3) 各谱线的高度,总的趋势是逐渐减小的。
(4) 如果脉冲的周期 T不变,脉冲的持续时间 τ减小,也就是脉冲变窄 。 此时,振幅频谱的收敛速度将变慢 。 如图 6.12（ b） 所示,
此图的 τ′=τ/2,T=6τ′。 与图 6.12(a)比较 （ T=3τ）,收敛速度明显变慢了 。
(5) 如果脉冲的持续时间 τ不变,周期 T增大时,谱线将变密 。
如图 6.12（ c） 所示,此图的 T′=6τ。
作业,P195页 6.2
6.3 非正弦周期信号的有效值、
6.3.1 有效值
T dtiTI 0 21
(6 — 6)
下面我们讨论非正弦周期信号的有效值与各次谐波有效值的关系 。 若将电流 i 分解成付里叶级数,
1
0
22110
)s i n (
)s i n (
)2s i n ()s i n (
k
kkm
kkm
mmm
tkII
tkI
tItIIi
将上式积分号内直流分量与各次谐波之和的平方展开,结果有以下四种类型,
dttkIITI
k
kkm
T
2
1
00 )s i n (
1
将该表达式代入式（ 6— 6）得
)(0)s i n ()(s i n2
1
)4(
0)(s i n2
1
)3(
2
)(s i n
1
)2(
1
)1(
0
0
0
2
2
2
0
2
2
0
0
2
0
qkdttqItkI
T
dttkII
T
I
I
dttkI
T
IdtI
T
qqmkkm
T
kkm
T
k
km
k
T
km
T
因此,电流 i 的有效值可按下式计算,
22
2
2
1
2
0
1
22
0
22
2
2
1
2
0
1
22
0
k
k
k
k
k
k
UUUUUUU
IIIIIII
同理,非正弦周期电压的有效值为
(6 — 7)
(6 — 8)
所以,非正弦周期电流和电压的有效值等于各次谐波有效值平方和的平方根 。 各次谐波有效值与最大值之间的关系为
2,2
kmkkmk UUII
例 6.5 已知周期电流的付里叶级数展开式为
i=100—63.7 sinωt—31.8 sin 2ωt—21.2 sin 3ωt A
求其有效值。
解
15
2
2.21
5.22
2
8.31
45
2
7.63
100
3
2
1
0
I
I
I
I
所以
9.1 1 2155.22451 0 0 222223222120 IIIII
电流 i的有效值为 112.9 A 。
6.3.2 平均值实践中还会用到平均值的概念 。 以电流为例,其定义为
dtiTI Tav 01 (6 — 9)
即非正弦周期电流的平均值等于此电流绝对值的平均值 。 式 （ 6 —
9） 也称为整流平均值,它相当于正弦电流经全波整流后的平均值 。
例如,当 i=I m sin ωt 时,其平均值为
II
I
dttI
T
dttI
T
dti
T
I
m
m
m
T
m
TT
av
898.0637.0
2
s in
2
s in
11
2
0
00
比较式 （ 6 — 3）,（ 6— 6）,（ 6—9） 可以看出,非正弦交流电路中的直流分量,有效值和平均值是三个不同的概念,应加以区分。
6.3.3 平均功率设有一个二端网络,在非正弦周期电压 u的作用下产生非正弦周期电流 i,若选择电压和电流的方向一致 (如图 6.14所示 ),此二端网同理,电压平均值的表示式为
dtuTU Tav 01
(6 — 10)
i
二端网络
u
＋
－
图 6.14 平均功率用图
ui dt
T
pdt
T
p
uip
TT
00
11
将电压和电流展开成付里叶级数,有
)s in (
)s in (
1
1
ki
k
kmo
ku
k
kmo
tkIIi
tkUUu
二端网络吸收的平均功率为
dttkIItkUUTP kukm
k
kukm
k
T )s i n ()s i n (1
1
0
1
00
将上式积分号内两个积数的乘积展开,分别计算各乘积项在一个周期内的平均值,有以下五种类型项,
dttktkIU
T
IUIU
T
kikukmkm
T
T
)s i n ()s i n (
1
)2(
1
)1(
0
00000
)(0)s i n ()s i n (
1
)5(
0)s i n (
1
)4(
0)s i n (
1
)3(
c os)(
2
1
0
0
0
0
0
0
qkdttqItkIU
T
dttkIU
T
dttkIU
T
IUIU
qiqmkukm
T
kukm
T
kikm
T
kkkkikukmkm
因此,二端网络吸收的平均功率可按下式计算：
k
k
k
kkk
k
PPPP
PPIUIUP
210
1
0
1
00 c os?
(6 — 11)
其中,,是 k次谐波的平均功率 。
kkkkkukkk IUIUP c o s)c o s (
必须注意,只有同频率的谐波电压和电流才能构成平均功率,
不同频率的谐波电压和电流不能构成平均功率,也不等于端口电压的有效值与端口电流有效值的乘积 。
例 6.6 流过 10 Ω电阻的电流为 i=10+28.28cos t+14.14 cos 2t A
求其平均功率 。
解
W
IIIRRIRIRIPPPP
6 0 0 0)
2
14.14()
2
28.28(1010
)(
222
2
2
2
1
2
0
2
2
2
1
2
0210
例 6.7 某二端网络的电压和电流分别为
u=100 sin (ωt+30° )+50sin (3ωt+60° )+25sin 5ωt V
i=10 sin (ωt—30° )+5 sin (3ωt+30° )+2 sin (5ωt—30° )A
求二端网络吸收的功率。
解 基波功率
WIUP
WIUP
WIUP
o
o
o
6.2130c os
2
2
2
25
c os
2.10830c os
2
5
2
50
c os
25060c os
2
10
2
100
c os
5555
3333
1111
三次谐波功率五次谐波功率作业,P195页 6.4 6.6
因此,总的平均功率为
WPPPP 8.3 7 96.212.1 0 82 5 0531
6.4 非正弦周期电路的计算把付里叶级数,直流电路,交流电路的分析和计算方法以及叠加原理应用于非正弦的周期电路中,就可以对其电路进行分析和计算 。
其具体步骤如下,
(1) 把给定的非正弦输入信号分解成直流分量和各次谐波分量,
并根据精度的具体要求取前几项 。
(2) 分别计算各谐波分量单独作用于电路时的电压和电流 。
但要注意电容和电感对各次谐波表现出来的感抗和容抗的不同,对于 k次谐波有
(3) 应用线性电路的叠加原理,将各次谐波作用下的电压或电流的瞬时值进行叠加 。 应注意的是,由于各次谐波的频率不同,不能用相量形式进行叠加 。
CkX
LkX
kC
kL
1?
例 6.8 如图 6.15（ a） 所示的矩形脉冲作用于图 6.15（ b） 所示的 RLC串联电路,其中矩形脉冲的幅度为 100 V,周期为 1ms,电阻 R＝ 10 Ω,电感 L＝ 10 mH,电容 C＝ 5 F,求电路中的电流 i及平均功率 。
解 查表 6.1可得矩形脉冲电压的付里叶级数表达式为
)3c o s31( c o s2 0 050 ttu
其中基波频率,若取前三项就有图 6.15（ c）
所求的等效电路 。 sr a dT /102
2 3
i
R
L
C
u
＋
－
( b )
i
R
L
C
U
0
＋
－
( c )
U
1
＋
－
U
3
＋
－
t / m s0
u
100
0,2 5 1
( a )
图 6.15 例 6.8 图
(1) 求直流分量 。 当 U0＝ 50V 的直流电压作用于电路时,电感相当于短路,电容相当于开路,故 I 0＝ 0。
(2) 求基波分量 。
)1.72c os (95.1)9.17s i n (95.1
9.17/95.1
1.72/6.32
90/7.63
1.72/6.323110)8.318.62(10
)
5102
10
1010102(10)
1
(
90/7.63
)90s i n (7.63c os
200
1
3
3
.
1
.
3
6
33
1
1
.
1
oo
o
o
o
m
m
o
o
m
o
tti
Z
U
I
jj
j
C
LjRZ
VU
Vttu
(3) 求三次谐波分量
)2.933c os (12.0
8.86/1.178
90/2.21
8.86/1.1788.17710
)
51023
10
101023(10
)
3
1
3(
90/2.21
)903s i n (2.213c os
3
200
.
3
.
3
3
3
6
3
3
.
3
3
o
o
o
m
m
o
o
m
o
t
Z
U
I
j
j
C
LjRZ
VU
Vttu
(4) 将各次谐波分量的瞬时值叠加得
W
IUIUP
ttIIIi
oo
oo
2.19)8.86c o s (
2
12.0
2
2.21
)1.72c o s (
2
95.1
2
7.63
c o sc o s
)2.933c o s (12.0)1.72c o s (95.1
333111
310
电路中的平均功率为例 6.9 如图 6.16所示的电路,R＝ 3 Ω,L＝ 0.4 H,C＝ 1000μF,
u＝ 45＋ 180sin 10t＋ 60 sin 30t V 。 求电流 i及其有效值 。
解 (1) 求直流分量,
)3.5110s in (6.34
3.51/6.34
3.51/2.5
0/180
3.51/2.5
)1004(3
)100)(43(
)
1
(
)
1
)((
15
3
45
1
1
.
1
o
o
o
m
o
o
ti
I
j
jj
C
LjR
C
jLjR
Z
A
R
U
I
(2) 求基波分量,
(3) 求三次谐波分量,
)6830s i n (1.3
68/1.3
68/2.19
0/60
68/2.19
)3.3312(3
)3.33)(123(
)
3
1
3(
)
3
1
)(3(
3
.
3
3
o
o
o
o
m
o
ti
I
j
j
C
LjR
C
jLjR
Z
(4) 叠加后可得电流 i为
)6830s i n (1.3)3.5110s i n (6.341531 ooo ttiiIi
(5) 电流 i的有效值为
8.28)21.3()2 6.34(15 222232120 IIII
例 6.10 为了减小整流器输出电压的纹波,使其更接近直流 。
常在整流的输出端与负载电阻 R间接有 LC滤波器,其电路如图
6.17(a)所示 。 若已知 R=1 kΩ,L=5 H,C=30 μF,输入电压 u的波形如图 6.17(b)所示,其中振幅 Um =157 V,基波角频率 ω= 314 rad/s,
求输出电压 u R 。
Cu
＋
－
L
R
＋
－
u
R
( a )
t0
u
U
m
( b )
T
2
图 6.17 例 6.10 图解 查表 6.1,可得电压 u 的付里叶级数为
)4c o s1512c o s3121(4 tUu m
取到四次谐波,并代入 U m =157 V 得
tVtu 34.132cos7.661 0 0
(1) 求直流分量 。 对于直流分量,电感相当于短路,电容相当于开路,故 U0R=100 V 。
(2) 求二次谐波分量,
Vtu
C
jR
C
jR
Z
U
U
jj
j
j
j
C
jR
C
jR
LjZ
o
R
o
o
o
o
m
mR
)5.872s i n (15.1
5.87/15.1
87/53
95.89/1.3 08 7
90/7.66
2
1
)
2
1
(
95.89/1.3 08 71.3 08 78.287/533 14 0
303 142
10
10
)
303 142
10
(10
53 142
2
1
)
2
1
(
2
2
2
2
.
2
00
6
3
6
3
2
(3) 求四次谐波分量,
Vtu
C
jR
C
jR
U
U
j
C
jR
C
jR
LjZ
o
R
o
o
o
o
m
mR
oo
)5.914s i n (05 6.0
5.91/05 6.0
5.88/5.26
90/5.62 53
90/3.13
4
1
)
4
1
(
4
90/5.62 535.88/5.2662 80
4
1
)
4
1
(
4
4
4
.
4
.
4
(4) 输出电压为
VttU ooR )5.914s i n (0 5 6.0)5.872s i n (15.11 0 0
比较本例题的输入电压和输出电压,可看到,二次谐波分量由原本占直流分量的 66.7% 减小到 1.15%,四次谐波分量由原本占直流分量的 13.3%减小到 0.056% 。 因此,输入电压 u经过 LC滤波后,
高次谐波分量受到抑制,负载两端得到较平稳的输出电压 。
作业,P195页 6.8 6.9 6.10 6.11
小 结
(1) 非正弦的周期信号,在满足狄里赫利条件的情况下可以分解成付里叶级数 。 付里叶级数一般包含有直流分量,基波分量和高次谐波分量 。 它有两种表示式,
)s in ()(
)s inc o s()(
1
0
1
0
kk
k
k
k
k
tkAAtf
tkbtkaatf
两种形式的系数之间的对应关系为
k
k
k
kkk
b
a
baA
a rc ta n
22
一般都是先求 ak,bk后,再利用上式求出 A k和 φk。
(2) 非正弦周期信号还可以用频谱图来表示 。 所谓频谱图,就是用谱线表示各次谐波的振幅和相位,然后把这些线段由高到低依次排列起来 。 非正弦周期信号的频谱有以下特点,
① 频谱的离散性 ;
② 频谱的谱波性 ;
③ 频谱的收敛性 ;
④ 脉宽与频宽成反比 。
(3) 非正弦周期信号有效值的定义与正弦信号有效值的定义相同 。
即
T
T
dtu
T
U
dti
T
I
0
2
0
2
1
1
与各次谐波分量有效值的关系为
22
1
2
0
22
1
2
0
k
k
UUUU
IIII
非正弦交流电路的平均值指一个周期内函数绝对值的平均值 。
其定义为
dtu
T
U
dti
T
I
T
av
T
av
0
0
1
1
非正弦交流电路的平均功率的定义也与正弦交流电路平均功率的定义相同,都表示瞬时功率在一个周期内的平均值 。 其定义为
TT u id tTp d tTP 00 11
(4) 非正弦交流电路的计算,实际上是应用了线性电路的叠加原理,并借助于直流及交流电路的计算方法,其步骤如下,
① 将非正弦信号分解成付里叶级数 ;
② 计算直流分量和各次谐波分量分别作用于电路时的电压和电流响应 。 但要注意感抗和容抗在不同谐波所表现的不同 。 即
kkk
k
IUIUIUIU
PPPPP
c o sc o sc o s 22211100
210
与各次谐波功率之间的关系为
Ck
X
LkX
kL
kL
1?
③ 将各次谐波的电压和电流响应用瞬时值表示后再叠加。 其过程可用图 6.19表示。
y
1
( t )
线性电路
y
2
( t )
y
0
( t )
y ( t )
叠加
f
1
( t )
f
2
( t )
f
0
( t )
f ( t )
分解图 6.19 非正弦电路分析流图
