第 3章 线性电路的一般分析方法和基本定理
3.1 支路电流法
3.2 网孔电流法
3.3 节点电位法
3.4 叠加定理
3.5 代文宁定理
3.6 最大功率传输定理
小结
3.1 支路电流法
1,支路电流法
(1) 节点方程根据 KCL,可对四个节点列出四个 KCL方程：
0
0
0
0
431
654
632
321
III
III
III
III
节点 a:
节点 b:
节点 c:
节点 d:
(3— 1）
I
1
aR 1 R 2 I
2
I
5
R
5
＋－
U
S 3
R
3I 3
I
4
c
R
4
R
6 I 6
d b
＋
－
U
S 2
＋
－
U
S 1
Ⅰ Ⅱ
Ⅲ
图 3.1 复杂电路举例
(2) 独立节点方程的概念
(3) KVL方程
UIRIRIR
UIRIRIR
UIRIRIR
S
S
S
3664433
2665522
1445511
网孔 Ⅰ,
网孔 Ⅱ,
网孔 Ⅲ,
UUUIRIRIR SSS 321445511
综上所述,对以支路电流为待求量的任何线性电路,运用 KCL
和 KVL总能列写出足够的独立方程,从而可求出各支路电流 。
2,支路电流法的一般步骤
(1) 在给定电路图中设定各支路电流的参考方向 。
(2) 选择 (ｎ —１ )个独立节点,写出 (ｎ —１ )个 KCL方程 。
(3) 选网孔为独立回路,并设定其绕行方向,列写出各网孔的
KVL方程 。
(4) 联立求解上述独立方程,得出各支路电流 。
例 3.1 求图 3.2所示电路中的各支路电流 。
解 (1) 假定各支路电流方向如图 3.2中所示 。
(2) 由于该电路只有两个节点,故只能列一个 KCL独立方程，
选节点 b为参考点,则节点 a,I1+I2― I3=０
(3) 按顺时针方向列出两个网孔的 KVL独立方程
2I1― 4I2=15― 10
4I2+12I3=10
(4) 联立求解上面三个方程,得
I1=1.5Ａ,I2=― 0.5Ａ,I3=1
其中 I2为负值,说明假定方向与实际方向相反 。
(5) 为验证所求正确与否,可选取一个未曾用过的回路列ＫＶＬ
方程,把求得的电流值代入方程中,若方程两边相等,说明所求值正确 。 取最大回路,则有
2I1+12Ｉ 3=15
将 I1和 I3数值代入,得左边 =２ × 1.5+12× １ =３ +12=15=
说明求出的值正确无误 。
图 3.3 例 3.2图
b
＋
－
1 0 V
2? 4?
12?
I
1
I
2 I 3
＋
－
图 3.2 例 3.1图
＋
－
I
1
R
1
R
3
I
2
R
2
I
3
R
4
Ⅰ Ⅱ
＋ －U
1
＋－
U
1
例 3.2 电路如图３,３所示,试用支路电流法列写出求解各支路电流所需的联立方程组 。 解设各支路电流和网孔绕向如图 3.3所示,
则独立节点方程只有一个,即
I１ ― I２ ― I３ =
网孔方程有两个,即网孔 Ⅰ,R１ I１ +R２ I２ ― US=０
网孔 Ⅱ,― R２ I2+(R３ +R4)I３ ― μU１ =0
建立辅助方程,将控制量 Ｕ １ 用支路电流表示,即
U１ =R１ I１
将以上四个方程联立即为所求。
作业,P85页 3.1 3.2
３,２ 网孔电流法
1,网孔电流法由人们主观设想的在网孔中流动的电流称为网孔电流 。 如图
３,6(ａ )所示电路中的 IⅠ,IⅡ,IⅢ,它们的参考方向是任意假定的 。 直接以设想的网孔电流为变量,对各网孔列写ＫＶＬ方程而对电路进行求解的方法称为网孔电流法 。
＋
－
I
1
R
1
R
5
I
2
R
2
I
3
R
3
U
S 1
I
4
R
4
I
5
＋
－
U
S 2
＋
－
U
S 3
＋ －
U
SR
6
I
6
R
5
I
5
I
1
R
1 I
2
R
2
I
4
R
4I
3
R
3
图 3.6 网孔电流法对照图 3.6(a)和图 3.6(b)中各网孔电流与各支路电流之间的关系,可以看出,所有支路电流都可以由网孔电流来表示,即
UUIRRRIRIR
UUIRIRRRIR
UUUIRIRIRRR
SS
SS
SSS
53653613
426642
32132321
)(
)(
)(
III
II
II
III
III
I
6
5
4
3
2
1
由此可见,只要能求出各网孔电流,就可进一步求出各支路电流。
（ 3— 4）
（ 3— 3）
2,几点说明
(1) 设想的网孔电流只是一种计算手段。
(2) 设想的网孔电流并不违背ＫＣＬ定律 。
(3) 各网孔电流之间相互独立 。
3,孔电流法的规范说明网
UUU
UUU
UUUU
RRR
RRR
RRR
RRRR
RRRR
RRRR
SSS
SSS
SSSS
5333
3222
32111
63223
32112
65333
64222
32111
这样式 (3― 3) 可写成
4,网孔电流法的一般步骤
(1) 确定网孔及设定各网孔电流的参考方向。
(2) 建立网孔方程组。
(3) 求解方程组,即可得出各网孔电流值。
(4) 设定各支路电流的参考方向,根据所求出的网孔电流即可求出各支路电流。
例 3.3 试求图 3.7(a)电路中的电流 I。
UIRIRIR
UIRIRIR
UIRIRIR
S
S
S
33333231
22232221
11131211
（ 3— 5）
1?
＋
－
I
2 V 1 A
1?
1?
2?
＋－
2 V
1?
1?
1?
＋
－
I
3 V
2?
＋－
2 V
1?
1?
I
Ⅰ
I
Ⅱ
I
Ⅲ
图 3.7 例 3.3图解 (１ ) 将原电路变换成图 3.7(b)电路,则可减少一个网孔 。
设定各网孔电流方向如图 3.7(b)中所示,则有
2
1
1
4121
4211
3111
3223
3113
2112
33
22
11
RR
RR
RR
R
R
R
,,,223 332211 VVV UUU SSS
(２ ) 将上述数值代入规范方程,则有
III
III
III?3
(３ ) 联立求解,可得
AAA III,,
3.3 节 点 电 位 法
1,节点电位法
III
III
III
S
S
S
243
232
121
节点 1
节点 2
节点 3
为使方程中含有变量 φ１,φ２ 和 φ３,则根据欧姆定律,可得
34
4
3
23
3
2
212
2
21
2
311
1
31
1
0
0
)(
)(
G
R
I
G
R
I
G
R
I
G
R
I
将式 (3― 8)代入式 (3― 7),并经整理后,得
（ 3— 7）
（ 3— 8）
式 (3― 9)中各方程称为节点电位方程,从这个方程组解出节点电位值后,代入式 (3― 8),就可求出各支路电流 。
2,说明
(1) 节点电位方程实质上还是 KCL方程 。 节点电位法只是求解支路电流的一种过渡手段,适用于节点少而网孔多的电路 。
(2) 各独立节点电位之间相互独立 。 可作为电路分析的变量 。
3,节点电位法规范方程
IGGG
IGGG
IGGGG
S
S
S
334111
233212
13122121
)(
)(
)(
（ 3— 9）
03223
13223
22112
3233
3222
2111
GG
GGG
GGG
GGG
GGG
GGG
4,节点电位法的一般步骤
(1) 选取参考节点 。
(2) 建立节点电位方程组 。
(3) 求解方程组,即可得出各节点电位值 。
(4) 设定各支路电流的参考方向。
例 3.8 求图 3.18所示电路中的电流 I。
解 (1) 取节点 4为参考点 。
(2) 建立方程组
II
II
II
SS
SS
SS
233
222
111
这样式 (3― 9)可写成
IGGG
IGGG
IGGG
S
S
S
33333232131
22323222121
11313212111
（ 3— 10）
图 3.18 例 3.8图
I
＋
－
2 V
1?
1 A
1?
1?
1?
1?
2?
＋－
2 V
1
2
4
3
S
S
S
S
S
S
GG
GG
GG
G
G
G
5.0
1
1
5.2
2
1
11
5.2
2
1
11
3111
3223
3113
2112
33
22
11
A
A
A
I
I
I
S
S
S
1
2
2
1
2
2
3
1
2
1
33
22
11
结果与例 3.3用网孔电流法所求完全相同,故也不必校核了。
例 3.9 列出图 3.19所示电路的节点电位方程并求解 。
15.25.0
15.05.2
33
321
321
321
(3) 联立求解,得
VVV 12131255.1 321,,
AI 322 12
52
12
13
2
2(4)
1?
4
2 A
I
1?
1?
1?1?
＋
－
3 V
1
2 3
图 3.19 例 3.9图解 因与 2 A电流源串联的 1Ω电阻不会影响其它支路电流,
故在列写节点方程时均不予考虑,选择参考点如图中所示,则
φ2=３
节点 1,2φ1― φ2=2
节点 3,― φ2+2φ3=―
联立求解,得
φ1=2.5 Ｖ,φ３ =0.5
例 3.10 试用节点电压法,求图 3.20所示电路中的电流 Ｉ,。
＋
－
4 V
2?
R
1
U
S1
3?
R
2
1?
R
3
6?
R
4
＋
－
6 VU S2
＋
－
3 VU S3
I
图 3.20 例 3.10图解 该电路只有两个节点,用节点电位法最为简便,只须列一个独立节点方程,即
RRRR
R
U
R
U
R
U
R
U
R
U
R
U
R
U
R
U
RRRR
SSSS
SSSS
4321
4
4
3
3
2
2
1
1
4
4
3
3
2
2
1
1
4321
1111
1111
)(
这个方程的普遍形式为
k
k k
k
k k
sk
R
R
U
1
1
1?
式 (3― 12)称为弥尔曼定理,它实际上是节点电位法的一种特殊情况 。
在式 (3—12)中,电压源的各项实际上是代数和 。 凡参考正极连接在独立节点上的,该项取,+”,反之取,―,。 将相关数值代入,解之,可得例 3,11电路如图 3.21所示,试求节点电位 φ1。
解 选定参考点如图中所示,注意６Ｓ和３Ｓ串联后的总电导应为２Ｓ 。
G11=２ +４ =６ S
G22=２ +0.8=2.8
G12=Ｇ 21=―
IS11=８ ―
IS22=― ８ ― ８ =― 16
将上述数据代入规范方程可得
６ φ1― ２ φ2=８ ― ６ Ｉ
― ２ φ1+2.8φ2=― 16
辅助方程为
Ｉ =0.8φ2
V
V
RI 4
1
6
1
2
3
2
3
4
8 A I
6 I
3 S
＋
－
4 V
4 S
1
2
3
图 3.21 例 3.11图整理上述方程后,可得
３ φ1+1.4φ2=
― φ1+1.4φ2=―
联立求解,可得
φ1=３ V
例 3.12 用节点电位法分析图 3.22所示电路。
解 设参考点如图 3.22中所示,由于受控电压源是理想 CCVS，
因此在列节点方程时,应先设定出其中的电流 Ｉ 0,然后列写节点方程及相关的辅助方程 。 ＋
－
5 V
1 S
I
I
0 ＋ －
1
2 3
4
I
1
8
8 A
3 S ＋ －
1 V
图 3.22 例 3.12图
S
S
S
G
G
G
743
431
945
33
22
11
S
S
GG
GG
GG
4
3
0
3113
2332
2112
1138
3
25
0
0
I
II
II
将上述数据代入规范方程,可得
11734
334
2549
321
032
031
I
I
辅助方程为
)(
31
21
4
8
1
I
I
经整理,可得
11734
28749
02121
321
321
321
联立求解,得
VA
VVV
II 1818
123
,
,,
321
作业,P（ 86— 87）页
3.13 3.14 3.16 3.17
3.4 叠加定理
1,叠加定理及其证明
2,应用叠加定理时应注意以下几点：
(1) 应用叠加定理时,应保持电路结构及元件参数不变。
(2) 在叠加时,必须注意各个响应分量是代数和 。
(3) 用叠加定理分析含受控源的电路时,不能把受控源和独立源同样对待。
(4) 叠加定理只适用于求解线性电路中的电压和电流,而不能用来计算电路的功率
3.齐次定理。
即在线性电路中当全部激励 (独立电压源或独立电流源 )同时增大 (或缩小 )K倍 (K为任意常 数 )时,其响应也相应增大 (或缩小 )K倍。
显然,当线性电路中只有一个激励时,根据齐次定理,响应与激励成正比。 齐次定理对于应用较广泛的梯形电路的分析计算特别有效。
例 3.13 用叠加定理求图 3.28(a)所示电路中的 I1和 U。
解 因图中独立源数目较多,每一独立源单独作用一次,需要做 4次计算,比较麻烦 。 故可采用独立源,分组,作用的办法求解 。
(1) 两个电压源同时作用时,可将两电流源开路,如图 3.28(b)
所示 。 依图 3.28(b)，
A
A
IU
I
666
263 612
'
1
'
'
1
2 A
＋
－
U
2?
3 A
I
1
6?
－
＋
6 V12 V
3?
＋ －
( a )
3?
＋
－
12 V
6?
－
＋
6 V
2?
－U′
I′
1
＋
( b )
3? 2?2 A6?
3 A
－
U″
＋
I″
1
( c )
图 3.28 例 3.13图
(2) 两个电流源同时作用时,可将两电压源短路 。 如图 3.28(c)
所示 。 由于 2 A电流源单独作用时,3A电流源开路,使得中间回路断开,故 I″1仅由 3A电流源决定 。 依图 3.28(c),有
V
A
IU
I
162326
10363 3
)(''1''
''
1
所以
A
A
UUU
III
22166
312
"'
''
1
'
11
例 3.14 用叠加定理求图 3.29(a)所示电路中的 U和 I。
解 (1) 12 V电压源单独作用时的电路如图 3.29(b)所示,根据
KVL,有
V
A
IU
I
III
8122
2
622212
''
'
''')(
所以
(2) 3A电流源单独作用时的电路如图 3.29(c)所示,并可等效为图 3.29(d),于是,有
＋
－
12 V
＋
－
3 A
U
＋
－
2 I
I 2? 2?
( a )
＋
－
12 V
＋
－
U ′
＋
－
2 I′
I′ 2? 2?
( b )
＋
－
3 A U ″
＋
－
2 I″
I″ 2? 2?
( c )
＋
－
3 A I″
I″ 2?
2?
( d )
U ″
图 3.29 例 3.14图例 3.15 求图 3.30所示电路中的各支路电流 。
解 本例题为一梯形电路,利用齐次定理求解比较方便 。
VU
II
IU
IIU
2
23
2
313
"
""
""
""" )(
112
1028
'''
"'
III
UUU V
即所以
5.2
9
1
'
5
'
4
'
3
4
'
'
4
'
565
'
'
5
)(
III
R
U
I
IRRU
I
be
be
A
＋
－
129 V
3?I 1
R
1
I
2
6?
R
2
I
3 3?
R
3
I
4
6?
R
4
6?
R
6
I
5 3?
R
5
a b
cd
图 3.30 例 3.15图设 则
75.2
5.16
2
'
'
2
''
33
'
R
UI
UIRU
ad
bead V
今 已 知 U Ｓ =129V,即 电 源 电 压 增 大 了 129/32.25 倍,即
K=129/32.25=４,因此,各支路电流也相应增大４倍 。 所以
VUIRU
III
ads 25.32
25.5
''
11
'
'
3
'
2
'
1
414
65.14
105.24
1175.24
2125.54
'
55
'
44
'
33
'
22
'
11
KII
KII
KII
KII
KII
本例计算是先从梯形电路距离电源最远的一端算起,倒退到电源处 。 通常把这种方法称为,倒退法,。 可以先对某个响应设一便于计算的值,如本例设 I’5=1 A。 依此计算出的结果,再按齐次定理予以修正 。 这对于计算梯形电路元件数目较多的情况尤显方便 。
例 3.16 数字计算机控制工业生产自动化系统中的数模变换梯形 DAC解码网络如图 3.31(a)所示 。 其中 20,21,22分别与输入的二进制数的第一,二,三位相对应 。 当二进制数某位为,１,
时,对应的开关就接在电压 US上； 当二进制数某位为,０,时,
对应的开关就接地 。 图中开关位置表明输入为,110”。 从输出电压 UO的数值就可得知输入二进制的对应代码 。 试说明其工作原理 。
解 其工作原理可用叠加定理来说明 。
(1)先设只有开关 22接 US,其它开关都接地,其电路如图
3.31(b)所示,并可简化为图 3.31(c)。 显然可得
URRRUU SSO 312'
(2) 当只有开关 21接 US,其它开关都接地时,其电路如图
3.31(d)所示,并可化简为图 3.31(e)，
2132212'' URR RRRRUU SSO
其中 为图 3.31 (e)中 b点与地之间的电压。3US
＋
－
2 R
＋
－
U
S
2 R
a
U
o
2 R
2
0
＋
－
U
S
2 R
b
2
1
＋
－
U
S
2 R
c
2
2
( a )
＋
－
o
U ′
2 R 2 R 2 R
R R
a b
cR R
2 R
2 R
＋
－
U
S
( b )
＋
－
U ′
R
c
2 R
＋
－
U
S
o
( c )
＋
－
o
U ″
2 R 2 R 2 R
a b
cR R
2 R
2 R
＋
－
U
S
( d )
＋
－
U ″
2 R
c
2 R
＋
－
U
S
o
( e )
b
R
＋
－
2 R 2 R 2 R
a b
cR R
2 R
2 R
＋
－
U
S
( f )
＋
－
2 R
2 R
＋
－
U
S
( g )
b
R
U ″
o
′
R
ca
R
2 R
R
U ″
o
′
图 3.31 例 3.16图
(3) 当只有开关 20接 US,其它开关都接地时,其电路如图
3.31(f)所示,并可简化为图 3.31(g),可得
212132212''' URR RRR RRRRUU SSO
其中 为图 3.31 (g)中 a与地之间的电压,为图 3.31 (g)中 b
点与地之间的电压。 3
US RRRU
S?3
1
(4) 因此,当三个开关全接 US,即输入的二进制代码为,111”
时,可得
212131213131'''0''0'00 UUUUUUU SSS
若 US=12V,则此时
71240U
这就是对应于二进制代码,111”的输入电压数值 (模拟量 )，
若输入的二进制代码为,110”时,则
6240213131'''0''0'00 UUUUUU SS
这就是对应于二进制代码,110”的输出电压数值 (模拟量 )。 同理,依次对应于二进制代码 101,100,011,010,001,000的输入电压数值 (模拟量 ) 为,5”,,4”,,3”,,２,,,１,,
,0”。
例 3.17 图３,32电路中的线性无独立源网络,其内部结构不知道 。 已知在 US和 IS共同作用时,实验数据为
(1) UＯ =1V,IS=1A,UＯ =０ 。
(2) US=10V,IS=０,UO=1V。
试求 US=０,IS=10 Ａ时的 UＯ 值 。
解 本例是应用叠加定理研究一个线性网络激励与响应关系的实验方法 。 由于 Ｕ S和 IS为两个独立的电源,根据叠加定理,Ｕ o可写成
1010
011
21
21
210
KK
KK
IKUKU SS代入两组数据,得图 3.32 例 3.17图
＋
－
线性无独立源网 络
U
o
作业,P87页 3.21 3.22
3.24 3.25
1010
011
21
21
210
KK
KK
IKUKU SS
代入两组数据,得
AIU
IUU
KK
SS
SSO
100
1.01.0
1.01.0
,
,
联立求解得因此
Ａ时的 Uo
VU o 1101.001.0
3.5 代文宁定理
1,二端网络的含义。
2,代文宁定理。
何一个线性有源二端网络 N,如图 3.38(a)所示,对外电路而言,总可以用一个电压源等效代替 。 如图 3.38(b)所示 。 其中电压源的电压等于有源二端网络的开路电压 Uo。 如图 3.38(c)所示,其内阻 R0等于网络 N中所有独立源均为零值时所得无源二端网络 N的等效内阻 Rab,如图 3.38(d)所示 。 该电压源和电阻串联的支路称为代文宁等效电路 。
N
有 源
a
b
外电路
( a )
b
外电路
a
＋
－
U
o
R
0
( b )
N
有 源
a
b
( c )
＋
－
U
o
N
a
b
( d )
R
ab
=R
0
图 3.38 代文宁定理
3,等效电阻在不能用电阻串,并联公式计算时,可用下列两种方法求得：
(1) 外加电压法,使网络 N中所有独立源均为零值 (注意受控源不能作同样处理 ),得一个无源二端网络 N,然后在 N两端钮上施加电压 U,如图 3.39所示,计算端钮上的电流 I,则
(2) 短路电流法,分别求出有源网络 N的开路电压 Uo和短路电流
ISC(注意,此时有源网络 N内所有独立源和受控源均保留不变 )。 由图
` 3.40(b)可见
IURR abo
RUI ooSC?
图 3.39 用外加电压法求 R0 图 3.40 用短路电流法求 R0
N
a
b
R ab
＋
－
U
N
a
b
( a )
I
SC
b
＋
－
U
o
R
0
a
( b )
I
SC
应当注意,当 Uo=ISC=0时,此法即失效。
由此可得 IUR
SC
O?0
例 3.18 用代文宁定理求图 3.41(a)电路中 I,U。
＋
－
＋
－
2?
2?
2?
2?
R = 1,5?1
A
2 V
U
I
a
b
( a )
＋
－
2?
2?
2?
2?
2 V
＋
－
1 A
U
o
a
b
( b )
2?
2? 2?
2?
a
b
( c )
1,5?
a
b
( d )
＋
－
R = 1,5?U
I＋
－
2 V
图 3.41 例 3.18图解 根据代文宁定理,将 R支路以外的其余部分所构成的二端网络,用一个电压源 Uo和电阻 R0相串联去等效代替 。
(1) 求 Uo：将 R支路断开,如图 3.41(b)所示 。 用叠加定理可求得
V
U o
2
2222222 212222222 2 )()(
(2) 求 R0,将两个独立源变为零值,即将 2V电压源短路,而将 1A电流源开路,如图 3.41(c)所示 。 可求得
V
A
RIU
RR
UI o
1325.1
3
2
5.15.1
2
0
(3) 根据所求得的 Uo和 R0,可作出代文宁等效电路,接上 R支路如图 3.41(d)所示,即可求得
5.1232222 2222 )(0R
例 3.19 试用代文宁定理求图 3.42(a)所示电路中流过 4Ω电阻的电流 Ｉ 。
解 该题如果只用一次代文宁定理,直接求出 4 Ω电阻支路以左的等效电压源,则计算开路电压将会很麻烦 。 为此,可以逐次应用代文宁定理 。 先求图 3.42(a)中 ab以左的代文宁等效电路,
于是有
2?
＋
－
2 V
2? 2?
3?
4?＋
－
2 V
1 A 1 A
a
I
b d f
ec
( a )
2?
＋
－
4 V
2? 2?
3?
4?＋
－
2 V
1 A
a
I
b d f
ec
( b )
6?
＋
－
8 V
3?
4?＋
－
2 V
I
e
( c )
2?
＋
－
4 V
4?
I
( d )
f
图 3.42 例 3.19图
2
221
R
U
ab
ab V
这样可得到图 3.42(b)。 在图 3.42(b)中,再求 cd以左的代文宁等效电路,于是有
6222
44221 )(
R
U
cd
cd V
这样可得到图 3.42(c)。 在图 3.42(c)中,再求 ef以左的代文宁等效电路,于是有
236 36
4836 286
R
U
ef
ef
最后得图 3.42(d)。 由此可求得
AI 3242 4
例 3.20 用代文宁定理求图 3.43(a)中的电流 I１ 。
解 先将 9Ω支路断开,并将 CCCS变换成 CCVS,如图 3.43(b)
所示 。
VU
I
II
I
IIU
o
o
18
1
16204
4
1620
216
'
''
'
'
''
即所以
＋
－
20 V
9?
I
1
2?
2?I 8,8?
8 I
( a )
＋
－
20 V
I
SC2?
2?I″ 8,8?
8 I″
( c )
＋
－
U
o
R
0
I
1
9?
( d )
20 V
2?I′ 8,8?
＋
－
1 6 I ′
2?
＋
－
＋
－
U
o
( b )
1
图 3.43 例 3.20图
(2) 求短路电流 ISC,由图 3.43(c),用节点电位法可得
A
V
I
I
I
SC 2
8.8
6.17
2
20
810
8.8
1
2
1
2
1
1
1
1'
'
1
)(
所以则
(3) 由所求 Uo和 ISC求 R0
92180R
(4) 等效电压源电路如图 3.43(d)所示,于是得
ARUI 19
0
01
例 3.21 求图 3.44(a)所示的代文宁等效电路 。
解 (１ ) 由图３,44(a),依 KVL,可得
10
41020
0
1
110
UI
IIU
可解得 Uo=
(２ ) 求 R0,先用短路法 。 将图３,44(ａ )中的ａ,ｂ
端短路,并设短路电流为 ISC,如图３,44(ｂ )所示 。 由图 3.44(b)
可知,I′1=０,从而 CCVC也为零,即
20I′1=
这样图 3.44(ｂ )可等效为图 3.44(ｃ ),于是可求得
5.2
4.0104
0 I
UR
I
SC
O
SC
A
所以
(３ ) 再用外加电压法求 R0。 将图 3.44(a)中的电压源短路,并在ａ,ｂ间加电压源 Ｕ,如图 3.44(ｄ )所示,由图 3.44 (d)可得
5.2
10
4
10
3
10
10
3
55
20
10
0
2
"
1
''
1
2
''
1
I
U
R
UUU
III
UIU
I
U
I
依ＫＣＬ
所以
(4) 由计算结果可画出代文宁等效电路如图 3.44(e)所示
5?
I
1
＋
－
4 V
20 I
1
10?
＋ －
＋
－
U
o
( a )
5?
b
a 5?
1
＋
－
4 V
20 I′
10?
＋ －
( b )
5?
b
a
I
SC
I′
1
5?
1
＋
－
U
20 I″
10?
＋ －
( c )
5?
b
aI
I″
1
I
2
( d )
＋
－
4 V
5?
b
a
I
SC
5?
( e )
＋
－
2,5?
b
a
1 V
例 3.22 试证明图 3.45(a)所示电路的等效电路为图 3.45(b)所示 。
( a )
＋
－
U
＋
－
V
8
15
－
4
15
( b )
＋
－
U
＋
－
( c )
V
4
3
2
2
3 ＋－
6 U
2?
2?1?
3 U
1
( d )
＋
－
U
1
＋
－
2?2 V
1?
＋
－
U
3 U
2?
图 3.45 例 3.22图图 3.44 例 3.21图解 (1) 原图可等效为图 3.45(c),依图 3.45(c),有
VU
UU
15
4
3
46
既
(2) 用外加电压法求 R０ 。 将 2 V电压源短路,外加电压 U1,如图 3.45(d)所示,依图 3.45(d),有
15
8
8
15
8
15
5
3
8
3
2
26
1
11
0
1
1
11
)(
U
U
I
U
R
UI
UI
IUU
既则作业,P（ 88— 89）页 3.27 3.29 3.31 3.32
3.6
1,最大功率传输定理 ＋
－
U
o
R
0
R
＋
－
U
a
b
( a )
I
S
R
0
R
＋
－
U
a
b
( b )
图 3.50最大功率传输定理
RRR URIP
O
O 22 )(
当 R变化时,负载上要得到最大功率必须满足的条件为
0?dRdP （ 3— 14）
用图 3.50 (b)所示的电路,同样可以在 ISC和 R0为定值的前提下,
推得当 R=R0时,负载上得到的功率为最大,其最大功率为
0
02
)(2)(
)()(
)(
)(
0
2
0
0
2
04
0
2
2
0
RRRRR
RRRRRRR URRR UdRddPdP oo
故解得 R=R0
即当 R=R0时,负载上得到的功率最大 。 将 R=R0代入式 (3― 14)即可得最大功率为
RURRR UP o4 0
2
0
2
0
m a x )(
（ 3— 15）
IRP SC20m a x 41? （ 3— 16）
用实际的电压源或电流源向负载供电,只有当负载电阻等于电源内阻时,负载上才能获得最大功率,其最大功率为 Pmax=U2o/
（ 4R0） (对于电压源 )或 Pmax=R0I２ SC/4(对于电流源 )。 此结论称为最大功率传输定理 。
2,匹配概念与正确理解最大功率传输定理通常把负载电阻等于电源内阻时的电路工作状态称为匹配状态。
应当注意的是,不要把最大功率传输定理理解为,要使负载功率最大，
应使实际电源的等效内阻 Ｒ 0等于 Ｒ L。必须指出,由于 Ｒ 0为定值,要使负载获得最大功率,必须调节负载电阻 Ｒ L(而不是调节 Ｒ 0)才能使电路处于匹配工作状态。
例 3.23 在图 3.51(a)所示电路中,若已知：当 R5=８ Ω时,
I5=20Ａ； 当 R5=2Ω时,I5=50Ａ,问 R5为何值时,它消耗的功率最大?
此时最大功率为多少?
解 根据代文宁定理,可将 Ｒ 5支路以外的其余部分所构成的有源
＋
－
U
o
R
0
R
5
( b )
I
5
R
5
I
5
＋ －
U
S
R
0
R
1
R
3
R
4
R
2
I
S
( a )
图 3.51 例 3.23图二端网络用一个电压源 Uo和电阻 R0相串联去等效代替,如图
3.51(b)所示,则有
50
2
20
8
0
0
5
50
R
U
R
U
I
RR
U
o
o
o
依题条件可列方程组联立求解,得
2200 0RU Vo
根据最大功率传输定理可知,当 Ｒ 5=R0=2 Ω时,Ｒ 5可获得最大功率，为
kWRUP o 5242 0 041
2
5
2
m a x
例 3.24 求图 3.52(a)所示含受控源二端网络向外电路所能提供的最大功率 Pmax。
＋
－
U
2 I
1
12 V
2?
8?
2?
＋－
4?
I
1
＋
－
( a )
＋
－
U
o
2 I
1
12 V
2?
8?
2?
＋－
4?
I
1
＋
－
( b )
a
b
a
b
I
Ⅰ
I
Ⅱ
＋
－
U
2 I
1
12 V
2?
8?
2?
＋－
4?
I
1
( c )
a
b
I
Ⅰ
I
Ⅱ
I
SC
＋
－
2?
U
o 6 V
R
0
( d )
图 3.52 例 3.24图解 (1) 根据图 3.52(b),用网孔电流法求开路电压 Uo,所列方程组为
III
III
II
2148
12810
联立求解,得
V
AAA
IIIU
III
o 6822
9.05.14.2,,
(2) 根据图 3.52(c),用网孔电流法求短路电流 ISC。 方程组为
III
(３ ) 根据 Uo和 Ｉ SC求 R0
联立求解,可得
236IUR
SC
o
(４ ) 代文宁等效电路如图 3.52 (d) 所示 。 根据最大功率传输定理可知,电路向外电路所能提供的最大功率为
WRUP o 5.424 64 2
0
2
m a x
例 3.25 求图 3.53(a)所示电路中 RL为何值时能取得最大功率,
该最大功率是多少?
R
L
＋
－
16 V
20?
4?
8?
3?
1 A
a
( a )
b
＋
－
16 V
20?
4?
8?
( b )
U
o
′
a
b
3?
20?
4?
8?
3?
1 A
( c )
U
o
″
a
b
I
3?
R
0
b
a
20?
4?
8?
( d )
9?
R
L
＋
－
4 V
( e )
图 3.53 例 3.25图解 (１ )断开 Ｒ L支路用叠加定理求 Uo。 16Ｖ电压源单独作用时,如图 3.53(b)所示,根据分压关系,有
VU o 122042048 16 )('
１Ａ电流源单独作用时,如图 3.53(c)所示,根据分流关系,有
A
A
U
I
o 83188
5
8
51
2048
20
''
所以
VUUU ooo 4'''
(２ ) 求 R0,将 16V电压源和 1Ａ电流源均变为零,如图 3.53(d)
所示,可得
92048 20483 )(0R
(３ ) 根据求出的 Uo和 R0做出代文宁等效电路,并接上 Ｒ L，
如图 3.53(e)所示,根据最大功率传输定理可知,当作业,P（ 89— 90） 3.35 3.36 3.38
90RR L
时,可获得最大功率,这时,Ｒ L吸收的功率为
WP 9494 4 2m a x
小 结
(1) 以支路电流作变量列写独立节点的 KCL方程,再补充和网孔个数相同的 KVL方程 (变量仍是支路电流 ),联立后足以解出全部支路电流,这就是支路电流法 。 此法优点是直观,所求就是支路电流,
且可用电流表进行测量 。 缺点是当支路多,变量多,求解过程麻烦,
不宜于手工计算 。
(2) 以假想网孔电流作变量列写和网孔个数相同的 KVL方程,联立求解求出网孔电流,进而通过网孔电流与支路电流的关系再求出支路电流,或者期望再求出其它电路变量,这就是网孔电流法 。 对于含有理想电流源,在不能将其转移成某个网孔电流时,可采取设其两端电压,来增加变量,进而 增加方程 。 对于含有受控源的电路,其分析方法和步骤与只含独立源电路的分析完全相同,只是要将受控变量用待求的网孔电流变量表示作为辅助方程 。 此法优点,同一电路所需方程数目较支路电流法少,列写方程的规律易于掌握 。 缺点是不直观,有的网孔电流不能用电流表测试 。
(3) 以独立节点的电位作为变量依 KCL(连同欧姆定律 )列写节点电位方程,求解出节点电位,进而求得各支路电流或欲求的其它电路变量,这就是节点电位法 。 此法优点是所需方程个数少于支路电流法,特别是节点少而支路多的电路用此法尤显方便,列写方程的规律易于掌握 。 缺点是对于一般给出的电阻参数,电压源形式的电路求解方程工作量较大 。
(4) 叠加定理是线性电路叠加特性的概括表征,其重要性不仅在于用此法分析电路本身,而且在于它为线性电路的定性分析和一些具体计算方法提供了理论依据 。
(5) 代文宁定理是等效变换法分析电路最常用的定理,它表明任何一个有源二端网络总可以用一个极其简单的等效电路去代替 。 解题三步骤,即求开路电压 ―― 求等效内阻 ―― 画出等效电路接上待求支路,最终根据最简单电路求待求量 。 对于含有受控源的电路,
在计算等效电压源时,要注意控制量随二端网络对外端口的开路应作相应的变化 (短路,开路,改变方向或极性 )； 在求等效内阻时,
只能用外加电压法或短路电流法 。
(6) 最大功率传输定理阐明了在通信技术中,变换的负载为获得最大功率而应当满足的条件,即 RL=R0。 此最大功率为
U2o/4R0或 1/4R0I2SC。
3.1 支路电流法
3.2 网孔电流法
3.3 节点电位法
3.4 叠加定理
3.5 代文宁定理
3.6 最大功率传输定理
小结
3.1 支路电流法
1,支路电流法
(1) 节点方程根据 KCL,可对四个节点列出四个 KCL方程：
0
0
0
0
431
654
632
321
III
III
III
III
节点 a:
节点 b:
节点 c:
节点 d:
(3— 1）
I
1
aR 1 R 2 I
2
I
5
R
5
＋－
U
S 3
R
3I 3
I
4
c
R
4
R
6 I 6
d b
＋
－
U
S 2
＋
－
U
S 1
Ⅰ Ⅱ
Ⅲ
图 3.1 复杂电路举例
(2) 独立节点方程的概念
(3) KVL方程
UIRIRIR
UIRIRIR
UIRIRIR
S
S
S
3664433
2665522
1445511
网孔 Ⅰ,
网孔 Ⅱ,
网孔 Ⅲ,
UUUIRIRIR SSS 321445511
综上所述,对以支路电流为待求量的任何线性电路,运用 KCL
和 KVL总能列写出足够的独立方程,从而可求出各支路电流 。
2,支路电流法的一般步骤
(1) 在给定电路图中设定各支路电流的参考方向 。
(2) 选择 (ｎ —１ )个独立节点,写出 (ｎ —１ )个 KCL方程 。
(3) 选网孔为独立回路,并设定其绕行方向,列写出各网孔的
KVL方程 。
(4) 联立求解上述独立方程,得出各支路电流 。
例 3.1 求图 3.2所示电路中的各支路电流 。
解 (1) 假定各支路电流方向如图 3.2中所示 。
(2) 由于该电路只有两个节点,故只能列一个 KCL独立方程，
选节点 b为参考点,则节点 a,I1+I2― I3=０
(3) 按顺时针方向列出两个网孔的 KVL独立方程
2I1― 4I2=15― 10
4I2+12I3=10
(4) 联立求解上面三个方程,得
I1=1.5Ａ,I2=― 0.5Ａ,I3=1
其中 I2为负值,说明假定方向与实际方向相反 。
(5) 为验证所求正确与否,可选取一个未曾用过的回路列ＫＶＬ
方程,把求得的电流值代入方程中,若方程两边相等,说明所求值正确 。 取最大回路,则有
2I1+12Ｉ 3=15
将 I1和 I3数值代入,得左边 =２ × 1.5+12× １ =３ +12=15=
说明求出的值正确无误 。
图 3.3 例 3.2图
b
＋
－
1 0 V
2? 4?
12?
I
1
I
2 I 3
＋
－
图 3.2 例 3.1图
＋
－
I
1
R
1
R
3
I
2
R
2
I
3
R
4
Ⅰ Ⅱ
＋ －U
1
＋－
U
1
例 3.2 电路如图３,３所示,试用支路电流法列写出求解各支路电流所需的联立方程组 。 解设各支路电流和网孔绕向如图 3.3所示,
则独立节点方程只有一个,即
I１ ― I２ ― I３ =
网孔方程有两个,即网孔 Ⅰ,R１ I１ +R２ I２ ― US=０
网孔 Ⅱ,― R２ I2+(R３ +R4)I３ ― μU１ =0
建立辅助方程,将控制量 Ｕ １ 用支路电流表示,即
U１ =R１ I１
将以上四个方程联立即为所求。
作业,P85页 3.1 3.2
３,２ 网孔电流法
1,网孔电流法由人们主观设想的在网孔中流动的电流称为网孔电流 。 如图
３,6(ａ )所示电路中的 IⅠ,IⅡ,IⅢ,它们的参考方向是任意假定的 。 直接以设想的网孔电流为变量,对各网孔列写ＫＶＬ方程而对电路进行求解的方法称为网孔电流法 。
＋
－
I
1
R
1
R
5
I
2
R
2
I
3
R
3
U
S 1
I
4
R
4
I
5
＋
－
U
S 2
＋
－
U
S 3
＋ －
U
SR
6
I
6
R
5
I
5
I
1
R
1 I
2
R
2
I
4
R
4I
3
R
3
图 3.6 网孔电流法对照图 3.6(a)和图 3.6(b)中各网孔电流与各支路电流之间的关系,可以看出,所有支路电流都可以由网孔电流来表示,即
UUIRRRIRIR
UUIRIRRRIR
UUUIRIRIRRR
SS
SS
SSS
53653613
426642
32132321
)(
)(
)(
III
II
II
III
III
I
6
5
4
3
2
1
由此可见,只要能求出各网孔电流,就可进一步求出各支路电流。
（ 3— 4）
（ 3— 3）
2,几点说明
(1) 设想的网孔电流只是一种计算手段。
(2) 设想的网孔电流并不违背ＫＣＬ定律 。
(3) 各网孔电流之间相互独立 。
3,孔电流法的规范说明网
UUU
UUU
UUUU
RRR
RRR
RRR
RRRR
RRRR
RRRR
SSS
SSS
SSSS
5333
3222
32111
63223
32112
65333
64222
32111
这样式 (3― 3) 可写成
4,网孔电流法的一般步骤
(1) 确定网孔及设定各网孔电流的参考方向。
(2) 建立网孔方程组。
(3) 求解方程组,即可得出各网孔电流值。
(4) 设定各支路电流的参考方向,根据所求出的网孔电流即可求出各支路电流。
例 3.3 试求图 3.7(a)电路中的电流 I。
UIRIRIR
UIRIRIR
UIRIRIR
S
S
S
33333231
22232221
11131211
（ 3— 5）
1?
＋
－
I
2 V 1 A
1?
1?
2?
＋－
2 V
1?
1?
1?
＋
－
I
3 V
2?
＋－
2 V
1?
1?
I
Ⅰ
I
Ⅱ
I
Ⅲ
图 3.7 例 3.3图解 (１ ) 将原电路变换成图 3.7(b)电路,则可减少一个网孔 。
设定各网孔电流方向如图 3.7(b)中所示,则有
2
1
1
4121
4211
3111
3223
3113
2112
33
22
11
RR
RR
RR
R
R
R
,,,223 332211 VVV UUU SSS
(２ ) 将上述数值代入规范方程,则有
III
III
III?3
(３ ) 联立求解,可得
AAA III,,
3.3 节 点 电 位 法
1,节点电位法
III
III
III
S
S
S
243
232
121
节点 1
节点 2
节点 3
为使方程中含有变量 φ１,φ２ 和 φ３,则根据欧姆定律,可得
34
4
3
23
3
2
212
2
21
2
311
1
31
1
0
0
)(
)(
G
R
I
G
R
I
G
R
I
G
R
I
将式 (3― 8)代入式 (3― 7),并经整理后,得
（ 3— 7）
（ 3— 8）
式 (3― 9)中各方程称为节点电位方程,从这个方程组解出节点电位值后,代入式 (3― 8),就可求出各支路电流 。
2,说明
(1) 节点电位方程实质上还是 KCL方程 。 节点电位法只是求解支路电流的一种过渡手段,适用于节点少而网孔多的电路 。
(2) 各独立节点电位之间相互独立 。 可作为电路分析的变量 。
3,节点电位法规范方程
IGGG
IGGG
IGGGG
S
S
S
334111
233212
13122121
)(
)(
)(
（ 3— 9）
03223
13223
22112
3233
3222
2111
GG
GGG
GGG
GGG
GGG
GGG
4,节点电位法的一般步骤
(1) 选取参考节点 。
(2) 建立节点电位方程组 。
(3) 求解方程组,即可得出各节点电位值 。
(4) 设定各支路电流的参考方向。
例 3.8 求图 3.18所示电路中的电流 I。
解 (1) 取节点 4为参考点 。
(2) 建立方程组
II
II
II
SS
SS
SS
233
222
111
这样式 (3― 9)可写成
IGGG
IGGG
IGGG
S
S
S
33333232131
22323222121
11313212111
（ 3— 10）
图 3.18 例 3.8图
I
＋
－
2 V
1?
1 A
1?
1?
1?
1?
2?
＋－
2 V
1
2
4
3
S
S
S
S
S
S
GG
GG
GG
G
G
G
5.0
1
1
5.2
2
1
11
5.2
2
1
11
3111
3223
3113
2112
33
22
11
A
A
A
I
I
I
S
S
S
1
2
2
1
2
2
3
1
2
1
33
22
11
结果与例 3.3用网孔电流法所求完全相同,故也不必校核了。
例 3.9 列出图 3.19所示电路的节点电位方程并求解 。
15.25.0
15.05.2
33
321
321
321
(3) 联立求解,得
VVV 12131255.1 321,,
AI 322 12
52
12
13
2
2(4)
1?
4
2 A
I
1?
1?
1?1?
＋
－
3 V
1
2 3
图 3.19 例 3.9图解 因与 2 A电流源串联的 1Ω电阻不会影响其它支路电流,
故在列写节点方程时均不予考虑,选择参考点如图中所示,则
φ2=３
节点 1,2φ1― φ2=2
节点 3,― φ2+2φ3=―
联立求解,得
φ1=2.5 Ｖ,φ３ =0.5
例 3.10 试用节点电压法,求图 3.20所示电路中的电流 Ｉ,。
＋
－
4 V
2?
R
1
U
S1
3?
R
2
1?
R
3
6?
R
4
＋
－
6 VU S2
＋
－
3 VU S3
I
图 3.20 例 3.10图解 该电路只有两个节点,用节点电位法最为简便,只须列一个独立节点方程,即
RRRR
R
U
R
U
R
U
R
U
R
U
R
U
R
U
R
U
RRRR
SSSS
SSSS
4321
4
4
3
3
2
2
1
1
4
4
3
3
2
2
1
1
4321
1111
1111
)(
这个方程的普遍形式为
k
k k
k
k k
sk
R
R
U
1
1
1?
式 (3― 12)称为弥尔曼定理,它实际上是节点电位法的一种特殊情况 。
在式 (3—12)中,电压源的各项实际上是代数和 。 凡参考正极连接在独立节点上的,该项取,+”,反之取,―,。 将相关数值代入,解之,可得例 3,11电路如图 3.21所示,试求节点电位 φ1。
解 选定参考点如图中所示,注意６Ｓ和３Ｓ串联后的总电导应为２Ｓ 。
G11=２ +４ =６ S
G22=２ +0.8=2.8
G12=Ｇ 21=―
IS11=８ ―
IS22=― ８ ― ８ =― 16
将上述数据代入规范方程可得
６ φ1― ２ φ2=８ ― ６ Ｉ
― ２ φ1+2.8φ2=― 16
辅助方程为
Ｉ =0.8φ2
V
V
RI 4
1
6
1
2
3
2
3
4
8 A I
6 I
3 S
＋
－
4 V
4 S
1
2
3
图 3.21 例 3.11图整理上述方程后,可得
３ φ1+1.4φ2=
― φ1+1.4φ2=―
联立求解,可得
φ1=３ V
例 3.12 用节点电位法分析图 3.22所示电路。
解 设参考点如图 3.22中所示,由于受控电压源是理想 CCVS，
因此在列节点方程时,应先设定出其中的电流 Ｉ 0,然后列写节点方程及相关的辅助方程 。 ＋
－
5 V
1 S
I
I
0 ＋ －
1
2 3
4
I
1
8
8 A
3 S ＋ －
1 V
图 3.22 例 3.12图
S
S
S
G
G
G
743
431
945
33
22
11
S
S
GG
GG
GG
4
3
0
3113
2332
2112
1138
3
25
0
0
I
II
II
将上述数据代入规范方程,可得
11734
334
2549
321
032
031
I
I
辅助方程为
)(
31
21
4
8
1
I
I
经整理,可得
11734
28749
02121
321
321
321
联立求解,得
VA
VVV
II 1818
123
,
,,
321
作业,P（ 86— 87）页
3.13 3.14 3.16 3.17
3.4 叠加定理
1,叠加定理及其证明
2,应用叠加定理时应注意以下几点：
(1) 应用叠加定理时,应保持电路结构及元件参数不变。
(2) 在叠加时,必须注意各个响应分量是代数和 。
(3) 用叠加定理分析含受控源的电路时,不能把受控源和独立源同样对待。
(4) 叠加定理只适用于求解线性电路中的电压和电流,而不能用来计算电路的功率
3.齐次定理。
即在线性电路中当全部激励 (独立电压源或独立电流源 )同时增大 (或缩小 )K倍 (K为任意常 数 )时,其响应也相应增大 (或缩小 )K倍。
显然,当线性电路中只有一个激励时,根据齐次定理,响应与激励成正比。 齐次定理对于应用较广泛的梯形电路的分析计算特别有效。
例 3.13 用叠加定理求图 3.28(a)所示电路中的 I1和 U。
解 因图中独立源数目较多,每一独立源单独作用一次,需要做 4次计算,比较麻烦 。 故可采用独立源,分组,作用的办法求解 。
(1) 两个电压源同时作用时,可将两电流源开路,如图 3.28(b)
所示 。 依图 3.28(b)，
A
A
IU
I
666
263 612
'
1
'
'
1
2 A
＋
－
U
2?
3 A
I
1
6?
－
＋
6 V12 V
3?
＋ －
( a )
3?
＋
－
12 V
6?
－
＋
6 V
2?
－U′
I′
1
＋
( b )
3? 2?2 A6?
3 A
－
U″
＋
I″
1
( c )
图 3.28 例 3.13图
(2) 两个电流源同时作用时,可将两电压源短路 。 如图 3.28(c)
所示 。 由于 2 A电流源单独作用时,3A电流源开路,使得中间回路断开,故 I″1仅由 3A电流源决定 。 依图 3.28(c),有
V
A
IU
I
162326
10363 3
)(''1''
''
1
所以
A
A
UUU
III
22166
312
"'
''
1
'
11
例 3.14 用叠加定理求图 3.29(a)所示电路中的 U和 I。
解 (1) 12 V电压源单独作用时的电路如图 3.29(b)所示,根据
KVL,有
V
A
IU
I
III
8122
2
622212
''
'
''')(
所以
(2) 3A电流源单独作用时的电路如图 3.29(c)所示,并可等效为图 3.29(d),于是,有
＋
－
12 V
＋
－
3 A
U
＋
－
2 I
I 2? 2?
( a )
＋
－
12 V
＋
－
U ′
＋
－
2 I′
I′ 2? 2?
( b )
＋
－
3 A U ″
＋
－
2 I″
I″ 2? 2?
( c )
＋
－
3 A I″
I″ 2?
2?
( d )
U ″
图 3.29 例 3.14图例 3.15 求图 3.30所示电路中的各支路电流 。
解 本例题为一梯形电路,利用齐次定理求解比较方便 。
VU
II
IU
IIU
2
23
2
313
"
""
""
""" )(
112
1028
'''
"'
III
UUU V
即所以
5.2
9
1
'
5
'
4
'
3
4
'
'
4
'
565
'
'
5
)(
III
R
U
I
IRRU
I
be
be
A
＋
－
129 V
3?I 1
R
1
I
2
6?
R
2
I
3 3?
R
3
I
4
6?
R
4
6?
R
6
I
5 3?
R
5
a b
cd
图 3.30 例 3.15图设 则
75.2
5.16
2
'
'
2
''
33
'
R
UI
UIRU
ad
bead V
今 已 知 U Ｓ =129V,即 电 源 电 压 增 大 了 129/32.25 倍,即
K=129/32.25=４,因此,各支路电流也相应增大４倍 。 所以
VUIRU
III
ads 25.32
25.5
''
11
'
'
3
'
2
'
1
414
65.14
105.24
1175.24
2125.54
'
55
'
44
'
33
'
22
'
11
KII
KII
KII
KII
KII
本例计算是先从梯形电路距离电源最远的一端算起,倒退到电源处 。 通常把这种方法称为,倒退法,。 可以先对某个响应设一便于计算的值,如本例设 I’5=1 A。 依此计算出的结果,再按齐次定理予以修正 。 这对于计算梯形电路元件数目较多的情况尤显方便 。
例 3.16 数字计算机控制工业生产自动化系统中的数模变换梯形 DAC解码网络如图 3.31(a)所示 。 其中 20,21,22分别与输入的二进制数的第一,二,三位相对应 。 当二进制数某位为,１,
时,对应的开关就接在电压 US上； 当二进制数某位为,０,时,
对应的开关就接地 。 图中开关位置表明输入为,110”。 从输出电压 UO的数值就可得知输入二进制的对应代码 。 试说明其工作原理 。
解 其工作原理可用叠加定理来说明 。
(1)先设只有开关 22接 US,其它开关都接地,其电路如图
3.31(b)所示,并可简化为图 3.31(c)。 显然可得
URRRUU SSO 312'
(2) 当只有开关 21接 US,其它开关都接地时,其电路如图
3.31(d)所示,并可化简为图 3.31(e)，
2132212'' URR RRRRUU SSO
其中 为图 3.31 (e)中 b点与地之间的电压。3US
＋
－
2 R
＋
－
U
S
2 R
a
U
o
2 R
2
0
＋
－
U
S
2 R
b
2
1
＋
－
U
S
2 R
c
2
2
( a )
＋
－
o
U ′
2 R 2 R 2 R
R R
a b
cR R
2 R
2 R
＋
－
U
S
( b )
＋
－
U ′
R
c
2 R
＋
－
U
S
o
( c )
＋
－
o
U ″
2 R 2 R 2 R
a b
cR R
2 R
2 R
＋
－
U
S
( d )
＋
－
U ″
2 R
c
2 R
＋
－
U
S
o
( e )
b
R
＋
－
2 R 2 R 2 R
a b
cR R
2 R
2 R
＋
－
U
S
( f )
＋
－
2 R
2 R
＋
－
U
S
( g )
b
R
U ″
o
′
R
ca
R
2 R
R
U ″
o
′
图 3.31 例 3.16图
(3) 当只有开关 20接 US,其它开关都接地时,其电路如图
3.31(f)所示,并可简化为图 3.31(g),可得
212132212''' URR RRR RRRRUU SSO
其中 为图 3.31 (g)中 a与地之间的电压,为图 3.31 (g)中 b
点与地之间的电压。 3
US RRRU
S?3
1
(4) 因此,当三个开关全接 US,即输入的二进制代码为,111”
时,可得
212131213131'''0''0'00 UUUUUUU SSS
若 US=12V,则此时
71240U
这就是对应于二进制代码,111”的输入电压数值 (模拟量 )，
若输入的二进制代码为,110”时,则
6240213131'''0''0'00 UUUUUU SS
这就是对应于二进制代码,110”的输出电压数值 (模拟量 )。 同理,依次对应于二进制代码 101,100,011,010,001,000的输入电压数值 (模拟量 ) 为,5”,,4”,,3”,,２,,,１,,
,0”。
例 3.17 图３,32电路中的线性无独立源网络,其内部结构不知道 。 已知在 US和 IS共同作用时,实验数据为
(1) UＯ =1V,IS=1A,UＯ =０ 。
(2) US=10V,IS=０,UO=1V。
试求 US=０,IS=10 Ａ时的 UＯ 值 。
解 本例是应用叠加定理研究一个线性网络激励与响应关系的实验方法 。 由于 Ｕ S和 IS为两个独立的电源,根据叠加定理,Ｕ o可写成
1010
011
21
21
210
KK
KK
IKUKU SS代入两组数据,得图 3.32 例 3.17图
＋
－
线性无独立源网 络
U
o
作业,P87页 3.21 3.22
3.24 3.25
1010
011
21
21
210
KK
KK
IKUKU SS
代入两组数据,得
AIU
IUU
KK
SS
SSO
100
1.01.0
1.01.0
,
,
联立求解得因此
Ａ时的 Uo
VU o 1101.001.0
3.5 代文宁定理
1,二端网络的含义。
2,代文宁定理。
何一个线性有源二端网络 N,如图 3.38(a)所示,对外电路而言,总可以用一个电压源等效代替 。 如图 3.38(b)所示 。 其中电压源的电压等于有源二端网络的开路电压 Uo。 如图 3.38(c)所示,其内阻 R0等于网络 N中所有独立源均为零值时所得无源二端网络 N的等效内阻 Rab,如图 3.38(d)所示 。 该电压源和电阻串联的支路称为代文宁等效电路 。
N
有 源
a
b
外电路
( a )
b
外电路
a
＋
－
U
o
R
0
( b )
N
有 源
a
b
( c )
＋
－
U
o
N
a
b
( d )
R
ab
=R
0
图 3.38 代文宁定理
3,等效电阻在不能用电阻串,并联公式计算时,可用下列两种方法求得：
(1) 外加电压法,使网络 N中所有独立源均为零值 (注意受控源不能作同样处理 ),得一个无源二端网络 N,然后在 N两端钮上施加电压 U,如图 3.39所示,计算端钮上的电流 I,则
(2) 短路电流法,分别求出有源网络 N的开路电压 Uo和短路电流
ISC(注意,此时有源网络 N内所有独立源和受控源均保留不变 )。 由图
` 3.40(b)可见
IURR abo
RUI ooSC?
图 3.39 用外加电压法求 R0 图 3.40 用短路电流法求 R0
N
a
b
R ab
＋
－
U
N
a
b
( a )
I
SC
b
＋
－
U
o
R
0
a
( b )
I
SC
应当注意,当 Uo=ISC=0时,此法即失效。
由此可得 IUR
SC
O?0
例 3.18 用代文宁定理求图 3.41(a)电路中 I,U。
＋
－
＋
－
2?
2?
2?
2?
R = 1,5?1
A
2 V
U
I
a
b
( a )
＋
－
2?
2?
2?
2?
2 V
＋
－
1 A
U
o
a
b
( b )
2?
2? 2?
2?
a
b
( c )
1,5?
a
b
( d )
＋
－
R = 1,5?U
I＋
－
2 V
图 3.41 例 3.18图解 根据代文宁定理,将 R支路以外的其余部分所构成的二端网络,用一个电压源 Uo和电阻 R0相串联去等效代替 。
(1) 求 Uo：将 R支路断开,如图 3.41(b)所示 。 用叠加定理可求得
V
U o
2
2222222 212222222 2 )()(
(2) 求 R0,将两个独立源变为零值,即将 2V电压源短路,而将 1A电流源开路,如图 3.41(c)所示 。 可求得
V
A
RIU
RR
UI o
1325.1
3
2
5.15.1
2
0
(3) 根据所求得的 Uo和 R0,可作出代文宁等效电路,接上 R支路如图 3.41(d)所示,即可求得
5.1232222 2222 )(0R
例 3.19 试用代文宁定理求图 3.42(a)所示电路中流过 4Ω电阻的电流 Ｉ 。
解 该题如果只用一次代文宁定理,直接求出 4 Ω电阻支路以左的等效电压源,则计算开路电压将会很麻烦 。 为此,可以逐次应用代文宁定理 。 先求图 3.42(a)中 ab以左的代文宁等效电路,
于是有
2?
＋
－
2 V
2? 2?
3?
4?＋
－
2 V
1 A 1 A
a
I
b d f
ec
( a )
2?
＋
－
4 V
2? 2?
3?
4?＋
－
2 V
1 A
a
I
b d f
ec
( b )
6?
＋
－
8 V
3?
4?＋
－
2 V
I
e
( c )
2?
＋
－
4 V
4?
I
( d )
f
图 3.42 例 3.19图
2
221
R
U
ab
ab V
这样可得到图 3.42(b)。 在图 3.42(b)中,再求 cd以左的代文宁等效电路,于是有
6222
44221 )(
R
U
cd
cd V
这样可得到图 3.42(c)。 在图 3.42(c)中,再求 ef以左的代文宁等效电路,于是有
236 36
4836 286
R
U
ef
ef
最后得图 3.42(d)。 由此可求得
AI 3242 4
例 3.20 用代文宁定理求图 3.43(a)中的电流 I１ 。
解 先将 9Ω支路断开,并将 CCCS变换成 CCVS,如图 3.43(b)
所示 。
VU
I
II
I
IIU
o
o
18
1
16204
4
1620
216
'
''
'
'
''
即所以
＋
－
20 V
9?
I
1
2?
2?I 8,8?
8 I
( a )
＋
－
20 V
I
SC2?
2?I″ 8,8?
8 I″
( c )
＋
－
U
o
R
0
I
1
9?
( d )
20 V
2?I′ 8,8?
＋
－
1 6 I ′
2?
＋
－
＋
－
U
o
( b )
1
图 3.43 例 3.20图
(2) 求短路电流 ISC,由图 3.43(c),用节点电位法可得
A
V
I
I
I
SC 2
8.8
6.17
2
20
810
8.8
1
2
1
2
1
1
1
1'
'
1
)(
所以则
(3) 由所求 Uo和 ISC求 R0
92180R
(4) 等效电压源电路如图 3.43(d)所示,于是得
ARUI 19
0
01
例 3.21 求图 3.44(a)所示的代文宁等效电路 。
解 (１ ) 由图３,44(a),依 KVL,可得
10
41020
0
1
110
UI
IIU
可解得 Uo=
(２ ) 求 R0,先用短路法 。 将图３,44(ａ )中的ａ,ｂ
端短路,并设短路电流为 ISC,如图３,44(ｂ )所示 。 由图 3.44(b)
可知,I′1=０,从而 CCVC也为零,即
20I′1=
这样图 3.44(ｂ )可等效为图 3.44(ｃ ),于是可求得
5.2
4.0104
0 I
UR
I
SC
O
SC
A
所以
(３ ) 再用外加电压法求 R0。 将图 3.44(a)中的电压源短路,并在ａ,ｂ间加电压源 Ｕ,如图 3.44(ｄ )所示,由图 3.44 (d)可得
5.2
10
4
10
3
10
10
3
55
20
10
0
2
"
1
''
1
2
''
1
I
U
R
UUU
III
UIU
I
U
I
依ＫＣＬ
所以
(4) 由计算结果可画出代文宁等效电路如图 3.44(e)所示
5?
I
1
＋
－
4 V
20 I
1
10?
＋ －
＋
－
U
o
( a )
5?
b
a 5?
1
＋
－
4 V
20 I′
10?
＋ －
( b )
5?
b
a
I
SC
I′
1
5?
1
＋
－
U
20 I″
10?
＋ －
( c )
5?
b
aI
I″
1
I
2
( d )
＋
－
4 V
5?
b
a
I
SC
5?
( e )
＋
－
2,5?
b
a
1 V
例 3.22 试证明图 3.45(a)所示电路的等效电路为图 3.45(b)所示 。
( a )
＋
－
U
＋
－
V
8
15
－
4
15
( b )
＋
－
U
＋
－
( c )
V
4
3
2
2
3 ＋－
6 U
2?
2?1?
3 U
1
( d )
＋
－
U
1
＋
－
2?2 V
1?
＋
－
U
3 U
2?
图 3.45 例 3.22图图 3.44 例 3.21图解 (1) 原图可等效为图 3.45(c),依图 3.45(c),有
VU
UU
15
4
3
46
既
(2) 用外加电压法求 R０ 。 将 2 V电压源短路,外加电压 U1,如图 3.45(d)所示,依图 3.45(d),有
15
8
8
15
8
15
5
3
8
3
2
26
1
11
0
1
1
11
)(
U
U
I
U
R
UI
UI
IUU
既则作业,P（ 88— 89）页 3.27 3.29 3.31 3.32
3.6
1,最大功率传输定理 ＋
－
U
o
R
0
R
＋
－
U
a
b
( a )
I
S
R
0
R
＋
－
U
a
b
( b )
图 3.50最大功率传输定理
RRR URIP
O
O 22 )(
当 R变化时,负载上要得到最大功率必须满足的条件为
0?dRdP （ 3— 14）
用图 3.50 (b)所示的电路,同样可以在 ISC和 R0为定值的前提下,
推得当 R=R0时,负载上得到的功率为最大,其最大功率为
0
02
)(2)(
)()(
)(
)(
0
2
0
0
2
04
0
2
2
0
RRRRR
RRRRRRR URRR UdRddPdP oo
故解得 R=R0
即当 R=R0时,负载上得到的功率最大 。 将 R=R0代入式 (3― 14)即可得最大功率为
RURRR UP o4 0
2
0
2
0
m a x )(
（ 3— 15）
IRP SC20m a x 41? （ 3— 16）
用实际的电压源或电流源向负载供电,只有当负载电阻等于电源内阻时,负载上才能获得最大功率,其最大功率为 Pmax=U2o/
（ 4R0） (对于电压源 )或 Pmax=R0I２ SC/4(对于电流源 )。 此结论称为最大功率传输定理 。
2,匹配概念与正确理解最大功率传输定理通常把负载电阻等于电源内阻时的电路工作状态称为匹配状态。
应当注意的是,不要把最大功率传输定理理解为,要使负载功率最大，
应使实际电源的等效内阻 Ｒ 0等于 Ｒ L。必须指出,由于 Ｒ 0为定值,要使负载获得最大功率,必须调节负载电阻 Ｒ L(而不是调节 Ｒ 0)才能使电路处于匹配工作状态。
例 3.23 在图 3.51(a)所示电路中,若已知：当 R5=８ Ω时,
I5=20Ａ； 当 R5=2Ω时,I5=50Ａ,问 R5为何值时,它消耗的功率最大?
此时最大功率为多少?
解 根据代文宁定理,可将 Ｒ 5支路以外的其余部分所构成的有源
＋
－
U
o
R
0
R
5
( b )
I
5
R
5
I
5
＋ －
U
S
R
0
R
1
R
3
R
4
R
2
I
S
( a )
图 3.51 例 3.23图二端网络用一个电压源 Uo和电阻 R0相串联去等效代替,如图
3.51(b)所示,则有
50
2
20
8
0
0
5
50
R
U
R
U
I
RR
U
o
o
o
依题条件可列方程组联立求解,得
2200 0RU Vo
根据最大功率传输定理可知,当 Ｒ 5=R0=2 Ω时,Ｒ 5可获得最大功率，为
kWRUP o 5242 0 041
2
5
2
m a x
例 3.24 求图 3.52(a)所示含受控源二端网络向外电路所能提供的最大功率 Pmax。
＋
－
U
2 I
1
12 V
2?
8?
2?
＋－
4?
I
1
＋
－
( a )
＋
－
U
o
2 I
1
12 V
2?
8?
2?
＋－
4?
I
1
＋
－
( b )
a
b
a
b
I
Ⅰ
I
Ⅱ
＋
－
U
2 I
1
12 V
2?
8?
2?
＋－
4?
I
1
( c )
a
b
I
Ⅰ
I
Ⅱ
I
SC
＋
－
2?
U
o 6 V
R
0
( d )
图 3.52 例 3.24图解 (1) 根据图 3.52(b),用网孔电流法求开路电压 Uo,所列方程组为
III
III
II
2148
12810
联立求解,得
V
AAA
IIIU
III
o 6822
9.05.14.2,,
(2) 根据图 3.52(c),用网孔电流法求短路电流 ISC。 方程组为
III
(３ ) 根据 Uo和 Ｉ SC求 R0
联立求解,可得
236IUR
SC
o
(４ ) 代文宁等效电路如图 3.52 (d) 所示 。 根据最大功率传输定理可知,电路向外电路所能提供的最大功率为
WRUP o 5.424 64 2
0
2
m a x
例 3.25 求图 3.53(a)所示电路中 RL为何值时能取得最大功率,
该最大功率是多少?
R
L
＋
－
16 V
20?
4?
8?
3?
1 A
a
( a )
b
＋
－
16 V
20?
4?
8?
( b )
U
o
′
a
b
3?
20?
4?
8?
3?
1 A
( c )
U
o
″
a
b
I
3?
R
0
b
a
20?
4?
8?
( d )
9?
R
L
＋
－
4 V
( e )
图 3.53 例 3.25图解 (１ )断开 Ｒ L支路用叠加定理求 Uo。 16Ｖ电压源单独作用时,如图 3.53(b)所示,根据分压关系,有
VU o 122042048 16 )('
１Ａ电流源单独作用时,如图 3.53(c)所示,根据分流关系,有
A
A
U
I
o 83188
5
8
51
2048
20
''
所以
VUUU ooo 4'''
(２ ) 求 R0,将 16V电压源和 1Ａ电流源均变为零,如图 3.53(d)
所示,可得
92048 20483 )(0R
(３ ) 根据求出的 Uo和 R0做出代文宁等效电路,并接上 Ｒ L，
如图 3.53(e)所示,根据最大功率传输定理可知,当作业,P（ 89— 90） 3.35 3.36 3.38
90RR L
时,可获得最大功率,这时,Ｒ L吸收的功率为
WP 9494 4 2m a x
小 结
(1) 以支路电流作变量列写独立节点的 KCL方程,再补充和网孔个数相同的 KVL方程 (变量仍是支路电流 ),联立后足以解出全部支路电流,这就是支路电流法 。 此法优点是直观,所求就是支路电流,
且可用电流表进行测量 。 缺点是当支路多,变量多,求解过程麻烦,
不宜于手工计算 。
(2) 以假想网孔电流作变量列写和网孔个数相同的 KVL方程,联立求解求出网孔电流,进而通过网孔电流与支路电流的关系再求出支路电流,或者期望再求出其它电路变量,这就是网孔电流法 。 对于含有理想电流源,在不能将其转移成某个网孔电流时,可采取设其两端电压,来增加变量,进而 增加方程 。 对于含有受控源的电路,其分析方法和步骤与只含独立源电路的分析完全相同,只是要将受控变量用待求的网孔电流变量表示作为辅助方程 。 此法优点,同一电路所需方程数目较支路电流法少,列写方程的规律易于掌握 。 缺点是不直观,有的网孔电流不能用电流表测试 。
(3) 以独立节点的电位作为变量依 KCL(连同欧姆定律 )列写节点电位方程,求解出节点电位,进而求得各支路电流或欲求的其它电路变量,这就是节点电位法 。 此法优点是所需方程个数少于支路电流法,特别是节点少而支路多的电路用此法尤显方便,列写方程的规律易于掌握 。 缺点是对于一般给出的电阻参数,电压源形式的电路求解方程工作量较大 。
(4) 叠加定理是线性电路叠加特性的概括表征,其重要性不仅在于用此法分析电路本身,而且在于它为线性电路的定性分析和一些具体计算方法提供了理论依据 。
(5) 代文宁定理是等效变换法分析电路最常用的定理,它表明任何一个有源二端网络总可以用一个极其简单的等效电路去代替 。 解题三步骤,即求开路电压 ―― 求等效内阻 ―― 画出等效电路接上待求支路,最终根据最简单电路求待求量 。 对于含有受控源的电路,
在计算等效电压源时,要注意控制量随二端网络对外端口的开路应作相应的变化 (短路,开路,改变方向或极性 )； 在求等效内阻时,
只能用外加电压法或短路电流法 。
(6) 最大功率传输定理阐明了在通信技术中,变换的负载为获得最大功率而应当满足的条件,即 RL=R0。 此最大功率为
U2o/4R0或 1/4R0I2SC。
