第 4章 正弦交流电路
4.1 正弦量的基本概念
4.2 正弦量的相量表示法
4.3 电容元件和电感元件
4.4 三种元件伏安特性的相量形式
4.5 基尔霍夫定律的相量形式
4.6 RLC串联电路
4.7 RLC并联电路
4.8 用相量法分析正弦交流电路
4.9 正弦交流电路中的功率
4.10 正弦交流电路中的最大功率
4.11 串联谐振
4.13 三相正弦电路小结
4.1 正弦量的基本概念
0
T
t
t?
2
i i
I
m
4.1.1正弦量的三要素以正弦电流为例,对于给定的参考方向,正弦量的一般解析函数式为
i(t)=I m sin(ωt+φ) (4——1)
1.
交流量任一时刻的值称瞬时值 。 瞬时值中的最大值 (指绝对值 )
称为正弦量的振幅值,又称峰值 。 Im,Um分别表示正弦电流,电压的振幅值 。
图 4.1 正弦量的波形图
2.周期和频率正弦量变化一周所需的时间称为周期 。 通常用,T”表示,
单位为秒 (s)。 实用单位有毫秒 (ms),微秒 (μs),纳秒 (ns)。 正弦量每秒钟变化的周数称为频率,用,f”表示,单位为赫兹 (Hz)。
周期和频率互成倒数,即
3,相位,角频率和初相正弦量解析式中的 ωt+φ称为相位角或电工角,简称相位或相角 。 正弦量在不同的瞬间,有着不同的相位,因而有着不同的状态 (包括瞬时值和变化趋势 )。 相位的单位一般为弧度 (rad)。
相位角变化的速度
Tf 1?
dttd )(
称为角频率,其单位为 rad/s或 1/s。 相位变化 2πrad,经历一个周期 T,那么
fT 22
t=0时,相位为 φ,称其为正弦量的初相。此时的瞬时值
i(0)=I m sinφ,称为初始值。 如图 4.2所示。
由式 (4— 2)可见,角频率是一个与频率成正比的常数。
)s in ()2s in ( 2)( tf TIIti mm
i
I
m
0 t
t
t t
tt0 0
I
m I m
i
i
6
i ( t ) = I
m
s i n t
i ( t ) = I
m
s i n ( t + )
6
i ( t ) = I
m
s i n ( t － )
6
6
( a ) ( b ) ( c )
图 4.2 计时起点的选择当 φ=0时,正弦波的零点就是计时起点,如图 4.2(a)所示； 当
φ>0,正弦波零点在计时起点之左,其波形相对于 φ=0 的图 4.4例
4.1图 波形左移 φ角,如图 4.2(b)所示； 当 φ<0,正弦波零点在计时起点之右,其波形相对于 φ=0的波形右移 |φ|角,如图 4.2(c)所示。
例 4.1 图 4.5给出正弦电压 u ab 和正弦电流 iab 的波形 。
(1) 写出 uab 和 iab 的解析式并求出它们在 t=100 ms时的值 。
(2) 写出 iba 的解析式并求出 t=100ms时的值 。
解 由波形可知 uab和 iab 的最大值分别为 300mV和 5 mA,频率都为 1 kHz,角频率为 2000πrad/s,初相分别为 和,,它们的解析式分别为以上确定 φ角正负的零点均指离计时起点最近的那个零点 。
在图 4.3中,确定 φ角的零点是 A点而不是 B点,φ=― 120 ° 而不是
240° 。
i
′
0
AB
t
图 4.3 初相的规定
6
3
4.1.2
1,相位差两个同频率的正弦量
u 1(t)=U 1m sin(ωt+φ1)
u 2(t)=U 2m sin(ωt+φ 2)
mVttmVt iu abab )2 0 0 0s i n (5)(,)2 0 0 0s i n (3 0 0 36
(1) t=100 ms时,u ab,i ab 分别为
m
mV
u
u
ab
ab
33.4s i n5)1.02 0 0 0s i n (5)1.0(
1 5 0s i n3 0 0)1.02 0 0 0s i n (3 0 0)1.0(
33
66
mAttt ii abba )2 0 0 0s i n ()2 0 0 0s i n ()( 32535（ 2）
mAi ba 33.4325 )s in ()1.0(
之间相位之差称为相位差,用 φ或 φ带双下标表示
φ12 =(ωt+φ 1 )―(ωt+ φ2 )= φ1 ― φ2
u(t)=Um sin(ωt+φu )
i(t)=Im sin(ωt+φi )
电压 u与电流 i
φ(或 φ ui)= φu ― φi
当两个同频率正弦量的计时起点改变时,它们之间的初相也随之改变,但二者的相位差却保持不变。
2,相位差的几种情况
3,参考正弦的概念
( a ) ( b ) ( c ) ( d )
t t t t0 0 0 0
i
i
u
u u
u
1
u
2
i
i
2
i
1
iu
i
u
u
i
1
2
1
2
2
图 4.5 相位差的几种情况例 4.2 求两个正弦电流 i 1(t)=― 14.1 sin(ωt― 120° )，
i 2(t)=7.05 cos(ωt― 60° )的相位差 φ12 。
解 把 i 1和 i 2写成标准的解析式,求出二者的初相,再求出相位差 。
)s i n ()s i n ()(
)s i n ()s i n ()(
3005.7906005.7
601.141 801 201.14
000
2
000
1
ttt
ttt
i
i
303060
3060
000
0
2
0
1,
φφφ
φφ
2112
则例 4.3 三个正弦电压 uA(t)=311sin314tV，
uB(t)=311 sin(314t+2π/3) V,uC(t)=311sin(314t― 2π/3) V,若以 uB
为参考正弦量,写出三个正弦电压的解析式 。
解 先求出三个正弦量的相位差,由已知得
3
2
0
3
2
3
2
2
3
4
3
2
3
2
3
2
3
2
0
)(
)(
CA
BC
AB
以 uB为参考正弦量,它们的解析式为
Vtt
Vtt
tVt
u
u
u
C
A
B
)
3
2
314s in (311)(
)
3
2
314s in (311)(
314s in311)(
4.1.3正弦量的有效值交流电的有效值是根据它的热效应确定的 。 如某一交流电流和一直流电流分别通过同一电阻 R,在一个周期 T内所产生的热量相等,那么这个直流电流 I的数值叫做交流电流的有效值 。
由此得出
dtt
dtt
dtt
T
T
T
u
T
U
i
T
I
RiRTI
)(
)(
)(
0
2
0
2
0
22
1
1
所以,交流电流的有效值为同理,交流电压的有效值为对于正弦交流电流
)s in ()( tt Ii m
(4——3)
(4— 4)
代入式 (4——3),它的有效值为
例 4.4 一个正弦电流的初相角为 60°,在 时电流的值为
5 A,试求该电流的有效值 。
解 该正弦电流的解析式为
2
2
1
2
1
1
0
2
0
22
)(2c o s
)(s in
U
U
I
T
I
I
T
I
m
m
T
m
T
m
dtt
dtt
同理 (4— 5)
4T
)s in (
)s in (
)s in ()(
32
5
60
4
5
60
0
0
I
t
I
Ii
m
m
m
tt
由已知得或
A
A
I
I
I
I
m
m
m
07.7
2
10
2
55
6
5
10
21)6/5s in (
)s in (
对应的有效值则作业,P（ 148— 149）页 4.1 4.2 4.3 4.4
4.2 正弦量的相量表示法
4.2.1正弦量的相量表示
1,正弦量的向量表示设某正弦电流为根据欧拉公式可以把复指数 展开成
)s in ()( 2 itt Ii
)(2 itjeI
eImIeIemIemIi
IjIeI
tjtjjtj
ii
tj
ii
i tt
.
)(
)(
222
222 )s i n ()c o s (
上式的虚部恰好是正弦电流 i,即上式中,Im［ ］ 是,取复数虚部,的意思,而
i
tj IIeI i )(.
像这样一个能表示正弦量有效值及初相的复数 就叫做正弦量的相量 。 同样,正弦电压的相量为相量是一个复数,它表示一个正弦量,所以在符号字母上加上一点,以与一般复数相区别 。 特别注意,相量只能表征或代表正弦量而并不等于正弦量 。 二者不能用等号表示相等的关系,
只能用,,符号表示相对应的关系相量也可以用振幅值来定义 。
2,相量图及参考相量在复平面上可用一个矢量表示相量,该矢量称正弦量的相量图 (也简称相量 ),其符号与相量相同,如图 4.6(a)所示 。 画几个同频率正弦量的相量图时,可选择某一相量作为参考相量先画出,
再根据其它正弦量与参考正弦量的相位差画出其它相量 。 参考相量的位置可根据需要,任意选择 。
uUU
.
tUtuUtu
tItiIti
..
..
Im2)()(
Im2)()(
( a ) ( b )
t
t
2
t
1
t 1
t 2
0 ＋ 1
i
0
＋ j
＋ j
＋ 1
i
i
i
2 I
.
0
图 4.6 正弦量的相量图
3,旋转因子及旋转相量在复平面上可用一个矢量表示相量,该矢量称正弦量的相量图 (也简称相量 ),其符号与相量相同,如图 4.6(a)所示 。
画几个同频率正弦量的相量图时,可选择某一相量作为参考相量先画出,再根据其它正弦量与参考正弦量的相位差画出其它相量 。 参考相量的位置可根据需要,任意选择 。
e jωt = /ωt 是一个旋转因子 。 相量 乘以 /ωt 表示相量 m以 ω为角速度沿逆时针方向旋转,t=0时,幅角位于 φ i 处 。
旋转相量在虚轴上的投影 I sin(ωt+φi )为正弦量的瞬时值 。
Im sinφ i 为 i(t)的初始值,如图 4.6(b)所示 。 所以,也可以用旋转相量表示正弦量 。
例 4.5 已知正弦电压 u1(t)=141 sin(ωt+π/3) V,u2(t)=70.5
sin(ωt-π/6) V,写出 u1和 u2的相量,并画出相量图 。
mII,.2?
2
VUu
VUu
3
50
32
5.70
3
1 0 0
32
1 4 1
.
22
.
11
相量图如图 4.7 ＋ 1
U
1
.
U
2
.
6
3
图 4.7 例 4.5图例 4.6 已知两个频率均为 50 Hz的正弦电压,它们的相量分别为 ù1=380 /π/6 V,2=220 /— π/3 V,试求这两个电压的解析式 。
解 ω=2πf=2π× 50=314 rad/s
u 1= U 1 sin(ωt+φ 1 )=380 sin(314t+π/6)V
u 2= U 2 sin(ωt+φ 2 )=220 sin(314t-π/3) V
4.2.2 两个同频率正弦量之和
1,两个同频率正弦量的相量之和设有两个同频率正弦量
2 2
2 2
1.U
2.U
)s i n (2)s i n ()(
)s i n (2)s i n ()(
22122
11111
tUtUtu
tUtUtu
m
m
利用三角函数,可以得出它们之和为同频率的正弦量,即
)s i n (2)()()( 21 tUtututu
可以看出,要求出同频率正弦量之和,关键是求出它的有效值和初相。
可以证明,若 u=u 1+u 2,则有
2,求相量和的步骤
(1) 写出相应的相量,并表示为代数形式 。
(2) 按复数运算法则进行相量相加,求出和的相量。
(3) 作相量图,按照矢量的运算法则求相量和 。
如图 4,8所示 。 图４,9表示多个相量加减的多边形法则 。
其中
2211
221
2
2211
2
2211
c o sc o s
s i ns i na r c t a n
)s i ns i n()c o sc o s(
UU
UU
UUUUU
2
.
1
.,UUU
I
2
.
I
2
.
I
1
.
I
2
.
( a )
I
2
.
I
1
.
－ I
2
.
－ I
2
.
I
1
.
－ I
2
.
I
1
.
( b )
I
1
.
＋
图 4.8 两个相量加减的三角形法则例 4.7 uA(t)=220 sinωtV,uB(t)=220 sin(ωt—120° ) V,求
u A+uB和 uA—uB 。
解 (1) 相量直接求和。
2 2
Vtuu
Vtuu
VjUUuu
VjUUuu
Vj
jUu
VjUu
BA
BA
BA
BA
BA
BA
B
B
A
A
)30( s i n238 0
)60( s i n222 0
6038 0311 033 0
6022 0311 011 0
311 011 0
)12 0s i n (22 0)12 0( c os (22 012 022 0
022 0022 0
0
0
0
..
0
..
000
.
0
.
/
/
/
/
(2) 作相量图求解 。 见图 4.10,根据等边三角形和顶角为
120° 的等腰三角形的性质可以得出上述同样的结果,读者自行分析 。 1 2 0 °
1 2 0 °
1 2 0 °
60°
30°
30°
U
A
.
U
B
.
U
C
.
U
B
.
U
B
.
U
A
.
＋
U
B
.
U
A
.
－
U
B
.
－
图 4.10 例 4.7图
U
1
.
U
2
.
U
3
.
U
2
.
U
.
U
3
.
U
4
.
U
1
.
U
2
.
U
3
.
U
.
－ U
4
.
＋ ＋=
图 4.9 相量加减的多边形法则作业,P99页 （ 2） （ 3）
P148页 4.6
4.3 电容元件和电感元件
4.3.1
1,
电容元件是各种实际电容器的理想化模型,其符号如图 4.11(a)
所示。
电荷量与端电压的比值叫做电容元件的电容，理想电容器的电容为一常数,电荷量 q总是与端电压 u成线性关系,即
i
uC
a
b
＋
－ q
－
＋ q
( a ) ( b )
q /C
u / VO
图 4.11 理想电容的符号和特性
SI中电容的单位为法拉,简称法,符号为 F。 常用单位有,微法
(μF),皮法 (pF)。 式 (4——8)表示的电容元件电荷量与电压之间的约束关系,称为线性电容的库伏特性,它是过坐标原点的一条直线 。 如图 4.11(b)所示 。
2.
对于图 4.11(a),当 u,i取关联参考方向时,结合式 (4——8),有
Cuq? (4— 8)
dtduCdt
Cud
d
dqi )( (4— 9)
当 u,i为非关联参考方向时,有
dtduCi
电容的伏安特性说明,任一瞬间,电容电流的大小与该瞬间电压变化率成正比,而与这一瞬间电压大小无关 。
对式 (4——9)进行积分可求出某一时刻电容的电压值 。 任选初始时刻 t 0。 以后,t时刻的电压为
t
t
t
t
t
t
tt
di
C
utu
di
C
tu
di
C
di
C
di
C
tu
0
0
0
0
)(
1)0()(
)(
1
)(
)(
1
)(
1
)(
1
)(
(4——10)
若取 t 0=0,则
3,电容元件的电场能关联参考方向下,电容吸收的功率
dtduCuiup
电容元件从 u(0)=0 (电场能为零 )增大到 u(t)时,总共吸收的能量,
即 t时刻电容的电场能量 。
)()( 200 21 tt CuC u d upduW tuC (4— 11)
当电容电压由 u减小到零时,释放的电场能量也按上式计算。
动态电路中，电容和外电路进行着电场能和其它能的相互转换，
本身不消耗能量。
例 4.8 (1) 2μF 电容两端的电压由 t=1μs时的 6 V线性增长至
t=5μs时的 50 Ｖ,试求在该时间范围内的电流值及增加的电场能 。
(2) 原来不带电荷的 100 μF的电容器,今予以充电,充电电流为 1 mA,持续时间为 2 s,求电容器充电后的电压 。 假定电压,
电流都为关联参考方向 。
解 (1) 由式 (4— 9)得
2210)15( 650102 66dtduCi
增加的电场能量
J
CuCuC
10464.2
362500102
2
1
2
1
2
1
3
6
2
1
2
2
)(
(2) 由式 (4——11)和已知条件 u(0)=0,求出 2 s末的电压
VdttiCuu 20102101 0 0 1)(1)0()2( 3620
4,电容的串并联
(1) 电容的并联如图 4.12所示 。
CuqCuq
CuqCuq
qqqq
3322
11
321
,
,
CCCC
uCCCCu
321
321 )(
对于线性电容元件有 u
＋
C 1
－
＋ q 1 ＋ q 2 ＋ q 3
C 2 C 3
－
u
＋
＋ q
C
图 4.12 电容的并联当电容器的耐压值符合要求,但容量不够时,可将几个电容 并联 。
(4— 12)
(2) 电容的串联如图 4.13所示
uuuu 321
C
qu
C
qu
C
qu
C
qu
3
3
2
2
1
1,,,
代入电压关系式得
CCCC
q
CCCC
q
321
321
1111
111 )(
则电容串联的等效电容的倒数等于各电容倒数之和 。 电容的串联使总电容值减少 。 每个电容的电压为
(4— 13)
uCCuuCCuuCCu
3
3
2
2
1
1,,
u
＋
C
1
－
＋ q
q
＋
＋ q
C
2
C
3
－
u
＋
C
＋ －
＋－ u
3
＋
－
u
2
图 4.13 电容的串联当电容器的电容量足够而耐压值不够时,可将电容器串联使用,但对小电容分得的电压值大这一点应特别注意 。
例 4.9 电容都为 0.3 μF,耐压值同为 250 V的三个电容器 C 1、
C 2,C 3的连接如图 4.14所示 。 试求等效电容,问端口电压值不能超过多少?
解 C 2,C 3 并联等效电容两个电容的分压值为
uCC CuCCuuCC CuCCu
21
1
3
2
21
2
1
1,
uFCCC 6.03223
uFCC CCC 2.06.03.0 3.03.0
231
231
总的等效电容
C 1小于 C 23,则 u 1＞ u 23,应保证 u 1
不超过其耐压值 250 V。 当 u 1=250 V时,
VuCCu 1 2 52 5 06.0 3.01
23
123
u
＋
C
1
－
C
2 C 3
＋ －
u
1
u
23
＋
－
图 4.14 例 4.9图
4.3.2
1．
电感元件是实际电感线圈的理想化模型。 其符号如图 4.15所示。
Vuuu 375125250231所以端口电压不能超过
u
＋
－
L
i
O
i
u
＋
－
b
a
( a ) ( b )
( c )
t
图 4.15 电感元件的符号和特性如图 4.15(a)所示 。 在 SI中,Φ的单位与 Ψ相同,为韦 (伯 ) 。
磁链与产生它的电流的比值叫做电感元件的电感或自感。
电感元件的电感为一常数,磁链 Ψ总是与产生它的电流 i成线性关系,即在 SI中,电感的单位为亨 (利 ),符号为 H,常用的单位有毫亨 (mH),微亨 (μH)。 式 (4——16)所表示的电感元件磁链与产生它的电流之间的约束关系称为线性电感的韦安特性,是过坐标原点的一条直线 。 如图 4.15(c)所示 。
2,电感元件的伏安特性根据电磁感应定律,感应电压等于磁链的变化率 。 当电压的参考极性与磁通的参考方向符合右手螺旋定则时,可得
Li (4——16)
dtdu
当电感元件中的电流和电压取关联参考方向时,结合式 (4— 16)有电感元件的伏安特性说明,任一瞬间,电感元件端电压的大小与该瞬间电流的变化率成正比,而与该瞬间的电流无关 。 电感元件也称为动态元件,它所在的电路称为动态电路 。 电感对直流起短路作用 。
对式 (4——17)进行积分可求出某一时刻电感的电流值 。 任选初始时刻 t 0后,t时刻的电流为
dtdiLdtd L idt
du (4——17)
当 u,i为非关联参考方向时,有
dtdiLu
t
t
t
t
tt
du
L
ti
du
L
du
L
du
L
ti
0
0
0
)(
1
)(
1
)(
1
)(
1
)(
)(
0
若取 t=0,则
3,电感元件的磁场能关联参考方向下,电感吸收的功率
t duLiti 0 )(1)0()(
dtdiLiuip
电感电流从 i(0)=0增大到 i(t)时,总共吸收的能量,即 t时刻电感的磁场能量
)()( 200 21 tt LidiLidtpW tiL
当电感的电流从某一值减小到零时,释放的磁场能量也可按上式计算。 在动态电路中,电感元件和外电路进行着磁场能与其它能相互转换,本身不消耗能量。
例 4.10 电感元件的电感 L=100 mH,u和 i的参考方向一致,i的波形如图 4.16(a)所示,试求各段时间元件两端的电压 uL,并作出 uL
的波形,计算电感吸收的最大能量 。
( b )
u
＋
－
L
i
0 1 2
10
3 4 5 t / m s
i / m A
u / V
0 1 2 3 4 5 t / m s
－ 1
1
( a )
图 4.16 例 4.10图解 uL与 i所给的参考方向一致,各段感应电 压为
(1) 0～ 1 ms间，
VtiLdtdiLu L 1101 101010100 3
3
3?
(2) 1～ 4 ms 间,电流不变化,得
uL=0
(3) 4～ 5 ms 间，
VtiLdtdiLu L 1101 1010010100 3
3
3
uL的波形如图 4.16(b)所示 。
JLiW mL 1051010101002121 62332m a x )(
作业,P（ 148— 149）
4.9 4.10
4.11 4.12
4.4 三种元件伏安特性的相量形式
4.4.1
1,伏安特性在图 4.19(a)中,设电流为
)s in (2)( utIti
则有
)s i n ()s i n ( 22)( uii tt URIRitu
上式表明,电阻两端电压 u和电流 i 为同频率同相位的正弦量,它们之间关系如下
ui
RIU
(4——21)
φi =0时的 u和 i 的波形如图 4.20所示 。 电阻上电压相量和电流相量的关系为
φi =0时的 u和 i 的波形如图 4.20所示 。 电阻上电压相量和电流相量的关系为
u
＋
－
R
i
a
b
( a )
＋
－
R
a
b
( b )
U
.
u
＝?
i
U
.
I
.
( c )
图 4.19电阻元件的相量模型及相量图
..
.
.
/
/
IRU
R
I
U
I
U
i
u
根据式 (4——22)画出电阻的相量模型如图 4.19(b)所示,相量图如图 4.19(c)所示 。
2,功率
（ 1）瞬间功率关联参考方向下电阻元件吸收的瞬时功率 p=ui,为了计算方便
0t
i
u
u,i
P
p
P
m
=U
m
I
m
P = P
m
= U I
1
2
p
图 4.20电阻元件 i,u,p波形
0i
0
222
)2c o s1(
s ins ins in 2
t
ttt
UI
UIIUp
其波形如图 4.20所示。
又称为有功功率,其单位是瓦 (W)或千瓦 (kW)
例 4.11 一电阻 R=100Ω,通过的电流 i(t)=1.41sin(ωt-30° ) A。
(1) R两端电压 U和 u，
(2) R消耗的功率 P。
解 (1)
（ 3）平均功率平均功率定义为瞬时功率 p在一个周期 T内的平均值,用大写字母 P表示 。 即
R
URIUI
tUITu i d tTp d tTP TTT
2
2
000
2c o s1(111
(4——23)
1
2
41.1
2
II m
Vtt
V
Ritu
RIU
)30s i n ()30s i n ( 00 14141.1100)(
1001100
电压或利用相量关系求解对应的正弦量
Vtttu )30s i n ()30s i n ( 00 1412100)(
VU 100?
(2) R消耗的功率
W
W
RIP
UIP
1001001
1001001
2
或
00
..
00
.
.
30/1 0 030/1 0 0
30/130/
2
41.1
IRU
I
4.4.2
1．
在图 4.21(a)中,设通过电感元件的电流为则有
)s in (2)( itIti
)s i n ()s i n (
)c o s (
222
2)(
ui
i
tt
t
ULI
LIdtdiLtu
上式表明电感两端电压 u和电流 i是同频率的正弦量,电压超前电流 90° 。 用 XL表示 ωL后,电压和电流有效值关系为
)( IXUIXU mLmL
即
90 0
iu
L IXU
u
＋
－
L
i
( a )
＋
－
( b )
U
.
i
U
.
( c )
j X
L
u
图 4.21电感元件的相量模型及相量图
IUIUfLLX M mL 2 (4— 25)
而称为感抗,单位为欧姆。
感抗的倒数
LXB L?11 (4——26)
称为感纳,单位为西门子 (S)。
电感电流相量和电压相量的关系为
IjXU L
即 (4— 27)
由式 (4——27) 画出电感的相量模型如图 4.21(b),相量图如图 4.21(c)
所示 。
L
i
u jX
I
U
I
U
/
/
.
.
2,功率
（ 1）瞬时功率在关联参考方向下,当 φ i =0时,电感吸收的瞬时功率为
tttt
tt
XIUIUI
IUuip
L
2s i n2s i ns i nc o s
s i n)s i n (
22
2212
如图 4.22所示。 最大值为 UI或 I2XL。
电感储存磁场能量
4
T
t0
p i,u
ui
p
4
T
4
T
4
T
－－
＋
＋
图 4.22 电感元件的 i,u,p波形
)2c o s(
s in
12
1
2
1
2
1
2
222
t
t
LI
LILiW mL
（ 2）平均功率磁场能量在最大值 和零之间周期性地变化,总是大于零 。)( 22
21 LILI m
02s i n111 000 dttUITdtuiTdtpTP TTT?
为了衡量电感与外部交换能量的规模,引入无功功率 QL，
XUXIUIQ LLL
22 (4— 28)
例 4.12 流过 0.1 H电感的电流为试求关联参考方向下电感两端的电压 u及无功功率,磁场能量的最大值 。
解 用相量关系求解
)10200s in (215)( 0tti
VjIjXU
I
L
000
..
0
.
1 0 0/3 0 0)1090(/3 0 00/151.02 0 0
10/15
4.4.3
1．伏安特性在图 4.23(a)中,设加在电容两端的电压为
JLIW
VUIQ
Vttu
mL
L
5.2215)2(1.0
2
1
2
1
4 5 0 0153 0 0
)1 0 02 0 0s i n (23 0 0)(
222
m a x
0
无功功率磁场能量的最大值
u
＋
－
C
i
( a )
＋
－
( b )
U
.
i
U
.
I
.
( c )
j X
C
u
I
.
图 4.23 电容元件的相量模型及相量图上式表明电容电流和端电压是同频率的正弦量,电流超前电压 90° 。 用 XC表示 1/ωC后,电流和电压的关系为
)s i n (2)
2
s i n (2
)c o s (2)(
iu
u
tIUtCU
tCU
dt
du
Cti
090
1
ui
C
C
IXU
X
U
C
U
CUI
或 (4——29)
而
m
m
C I
U
I
U
fCCX 2
11 (4——30)
容抗的倒数
CXB
C
C
1 (4— 31)
由式 (4——32) 画出电容元件的相量模型如图 4.23(b)所示,相量图如图 4.23(c)所示 。
2,功率
（ 1） 瞬时功率为称为容纳,单位是西门子 (S),电容电流相量和电压相量的关系为
0
p i,u
u
i
p
t
＋
＋
－－
4
T
4
T
4
T
4
T
图 4.24 电容元件的 u,i,p波形
LL
i
u jXUjX
I
U
I
U,
.
.
/
/
如图 4.24所示 。 最大值为 UI或 I 2XC。
电容储存电场能量
tXI
tUIttUI
tItUuitp
C?
s i n
s i nc oss i n2
)
2
s i n (2s i n2)(
2
)2c o s1(21s i n2121 2222 tCutCUCuW mC
电场能量在最大值 和 0之间周期性地变
（ 2）平均功率
)(21 22 CUCU m
02s in111 000 TTT t d tUITdtuiTdtpTP?
（ 3）无功功率
C
C X
UXIUIQ 22
电容的无功功率的单位与电感的无功功率的单位相同。
例 4.13 流过 0.5 F电容的电流 i(t)= sin(100t－ 30° ) A,试求关联参考方向下,电容的电压 u,无功功率和电场能量的最大值 。
解 用相量关系求解
V
jI
C
jIjXU
I
C
02002
0
...
0
.
120/10230/90/102
30/
5.0100
11
30/1
JCUW
VUIQ
Vttu
mC
C
0 0 0 2.0)02.0()2(5.0
2
1
2
1
02.0102.0
)1 2 01 0 0s i n (202.0)(
222
m a x
0
作业,P149 4.14 4.15
4.5 基尔霍夫定律的相量形式
4.5.1基尔霍夫节点电流定律的相量形式根据正弦量的和差与它们相量和差的对应关系,可以推出：
正弦电路中任一节点,与它相连接的各支路电流的相量代数和为零,即式 (4— 34)就是基尔霍夫节点电流定律的相量形式,简称 KCL
的相量形式 。
4.5.2
同理可以推出正弦电路中,任一闭合回路,各段电压的相量代数和为零,即
0,I (4— 34)
0,U (4— 35)
式 (4——35)就是基尔霍夫回路电压定律的相量形式,简称
KVL的相量形式 。
综上所述,正弦电路的电流,电压的瞬时值关系,相量关系都满足 KCL和 KVL,而有效值的关系一般不满足,要由相量的关系决定 。 因此正弦电路的某些结论不能从直流电路的角度去考虑 。
例 4.14正弦电路中,与某一个节点相连的三个支路电流为
i 1,i 2,i 3。 已知 i 1,i 2流入,i 3流出解 先写出 i1和 i2的相量 (注意,i1的初相应为 60° +90° =150° )
ttitti s i n25)(,)60c o s (210)( 201
求 i 3 。
i 3的相量为 i 3,由 KCL得
)2.1 2 6s i n (226)(
2.1 2 6/2.6566.35566.8
0
0
3
0
2
.
1
.
3
.
3
.
2
.
1
.
tti
jjIII
III
作业,P112页 （ 1）
02.01,1 5 0/5,)566.8(1 5 0/10 IjI
4.6 RLC 串 联 电 路
4.6.1
1,电压三角形
R,L,C串联电路的相量模型如图 4.27(b)所示。电流的相量为参考相量作出相量图,如图 4.28(a)所示,图中设 UL>UC
＋
－
u
i ＋ －
u
R
R
C
L
－ ＋u
C
＋
－
u
L
( a )
＋
－
＋ －R
R
－ ＋
C
＋
－
L
( b )
U
.
I
.
U
.
U
.
U
.
j X
L
j X
C－
图 4.27 RLC串联电路的相量
U
.
CU
.
I
.
RU
.
L
U
.
X
( a )
U
.
( b )
I
.CU
.
L
U
.
RU
.
=
( c )
CU
.
LU
.
U
.
X
图 4.28 RLC串联电路的相量图显然,组成一个直角三角形,称为电压三角形,由电压三角形可得
...,,UUU
XR
2222 )( XRCLR UUUUUU
U也可以写成相量形式,即
,...,)( IZIXXJRUUU CLXR (4— 36)
2,阻抗三角形
/)( ZjXRXXjRZ CL
其中 X=XL—XC称为电抗,|Z| 和 φ分别称为复阻抗的模和阻抗角,
其关系为显然 |Z|,R,X也组成一个直角三角形,称为阻抗三角形,
与电压三角形相似 。 设端口电压电流的相量分别为
R
Xa r c t e n
XRZ
22
(4— 37)
s in
c o s
ZX
ZR
(4— 38)
由上式可得
//
/
/
//
.
.
..
Z
I
U
I
U
I
U
Z
IIUU
iu
i
iu
4.6.2电路的三种性质根据 RLC串联电路的电抗
RLC串联电路有以下三种不同性质：
(1) 当 ωL>1/ωC时,X>0,φ>0,UL>UC。 UX超前电流 90°,
端口电压超前电流；电路呈感性,相量图如图 4.28(a)所示 。
(2) 当 ωL<1/ωC时,X<0,φ<0,UL<UC,Ux滞后电流 90°,
端口电压滞后电流；电路呈容性,相量图如图 4.28(b)所示 。
(3) 当 ωL=1/ωC时,X=0,φ=0,UL=UC。 Z=R。 端口电压与电流同相,电路呈阻性 。 这是一种特殊状态,称为谐振,相量图如图 4.28(c)所示 。
RL串联电路,RC串联电路,LC串联电路,电阻元件,电感
iu
I
UZ
(4— 39)
CLXXX CL
1
元件、电容元件都可以看成 RLC串联电路的特例。
R,L,C的复阻抗 Z分别为 R,jXL－ jXC,φ分别为 0,90°,
90°,
RL串联
RC串联例 4.15 图 4.29(a)所示为 RC串联移相电路,u为输入正弦电压,
以 uC为输出电压 。 已知,C=0.01μF,u的频率为 6000 Hz,有效值为 1 V。 欲使输出电压比输入电压滞后 60°,试问应选配多大的电阻 R?在此情况下,输出电压多大?
解 作出相量图,如图 4.29(b)所示 。 容性电路的阻抗角为负值,根据已知有 ＋
－
Ri
＋ －
＋
－
Cu
( a )
u
R
u
C
CU
.
CU
.
RU
.
U
.
I
.
( b )
图 4.29 例 4.15图
R
XXRjXRZ
R
X
R
XXRjXRZ
R
X
C
CC
C
L
LL
L
a r c t a n,a r c t a n
a r c t a n,a r c t a n
22
22
oC
o
CRR
X
30
1
a r c t a na r c t a n
30
即
k
C
X
R
oo
C
6.44 6 00
3
1
1001.06 0 002
1
30t a n
1
30t a n
6
在此情况下,输出电压
VUTU oC 5.05.0130s i n)(
作业,P115页 （ 1） （ 2） （ 3）
P150页 4.22
4.7 RLC 并 联 电 路
i
C
＋
－
u
L
G
i
G
i
L
i
C
( a )
i
＋
－
G
G L C
( b )
I
.
I
.
I
.
－ j B
L
j B
C
U
.
图 4.33 (a)所示为 R,L,C并联电路。
4.7.1
R,L,C并联电路的相量模型如图 4.33(b)所示,由于是并联电路,电压相同,所以以电压相量为参考相量作出相量图如图
4.34(b)所示 。 图中设 IC>IL。
显然,也组成一个直角三角形,称为电流三角形 。
由电流三角形可得
...,,III
BG
2,导纳三角形其中 B=BC—BL称为电纳,|Y|和 φ′分别称为导纳的模和导纳角 。
其关系为
2222 )( LCGBG IIIIII
I也可以写成相量形式,即
YUUjBGUBBjGIII LC,....,)()(
G
B
BG
a rc ta n'
22
(4— 41)
'
'
sin
c o s
B
G (4— 42)
设端口电流,电压相量分别为
4.7.2
根据 RLC并联电路的电纳
ui
m
m
U
I
U
I
'
(4— 42)
LCBBB LC
1
RLC并联电路有以下三种不同性质。
(1) 当 ωC>1/ωL时,B>0,φ′>0,IC>IL,超前电压 90°,端口电流超前电压 。 电路呈容性,相量图如图 4.34(a)所示 。
BI
.
'
.
..
1
/
/11
/,/
Y
UUU
Y
UUII
ui
u
i
ui
(2) 当 ωC<1/ωL时,B<0,φ′<0,Ｉ Ｃ <IＬ,滞后电压 90°,
端口电流滞后电压 。
(3) 当 ωC=1/ωL时,B=0,φ′=0,IC=IL。 IB=0，
Y=G,I=IG,端口电流与电压同相,电路呈阻性,如图 4.34(c)所示 。 这也是一种特殊情况,称为谐振 。
R,L,C元件,RL并联电路,RC并联电路,LC并联电路都可以看成 RLC并联电路的特例 。
R,L,C三种元件的复导纳分别为 G,－ jBL,jBC,φ′分别为 0,—90°,90° 。
BI
.
G
B
BGjBGY
G
B
G
B
BGjBGY
G
B
L
LL
L
L
LL
L
a r c t a n,a r c t a n
a r c t a n,a r c t a n
22
22
RL并联电路
RC并联电路
4.7.3 复阻抗和导纳的等效互换根据等效概念,在端口电压,电流相同的条件下,复阻抗与导纳相互等效,则串联电路与并联电路也相互等效,其等效互换的关系为 Z=1/Y或 Y=1/Z。
根据上式可以推导出两种等效电路参数间的关系。 对于串联电路,有
jBG
XR
X
j
XR
R
jXRjXR
jXR
jXRZ
Y
jXRZ
2222
))((
11
则其中
2222,XR
XB
XR
RG
是把 R和 X串联电路等效变换为是把 G和 B并联电路等效变换为串联电路时电阻和电抗的计算公式。
并联电路时电导和电纳的计算公式 。 对于并联电路,有
jXR
BG
Bj
BG
G
jBGY
Z
jBGY
2222
11
2222,BG
BX
BG
GR
其中从以上可以看出
BXXBGRRG
1,1,1,1
例 4.16 R,L串联电路图 4.35(a)所示 。 Ｒ ＝５ 0Ω，
Ｌ ＝０,06 mH,ω=10６ rad/s,把它等效为图 (c)所示的 R′、
L′并联电路,试求 Ｒ ′和 L′的大小 。
解 图 4.35(a)所示电路的等效并联电路如图 4.35(c)所示,对于图 4.35(a)所示电路,有
＋
－
u
R
i
L
Z
( a )
＋
－
Y′
( b )
＋
－
u L′
( c )
G R′－ jB
L
i
U
.
I
.
图 4.35 例 4.16图
1.786050
601006.010 36
jjXRZ
LX
L
L?
故有
SjZY )0 0 9 8.00 0 8 2.0(2.500 1 2 8.0
2.501.78
11 0
0
对于图 4.35(b)所示电路,有 Y′=G+jBL,等效时应有 Y=Y′的关系，
m
B
L
G
R
S
L
BSG
L
L
1 0 2.0
1
,1 2 2
1
0 0 9 8.0
1
,0 0 8 2.0
则作业,P150页 4.25 4.26 4.27
4.8 用相量法分析正弦交流电路相量法一般步骤为：
(1) 作出相量模型图
(2) 运用直流线性电路中所用的定律,定理,分析方法进行计算 。 直接计算的结果就是正弦量的相量值 。
(3) 根据需要,写出正弦量的解析式或计算出其它量 。
4.8.1 复阻抗混联电路的分析计算例 4.17 电路如图 4.40(a)所示,uS(t)=40 sin3000t V,求 i,iC,iL。
CL
i
L
i
C
＋
－
u
S H
3
1
F
6
1
( a )
L C
＋
－
S
( b )
b b
U
.
j L j C
1
I
.
I
.
图 4.40 例４,17图解 写出已知正弦电压的相量作相量模型,如图 4.40(b)所示 。 其中,电感元件和电容元件的复阻抗分别为
VU S 0,0/40?
k
j
j
jj
jj
j
j
jj
jj
ZZ
kjj
Cj
kjjLj
ab
0
6
37/5.2
5.12
2
31
5.1
)11)(11(
)21)(12(
5.1
11
12
5.1
211
)21(1
5.15.1
2
10
6
1
3 0 0 0
11
1
3
1
3 0 0 0
....
000
.
0
..
...
2
13
11
21
211
21
98/3.1137/161 35/7 07.0
1 35/7 07.0
2
11
2
)11)(1(
11
1
211
1
I
j
I
j
j
I
jj
j
I
m
II
j
I
jj
I
j
j
I
jj
j
I
L
C
...
0
0
0
.
11
1
211
1
37/16
37/5.2
0/40
I
j
j
I
jj
j
I
m
Z
U
C
S
由各相量写出对应的正弦量
mtti
mtti
mtti
L
C
)3.453 0 0 0s in (23.25)(
)983 0 0 0s in (23.11)(
)373 0 0 0s in (216)(
0
0
0
例 4.19 图 4.42(a)所示为电子电路中常用的 RC选频网络,端口正弦电压 u的频率可以调节变化 。 计算输出电压 u 2与端口电压 u
同相时 u的频率 ω0,并计算 U 2/U。
CR
＋
－
u
＋ u 1 －
R
＋
－
u
2
( a )
＋
－
1U
.
Z
2
Z
1
＋
＋
－
－
2U
.
U
.
( b )
C
图 4.42 例 4.19 图解 RC串联部分和并联部分的复阻抗分别用 Ｚ １ 和 Ｚ ２ 表示,
且
Cj
RCj
Cj
RZ
11
1
原电路的相量模型为 Ｚ 1,Ｚ 2的串联,如图 4.42(b),由分压关系得
RCj
R
Cj
R
Cj
R
Z
11
1
2
.
21
.
21
.
2 /1
1 U
ZZUZZ
ZU
由题意知,与 同相时,Im,而.
2
,UU 0
2
1ZZ
RC
CRjRC
RC
RCjCR
j
RCj
RCjRCj
Z
Z
)1(2
21
)1)(1(
222
222
2
1
4.8.2
例 4.20图 4.43所示电路中,
求各支路的电流
01222CR?那么
..
2
21
.
.
2
0
0
2
1
3
1
3
1
/1
1
2
2
UU
ZZU
U
RC
RC
Z
Z
则 且为最大值。UU
312?
5,2,5,90/100,0/100 0,20,1 LCSS XXRVUVU
＋
－
＋
－
U
S1
.
j X
L
－ jX
C
R U
S2
.
I
1
.
I
2
.
I
3
.
a
b
I
a
.
I
b
.
图 4.43 例 4.22 图解 各支路电流?１,?２,?３ 和网孔电流 a,b的参考方向如图中所示,网孔方程为
a
ba
ba
I
jIjI
IIj
.
..
..
100)55(5
1005)25(
4.8.3
例 4.21 用代文宁定理计算例 4.20中 R支路的电流? 3。
解 先将图 4.43 所示的电路改画为图 4.44(a) 所示的电路,由 R
两端向左看进去,是一个有源二端网络 。 先求其开路电压
－ j X
C j X L
I
3
.
a
b
R＋
－
U
S1
.
＋
－
U
S2
.
( a )
R
＋
－
U
OC
.
Z
i
I
3
.
a
b
( b )
图 4.44 例 4.21图
V
j
j
jj
j
j
j
YY
YUYU
U
SS
OC
0
0
0
21
2
2
.
1
1
.
.
8.21/1.179
90/3.0
2.68/9.53
3.0
5020
52
)
5
(100
2
100
再求输入复阻抗
0
0
00
.
.
3
8.11/9.29
6.33/6
8.21/7.179
33.35
8.21/179
3.33
3
10
25
)2(5
)2/ / (5
jRZ
U
I
j
jjj
jj
jjZ
i
OC
i
计算电流? 3的等效电路如图 4.44(b)所示，
4.8.4
作相量图时,先确定参考相量 。 对并联的电路,可以电压为参考相量； 对串联电路,可以电流为参考相量 。
例 4.22 图 4.45(a)所示电路的相量模型中,IL=I=10 A，
U 1=U 2=200 V,求 XC。 － j X C
j X
L
I
L
.
R
45°
－
U
1
.
U
2
.
( a )
I
.
I
C
.
＋ －
＋
－
U
C
.
U
2
.
U
1
.
I
L
.
I
C
.
I
.
U
2
.
U
C
.
45°
( b )
＋
图 4.45 例 4.22 图解 由相量图可知
20
210
2200
22002210 1
22
C
C
C
CLC
I
U
X
VUUIII
而例 4.23 图 4.46(a)所示的并联复阻抗电路中,U=20 V，
Z 1=3+j4 Ω。 开关 S合上前后 I 的有效值不变,开关合上后的 与 同相 。 试求 Z 2。 ＋
－
I
.
U
.
Z
2
I
1
.
I
2
.
Z
1
S
( a ) ( b )
I
2
.
I
1
.
I
.
I
2
.
I
1
.
53°
2
图 4.46 例 4.23 图解 根据题中所给条件,以电压 为参考相量,如图 4.46(b)
所示 。 由 Z 1=3+j4Ω可知,负载 Z 1为感性,滞后,
φ1 =arctan（ 4/3） =53° 。 由此确定出?1的位置 。 S合上前,后,
|? | =|?1|,和 同相,且?=?1+?2,所以?１,?２ 及? 组成一个等腰三角形,两个底角为 (180° — 53° )/2=63.5° 。 那么,复阻抗 Z 2
的阻抗角 φ 2 =— 63.5°
.U
.U
55.25.63/61.5/
61.5
57.3
20
57.344 6.085.63c o s2
4
43
20
222
2
2
12
22
1
1
jZZ
I
U
Z
II
Z
U
II
o
o
由相量图可知则而作业,P（ 150— 151）页 4.23 4.30 4.31 4.32
4.9 正弦交流电路中的功率
4.9.1
1.
对于图 4.49(a)所示的无源二端网络,定义出关联参考方向下的复阻抗为
ra UUIjXIRIjXRIZU
jXRZ
.......
)(
则相量图如图 4.49(b)所示 。 与 同相的 a叫做电压的有功分量,
其模 Ua=U cosφ就是二端网络等效电阻 R上的电压,它与电流的乘积
UaI=UI cosφ =P就是网络吸收的有功功率 。 另一个与 相差 90° 的叫做电压的无功分量； 其模 Ur=U sinφ就是网络的等效电抗 X上的电压,
它与电流的乘积 UrI=UI sinφ就是网络吸收的无功功率 。
.U.I
P
i
I
.
u
( a )
U
.
U
r
.
( b )
U
a
.
I
.
＋
－
R
j X
＋
－
－
＋
U
.
U
r
.
U
a
.
( c )
( d )
U
.
I
.
r
′
I
a
.
I
.
＋
－
G
j B
U
.
I
r
.
( e )
I
a
.
I
.
图 4.49 电压电流相量的分解
2.
图 4.49(a)所示的无源网络,还可定义出关联参考方向下的导纳为
ra IIUjBUGUjBGUYI
jBGY
......,)(
则相量图如图 4.49(d)所示。
与 同相的 叫做电流的有功分量,它就是流经二端网络等效电导的电流,其模为 Ia=I cosφ′,它与电压的乘积
UIa= UIcosφ′ 就是网络吸收的有功功率 。 另一个与 相差 90°
的 叫做电流的无功分量,是流经网络等效电纳 B的电流,其模与电压的乘积 UIr= UI sinφ′=Q 就是网络吸收的无功功率 。
4.9.2有功功率 无功功率由 4.9.1节的分析可知,二端网络端口电压,电流有效值分别为 U,I,关联参考方向下相位差为 φ时,吸收的有功功率,即平均功率为
.U
aI
.
rI
.
s in
c os
UIQ
UIP
吸收的无功功率,即交换能量的最大速率
(4— 44)
(4— 45)
φ值有正有负,所以 Ｑ 是可正可负的代数量。 在电压、
电流关联考方向下,按式 (4——45) 计算,感性的无源二端网络吸收的无功功率为正值 。 容性的无源二端网络吸收的无功率为负值 。
正弦电路中的平均功率一般不等于电压,电流有效值之积 。
这个乘积 UI表面上看起来虽然具有功率的形式,但它既不代表有功功率,也不代表无功功率 。 我们把它称为网络的视在功率,
即
22 QPUIS (4— 46)
S表示在电压 U和电流 I作用下,电源可能提供的最大功率 。 为了与平均功率相区别,它的单位不用瓦,而用伏 ·安 (V·A),常用的单位还有千伏 ·安 (kV·A)。 式 (4——46)中的 P,Q,S可组成一个直角三角形,它与电压三角形相似称其为功率三角形,如图 4.50
所示 。
I
.
U
.
U
L
.
U
R
.
S
Q
图 4.50 功率三角形
4.9.3
1,功率因数的定义式 (4——44)中决定有功功率大小的参数 cosφ称功率因数,用 λ表示,其定义为
S
P c o s (4— 47)
功率因数的大小取决于电压与电流的相位差,故把 φ角也称为功率因数角 。
2,功率因数的意义功率因数是电力系统很重要的经济指标。 它关系到电源设备能否充分利用。 为提高电源设备的利用率,减小线路压降及功率损耗,应设法提高功率因数。
3,提高功率因数的方法提高感性负载功率因数的常用方法之一是在其两端并联电容器 。 感性负载并联电容器后,它们之间相互补偿,进行一部分能量交换,减少了电源和负载间的能量交换,
感性负载提高功率因数的原理可用图 4.51来说明。
I
.
I
1
.
＋
－
I
C
.
U
.
I
C
.
I
C
.
1
2
U
.
I
.
I
1
.
图 4.51 提高功率因数的原理作业,P（ 152— 153）
4.41 4.42 4.43
4.10 正弦交流电路中的最大功率以如图 4.54 所示的电路相量模型为例,分析在 US,ZS给定的条件下,负载 ZL获得最大功率的条件 。 其中
LLL jXRZ
由图可知,电路中电流相量为
)()(
..
.
LSLS
S
LS
S
XXjRR
U
ZZ
UI
电流的有效值为
22 )()(
LSLS
S
XXjRR
UI
负载吸收的功率
Z
S
Z
L
＋
－
U
S
.
I
.
图 4.54
交流电源负载获得最大功率的条件与其调节参数的方式有关,下面分两种情况进行讨论。
1,负载的电阻和电抗均可调节从式 (4——48)可见,若 RL保持不变,只改变 XL,当 XS+XL=0
时,即 XL=－ XS,PL可以获得最大值,这时
22
2
2
)()( LSLS
LS
LL XXjRR
RURIP
(4— 48)
2
2
)( LS
LS
L RR
RUP
再改变 RL,使 P L获得最大值的条件是
0?
L
L
dR
dP
即
0)( )(2)( 4
2
2?
LS
LSLLS
S
L
L
RR
RRRRRU
dP
dP
得 RL=RS,因此,负载获得最大功率的条件为故 0)(2)( 2
LSLLS RRRRR
SL
SL
RR
XX
SL RZ即负载的阻抗与电源的内阻抗为共轭复数的这种关系称为共轭匹配 。 此时最大功率为
S
S
R
UP
4
2
ma x?
(4— 49)
(4— 50)
2．负载为纯电阻此时,ZL=RL,RL可变化 。 这时式 (4——48)中的 XL=0,即
L
LS
SL R
XRR
UP
2
5
2
2
)(
(4— 51)
PL为最大值的条件是
0?
L
L
dR
dP
例 4.24 在图 4.55所示的正弦电路中,R和 L为损耗电阻和电感 。 实为电源内阻参数 。 已知,R=5 Ω，
L=50μH。 RL=5Ω,试求其获得的功率 。 当 RL为多大时,能获得最大功率?最大功率等于多少?
即
0)(
)()(
222
22
2?
SLS
LLSSLS
S
L
L
XRR
RRRXRRU
dR
dP
222
22 )(2)(
SSL
LLSSLS
XRR
RRRXRR
SSSL ZXRR 22
(4— 52)
)c o s1(2)/1(2
22
m a x
SS
S
SSS
S
R Z
U
ZRZ
UP
(4— 53)
tVtu s 510s in210)(
L
R
L
＋－
R
U
S
图 4.55 例 4.24 图解 电源内阻抗为
WRIP
jjRZ
U
I
VU
j
jjXRZ
LL
o
o
o
o
LS
S
o
o
SS
4589.0
6.26/89.0
6.26/8.11
0/10
510
10
555
0/10
0/10
45/2555
1050105
22
.
.
.
65
设电压源的相量为电路中的电流为负载获得的功率为
22 LSL XRZR当 时,模匹配,能获得最大功率,即
W
Z
U
P
WRIP
jjRZ
U
I
R
o
SS
S
R
LR
o
o
oo
LS
L
15.4
)45c o s1(252
10 0
)c o s1(2
15.407.776 6.0
5.22/76 6.0
5.22/06.13
0/10
57.12
0/10
07.755
0/10
07.755
22
m a x
22
m a x
2
.
.
22
作业,P152页 4.40
P131页 （ 2）
4.11 串联谐振
4.11.1 串联谐振的条件图 4.59
)1( CLjRZ
由谐振的一般条件可得出串联谐振条件是
LCCL
11
jL
＋
－
＋
－
U
.
R
＋ － －＋I
.
U
C
.
－ j
C
1
图 4.59 RLC串联电路即当电路 L,C一定时,有
LC
ff
LC
2
1
1
0
0
(4— 54)或
ω0和 f 0称为固有角频率
4.11.2
1,电路的阻抗最小由于谐振时,X=0,所以网络的复阻抗为一实数,即
RXXRZZ CL 2200 )(
2.
串联谐振时,网络的感抗和容抗相等,为
CLLLCLL 11
0
0
ρ只与网络的 L,C有关,叫做特性阻抗,单位为 (Ω)。
串联谐振时电感电压和电容电压的有效值相等,为
URIUU CL 000
与 反相而相互,抵消,,所以网络的端口电压就等于电阻电压,即
.
0
.
0 CL UU
Q叫做网络的品质因数 (与无功功率 Q不要混淆 ),只和网络 R、
L,C的参数有关 。 在电子工程中 Q值一般在 10~500之间 。 由于
Q?1时,U L0 =U C0 =QU?U。 所以把串联谐振又叫电压谐振 。
例 4.25 串联谐振电路中,U=25 mV,R=5 Ω,L=4 mH，
C=160 pF。
(1) 求电路的 f 0,I 0,ρ,Q和 U C0 。
(2) 当端口电压不变,频率变化 10%时,求电路中的电流和电压 。
解 (1) 谐振频率
Q
C
L
RCRR
L
R
RIUIRUU R
11
,
0
0
00
...
k H zLCf 2 0 0101 6 01042 12 1 1230
(2) 当端口电压频率增大 10%时，
5 0 0 0
101 6 0
1041
5
25
12
3
0
0
0
C
L
C
L
m
R
U
I
VmVQUUU
R
Q
CL 5.22 5 0 0251 0 0
1 0 0
50
5 0 0 0
00
端口电流特性阻抗品质因数
1 0 0 0)4 5 0 05 5 0 0(50)(
4 5 2 3
101 6 0102 2 02
1
2
1
5 5 2 61042 2 01022
2 2 0)1.01(
2222
123
33
CL
C
L
Q
XXRZ
fL
X
fLX
k H zff
感抗容抗阻抗的模可见,激励电压频率偏离谐振频率少许,端口电流,电容电压会迅速衰减。
4.11.3
1．
RLC串联电路,它的阻抗
mVIXU
m
Z
UI
CC 11 302 5.045 23
02 5.0
10 00
25
电流电容电压
22 )1(
)
1
(
C
LR
jXR
C
LjRZ
它的幅频特性和相频特性分别为
R
X
C
LRZ a r c t a n)1()( 22
相应的幅频特性曲线和相频特性曲线如图 4.60 所示。
R
CL /1a r c t a n)(
( a ) ( b )
0
| Z |
0 0
2
2
－
图 4.60 串联谐振的频率特性曲线
2．
电流的频率特性曲线又称电流谐振曲线,如图 4.61 所示
0? 0?
I
0
I
1
2
图 4.61 电流的谐振曲线两个截止角频率的差值定义为电路的通频带,即
2
1
)
1
(
1
1
1
)
1
(
1
1)
1
(
1
1)
1
(
2
2
2
2
0
2
2
22
12
C
L
R
I
C
L
R
I
C
L
R
R
U
C
LR
U
I
B
SS
W
(4——55)
当
011 2 LCLRRCL时，可得 或
R
R
CL
R
LL
R
B
LCL
R
L
R
W
00
0
0
12
2
/
1
)
2
(
2
由上式解出由于 ω必须为正值,因此
(4— 56)
Q还能量度电路的选择性,Q越大幅频特性曲线越尖锐,选择性越好,但通频带过窄,所以 Q值不是越大越好,要取得合适,二者要兼顾 。
3,通用谐振曲线将式 (4— 55)可写成
RBQ W
0
12
00?
品质因数为 (4— 57)
20
0
0
20
0
2
0
2
0
0
0
)(1
1
)(1
)(1
Q
I
I
Q
I
R
R
U
I
S
(4— 58)
以 为自变量,以 为因变量,以 Q为参变量做的谐振曲线叫通用谐振曲线,见图 4.62。 由图可见,较大的 Q值对应较尖锐的谐振曲线,因此 Q越大,选择性越好 。
0?
0I
I
0,9 5
I / I
0
Q= 50
Q= 100
Q= 200
w
0
w
10,9 6 0,9 7 0,9 8 0,9 9 1,0 1 1,0 2 1,0 3 1,0 4 1,0 5
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
1
图 4.62 通用谐振曲线作业,P153页
4.44
4.12 并联谐振本节仅讨论实用中最常见的电感线圈与电容器并联的谐振电路 。
其相量模型如图 4.63(a)所示 。 线圈的品质因数 Ｑ Ｌ ＝ ω0Ｌ /Ｒ 。U
A
.
A
X
Z
U
AB
.
A
U
CA
.
B
C
C
U
B C
.
Y
＋
－U
C
.
－
＋
U
B
.
B
( a )
＋－
( b )
U
B C
.
U
AB
.
U
B
.
U
A
.
U
CA
.
U
C
.
图 4.63 并联谐振电路
4.12.1
由图 4.63(a)可知,电路的导纳为如果,即,ω0为实根 。 所以只有在 的情况下,网络才可通过调节激励的频率达到谐振 。
4.12.2并联谐振的特点
1．
并联谐振时,网络的导纳为实数,即
2
2
0
22
2222
1
)(
)()(
1
L
R
LC
LR
L
C
LR
L
Cj
LR
R
Cj
LjR
Y
(4— 59)
(4— 60)
LCL
R 1
2
2?
C
LR?
C
LR?
由于在电子工程实际中总能满足 Q?1,ω0很高,ω且 在 ω0
附近变化，故有 ωL?R，所以 Y0 的实际数值可认为很小，而且 Q的值越大,Y0 越小。因此，并联谐振时，网络的阻抗最大或接近最小。
2
0
20 )( LR
RY
(4— 61)
RQRRCLZLRCY 2200
(4— 62)
Z 0为谐振时网络的阻抗。
2．支路的电流可能远远大于端口电流由式 (4— 62)可计算出端口电压为 U时,端口谐振电流
QLI
R
L
III
U
L
RC
U
LR
R
UYI
CL
0
0
0
2
0
200
)(t a n
)(
(4— 63)
(4——64)
而两支路的电流例 4.26 R=10 Ω,L=100 mH的线圈和 C=100 pF的电容器并联组成谐振电路 。 信号源为正弦电流源 iS,有效值为 1 μA。 试求谐振时的角频率及阻抗,端口电压,线 圈电流,电容器电流,
谐振时回路吸收的功率 。
解 谐振角频率
sr ad
L
R
LC
/10101010
)101 00(
10
101 00101 00
11
7141014
26
2
262
2
0
谐振时的阻抗
100
10
1010010
1.01010
10
1010010
10100
67
0
65
0
5
12
6
0
R
L
Q
VIZU
RC
L
Z
L
S
谐振时端口电压线圈的品质因数谐振时,线圈和电容器的电流作业,P153页 4.45
uWWZIP
uWWRIP
uIQII
S
L
SLCL
1.01010)10(
1.01010)10(
10 01010 0
7524
0
2
7242
6
谐振时回路吸收的功率或
4.13 三相正弦电路
4.13.1对称三相正弦电压三相正弦电压源是三相电路中最基本的组成部分,电力系统中,就是三相交流发电机的三相绕组,如图 4.67 所示 。 它的解析式为
)1 2 0s in (2)(
)1 2 0s in (2)(
s in2)(
o
PC
o
PB
PA
tUtu
tUtu
tUtu
(4— 65)
式中 Up为相电压的有效值 。 它们的波形如图 4.68(a)所示 。
对应的相量为
PC
PB
PA
UU
UU
UU
.
.
.
相量图如图 4.68(b)所示。 式中 α是工程上为方便而引入的单位相量算子。
＋
－
＋
－
＋
－
U
A
.
U
B
.
U
C
.
A B C
X Y Z
图 4.67 三相正弦电压源
o
PC
A
o
PB
o
PA
UU
UUU
UU
120/
120/
0/
.
.
2
.
.
相量图如图 4.68(b)所示。 式中 α是工程上为方便而引入的单位相量算子。
2
3
2
1120/ jo
(4——65)
U
C
.
U
A
.
U
B
.
( b )
U
C
.
U
A
.
U
B
.
( c )
0 t
t
T
u
C
u
B
u
A
u
T
3
2 T
3
( a )
图 4.68 对称三相电压的波形及相量图在波形图上,同一时刻三相电压的瞬时值代数和为零，
0 CBA uuu由式 (4— 67)还可得出相量的关系
(4——67)
PCBA UaaUUU )1( 2
.., (4— 68)
对称三相电压的相量图可画成图 4.68(c)所示的等边三角形。
4.13.2
１,三相电源的 Y形连接方式图 4.69(a)是三相电源的 Y形连接方式 。
...
...
...
ACCA
CBBC
BAAB
UUU
UUU
UUU
(４ ——69)
把式 (４ ——66)所表示的相电压代入式 (4——69)得
o
pCA
o
pBC
o
pp
o
p
o
pAB
UUUU
UUjUUU
1 5 0/3,90/3
30/3)
2
3
2
3
(1 2 0/0/
..
.
同理可得相量图如图 4.69(b)所示。
三相电源的Ｙ形连接供电时,有三相四线制和三相三线制 。
＋
－
U
A
.
A
X Z
U
AB
.
N
A
U
CA
.
B
C
C U
B C
.
Y
＋
－U
C
.
－
＋
U
B
.
B
( a ) ( b )
30°
U
BC
.
U
B
.
U
A
.
U
C
.
U
C A
.
30°
30°
－ U
B
.
－ U
C
.
U
AB
.
－ U
A
.
U
AB
.
U
CA
.
U
BC
.
U
A
.
U
C
.
U
B
.
图 4.69 三相电源的 Y形连接
２,三相电源的 △
将三个电压源的首,末端顺次序相连,再从三个连接点引出三根端线Ａ,Ｂ,Ｃ 。 这样就构成 △ 形连接,如图４,70(a)所示 。
U
A
.
A
X
Z
U
AB
.
A
U
CA
.
B
C
C
U
B C
.
Y
＋
－U
C
.
－
＋
U
B
.
B
( a )
＋－
( b )
U
B C
.
U
AB
.
U
B
.
U
A
.
U
CA
.
U
C
.
图 ４,70 三相电源的△形连接
4.13.3 三相负载的连接
１,负载的Ｙ形连接对于不对称的三相负载,供电系统为三相四线制 。对称三相负载为三相三线制。
1
2
0
°
1 2
0 °
1
2
0
°
＋
－ －
＋
＋
－
Z
A
A
Z
BZ C
B
C
N
I
C
.
I
N
.
I
A
.
I
B
.
U
A
.
U
B
.
U
C
.
( a )
I
A
.
U
A
.
I
C
.
I
B
.
U
C
.
U
B
.
( b )
N ′
图 4.71 三相负载的Ｙ形连接每相负载的电流称为相电流,有效值用Ｉ P表示,三相电流分别为
C
C
C
B
B
B
A
A
A Z
UI
Z
UI
Z
UI
.
.
.
.
.
.
,,
每个端线的电流称为线电流,有效值用 It 表示 。 相量图如图
4.71(b)所示 。 线电流与相应的相电流相等 。 所以,负载为Ｙ形连接时,线电流和相电流表示为不对称三相负载,线电流不对称,则
.,,..,CBA III
0..., CBAN IIII (４ — 70)
不对称三相负载的相电压对称,是因为中线的作用。 否则，
相电压就不对称。
2,三相负载的 △ 形连接三相负载 △ 形连接时,各相首尾端依次相联,三个连接点分别与电源的端线相连接 。 要求供电系统为三相三线制,如图
4.72所示。三相负载无论对称与否,相电压一般总是对称的。
每相负载的电流,即相电流,用 iab,ibc,ica表示,它们的相量
,,,.
.
..
.
..
.
.
CCA
C
CA
CABBC
B
BC
BCAAB
A
AB
AB YUZ
UIYU
Z
UIYU
Z
UI
各线电流的相量为
,,,........,BCCACABBCBCAABA IIIIIIIII
根据 KCL,有
ZZZZ
III
CBA
CBA
0
...
对于对称三相负载负载的相电流
YUZUI ABABAB,
.
,
它们是对称的,其线电流也是对称的,其向量图如图 4.73
所示。
PII 31?
I
A
.
I
B
.
I
C
.
U
AB
.
U
C A
.
U
BC
.
I
C A
.
I
BC
.
I
AB
.
30°
30°
30°
－ I
AB
.
－ I
BC
.
－ I
CA
.
图 4.73 △ 形连接时电流的相量图
o
ABCA
CA
CA
o
ABBC
BC
BC
AB
AB
AB
IYU
Z
U
I
IYU
Z
U
I
YU
Z
U
I
120/
120/
..
.
.
..
.
.
.
.
.
例 4.27 Y形连接的三相负载接到线电压为 380V的三相四线制供电线路上 。 试求：
(1)每相负载的阻抗 ZA=ZB=ZC=(17.32+j10)Ω时的各相电流和中线电流；
(2) ZA=ZB=(17.32+j10)Ω不变,Ｚ C改为 Z ′C =20Ω时的各相电流和中线电流 。
解 (1) 每相负载的电压
VUVU
V
U
U
oo
P
1 20/2 20,1 20/2 20
2 20
3
3 80
3
..
设,则VU oA 0/220,?
o
o
o
C
C
C
o
o
o
B
B
B
o
o
oo
A
A
A
Z
U
I
Z
U
I
jZ
U
I
90/11
30/20
1 20/2 20
1 50/11
30/20
1 20/2 20
30/11
30/20
0/2 20
1032.17
0/2 20
.
.
.
.
.
.
各相电流中线电流
0)90/1 50/30(/11...,oooCBAN IIII
(2) 三相负载不对称,但由于有中线,各相电压仍对称,保持不变,A,B不变,Ｃ相电流及中线电流变为相量图如图 4.74(a)所示。
I
A
.
I
B
.
I
C
.
I
A
.I
B
.
I′
.
C
( a ) ( b )
I
B
.
U
B
.
I
C
.
U
A
.
U
C
.
U
B
.
U
A
.
U
C
.
I
C
.
I′
.
N
I
B
.
图 4.74 例 4.27图
o
ooo
CBAN
o
o
N
c
c
IIII
I
U
I
165/694.5
120/11150/1130/11
120/11
20
120/220
...'.
'.
.
'.
相量图如图 4.74(b)所示。
例４,28 将上例中的负载改为 △ 形连接,接到同样的电源线上,三相三线制 。 试求：
(1) 负载对称时各相电流和线电流；
(2) Ｃ相负载断开后的各相电流和各线电流 。
解 (1) 仍以 为参考相量,则各线电压即各负载的相电压为
VUU
VUU
VUU
oo
CCA
oo
BBC
ooo
AAB
150/38030/3
90/38030/3
30/38030/220330/3
..
..
..
VU oA 0/220,?
各相电流为
19
30/20
30/3 8 0
.
.
o
o
A
AB
AB
Z
U
I
o
AB
C
CA
CA
o
AB
B
BC
BC
I
Z
U
I
I
Z
U
I
1 2 0/19
1 2 0/
.
.
.
.
2
.
.
根据负载对称时线电流与相电流的关系,各线电流为
o
A
o
CAC
o
A
o
BCB
ooo
ABA
III
III
II
90/3330/3
1 50/3330/3
30/3330/19330/3
...
.
2
..
..
相量图如图 4.75(a)所示
(2) CA相断,各相负载电压不变 (因为未计端线阻抗 ),所以? AB,? BC 不变,从而?B 不变 。 因为 所以另两个线电流变为
0',?CAI
相量图如图 4.75(b)所示 。
从这两个例子可以看出,线电压不变时,对称负载由Ｙ形连接改为 △ 形连接后负载的相电压和相电流增加到 Y形连接时的倍,而线电流增加到 Y形连接的 倍 。
oo
ABBCCAC
ABCAABA
IIII
IIII
60/191 2 0/19
19
..'.'.
.'..'.
I
B
.
I
A
.
I
C
.
U
B
.
U
A
.
U
C
.
I
C A
.
I
AB
.
30°
－ I
AB
.
－ I
BC
.
－ I
CA
.
I
B
.
－ I
AB
.
U
AB
.
U
C A
.
U
BC
.
I
BC
,U C
.
U
A
.
U
B
.
U
C A
.
I
BC
.
U
BC
.
U
AB
.
－ I
BC
.
I
AB
.
30°
30°
I
C
.
I
A
.
＝
＝
( a ) ( b )
图 4.75 例 4.28图
3 333
4.13.4 三相电路的功率三相电路中,三相负载的有功功率等于各相负载有功功率之和。
c os33
c os
PP
PPP
CBA
IUPP
IUP
PPPP
湘每相负载的功率当三相负载对称时,每相功率相同,则
(4— 71)
对于 Y形连接，
11,3 II
UU
PP
代人式 (4——73),得
c o s3c o s33 1111 IUUIP
(4— 72)
对于△形连接，
31,1
IIUU
PP
代入式 (4— 71)也得出式
(4— 72)所表示的结果。
三相电路总的无功功率为各相无功功率之和
1
22
22
1
33
s in3s in3
s in
IUIUQPS
QPS
IUIUQ
IUQ
QQQQ
LPP
LPP
PPP
CBA
每相无功功率为对称三相负载三相电路的视在功率对称三相电路例 4.29 一台三相异步电动机,输出功率为 7.5kW。 接在线电压为 380 V的线路中,功率因数为 0.86,效率为 86%。 试求正常运行时的线电流 。
解 三相异步电动机是对称三相负载,输出功率为
4.15
86.086.03 8 03
7 5 0 0
c o s3
c o s3
1
1
11
U
PI
IUPP 入出则作业,P153页 4.48 4.49 4.50
小 结
1,正弦量的三要素及其表示以正弦电流为例,在确定的参考方向下,它的解析式为其中振幅值 Im值 (有效值 I),角频率 ω(或频率 f及周期 Ｔ ),初相 φ
是决定正弦量的三要素 。 它们分别表示正弦量变化的范围,变化的快慢及其初始状态 。,它也可以用波形图来表示 。 正弦量的有效值相量 相量只体现了三要素的两个要素 。
２,元件约束 (伏安特性 )和互联约束 (ＫＣＬ和ＫＶＬ )的相量式
(1)
)2s i n (2)s i n ()( iim ftItIti
iI?/?
3．复阻抗与复导纳无源二端网络或元件,在电压电流关联参考方向下,二者
....
....
....
CCCCCC
LLLLLL
RRRR
UjBIIjXU
UjBIIjXU
UGIIRU
(2) KCL,0,0,, UI KVL：
或或或
/
.
.
..
..
Z
I
U
Z
UYI
IZU
4,相量法将正弦电路的激励和响应用相量表示,每一个无源的二端网络 (包含无源的二端元件 )用阻抗或导纳表示,那么直流电路的分析计算方法可以类推到正弦交流电路 。 首先要把原来的正弦电路参数的模型用相量模型表示 。 然后选用合适的方法分析计算 。
５,功率
uiiu
U
I
Y
I
U
Z
Y
I
U
ZY
'
.
.
,;,
/
UIQPS
UIUIIUQ
UIUIIUP
Rr
aa
22
s in
c o s
功率因数,感性负载并联电容器可提高功率因数 。 负载获得最大功率的条件是阻抗的共轭匹配和阻抗值的模匹配 。
c o s SP
６,谐振电感线圈与电容器串联和并联组成的谐振电路,固有角频率
LC
1
0
。
串联谐振时,阻抗最小，,;
000 QUUURZ CL
当品质因数,1
00 UUUQ CL,
时 也称为电压谐振。
并联谐振时,网络阻抗最大或接近最大，;20 RQRCLZ
,,1 00 IIQIIQ LCLL 也称为电流谐振。
７,三相正弦电路
(1) 对称三相电源电压
012 0/
12 0/,0/
.....
2
..
CBAA
o
PC
A
o
PB
o
PA
UUUUUU
UUUUU
(2)
Y形连接,三相四线制,有中线,提供两组电压,线电压和相电压 。 线电压比相应的相电压超前 30°,其值是相电压的 倍； 三相三线制,无中线,提供一组电压 。 △ 形连接,
只能是三相三线制,提供一组电压 。 线电压为电源的相电压 。
(3)
Y形连接,对称三相负载接成 Y形,供电电路只需三相三线制； 不对称三相负载接成 Y形,供电电路必须为三相四线制 。
每相负载的相电压对称且为线电压的 。
中线电流,三相负载对称时中线可以省去。
△ 形连接,三相负载接成 △ 形,供电电路只需三相三线制,
每相负载的相电压等于电源的线电压 。 无论负载是否对称,只要线电压对称,每相负载相电压也对称 。 。
3
3
1
CBAN IIII
..., 0,?NI
对于对称三相负载,线电流为相电流的 3 倍,线电流比相应的相电流滞后 30°
(4) 三相电路的功率对于对称三相负载
11
22
11
11
3
s in3s in3
c o s3c o s3
IUQPS
IUIUQ
IUIUP
PP
PP
4.1 正弦量的基本概念
4.2 正弦量的相量表示法
4.3 电容元件和电感元件
4.4 三种元件伏安特性的相量形式
4.5 基尔霍夫定律的相量形式
4.6 RLC串联电路
4.7 RLC并联电路
4.8 用相量法分析正弦交流电路
4.9 正弦交流电路中的功率
4.10 正弦交流电路中的最大功率
4.11 串联谐振
4.13 三相正弦电路小结
4.1 正弦量的基本概念
0
T
t
t?
2
i i
I
m
4.1.1正弦量的三要素以正弦电流为例,对于给定的参考方向,正弦量的一般解析函数式为
i(t)=I m sin(ωt+φ) (4——1)
1.
交流量任一时刻的值称瞬时值 。 瞬时值中的最大值 (指绝对值 )
称为正弦量的振幅值,又称峰值 。 Im,Um分别表示正弦电流,电压的振幅值 。
图 4.1 正弦量的波形图
2.周期和频率正弦量变化一周所需的时间称为周期 。 通常用,T”表示,
单位为秒 (s)。 实用单位有毫秒 (ms),微秒 (μs),纳秒 (ns)。 正弦量每秒钟变化的周数称为频率,用,f”表示,单位为赫兹 (Hz)。
周期和频率互成倒数,即
3,相位,角频率和初相正弦量解析式中的 ωt+φ称为相位角或电工角,简称相位或相角 。 正弦量在不同的瞬间,有着不同的相位,因而有着不同的状态 (包括瞬时值和变化趋势 )。 相位的单位一般为弧度 (rad)。
相位角变化的速度
Tf 1?
dttd )(
称为角频率,其单位为 rad/s或 1/s。 相位变化 2πrad,经历一个周期 T,那么
fT 22
t=0时,相位为 φ,称其为正弦量的初相。此时的瞬时值
i(0)=I m sinφ,称为初始值。 如图 4.2所示。
由式 (4— 2)可见,角频率是一个与频率成正比的常数。
)s in ()2s in ( 2)( tf TIIti mm
i
I
m
0 t
t
t t
tt0 0
I
m I m
i
i
6
i ( t ) = I
m
s i n t
i ( t ) = I
m
s i n ( t + )
6
i ( t ) = I
m
s i n ( t － )
6
6
( a ) ( b ) ( c )
图 4.2 计时起点的选择当 φ=0时,正弦波的零点就是计时起点,如图 4.2(a)所示； 当
φ>0,正弦波零点在计时起点之左,其波形相对于 φ=0 的图 4.4例
4.1图 波形左移 φ角,如图 4.2(b)所示； 当 φ<0,正弦波零点在计时起点之右,其波形相对于 φ=0的波形右移 |φ|角,如图 4.2(c)所示。
例 4.1 图 4.5给出正弦电压 u ab 和正弦电流 iab 的波形 。
(1) 写出 uab 和 iab 的解析式并求出它们在 t=100 ms时的值 。
(2) 写出 iba 的解析式并求出 t=100ms时的值 。
解 由波形可知 uab和 iab 的最大值分别为 300mV和 5 mA,频率都为 1 kHz,角频率为 2000πrad/s,初相分别为 和,,它们的解析式分别为以上确定 φ角正负的零点均指离计时起点最近的那个零点 。
在图 4.3中,确定 φ角的零点是 A点而不是 B点,φ=― 120 ° 而不是
240° 。
i
′
0
AB
t
图 4.3 初相的规定
6
3
4.1.2
1,相位差两个同频率的正弦量
u 1(t)=U 1m sin(ωt+φ1)
u 2(t)=U 2m sin(ωt+φ 2)
mVttmVt iu abab )2 0 0 0s i n (5)(,)2 0 0 0s i n (3 0 0 36
(1) t=100 ms时,u ab,i ab 分别为
m
mV
u
u
ab
ab
33.4s i n5)1.02 0 0 0s i n (5)1.0(
1 5 0s i n3 0 0)1.02 0 0 0s i n (3 0 0)1.0(
33
66
mAttt ii abba )2 0 0 0s i n ()2 0 0 0s i n ()( 32535（ 2）
mAi ba 33.4325 )s in ()1.0(
之间相位之差称为相位差,用 φ或 φ带双下标表示
φ12 =(ωt+φ 1 )―(ωt+ φ2 )= φ1 ― φ2
u(t)=Um sin(ωt+φu )
i(t)=Im sin(ωt+φi )
电压 u与电流 i
φ(或 φ ui)= φu ― φi
当两个同频率正弦量的计时起点改变时,它们之间的初相也随之改变,但二者的相位差却保持不变。
2,相位差的几种情况
3,参考正弦的概念
( a ) ( b ) ( c ) ( d )
t t t t0 0 0 0
i
i
u
u u
u
1
u
2
i
i
2
i
1
iu
i
u
u
i
1
2
1
2
2
图 4.5 相位差的几种情况例 4.2 求两个正弦电流 i 1(t)=― 14.1 sin(ωt― 120° )，
i 2(t)=7.05 cos(ωt― 60° )的相位差 φ12 。
解 把 i 1和 i 2写成标准的解析式,求出二者的初相,再求出相位差 。
)s i n ()s i n ()(
)s i n ()s i n ()(
3005.7906005.7
601.141 801 201.14
000
2
000
1
ttt
ttt
i
i
303060
3060
000
0
2
0
1,
φφφ
φφ
2112
则例 4.3 三个正弦电压 uA(t)=311sin314tV，
uB(t)=311 sin(314t+2π/3) V,uC(t)=311sin(314t― 2π/3) V,若以 uB
为参考正弦量,写出三个正弦电压的解析式 。
解 先求出三个正弦量的相位差,由已知得
3
2
0
3
2
3
2
2
3
4
3
2
3
2
3
2
3
2
0
)(
)(
CA
BC
AB
以 uB为参考正弦量,它们的解析式为
Vtt
Vtt
tVt
u
u
u
C
A
B
)
3
2
314s in (311)(
)
3
2
314s in (311)(
314s in311)(
4.1.3正弦量的有效值交流电的有效值是根据它的热效应确定的 。 如某一交流电流和一直流电流分别通过同一电阻 R,在一个周期 T内所产生的热量相等,那么这个直流电流 I的数值叫做交流电流的有效值 。
由此得出
dtt
dtt
dtt
T
T
T
u
T
U
i
T
I
RiRTI
)(
)(
)(
0
2
0
2
0
22
1
1
所以,交流电流的有效值为同理,交流电压的有效值为对于正弦交流电流
)s in ()( tt Ii m
(4——3)
(4— 4)
代入式 (4——3),它的有效值为
例 4.4 一个正弦电流的初相角为 60°,在 时电流的值为
5 A,试求该电流的有效值 。
解 该正弦电流的解析式为
2
2
1
2
1
1
0
2
0
22
)(2c o s
)(s in
U
U
I
T
I
I
T
I
m
m
T
m
T
m
dtt
dtt
同理 (4— 5)
4T
)s in (
)s in (
)s in ()(
32
5
60
4
5
60
0
0
I
t
I
Ii
m
m
m
tt
由已知得或
A
A
I
I
I
I
m
m
m
07.7
2
10
2
55
6
5
10
21)6/5s in (
)s in (
对应的有效值则作业,P（ 148— 149）页 4.1 4.2 4.3 4.4
4.2 正弦量的相量表示法
4.2.1正弦量的相量表示
1,正弦量的向量表示设某正弦电流为根据欧拉公式可以把复指数 展开成
)s in ()( 2 itt Ii
)(2 itjeI
eImIeIemIemIi
IjIeI
tjtjjtj
ii
tj
ii
i tt
.
)(
)(
222
222 )s i n ()c o s (
上式的虚部恰好是正弦电流 i,即上式中,Im［ ］ 是,取复数虚部,的意思,而
i
tj IIeI i )(.
像这样一个能表示正弦量有效值及初相的复数 就叫做正弦量的相量 。 同样,正弦电压的相量为相量是一个复数,它表示一个正弦量,所以在符号字母上加上一点,以与一般复数相区别 。 特别注意,相量只能表征或代表正弦量而并不等于正弦量 。 二者不能用等号表示相等的关系,
只能用,,符号表示相对应的关系相量也可以用振幅值来定义 。
2,相量图及参考相量在复平面上可用一个矢量表示相量,该矢量称正弦量的相量图 (也简称相量 ),其符号与相量相同,如图 4.6(a)所示 。 画几个同频率正弦量的相量图时,可选择某一相量作为参考相量先画出,
再根据其它正弦量与参考正弦量的相位差画出其它相量 。 参考相量的位置可根据需要,任意选择 。
uUU
.
tUtuUtu
tItiIti
..
..
Im2)()(
Im2)()(
( a ) ( b )
t
t
2
t
1
t 1
t 2
0 ＋ 1
i
0
＋ j
＋ j
＋ 1
i
i
i
2 I
.
0
图 4.6 正弦量的相量图
3,旋转因子及旋转相量在复平面上可用一个矢量表示相量,该矢量称正弦量的相量图 (也简称相量 ),其符号与相量相同,如图 4.6(a)所示 。
画几个同频率正弦量的相量图时,可选择某一相量作为参考相量先画出,再根据其它正弦量与参考正弦量的相位差画出其它相量 。 参考相量的位置可根据需要,任意选择 。
e jωt = /ωt 是一个旋转因子 。 相量 乘以 /ωt 表示相量 m以 ω为角速度沿逆时针方向旋转,t=0时,幅角位于 φ i 处 。
旋转相量在虚轴上的投影 I sin(ωt+φi )为正弦量的瞬时值 。
Im sinφ i 为 i(t)的初始值,如图 4.6(b)所示 。 所以,也可以用旋转相量表示正弦量 。
例 4.5 已知正弦电压 u1(t)=141 sin(ωt+π/3) V,u2(t)=70.5
sin(ωt-π/6) V,写出 u1和 u2的相量,并画出相量图 。
mII,.2?
2
VUu
VUu
3
50
32
5.70
3
1 0 0
32
1 4 1
.
22
.
11
相量图如图 4.7 ＋ 1
U
1
.
U
2
.
6
3
图 4.7 例 4.5图例 4.6 已知两个频率均为 50 Hz的正弦电压,它们的相量分别为 ù1=380 /π/6 V,2=220 /— π/3 V,试求这两个电压的解析式 。
解 ω=2πf=2π× 50=314 rad/s
u 1= U 1 sin(ωt+φ 1 )=380 sin(314t+π/6)V
u 2= U 2 sin(ωt+φ 2 )=220 sin(314t-π/3) V
4.2.2 两个同频率正弦量之和
1,两个同频率正弦量的相量之和设有两个同频率正弦量
2 2
2 2
1.U
2.U
)s i n (2)s i n ()(
)s i n (2)s i n ()(
22122
11111
tUtUtu
tUtUtu
m
m
利用三角函数,可以得出它们之和为同频率的正弦量,即
)s i n (2)()()( 21 tUtututu
可以看出,要求出同频率正弦量之和,关键是求出它的有效值和初相。
可以证明,若 u=u 1+u 2,则有
2,求相量和的步骤
(1) 写出相应的相量,并表示为代数形式 。
(2) 按复数运算法则进行相量相加,求出和的相量。
(3) 作相量图,按照矢量的运算法则求相量和 。
如图 4,8所示 。 图４,9表示多个相量加减的多边形法则 。
其中
2211
221
2
2211
2
2211
c o sc o s
s i ns i na r c t a n
)s i ns i n()c o sc o s(
UU
UU
UUUUU
2
.
1
.,UUU
I
2
.
I
2
.
I
1
.
I
2
.
( a )
I
2
.
I
1
.
－ I
2
.
－ I
2
.
I
1
.
－ I
2
.
I
1
.
( b )
I
1
.
＋
图 4.8 两个相量加减的三角形法则例 4.7 uA(t)=220 sinωtV,uB(t)=220 sin(ωt—120° ) V,求
u A+uB和 uA—uB 。
解 (1) 相量直接求和。
2 2
Vtuu
Vtuu
VjUUuu
VjUUuu
Vj
jUu
VjUu
BA
BA
BA
BA
BA
BA
B
B
A
A
)30( s i n238 0
)60( s i n222 0
6038 0311 033 0
6022 0311 011 0
311 011 0
)12 0s i n (22 0)12 0( c os (22 012 022 0
022 0022 0
0
0
0
..
0
..
000
.
0
.
/
/
/
/
(2) 作相量图求解 。 见图 4.10,根据等边三角形和顶角为
120° 的等腰三角形的性质可以得出上述同样的结果,读者自行分析 。 1 2 0 °
1 2 0 °
1 2 0 °
60°
30°
30°
U
A
.
U
B
.
U
C
.
U
B
.
U
B
.
U
A
.
＋
U
B
.
U
A
.
－
U
B
.
－
图 4.10 例 4.7图
U
1
.
U
2
.
U
3
.
U
2
.
U
.
U
3
.
U
4
.
U
1
.
U
2
.
U
3
.
U
.
－ U
4
.
＋ ＋=
图 4.9 相量加减的多边形法则作业,P99页 （ 2） （ 3）
P148页 4.6
4.3 电容元件和电感元件
4.3.1
1,
电容元件是各种实际电容器的理想化模型,其符号如图 4.11(a)
所示。
电荷量与端电压的比值叫做电容元件的电容，理想电容器的电容为一常数,电荷量 q总是与端电压 u成线性关系,即
i
uC
a
b
＋
－ q
－
＋ q
( a ) ( b )
q /C
u / VO
图 4.11 理想电容的符号和特性
SI中电容的单位为法拉,简称法,符号为 F。 常用单位有,微法
(μF),皮法 (pF)。 式 (4——8)表示的电容元件电荷量与电压之间的约束关系,称为线性电容的库伏特性,它是过坐标原点的一条直线 。 如图 4.11(b)所示 。
2.
对于图 4.11(a),当 u,i取关联参考方向时,结合式 (4——8),有
Cuq? (4— 8)
dtduCdt
Cud
d
dqi )( (4— 9)
当 u,i为非关联参考方向时,有
dtduCi
电容的伏安特性说明,任一瞬间,电容电流的大小与该瞬间电压变化率成正比,而与这一瞬间电压大小无关 。
对式 (4——9)进行积分可求出某一时刻电容的电压值 。 任选初始时刻 t 0。 以后,t时刻的电压为
t
t
t
t
t
t
tt
di
C
utu
di
C
tu
di
C
di
C
di
C
tu
0
0
0
0
)(
1)0()(
)(
1
)(
)(
1
)(
1
)(
1
)(
(4——10)
若取 t 0=0,则
3,电容元件的电场能关联参考方向下,电容吸收的功率
dtduCuiup
电容元件从 u(0)=0 (电场能为零 )增大到 u(t)时,总共吸收的能量,
即 t时刻电容的电场能量 。
)()( 200 21 tt CuC u d upduW tuC (4— 11)
当电容电压由 u减小到零时,释放的电场能量也按上式计算。
动态电路中，电容和外电路进行着电场能和其它能的相互转换，
本身不消耗能量。
例 4.8 (1) 2μF 电容两端的电压由 t=1μs时的 6 V线性增长至
t=5μs时的 50 Ｖ,试求在该时间范围内的电流值及增加的电场能 。
(2) 原来不带电荷的 100 μF的电容器,今予以充电,充电电流为 1 mA,持续时间为 2 s,求电容器充电后的电压 。 假定电压,
电流都为关联参考方向 。
解 (1) 由式 (4— 9)得
2210)15( 650102 66dtduCi
增加的电场能量
J
CuCuC
10464.2
362500102
2
1
2
1
2
1
3
6
2
1
2
2
)(
(2) 由式 (4——11)和已知条件 u(0)=0,求出 2 s末的电压
VdttiCuu 20102101 0 0 1)(1)0()2( 3620
4,电容的串并联
(1) 电容的并联如图 4.12所示 。
CuqCuq
CuqCuq
qqqq
3322
11
321
,
,
CCCC
uCCCCu
321
321 )(
对于线性电容元件有 u
＋
C 1
－
＋ q 1 ＋ q 2 ＋ q 3
C 2 C 3
－
u
＋
＋ q
C
图 4.12 电容的并联当电容器的耐压值符合要求,但容量不够时,可将几个电容 并联 。
(4— 12)
(2) 电容的串联如图 4.13所示
uuuu 321
C
qu
C
qu
C
qu
C
qu
3
3
2
2
1
1,,,
代入电压关系式得
CCCC
q
CCCC
q
321
321
1111
111 )(
则电容串联的等效电容的倒数等于各电容倒数之和 。 电容的串联使总电容值减少 。 每个电容的电压为
(4— 13)
uCCuuCCuuCCu
3
3
2
2
1
1,,
u
＋
C
1
－
＋ q
q
＋
＋ q
C
2
C
3
－
u
＋
C
＋ －
＋－ u
3
＋
－
u
2
图 4.13 电容的串联当电容器的电容量足够而耐压值不够时,可将电容器串联使用,但对小电容分得的电压值大这一点应特别注意 。
例 4.9 电容都为 0.3 μF,耐压值同为 250 V的三个电容器 C 1、
C 2,C 3的连接如图 4.14所示 。 试求等效电容,问端口电压值不能超过多少?
解 C 2,C 3 并联等效电容两个电容的分压值为
uCC CuCCuuCC CuCCu
21
1
3
2
21
2
1
1,
uFCCC 6.03223
uFCC CCC 2.06.03.0 3.03.0
231
231
总的等效电容
C 1小于 C 23,则 u 1＞ u 23,应保证 u 1
不超过其耐压值 250 V。 当 u 1=250 V时,
VuCCu 1 2 52 5 06.0 3.01
23
123
u
＋
C
1
－
C
2 C 3
＋ －
u
1
u
23
＋
－
图 4.14 例 4.9图
4.3.2
1．
电感元件是实际电感线圈的理想化模型。 其符号如图 4.15所示。
Vuuu 375125250231所以端口电压不能超过
u
＋
－
L
i
O
i
u
＋
－
b
a
( a ) ( b )
( c )
t
图 4.15 电感元件的符号和特性如图 4.15(a)所示 。 在 SI中,Φ的单位与 Ψ相同,为韦 (伯 ) 。
磁链与产生它的电流的比值叫做电感元件的电感或自感。
电感元件的电感为一常数,磁链 Ψ总是与产生它的电流 i成线性关系,即在 SI中,电感的单位为亨 (利 ),符号为 H,常用的单位有毫亨 (mH),微亨 (μH)。 式 (4——16)所表示的电感元件磁链与产生它的电流之间的约束关系称为线性电感的韦安特性,是过坐标原点的一条直线 。 如图 4.15(c)所示 。
2,电感元件的伏安特性根据电磁感应定律,感应电压等于磁链的变化率 。 当电压的参考极性与磁通的参考方向符合右手螺旋定则时,可得
Li (4——16)
dtdu
当电感元件中的电流和电压取关联参考方向时,结合式 (4— 16)有电感元件的伏安特性说明,任一瞬间,电感元件端电压的大小与该瞬间电流的变化率成正比,而与该瞬间的电流无关 。 电感元件也称为动态元件,它所在的电路称为动态电路 。 电感对直流起短路作用 。
对式 (4——17)进行积分可求出某一时刻电感的电流值 。 任选初始时刻 t 0后,t时刻的电流为
dtdiLdtd L idt
du (4——17)
当 u,i为非关联参考方向时,有
dtdiLu
t
t
t
t
tt
du
L
ti
du
L
du
L
du
L
ti
0
0
0
)(
1
)(
1
)(
1
)(
1
)(
)(
0
若取 t=0,则
3,电感元件的磁场能关联参考方向下,电感吸收的功率
t duLiti 0 )(1)0()(
dtdiLiuip
电感电流从 i(0)=0增大到 i(t)时,总共吸收的能量,即 t时刻电感的磁场能量
)()( 200 21 tt LidiLidtpW tiL
当电感的电流从某一值减小到零时,释放的磁场能量也可按上式计算。 在动态电路中,电感元件和外电路进行着磁场能与其它能相互转换,本身不消耗能量。
例 4.10 电感元件的电感 L=100 mH,u和 i的参考方向一致,i的波形如图 4.16(a)所示,试求各段时间元件两端的电压 uL,并作出 uL
的波形,计算电感吸收的最大能量 。
( b )
u
＋
－
L
i
0 1 2
10
3 4 5 t / m s
i / m A
u / V
0 1 2 3 4 5 t / m s
－ 1
1
( a )
图 4.16 例 4.10图解 uL与 i所给的参考方向一致,各段感应电 压为
(1) 0～ 1 ms间，
VtiLdtdiLu L 1101 101010100 3
3
3?
(2) 1～ 4 ms 间,电流不变化,得
uL=0
(3) 4～ 5 ms 间，
VtiLdtdiLu L 1101 1010010100 3
3
3
uL的波形如图 4.16(b)所示 。
JLiW mL 1051010101002121 62332m a x )(
作业,P（ 148— 149）
4.9 4.10
4.11 4.12
4.4 三种元件伏安特性的相量形式
4.4.1
1,伏安特性在图 4.19(a)中,设电流为
)s in (2)( utIti
则有
)s i n ()s i n ( 22)( uii tt URIRitu
上式表明,电阻两端电压 u和电流 i 为同频率同相位的正弦量,它们之间关系如下
ui
RIU
(4——21)
φi =0时的 u和 i 的波形如图 4.20所示 。 电阻上电压相量和电流相量的关系为
φi =0时的 u和 i 的波形如图 4.20所示 。 电阻上电压相量和电流相量的关系为
u
＋
－
R
i
a
b
( a )
＋
－
R
a
b
( b )
U
.
u
＝?
i
U
.
I
.
( c )
图 4.19电阻元件的相量模型及相量图
..
.
.
/
/
IRU
R
I
U
I
U
i
u
根据式 (4——22)画出电阻的相量模型如图 4.19(b)所示,相量图如图 4.19(c)所示 。
2,功率
（ 1）瞬间功率关联参考方向下电阻元件吸收的瞬时功率 p=ui,为了计算方便
0t
i
u
u,i
P
p
P
m
=U
m
I
m
P = P
m
= U I
1
2
p
图 4.20电阻元件 i,u,p波形
0i
0
222
)2c o s1(
s ins ins in 2
t
ttt
UI
UIIUp
其波形如图 4.20所示。
又称为有功功率,其单位是瓦 (W)或千瓦 (kW)
例 4.11 一电阻 R=100Ω,通过的电流 i(t)=1.41sin(ωt-30° ) A。
(1) R两端电压 U和 u，
(2) R消耗的功率 P。
解 (1)
（ 3）平均功率平均功率定义为瞬时功率 p在一个周期 T内的平均值,用大写字母 P表示 。 即
R
URIUI
tUITu i d tTp d tTP TTT
2
2
000
2c o s1(111
(4——23)
1
2
41.1
2
II m
Vtt
V
Ritu
RIU
)30s i n ()30s i n ( 00 14141.1100)(
1001100
电压或利用相量关系求解对应的正弦量
Vtttu )30s i n ()30s i n ( 00 1412100)(
VU 100?
(2) R消耗的功率
W
W
RIP
UIP
1001001
1001001
2
或
00
..
00
.
.
30/1 0 030/1 0 0
30/130/
2
41.1
IRU
I
4.4.2
1．
在图 4.21(a)中,设通过电感元件的电流为则有
)s in (2)( itIti
)s i n ()s i n (
)c o s (
222
2)(
ui
i
tt
t
ULI
LIdtdiLtu
上式表明电感两端电压 u和电流 i是同频率的正弦量,电压超前电流 90° 。 用 XL表示 ωL后,电压和电流有效值关系为
)( IXUIXU mLmL
即
90 0
iu
L IXU
u
＋
－
L
i
( a )
＋
－
( b )
U
.
i
U
.
( c )
j X
L
u
图 4.21电感元件的相量模型及相量图
IUIUfLLX M mL 2 (4— 25)
而称为感抗,单位为欧姆。
感抗的倒数
LXB L?11 (4——26)
称为感纳,单位为西门子 (S)。
电感电流相量和电压相量的关系为
IjXU L
即 (4— 27)
由式 (4——27) 画出电感的相量模型如图 4.21(b),相量图如图 4.21(c)
所示 。
L
i
u jX
I
U
I
U
/
/
.
.
2,功率
（ 1）瞬时功率在关联参考方向下,当 φ i =0时,电感吸收的瞬时功率为
tttt
tt
XIUIUI
IUuip
L
2s i n2s i ns i nc o s
s i n)s i n (
22
2212
如图 4.22所示。 最大值为 UI或 I2XL。
电感储存磁场能量
4
T
t0
p i,u
ui
p
4
T
4
T
4
T
－－
＋
＋
图 4.22 电感元件的 i,u,p波形
)2c o s(
s in
12
1
2
1
2
1
2
222
t
t
LI
LILiW mL
（ 2）平均功率磁场能量在最大值 和零之间周期性地变化,总是大于零 。)( 22
21 LILI m
02s i n111 000 dttUITdtuiTdtpTP TTT?
为了衡量电感与外部交换能量的规模,引入无功功率 QL，
XUXIUIQ LLL
22 (4— 28)
例 4.12 流过 0.1 H电感的电流为试求关联参考方向下电感两端的电压 u及无功功率,磁场能量的最大值 。
解 用相量关系求解
)10200s in (215)( 0tti
VjIjXU
I
L
000
..
0
.
1 0 0/3 0 0)1090(/3 0 00/151.02 0 0
10/15
4.4.3
1．伏安特性在图 4.23(a)中,设加在电容两端的电压为
JLIW
VUIQ
Vttu
mL
L
5.2215)2(1.0
2
1
2
1
4 5 0 0153 0 0
)1 0 02 0 0s i n (23 0 0)(
222
m a x
0
无功功率磁场能量的最大值
u
＋
－
C
i
( a )
＋
－
( b )
U
.
i
U
.
I
.
( c )
j X
C
u
I
.
图 4.23 电容元件的相量模型及相量图上式表明电容电流和端电压是同频率的正弦量,电流超前电压 90° 。 用 XC表示 1/ωC后,电流和电压的关系为
)s i n (2)
2
s i n (2
)c o s (2)(
iu
u
tIUtCU
tCU
dt
du
Cti
090
1
ui
C
C
IXU
X
U
C
U
CUI
或 (4——29)
而
m
m
C I
U
I
U
fCCX 2
11 (4——30)
容抗的倒数
CXB
C
C
1 (4— 31)
由式 (4——32) 画出电容元件的相量模型如图 4.23(b)所示,相量图如图 4.23(c)所示 。
2,功率
（ 1） 瞬时功率为称为容纳,单位是西门子 (S),电容电流相量和电压相量的关系为
0
p i,u
u
i
p
t
＋
＋
－－
4
T
4
T
4
T
4
T
图 4.24 电容元件的 u,i,p波形
LL
i
u jXUjX
I
U
I
U,
.
.
/
/
如图 4.24所示 。 最大值为 UI或 I 2XC。
电容储存电场能量
tXI
tUIttUI
tItUuitp
C?
s i n
s i nc oss i n2
)
2
s i n (2s i n2)(
2
)2c o s1(21s i n2121 2222 tCutCUCuW mC
电场能量在最大值 和 0之间周期性地变
（ 2）平均功率
)(21 22 CUCU m
02s in111 000 TTT t d tUITdtuiTdtpTP?
（ 3）无功功率
C
C X
UXIUIQ 22
电容的无功功率的单位与电感的无功功率的单位相同。
例 4.13 流过 0.5 F电容的电流 i(t)= sin(100t－ 30° ) A,试求关联参考方向下,电容的电压 u,无功功率和电场能量的最大值 。
解 用相量关系求解
V
jI
C
jIjXU
I
C
02002
0
...
0
.
120/10230/90/102
30/
5.0100
11
30/1
JCUW
VUIQ
Vttu
mC
C
0 0 0 2.0)02.0()2(5.0
2
1
2
1
02.0102.0
)1 2 01 0 0s i n (202.0)(
222
m a x
0
作业,P149 4.14 4.15
4.5 基尔霍夫定律的相量形式
4.5.1基尔霍夫节点电流定律的相量形式根据正弦量的和差与它们相量和差的对应关系,可以推出：
正弦电路中任一节点,与它相连接的各支路电流的相量代数和为零,即式 (4— 34)就是基尔霍夫节点电流定律的相量形式,简称 KCL
的相量形式 。
4.5.2
同理可以推出正弦电路中,任一闭合回路,各段电压的相量代数和为零,即
0,I (4— 34)
0,U (4— 35)
式 (4——35)就是基尔霍夫回路电压定律的相量形式,简称
KVL的相量形式 。
综上所述,正弦电路的电流,电压的瞬时值关系,相量关系都满足 KCL和 KVL,而有效值的关系一般不满足,要由相量的关系决定 。 因此正弦电路的某些结论不能从直流电路的角度去考虑 。
例 4.14正弦电路中,与某一个节点相连的三个支路电流为
i 1,i 2,i 3。 已知 i 1,i 2流入,i 3流出解 先写出 i1和 i2的相量 (注意,i1的初相应为 60° +90° =150° )
ttitti s i n25)(,)60c o s (210)( 201
求 i 3 。
i 3的相量为 i 3,由 KCL得
)2.1 2 6s i n (226)(
2.1 2 6/2.6566.35566.8
0
0
3
0
2
.
1
.
3
.
3
.
2
.
1
.
tti
jjIII
III
作业,P112页 （ 1）
02.01,1 5 0/5,)566.8(1 5 0/10 IjI
4.6 RLC 串 联 电 路
4.6.1
1,电压三角形
R,L,C串联电路的相量模型如图 4.27(b)所示。电流的相量为参考相量作出相量图,如图 4.28(a)所示,图中设 UL>UC
＋
－
u
i ＋ －
u
R
R
C
L
－ ＋u
C
＋
－
u
L
( a )
＋
－
＋ －R
R
－ ＋
C
＋
－
L
( b )
U
.
I
.
U
.
U
.
U
.
j X
L
j X
C－
图 4.27 RLC串联电路的相量
U
.
CU
.
I
.
RU
.
L
U
.
X
( a )
U
.
( b )
I
.CU
.
L
U
.
RU
.
=
( c )
CU
.
LU
.
U
.
X
图 4.28 RLC串联电路的相量图显然,组成一个直角三角形,称为电压三角形,由电压三角形可得
...,,UUU
XR
2222 )( XRCLR UUUUUU
U也可以写成相量形式,即
,...,)( IZIXXJRUUU CLXR (4— 36)
2,阻抗三角形
/)( ZjXRXXjRZ CL
其中 X=XL—XC称为电抗,|Z| 和 φ分别称为复阻抗的模和阻抗角,
其关系为显然 |Z|,R,X也组成一个直角三角形,称为阻抗三角形,
与电压三角形相似 。 设端口电压电流的相量分别为
R
Xa r c t e n
XRZ
22
(4— 37)
s in
c o s
ZX
ZR
(4— 38)
由上式可得
//
/
/
//
.
.
..
Z
I
U
I
U
I
U
Z
IIUU
iu
i
iu
4.6.2电路的三种性质根据 RLC串联电路的电抗
RLC串联电路有以下三种不同性质：
(1) 当 ωL>1/ωC时,X>0,φ>0,UL>UC。 UX超前电流 90°,
端口电压超前电流；电路呈感性,相量图如图 4.28(a)所示 。
(2) 当 ωL<1/ωC时,X<0,φ<0,UL<UC,Ux滞后电流 90°,
端口电压滞后电流；电路呈容性,相量图如图 4.28(b)所示 。
(3) 当 ωL=1/ωC时,X=0,φ=0,UL=UC。 Z=R。 端口电压与电流同相,电路呈阻性 。 这是一种特殊状态,称为谐振,相量图如图 4.28(c)所示 。
RL串联电路,RC串联电路,LC串联电路,电阻元件,电感
iu
I
UZ
(4— 39)
CLXXX CL
1
元件、电容元件都可以看成 RLC串联电路的特例。
R,L,C的复阻抗 Z分别为 R,jXL－ jXC,φ分别为 0,90°,
90°,
RL串联
RC串联例 4.15 图 4.29(a)所示为 RC串联移相电路,u为输入正弦电压,
以 uC为输出电压 。 已知,C=0.01μF,u的频率为 6000 Hz,有效值为 1 V。 欲使输出电压比输入电压滞后 60°,试问应选配多大的电阻 R?在此情况下,输出电压多大?
解 作出相量图,如图 4.29(b)所示 。 容性电路的阻抗角为负值,根据已知有 ＋
－
Ri
＋ －
＋
－
Cu
( a )
u
R
u
C
CU
.
CU
.
RU
.
U
.
I
.
( b )
图 4.29 例 4.15图
R
XXRjXRZ
R
X
R
XXRjXRZ
R
X
C
CC
C
L
LL
L
a r c t a n,a r c t a n
a r c t a n,a r c t a n
22
22
oC
o
CRR
X
30
1
a r c t a na r c t a n
30
即
k
C
X
R
oo
C
6.44 6 00
3
1
1001.06 0 002
1
30t a n
1
30t a n
6
在此情况下,输出电压
VUTU oC 5.05.0130s i n)(
作业,P115页 （ 1） （ 2） （ 3）
P150页 4.22
4.7 RLC 并 联 电 路
i
C
＋
－
u
L
G
i
G
i
L
i
C
( a )
i
＋
－
G
G L C
( b )
I
.
I
.
I
.
－ j B
L
j B
C
U
.
图 4.33 (a)所示为 R,L,C并联电路。
4.7.1
R,L,C并联电路的相量模型如图 4.33(b)所示,由于是并联电路,电压相同,所以以电压相量为参考相量作出相量图如图
4.34(b)所示 。 图中设 IC>IL。
显然,也组成一个直角三角形,称为电流三角形 。
由电流三角形可得
...,,III
BG
2,导纳三角形其中 B=BC—BL称为电纳,|Y|和 φ′分别称为导纳的模和导纳角 。
其关系为
2222 )( LCGBG IIIIII
I也可以写成相量形式,即
YUUjBGUBBjGIII LC,....,)()(
G
B
BG
a rc ta n'
22
(4— 41)
'
'
sin
c o s
B
G (4— 42)
设端口电流,电压相量分别为
4.7.2
根据 RLC并联电路的电纳
ui
m
m
U
I
U
I
'
(4— 42)
LCBBB LC
1
RLC并联电路有以下三种不同性质。
(1) 当 ωC>1/ωL时,B>0,φ′>0,IC>IL,超前电压 90°,端口电流超前电压 。 电路呈容性,相量图如图 4.34(a)所示 。
BI
.
'
.
..
1
/
/11
/,/
Y
UUU
Y
UUII
ui
u
i
ui
(2) 当 ωC<1/ωL时,B<0,φ′<0,Ｉ Ｃ <IＬ,滞后电压 90°,
端口电流滞后电压 。
(3) 当 ωC=1/ωL时,B=0,φ′=0,IC=IL。 IB=0，
Y=G,I=IG,端口电流与电压同相,电路呈阻性,如图 4.34(c)所示 。 这也是一种特殊情况,称为谐振 。
R,L,C元件,RL并联电路,RC并联电路,LC并联电路都可以看成 RLC并联电路的特例 。
R,L,C三种元件的复导纳分别为 G,－ jBL,jBC,φ′分别为 0,—90°,90° 。
BI
.
G
B
BGjBGY
G
B
G
B
BGjBGY
G
B
L
LL
L
L
LL
L
a r c t a n,a r c t a n
a r c t a n,a r c t a n
22
22
RL并联电路
RC并联电路
4.7.3 复阻抗和导纳的等效互换根据等效概念,在端口电压,电流相同的条件下,复阻抗与导纳相互等效,则串联电路与并联电路也相互等效,其等效互换的关系为 Z=1/Y或 Y=1/Z。
根据上式可以推导出两种等效电路参数间的关系。 对于串联电路,有
jBG
XR
X
j
XR
R
jXRjXR
jXR
jXRZ
Y
jXRZ
2222
))((
11
则其中
2222,XR
XB
XR
RG
是把 R和 X串联电路等效变换为是把 G和 B并联电路等效变换为串联电路时电阻和电抗的计算公式。
并联电路时电导和电纳的计算公式 。 对于并联电路,有
jXR
BG
Bj
BG
G
jBGY
Z
jBGY
2222
11
2222,BG
BX
BG
GR
其中从以上可以看出
BXXBGRRG
1,1,1,1
例 4.16 R,L串联电路图 4.35(a)所示 。 Ｒ ＝５ 0Ω，
Ｌ ＝０,06 mH,ω=10６ rad/s,把它等效为图 (c)所示的 R′、
L′并联电路,试求 Ｒ ′和 L′的大小 。
解 图 4.35(a)所示电路的等效并联电路如图 4.35(c)所示,对于图 4.35(a)所示电路,有
＋
－
u
R
i
L
Z
( a )
＋
－
Y′
( b )
＋
－
u L′
( c )
G R′－ jB
L
i
U
.
I
.
图 4.35 例 4.16图
1.786050
601006.010 36
jjXRZ
LX
L
L?
故有
SjZY )0 0 9 8.00 0 8 2.0(2.500 1 2 8.0
2.501.78
11 0
0
对于图 4.35(b)所示电路,有 Y′=G+jBL,等效时应有 Y=Y′的关系，
m
B
L
G
R
S
L
BSG
L
L
1 0 2.0
1
,1 2 2
1
0 0 9 8.0
1
,0 0 8 2.0
则作业,P150页 4.25 4.26 4.27
4.8 用相量法分析正弦交流电路相量法一般步骤为：
(1) 作出相量模型图
(2) 运用直流线性电路中所用的定律,定理,分析方法进行计算 。 直接计算的结果就是正弦量的相量值 。
(3) 根据需要,写出正弦量的解析式或计算出其它量 。
4.8.1 复阻抗混联电路的分析计算例 4.17 电路如图 4.40(a)所示,uS(t)=40 sin3000t V,求 i,iC,iL。
CL
i
L
i
C
＋
－
u
S H
3
1
F
6
1
( a )
L C
＋
－
S
( b )
b b
U
.
j L j C
1
I
.
I
.
图 4.40 例４,17图解 写出已知正弦电压的相量作相量模型,如图 4.40(b)所示 。 其中,电感元件和电容元件的复阻抗分别为
VU S 0,0/40?
k
j
j
jj
jj
j
j
jj
jj
ZZ
kjj
Cj
kjjLj
ab
0
6
37/5.2
5.12
2
31
5.1
)11)(11(
)21)(12(
5.1
11
12
5.1
211
)21(1
5.15.1
2
10
6
1
3 0 0 0
11
1
3
1
3 0 0 0
....
000
.
0
..
...
2
13
11
21
211
21
98/3.1137/161 35/7 07.0
1 35/7 07.0
2
11
2
)11)(1(
11
1
211
1
I
j
I
j
j
I
jj
j
I
m
II
j
I
jj
I
j
j
I
jj
j
I
L
C
...
0
0
0
.
11
1
211
1
37/16
37/5.2
0/40
I
j
j
I
jj
j
I
m
Z
U
C
S
由各相量写出对应的正弦量
mtti
mtti
mtti
L
C
)3.453 0 0 0s in (23.25)(
)983 0 0 0s in (23.11)(
)373 0 0 0s in (216)(
0
0
0
例 4.19 图 4.42(a)所示为电子电路中常用的 RC选频网络,端口正弦电压 u的频率可以调节变化 。 计算输出电压 u 2与端口电压 u
同相时 u的频率 ω0,并计算 U 2/U。
CR
＋
－
u
＋ u 1 －
R
＋
－
u
2
( a )
＋
－
1U
.
Z
2
Z
1
＋
＋
－
－
2U
.
U
.
( b )
C
图 4.42 例 4.19 图解 RC串联部分和并联部分的复阻抗分别用 Ｚ １ 和 Ｚ ２ 表示,
且
Cj
RCj
Cj
RZ
11
1
原电路的相量模型为 Ｚ 1,Ｚ 2的串联,如图 4.42(b),由分压关系得
RCj
R
Cj
R
Cj
R
Z
11
1
2
.
21
.
21
.
2 /1
1 U
ZZUZZ
ZU
由题意知,与 同相时,Im,而.
2
,UU 0
2
1ZZ
RC
CRjRC
RC
RCjCR
j
RCj
RCjRCj
Z
Z
)1(2
21
)1)(1(
222
222
2
1
4.8.2
例 4.20图 4.43所示电路中,
求各支路的电流
01222CR?那么
..
2
21
.
.
2
0
0
2
1
3
1
3
1
/1
1
2
2
UU
ZZU
U
RC
RC
Z
Z
则 且为最大值。UU
312?
5,2,5,90/100,0/100 0,20,1 LCSS XXRVUVU
＋
－
＋
－
U
S1
.
j X
L
－ jX
C
R U
S2
.
I
1
.
I
2
.
I
3
.
a
b
I
a
.
I
b
.
图 4.43 例 4.22 图解 各支路电流?１,?２,?３ 和网孔电流 a,b的参考方向如图中所示,网孔方程为
a
ba
ba
I
jIjI
IIj
.
..
..
100)55(5
1005)25(
4.8.3
例 4.21 用代文宁定理计算例 4.20中 R支路的电流? 3。
解 先将图 4.43 所示的电路改画为图 4.44(a) 所示的电路,由 R
两端向左看进去,是一个有源二端网络 。 先求其开路电压
－ j X
C j X L
I
3
.
a
b
R＋
－
U
S1
.
＋
－
U
S2
.
( a )
R
＋
－
U
OC
.
Z
i
I
3
.
a
b
( b )
图 4.44 例 4.21图
V
j
j
jj
j
j
j
YY
YUYU
U
SS
OC
0
0
0
21
2
2
.
1
1
.
.
8.21/1.179
90/3.0
2.68/9.53
3.0
5020
52
)
5
(100
2
100
再求输入复阻抗
0
0
00
.
.
3
8.11/9.29
6.33/6
8.21/7.179
33.35
8.21/179
3.33
3
10
25
)2(5
)2/ / (5
jRZ
U
I
j
jjj
jj
jjZ
i
OC
i
计算电流? 3的等效电路如图 4.44(b)所示，
4.8.4
作相量图时,先确定参考相量 。 对并联的电路,可以电压为参考相量； 对串联电路,可以电流为参考相量 。
例 4.22 图 4.45(a)所示电路的相量模型中,IL=I=10 A，
U 1=U 2=200 V,求 XC。 － j X C
j X
L
I
L
.
R
45°
－
U
1
.
U
2
.
( a )
I
.
I
C
.
＋ －
＋
－
U
C
.
U
2
.
U
1
.
I
L
.
I
C
.
I
.
U
2
.
U
C
.
45°
( b )
＋
图 4.45 例 4.22 图解 由相量图可知
20
210
2200
22002210 1
22
C
C
C
CLC
I
U
X
VUUIII
而例 4.23 图 4.46(a)所示的并联复阻抗电路中,U=20 V，
Z 1=3+j4 Ω。 开关 S合上前后 I 的有效值不变,开关合上后的 与 同相 。 试求 Z 2。 ＋
－
I
.
U
.
Z
2
I
1
.
I
2
.
Z
1
S
( a ) ( b )
I
2
.
I
1
.
I
.
I
2
.
I
1
.
53°
2
图 4.46 例 4.23 图解 根据题中所给条件,以电压 为参考相量,如图 4.46(b)
所示 。 由 Z 1=3+j4Ω可知,负载 Z 1为感性,滞后,
φ1 =arctan（ 4/3） =53° 。 由此确定出?1的位置 。 S合上前,后,
|? | =|?1|,和 同相,且?=?1+?2,所以?１,?２ 及? 组成一个等腰三角形,两个底角为 (180° — 53° )/2=63.5° 。 那么,复阻抗 Z 2
的阻抗角 φ 2 =— 63.5°
.U
.U
55.25.63/61.5/
61.5
57.3
20
57.344 6.085.63c o s2
4
43
20
222
2
2
12
22
1
1
jZZ
I
U
Z
II
Z
U
II
o
o
由相量图可知则而作业,P（ 150— 151）页 4.23 4.30 4.31 4.32
4.9 正弦交流电路中的功率
4.9.1
1.
对于图 4.49(a)所示的无源二端网络,定义出关联参考方向下的复阻抗为
ra UUIjXIRIjXRIZU
jXRZ
.......
)(
则相量图如图 4.49(b)所示 。 与 同相的 a叫做电压的有功分量,
其模 Ua=U cosφ就是二端网络等效电阻 R上的电压,它与电流的乘积
UaI=UI cosφ =P就是网络吸收的有功功率 。 另一个与 相差 90° 的叫做电压的无功分量； 其模 Ur=U sinφ就是网络的等效电抗 X上的电压,
它与电流的乘积 UrI=UI sinφ就是网络吸收的无功功率 。
.U.I
P
i
I
.
u
( a )
U
.
U
r
.
( b )
U
a
.
I
.
＋
－
R
j X
＋
－
－
＋
U
.
U
r
.
U
a
.
( c )
( d )
U
.
I
.
r
′
I
a
.
I
.
＋
－
G
j B
U
.
I
r
.
( e )
I
a
.
I
.
图 4.49 电压电流相量的分解
2.
图 4.49(a)所示的无源网络,还可定义出关联参考方向下的导纳为
ra IIUjBUGUjBGUYI
jBGY
......,)(
则相量图如图 4.49(d)所示。
与 同相的 叫做电流的有功分量,它就是流经二端网络等效电导的电流,其模为 Ia=I cosφ′,它与电压的乘积
UIa= UIcosφ′ 就是网络吸收的有功功率 。 另一个与 相差 90°
的 叫做电流的无功分量,是流经网络等效电纳 B的电流,其模与电压的乘积 UIr= UI sinφ′=Q 就是网络吸收的无功功率 。
4.9.2有功功率 无功功率由 4.9.1节的分析可知,二端网络端口电压,电流有效值分别为 U,I,关联参考方向下相位差为 φ时,吸收的有功功率,即平均功率为
.U
aI
.
rI
.
s in
c os
UIQ
UIP
吸收的无功功率,即交换能量的最大速率
(4— 44)
(4— 45)
φ值有正有负,所以 Ｑ 是可正可负的代数量。 在电压、
电流关联考方向下,按式 (4——45) 计算,感性的无源二端网络吸收的无功功率为正值 。 容性的无源二端网络吸收的无功率为负值 。
正弦电路中的平均功率一般不等于电压,电流有效值之积 。
这个乘积 UI表面上看起来虽然具有功率的形式,但它既不代表有功功率,也不代表无功功率 。 我们把它称为网络的视在功率,
即
22 QPUIS (4— 46)
S表示在电压 U和电流 I作用下,电源可能提供的最大功率 。 为了与平均功率相区别,它的单位不用瓦,而用伏 ·安 (V·A),常用的单位还有千伏 ·安 (kV·A)。 式 (4——46)中的 P,Q,S可组成一个直角三角形,它与电压三角形相似称其为功率三角形,如图 4.50
所示 。
I
.
U
.
U
L
.
U
R
.
S
Q
图 4.50 功率三角形
4.9.3
1,功率因数的定义式 (4——44)中决定有功功率大小的参数 cosφ称功率因数,用 λ表示,其定义为
S
P c o s (4— 47)
功率因数的大小取决于电压与电流的相位差,故把 φ角也称为功率因数角 。
2,功率因数的意义功率因数是电力系统很重要的经济指标。 它关系到电源设备能否充分利用。 为提高电源设备的利用率,减小线路压降及功率损耗,应设法提高功率因数。
3,提高功率因数的方法提高感性负载功率因数的常用方法之一是在其两端并联电容器 。 感性负载并联电容器后,它们之间相互补偿,进行一部分能量交换,减少了电源和负载间的能量交换,
感性负载提高功率因数的原理可用图 4.51来说明。
I
.
I
1
.
＋
－
I
C
.
U
.
I
C
.
I
C
.
1
2
U
.
I
.
I
1
.
图 4.51 提高功率因数的原理作业,P（ 152— 153）
4.41 4.42 4.43
4.10 正弦交流电路中的最大功率以如图 4.54 所示的电路相量模型为例,分析在 US,ZS给定的条件下,负载 ZL获得最大功率的条件 。 其中
LLL jXRZ
由图可知,电路中电流相量为
)()(
..
.
LSLS
S
LS
S
XXjRR
U
ZZ
UI
电流的有效值为
22 )()(
LSLS
S
XXjRR
UI
负载吸收的功率
Z
S
Z
L
＋
－
U
S
.
I
.
图 4.54
交流电源负载获得最大功率的条件与其调节参数的方式有关,下面分两种情况进行讨论。
1,负载的电阻和电抗均可调节从式 (4——48)可见,若 RL保持不变,只改变 XL,当 XS+XL=0
时,即 XL=－ XS,PL可以获得最大值,这时
22
2
2
)()( LSLS
LS
LL XXjRR
RURIP
(4— 48)
2
2
)( LS
LS
L RR
RUP
再改变 RL,使 P L获得最大值的条件是
0?
L
L
dR
dP
即
0)( )(2)( 4
2
2?
LS
LSLLS
S
L
L
RR
RRRRRU
dP
dP
得 RL=RS,因此,负载获得最大功率的条件为故 0)(2)( 2
LSLLS RRRRR
SL
SL
RR
XX
SL RZ即负载的阻抗与电源的内阻抗为共轭复数的这种关系称为共轭匹配 。 此时最大功率为
S
S
R
UP
4
2
ma x?
(4— 49)
(4— 50)
2．负载为纯电阻此时,ZL=RL,RL可变化 。 这时式 (4——48)中的 XL=0,即
L
LS
SL R
XRR
UP
2
5
2
2
)(
(4— 51)
PL为最大值的条件是
0?
L
L
dR
dP
例 4.24 在图 4.55所示的正弦电路中,R和 L为损耗电阻和电感 。 实为电源内阻参数 。 已知,R=5 Ω，
L=50μH。 RL=5Ω,试求其获得的功率 。 当 RL为多大时,能获得最大功率?最大功率等于多少?
即
0)(
)()(
222
22
2?
SLS
LLSSLS
S
L
L
XRR
RRRXRRU
dR
dP
222
22 )(2)(
SSL
LLSSLS
XRR
RRRXRR
SSSL ZXRR 22
(4— 52)
)c o s1(2)/1(2
22
m a x
SS
S
SSS
S
R Z
U
ZRZ
UP
(4— 53)
tVtu s 510s in210)(
L
R
L
＋－
R
U
S
图 4.55 例 4.24 图解 电源内阻抗为
WRIP
jjRZ
U
I
VU
j
jjXRZ
LL
o
o
o
o
LS
S
o
o
SS
4589.0
6.26/89.0
6.26/8.11
0/10
510
10
555
0/10
0/10
45/2555
1050105
22
.
.
.
65
设电压源的相量为电路中的电流为负载获得的功率为
22 LSL XRZR当 时,模匹配,能获得最大功率,即
W
Z
U
P
WRIP
jjRZ
U
I
R
o
SS
S
R
LR
o
o
oo
LS
L
15.4
)45c o s1(252
10 0
)c o s1(2
15.407.776 6.0
5.22/76 6.0
5.22/06.13
0/10
57.12
0/10
07.755
0/10
07.755
22
m a x
22
m a x
2
.
.
22
作业,P152页 4.40
P131页 （ 2）
4.11 串联谐振
4.11.1 串联谐振的条件图 4.59
)1( CLjRZ
由谐振的一般条件可得出串联谐振条件是
LCCL
11
jL
＋
－
＋
－
U
.
R
＋ － －＋I
.
U
C
.
－ j
C
1
图 4.59 RLC串联电路即当电路 L,C一定时,有
LC
ff
LC
2
1
1
0
0
(4— 54)或
ω0和 f 0称为固有角频率
4.11.2
1,电路的阻抗最小由于谐振时,X=0,所以网络的复阻抗为一实数,即
RXXRZZ CL 2200 )(
2.
串联谐振时,网络的感抗和容抗相等,为
CLLLCLL 11
0
0
ρ只与网络的 L,C有关,叫做特性阻抗,单位为 (Ω)。
串联谐振时电感电压和电容电压的有效值相等,为
URIUU CL 000
与 反相而相互,抵消,,所以网络的端口电压就等于电阻电压,即
.
0
.
0 CL UU
Q叫做网络的品质因数 (与无功功率 Q不要混淆 ),只和网络 R、
L,C的参数有关 。 在电子工程中 Q值一般在 10~500之间 。 由于
Q?1时,U L0 =U C0 =QU?U。 所以把串联谐振又叫电压谐振 。
例 4.25 串联谐振电路中,U=25 mV,R=5 Ω,L=4 mH，
C=160 pF。
(1) 求电路的 f 0,I 0,ρ,Q和 U C0 。
(2) 当端口电压不变,频率变化 10%时,求电路中的电流和电压 。
解 (1) 谐振频率
Q
C
L
RCRR
L
R
RIUIRUU R
11
,
0
0
00
...
k H zLCf 2 0 0101 6 01042 12 1 1230
(2) 当端口电压频率增大 10%时，
5 0 0 0
101 6 0
1041
5
25
12
3
0
0
0
C
L
C
L
m
R
U
I
VmVQUUU
R
Q
CL 5.22 5 0 0251 0 0
1 0 0
50
5 0 0 0
00
端口电流特性阻抗品质因数
1 0 0 0)4 5 0 05 5 0 0(50)(
4 5 2 3
101 6 0102 2 02
1
2
1
5 5 2 61042 2 01022
2 2 0)1.01(
2222
123
33
CL
C
L
Q
XXRZ
fL
X
fLX
k H zff
感抗容抗阻抗的模可见,激励电压频率偏离谐振频率少许,端口电流,电容电压会迅速衰减。
4.11.3
1．
RLC串联电路,它的阻抗
mVIXU
m
Z
UI
CC 11 302 5.045 23
02 5.0
10 00
25
电流电容电压
22 )1(
)
1
(
C
LR
jXR
C
LjRZ
它的幅频特性和相频特性分别为
R
X
C
LRZ a r c t a n)1()( 22
相应的幅频特性曲线和相频特性曲线如图 4.60 所示。
R
CL /1a r c t a n)(
( a ) ( b )
0
| Z |
0 0
2
2
－
图 4.60 串联谐振的频率特性曲线
2．
电流的频率特性曲线又称电流谐振曲线,如图 4.61 所示
0? 0?
I
0
I
1
2
图 4.61 电流的谐振曲线两个截止角频率的差值定义为电路的通频带,即
2
1
)
1
(
1
1
1
)
1
(
1
1)
1
(
1
1)
1
(
2
2
2
2
0
2
2
22
12
C
L
R
I
C
L
R
I
C
L
R
R
U
C
LR
U
I
B
SS
W
(4——55)
当
011 2 LCLRRCL时，可得 或
R
R
CL
R
LL
R
B
LCL
R
L
R
W
00
0
0
12
2
/
1
)
2
(
2
由上式解出由于 ω必须为正值,因此
(4— 56)
Q还能量度电路的选择性,Q越大幅频特性曲线越尖锐,选择性越好,但通频带过窄,所以 Q值不是越大越好,要取得合适,二者要兼顾 。
3,通用谐振曲线将式 (4— 55)可写成
RBQ W
0
12
00?
品质因数为 (4— 57)
20
0
0
20
0
2
0
2
0
0
0
)(1
1
)(1
)(1
Q
I
I
Q
I
R
R
U
I
S
(4— 58)
以 为自变量,以 为因变量,以 Q为参变量做的谐振曲线叫通用谐振曲线,见图 4.62。 由图可见,较大的 Q值对应较尖锐的谐振曲线,因此 Q越大,选择性越好 。
0?
0I
I
0,9 5
I / I
0
Q= 50
Q= 100
Q= 200
w
0
w
10,9 6 0,9 7 0,9 8 0,9 9 1,0 1 1,0 2 1,0 3 1,0 4 1,0 5
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
1
图 4.62 通用谐振曲线作业,P153页
4.44
4.12 并联谐振本节仅讨论实用中最常见的电感线圈与电容器并联的谐振电路 。
其相量模型如图 4.63(a)所示 。 线圈的品质因数 Ｑ Ｌ ＝ ω0Ｌ /Ｒ 。U
A
.
A
X
Z
U
AB
.
A
U
CA
.
B
C
C
U
B C
.
Y
＋
－U
C
.
－
＋
U
B
.
B
( a )
＋－
( b )
U
B C
.
U
AB
.
U
B
.
U
A
.
U
CA
.
U
C
.
图 4.63 并联谐振电路
4.12.1
由图 4.63(a)可知,电路的导纳为如果,即,ω0为实根 。 所以只有在 的情况下,网络才可通过调节激励的频率达到谐振 。
4.12.2并联谐振的特点
1．
并联谐振时,网络的导纳为实数,即
2
2
0
22
2222
1
)(
)()(
1
L
R
LC
LR
L
C
LR
L
Cj
LR
R
Cj
LjR
Y
(4— 59)
(4— 60)
LCL
R 1
2
2?
C
LR?
C
LR?
由于在电子工程实际中总能满足 Q?1,ω0很高,ω且 在 ω0
附近变化，故有 ωL?R，所以 Y0 的实际数值可认为很小，而且 Q的值越大,Y0 越小。因此，并联谐振时，网络的阻抗最大或接近最小。
2
0
20 )( LR
RY
(4— 61)
RQRRCLZLRCY 2200
(4— 62)
Z 0为谐振时网络的阻抗。
2．支路的电流可能远远大于端口电流由式 (4— 62)可计算出端口电压为 U时,端口谐振电流
QLI
R
L
III
U
L
RC
U
LR
R
UYI
CL
0
0
0
2
0
200
)(t a n
)(
(4— 63)
(4——64)
而两支路的电流例 4.26 R=10 Ω,L=100 mH的线圈和 C=100 pF的电容器并联组成谐振电路 。 信号源为正弦电流源 iS,有效值为 1 μA。 试求谐振时的角频率及阻抗,端口电压,线 圈电流,电容器电流,
谐振时回路吸收的功率 。
解 谐振角频率
sr ad
L
R
LC
/10101010
)101 00(
10
101 00101 00
11
7141014
26
2
262
2
0
谐振时的阻抗
100
10
1010010
1.01010
10
1010010
10100
67
0
65
0
5
12
6
0
R
L
Q
VIZU
RC
L
Z
L
S
谐振时端口电压线圈的品质因数谐振时,线圈和电容器的电流作业,P153页 4.45
uWWZIP
uWWRIP
uIQII
S
L
SLCL
1.01010)10(
1.01010)10(
10 01010 0
7524
0
2
7242
6
谐振时回路吸收的功率或
4.13 三相正弦电路
4.13.1对称三相正弦电压三相正弦电压源是三相电路中最基本的组成部分,电力系统中,就是三相交流发电机的三相绕组,如图 4.67 所示 。 它的解析式为
)1 2 0s in (2)(
)1 2 0s in (2)(
s in2)(
o
PC
o
PB
PA
tUtu
tUtu
tUtu
(4— 65)
式中 Up为相电压的有效值 。 它们的波形如图 4.68(a)所示 。
对应的相量为
PC
PB
PA
UU
UU
UU
.
.
.
相量图如图 4.68(b)所示。 式中 α是工程上为方便而引入的单位相量算子。
＋
－
＋
－
＋
－
U
A
.
U
B
.
U
C
.
A B C
X Y Z
图 4.67 三相正弦电压源
o
PC
A
o
PB
o
PA
UU
UUU
UU
120/
120/
0/
.
.
2
.
.
相量图如图 4.68(b)所示。 式中 α是工程上为方便而引入的单位相量算子。
2
3
2
1120/ jo
(4——65)
U
C
.
U
A
.
U
B
.
( b )
U
C
.
U
A
.
U
B
.
( c )
0 t
t
T
u
C
u
B
u
A
u
T
3
2 T
3
( a )
图 4.68 对称三相电压的波形及相量图在波形图上,同一时刻三相电压的瞬时值代数和为零，
0 CBA uuu由式 (4— 67)还可得出相量的关系
(4——67)
PCBA UaaUUU )1( 2
.., (4— 68)
对称三相电压的相量图可画成图 4.68(c)所示的等边三角形。
4.13.2
１,三相电源的 Y形连接方式图 4.69(a)是三相电源的 Y形连接方式 。
...
...
...
ACCA
CBBC
BAAB
UUU
UUU
UUU
(４ ——69)
把式 (４ ——66)所表示的相电压代入式 (4——69)得
o
pCA
o
pBC
o
pp
o
p
o
pAB
UUUU
UUjUUU
1 5 0/3,90/3
30/3)
2
3
2
3
(1 2 0/0/
..
.
同理可得相量图如图 4.69(b)所示。
三相电源的Ｙ形连接供电时,有三相四线制和三相三线制 。
＋
－
U
A
.
A
X Z
U
AB
.
N
A
U
CA
.
B
C
C U
B C
.
Y
＋
－U
C
.
－
＋
U
B
.
B
( a ) ( b )
30°
U
BC
.
U
B
.
U
A
.
U
C
.
U
C A
.
30°
30°
－ U
B
.
－ U
C
.
U
AB
.
－ U
A
.
U
AB
.
U
CA
.
U
BC
.
U
A
.
U
C
.
U
B
.
图 4.69 三相电源的 Y形连接
２,三相电源的 △
将三个电压源的首,末端顺次序相连,再从三个连接点引出三根端线Ａ,Ｂ,Ｃ 。 这样就构成 △ 形连接,如图４,70(a)所示 。
U
A
.
A
X
Z
U
AB
.
A
U
CA
.
B
C
C
U
B C
.
Y
＋
－U
C
.
－
＋
U
B
.
B
( a )
＋－
( b )
U
B C
.
U
AB
.
U
B
.
U
A
.
U
CA
.
U
C
.
图 ４,70 三相电源的△形连接
4.13.3 三相负载的连接
１,负载的Ｙ形连接对于不对称的三相负载,供电系统为三相四线制 。对称三相负载为三相三线制。
1
2
0
°
1 2
0 °
1
2
0
°
＋
－ －
＋
＋
－
Z
A
A
Z
BZ C
B
C
N
I
C
.
I
N
.
I
A
.
I
B
.
U
A
.
U
B
.
U
C
.
( a )
I
A
.
U
A
.
I
C
.
I
B
.
U
C
.
U
B
.
( b )
N ′
图 4.71 三相负载的Ｙ形连接每相负载的电流称为相电流,有效值用Ｉ P表示,三相电流分别为
C
C
C
B
B
B
A
A
A Z
UI
Z
UI
Z
UI
.
.
.
.
.
.
,,
每个端线的电流称为线电流,有效值用 It 表示 。 相量图如图
4.71(b)所示 。 线电流与相应的相电流相等 。 所以,负载为Ｙ形连接时,线电流和相电流表示为不对称三相负载,线电流不对称,则
.,,..,CBA III
0..., CBAN IIII (４ — 70)
不对称三相负载的相电压对称,是因为中线的作用。 否则，
相电压就不对称。
2,三相负载的 △ 形连接三相负载 △ 形连接时,各相首尾端依次相联,三个连接点分别与电源的端线相连接 。 要求供电系统为三相三线制,如图
4.72所示。三相负载无论对称与否,相电压一般总是对称的。
每相负载的电流,即相电流,用 iab,ibc,ica表示,它们的相量
,,,.
.
..
.
..
.
.
CCA
C
CA
CABBC
B
BC
BCAAB
A
AB
AB YUZ
UIYU
Z
UIYU
Z
UI
各线电流的相量为
,,,........,BCCACABBCBCAABA IIIIIIIII
根据 KCL,有
ZZZZ
III
CBA
CBA
0
...
对于对称三相负载负载的相电流
YUZUI ABABAB,
.
,
它们是对称的,其线电流也是对称的,其向量图如图 4.73
所示。
PII 31?
I
A
.
I
B
.
I
C
.
U
AB
.
U
C A
.
U
BC
.
I
C A
.
I
BC
.
I
AB
.
30°
30°
30°
－ I
AB
.
－ I
BC
.
－ I
CA
.
图 4.73 △ 形连接时电流的相量图
o
ABCA
CA
CA
o
ABBC
BC
BC
AB
AB
AB
IYU
Z
U
I
IYU
Z
U
I
YU
Z
U
I
120/
120/
..
.
.
..
.
.
.
.
.
例 4.27 Y形连接的三相负载接到线电压为 380V的三相四线制供电线路上 。 试求：
(1)每相负载的阻抗 ZA=ZB=ZC=(17.32+j10)Ω时的各相电流和中线电流；
(2) ZA=ZB=(17.32+j10)Ω不变,Ｚ C改为 Z ′C =20Ω时的各相电流和中线电流 。
解 (1) 每相负载的电压
VUVU
V
U
U
oo
P
1 20/2 20,1 20/2 20
2 20
3
3 80
3
..
设,则VU oA 0/220,?
o
o
o
C
C
C
o
o
o
B
B
B
o
o
oo
A
A
A
Z
U
I
Z
U
I
jZ
U
I
90/11
30/20
1 20/2 20
1 50/11
30/20
1 20/2 20
30/11
30/20
0/2 20
1032.17
0/2 20
.
.
.
.
.
.
各相电流中线电流
0)90/1 50/30(/11...,oooCBAN IIII
(2) 三相负载不对称,但由于有中线,各相电压仍对称,保持不变,A,B不变,Ｃ相电流及中线电流变为相量图如图 4.74(a)所示。
I
A
.
I
B
.
I
C
.
I
A
.I
B
.
I′
.
C
( a ) ( b )
I
B
.
U
B
.
I
C
.
U
A
.
U
C
.
U
B
.
U
A
.
U
C
.
I
C
.
I′
.
N
I
B
.
图 4.74 例 4.27图
o
ooo
CBAN
o
o
N
c
c
IIII
I
U
I
165/694.5
120/11150/1130/11
120/11
20
120/220
...'.
'.
.
'.
相量图如图 4.74(b)所示。
例４,28 将上例中的负载改为 △ 形连接,接到同样的电源线上,三相三线制 。 试求：
(1) 负载对称时各相电流和线电流；
(2) Ｃ相负载断开后的各相电流和各线电流 。
解 (1) 仍以 为参考相量,则各线电压即各负载的相电压为
VUU
VUU
VUU
oo
CCA
oo
BBC
ooo
AAB
150/38030/3
90/38030/3
30/38030/220330/3
..
..
..
VU oA 0/220,?
各相电流为
19
30/20
30/3 8 0
.
.
o
o
A
AB
AB
Z
U
I
o
AB
C
CA
CA
o
AB
B
BC
BC
I
Z
U
I
I
Z
U
I
1 2 0/19
1 2 0/
.
.
.
.
2
.
.
根据负载对称时线电流与相电流的关系,各线电流为
o
A
o
CAC
o
A
o
BCB
ooo
ABA
III
III
II
90/3330/3
1 50/3330/3
30/3330/19330/3
...
.
2
..
..
相量图如图 4.75(a)所示
(2) CA相断,各相负载电压不变 (因为未计端线阻抗 ),所以? AB,? BC 不变,从而?B 不变 。 因为 所以另两个线电流变为
0',?CAI
相量图如图 4.75(b)所示 。
从这两个例子可以看出,线电压不变时,对称负载由Ｙ形连接改为 △ 形连接后负载的相电压和相电流增加到 Y形连接时的倍,而线电流增加到 Y形连接的 倍 。
oo
ABBCCAC
ABCAABA
IIII
IIII
60/191 2 0/19
19
..'.'.
.'..'.
I
B
.
I
A
.
I
C
.
U
B
.
U
A
.
U
C
.
I
C A
.
I
AB
.
30°
－ I
AB
.
－ I
BC
.
－ I
CA
.
I
B
.
－ I
AB
.
U
AB
.
U
C A
.
U
BC
.
I
BC
,U C
.
U
A
.
U
B
.
U
C A
.
I
BC
.
U
BC
.
U
AB
.
－ I
BC
.
I
AB
.
30°
30°
I
C
.
I
A
.
＝
＝
( a ) ( b )
图 4.75 例 4.28图
3 333
4.13.4 三相电路的功率三相电路中,三相负载的有功功率等于各相负载有功功率之和。
c os33
c os
PP
PPP
CBA
IUPP
IUP
PPPP
湘每相负载的功率当三相负载对称时,每相功率相同,则
(4— 71)
对于 Y形连接，
11,3 II
UU
PP
代人式 (4——73),得
c o s3c o s33 1111 IUUIP
(4— 72)
对于△形连接，
31,1
IIUU
PP
代入式 (4— 71)也得出式
(4— 72)所表示的结果。
三相电路总的无功功率为各相无功功率之和
1
22
22
1
33
s in3s in3
s in
IUIUQPS
QPS
IUIUQ
IUQ
QQQQ
LPP
LPP
PPP
CBA
每相无功功率为对称三相负载三相电路的视在功率对称三相电路例 4.29 一台三相异步电动机,输出功率为 7.5kW。 接在线电压为 380 V的线路中,功率因数为 0.86,效率为 86%。 试求正常运行时的线电流 。
解 三相异步电动机是对称三相负载,输出功率为
4.15
86.086.03 8 03
7 5 0 0
c o s3
c o s3
1
1
11
U
PI
IUPP 入出则作业,P153页 4.48 4.49 4.50
小 结
1,正弦量的三要素及其表示以正弦电流为例,在确定的参考方向下,它的解析式为其中振幅值 Im值 (有效值 I),角频率 ω(或频率 f及周期 Ｔ ),初相 φ
是决定正弦量的三要素 。 它们分别表示正弦量变化的范围,变化的快慢及其初始状态 。,它也可以用波形图来表示 。 正弦量的有效值相量 相量只体现了三要素的两个要素 。
２,元件约束 (伏安特性 )和互联约束 (ＫＣＬ和ＫＶＬ )的相量式
(1)
)2s i n (2)s i n ()( iim ftItIti
iI?/?
3．复阻抗与复导纳无源二端网络或元件,在电压电流关联参考方向下,二者
....
....
....
CCCCCC
LLLLLL
RRRR
UjBIIjXU
UjBIIjXU
UGIIRU
(2) KCL,0,0,, UI KVL：
或或或
/
.
.
..
..
Z
I
U
Z
UYI
IZU
4,相量法将正弦电路的激励和响应用相量表示,每一个无源的二端网络 (包含无源的二端元件 )用阻抗或导纳表示,那么直流电路的分析计算方法可以类推到正弦交流电路 。 首先要把原来的正弦电路参数的模型用相量模型表示 。 然后选用合适的方法分析计算 。
５,功率
uiiu
U
I
Y
I
U
Z
Y
I
U
ZY
'
.
.
,;,
/
UIQPS
UIUIIUQ
UIUIIUP
Rr
aa
22
s in
c o s
功率因数,感性负载并联电容器可提高功率因数 。 负载获得最大功率的条件是阻抗的共轭匹配和阻抗值的模匹配 。
c o s SP
６,谐振电感线圈与电容器串联和并联组成的谐振电路,固有角频率
LC
1
0
。
串联谐振时,阻抗最小，,;
000 QUUURZ CL
当品质因数,1
00 UUUQ CL,
时 也称为电压谐振。
并联谐振时,网络阻抗最大或接近最大，;20 RQRCLZ
,,1 00 IIQIIQ LCLL 也称为电流谐振。
７,三相正弦电路
(1) 对称三相电源电压
012 0/
12 0/,0/
.....
2
..
CBAA
o
PC
A
o
PB
o
PA
UUUUUU
UUUUU
(2)
Y形连接,三相四线制,有中线,提供两组电压,线电压和相电压 。 线电压比相应的相电压超前 30°,其值是相电压的 倍； 三相三线制,无中线,提供一组电压 。 △ 形连接,
只能是三相三线制,提供一组电压 。 线电压为电源的相电压 。
(3)
Y形连接,对称三相负载接成 Y形,供电电路只需三相三线制； 不对称三相负载接成 Y形,供电电路必须为三相四线制 。
每相负载的相电压对称且为线电压的 。
中线电流,三相负载对称时中线可以省去。
△ 形连接,三相负载接成 △ 形,供电电路只需三相三线制,
每相负载的相电压等于电源的线电压 。 无论负载是否对称,只要线电压对称,每相负载相电压也对称 。 。
3
3
1
CBAN IIII
..., 0,?NI
对于对称三相负载,线电流为相电流的 3 倍,线电流比相应的相电流滞后 30°
(4) 三相电路的功率对于对称三相负载
11
22
11
11
3
s in3s in3
c o s3c o s3
IUQPS
IUIUQ
IUIUP
PP
PP
