应用电路分析：第2章

第 2 章 正弦交流电与电抗元件第 2 章 正弦交流电与电抗元件实训 2 日光灯的安装与实验
2.1 正弦交流电的基本参量及相量表示法
2.2 正弦交流参量的基本运算
2.3 纯电阻电路
2.4 电容元件
2.5 电感元件
2.6 正弦交流电路的一般分析方法
2.7 互感与变压器
2.8 LC谐振电路
2.9 三相电路第 2 章 正弦交流电与电抗元件
1．
（ 1) 了解正弦交流电路的组成特点 。
（ 2) 体验交流电路与直流电路的区别 。
（ 3) 学会交流电路的连接,器件的使用及参数的测量 。
（ 4) 建立正弦交流电路的基本概念 。
实训 2 日光灯的安装与实验第 2 章 正弦交流电与电抗元件
2,实训设备,器件与实训电路
1)
万用表 1只,双通道示波器 1台,降压隔离变压器 2只,单刀双位开关 2只,2 W 10 Ω电阻 1个,日光灯 1套,导线若干 。
2) 实训电路与说明
（ 1） 日光灯实际电路如图 2-1（ a） 所示,实训电路如图 2-1
（ b） 所示 。 图 （ b） 中,Tl,T2为隔离变压器,便于次级接入示波器观测波形 。 电阻 R为取样电阻,便于通过对其两端电压取样来测量电路中的电流 。 电容 C用于改变实验电路的参数 。
第 2 章 正弦交流电与电抗元件镇流器起辉器日光灯实际电路图
( a )
S
1
2 2 0 Vu
镇流器起辉器日光灯实验电路图( b )
S
1
2 2 0 V
u
金属膜电阻
R 2 W 1 0
u
1
T
1
隔离变压器
C
2 μ F
T
2
隔离变压器
u
2
图2 - 1 日光灯实验电路图日光灯管
S
2
日光灯管第 2 章 正弦交流电与电抗元件
(2) 日光灯的结构,日光灯电路由灯管,镇流器和启辉器 3个部分组成 。 在细长的玻璃灯管内壁上,均匀地涂有一层荧光物质,在灯管两端的灯丝电极上涂有受热后能发射电子的氧化物,灯管内充有稀薄的惰性气体和水银蒸汽；镇流器由带铁心的电感线圈构成 ;启辉器由辉光管和一个小容量的电容器组成,如图 2-2所示 。
第 2 章 正弦交流电与电抗元件
1
图2 - 2 启辉器结构示意图
2
3
6
5
4
1 固定触头
2 电容器
3
插头
4
U 型金属片
5
辉光管
6
圆柱形外壳第 2 章 正弦交流电与电抗元件
(3) 日光灯的启辉过程,当接通电源时,电源电压全部加在启辉器的辉光管两端,使辉光管的倒 U型金属片与固定触点放电,其产生的热量使 U型金属片伸直,两极接触并使回路接通,
灯丝因有电流通过而发热,氧化物发射电子 。 辉光管的两个电极接通后电极间的电压为零,辉光管停止放电,温度降低使
U型金属片恢复原状,两电极脱开,切断回路中的电流 。 根据电磁感应定律,切断电流瞬间在镇流器的两端产生一个比电源电压高很多的感应电压 。 该电压与电源电压同时加在灯管的两端,管内的惰性气体在高压下电离而产生弧光放电,管内的温度骤然升高,在高温下水银蒸气游离并猛烈地碰撞惰性气体分子而放电,放电时辐射出不可见的紫外线,激发灯管内壁的荧光粉发出可见光 。 （ 灯管正常发光时,灯管两端的电压较低,40瓦的灯管约 110伏,此电压不会使启辉器再次放电 。 ）
第 2 章 正弦交流电与电抗元件
3,实训操作步骤与要求
1）
（ 1） 按图 2—1（ b） 连接线路,接通电源,开关 S2断开,
Ｓ 1闭合,使日光灯正常发光 。 要求通电前认真检查电路,
正确无误后方可通电 。
（ 2） 断开电源,按图 2—1（ b） 连接线路,接通电源,开关 S2断开,S1闭合,再次使日光灯正常发光 。
第 2 章 正弦交流电与电抗元件
2） 观测交流电压波形用示波器测量隔离变压器 T1次级的电压波形 。 这时,我们可以观测到如图 2—3所示的正弦波 。 在示波器上读出其幅度和两个波峰之间的时间及波峰与波谷之间的幅度 。
题图2 -3
u
1
( t )
u
2
( t )
u1,u2的波形及相位差第 2 章 正弦交流电与电抗元件
3）
（ 1） 用万用表分别测量市电 U,镇流器及日光灯管两端 （ 启辉器两端 ） 的交流电压 U1,U2。 将结果填入表 2—1中 。 注意 U,U1,U2在数值上的关系 。
（ 2） 用万用表测量电阻 R两端的电压,并由此计算出流过回路的电流 I,填入表 2 —1中 。
第 2 章 正弦交流电与电抗元件
4） 观测电压 u1与 u2
（ 1） 用示波器的两个通道同时观测隔离变压器 T1、
T2次级电压的波形 。 仔细调节示波器,使显示屏上显示如图 2 — 3的波形 。
读出两列正弦波波峰之间的时间间隔 Δt及它们的周期 T,从振动学的有关知识我们可以得到两列正弦波的相位差为 Δφ=2π(Δt/T),将其填入表 2— 1中 。
第 2 章 正弦交流电与电抗元件
（ 2） 将开关 S2闭合,重复步骤 2）,3）,4） 。 观测接入并联电容 C对电路参数的影响 。
测 量 数 据
U U1 U2 S（ IU） S1（ I1U1） S2（ I2U2） Δ φ
接入电容不接入电容表 2— 1
第 2 章 正弦交流电与电抗元件
4,实训总结与分析
（ 1） 在步骤 2） 中,我们看到的正弦波就是市电电压的波形,把这种电压 （ 电流 ） 的大小与方向均按正弦规律变化的电压 （ 电流 ） 称为正弦交流电 。 如何描述正弦交流电,如何分析正弦交流电路是本章要解决的首要问题 。
第 2 章 正弦交流电与电抗元件
（ 2） 由实验记录的结果可以看到一个使我们迷惑的现象,电路中的端电压不等于各分电压之和,即 U≠U1+U2;
所以 IU≠IU1+IU2。 显然,按直流电路分析与计算电路的方法不完全适用于交流电路分析与计算 。 之所以会出现上述现象,是因为电路中出现了电感性与电容性负载 。 在由电感,电容,电阻组成的交流电路中,如何分析和计算电路参数也是本章要解决的主要问题之一 。
第 2 章 正弦交流电与电抗元件
（ 3） 在步骤 4） 中,我们可以看出电压 u1与电压 u2之间存在一定的相位差,随着电容的接入与否,相位差的大小也在发生变化 。 当流过不同性质负载的电流相同 （ 幅值,相位 ） 时,负载上的电压相位不同是交流电路的一个重要特征 。 显然,相位在交流电路中是一个十分重要的物理量,
第 2 章 正弦交流电与电抗元件
（ 4） 从表 2 — 1中可以看出,没有接入电容时,u1与 u2
的相位差约为 π/2,或者说,镇流器 （ 电感 ） 上的电压超前灯管 （ 电阻 ） 上的电压 π/2,这是一个十分重要的现象,
记住这个结果,对我们今后理解与分析交流电路非常有帮助 。
由此可见,在分析交流电路时,必须了解交流电路与直流电路的区别,找出适用于交流电路分析与计算的方法,掌握交流电路的特点与应用 。
第 2 章 正弦交流电与电抗元件
2.1 正弦交流电的基本参量及相量表示法
1,正弦量的三要素
)s in (
)s in (
im
um
tIi
tUu




（ 2.1）
(2.2)
其中 u,i分别为电压和电流的瞬时值 ; Um,Im分别为电压和电流的幅值（或最大值） ; ω为角频率 ; φu,φi分别为电压和电流的初相角,如图 2 —4所示。
第 2 章 正弦交流电与电抗元件
310
u /V i /A
1 4,1
0
u
i
u
i
图2 - 4 正弦量波形示意图
2π
ω t
第 2 章 正弦交流电与电抗元件
2．
正弦量是周期函数,每经过一定时间波形必将重复出现 。 如图 2 — 4 所示,将波形重复出现所需要的最短时间间隔称为周期,单位为秒 。 将波形在每秒钟内重复出现的次数称为频率,单位为赫兹 （ Hz） 。 周期与频率互为倒数关系 。
)/(
2
2
)(
1
)(
1
sr ad
T
f
Hz
t
f
s
f
T

第 2 章 正弦交流电与电抗元件其中对于 f=50Hz的工频交流电,其角频率为
sr a df /3 145022
在我国,工业用电频率为 50Hz,简称工频 ;无线电技术采用的频率一般为 100kHz～ 3000MHz。
第 2 章 正弦交流电与电抗元件
3.
在正弦交流电路中,元件上的电压同流过元件的电流的瞬时相位可能不同,但两者的初始相位之差,φ=φu-
φi为一常量 。 在同一电路中,初相可随计时起点的不同而改变,而相位差则保持不变 。
若 φ＞ 0,电压 u 在相位上超前电流 i;
φ＜ 0，电压 u 在相位上滞后电流 i;
φ＝ 0，电压 u 与电流 i同相 ;
φ＝ ± π/2 电压 u 与电流 i在相位上互相正交 ;
φ＝ ± π,电压 u 在相位上与电流 i 反相。
第 2 章 正弦交流电与电抗元件
4,正弦量的有效值正弦量的有效值是指在一个周期内与其热效应等价的直流量,即
T dtiT 0 211
所以,有效值也称为方均根值,它与最大值的关系为
mm III 707.02
1
同理
mm UUU 707.02
1
因此其瞬时表达式可写成
)s in (2
)s in (2
u
i
tUu
tIi




在实训操作中,我们用万用表所测出的电压 U和电流值 I
均为有效值。
第 2 章 正弦交流电与电抗元件
5,相量及正弦量的相量表示形式在正弦量的函数表达式中,具有幅值,频率及初相这 3 个主要特征,而这些特征还可以用其他方法来描述 。
不同的描述方法之间能够相互转换,它们都是分析与计算正弦交流电路的必要工具 。 究竟采用哪种方法更合适,可根据分析实际问题的需要来选择,其中正弦量的相量表示尤其重要 。
所谓相量就是正弦量的复数表示形式,即相量表示法的实质是复数表示法 。 正弦量可用下面的复数形式来表示 。
第 2 章 正弦交流电与电抗元件
22 bar
jbaA


r是复数的模,它与正弦量的幅值相对应。
a
ba r c t g
是复数与实轴的正方向间的夹角,它表示正弦量的初相角,如图 2 — 5所示 。
＋ 1O
＋ j
a
b
r
A
图2 - 5
正弦量的表示方法第 2 章 正弦交流电与电抗元件根据欧拉公式
j
ee
ee
jj
jj
2
s in
2
c o s


s inc o s rbra
则?s inc o s rjbaA
图中,
代入（ 2.3）式得复数的指数形式
jreA? （ 2.4）
第 2 章 正弦交流电与电抗元件或写成极坐标形式
rA
(2.5)
j 的数学含义是,
Jjje j 090s i n90c o s90
可见任意一个相量若乘上 +j后,逆时针旋转 90°,若乘上 -j后即顺时针旋转 90°,所以将 j称为旋转 90° 的算子 。
在复数中 j是虚数单位,,并有1j
1))((
1))((
2
2


jjj
jjj
第 2 章 正弦交流电与电抗元件正弦电流用相量表示法可写成
]2I m []2I m [
]2[Im)s i n (2 (*
tjtjj
tj
i
ieeIe
IetIi i




其中
ii
i
j
jIIjba
I
Iei i

s inc o s

（ 2.6）
(2.7)
(2.8)
就称为电流的相量 。 式 （ 2.6） 为相量的指数形式,式
(2.7)为极坐标形式,式 (2.8)为直角坐标形式 。
第 2 章 正弦交流电与电抗元件相量在复平面上可用有向线段表示,我们将与若干个同频率的正弦量相对应的有向线段画在同一坐标平面上的图形称为正弦量的相量图 。 如图 2 - 6所示,相量图能直观地描述各个正弦量的大小和相互间的相位关系,利用相量图也可进行正弦量的加减运算 。
在图 2-6中对 i1,i2进行比较,可见
i1幅值大于 i2的幅值,i1的相位超前
i2的相位 。
I
2
·
I
1
·
1
2
图 2-6 相量图第 2 章 正弦交流电与电抗元件例 2.1 已知某正弦电压的振幅为 20V,频率为 50Hz,
初相为 105° 。
（ 1） 写出它的瞬时表达式,并画出波形图 。
（ 2） 求 t=0.0025s和 t=0.004 166 s时的相位,瞬时值及相量 。
解 （ 1） 正弦电压的瞬时表达式为
Vttu )105100s in (20)(
第 2 章 正弦交流电与电抗元件
0
图2 - 7
15°
15
u ( t ) / V
ω t
1 0 5 °
例 2.1图波形如图 2 - 7所示。
第 2 章 正弦交流电与电抗元件
（ 2）当 t=0.0025s时
VV
Vtu
101 5 0s i n20
)1 0 50 0 2 5.01 0 0s i n (20)(


相位为 150°,瞬时值为 10 V 。
当 t=0.004166s时
VVVtu 01 80s i n20)1 050 04 1 66.01 00s i n (20)(
相位约为 180°,瞬时值约为 0V,波形过零点 。
其相量表示形式为,
,32.191 7 6.51 0 5s i n201 0 5201 0 520 VjjC O SVU
第 2 章 正弦交流电与电抗元件例 2.2 已知,)451 00s i n (10,)153 14s i n (5 VtuAti
写出它们的相量并画出相量图。



451010
1555
45
.
15
.
j
j
m
eU
AeI
解据此可画出相量图,如图 2.2所示 。 由图可见,电流超前电压 60° 。
第 2 章 正弦交流电与电抗元件图 2-8 例 2.2相量图第 2 章 正弦交流电与电抗元件
2.2 正弦交流参量的基本运算例 2.3 已知电路中解 （ 1） 用三角函数式运算,
第 2 章 正弦交流电与电抗元件
u
1
u
2
u
( a )
图2 - 9
45°
U
1 m
·
－ 30°
U
m
·
U
2 m
·
( b )
图 2-9 电阻串联电路及相量图第 2 章 正弦交流电与电抗元件
tUU
tUU
ttU
ttU
tUtUuuu
mm
mm
m
m
mm





c o s)s i ns i n(
s i n)c o sc o s(
)s i nc o sc o s( s i n
)s i nc o sc o s( s i n
)s i n ()s i n (
2211
2211
222
111
221121





第 2 章 正弦交流电与电抗元件设此正弦量为
tUtUtUu mmm c o ss i ns i nc o s)s i n (
则
2211
2211
s i ns i ns i n
c o sc o sc o s


mmm
mmm
UUU
UUU


由上两式可算出总电压 u的幅值为
2221122211 )s i ns i n()c o sc o s( mmmmm UUUUU
第 2 章 正弦交流电与电抗元件总电流的初始相位为
)c o sc o s s ins in(
2211
2211


mm
mm
UU
UUa r c t g

将 U1m=100V,U2m=60V,φ1=45°,φ2=-30° 代入得
'
22
22
2018)
7.122
7.40
()
30c o s6045c o s100
30s i n6045s i n100
(
129)307.70()527.70(
)30s i n6045s i n100()30c o s6045c o s100(





a r c t ga r c t g
V
U
m
第 2 章 正弦交流电与电抗元件电压 u的瞬时表达式为
Vtu )'2018s i n (12 9
（ 2） 用相量运算,
Vj
jj
jj
eeUeUUUU
VUVU
j
ejj
m
j
mmm
mm
j
'2018
6045
2
.
1
.
2
...
.
2
.
1
1 2 97.407.1 2 2
)3052()7.707.70(
)30s i n6030c o s60()45s i n1 0 045c o s1 0 0(
1 0 0
3060,451 0 0
30
21








第 2 章 正弦交流电与电抗元件
（ 3） 用相量图运算 。
在同一个复平面上画出 和 的相量图,如图 2—9
（ b） 所示,用平行四边形法作出 m,可见对角线表示的就是总电压 u的幅值,它与横轴正方向间的夹角即为初相位 。
（ 4） 用波形图运算 。
如图 2—10 所示,在同一个直角坐标系中分别作出 u1
和 u2的正弦波形,然后将两波形的纵坐标相加,即得总的电压 u的正弦波形,再从波形图上量出 u的幅值和初相位 。
mU1,mU2.
第 2 章 正弦交流电与电抗元件
O
u
u
图2 - 1 0
ω t
u
2
u
1
30°
18° 20′
45°
用波形图求解第 2 章 正弦交流电与电抗元件比较上述几种求解方法可知,三角函数式是正弦量的基本表示方法,因此可直接对它进行运算,但用三角函数进行运算很繁琐,因此一般很少采用 ; 相量运算是先把正弦函数用与之对应的复数形式来表示,这样就把正弦函数的三角函数运算转换为复数运算,即将复杂的三角函数运算变成了简单的代数运算,如果是加减运算可采用复数的直角坐标式,
如果是乘除运算可采用复数的指数式或极坐标式,此种方法也称为符号法 ; 相量图是分析正弦量的常用方法,它能直观地反映同频率正弦信号的初相角,幅值及相互间的相位关系,通过作图也可进行加减运算,在定性分析中经常采用 。
波形图可以将正弦量在各个时刻的瞬时值及相互关系在图形上表示出来,其缺点是作图不便且不够精确 。
第 2 章 正弦交流电与电抗元件例 2.4 已知并画出相量图计算 2121
2
1
,
)601 0 0s in (8
,)601 0 0c o s (10
iiii
Ati
Ati



解 先写出 i1和 i2的相量表达式,
Attiti
Attiti
AjjjII
AjjjII
AjI
Attti
AjAI
m
m
m
m
)67.981 0 0c o s (8.12)()(
)34.211 0 0c o s (8.12)()(
67.988.1266.1293.1)493.6()66.85(
34.218.1266.493.11)493.6()66.85(
)493.6(308
)301 0 0c o s (8)30901 0 0s i n (8)601 0 0s i n (8
)66.85(6010
21
21
2
.
1
.
2
..
2
.
2
Im
.








所以则有第 2 章 正弦交流电与电抗元件相量图如图 2—11（ a）、（ b）所示。
图2 - 1 1
2 1,3 4 °
I
1 m
·
60°
I
2 m
·
( a ) I
1m
＋ I
2m
· ·
I
1 m
·
I
2 m
·
＋
－ 30°
－ 30°
60°
9 8,6 7 °
I
1 m
·
I
2 m
·
－
I
1 m
·
I
2 m
·
－
I
2 m
·
( b )
I
1 m
·
I
2 m
·
－
例 2.4图第 2 章 正弦交流电与电抗元件
2.3.1 电流与电压的关系
2.3 纯 电 阻 电
Ru
( a )
图2 - 1 2
( b )
i
R
U
I
·
·
纯电阻电路第 2 章 正弦交流电与电抗元件设电压 u=Umsinωt，则根据欧姆定律有,
tRIiRu
tI
R
tU
R
u
i
m
m
m
s in
s in
s in


即在任一瞬间通过电阻的电流 i与其两端的电压 u
成正比,而且都是同频率,同相位的正弦量。用相量的形式表示为
R
UIRU I
.
...
,
其波形图,相量图如图 2-13(a）,（ b）所示。
第 2 章 正弦交流电与电抗元件
2.3.2 电阻的功率交流电压和电流是随时间变化的,所以电阻所消耗的功率也将随时间变化。
电路在任一时刻所吸收的功率称为瞬时功率,用 p来表示,在图
2 - 13中,电阻元件所
( a )
i,u
i
uU
m
I
m
O
T
ω t
ω t
( c )
O
P
m
P
P
T
I
·
U
·
图2 - 1 3
( b )
纯电阻电路的波形图、相量图第 2 章 正弦交流电与电抗元件
tUIUI
tUI
tIU
tIUtItUuip
mmmm

2c os
)2c os1(
s i n22
s i ns i ns i n
2
2




从表达式或图 2—13（ c）所示的波形图中可以看出,
电阻消耗的瞬时功率由两部分组成,其中一部分为常数 UI,
另一部分是以 2ω角频率变化的交变量。从功率曲线上可看出,任一瞬时电阻所吸收的功率总是大于零。 由此可见,
第 2 章 正弦交流电与电抗元件瞬时功率并无实际意义,通常所说的功率是指在一个周期内电路所消耗功率的平均值,一般称为有功功率或平均功率,用 P表示。 可以证明
T RURIUIdttUITP 0
2
2)2c o s1(1?
可见,正弦交流电路中电阻元件所消耗功率的表达式与直流电路中的表达式相似,但在正弦交流电路中 U,I是指有效。 在前面的实训电路中,用万用表测出的电压和电流均为有效值。 通常在交流电路中的负载（灯泡,烤箱、
音响等）所消耗的功率都是指平均功率 (又称有功功率 )。
第 2 章 正弦交流电与电抗元件例 2.5 设某放大器实验电路中,放大器输出交流电压为 u=10sin6280tV,其作用在电阻为 8Ω的扬声器两端,求电流的瞬时值及扬声器获得的平均功率。
解 电压的有效值为
VUU m 72102
电流的有效值为
ARUI 875.087
因为在电阻电路中,电压和电流是同相位,所以
tAi 6 2 8 0s in287?
扬声器获得的平均功率为
WUIP 125.6875.07
第 2 章 正弦交流电与电抗元件电容器两极板上储存的电量 q与其两端的电压成正比,即
Cuq?
比例系数 C称为电容。若 C与所加的电压、其上所储存的电荷量 q无关,称为线性电容 ; 若 C与时间无关，称为时不变电容。电容的单位有法拉（ F）、微法拉 (μF）,皮法拉
（ pF）,1 F=106 μF=1012pF。电路中使用最多的是平行板电容器,其电容量的大小与极板的面积 S(m2)、极板间的距离 d（ m）、极板间介质的介电常数 ε（ F/m）有关。
2.4 电 容 元第 2 章 正弦交流电与电抗元件
dt
duc
dt
dqi (2.9)
上式表明,在交流电路中,任一瞬间的电流与电压的变化率成正比。在直流电路中的电容器（简称电容）处于断开状态 ; 在交流电路中,电容将周期性地充电和放电,使电路中不断地有电流通过,所以电容具有隔直,通交的作用。在电子线路中可用来滤波、隔直、交流旁路、选频 ; 在电力系统中可用它来提高功率因数等。
第 2 章 正弦交流电与电抗元件
2.4.1 电容电压与电流的关系正弦交流电路中的电容元件模型如图 2-14(a)所示。 设电压,电流参考方向一致,并设交流电压为
u=Umsinωt,代入式（ 2.9）可得
Cu
( a )
图2 - 1 4
( b )
i
U
I
·
·
－ j X
C
＝ － j
ω
C
1
图 2-14 纯电容电路第 2 章 正弦交流电与电抗元件
)90s i n (
)90s i n (
c o s
)s i n(



tI
tCU
tCU
dt
tUd
C
dt
du
Ci
m
m
m
m


可见电压、电流是同频率的正弦量,而电流超前于电压
π/2,其波形图和相量图如图 2 - 15
第 2 章 正弦交流电与电抗元件
u
C
i
u
C
i
2
π
2
3π
π 2π
O ω t
P
C
＋
－
＋
－
ω t
4
T
4
T
4
T
4
T
I
·
90°
U
·
( a )
( c )
( b )
图2 - 1 5
O
电容电路的波形图与相量图图 2-15
第 2 章 正弦交流电与电抗元件由式（ 2.10
fCCI
U
I
U
X
IXI
C
UIXI
C
U
CUICUI
m
m
C
Cmcmm
mm



2
11
11



式中或则或
XＣ 称为容抗,单位是欧姆（ Ω）,它起阻碍电流的作用。
可见容抗与电容 C、频率 f成反比,且电容电路中的电压和电流的有效值（或最大值）之间同样符合欧姆定律。在特殊情况下,当 f→∞ 时,XＣ → 0,此时电容相当于短路。当 f=0时（直流）,XC=∞,此时相当于开路,这就是隔直、通交的原因。
第 2 章 正弦交流电与电抗元件电容两端的电压与电流的关系用相量表示为
..
..
..
1
IjXU
jX
U
C
j
U
UCjI
c
C


或
式（ 2.11）为电容电路中欧姆定律的相量形式。
第 2 章 正弦交流电与电抗元件
2.4.2
根据电容电压和电流的变化规律,可求出电容上吸收的瞬时功率为
tUItItUuip mm 2s i n)90s i n (s i n
其在一个周期内的平均功率为
TT t d tUITp d tTP 00 02s i n11?
第 2 章 正弦交流电与电抗元件可见,电容元件是不耗能的元件,在电容与电源之间只发生能量的交换。即在第一个 1/4周期内,电容从电源吸取能量,在第二个 1/4周期内电容又将所储存的能量释放出来回送给电源。如此下去,连续交替地进行,所以电容只是一个储能元件。它与电源间交换能量的最大变化率用
QC来表示,则
C
Cc X
U
XIUIQ
2
2
第 2 章 正弦交流电与电抗元件为了与电阻上消耗的有功功率 P=UI相区别,将 QC称为无功功率,单位为乏（ Var）。
电容器上以电场能量形式储存的能量应等于对电容器吸收功率的积分，即
dptW tC?

吸)(
第 2 章 正弦交流电与电抗元件为了区分积分上限 t,被积函数中的 t改为 ξ，该式表明 ξ
从 —∞到 t区间电容器总共吸收的能量 (即它储存的能量 )。参见图 2 - 14(a),考虑 p吸 (t)=u·i及,所以
dt
duci?
)(
2
1
)(
2
1
2
1
)(
22)(
)(
2
)(
)(




CutCuCu
duCud
d
du
cuduitW
tu
u
tu
u
tt
c
第 2 章 正弦交流电与电抗元件假设 t=-∞时,电容器上无电荷储藏,即 q(-∞)=0,由
q(-∞)=Cu(-∞)，知 u(-∞)=0。在这样的条件下,电容器上 t时刻的储能
)(21)( 2 tCutW C? （ 2.12）
第 2 章 正弦交流电与电抗元件例 2.6 把一个 C=38.5μF的电容接到 50Hz,220V的交流电源上,求,
（ 1
（ 2）电路中的电流 I、电压 U,电压与电流间的夹角。
(3） 电容的无功功率 QC
（ 4）若外加电压的数值不变,频率变为 5000Hz时,
第 2 章 正弦交流电与电抗元件解 （ 1）容抗
80105.38502 12 1 6 fCX C
（ 2） 设电压 U为参考相量,即
AjjjXUIVU
C
75.2802 2 0,02 2 0
..
.

所以
9075.2.I
即电流的有效值为 2.75 A,相位超前于电压 90° 。
第 2 章 正弦交流电与电抗元件
（ 3） 无功功率
V arXIQ CC 6058075.2 22
（ 4）当频率为 5000Hz时,重复上述计算得,
8.0'2/1' CfX C?
容抗减小 100倍 ; I′=275A,电流增大 100倍 ; 电流的相位仍超前电压 90° ;,无功功率增大 100倍。由此可见,同一电容对不同频率的电流具有不同的容抗。频率越高,容抗越小,电流越大。
V a rQ C 5 0 060'?
第 2 章 正弦交流电与电抗元件将一导线绕成螺旋状或将导线绕在铁心或磁心上就构成常用的电感器。图 2 - 16（ a）为一 N匝线圈构成的电感器,
（ b)图为电感器的模型符号。当通过线圈的电流 i发生变化时,
穿过线圈的磁通 Φ也将发生变化,且磁通 Φ的变化与电流 i的变化成正比关系。
diLdLiN,
式中 L称为线圈的电感（或自感）,N为线圈的匝数,Ψ为穿过 N匝线圈磁通的总和,Ψ=NΦ,称为磁链。
2.5 电 感 元第 2 章 正弦交流电与电抗元件
( a )
u
i
Φ
e
L
U
·
E
·
( b )
图2 - 1 6
I
·
jω L
电感元件第 2 章 正弦交流电与电抗元件电感的单位有亨利（ H）、毫亨（ mH）、微亨（ μH）,1
H=103 mH=106 μH。线圈的电感与线圈的尺寸、匝数以及附近介质的导磁性能有关。 长直螺旋管的电感量为
l
SN
L
2?
其中 N为匝数,S为截面积,l为长度,μ为介质的磁导率。
根据电磁感应定律,当流过线圈的电流发生变化时，线圈两端的感应电动势为
dt
diLe (2.13)
第 2 章 正弦交流电与电抗元件式中的负号表明感应电动势 e的实际方向总是阻止线圈中电流的变化。 电流 i的正方向与电压 u的正方向相同,电流
i的正方向与所产生的磁通 Φ的正方向可用右手螺旋定则确定。由式（ 2.13）可知,当电流的正值增大时（即 di/dt
＞ 0）,e的实际方向与电流的方向相反（为负值）,它将阻碍电流的增大。当电流的正值减小时（即 di/dt＜ 0）,e
的实际方向与电流的方向相同（为正值）,它将阻碍电流的减小。
第 2 章 正弦交流电与电抗元件
2.5.1 电感电压与电流的关系在图 2 - 16（ b）所示的电感中,当有正弦电流 i=Imsinωt通过时,在电感中将产生感应电动势
)90s i n (
)90s i n (c os


tE
tLItLI
dt
di
Le
m
mm

所以端电压为
)90s in (
)90s in (
)90s in (



tU
tE
tEeu
m
m
m
第 2 章 正弦交流电与电抗元件由上式可知
IXLIEU
IXLIEU
L
mLmmm


或其中 XL=ωL 称为感抗,单位为欧（ Ω）,它起阻碍电流的作用,由上式可知,流过电感的电流有效值与其两端电压的有效值之间也具有欧姆定律的形式。
第 2 章 正弦交流电与电抗元件从感抗 XL=ωL=2πfL可知感抗与电感 L及电流的频率 f成正比。当 L一定时,频率越高,它对电流的阻碍作用就越大。 在特殊情况下,当 f→∞ 时,XL→∞,此时电感相当于开路。当 f=0时（直流）,XL=0,此时电感相当于短路。
电感两端的电压与电流关系的相量表示为
...,IjXILjEU
L
第 2 章 正弦交流电与电抗元件
u
L
i
i
2
π
π 2π
O ω t
P
L
＋
－
＋
－
ω t
4
T
4
T
4
T
4
T
I
·
90°
U
·
( a )
( c )
( b )
图2 - 1 7
1,5 π
u
L
E
·
O
O
电感电路的波形图和相量图第 2 章 正弦交流电与电抗元件
2.5.2 电感的储能当有正弦交流电流流过电感时,根据电感电压和电流的变化规律,可求出电感上的瞬时功率为
tUItItUuiP mm 2s i ns i n)90s i n (
可以看出,电感从电源吸收的瞬时功率是幅值为 UI,角频率为 2ω的正弦量。 其变化曲线如图 2— 17（ c）所示。 从功率曲线可知,电感从电源吸收的功率也有正有负,正的表示从电源吸收功率,负的表示电感将功率回送电源。其平均功率（有功功率）为
01
0
dtpTP T
第 2 章 正弦交流电与电抗元件所以电感是不消耗有功功率的元件,电感与电源之间只是能量的互换,属于储能元件。将电感与电源间能量交换的最大变化率用 QL表示
L
LL X
UXIULQ 22
为了将电感储存的功率与电阻上消耗的有功功率相区别,
将 QL称为无功功率,单位为乏（ Var）
电感元件上以磁场能量形式储存的能量等于对电感器吸收功率的积分,即
dptW tL?

吸)(
第 2 章 正弦交流电与电抗元件参见图 2-16(b),考虑 p吸 (t)=u·I 及,所以
dt
diLu?
)(
2
1
)(
2
1
2
1
)(
22
)(
)(
2
)(
)(







LitLi
LidiLi
d
d
di
LiidutW
ti
i
ti
i
tt
L
假设 t=-∞时电感上电流为零，则上式可写为
)(
2
1)( 2 tLitW
L?
（ 2.14）
第 2 章 正弦交流电与电抗元件例 2.7 把一个 L=0.5H的电感接到 50Hz,220 V的交流电源上,求,
(1)
(2) 电路中的电流 I,U,电压与电流间的夹角。
(3) 电感的无功功率 QL
(4) 若外加电压的数值不变,频率变为 5000Hz时,
第 2 章 正弦交流电与电抗元件解 （ 1） 感抗,
1 5 75.014.31 0 02 fLX L?
(2) 设电压 为参考相量,则.
U
AjjjXUIVU
L
4.1157220,0220
.
.,
即电流的有效值为 1.4A,相位滞后于电压 90° 。
(3) 无功功率,
V a rXIQ LL 3 0 81 5 74.1 22
第 2 章 正弦交流电与电抗元件
(4) 当频率为 5 000Hz时,重复上述计算得,
V a rQ
AI
LfX
L
L
08.3
014.0
157002
'
'
''

感抗增大 100倍电流缩小 100倍,电流的相位仍滞后电压 90°
无功功率减小 100
由此可见,同一电感对不同频率的电流具有不同的感抗。 频率越高,感抗越大,则电流越小。
第 2 章 正弦交流电与电抗元件正弦交流电路中的欧姆定律 与直流电路中的欧姆定律 U=RI有相似的形式,不同之处在于交流电路中的电压,电流用相量来表示,电阻用复阻抗来代替。
.,IZU?
基尔霍夫电流定律对交流电路中的任一节点任一瞬时都是成立的,即
021 niii
2.6 正弦交流电路的一般分析方法第 2 章 正弦交流电与电抗元件如果这些电流 ik都是同频率的正弦量,则可用相量表示为
0
.
2
.
1
.
nIII
或
0, KI
基尔霍夫电压定律对电路中的任一回路在任一瞬时都是成立的,即 同样,如果这些电压 uK都是同频率的正弦量,则可用相量表示为 。由此可见,基尔霍夫电流、
电压定律在正弦交流电路中的相量形式与直流电路中的基尔霍夫定律在形式上相似。 但是,在具体描述和分析运算中两者却有很大区别。
0 Ku
0, KU
第 2 章 正弦交流电与电抗元件
２,6.1 阻抗的串联与并联
1,阻抗定义图 2 - 18(a)为无源、正弦交流二端电路 N，电压相量定义端口电压相量与电流相量的比值为该无源二端网络的阻抗，以符号 Z表示，即
.U
.
.
I
UZ? (2.15a)
.
.
m
m
I
UZ? (2.15b)或第 2 章 正弦交流电与电抗元件
( a )
Z
( b )
N
( 无源)
I
·
＋
－
U
·
U
·
＋
－
I
·
图 2-18
第 2 章 正弦交流电与电抗元件其模型如图 2 - 18(b)所示。式 (2.15)可改写成
..
IZU?
（ 2.16a）
或
mm IZU
..
(2.16b)
上式与电阻电路的欧姆定律在形式上相似，只是电流和电压都用相量表示，称为欧姆定律的相量形式。由式 (2.15)容易看出，阻抗的单位为欧姆，并且它一般是复数，又常称 Z为复阻抗。这可将,.
uUU
第 2 章 正弦交流电与电抗元件
得代入式,13.2,aII i
ziu
i
u Z
I
U
I
UZ

(2.17)
式中
iuz
I
U
Z

(2.18)
(2.19)
第 2 章 正弦交流电与电抗元件
|Z|称为阻抗 Z的模值,φz
式 (2.17)是阻抗 Z的极坐标形式,将它化为代数形式有
jXRZjZZZ zzz s i nc o s
(2.20)
式中
z
z
ZX
ZR
s in
c o s
(2.21)
(2.22)
R称为阻抗 Z中的电阻部分,X称为阻抗 Z中的电抗部分。
当 X>0时为感抗，当 X<0时为容抗。电抗为感抗的阻抗 Z，
称为感性阻抗；电抗为容抗的阻抗 Z，
第 2 章 正弦交流电与电抗元件
2,阻抗的串联图 2-19（ a）是两个阻抗的串联电路。根据克希荷夫电压定律可写出它的相量表示式为
)( 21.2.1.,2,1,ZZIZIZIUUU （ 2.23）
Z
1
( a )
Z
2
I
·
U
1
·
U
2
·
U
· Z
U
·
I
·
( b )
图2 - 1 9
阻抗的串联第 2 章 正弦交流电与电抗元件两个串联的复数阻抗可用一个等效复数阻抗 Z来代替,
且在同样电压的作用下,电路中电流的有效值和相位保持不变。
图 2 - 19（ a)的等效电路如图 2 - 19（ b）所示。
由图可得
ZIU,,? （ 2.24）
比较两式得
21 ZZZ
(2.25)
第 2 章 正弦交流电与电抗元件但要注意,因为 |Z|≠|Z1|+|Z2|,即 I|Z|≠I|Z1|+I|Z2|,所以
U≠U1+U2。这就是为什么在实训 2中,用万用表测量电路中镇流器和灯管两端电压 U1,U2,它们的和不等于总电压 U的原因所在。
只有等效复数阻抗才等于各个串联复数阻抗之和。
在一般的情况下,等效复数阻抗可写成第 2 章 正弦交流电与电抗元件
22 )()(



KK
j
KKK
XRZ
eZXjRZZ?
(2.26)
式中

K
K
R
X
a r c t a n?
在上列各式中,计算电抗时,感抗 XL取正号,容抗 XC取负号。
第 2 章 正弦交流电与电抗元件例 2.8 设在图 2 -19（ a）中的两个复数阻抗
Z1=(6.16+j9)Ω,Z2=(2.5-j4)Ω,。试用相量计算电路中的总电流 及各阻抗上的电压和,并画出相量图。
30220.U
.I
.
1U
.
2U
A
Z
U
I
j
j
XjRZZZ
KK
22
3010
30220
3010566.8
)49()5.216.6(
.
.
21





解则第 2 章 正弦交流电与电抗元件


586.1 0 35871.422)45.2(22
6.558.2 3 96.559.1022)916.6(22
2
.
2
1
.
1
.
jZIU
VjZIU
所以电流与电压的相量图如图 2 - 20所示。
第 2 章 正弦交流电与电抗元件图 2-20 例 2.9示意图第 2 章 正弦交流电与电抗元件
3,阻抗的并联图 2 - 21（ a）是两个阻抗并联的电路。根据基尔霍夫电流定律可写出其相量表示式
)11(
21
.
2
.
1
.
2
.
1
..
ZZ
U
Z
U
Z
UIII
两个并联的复数阻抗也可用一个等效复数阻抗 Z来代替。由图 2 - 21（ b）所示的等效电路可得
Z
UI
.
.
第 2 章 正弦交流电与电抗元件比较上两式得
21
21
21
21
21
21
111
1
111
III
Z
U
Z
U
Z
U
ZZZ
ZZ
ZZ
Z
ZZZ




或因为一般即所以第 2 章 正弦交流电与电抗元件由此可见,只有等效复数阻抗的倒数才等于各个并联复数阻抗的倒数之和。
但用上述方法直接计算等效复数阻抗并不方便,特别是并联支路较多时。因此,在分析与计算并联交流电路时常引用导纳。将阻抗的倒数称为导纳。设图 2 - 21
（ a）中第一个并联支路的复数阻抗为第 2 章 正弦交流电与电抗元件
Z
1
( a )
Z
2
I
·
U
·
Z
U
·
( b )
图2 - 2 1
I
1
·
I
2
·
I
·
阻抗的并联第 2 章 正弦交流电与电抗元件式中
1
11
1 R
XXar ct g CL
该支路的复数导纳为
1
1111
2
1
1
2
1
1
2
1
1
2
11
2
1
111
1111
1
)(
)(
)(
)(
)(
11
j
CL
CL
CL
CL
CL
eYBBjG
Z
X
Z
X
j
Z
R
XXR
XXjR
XXjRZ
Y






11 2112111111 )()( jCLjCL eXXReZXXjRZ
第 2 章 正弦交流电与电抗元件
1
2
11
2
11
2
1
1
1
2
1
1
1
2
1
1
1
1
)(
Z
BBGY
Z
X
B
Z
X
B
Z
R
G
CL
C
C
L
L

式中,
，称为该支路的电导 ;
,称为该支路的感纳 ;
,称为该支路的容纳 ;
,称为该支路的导纳 ;
1
11
1
11
1 R
XXa r c t g
G
BBa r c t g CLCL 是该支路中电流与电压之间的相位差。
第 2 章 正弦交流电与电抗元件在国际单位制中的电导,感纳,容纳及导纳的单位都是西门子（ S）。
同理,设第二个并联支路的复数导纳为
2
2222
2
2 )(
1?j
CL eYBBjGZY

则等效复数导纳为 Y=Y1+Y2,但要注意 |Y|≠|Y1|+|Y2|,只有等效复数导纳才等于各个并联复数导纳之和。 在上列各式中,感纳 BL取正号,容纳 BC取负号。计算时可用导纳来代替阻抗,
于是得
YUYUYUIII,2.1.2.1.,
第 2 章 正弦交流电与电抗元件例 2.9 在图 2 - 21（ a）中,有两个复数阻抗 Z1=(3+j4)Ω,
Z2=(8-j6) Ω,与其并接的总电源为,试计算电路中的电流,,,并画出相量图。
VU 022 0.
1
.I
2
.I,I
I
·
I
1
·
U
·
图2 - 2 2
37°
－ 53°
－ 2 6,5 °
I
2
·
例 2.9图第 2 章 正弦交流电与电抗元件




















5.262.49
5.2647.4
02 20
3722
3710
02 20
5344
535
02 20
5.2647.4
5.1018.11
1650
211
1650
68143
3710535
371068
53543
.
.
2
.
2
.
1
.
1
.
21
21
2
1
Z
U
I
A
Z
U
I
A
Z
U
I
jjjZZ
ZZ
Z
jZ
jZ
解 （ 1） 用复数阻抗计算第 2 章 正弦交流电与电抗元件
（ 2）
21
2
2
1
1
5.26224.0
5.2647.4
11
371.0
3710
11
532.0
535
11
YYY
S
Z
Y
S
Z
Y
S
Z
Y










第 2 章 正弦交流电与电抗元件
A
YUI
AYUI
AYUI




5.262.49
5.262 2 4.002 2 0
3722371.002 2 0
5344532.002 2 0
..
2
.
.
2
1
..
1则有电压与电流的相量图如图 2 - 22所示。
第 2 章 正弦交流电与电抗元件
2.6.2 电阻,电感及电容元件串联的交流电路图 2-23（ a）为电阻、电感及电容元件相串联的交流电路。串连电路中,各元件所通过的电流相同。
电流,电压的正方向如图中箭头所示。
i
( a )
u
C
R
L
u
C
u
L
u
R
U
L
·
U
L
·
＋ U
C
·
U
C
·
U
C
·
I
·
U
R
·
U
·
( b )
图2 - 2 3
电路图 相量图电阻、电感及电容元件串联电路第 2 章 正弦交流电与电抗元件根据克希荷夫电压定律得
dtiCdtdiLiRuuuu CLR 1
设电流 i=Imsinωt 为参考正弦量,初相角 φ=0,则电阻元件上的电压 uR与电流同相,
tUtRIu mmR s ins in
电感元件上的电压 uL比电流超前 90°
)90s i n ()90s i n ( tUtLIu LmmL
而电容元件上的电压 uC比电流滞后 90°
)90s i n ()90s i n (1 tUtCIu Cmmc
第 2 章 正弦交流电与电抗元件同频率的正弦量相加,其结果仍为同频率的正弦量。在某一时刻瞬时电压的关系式为
)s in ( tUuuuu mCLR
φ为 u与 i之间的相位差。利用相量图可求出电压的幅值及相位差。如图 2 - 23（ b）所示,将电压 uR,uL,uC用相量
、,表示,3个相量相加可得出电源电压 u的相量 。
由电压相量 所组成的直角三角形,称为电压三角形。如图 2 - 24所示。利用电压三角形,可求出电源电压 u与电流 i之间的相位差
RU
.
LU
,CU.,
U
)(,,...,CLR UUUU?
第 2 章 正弦交流电与电抗元件
R
CL
U
UUar c t g （ 2.27）
及电源电压的有效值
22
2222
)(
)()()(
CL
CLCLR
XXRI
IXIXIRUUUU

(2.28)
由式（ 2.28）可见,电路中电压与电流的有效值之比为
22 )( CL XXR 。它的单位也是欧姆,也具有对电流起阻碍作用的性质,我们称它为电路的阻抗,用 |Z|来表示。
2222 )1()(
CLRXXRZ CL （ 2.29）
第 2 章 正弦交流电与电抗元件由式（ 2.29）可见,|Z|,R、（ XL-XC）三者之间的关系也可用一个直角三角形来表示,称为阻抗三角形
（图 2-24）。
电源电压 u与电流 i之间的相位差同样也可以从阻抗三角形得出,即
R
XXa r c t g CL (2.30)
U
·
S
R P
U
R
·
Q
X
L
－
X
C
U
L
·
U
C
·
＋
Z
图2 - 2 4 电压三角形（阻抗三角形）
第 2 章 正弦交流电与电抗元件如果 XL>XＣ,即 φ>0,则在相位上电流 i比电压 u滞后 φ角,这种电路是电感性的。如果 XL<XＣ,即 φ<0,则电流 i比电压 u
越前 φ角,这种电路是电容性的。若 XL=XC,即 φ=0时,电流 i
与电压 u同相,这种电路是电阻性的。
所以,在分析与计算交流电路时必须时刻具有交流的概念,而且首先要有相位的概念。 在 RLC串联电路中,4 个电压的相位是不同的,电源电压应等于另外 3 个电压的相量之和,用基尔霍夫电压定律的相量形式表示电压与电流的关系则为第 2 章 正弦交流电与电抗元件
)]([
.
..
.
.....
CL
CLCLR
XXjRI
IXjXIjRIUUUU


(2.31)
若直接写成 U=UR+UL+UC,那就错了。也就是说,在交流电路的分析与计算过程中不能像在直流电路中那样直接用有效值去计算串联电路中的电压和并联电路中的电流。
这一点在前面的实训结果中已得到了证实。
由式（ 2.31）得
)(.
.
CL XXjR
I
U

第 2 章 正弦交流电与电抗元件式中的 R+j（ XL-XC）称为交流电路中的复数阻抗,用大写的 Z表示,即
jR
XXj a r c t g
CL
CL
eZeXXR
XXjRZ
CL


22 )(
)(
可见,复数阻抗的实部为“阻”,虚部为“抗”,它既表示了电路中电压与电流之间的大小关系（反映在复数阻抗的模 |Z|上）,又表示了它们之间的相位关系（反映在复角 φ
上）。
要注意,复数阻抗不同于正弦量的复数表示,它不是一个相量,只是一个复数的计算量。另外,在已知电压 u和电流
i的变化规律及相互关系后,便可求出瞬时功率 p。
第 2 章 正弦交流电与电抗元件
ttIUuip mm s i n)s i n (
因为
)2c o s (21c o s21s i n)s i n ( ttt
且
UIIU mm?2
所以 )2c o s (c o s tUIUIp
由于电阻元件上要消耗电能,用有功功率（或平均功率）表示为
c o s)]2c o s (c o s[11 00 UIdttUIUITdtpTP TT
第 2 章 正弦交流电与电抗元件从电压三角形（图 2-24）可得出
c o s
c o s
2 UIRIIUP
IRUU
R
R

(2.32)则而电感元件和电容元件只是储放能量,即它们与电源之间要进行能量交换,相应的无功功率为
s i n)()( 2 UIXXIIUUIUIUQ CLCLCL (2.33)
式（ 2.32）和式（ 2.33）是计算正弦交流电路中有功功率（平均功率）和无功功率的一般公式。
第 2 章 正弦交流电与电抗元件由上述可知,一个交流发电机输出的功率不仅与发电机输出的端电压及输出电流的有效值的乘积有关,而且还与电路负载的参数有关。 若电路所具有的参数不同,其电压与电流间的相位差 φ就不同,那么在同样电压 U和电流 I
之下,电路的有功功率和无功功率也就不同。式（ 2.32）
中的 cosφ称为功率因数。
由式（ 2.32）可知,在交流电路中,平均功率不等于电压与电流有效值的乘积,我们将两有效值的乘积称为视在功率 S,即
ZIUIS 2
第 2 章 正弦交流电与电抗元件
22 QPS
通常交流电气设备（发电机,电动机,变压器）都是按照额定电压 UN和额定电流 IN来设计和使用的。 例如变压器的容量就是以额定电压和额定电流的乘积来表示的,
称之为额定视在功率 SN
NNN IUS?
视在功率的单位是伏安（ VA）或千伏安 (kVA)。由于有功功率（平均功率） P、无功功率 Q和视在功率 S三者所代表的意义不同,为了区别起见,各采用不同的单位。三者之间满足如下关系,
第 2 章 正弦交流电与电抗元件显然,它们之间的关系也可用一个直角三角形来表示,称为功率三角形,其形状与图 2 - 24所示的电压及电阻三角形是相似的。但功率 P,Q及 S都不是正弦量,所以不能用相量表示。
以上我们分析了电阻,电感与电容元件串联的交流电路,但在实际中我们常可以将电路等效为电阻与电感元件串联的电路（电容的作用可忽略不计）或电阻与电容元件串联的电路（电感的作用可忽略不计）。
交流电路中电压与电流的关系（大小和相位）具有一定的规律性,掌握这些规律,就能方便地分析各种正弦交流电路。
第 2 章 正弦交流电与电抗元件例 2.10 如图 2 - 25（ a）所示,已知 R=2kΩ,C=0.01μF,
输入信号电压的有效值 U1=1V,频率 f=5000 Hz。 试求输出电压 U2（有效值）及它与输入电压的相位差,并绘出相量图。
R
I
·
C
U
C
·
U
1
· U
2
·
U
C
·
I
·
58°
( b )
U
1
·
U
2
·
( a )
图2-2 5 例 2,10图第 2 章 正弦交流电与电抗元件解 先求出阻抗,电路中的电抗为
3 1 8 01001.05 0 0 02 12 1 6 fCXX C
电路的阻抗为
3 7 6 03 1 8 02 0 0 0 2222 XRZ
电路中电流为
mAZUI 266.03760 11
输出电压为
VRIU 5 3 2.02 6 6.022
第 2 章 正弦交流电与电抗元件电流与输入电压的相位差为
8.572 0 0 03 1 8 0a r c t gRXa r c t gRXa r c t g C?
计算表明,电流 i超前于电压 u1 的相角为 57.8°,而电阻上的电压 u2与电流 i同相位,所以输出电压 u2超前于输入电压 u1 的相角为 57.8°,其相量图如图 2 -25（ b）所示。
若用复数运算,如图 2 - 25（ b）所示。,则电路中的电流为
01.U
mAjZUI 8.572 6 6.08.5776.3 118.32 1
.
.
第 2 章 正弦交流电与电抗元件
8.57532.08.57266.02.2,IRU
输出电压可见,后者与前者计算结果相同,输出电压 U2=0.532V,在相位上超前输入电压 57.8° 。
由于输出电压相对于输入电压发生了相位的偏移,这种
RC电路常称为移相电路。当工作频率一定时,选取不同的电路参数（ R,C）就可以得到不同的相移。 当输出电压从电阻两端引出时,输出电压超前于输入电压,超前的角度为阻抗角 φ; 若输出电压从电容两端引出时,输出电压滞后于输入电压,滞后的角度为（ 90° -φ）。但这种单级移相电路的相移范围不会超过 90°,若要求实现 180° 移相,要用三级以上的电路构成。
第 2 章 正弦交流电与电抗元件例 2.11 在图 2 - 23(a) 所示的 RLC 串联电路中,已知
.40,12 7,30,)2031 4s i n (222 0 FCmHLRVtu
试求,（ 1） XL,XC与 Z的值。
（ 2） 电流有效值 I及瞬时值 i。
（ 3） 各部分电压有效值和瞬时值。
（ 4） 并画出相量图第 2 章 正弦交流电与电抗元件解 (1)
Vttu
VIXU
Vttu
IXU
Vtu
VIRU
Atti
ar c t g
R
XX
ar c t g
A
Z
U
I
XXRZ
C
X
LX
C
CC
L
LL
R
R
CL
CL
C
L
)1731 4s i n (235 2)907331 4s i n (235 2
35 2804.4
)16 331 4s i n (217 6)907331 4s i n (217 6
17 6404.4
)7331 4s i n (213 2
13 2304.4
)7331 4s i n (24.4)532031 4s i n (24.4
53
30
8040
4.4
50
22 0
50)8040(30)(
80
104031 4
11
401012 731 4
2222
6
3














(2)
(3)
第 2 章 正弦交流电与电抗元件相量图如图 2 - 26所示。
＋U
C
·
U
L
·
U
C
·
I
·
U
R
·
U
·
17°
U
L
·
20°
73°
图2 - 2 6 例2,1 1 相量图第 2 章 正弦交流电与电抗元件
2.6.3 功率因数的提高实际用电设备的功率因数都在 1 和 0 之间,例如白炽灯的功率因数接近 1,日光灯在 0.5左右,工农业生产中大量使用的异步电动机满载时可达 0.9左右,而空载时会降到 0.2
左右,交流电焊机只有 0.3～ 0.4,交流电磁铁甚至低到 0.1。
功率因数的大小直接关系到交流电源提供功率的损耗。由于在电力系统中接有大量的感性负载,线路的功率因数一般不高。
第 2 章 正弦交流电与电抗元件
1,提高功率因数的意义
1）
一般交流电源设备（发电机、变压器）都是根据额定电压 UN和额定电流 IN进行设计、制造和使用的。它能够给负载提供的有功功率为 P1= UNINcosφ。当 UN,IN为定值时,若 cosφ低,则负载吸收的功率就低,因而电源供给的有功功率 P1也低,这样电源的潜力就没有得到充分发挥。
第 2 章 正弦交流电与电抗元件例如额定容量为 SN=100 kVA的变压器,若负载的功率因数 cosφ=1,则变压器工作在额定状态时,可输出有功功率 P1= SNcosφ=100kW; 若负载的 cosφ=0.2,则变压器工作在额定状态时输出的有功功率为 P1=SNcosφ=20kW。
若增加输出,则电流就会过载。 所以,这时的变压器并没有得到充分利用。因此,提高负载的功率因数,就可以提高电源设备的利用率。
第 2 章 正弦交流电与电抗元件
2） 降低线路损耗和线路压降输电线上的损耗为 （ R为线路电阻）,线路压降为 U1=RI1,而流过线路的电流为 I1=P/(U cosφ)。由此可见,当电源电压 U及输出有功功率 P一定时,提高 cosφ,
可以使线路电流减小,从而降低传输线上的能量损耗,提高传输效率。同时使线路上的压降减小,负载的端电压的变化也减小,提高了供电质量。在相同的线路损耗的情况下,可以节约用铜。 因为 cosφ提高,电流减小,在 P
一定时,线路电阻可以增大,故传输导线可以细些,节约了铜材。
RIP 21?
第 2 章 正弦交流电与电抗元件提高功率因数的方法除了提高用电设备本身的功率因数（例如正确选用异步电动机的容量或减少轻载和空载）外,主要是通过在感性负载两端并联电容器的方法对其无功功率进行补偿,如图 2 - 27（ a）所示。
第 2 章 正弦交流电与电抗元件
( a )
I
·
U
·
( b )
I
·
U
·
I
1
·
R
j X
L
I
C
·
I
1
·
I
C
·
I
C
·
O
1
2
电路 相量图感性负载
－ jX
C
图2 - 2 7 感性负载并联电容提高功率因数第 2 章 正弦交流电与电抗元件设负载的端电压为,在未并联电容时,感性负载中的电流为


111
.
1
.
.
Z
U
Z
U
jXR
U
Z
UI
L
当并上电容后,不变,而电容支路电流为
1
.I
CC X
Uj
jX
UI
..
.
则线路总电流为
CIII
.
1
.,
U
第 2 章 正弦交流电与电抗元件相量图如图 2 - 27（ b）所示。
从相量图可看出,在感性负载的两端并联适当的电容后,可使电压与电流的相位差 φ减小,即原来是 φ1,现减小为 φ2。由于 cosφ2 > cosφ1,线路中总电流由 I1减小为 I。
这时感性负载与电容器之间发生能量互换,因而使电源设备的容量得到充分利用,线路上的能量损耗和压降也相应减小。
第 2 章 正弦交流电与电抗元件
3
未并入电容时,电路的无功功率为
1
1
11
111 t a nc o s
c o ss i ns i n?
PUIUIQ
而并入电容后,电路的无功功率为
22' t a ns i n PUIQ
因而电容需要补偿的无功功率为
)t a n( t a n 21' PQQQ c
又因
2
2
2 CU
X
UXIQ
C
CCC
第 2 章 正弦交流电与电抗元件所以
)t a n( t a n2 2122 fUPUQC C
式中 P是负载所吸收的有功功率,U是负载的端电压,φ1和
φ2分别为补偿前和补偿后的功率因数角。
为了提高电网的经济运行水平,充分发挥设备的潜力,减少线路功率损失和提高供电质量,国家有关部门规定一般工业用户的功率因数以 0.85为标准,优惠用户以 0.90为标准,若用户实际月平均功率因数超过或低于标准功率因数时,要按一定的百分比减收或增收电费。
第 2 章 正弦交流电与电抗元件例 2.12 某电源 SN=20kVA,UN=220V,f=50Hz。试求,
（ 1） 电源的额定电流 ;
（ 2） 若电源向功率为 40W,cosφ1=0.54 的日光灯供电,
（ 3） 若将电路的功率因数提高到 cosφ2=0.9,此时线第 2 章 正弦交流电与电抗元件解 （ 1） 额定电流
AUSI
N
N
N 91220
1020 3
（ 2） 设日光灯的盏数为 n,即 n× P=SNcosφ1,则
2 5 040 5.01020c o s
3
1
P
Sn N?
此时线路电流为额定电流,即 I1=91A。
（ 3）因电路总的有功功率 P=n× 40=250× 40=10kW,
所以此时线路中的电流为
AU PI 5.509.02 2 0 1010c o s
3
2

第 2 章 正弦交流电与电抗元件将功率因数由 0.5提高到 0.9,线路电流由 91A下降到
50.5A,使电源仍有潜力给其他负载供电。又因为
cosφ1=0.5,φ1=60°,tanφ1=1.731,cosφ2=0.9,
φ2=25.8°,tanφ2=0.483,则所需并联电容器的电容量为
FfUPC 8 2 0)4 8 3.07 3 1.1(2 2 0502 1010)t a n( t a n2 2
3
212

第 2 章 正弦交流电与电抗元件
2.7.1 互感及互感器
1,互感图２ - 28 所示为两个相距很近的线圈（电感）。当线圈１中通入电流 ｉ １ 时,在线圈 1中就会产生自感磁通
Φ11,而 Φ11中的一部分（或全部）将与另一线圈２相交链,
用 Φ21表示,且 Φ21≤Φ11。这种一个线圈的磁通与另一线圈相交链的现象,称为磁耦合。将 Φ21称为耦合磁通,或互感磁通。
2.7 互感与变压器第 2 章 正弦交流电与电抗元件
1
i
1
1′
i
1
2 2′
－ ＋
u
2 1
N
1
N
2
Φ
21
Φ
11
图2 -28 两 个线圈的互感第 2 章 正弦交流电与电抗元件当线圈１中的电流 ｉ １ 变化时,自感磁通 Φ11也会随电流的变动而变化。根据电磁感应定律,除了在线圈１中产生自感电压外,还将通过耦合磁通 Φ21的变化在线圈２中也产生感应电压,该电压称为互感电压,记为 ｕ 21。根据线圈２
的绕向，选择 ｕ 21和 Φ21的参考方向,它们之间符合右螺旋定则。
dt
tdu )(21
21

式中 Ψ21为互感磁通链。设线圈２的匝数为Ｎ ２,则
Ψ21＝ Ｎ ２ Φ21 。
第 2 章 正弦交流电与电抗元件同理,如果线圈２中通以电流 ｉ ２ 时,在线圈２中也会产生磁通 Φ22,它的一部分（或全部）与线圈１交链,
用 Φ12表示,Φ12≤Φ22。
在线圈１中产生的互感磁通链 Ψ12＝ Ｎ 1Φ12,Ｎ 1为线圈１的匝数。当电流 ｉ 2变动时同样会在线圈１中产生互感电压 ｕ 12。按照右手螺旋定则可确定 ｕ 12和 Φ12的参考方向。
dt
tdu )(12
12

第 2 章 正弦交流电与电抗元件如果线圈周围没有铁磁物质,则互感电压可分别写为
dt
di
Mu
dt
di
Mu
2
12
1
2121
12?
式中 M12=|Ψ12/i2|,M21=|Ψ21/i1|,Ｍ 12,Ｍ 21称为互感系数或互感,单位为亨利（Ｈ）,可以证明 Ｍ 12＝ Ｍ 21＝ Ｍ,
表明互感具有互易性。
第 2 章 正弦交流电与电抗元件根据以上分析可见,按右手螺旋定则所确定的互感电压的正极性（或参考方向）与施感电流的参考方向和两个线圈的绕向都有关系。 而且施感电流流进线圈的端子
（简称为进端）与另一个线圈中的互感电压的正极性端有着对应的关系。 我们将具有这种对应关系的端子称为两耦合线圈的同名端（对应端）,并用符号,.‖将它们标记出来。也可把图 2 - 28的两个耦合线圈（电感）用图 2 -
29的模型符号来表示。
第 2 章 正弦交流电与电抗元件
1 1′ 2 2′
i
1
L
1
－ ＋
u
2 1
L
2
M
图2 - 2 8 图形符号耦合线圈的同名端是这样规定的：假设两电流分别从两线圈各自的某端同时流入 (或流出 )，如果交链各线圈的自磁通与互磁通方向一致，则这两端称为该耦合线圈的同名端。
图 2-29 图形符号第 2 章 正弦交流电与电抗元件若知道耦合线圈的位置及线圈的绕向,根据上述同名端的规定，可以判定它们的同名端。而实际中,有的耦合线圈是密封的，外部只露出 4个端子，两线圈的相对位置及绕向从外部全然看不出。工程上常用实验的方法来确定这类耦合线圈的同名端。例如当有增大的施感电流注入线圈时（进端）,则它与耦合线圈中电位升高的一端构成同名端。
第 2 章 正弦交流电与电抗元件例 2.13 如图 2 - 30所示,已知线圈的绕向和位置,
试判别同名端。
i
1
a b
L
1
L
2
M
dc
( a ) ( b )
a
b
L
1
c
d
L
2
M
图2 - 3 0 例2,1 3 图
i
2
第 2 章 正弦交流电与电抗元件解 方法一,在图（ a）中,设电流 i1从 L1线圈的 a端流入,按右手螺旋关系确定它所激励的磁通方向（用实线表示）,该磁通的一部分穿入 L2线圈,线圈 L2中产生感应电压及电流,其对应的磁通会阻碍穿入磁通的变化,因此,
用右手螺旋关系可确定线圈 L2中所产生感应电压的正端为 d端,所以 a,d两端为同名端 ; b,c两端也为同名端。
方法二,设电流 i1,i2分别从 a端,d端流入,按右手螺旋关系分别画出电流 i1,i2所激励的磁通,分别用实线和虚线表示,磁通相助,可判定 a,d两端为同名端。
同理可判定图（ b）中 a,c两端为同名端,b,d两端第 2 章 正弦交流电与电抗元件
2．电压互感器在高电压的交流电路中必须使用电压互感器,将高压转变为低压（常为 100V）,以便测量、继电保护及电路指示等。
电压互感器的原绕阻匝数较多,与被测电路并联。
副绕组的匝数较小,接测量仪表和控制电路及指示电路,
如图 2 - 31 所示。其中
21
2
1
2
1
KUU
K
N
N
U
U

则第 2 章 正弦交流电与电抗元件只要适当地选择变比 K,就能从副边的电压表上间接地读出高压侧的电压 ; 有些专用电压互感器,可以直接从电压表读出高压侧的电压值。
V
U
1
图2 - 3 1 电压互感器
N
1
N
2
接保护电路U 2
A
图2 - 3 1 电流互感器
N
2
接保护电路
i
2
N
1
i
1
S
图 2-31 电压互感器 图 2-32 电流互感器第 2 章 正弦交流电与电抗元件
3,电流互感器电流互感器可将线路中的大电流变为副边的小电流,
以适应电流表的量程。 在测量及指示高压电路中的电流时,为了安全,也须采用电流互感器。 电流互感器的构造与普通变压器相似。如图 2 - 32 所示。
电流互感器的原绕组导线较粗,匝数少。 使用时将原绕组导线与被测电路串联,副绕组的导线较细,匝数多,
它与电流表或功率表的电流线圈相串联。 通常副边的额定电流为５ A或１ A。 其中第 2 章 正弦交流电与电抗元件
KN
N
I
I 1
1
2
2
1
则被测电流为
KI
2
1
1?
对于专用的电流互感器,从电流表上能直接读出原边线路中大电流的数值或高压侧电流的数值。
第 2 章 正弦交流电与电抗元件在使用电压互感器或电流互感器时,副边一定要接地,以防止当高压绕阻的绝缘损坏时,在低压边出现高电压或电流,以保证安全。此外,在正常运行时副边不允许断开 ; 因为在正常运行时原边磁动势 I1N1 和副边磁动势 I2N2 基本上互相抵消,铁心中的磁动势只有 I1N1的 0.5％左右。如果副边断开,则 I2N2=0,
而原边的负载还在工作,I1N1保持不变,这样,铁心中的磁通将大大增加。 由于磁滞和涡流损耗均与磁感应强度的平方成正比,故铁损大大增加,铁心剧烈发热,以致烧坏互感器。 同时由于副边绕组的匝数多,当磁通急剧增加时,产生的感应电动势很高,可能将绝缘击穿,或发生触电事故。 所以副边不能断开。
如在运行时需要拆换电流表,可将副边与电流表并联的开关接通,将电流表短接,拆换后再将开关断开。
第 2 章 正弦交流电与电抗元件图 2 - 33 是钳形电流表,它把电流互感器和电流表配套装在一起。 电流互感器的铁心像把钳子,在测量时可用手柄将铁心张开,把被测电流的导线套进钳形铁心内,被测电流的导线就是电流互感器的原边（只有一匝）,副边按一定的变比接电流表,这样可以从电流表中直接读出被测电流的大小。这种钳形电流表用于测量 20～ 1000A范围内的电流,并且不用断开被测电路,
所以使用比较方便。
第 2 章 正弦交流电与电抗元件图 2 – 33 钳形电流表第 2 章 正弦交流电与电抗元件
2.7.2 变压器及其工作原理变压器是利用电磁感应原理传输电能或电信号的器件,
它具有变压,变流和变阻抗的作用。 变压器的种类很多,
应用十分广泛。 比如在电力系统中用电力变压器把发电机发出的电压升高后进行远距离输电,到达目的地后再用变压器把电压降低以便用户使用,以此减少传输过程中电能的损耗 ; 在电子设备和仪器中常用小功率电源变压器改变市电电压,再通过整流和滤波,得到电路所需要的直流电压 ; 在放大电路中用耦合变压器传递信号或进行阻抗的匹配等等。 变压器虽然大小悬殊,用途各异,但其基本结构和工作原理却是相同的。
第 2 章 正弦交流电与电抗元件
1
变压器由铁心和绕组两个基本部分组成,如图 2 - 34所示,在一个闭合的铁心上套有两个绕组,绕组与绕组之间以及绕组与铁心之间都是绝缘的。
u
1
i
1
N
2
N
1
u
2
Z
L
( a ) ( b )
图2-34 变压器第 2 章 正弦交流电与电抗元件变压器的铁心由 0.35～０,５ mm厚的硅钢片交错叠装而成,图 2 - 35
绕组一般采用绝缘铜线或铝线绕制,其中与电源相连的绕组称为原绕组（或称为原边,初级） ; 与负载相连的绕组称为副绕组（或称为副边,次级）。 按铁心和绕组的组合结构可分为心式变压器和壳式变压器,如图 2 -
36所示。 心式变压器的铁心被绕组包围,而壳式变压器的铁心则包围绕组。
第 2 章 正弦交流电与电抗元件图 2-35 变压器的铁心第 2 章 正弦交流电与电抗元件图 2-36 变压器的结构形式第 2 章 正弦交流电与电抗元件
2．变压器原理及应用
1） 空载运行和电压变换如图 2 - 37所示,将变压器的原边接在交流电压 ｕ 1上,副边开路,这种运行状态称为空载运行。此时副绕组中的电流 i2=0,电压为开路电压 u20,原绕组通过的电流为空载电流 i10,电压和电流的参考方向如图所示。图中 Ｎ １ 为原绕组的匝数,Ｎ ２ 为副绕组的匝数。
第 2 章 正弦交流电与电抗元件
e
1
u
1
i
10
N
1
e
2
u
20
N
2
Φ
图2- 37 变 压器的空载运行第 2 章 正弦交流电与电抗元件副边开路时,通过原边的空载电流 i10就是励磁电流。
磁动势 i10N1在铁心中产生的主磁通 Φ既穿过原绕组,也穿过副绕组,于是在原,副绕组中分别感应出电动势
ｅ １ 和 ｅ ２ 。且 ｅ １ 和 ｅ ２ 与 Φ的参考方向之间符合右手螺旋定则,由法拉第电磁感应定律可得
dt
d
Ne
dt
d
Ne


22
11
第 2 章 正弦交流电与电抗元件
ｅ １ 和 ｅ ２ 的有效值分别为
m
m
fNE
fNE


22
11
44.4
44.4
（ 2.34）
(2.35)
式中 ｆ 为交流电源的频率,Φm为主磁通的最大值。
如果忽略漏磁通的影响并且不考虑绕组上电阻的压 降时,可认为原,副绕组上电动势的有效值近似等于原,副绕组上电压的有效值,即
22
11
EU
EU
第 2 章 正弦交流电与电抗元件
KNNfNfNEEUU
m
m

2
1
2
1
2
1
20
1
44.4
44.4因此由式（ 2.36）可见,变压器空载运行时,原,副绕组上电压的比值等于两者的匝数之比,Ｋ 称为变压器的变比。
若改变变压器原,副绕组的匝数,就能够把某一数值的交流电压变为同频率的另一数值的交流电压
11
1
2
20
1 U
KUN
NU
当原绕组的匝数 Ｎ 1比副绕组的匝数 Ｎ ２ 多时,Ｋ ＞１,
这种变压器为降压变压器 ; 反之,当 Ｎ １ 的匝数少于 Ｎ ２ 的匝数时,Ｋ ＜１,为升压变压器。
(2.36)
第 2 章 正弦交流电与电抗元件例 2.14 已知某变压器铁心的截面积为 20cm2,铁心中磁感应强度的最大值不能超过 0.２ Ｔ,若要用它把 220Ｖ工频交流电变换成为 20Ｖ的同频率交流电,原、副绕组的匝数应为解 铁心中磁通的最大值
WbSB mm 00 04.010202.0 4
原绕组的匝数应为
2 4 7 7
0 0 0 4.05044.4
2 2 0
44.4
1
1
mf
UN
第 2 章 正弦交流电与电抗元件副绕组的匝数应为
2 2 50 0 0 4.05044.4 2044.4 22
mf
UN
或
2 25
20
2 20
2 47 7
2
1
11
2
U
U
N
K
N
N
第 2 章 正弦交流电与电抗元件
2）
如图 2 - 38所示,变压器的原绕组接交流电压 u１,副绕组接上负载 Ｚ L,这种运行状态称为负载运行。 这时副边的电流为 ｉ ２,原边电流由 ｉ 10增大为 ｉ １,且 u２ 略有下降,这是因为有了负载后,ｉ １,ｉ ２ 会增大,原,副绕组本身的内部压降也要比空载时增大,使副绕组电压 Ｕ ２ 比
Ｅ ２ 低一些。 因为变压器内部压降一般小于额定电压的
１０％,因此变压器有无负载对电压比的影响不大,可以认为负载运行时变压器原,副绕组的电压比仍然基本上等于原,副绕组匝数之比。
第 2 章 正弦交流电与电抗元件
e
1
u
1
i
10
N
1
e
2
u
20
N
2
i
2
Z
L
Φ
图2 - 3 8 变压器的负载运行第 2 章 正弦交流电与电抗元件变压器负载运行时,由 ｉ ２ 形成的磁动势 ｉ ２ Ｎ ２ 对磁路也会产生影响,即铁心中的主磁通 Φ是由 i1N1和 i2N2共同产生的。由式 U≈E≈4.44fNΦm可知,当电源电压和频率不变时,铁心中的磁通最大值应保持基本不变,那么磁动势也应保持不变,即
1
.
1011
.
NINI?
第 2 章 正弦交流电与电抗元件由于变压器空载电流很小,一般只有额定电流的百分之几,因此当变压器额定运行时,可忽略不计。 则有 。
可见变压器负载运行时,原,副绕组产生的磁动势方向相反,即副边电流 Ｉ ２ 对原边电流 Ｉ １ 产生的磁通有去磁作用。 因此,当负载阻抗减小,副边电流 Ｉ ２ 增大时,铁心中的磁通 Φm将减小,原边电流 Ｉ １ 必然增加,以保持磁通 Φm基本不变,所以副边电流变化时,原边电流也会相应地变化。原、副边电流有效值的关系为
11
,NI
22
.
11
,NINI
第 2 章 正弦交流电与电抗元件
KN
N
I
I 1
1
2
2
1
(2.37)
由式（ 2.37）可见,当变压器额定运行时,原,副边的电流之比近似等于其匝数之比的倒数。若改变原,副绕组的匝数,就能够改变原,副绕组电流的比值,这就是变压器的电流变换作用。
不难看出,变压器的电压比与电流比互为倒数,因此匝数多的绕组电压高,电流小 ; 匝数少的绕组电压低,电流大。
第 2 章 正弦交流电与电抗元件例 2.15 已知某一变压器 Ｎ １ ＝ 1000,Ｎ ２ ＝ 100,Ｕ １ ＝
20Ｖ,Ｉ ２ ＝ 2Ａ,负载为纯电阻,忽略变压器的漏磁和损耗,
求变压器的副边电压 Ｕ ２,原边电流 Ｉ １ 和输入、输出功率。
WIUP
WIUP
A
K
I
I
V
K
U
U
N
N
K
44222;442.0220;2.0
10
2;22
10
220;10
100
1000
222
111
2
1
1
2
2
1





解 变压比：
副边电压：
原边电流：
输入功率：
输出功率第 2 章 正弦交流电与电抗元件由此可见,当变压器的功率损耗忽略不计时,它的输入功率与输出功率相等,符合能量守恒定律。
在远距离输电线路中,线路损耗 Ｐ l与电流 Ｉ l的平方乘以线路电阻 Ｒ l的积成正比,因此在输送同样功率的情况下,
如果所用电压越高,电流就会越小,输电线上的损耗越小,
可以减小输电导线的截面积,从而大大降低了成本。 所以电厂在输送电能之前,必须先用升压变压器将电压升高,
传输到用户后,电压不能太高,通常为 380Ｖ或 220Ｖ,因此要用降压变压器再进行降压。
第 2 章 正弦交流电与电抗元件
3） 阻抗变换变压器除了具有变压和变流的作用外,还有变换阻抗的作用。 如图 2 - 39所示,变压器原边接电源 Ｕ 1,副边接负载阻抗 |ZL|,对于电源来说,图中虚线框内的电路可用另一个阻抗 |Z/L|来等效。所谓等效,就是它们从电源吸取的电流和功率相等。当忽略变压器的漏磁和损耗时,等效阻抗由下式求得
LLL ZKZ
N
N
I
N
N
U
N
N
I
U
Z
2
2
2
1
2
1
2
2
1
1
1'
)(
)(
2?



第 2 章 正弦交流电与电抗元件式中 为变压器副边的负载阻抗。可见,对于变比为 Ｋ 且变压器副边阻抗为 |ZL|的负载,相当于在电源上直接接一个阻抗 |Z/L|=K2|ZL|的负载。也可以说变压器把负载阻抗 Ｚ L变换为 |Z/L|。因此,通过选择合适的变比 Ｋ,可把实际负载阻抗变换为所需的数值,
这就是变压器的阻抗变换作用。
2
2
I
UZ
L?
第 2 章 正弦交流电与电抗元件
i
1
u
1 N
1
N
2
i
2
Z
L
u
2 u
1
i
1
Z
L
图2 - 3 9 变压器的阻抗变换作用
′
在电子电路中,为了提高信号的传输功率,常用变压器将负载阻抗变换为适当的数值,使其与放大电路的输出阻抗相匹配,这种做法称为阻抗匹配。
第 2 章 正弦交流电与电抗元件例 2.16 某交流信号源的电动势 Ｅ ＝ 120V,内阻Ｒ
0=800Ω,负载电阻 Ｒ l＝８ Ω。试求,
（ 1） 若将负载与信号源直接相连,如图 2- 40（ａ）
所示,
（ 2） 若要信号源输给负载的功率达到最大,负载电阻应等于信号源内阻。 今用变压器进行阻抗变换,
则变压器的匝数比应选多少？阻抗变换后信号源的输第 2 章 正弦交流电与电抗元件
R
0
( a ) ( b )
＋
－
R
L
N
1
图2 - 4 0 例2,1 6 示意图
LC 串联电路
R
0
＋
－
E E
N
2
R
L
LC 并联电路第 2 章 正弦交流电与电抗元件解 (1) 由图 (ａ )可知,若将负载直接与信号源连接,信号源的输出功率为
WRRR ERIP L
L
L 1 7 6.0888 0 0
1 2 0)( 22
0
2


(2) 如图 (b)所示,用变压器把负载 Ｒ Ｌ 变换为等效电阻,
使其阻值与电源内阻相等。
1088 0 0
'
'
L
L
L R
RR
信号源的输出功率为
WRRR ERIP L
L
L 5.48 0 08 0 08 0 0
1 2 0 2'2
'
0
'2




可见,阻抗匹配后输出功率为最大。
第 2 章 正弦交流电与电抗元件
2.8 LC 谐 振 电 路实训 3 LC回路频率特性测试
1．
（ 1） 了解串,并联谐振电路的结构及谐振的条件与特点。
（ 2） 体验串,并联谐振对电路的影响和作用。
（ 3） 学会利用 Q表测量电感与电容的方法。
第 2 章 正弦交流电与电抗元件
2,实训设备、
1）
高频信号发生器 1台,双通道示波器 1台,Q表一台,
电阻器,电容器,电感器若干。 以上设备与器件的规格型号无特殊要求。
第 2 章 正弦交流电与电抗元件高频信号发生器
( a ) LC 串联电路
R
～
51
( b ) LC 并联电路
I
L
C
可变电容
5 ～ 2 7 0 p F
u
L
u
C
高频信号发生器
R
～
51
I
L C
u
o1 m H
1 m H
图2 - 4 1 串联谐振电路接线图
2）
实训电路如图 2 - 41所示,（ a）图中,电感与电容串联,
（ b）图中,电感与电容并联。
第 2 章 正弦交流电与电抗元件
3,实训步骤
1）
（ 1） 按图 2 - 41（ a）连接线路。
（ 2） 将高频信号发生器的频率置 500 kHz,输出幅度调至最大。
（ 3） 用示波器观测电感上端与电容下端之间电压的波形。 仔细调节可变电容器,并用示波器仔细观察电压幅度的变化,当电压幅度最小时,读出其电压的峰峰值 Uo。在这一过程中,体会波形幅度在调节可变电容时的变化规律。
体会改变电容值对电压输出幅值的影响。
也可以将可变电容值固定在某一数值,通过仔细调节信号源频率,重复上述过程，并使 ULC幅度最小。
第 2 章 正弦交流电与电抗元件
（ 4） 用示波器分别测量并记录出当电压幅值最小时的频率,输入电压 Ui（高频信号发生器输出电压 ),电流 I、
电阻两端电压 UR,电容两端电压 UC、电感两端电压
UL(均为峰峰值 ),电感上端与电容下端之间电压 Uo,并填入表 2 - 2。
注意对表中的各电压数值进行比较。
f C I Ui U0 UR UL UC
表 2 - 2
第 2 章 正弦交流电与电抗元件
（ 5） 仔细阅读 Q表说明书。 打开 Q表电源,对照说明书了解各旋钮的作用及 Q表的使用方法。
（ 6） 取下电感和电容,分别用 Q表测量它们的数值。注意,取下电容时,不要改变其容量。
（ 7） 将测得的电感与电容的数值代入 中
（ L的单位用 H,电容的单位用 F）,计算 f。
（ 8） 将计算的 f值与信号源的频率 f进行比较。
如果你的操作与计算都很细心,你会发现,两者的数值十分接近。
LCf?2
1?
第 2 章 正弦交流电与电抗元件
2）
（ 1） 按图 2 - 41（ b）连接线路。
（ 2） 将高频信号发生器的频率置 500kHz,仔细调节可变电容器,使输出电压 Uo的幅度最大。
（ 3） 用示波器观测电容两端电压的波形,读出其电压的峰峰值 UC。 在这一过程中,体会波形的幅度在调节可变电容时的变化规律。 也可以将可变电容固定在一个位置,通过调节信号源频率 f,重复上述过程，并使 ULC幅度最大。
(4) 用示波器测量当输出电压幅值最大时的频率,电容、
输入电压 Ui（高频信号发生器输出电压 )、电流 I、电阻两端电压 UR,电容两端电压 UC（均为峰峰值 ),并填入表 2 - 3。
第 2 章 正弦交流电与电抗元件注意对表中的数值进行比较。
（ 5） 重复串联电路实验中,（ 6）,（ 7）、（ 8）的内容。
f C I Ui Uc UR
表 2 - 3
第 2 章 正弦交流电与电抗元件
（ 1） 在 LC串联电路与并联电路中,我们发现,电路对输入信号的频率存在一定的响应关系。 在串联电路中,当输入信号频率固定,改变电路参数（电容,电感）或电路参数一定,改变信号源频率可以使输出电压幅值为最小,这一现象称为串联谐振。 同样在并联电路中,当输入信号频率固定,改变电路参数（电容,电感）或电路参数一定,
改变信号源频率可以使输出电压幅值为最大,这一现象称为并联谐振。 将电路处于谐振时所对应的输入信号频率称为谐振频率。
第 2 章 正弦交流电与电抗元件
（ 2） 从计算结果可以看出,无论是并联谐振还是串联谐振,电路的谐振频率与 L,C有关,在后面的学习中可以证明,电路的谐振频率由下式决定
（ 3） 串联谐振时,回路中的电流最大,而测得的电压却最小,这说明阻抗 Z=R+jX最小,即 X最小。 此时增大或减小电感或电容,电流均减小,说明电路中的电抗随电感和电容的变化而变化。 且增加电感,减小电容,电路呈现电感性 ;
减小电感,增大电容,电路呈现电容性。一般地讲,在谐振时增大或减小电感,电容都能消除谐振。 R,L,C串联电路谐振时,增大或减小电阻,谐振状态不会改变。
LC
f
2
1
0?
第 2 章 正弦交流电与电抗元件
（ 4） 并联谐振时,电流 I最小,而电容两端的电压 UC却最大,这说明阻抗 Z=R+jX最大,即 X最大。 此时增大或减小电感或电容,电流均增大,说明电路中的电抗是随电感和电容的变化而变化的。 在谐振时增大或减小电感,电容都能消除谐振。
5） 在 R,L,C串联谐振电路中谐振时 UC＝ UL,
Ui≠UR+Uo,而 Uo＜ UC+UL,与直流电路中的运算是截然不同的。 同理在并联谐振电路中的总电流 I≠IC+IL,以上问题将在后面加以分析。
第 2 章 正弦交流电与电抗元件
2.8.1 串联谐振在图 2 - 42（ a）所示的 RLC串联电路中,电流与电压的相位是不同的。 若要使其相位相同,可通过调节电路中的 L、
C参数或改变外加电压的频率来实现。
( a )
I
·
( b )
图2 - 4 2 串联谐振电路
I
·
U
I
·
L
U
L
·
U
C
·
U
L
·
U
C
·
U
·
＝ U
R
·
C
第 2 章 正弦交流电与电抗元件当电感上的电压与电容上的电压幅值相等,相位相反时,它们正好相互抵消,
得 XL=XC
即或得可见,只要满足式（ 2.39
由 Z=R+jX
可得 X=XL-XC=0
则 Z=R
CLCL IXIXUU,
CL
1?
fcfL 2
12?
LCff?2
1
0
(2.38)
(2.39)
第 2 章 正弦交流电与电抗元件电路呈现电阻性,回路阻抗为最小。 此时,电流与电压同相位。 这就是为什么在实训电路中通过调整电路中的电容或电感可使 X最小,其两端的电压 Uo最小,电流最大的原因。 由于电路中电阻、电感及电容元件都是串联的,故称为串联谐振。
掌握谐振这一客观规律,使它既能在无线电和电工技术中能得到充分利用,同时又能避免因此而造成的不良后果。
第 2 章 正弦交流电与电抗元件在式（ 2.39）中,将 f0称为谐振频率。当电路参数 L,C
一定时,f0为一定值,所以 f0又称为电路的固有频率。 若此时外加信号的频率与 f0相一致,电路将工作在谐振状态。
若要使电路在频率为 f的外加电压下发生谐振,可以通过改变电路参数 L,C,使电路的固有频率 f0与外加电压的频率 f
相等来实现。两种情况在实训电路中已经得到证实。
串联谐振具有以下特征,
（ 1） 电流与电压同相位,电路呈电阻性。
（ 2） 阻抗最小,电流最大。因为谐振时,电抗 X=0,所以 Z=R+jX=R,其值为最小,电路中的电流 I=U/R为最大。
第 2 章 正弦交流电与电抗元件
(3) 电感的端电压 与电容的端电压 大小相等,相位相反,相互补偿,外加电压与电阻上的电压相平衡,即
,其相量图如图 2- 43（ b）所示。
(4) 电感或电容两端的电压可能大大超过外加电压。 电感或电容的端电压与外电压之比为
Q值称为谐振电路的品质因数。 可见,当 XL>> R时,在 L
或 C的两端就会产生超过外加电压几十至几百倍的电压,对实训记录数据进行比较可看出这一点。 所以串联谐振也叫做电压谐振。
RUU
.,?
LU
.
CU
.
R
L
R
X
RI
IX
U
UQ LLL 0
第 2 章 正弦交流电与电抗元件
2.8.2 并联谐振如果将电感线圈与电容器相并联,若电路参数选取适当,可使总电流 I与外加电压 U同相位,此时电路发生了并联谐振。 实际上线圈也存在电阻,可看成 R与 L串联后再与 C相并联,如图 2 - 43所示。
( a )
I
C
·
( b )
图2 - 4 3 并联谐振电路
U
·
U
L
·
U
R
·
U
C
·
I
L
·
U
·
I
·
I
1
第 2 章 正弦交流电与电抗元件
R,L支路中的电流为
LjR
U
jXR
UI
L
..
1
.
电容 C支路中的电流为
.
..
.
1
UCj
C
j
U
jX
U
I
C
C?
则总电流为
.
2222
.
22
.
.
..
1
.
)()(
]
)(
[
U
LR
L
Cj
LR
R
UCj
LR
LjR
UCj
LjR
U
cIII





第 2 章 正弦交流电与电抗元件从上式可看出,若要使电路中的 电流与外加电压 同相位,
必须使 的虚部为零,即
.I,U
.I
22 )( LR
LC


一般情况下,线圈的电阻 R很小,可忽略不计,
LC
f
LC
L
C
2
1
1
1
0
0
谐振角频率为因此谐振频率为第 2 章 正弦交流电与电抗元件并联谐振具有以下特征,
（ 1） 电流与电压同相位,电路呈现电阻性。
（ 2） 阻抗最大,电流最小。
因谐振时,的虚部为零,.I
R
L
R
LR
Z
Z
U
R
LR
U
U
LR
R
I
2
0
2
0
2
.
2
0
2
.
.
2
0
2
0
.
)()(
)()(


即第 2 章 正弦交流电与电抗元件由于实际的电阻 R很小,因此并联谐振阻抗非常高。若 R→0
时,Z→∞ 。可见并联谐振电路会阻止频率 f0的电流通过,使电流非常小。 在实训的记录结果中已经反映出来。
（ 3） 流经电感的电流与电容的电流大小相等,相位相反。
相量图如图 2 - 43（ b）所示。由于 与 同相位,且 的数值又最小,所以 与 大小近似相等,相位相反。
（ 4） 电感或电容支路的电流有可能大大超过总电流。
电感支路的电流 IL（或电容支路的电流 IC）与总电流 I0之比称为电路的品质因数 Q。
.U,I
.I
.
LI C
I.
第 2 章 正弦交流电与电抗元件
R
L
L
R
L
L
Z
Z
U
L
U
I
I
Q L 0
0
2
0
0
0
0
0
0
)(

由于 R<<ω0L,一般可使通过电感或电容支路的电流是总电流的几十至几百倍,因此并联谐振又称为电流谐振。
第 2 章 正弦交流电与电抗元件
2.8.3 谐振电路的应用在电力系统中,若发生串联谐振是非常危险的,例如外加电压为 U=220V,Q=10,如果发生谐振,电感或电容两端的电压 UL=UC=QU=10× 220=2200V。若 Q值再大,其两端的电压会更大,这样高的电压会对设备造成损害。
考虑到电路谐振这一特点,就可设法避免因此而造成电器设备的损坏并保障人身安全。
第 2 章 正弦交流电与电抗元件在电子技术中,串联谐振却得到了广泛应用。例如,在无线电接收机中,串联谐振可用于信号的选择（选频）。图 2 -
44（ a）是收音机中磁性天线的示意图。 线圈绕在磁棒上
（ L）,两端接上可变电容（ C）。 当不同频率的电磁波信号经过天线时,线圈中就会感应出不同频率的电动势 e,其原理线路如图 2 - 44（ b）所示。 电路中的电流是各个不同频率电动势 e1,e2 … en所产生电流的叠加。 如果调节电容 C使之与某电台的信号频率 fn发生谐振,则电路对该电台信号源 en阻抗最小,该频率的信号电流最大,在电感两端就会得到最高的输出电压,经放大和后续电路处理后,扬声器就播出该电台的节目。 而对于其他电台的信号频率,电路不发生谐振,阻抗很大,故电流受到抑制,电感上输出的电压就很小。 因此,调节电容 C的数值,电路就会对不同的频率发生谐振,从而达到选择电台节目的目的。 谐振电路的 Q值越大,
第 2 章 正弦交流电与电抗元件
＋
－
C
R
L
( a ) ( b )
＋
－
f
1
f
2
e
1
e
2
＋
－
f
n
e
n
R
L
C
图2 - 4 4 串联谐振选频电路线圈天线第 2 章 正弦交流电与电抗元件例 2.17 某收音机选频电路的电阻为 10Ω,电感为
0.26mH,当电容调至 238 pF时,与某电台的广播信号发生串联谐振。 试求,
（ 1） 谐振频率 ;
（ 2） 该电路的品质因数 Q;
（ 3） 若信号输入为 10μV,求电路中的电流及电感的端电压 ;
（ 4） 某电台的频率是 960kHz,若它也在该选频电路中感应出 10μV的电压,电感两端该频率的电压是多少？
第 2 章 正弦交流电与电抗元件解 （ 1） 谐振频率
k H zLCf 6 4 0102 3 81026.02 12 1 1230
即与中波段的 f=640kHz的电台发生谐振。
(2) 品质因数
1 0 510 1026.0106 4 022
33
0

R
Lf
R
XQ L
（ 3） 当信号电动势为 10μV时,电流为
AVREII 110100
电感两端电压为
mVQUUU CL 05.110105
第 2 章 正弦交流电与电抗元件
（ 4） 频率为 960kHz时,选频电路对该频率的阻抗为
87087010)2 12( 222222 fCfLRXRZ
当信号的感应电压为 10μV时,与该频率对应的电流为
AAI?0 1 1 5.0100 1 1 5.08 7 01010' 6
6

电感上与该频率相对应的电压为
VIXU LL?18''
第 2 章 正弦交流电与电抗元件由此可见,在上面的选频电路中,电感两端与 640 kHz
信号相对应的电压与 960 kHz信号相对应电压 1050/18=58.4
倍。这就是说,f=960kHz的电台受到了抑制（同理也抑制了其它电台）,只选择了频率为 640 kHz的电台。 L
i
s
C
图2 - 4 5 并联谐振选频电路第 2 章 正弦交流电与电抗元件并联谐振在无线电工程及电子仪器中也得到广泛的应用,例如利用谐振时的高阻抗来进行选频。如图 2 - 45 所示,
将一信号源接于 LC并联电路,信号源输出含有多个不同频率的信号,当并联电路对其中某一频率的信号发生谐振时,
会对其呈现出最大的抗阻 Zmax,从而在信号源两端得到最大电压 Umax,而对其他频率的信号则呈现小阻抗,电压很低,可忽略不计,因此在并联谐振电路的两端可把所需频率的信号筛选出来,其他频率的信号则被抑制掉,从而实现了选频的作用。选频特性的好坏由 Q值决定。
第 2 章 正弦交流电与电抗元件例 2.18 在收音机中频放大器中,利用并联谐振电路对 465kHz的信号进行选频,设线圈 L=150μH,电阻 R=5Ω,谐振时的总电流 I0=1mA。试求,
（ 1） 对 465kHz信号应选用多大电容 ;
（ 2） 谐振时的阻抗 ;
（ 3） 电路的品质因数 ;
（ 4） 电感,电容中的电流。
第 2 章 正弦交流电与电抗元件解（ 1） 选择 465kHz的信号,必须使电路的固有频率
f0=465kHz。
4 38101 50104 6522 6300 LfL
因为线圈电阻 R=5Ω,ω0L>>R,所以 ω0L≈1/ω0C,由此可得
pFLfLC 7 8 0101 5 0)104 6 52( 1)2( 11 6232
0
2
0

（ 2） 谐振阻抗
KR LZ 4.38)(
2
0
0
第 2 章 正弦交流电与电抗元件
(3) 品质因数
880 R LQ?
(4) 电感及电容中的电流
mAQIII CL 880
第 2 章 正弦交流电与电抗元件
2.9 三 相 电
2.9.1 三相交流电源三相交流电一般是由三相交流发电机产生的。在发电机中有 3 个相同的绕阻（即线圈）。 3 个绕组的始端分别用 A,B,C表示,末端分别用 X,Y,Z表示。这 AX,BY
和 CZ 3 个绕组分别称为 A相,B相和 C相绕组。由于电机结构的原因,这三相绕组所发出的三相电动势幅值相等,频率相同,彼此之间相位相差 120° 。可将其表示为第 2 章 正弦交流电与电抗元件
)120s i n ()240s i n (
)120s i n (
s i n


tEtEe
tEe
tEe
mmc
mB
mA

或用相量形式来表示



12 024 0
12 0
0
.
.
.
EEE
EE
EE
C
B
A
第 2 章 正弦交流电与电抗元件
E
m
e
3
2π
ω t
e
A
e
B
e
C
3
2π
( a ) ( b )波形图
E
C
·
E
A
·
E
B
·
1 2 0 °
1 2 0 °
1 2 0 °
图2 - 4 6 三相对称电动势的波形图与相量图相量图
O
其波形图和相量图如图 2 - 46所示。
第 2 章 正弦交流电与电抗元件三相交流电在相位上的先后次序称为相序。 如上述的三相电动势 EA,EB,EC依次滞后 120°,其相序为 A→B→C 。
通常把发电机三相绕组的末端 X,Y,Z联接成一点。 而把始端 A,B,C 作为与外电路相联接的端点。 这种联接方式称为电源的星形联接,如图
2 - 47所示。
第 2 章 正弦交流电与电抗元件图2 - 4 6 三相四线制
A
U
A
·
（黄）
E
A
·
N
U
AB
·
N
B
C
（黑）
（绿）
（红）
U
CA
·
U
BC
·
E
C
·
E
B
·
U
C
·
U
B
·
第 2 章 正弦交流电与电抗元件
N点称为中点或零点,从中点引出的导线称为中线或零线,
有时将中线接地,故又称为地线。 从始端（ A,B,C）引出的 3 根导线称为端线或相线,俗称火线。 它们可用不同颜色
（黄,绿,红）标记。
由 3 根相线和一根中线构成的供电系统称为三相四线制供电系统。 通常低压供电网采用三相四线制。 日常生活中见到的只有两根导线的单相供电线路只是其中的一相,是由一根相线和一根中线组成的。
三相四线制供电系统可输送两种电压,一种是相线与中线之间的电压 UA,UB,UC,称为相电压 ; 另一种是相线与相线之间的电压 UAB,UBC,UCA,称为线电压。
第 2 章 正弦交流电与电抗元件通常规定各相电动势的参考方向从绕组的末端指向始端,
相电压的参考方向从始端指向末端（从相线指向中线）,线电压的参考方向,例如 UAB,则是由 A端指向 B端,由图 2- 47 可知各线电压与相电压之间的关系为
ACCA
CBBC
BAAB
UUU
UUU
UUU
...
...
...



第 2 章 正弦交流电与电抗元件由于三相电动势是对称的,所以相电压也是对称的。
在作相量图时,可先作出相量 然后根据上式分别作出 。由图 2 - 48可见,线电压也是对称的,
在相位上比相应的相电压超前 30° 。线电压的有效值用 Ul
表示,相电压的有效值用 Up表示。 由相量图可知它们的关系为
...,.
CBA UUU
CABCAB UUU
...,.
PUU 31?
(2.40)
第 2 章 正弦交流电与电抗元件
30°
30°
30°
U
AB
·
U
CA
·
U
BC
·
U
C
·
U
B
·
U
A
·
U
A
·
－
－ U
C
·
－
U
B
·
图2 - 4 8 三相电源各电压间的相量关系第 2 章 正弦交流电与电抗元件一般低压供电的线电压是 380V,它的相电压是负载可根据额定电压决定其接法,若负载额定电压是
380 V,就接在两根端线之间 ; 若额定电压是 220V,就接在端线和中线之间。必须注意,不加说明的三相电源和三相负载的额定电压都是指线电压。
V2203/380?
第 2 章 正弦交流电与电抗元件
2.9.2 负载的星形联接（Ｙ形）
三相交流电路中负载的联接方式有两种,星形联接和三角形联接。 负载星形联接的三相四线制电路如图 2 - 49 所示。 若不计中线阻抗,电源中点 N与负载中点 N′等电位 ; 若端线阻抗也忽略,负载的相电压与电源的相电压相等,即
Aa UU
.,?
Bb UU
.,?,.
Cc UU?
负载的线电压与电源的线电压相等,即
CAcaBCbcABab UUUUUU
......

第 2 章 正弦交流电与电抗元件
U
C
·
I
C
·
U
AB
·
U
CA
·
A
BC
U
BC
·
c
U
A
·
U
B
·
I
B
·
a
N
N ′
U
a
·
Z
a
I
a
·
I
A
·
b
I
c
·
U
c
·
U
b
·
I
b
·
Z
c
Z
b
图2 - 4 9 负载星形联接的三相四线制电路第 2 章 正弦交流电与电抗元件负载星形联接时,电路有以下基本关系,
（ 1）相电流等于相应的线电流,即
（ 2） 三相四线制电路中各相电流可分成 3 个单相电路分别计算,即
1,;; IIiiiiii pCcBbAa 或
C
c
C
c
C
Cc
B
b
B
b
B
Bb
A
A
A
Aa
A
a
A
AA
Z
U
Z
U
II
Z
U
Z
U
II
Z
U
Z
U
Z
U
II




..
..
..
..
...
..
第 2 章 正弦交流电与电抗元件其中
C
C
C
B
B
B
A
A
A R
X
R
X
R
X a r c t a n,a r c t a n,a r c t a n
若三相负载不对称,其电压、电流的相量图如图 2 -50
（ a）所示。
若三相负载对称,即 ZA=ZB=ZC时,则有
C
CC
Cc
B
BB
Bb
A
A
A
AA
AA
Z
U
Z
U
II
Z
U
Z
U
II
Z
U
Z
U
Z
U
II




..
..
..
..
...
..
第 2 章 正弦交流电与电抗元件因而相电流（或线电流）也是对称的,如图 2 - 50（ b）所示。显然,在电源和负载都对称的情况下,只需计算其中一相即可。
U
C
·
U
B
·
U
A
·
I
A
·
I
C
·
I
B
·
( a ) 三相负载不对称
U
C
·
U
B
·
U
A
·
I
A
·
I
C
·
I
B
·
( b ) 三相负载对称图2 - 5 0 负载星形联接时的相量图第 2 章 正弦交流电与电抗元件
（ 3） 负载的线电压就是电源的线电压。在对称条件下,
线电压是相电压的 倍,且超前于相应的相电压 30° 。
（ 4）中线电流等于 3 个线（相）电流的相量和。由图 2-
47电路可知,根据基尔霍夫电流定律有
3
CBAN IIII
...,
若负载对称,则
0..., CBAN IIII
第 2 章 正弦交流电与电抗元件可见,在对称系统中,中线中无电流,故可将中线除去,而成为三相三线制系统。常用的三相电动机、三相电炉等负载,在正常情况下是对称的,都可用三相三线制供电。但是如果三相负载不对称,中线上就会有电流 IN通过,此时中线是不能被除去的,否则会造成负载上三相电压严重不对称,使用电设备不能正常工作。 例如,楼宇照明电路是不对称负载的实例。
如图 2 - 51（ a）所示,线电压为 Ul=380V,相电压为 Up=220V,
在有中线时每相为一独立系统,灯泡承受的电压是相电压
220V,各相灯泡发光正常。若 A相断开（如,A相灯开关全切断或电路断开或由于负载短路使 A相熔断器烧毁）,则 A相灯泡熄灭,但 B,C两相的灯泡仍有 220V相电压,工作正常,所接灯泡继续点亮。
第 2 章 正弦交流电与电抗元件倘若上述照明负载无中线,当 A相负载短路时,由图 2 - 51
（ b）可知,两相灯泡要承受 380 V的电压,使 B,C两相灯泡烧毁,电灯全熄灭 ; 若 A相熔断器烧毁,A相则断开,由图 2 - 51
（ c）可知,B,C两相灯泡串联,接于 380 V的线电压上,假设
( a )
A
N
C
N′
B
U
C
·
U
AB
·
U
CA
·
U
BC
·
U
A
·
U
B
·
U
B
·
A
C
B
U
AB
· U
CA
·
U
BC
·
U
C
·
N′
( b )
U
B
·
A
C
B
U
AB
· U
CA
·
U
BC
·
U
C
·
N′
( c )
图2 - 5 1 不对称负载举例第 2 章 正弦交流电与电抗元件
B相是由 9只灯泡并联,C相只有一个灯泡,且所有灯泡额定功率相同,阻值为 R,则 B相总电阻 RB=(1/9)R,C相电阻 RC=R=9RB。
因而 B相灯泡承受的电压 UB=380× 1/10=38 V; 而 C相灯泡承受的电压 UC=380× 9/10=342 V。 即 B相灯泡承受的电压过低,
不能正常发光,而 C相灯泡承受的电压过高,灯泡全部烧毁。
当 C相灯泡烧毁后,整个电路就会中断,电灯全部熄灭。 这就是说,在无中线的情况下,一相电路发生故障,就要影响其他两相的正常工作。可见,中线在三相电路中的作用是既能为用户提供两种不同的电压,同时又为星形联接的不对称负载提供对称的 220 V相电压。 因此,为了保证负载的相电压对称,在中线的干线上是不准接入熔断器和开关的,而且要用具有足够机械强度的导线作中线。
第 2 章 正弦交流电与电抗元件例 2.19 在如图 2 - 52（ a）所示的三相四线制电路中,
外加电压 UL=380 V,试求各相负载电流及中线电流。
( a )
A
N
C
N ′
B
U
C
·
I
A
·
U
B
·
R
1
＝ 4 Ω
j X
L
＝ j3 Ω
R
3
＝ 6 Ω
－ j X
C
＝－ j 8 Ω
I
C
·
I
B
·
R
2
＝ 5 Ω
I
N
·
电路图
I
C
·
I
B
·I
N
·
I
A
·
U
B
·
I
B
·
I
C
·
U
C
·
U
A
·
3 6,9 °
9 7,1 °
5 3,1 °
( b ) 相量图图2 - 5 2 例2,1 9 题图
U
A
·
第 2 章 正弦交流电与电抗元件
VUU p 220338031
解 相电压为 。选为参考相量,则
AU
A
jZ
U
I
A
Z
U
B
jZ
U
I
C
C
C
B
B
A
A
A
I










1.17322
1.5310
120220
86
120220
12044
5
120220
9.3644
9.365
220
34
220
第 2 章 正弦交流电与电抗元件中线电流为



1.975.621.17322
120449.3644CBAN IIII
例 2.20 如图 2-53（ a）所示,在三相四线制电路中,每相负载阻抗 Z=(6+j8) Ω,外加电压 Ul=380V,试求负载的相电压和相电流。
第 2 章 正弦交流电与电抗元件
( a )
A
N
C
N′
B
U
C
·
I
A
·
U
B
·
I
C
·
I
B
·
( b )
ZU
A
·
Z
Z
5 3,1 °
U
C
·
U
B
·
U
A
·
图2 - 5 3 例2,2 0 题图
5 3,1 °
5 3,1 °
I
C
·
I
B
·
I
A
·
第 2 章 正弦交流电与电抗元件解 因为是对称电路,所以可归结到一相来计算,其相电压
VUU P 22031
相电流为
AZUI PP 2286 2 0 0 22
相电压与相电流的相位差为
1.5368a r c t a na r c t a n RX?
其相量图如图 2 - 53（ b）所示。
为参考相量,则AU?
第 2 章 正弦交流电与电抗元件
A
Z
U
I
A
Z
U
B
Z
U
I
C
C
B
A
A
I



9.6622
1.17322
1.5322
第 2 章 正弦交流电与电抗元件
２,9.3 负载的三角形联接（△形）
如果将三相负载的首尾相联,再将 3 个联接点与三相电源端线 A,B,C相接,则构成负载的三角形连接。如图 2- 54
所示为三角形联接的三相三线制电路。图中 ZAB,ZBC,ZCA
分别是三相负载的复阻抗,各电量的参考方向按习惯标出。
若忽略端线阻抗（ Zl=0）,则电路具有以下关系。
（ 1） 相电压等于相应的线电压,
CAcaBCbcabab UUUUUU
,,。有效值关系为
1UU P?
由图 2 - 54可见,不论负载对称与否,负载的相电压总是对称的。
第 2 章 正弦交流电与电抗元件
U
AB
·
U
CA
·
U
BC
·
U
b c
·
U
ca
·
Z
AB
I
ab
· U
ab
·
Z
CA
Z
BC
I
ca
·
I
bc
·
I
B
·
a
b
c
A
B
C
I
A
·
I
C
·
图2 - 5 3 负载三角形联接第 2 章 正弦交流电与电抗元件
(2) 各相电流可以分成 3 个相电流分别计算,即
CA
CA
CA
CA
CA
CA
BC
BC
BC
BC
BC
BC
AB
AB
AB
ABAB
AB
AB
AB
AB
Z
U
Z
U
I
Z
U
Z
U
I
Z
U
Z
U
Z
U
I





CA
CA
CA
BC
BC
BC
AB
AB
AB R
X
R
X
R
X a r c t a n,a r c t a n,a r c t a n
式中,
其电压与电流的相量图如图 2-55 (a)所示。
第 2 章 正弦交流电与电抗元件当负载对称时,ZAB=ZBC=ZCA=Z,且相电流也对称,如图
2-55（ b)所示。 这时电路计算也可归结到一相来进行,即
R
X
z
U
IIII
CABCAB
P
PCABCAB
a r c t a n


(3) 各线电流由两相邻相电流决定。在对称条件下,线电流是相电流的 倍,即,且滞后于相应的相电流
30° 。
由上述可知,在负载为三角形联接时,相电压对称。 若某一相负载断开,并不影响其他两相的工作。
3 PII 31?
第 2 章 正弦交流电与电抗元件图2 - 5 5 负载三角形联接时的相量图
( a )
I
CA
·
I
BC
·
I
AB
·
U
AB
·
U
CA
·
U
BC
·
AB
CA
( b )
I
CA
·
I
BC
·
I
AB
·
U
AB
·
U
CA
·
U
BC
·
BC
第 2 章 正弦交流电与电抗元件例 2.21 在图 2 - 54 所示的三相三线制电路中,各相负载的复阻抗 Z=(6+j8) Ω,外加线电压 Ul=380V,试求正常工作时负载的相电流和线电流。
解 由于正常工作时是对称电路,所以可归结到一相来计算。 其相电流为
AZUI P 38103801
式中,每相阻抗为
1086 2222 XRZ
则线电流为
AII P 8.6538331
相电压与相电流的相位角为
1.5368a r c t gRXa r c t g?
第 2 章 正弦交流电与电抗元件
2.9.4 三相电路的功率三相电路的总功率（有功功率）等于各相功率之和。 当负载为星形联接时,总功率为
cCCBBBAAACBA IUIUIUPPPP c o sc o sc o s
式中 φA,φB,φC分别是各相的相电压与相电流的相位差。
在对称电路中,则有
c o s3
c o s3
11 IUP
IUP PP
或当负载为三角形联接时,其总功率为
CACACABCBCBCABABAB IUIUIUP c o sc o sc o s
第 2 章 正弦交流电与电抗元件在对称电路中
c o s13
3
,
c o s3
11
1
1
UP
I
IUU
IUP
PP
PP

因所以 （ 2.41）
在对称电路中,无论负载是星形联接还是三角形联接,三相电路的总功率均可由式（ 2.41）来表示。其中 φ角即是相电压与相电流的相位差,又是每相负载的阻抗角和功率因数角。
同理,三相电路的无功功率,也等于各相无功功率之和。
在对称电路中,三相无功功率为第 2 章 正弦交流电与电抗元件
s i n3s i n3 11 IUIUQ PP
三相视在功率则为
1122 33 IUIUQPS PP
第 2 章 正弦交流电与电抗元件例 2.22 设三相对称负载Ｚ＝ (６＋ｊ８ ) Ω,接在３８０
Ｖ线电压上,试求分别为星形（Ｙ）接法和三角形（△）接法时,三相电路的总功率。
解 每相阻抗
1.531086 jZ
Ｙ形接法时的线电流等于相电流,即
A
U
Z
U
II PP 22
10
3
380
86
3
22
1
1

第 2 章 正弦交流电与电抗元件则三相总功率为
kWIUP Y 68.81.53c o s223 803c o s3 11
△ 形接法时的线电流
kWIUP
AII
P
261.53c o s8.653 8 03c o s3
8.65
86
3 8 0
33
11
22
1


则三相总功率为第 2 章 正弦交流电与电抗元件计算结果表明,在电源电压不变时,同一负载由星形改接为三角形联接时,功率增加到原来的 3 倍。 所以,要使负载正常工作,负载的接法必须正确。若正常工作是星形联接的负载,误接成三角形时,将因功率过大而烧毁 ; 若正常工作是三角形联接的负载,误接成星形时,
第 2 章 正弦交流电与电抗元件习题与思考题 2
1,什么是交流电的瞬时值和最大值（振幅）？什么是交流电的周期,频率和角频率？它们之间有什么关系？
2,
3,在交流电路中,相位（相位角）、初相位（初位角）
和相位差各表示什么？它们之间有什么不同？又有什么联
4,―超前”,“滞后”和“同相”是什么意思？ 说明题图 2 - 4中 i与 u哪个超前？ 哪个滞后？ 对不同频率的正弦量,
第 2 章 正弦交流电与电抗元件
u
ω t
图题2 - 4
O
i
u
i
第 2 章 正弦交流电与电抗元件
5,已知一正弦电流的振幅 Im=2A,频率 f=50Hz,初相角
φ=π/6,写出它的瞬时值函数式,并绘出它的波形图。
6,已知一正弦电流 i=5sin(ωt + 30° ) A,f=50 Hz,问在
t=0.1s时,电流瞬时值为多少安培？
7,已知电流的瞬时值函数式为 i=sin(1000t + 30° ) A,
试求其最大值、角频率、频率及初相角,并问该电流经多少
8,已知电压与电流的瞬时值函数式为
u=Umsin(1000t+70° ) V,i=Imsin(1000t+10° )A。 试问电压和电流哪个超前？ 超前多少角度和超前多少时间？
第 2 章 正弦交流电与电抗元件
9,用双踪示波器测得两个同频正弦交流电压的波形如题图 2
- 9 所示。 若此时示波器面板上的“时间选择”开关放在,0.5毫秒 /格”档,―Y轴坐标”
开关放在,10伏 /格”
档,试写出 u1(t)及 u2(t)
的瞬时值函数式,并求出这两个电压的相位差。
题图2 -9
u
1
( t )
u
2
( t )
第 2 章 正弦交流电与电抗元件
10,（ 1） 如用交流电压表测得交流电压是 220V,求此交流电压的最大值。
（ 2） 如用交流电流表测得交流电流是 10A,求此电流的最大值。
11,
12,什么叫相量？
13,把下列复数化为极坐标形式,
(1) 236+j25.2; （ 2） 0.14-j0.05;
(3)-5.7+j16.9; (4) -87-j94。
第 2 章 正弦交流电与电抗元件
14,把下列复数化为代数形式,
(1） 50∠ 60° ； （ 2） 91.3∠ -78° ； (3） 58∠ 269° 。
15,已知 A1=10+j3,A2=-2+j6,B1=10∠ 30°,B2=2∠ -170° 。
求 A1+A2,A1-A2,A1·A2,A1/A2,B1+B2,B1-B2,B1·B2,B1/B2和
（ A1＋ A2） B1/B2,A1/A2（ B1-B2）。
16.写出下列正弦电压的相量,
)4537s i n (4.1 4 14)4(;)50s i n (4 0 023)3(
)1 2 0s i n (302)2(;c o s1 0 02)1( 21


tuVtu
VtutVu

第 2 章 正弦交流电与电抗元件
17,写出下列相量所表示的正弦量,
AjIAjI
VUVU
)125(,)8.8650()2(;90100,3050)1(
21
21




18,试求下列两正弦电压之差的有效值,并画出对应的相量图,
)1 50s i n (22 20),30s i n (22 20 21 tutu
19,在某电路中,电源电压 u=10 sinωt V只接电阻 R=2Ω,
试写出通过电阻的电流瞬时值的表达式 ; 如用电流表测量该电路的电流,其读数应为多少？电路消耗的功率是多少？若电源的频率增大一倍,电压值不变,
第 2 章 正弦交流电与电抗元件
20,某线圈的电感为 0.15（电阻可忽略）,接于频率为
50Hz,电压为 220V的电源上,求电路中电流的有效值及无功功率 ; 若电源的频率为 100Hz,电压值不变,又如何？写出电流的瞬时值表达式（以电压为参考量）。
21,某电容 C=8μF,接于电压为 220V、频率为 50Hz的电源上,求电路中的电流及无功功率 ; 若电源的频率为 100Hz,
电压值不变,又如何？ 写出电流的瞬时值表达式（以电压为参考量）。
22,日光灯电源的电压为 220 V,频率为 50Hz,灯管相当于 300Ω的电阻,与灯管串联的镇流器的感抗为 500Ω（电阻忽略不计）,试求灯管两端的电压和工作电流,并画出相量图。
第 2 章 正弦交流电与电抗元件
23,在如题图 2 - 23所示的电路中,外加电压的频率为 50Hz,用电设备的功率因数 λ(=cosφ)=0.8（感性）,
有功功率 P2=5kW,用电设备的端电压 U2=220 V,线路阻抗 Z1=(1.2+j1.8) Ω。试求,
（ 1） 用电设备的电阻与电感 ;
（ 2） 电源的端电压 U;
（ 3） 电源发出的有功功率,无功功率及电路的功率因数。
第 2 章 正弦交流电与电抗元件图题2 - 2 3
U
I
U
2
Z
2
Z
1
第 2 章 正弦交流电与电抗元件
24,在题图 2 - 24 所示的电路中,R=20Ω,电路所消耗的有功功率 P=2000W,无功功率 Q=1500Var,电源的频率为
50Hz。试求,
（ 1） 电路中电流和电压的有效值 ;
（ 2） 电感量 L;
（ 3） 电路的功率因数 λ;
（ 4） 以电流为参考量写出电流图题2 - 2 4
u
i
R
L
第 2 章 正弦交流电与电抗元件
25,通过降低风扇电动机端电压的办法,可以降低风扇的转速。为此可在电源和电动机之间串入电感。若电源电压为 220 V,频率为 50 Hz,电动机的电阻 R=190Ω,电抗
XL=260Ω,现要求电动机的电压 U′=180V,试求串联的电感量应为多？
26,试计算第 22题日光灯电路的平均功率,视在功率、
无功功率和功率因数。
27,题图 2 - 27 所示为测定电感线圈参数的实验方法之一。 若已知 f=50Hz,并由实验测得 U=120V,I=0.8A,P=20W,
试求线圈的电阻 R和电感 L等于多少？
第 2 章 正弦交流电与电抗元件
R
L
A
V
W
图题2 - 2 7
u
第 2 章 正弦交流电与电抗元件
28,在题图 2 - 28(a)所示电路中,如果阻抗 Z1和 Z2的参数选得合适,无论负载阻抗如何改变,负载中电流的有效值 I可保持不变,问阻抗 Z1和 Z2应该怎样选择？问 (b)图所示电路是
Z
1
U
I
1
Z
2
Z
I
( a ) ( b )
U
Z
I
j ωL
ω C
1
j
图题2 - 2 8
第 2 章 正弦交流电与电抗元件
29,晶体管放大电路中,耦合电容常用大容量的电解电容器（如 C=100μF）。 为了改善放大器的高频响应（即增宽输入信号的频带）,需在耦合电容上并联一只小容量的瓷片电容（如 C2=0.01μF）,如题图 2 - 29 所示，小瓷片电容高频电路模型如 (b) 所示。 试分析它增宽频带的原理。
C
2
C
1
图题2 - 2 9
L
1
C
1
(a)
(b)
第 2 章 正弦交流电与电抗元件
30,在 RLC串联电路中,已知 R=20Ω,L=0.1H,C=50μF。
当信号频率 f=1000Hz时,试写出其复数阻抗的表达式,此时阻
31,在 RLC串联电路中,R=16Ω,XL=4Ω,XC=16 Ω。电源电压,求此电路的阻抗 Z、电流和电压,并绘出相量图。此电路的有功功率和功
32,电路如题图 2 - 32 所示。已知 R=50Ω,L=2.5mH,
C=5μF,U=10∠ 0° V,角频率 ω=104rad/s。 求电流 IR,IＣ,IL
和 I,并画出相量图。
Vtu )30314s in (2100I
CLR UUU
,.
第 2 章 正弦交流电与电抗元件
33,晶体管在高频时的等效电路如题图 2 - 33 所示。已知晶体管参数为 R1=300Ω,R2=50Ω,C=750pF,信号电源内阻
Ri=1kΩ,信号电压 U为 10mV,频率为 1MHz,求输出电压的有效值 U1。
34,某台电动机功率为 1.1kW,接在 220V工频电源上,工作电流为 10A。 试求,
（ 1）
（ 2） 如果在电动机两端并联一只 C=79.5μF的电容器,再求整个电路的功率因数。
35,什么叫串联谐振? 串联谐振时电路有何重要特征?试说明晶体管收音机中利用调谐回路选择电台的原理以及调谐的方法。
第 2 章 正弦交流电与电抗元件 R
i
u
R
2
R
1
u
1
C
图题2 - 3 3
U
R
I
＋
－
I
R
I
L
L
C
I
C
图题2 - 3 2
36,串联谐振电路的品质因数 Q
37,某 RLC串联电路处于谐振状态,如果改变电路参数 R、
L或 C的数值（增大或减小）,问电路性质是否改变？为什么？
38,什么叫并联谐振？ 电路发生并联谐振时有何特征？
第 2 章 正弦交流电与电抗元件
39,Q表的原理电路如题图 2 - 39 所示。其中高频振荡电源的频率一般是可以调节的。在进行测量时,电源电压 U
保持一定数值,若将被测线圈接到 1,2两端,调节可变标准电容 CS,使与 CS相并联的电压表的读数为最大,从而就可测出线圈的 Q值。试说明它的测量原理。如果已知频率 f及电容 CS的数值,试写出被测电感 LX的计算公式。
高频振荡器
1
C
S
L
X
R
X
V
2
图题2 - 3 9
第 2 章 正弦交流电与电抗元件
40,在电阻、电感和电容串联谐振电路中,已知输入电压
U=5V,R=10Ω,L=0.13mH,C=558pF,试求电路在谐振时的电流、
品质因数及电感和电容上的电压。
41,在如题图 2 - 41 所示的并联谐振电路中,已知谐振角频率 ω0=5× 106rad/s,品质因数 Q=100,谐振时阻抗 Z=2kΩ,试求 R,L和 C。
图题2 - 4 1
R
L
C
第 2 章 正弦交流电与电抗元件
42,为什么将存在互感的两个线圈进行串联或并联时,必须注意同名端,
43,在图 2 - 40（ b）中,将 RL=8Ω的扬声器接在输出变压器的副边,已知 N1=300匝,N2=100匝,信号电源电动势 E=6V,内阻 R0=100Ω,试求信号源输出的功率。
44,在如题图 2 - 44 所示的正弦稳态电路中,已知电源内阻 RS=9kΩ,负载电阻 RL=1000Ω,为使负载上获得最大功率,变压器的变比 K=N1/N2
第 2 章 正弦交流电与电抗元件
i
s
图题2 - 4 4
R
s
R
L
N
1
N
2
a
b
第 2 章 正弦交流电与电抗元件
45,如题图 2 - 45 所示,互感线圈密封在某黑盒子里,
它外露 4个端子。 现在手头有一台交流信号源及一只万用表,试用实验的方法判别该互感线圈的同名端（要求,画出实验线路图,写出主要判别步骤 )。 黑盒子
A
a
( a ) ( b )
b
c
d
＋
－
U
s
黑盒子
A
a
b
c
d
＋
－
U
s
图题2 - 4 5
第 2 章 正弦交流电与电抗元件
46,规定三相四线制电源线的中线不得加装保险丝,这
47,一组星形负载,每相阻抗均为电阻 8Ω、感抗 6Ω,接于线电压 380V的对称三相电源上,且设 uAB的初相为 60°,求各相电流。
48,如题图 2 - 48 所示为对称三角形负载,设线电流之一 IA=3ej60° A,求其余各线电流及相电流的相量式。
第 2 章 正弦交流电与电抗元件
Z
A
B
C
Z
Z
I
A
I
B
I
C
I
BC
I
CA
I
AB
题图 2 - 48
第 2 章 正弦交流电与电抗元件
49,题图 2 - 49（ a）,(b)所示都是对称三相电源。 试根据图上所示的一相电压及一相电流相量,写出另外两相电压及电流的相量式并绘制相量图。
B
U
AB
＝ 1 1 0 V
I
A
＝ 5 e
－ j 3 0 °
A
A
C
O
I
AB
＝ 5 e
－ j 3 0 °
A
U
AB
＝ 2 2 0 V
B
C
A
图题2 - 4 9
第 2 章 正弦交流电与电抗元件
50,三相对称负载,每相阻抗为（ 6+j8） Ω,三相对称电源的线电压为 380 V。试分别计算当三相负载接成星形及接成三角形时的总功率。