第 5 章 非正弦周期信号的傅立叶分析
1．
（ 1） 进一步熟悉谐振回路的选频特性。
（ 2） 学会用扫频仪测量频率特性的方法。
（ 3） 定性认识方波信号中含有多种频率成分的正弦波。
2．
（ 1） 实训设备：方波信号发生器一台，中波扫频仪一台，
双通道示波器一台,3个由电容,电感组成的选频器,选频器的谐振频率与对应的元件数值见表 5 - 1。
电容 150pF 47PpF 18pF
电感 1.88mH 0.67mH 0.62mH
谐振频率 300kHz 900kHz 1500kHz
（ 2） 实训电路与说明,实训电路如图 5 - 1所示。图中 T1、
T2,T3是 3 个用调幅收音机中周改制的选频器，可以通过调节电感磁心改变谐振频率，它们可以将信号源中与其谐振频率相等的频率成分选取出来。
3 个选频器与一电阻串连后接方波信号发生器。
T
1
L
1
C
1
u
1
T
2
L
2
C
2
u
2
T
3
L
3
u
3
C
3
0
1 2
15k Ω
～
＋
－
3．
1）
（ 1） 在没有接入方波信号源的情况下，将中波扫频仪的输出探头接在图 5-1电路中 1,0两端，扫频仪的检波输入探头接在电路中的 2,0两端。
（ 2） 调节扫频仪的中心频率,使屏幕上显示 3 个选频回路的谐振曲线。
（ 3） 依次调节 3 个选频器的磁心,使屏幕上显示的谐振曲线中心频率分别为 300 kHz,900 kHz,1500 kHz。
2）
（ 1） 按图 5 - 1将信号发生器接入电路输入端，即 1,0两端。打开信号源，将信号选择为方波输出。用示波器的输入探头 1接在信号源的输出端，观察信号源输出波形。调节输出频率并用示波器进行测量，使其频率为 300 kHz，波形图如图 5 - 2所示。
t
T
u
U
m
图5 - 2
（ 2） 用另外一组示波器探头，依次通过 u1,u2和 u3观察并联回路两端的波形。调节选频器磁心，观测波形的变化，
使之成为如图 5 - 3所示的正弦波。
U
m
t
T
t
T
4 U
m
π
u
1
t
4 U
m
3π
u
2
T
t
4 U
m
5π
u
3
T
我要放大
（ 3） 用示波器测量每一个并联回路两端输出波形的幅值及频率。可以发现,① 正弦波的幅值按照一定规律越来越小；② 正弦波的频率分别为：等于方波频率,3 倍方波频率和 5 倍方波频率。
U
m
t
T
t
T
4 U
m
π
u
1
t
4 U
m
3π
u
2
T
t
4 U
m
5π
u
3
T
NEXT
4,
（ 1） 通过第 2 章的讨论我们知道，电感与电容并联可以发生谐振。 而在我们所做的实训项目中，输入信号是方波，但在每个并联电路上得到的却是不同频率的正弦波，说明方波中含有正弦波的成分，而且在方波频率点,3倍方波频率点以及 5倍方波频率点上分别与 3 个 LC并联回路发生谐振。
（ 2） 通过测试并联回路我们可以发现：每个正弦波的频率与所加方波的频率有关，回路 1上所得到的正弦波频率与方波的频率相同，我们称其为基波；回路 2上所得到的正弦波频率是方波频率的 3倍，称为 3次谐波，而回路 3上所得到的正弦波频率是方波频率的 5倍，称为 5次谐波。显然，方波中还含有更多的正弦频率成分，或者说，可以将方波分解成许多不同频率的正弦波。
5.1 非正弦周期信号的产生及其傅立叶分解
5.1.1 电路中产生非正弦信号的原因
（ 1） 当电路中所加激励为非正弦周期信号时,则电路中的响应一般为非正弦的。 例如,实验室中经常使用的信号发生器，除产生正弦波信号以外，还可以产生周期性方波、
锯齿波等非正弦信号,如图 5 - 4所示。 这些非正弦周期信号加到电路中以后，在电路中产生的电流一般也不是正弦波。
t
T
u
0
t
T
u
0
我要放大
t
T
u
0
t
T
u
0
NEXT
（ 2） 当一个电路有几个不同频率的正弦（包括直流）激励同时作用时，电路中的电流一般不会是正弦的。 例如晶体管交流放大电路就属于这种情形，其中直流电源提供的是直流电压，设输入信号为正弦电压，则电路中的电流既不是直流，也不是正弦交流，而是非正弦周期电流。
（ 3） 如果电路中含有非线性元件，即使激励是正弦的，
其响应也可能是非正弦周期函数。例如图 5 - 5所示整流电路中，加在输入端的电压是正弦波，但是由于二极管具有单向导电的特性，所以输出电压为非正弦的，如图 5 - 6所示，称为半波整流电压。
图 5-5半波整流电路图 5-6半波整流电路的输入输出波形继续
i
V
D
R
＋
－
u
i
＋
－
u
o
t
T
u
i
2
1
T
2
3
T
t
u
o
5.1.2 非正弦周期量的分解工程上遇到的各种周期函数 f（ t）总可以分解为如下的傅立叶级数：
1
0
22110
)s i n (
)2s i n ()s i n ()(
k
kkm
mm
tkAA
tAtAAtf
式中，第一项 A0是不随时间变化的常数，称为 f（ t）的恒定分量或直流分量；傅立叶级数的第二项是一个正弦函数,A1msin
（ ωt+φ1），其幅值为 A1m，初相位为 φ1，角频率为 ω,Ｔ ＝
2π/ω是 ｆ （ ｔ ）的周期，即该正弦函数的周期与被分解的周期函数相同,ω的系数为 1，所以 A1msin(ωt+φ1）被称为一次谐波，也叫做基波；傅立叶级数的第三项 A2ｍ sin（ 2ωt+φ2）的频率为基波频率的二倍，故称为二次谐波。以此类推，有三次谐波、四次谐波等等。除恒定分量和基波外，其余各项都可统称为高次谐波。因此周期函数分解为傅立叶级数的方法也称为谐波分析。
电工中我们经常遇到的各种非正弦周期信号，如方波、
锯齿波，三角波，以及二极管半波整流波形、二极管全波整流波形等等，均可以分解为傅立叶级数，表 5 - 2中给出了一些典型周期函数的傅立叶级数表达式，可供进行谐波分析时引用。
序号 的波形图 的傅立叶级数
1
)( tf? )( tf?
U
m
0
f ( t )ω
2ππ
为奇数k
tk
k
t
tt
U
tf m
)s in
1
5s in
5
1
3s in
3
1
( s in
4
)(
序号 的波形图 的傅立叶级数
2
3
U
m
0
f ( t )ω
4π
tω
2π
)s in
1
3s in
3
1
2s in
2
1
( s in
2
)(
tk
k
t
tt
UU
tf mm
)( tf? )( tf?
tω
U
m
0
f ( t )ω
π 2π
U
m
－ 为奇数k
tk
k
t
tt
U
tf
k
m
)s i n
)1(
5s i n
25
1
3s i n
9
1
( s i n
8
)(
2
2
1
2
序号 的波形图 的傅立叶级数
4
5
U
m
0
f ( t )ω
α π
tω
2π
U
m
0
f ( t )ω
2ππ
tω
为偶数k
t
kk
t
ttUtf m
),c o s
)1)(1(
24c o s
15
2
2c o s
3
2s in
2
1()(
点击放大
)c oss in
1
3c os3s in
3
1
2c os2s in
2
1
c os( s in
2
)(
tkka
k
tata
ta
U
aUtf mm
点击放大
)( tf? )( tf?
序号 的波形图 的傅立叶级数
6
为整数k
t
k
ttUtf m
),c os
14
1
2c os
15
1c os
3
1
2
1(4)(
2
点击放大
)( tf? )( tf?
U
m
0
f ( t )ω
4π2π
tω
5.2 非正弦周期信号的有效值、平均功率
5.2.1 非正弦周期信号的有效值在 2.1.1中我们曾指出,任何周期量的有效值都可以按照方均根值进行计算，
tdtf
T
A
T 2
0
)(1
(5.2)
当知道函数 f（ t）在一个周期内的表达式,便可以直接代入上式来计算有效值。 如果已知非正弦周期量的傅立叶级数分解结果,即已知周期量的恒定分量与各次谐波分量,则其有效值也可以根据各分量的量值求出。
设非正弦周期函数 f（ t）的分解结果为式（ 5.1）,将其代入（ 5.2）式，
T
k
kkm dttkAATA 0
2
1
0 )s i n (
1
(5.3)
2
2
2
1
2
0
1
22
0 2
1 AAAAAA
k
km
(5.4)
式中
kmkmm AAAAAA 2
1
2
1
2
1
,,22,11
二次谐波,…,ｋ次谐波的有效值，这是因为各谐波都是正弦量，其有效值等于振幅的 。
分别为基波、
2/1
式（ 5.4）表明,任意周期函数的有效值等于它的恒定分量与各个谐波分量有效值的平方和的平方根。
例 5.1 已知非正弦周期电流 i=［ 1+0.707sin（ ωt-20° ）
+0.42sin（ 2ωt+50° ）］ A,试求其有效值。
解 给定电流中包括恒定分量和不同频率的正弦量，并且已知各正弦量的振幅,所以周期电流的有效值应为
AII 16.13.05.01)42.0(21)707.0(21 222222
例 5.2 求图 5 - 7所示电压的有效值和平均值。
10
0
u /V
t /s
T
4
T
点击放大解 因为
4
0,10
4
,0
T
tVu
Tt
T
u
所以有效值为
V
T
T
t
T
dt
T
U
TT
525
4
100
100
10
1
4
0
4
0
2
V
T
T
U 5.24
10
0?
5.2.2 非正弦周期量的平均功率由 2.3.2已知,如果任意一个二端网络的端电压为 u，电流为 i，则其瞬时功率为 p=ui
如果 u与 i是同频率的非正弦周期量，其平均功率就是瞬
u i d ttpdtTP T
t
00
11
已知电压 u和电流 i的函数表达式，就可以把它们直接代入（ 5.5）式计算平均功率。
如果电压 u与电流 i已被分解成傅立叶级数，
1
0
1
0
)s i n (
)s i n (
k
kikm
k
kukm
tkIIi
tkUUu
将（ 5.6）,（ 5.7）代入（ 5.5）式，
1 1
000 c o s
k k
kkkk IUIUPPP?
这就是说，非正弦周期电流电路的平均功率等于恒定分量和各次谐波分别产生的平均功率之和。 只有同频率的电压与电流才能形成平均功率。
例 5.3 已知某无源二端网络的端电压及电流分别为
Atti
Vttu
)]502s i n (4 2 4.0)20s i n (7 0 7.01[
)]102s i n (6.56)30s i n (6.8450[
求二端网络吸收的平均功率。
解 根据式 (5.8)可得
W
P
5.78)40c o s (12
50c o s3050)5010c o s (
2
4 2 4.0
2
6.56
)2030c o s (
2
7 0 7.0
2
6.84
150
为便于分析和计算,通常可以根据保持平均功率不变的原则,将非正弦周期电压和电流用等效正弦电压和电流来替代。
等效的条件是,
（ 1） 等效正弦量的有效值应等于已知非正弦周期量的有效值；
（ 2） 等效正弦量的频率应等于非正弦周期量的频率；
（ 3） 等效正弦量代替非正弦周期电压和电流后,其功率必须等于电路的实际功率。
根据条件（ 1）及（ 2）首先确定各等效正弦量的频率和振幅（或有效值），再根据条件（ 3）即可确定等效正弦量的第三个要素 —— 初相位,其表达式如下：
UI
Pc o s
式中 P是非正弦周期电流电路的平均功率,U和 I是非正弦周期电压和电流的有效值。
例 5.4 铁心线圈是一种非线性元件，因此将其接在正弦电压上，它所取电流是非正弦周期电流。设加在铁心线圈上的正弦电压为 u=311sin314tV，其中电流为 i=0.8sin(314t-
85° )+0.25sin(942t-105° )A,不是正弦量。试求等效正弦电流。
解 等效正弦电流的有效值等于非正弦周期电流的有效值，
AI 5 9 3.0
2
25.0
2
8.0
22
WIUP 8.1085c o s
2
8.0
2
311c o s
111
2.85
593.0
2
311
8.10
a r c c o sa r c c o s
UI
P
Ati )2.8531 4s i n (59 3.02
5.3 非正弦周期电流的线性电路计算在 5.1.2中已经介绍过,非正弦周期电压 u（或电流 i）可
)2s i n ()s i n ( 2110 tUtUUu mm
当一个非正弦周期信号作用在如图 5 - 8（ a）所示的电路中,那么它的作用就和一个直流电压及一系列不同频率的正弦电压串联起来共同作用在电路中的情况一样,如图 5
- 8（ b）所示。
点击放大
i
R
L
C
＋
－
u
i
R
L
C
＋
－
u 1
( b )( a )
＋
－
u C
＋
－
u o
)2s i n (
)s i n (
222
111
00
tUu
tUu
Uu
m
m
…
这样的电源接在线性电路中所引起的电流,可以用叠加定理来计算,即分别计算电压的恒定分量 U0和各次谐波分量
u1,u2,… 单独存在时，在某支路中产生的电流分量 I0,i1,i2,…,
而后把它们加起来，其和就是该支路的电流，即
)2s i n (
)s i n (
222
1110210
tI
tIIiiIi
m
m(5.10)
式中 I0=0（因为有电容）,
R
Ck
Lk
Ck
LkR
U
Z
U
I
R
C
L
C
LR
U
Z
U
I
R
C
L
C
LR
U
Z
U
I
k
km
k
km
km
mm
m
mm
m
1
t a n,
1
2
1
2
t a n,
2
1
2
1
t a n,
1
2
2
2
2
2
2
2
2
2
1
2
2
1
1
1
1
因此,非正弦周期电流的线性电路的计算可归结为下列
3 个步骤：
（ 1） 非正弦周期电源电压（或电流）分解成傅立叶级数，
其结果可看作由恒定分量和各次正弦谐波分量串联的结果。
（ 2） 分别计算电路在上述恒定分量及各次谐波分量单独作用下的响应。 求恒定分量的响应与计算直流电路的方法一样，同时电容应视为开路，电感应视为短路；求各次谐波分量的响应，则要计算正弦稳态的电抗值。
电感 L对基波（角频率为 ω）的电感电抗为 XL1=ωL，而对
k次谐波的电感电抗则为
1LLK kXLkX
就是说，同一电感 L对 k次谐波所表现出的感抗，是对基波所表现出的感抗的 k倍。因此电流频率越高，越不容易通过电感电路。
电容 C对基波的电容电抗为 XC1=1/ωC，而对 k次谐波的电
1
11
CCK XkCkX
(5.12)
就是说,同一电容对 k次谐波所表现出的容抗，仅为对基波所表现出的容抗的 1/k，因此谐波电流的频率越高，越容易通过电容电路。
（ 3） 根据叠加定理,把恒定分量和各谐波分量的响应进行叠加。
在第二步通常利用相量法计算各谐波分量的响应。叠加时应将相量化为瞬时值，然后再将瞬时值叠加起来。因为属于各谐波分量的相量是代表不同频率的正弦量，切不可将所求出的相量直接叠加。
如电路中存在电感、电容等动态元件，它们对不同次的谐波呈现的电抗不同，各元件上电压电流中各谐波分量的比例并不相同，合成的波形一般是不相同的。
例 5.5 设图 5 - 9（ a）所示电路中
。sr a d
Ati
tVuVU
s
sS
/10
,)s i n222(
,s i n220,10
21
（ 1） 求电流源的端电压及有效值；
（ 2） 求电流源发出的平均功率。
＋
－
U
s 2
i
s10 -2 F
＋
－
U
s 1
2Ω
＋
－
u
( a )
2A
＋
－
10V
R
＋
－
U 0
( b )
＋
－
2Ω
＋
－
( c )
0,4 H j4 Ω
j 1 0 Ω－
20 ∠ 0 V°
U 1
.
2 ∠ 0 A°
图5-9 点击放大解 首先考虑直流成分的作用。将电感短路，电容开路，
作直流电路模型如图（ b）所示。电流源端电压中直流分量为 U0=（ 10+2× 2） =14V
再令频率为 ω的正弦电源作用，电路的相量模型如图（ c）所示。 用节点法求电流源端电压相量,
1
U
2
10
20
10
1
)42(
1
1?
j
U
jj
VU
jUj
9020
)22()1.01.0(
1
1
解得
VUUU
VtuUu
4.24)20()14(
)]90s i n (22014[(
222
1
2
0
10
电流源发出的平均功率为
WP 2890c o s220214
例 5.6 图 5 - 10（ a）中的 LC构成了滤波电路，其中 L=5H，
C=10μF，设其输入为如图（ b）所示的正弦全波整流电压,电压振幅 Um=150V，整流前的工频正弦电压角频率为 100πrad/s，
负载电阻 R=2000Ω。求电感电流 i和负载端电压 uCD。
R
＋
－
u
CD
U
m
4π2π
C
L
C
D
i
B
A
整流电路
( a )
u
AB
t
( b )
解 （ 1） 从表 5 - 1查出正弦全波整流电压的傅立叶级数为
ttUu m
AB 2c o s15
1
c o s
3
1
2
14
代入数据,且将各正弦量前方负号变为正号得
Vttu AB ])18 02c o s (29)18 0c o s (2455.95[
（ 2） 分别计算电源电压的恒定分量和各次谐波引起的响应。
(ａ ) 恒定电压作用时电感相当于短路,电容相当于开路,故
VU
AI
CD 5.95
0478.0
2000
5.95
0
0
(ｂ ) 计算基波电压的作用。全波整流的波形与正弦波相比，周期减半，频率加倍，故整流波形的基波角频率应为 ω
＝ 2× 100πrad/s。 RC
4.851 5 841 2 0 0 01)/(1 )/(1 jCRjRCjR CjRZ CD
AB端口的输入阻抗
VAIZU
AI
jjZLjZ
CDCD
CD
6.439.2900 1 5 1.04.85158
900 1 5 1.0
902 9 8 0
18045
902 9 8 0)1586.12(1 0 0 0
11
1
1
11
(ｃ ) 计算二次谐波电压的作用。计算方法同上，而角频率加倍。
VIZU
AI
jZLjZ
jRCj
R
Z
CD
CD
CD
CD
3.2114.09000145.07.8779
9000145.0
906201
1809
9062017.877920002
7.8779
81
2000
21
2
2
2
2
22
2
可见负载电压中二次谐波有效值仅占恒定电压的
0.113/95.5=0.12%，二次以上各谐波所占的百分比更小，所以不必计算更高次谐波的影响。
（ 3） 把向量变换为瞬时表达式,再将恒定分量与各谐波分量相叠加。
Vtt
uUUu
mAtt
iiIi
CDCDCDCD
)]3.22c o s (2114.0)6.4c o s (239.25.95[
)]902c o s (243.1)90c o s (21.158.47[
210
210
VU CD 5.95)1 14.0()39.2()5.95( 222
负载电压 uCD中最大的谐波，即基波有效值仅占恒定分量的
2.5%，表明这个 LC电路具有滤除各谐波分量的作用，故称为滤波电路或滤波器。其中电感 L起抑止高频交流的作用，常称为扼流圈,并联电容 C起减小负载电阻上交流电压的作用，常称为旁路电容。
习题与思考题 5
1,试求题图 5 - 1所示波形的平均值及有效值。
I
m
0
t
T
2
T 2 T
i
2,一电容元件,C=100μF，在其两端加一如题图 5 - 2 所示的周期三角波，（ 1） 求电流 i； （ 2） 作出 i的波形；（ 3）
计算 i的平均值及有效值。
i
C
＋
－
u
1
( a )
1
( b )
1－
0,0 0 5
0,1
u /V
t /s
3,求题图 5 - 3 所示波形在两种情况下的的平均值和有效值：
（ 1） θ=30° ；（ 2） θ=150° 。
4,求下列非正弦周期电压的有效值：
（ 1） u1（ t）是振幅为 10V的锯齿波；
（ 2） Vtttu )]303s i n (22)20s i n (2510[)(
2
5,把题５,４中的 u1（ t）和 u2（ t）分别加在两个 5Ω的电阻
0 3 6 0 °
i
tω
1 8 0 °θ
I
m
s i n tω
6,一个线圈连接在周期性非正弦波电源上，其电压瞬时值为 u=［ 14.14sinωt+2.83sin（ 3ωt+30° ）］ V。如果线圈的电阻和对基波的感抗均为 1Ω，求线圈中电流的瞬时值，并比较电压和电流所含三次谐波的百分数。
7,测量电感线圈的电阻 R及电感 L时，测得电流 I=15A，
电压 U=60V，频率 f=50Hz，功率 P=225W。又从电压波形分析中知道，除基波外，还有三次谐波，其幅值为基波的 40％。
试求线圈的电阻 R及电感 L。若不计三次谐波的影响，所求电
8,如题图 5 - 8 所示,R=5Ω,1/ωC=5Ω，外施电压为
。
试求电流的瞬时值,有效值及平均功率。
Vtttu )]303s i n (2110)20s i n (2220[)(
C
＋
－
u ( t )
＋
－
u
C
R
i ( t )
9,在题图 5 - 9 所示电路中，
,/00100,]s i n21020[ sr a dVtu s
试求电流 i1与 i2以及它们的有效值。
10,在题图 5 - 10 所示电路中，电流源电流
,)]205s i n (06.03s i n15.0)30s i n (25.05.0[ Attti s
,3 0 0 0,2 7 0/1,30 RCL 试求电阻电压 uR及其有效值。
i
s
＋
－
u
R
RCL
点击放大
11,在题图 5 - 11 所示电路中，滤波器用于阻止电流 i的基波通至负载 R，同时能使 9 次谐波顺利地通至负载。如果
C=0.04μF，基波频率 f=50kHz，求电感 L1及 L2。
R
L
1
L
2
C
＋
－
u
1．
（ 1） 进一步熟悉谐振回路的选频特性。
（ 2） 学会用扫频仪测量频率特性的方法。
（ 3） 定性认识方波信号中含有多种频率成分的正弦波。
2．
（ 1） 实训设备：方波信号发生器一台，中波扫频仪一台，
双通道示波器一台,3个由电容,电感组成的选频器,选频器的谐振频率与对应的元件数值见表 5 - 1。
电容 150pF 47PpF 18pF
电感 1.88mH 0.67mH 0.62mH
谐振频率 300kHz 900kHz 1500kHz
（ 2） 实训电路与说明,实训电路如图 5 - 1所示。图中 T1、
T2,T3是 3 个用调幅收音机中周改制的选频器，可以通过调节电感磁心改变谐振频率，它们可以将信号源中与其谐振频率相等的频率成分选取出来。
3 个选频器与一电阻串连后接方波信号发生器。
T
1
L
1
C
1
u
1
T
2
L
2
C
2
u
2
T
3
L
3
u
3
C
3
0
1 2
15k Ω
～
＋
－
3．
1）
（ 1） 在没有接入方波信号源的情况下，将中波扫频仪的输出探头接在图 5-1电路中 1,0两端，扫频仪的检波输入探头接在电路中的 2,0两端。
（ 2） 调节扫频仪的中心频率,使屏幕上显示 3 个选频回路的谐振曲线。
（ 3） 依次调节 3 个选频器的磁心,使屏幕上显示的谐振曲线中心频率分别为 300 kHz,900 kHz,1500 kHz。
2）
（ 1） 按图 5 - 1将信号发生器接入电路输入端，即 1,0两端。打开信号源，将信号选择为方波输出。用示波器的输入探头 1接在信号源的输出端，观察信号源输出波形。调节输出频率并用示波器进行测量，使其频率为 300 kHz，波形图如图 5 - 2所示。
t
T
u
U
m
图5 - 2
（ 2） 用另外一组示波器探头，依次通过 u1,u2和 u3观察并联回路两端的波形。调节选频器磁心，观测波形的变化，
使之成为如图 5 - 3所示的正弦波。
U
m
t
T
t
T
4 U
m
π
u
1
t
4 U
m
3π
u
2
T
t
4 U
m
5π
u
3
T
我要放大
（ 3） 用示波器测量每一个并联回路两端输出波形的幅值及频率。可以发现,① 正弦波的幅值按照一定规律越来越小；② 正弦波的频率分别为：等于方波频率,3 倍方波频率和 5 倍方波频率。
U
m
t
T
t
T
4 U
m
π
u
1
t
4 U
m
3π
u
2
T
t
4 U
m
5π
u
3
T
NEXT
4,
（ 1） 通过第 2 章的讨论我们知道，电感与电容并联可以发生谐振。 而在我们所做的实训项目中，输入信号是方波，但在每个并联电路上得到的却是不同频率的正弦波，说明方波中含有正弦波的成分，而且在方波频率点,3倍方波频率点以及 5倍方波频率点上分别与 3 个 LC并联回路发生谐振。
（ 2） 通过测试并联回路我们可以发现：每个正弦波的频率与所加方波的频率有关，回路 1上所得到的正弦波频率与方波的频率相同，我们称其为基波；回路 2上所得到的正弦波频率是方波频率的 3倍，称为 3次谐波，而回路 3上所得到的正弦波频率是方波频率的 5倍，称为 5次谐波。显然，方波中还含有更多的正弦频率成分，或者说，可以将方波分解成许多不同频率的正弦波。
5.1 非正弦周期信号的产生及其傅立叶分解
5.1.1 电路中产生非正弦信号的原因
（ 1） 当电路中所加激励为非正弦周期信号时,则电路中的响应一般为非正弦的。 例如,实验室中经常使用的信号发生器，除产生正弦波信号以外，还可以产生周期性方波、
锯齿波等非正弦信号,如图 5 - 4所示。 这些非正弦周期信号加到电路中以后，在电路中产生的电流一般也不是正弦波。
t
T
u
0
t
T
u
0
我要放大
t
T
u
0
t
T
u
0
NEXT
（ 2） 当一个电路有几个不同频率的正弦（包括直流）激励同时作用时，电路中的电流一般不会是正弦的。 例如晶体管交流放大电路就属于这种情形，其中直流电源提供的是直流电压，设输入信号为正弦电压，则电路中的电流既不是直流，也不是正弦交流，而是非正弦周期电流。
（ 3） 如果电路中含有非线性元件，即使激励是正弦的，
其响应也可能是非正弦周期函数。例如图 5 - 5所示整流电路中，加在输入端的电压是正弦波，但是由于二极管具有单向导电的特性，所以输出电压为非正弦的，如图 5 - 6所示，称为半波整流电压。
图 5-5半波整流电路图 5-6半波整流电路的输入输出波形继续
i
V
D
R
＋
－
u
i
＋
－
u
o
t
T
u
i
2
1
T
2
3
T
t
u
o
5.1.2 非正弦周期量的分解工程上遇到的各种周期函数 f（ t）总可以分解为如下的傅立叶级数：
1
0
22110
)s i n (
)2s i n ()s i n ()(
k
kkm
mm
tkAA
tAtAAtf
式中，第一项 A0是不随时间变化的常数，称为 f（ t）的恒定分量或直流分量；傅立叶级数的第二项是一个正弦函数,A1msin
（ ωt+φ1），其幅值为 A1m，初相位为 φ1，角频率为 ω,Ｔ ＝
2π/ω是 ｆ （ ｔ ）的周期，即该正弦函数的周期与被分解的周期函数相同,ω的系数为 1，所以 A1msin(ωt+φ1）被称为一次谐波，也叫做基波；傅立叶级数的第三项 A2ｍ sin（ 2ωt+φ2）的频率为基波频率的二倍，故称为二次谐波。以此类推，有三次谐波、四次谐波等等。除恒定分量和基波外，其余各项都可统称为高次谐波。因此周期函数分解为傅立叶级数的方法也称为谐波分析。
电工中我们经常遇到的各种非正弦周期信号，如方波、
锯齿波，三角波，以及二极管半波整流波形、二极管全波整流波形等等，均可以分解为傅立叶级数，表 5 - 2中给出了一些典型周期函数的傅立叶级数表达式，可供进行谐波分析时引用。
序号 的波形图 的傅立叶级数
1
)( tf? )( tf?
U
m
0
f ( t )ω
2ππ
为奇数k
tk
k
t
tt
U
tf m
)s in
1
5s in
5
1
3s in
3
1
( s in
4
)(
序号 的波形图 的傅立叶级数
2
3
U
m
0
f ( t )ω
4π
tω
2π
)s in
1
3s in
3
1
2s in
2
1
( s in
2
)(
tk
k
t
tt
UU
tf mm
)( tf? )( tf?
tω
U
m
0
f ( t )ω
π 2π
U
m
－ 为奇数k
tk
k
t
tt
U
tf
k
m
)s i n
)1(
5s i n
25
1
3s i n
9
1
( s i n
8
)(
2
2
1
2
序号 的波形图 的傅立叶级数
4
5
U
m
0
f ( t )ω
α π
tω
2π
U
m
0
f ( t )ω
2ππ
tω
为偶数k
t
kk
t
ttUtf m
),c o s
)1)(1(
24c o s
15
2
2c o s
3
2s in
2
1()(
点击放大
)c oss in
1
3c os3s in
3
1
2c os2s in
2
1
c os( s in
2
)(
tkka
k
tata
ta
U
aUtf mm
点击放大
)( tf? )( tf?
序号 的波形图 的傅立叶级数
6
为整数k
t
k
ttUtf m
),c os
14
1
2c os
15
1c os
3
1
2
1(4)(
2
点击放大
)( tf? )( tf?
U
m
0
f ( t )ω
4π2π
tω
5.2 非正弦周期信号的有效值、平均功率
5.2.1 非正弦周期信号的有效值在 2.1.1中我们曾指出,任何周期量的有效值都可以按照方均根值进行计算，
tdtf
T
A
T 2
0
)(1
(5.2)
当知道函数 f（ t）在一个周期内的表达式,便可以直接代入上式来计算有效值。 如果已知非正弦周期量的傅立叶级数分解结果,即已知周期量的恒定分量与各次谐波分量,则其有效值也可以根据各分量的量值求出。
设非正弦周期函数 f（ t）的分解结果为式（ 5.1）,将其代入（ 5.2）式，
T
k
kkm dttkAATA 0
2
1
0 )s i n (
1
(5.3)
2
2
2
1
2
0
1
22
0 2
1 AAAAAA
k
km
(5.4)
式中
kmkmm AAAAAA 2
1
2
1
2
1
,,22,11
二次谐波,…,ｋ次谐波的有效值，这是因为各谐波都是正弦量，其有效值等于振幅的 。
分别为基波、
2/1
式（ 5.4）表明,任意周期函数的有效值等于它的恒定分量与各个谐波分量有效值的平方和的平方根。
例 5.1 已知非正弦周期电流 i=［ 1+0.707sin（ ωt-20° ）
+0.42sin（ 2ωt+50° ）］ A,试求其有效值。
解 给定电流中包括恒定分量和不同频率的正弦量，并且已知各正弦量的振幅,所以周期电流的有效值应为
AII 16.13.05.01)42.0(21)707.0(21 222222
例 5.2 求图 5 - 7所示电压的有效值和平均值。
10
0
u /V
t /s
T
4
T
点击放大解 因为
4
0,10
4
,0
T
tVu
Tt
T
u
所以有效值为
V
T
T
t
T
dt
T
U
TT
525
4
100
100
10
1
4
0
4
0
2
V
T
T
U 5.24
10
0?
5.2.2 非正弦周期量的平均功率由 2.3.2已知,如果任意一个二端网络的端电压为 u，电流为 i，则其瞬时功率为 p=ui
如果 u与 i是同频率的非正弦周期量，其平均功率就是瞬
u i d ttpdtTP T
t
00
11
已知电压 u和电流 i的函数表达式，就可以把它们直接代入（ 5.5）式计算平均功率。
如果电压 u与电流 i已被分解成傅立叶级数，
1
0
1
0
)s i n (
)s i n (
k
kikm
k
kukm
tkIIi
tkUUu
将（ 5.6）,（ 5.7）代入（ 5.5）式，
1 1
000 c o s
k k
kkkk IUIUPPP?
这就是说，非正弦周期电流电路的平均功率等于恒定分量和各次谐波分别产生的平均功率之和。 只有同频率的电压与电流才能形成平均功率。
例 5.3 已知某无源二端网络的端电压及电流分别为
Atti
Vttu
)]502s i n (4 2 4.0)20s i n (7 0 7.01[
)]102s i n (6.56)30s i n (6.8450[
求二端网络吸收的平均功率。
解 根据式 (5.8)可得
W
P
5.78)40c o s (12
50c o s3050)5010c o s (
2
4 2 4.0
2
6.56
)2030c o s (
2
7 0 7.0
2
6.84
150
为便于分析和计算,通常可以根据保持平均功率不变的原则,将非正弦周期电压和电流用等效正弦电压和电流来替代。
等效的条件是,
（ 1） 等效正弦量的有效值应等于已知非正弦周期量的有效值；
（ 2） 等效正弦量的频率应等于非正弦周期量的频率；
（ 3） 等效正弦量代替非正弦周期电压和电流后,其功率必须等于电路的实际功率。
根据条件（ 1）及（ 2）首先确定各等效正弦量的频率和振幅（或有效值），再根据条件（ 3）即可确定等效正弦量的第三个要素 —— 初相位,其表达式如下：
UI
Pc o s
式中 P是非正弦周期电流电路的平均功率,U和 I是非正弦周期电压和电流的有效值。
例 5.4 铁心线圈是一种非线性元件，因此将其接在正弦电压上，它所取电流是非正弦周期电流。设加在铁心线圈上的正弦电压为 u=311sin314tV，其中电流为 i=0.8sin(314t-
85° )+0.25sin(942t-105° )A,不是正弦量。试求等效正弦电流。
解 等效正弦电流的有效值等于非正弦周期电流的有效值，
AI 5 9 3.0
2
25.0
2
8.0
22
WIUP 8.1085c o s
2
8.0
2
311c o s
111
2.85
593.0
2
311
8.10
a r c c o sa r c c o s
UI
P
Ati )2.8531 4s i n (59 3.02
5.3 非正弦周期电流的线性电路计算在 5.1.2中已经介绍过,非正弦周期电压 u（或电流 i）可
)2s i n ()s i n ( 2110 tUtUUu mm
当一个非正弦周期信号作用在如图 5 - 8（ a）所示的电路中,那么它的作用就和一个直流电压及一系列不同频率的正弦电压串联起来共同作用在电路中的情况一样,如图 5
- 8（ b）所示。
点击放大
i
R
L
C
＋
－
u
i
R
L
C
＋
－
u 1
( b )( a )
＋
－
u C
＋
－
u o
)2s i n (
)s i n (
222
111
00
tUu
tUu
Uu
m
m
…
这样的电源接在线性电路中所引起的电流,可以用叠加定理来计算,即分别计算电压的恒定分量 U0和各次谐波分量
u1,u2,… 单独存在时，在某支路中产生的电流分量 I0,i1,i2,…,
而后把它们加起来，其和就是该支路的电流，即
)2s i n (
)s i n (
222
1110210
tI
tIIiiIi
m
m(5.10)
式中 I0=0（因为有电容）,
R
Ck
Lk
Ck
LkR
U
Z
U
I
R
C
L
C
LR
U
Z
U
I
R
C
L
C
LR
U
Z
U
I
k
km
k
km
km
mm
m
mm
m
1
t a n,
1
2
1
2
t a n,
2
1
2
1
t a n,
1
2
2
2
2
2
2
2
2
2
1
2
2
1
1
1
1
因此,非正弦周期电流的线性电路的计算可归结为下列
3 个步骤：
（ 1） 非正弦周期电源电压（或电流）分解成傅立叶级数，
其结果可看作由恒定分量和各次正弦谐波分量串联的结果。
（ 2） 分别计算电路在上述恒定分量及各次谐波分量单独作用下的响应。 求恒定分量的响应与计算直流电路的方法一样，同时电容应视为开路，电感应视为短路；求各次谐波分量的响应，则要计算正弦稳态的电抗值。
电感 L对基波（角频率为 ω）的电感电抗为 XL1=ωL，而对
k次谐波的电感电抗则为
1LLK kXLkX
就是说，同一电感 L对 k次谐波所表现出的感抗，是对基波所表现出的感抗的 k倍。因此电流频率越高，越不容易通过电感电路。
电容 C对基波的电容电抗为 XC1=1/ωC，而对 k次谐波的电
1
11
CCK XkCkX
(5.12)
就是说,同一电容对 k次谐波所表现出的容抗，仅为对基波所表现出的容抗的 1/k，因此谐波电流的频率越高，越容易通过电容电路。
（ 3） 根据叠加定理,把恒定分量和各谐波分量的响应进行叠加。
在第二步通常利用相量法计算各谐波分量的响应。叠加时应将相量化为瞬时值，然后再将瞬时值叠加起来。因为属于各谐波分量的相量是代表不同频率的正弦量，切不可将所求出的相量直接叠加。
如电路中存在电感、电容等动态元件，它们对不同次的谐波呈现的电抗不同，各元件上电压电流中各谐波分量的比例并不相同，合成的波形一般是不相同的。
例 5.5 设图 5 - 9（ a）所示电路中
。sr a d
Ati
tVuVU
s
sS
/10
,)s i n222(
,s i n220,10
21
（ 1） 求电流源的端电压及有效值；
（ 2） 求电流源发出的平均功率。
＋
－
U
s 2
i
s10 -2 F
＋
－
U
s 1
2Ω
＋
－
u
( a )
2A
＋
－
10V
R
＋
－
U 0
( b )
＋
－
2Ω
＋
－
( c )
0,4 H j4 Ω
j 1 0 Ω－
20 ∠ 0 V°
U 1
.
2 ∠ 0 A°
图5-9 点击放大解 首先考虑直流成分的作用。将电感短路，电容开路，
作直流电路模型如图（ b）所示。电流源端电压中直流分量为 U0=（ 10+2× 2） =14V
再令频率为 ω的正弦电源作用，电路的相量模型如图（ c）所示。 用节点法求电流源端电压相量,
1
U
2
10
20
10
1
)42(
1
1?
j
U
jj
VU
jUj
9020
)22()1.01.0(
1
1
解得
VUUU
VtuUu
4.24)20()14(
)]90s i n (22014[(
222
1
2
0
10
电流源发出的平均功率为
WP 2890c o s220214
例 5.6 图 5 - 10（ a）中的 LC构成了滤波电路，其中 L=5H，
C=10μF，设其输入为如图（ b）所示的正弦全波整流电压,电压振幅 Um=150V，整流前的工频正弦电压角频率为 100πrad/s，
负载电阻 R=2000Ω。求电感电流 i和负载端电压 uCD。
R
＋
－
u
CD
U
m
4π2π
C
L
C
D
i
B
A
整流电路
( a )
u
AB
t
( b )
解 （ 1） 从表 5 - 1查出正弦全波整流电压的傅立叶级数为
ttUu m
AB 2c o s15
1
c o s
3
1
2
14
代入数据,且将各正弦量前方负号变为正号得
Vttu AB ])18 02c o s (29)18 0c o s (2455.95[
（ 2） 分别计算电源电压的恒定分量和各次谐波引起的响应。
(ａ ) 恒定电压作用时电感相当于短路,电容相当于开路,故
VU
AI
CD 5.95
0478.0
2000
5.95
0
0
(ｂ ) 计算基波电压的作用。全波整流的波形与正弦波相比，周期减半，频率加倍，故整流波形的基波角频率应为 ω
＝ 2× 100πrad/s。 RC
4.851 5 841 2 0 0 01)/(1 )/(1 jCRjRCjR CjRZ CD
AB端口的输入阻抗
VAIZU
AI
jjZLjZ
CDCD
CD
6.439.2900 1 5 1.04.85158
900 1 5 1.0
902 9 8 0
18045
902 9 8 0)1586.12(1 0 0 0
11
1
1
11
(ｃ ) 计算二次谐波电压的作用。计算方法同上，而角频率加倍。
VIZU
AI
jZLjZ
jRCj
R
Z
CD
CD
CD
CD
3.2114.09000145.07.8779
9000145.0
906201
1809
9062017.877920002
7.8779
81
2000
21
2
2
2
2
22
2
可见负载电压中二次谐波有效值仅占恒定电压的
0.113/95.5=0.12%，二次以上各谐波所占的百分比更小，所以不必计算更高次谐波的影响。
（ 3） 把向量变换为瞬时表达式,再将恒定分量与各谐波分量相叠加。
Vtt
uUUu
mAtt
iiIi
CDCDCDCD
)]3.22c o s (2114.0)6.4c o s (239.25.95[
)]902c o s (243.1)90c o s (21.158.47[
210
210
VU CD 5.95)1 14.0()39.2()5.95( 222
负载电压 uCD中最大的谐波，即基波有效值仅占恒定分量的
2.5%，表明这个 LC电路具有滤除各谐波分量的作用，故称为滤波电路或滤波器。其中电感 L起抑止高频交流的作用，常称为扼流圈,并联电容 C起减小负载电阻上交流电压的作用，常称为旁路电容。
习题与思考题 5
1,试求题图 5 - 1所示波形的平均值及有效值。
I
m
0
t
T
2
T 2 T
i
2,一电容元件,C=100μF，在其两端加一如题图 5 - 2 所示的周期三角波，（ 1） 求电流 i； （ 2） 作出 i的波形；（ 3）
计算 i的平均值及有效值。
i
C
＋
－
u
1
( a )
1
( b )
1－
0,0 0 5
0,1
u /V
t /s
3,求题图 5 - 3 所示波形在两种情况下的的平均值和有效值：
（ 1） θ=30° ；（ 2） θ=150° 。
4,求下列非正弦周期电压的有效值：
（ 1） u1（ t）是振幅为 10V的锯齿波；
（ 2） Vtttu )]303s i n (22)20s i n (2510[)(
2
5,把题５,４中的 u1（ t）和 u2（ t）分别加在两个 5Ω的电阻
0 3 6 0 °
i
tω
1 8 0 °θ
I
m
s i n tω
6,一个线圈连接在周期性非正弦波电源上，其电压瞬时值为 u=［ 14.14sinωt+2.83sin（ 3ωt+30° ）］ V。如果线圈的电阻和对基波的感抗均为 1Ω，求线圈中电流的瞬时值，并比较电压和电流所含三次谐波的百分数。
7,测量电感线圈的电阻 R及电感 L时，测得电流 I=15A，
电压 U=60V，频率 f=50Hz，功率 P=225W。又从电压波形分析中知道，除基波外，还有三次谐波，其幅值为基波的 40％。
试求线圈的电阻 R及电感 L。若不计三次谐波的影响，所求电
8,如题图 5 - 8 所示,R=5Ω,1/ωC=5Ω，外施电压为
。
试求电流的瞬时值,有效值及平均功率。
Vtttu )]303s i n (2110)20s i n (2220[)(
C
＋
－
u ( t )
＋
－
u
C
R
i ( t )
9,在题图 5 - 9 所示电路中，
,/00100,]s i n21020[ sr a dVtu s
试求电流 i1与 i2以及它们的有效值。
10,在题图 5 - 10 所示电路中，电流源电流
,)]205s i n (06.03s i n15.0)30s i n (25.05.0[ Attti s
,3 0 0 0,2 7 0/1,30 RCL 试求电阻电压 uR及其有效值。
i
s
＋
－
u
R
RCL
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11,在题图 5 - 11 所示电路中，滤波器用于阻止电流 i的基波通至负载 R，同时能使 9 次谐波顺利地通至负载。如果
C=0.04μF，基波频率 f=50kHz，求电感 L1及 L2。
R
L
1
L
2
C
＋
－
u
