第 4 章 一阶动态电路分析第 4 章 一阶动态电路分析实训 4 简易电子门铃的制作与电路测试
4.1 RC放电电路
4.2 RC充电电路
4.3 微分电路与积分电路
4.4 一阶动态电路及其分析方法习题与思考题 4
第 4 章 一阶动态电路分析实训 4 简易电子门铃的制作与电路测试
1．
（ 1） 熟悉电子电路的连接方法；
（ 2） 基本掌握示波器的使用方法；
（ 3） 认识 RC动态电路的主要特点；
（ 4） 了解 555集成电路的基本功能。
第 4 章 一阶动态电路分析
2,实训设备、
（ 1） 实训设备与器件：直流稳压电源一台，双通道示波器一台，万能板一块,8Ω扬声器一个，按键一个，电阻、电容,导线若干。
（ 2） 实训电路与说明,实训电路如图 4 - 1所示。 图中 555为集成定时器电路。 555定时器具有如下特点,当它按图 4 - 1的方式将 2,6脚连到一起时，如果连接点的电位高于电源电压的 2/3，则 3脚的输出电压等于 0V,7脚对地短路，如果连接点的电位低于电源电压的 1/3时,则 3脚的输出电压等于电源电压,7脚对地开路。
第 4 章 一阶动态电路分析
i
1
i
C
S
2 k Ω
2 k Ω
＋
－
u
C
C
1 0 m A t ＝ 0
图 4-1 实训 4电路图第 4 章 一阶动态电路分析
3．
1） 连接电路按图在万能板上将电路连接好，注意，
IC的引脚及电容 C1,C3的极性不要接错。
2）
接通电源（ 5V），按下按键 S，此时，可以听到扬声器发出的单一频率的声音。松开按键，声音停止。
第 4 章 一阶动态电路分析
3） 测试输出波形打开示波器,用通道 1输入探头的“地”与电路的
“地”相连,中心头接至扬声器的上端。 注意，如果你事先不会使用示波器,请仔细阅读示波器的说明书直至能正确使用为止。
如果操作正确，当按下按键喇叭发声时，我们可以在荧光屏上看到如图 4 - 2（ a）所示的脉冲波形。要求用示波器读出输出波形的周期 T及脉冲的宽度 T1，并记录在实训报告上（为减少声音干扰，可以将扬声器从电第 4 章 一阶动态电路分析
4） 测试 555第 2,6脚的波形用示波器通道 2输入探头的中心头接 555第 2,6脚，
“地”与“地”相接。 按下按键，此时，我们可以观测到如图 4 - 2（ b）所示的锯齿状波形。如将示波器的输入状态设置为直流，我们可以读出其幅度最小值约为电源电压的
1/3,其最大值约为电源电压的 2/3。
在荧光屏上比较通道 1与通道 2的波形我们可以发现，
锯齿波的最小值与输出波形从低电平向高电平过渡对应，
锯齿波的最大值与输出波形从高电平向低电平过渡对应。
第 4 章 一阶动态电路分析
T
T
1
u
o
E
t
( a )
t
2 E/ 3
E/ 3
u
C1
0 t
1
t
2
t
3
( b )
图 4-2 电路中对应点的波形第 4 章 一阶动态电路分析
5）试验电容 C1对输出信号周期的影响将电容器 C1由 10 μF替换为 20μF，再次测试步骤 3）与
4）中测试到的波形，并记录周期 T与脉冲宽度 T1。在这一步骤中我们可以发现，波形的形状基本没有改变，但波形的周期与脉冲宽度却变大了。
6） 试验电阻 R1对输出信号周期的影响在步骤 5）的基础上，将电阻 R1由 10kΩ替换为 20kΩ，
再次测试上面两处的波形，同时记录 T与 T1。可以发现，
T与 T1又变大了。
第 4 章 一阶动态电路分析
4．
1）
从上面的实训中，我们在扬声器测得如图 4 - 2（ a）
所示的输出波形，它的频率恰落在音频范围内，因此可以推动扬声器发出声音。我们知道，电路中并没有音频信号源，显然,加至扬声器的音频信号是电路自己产生的。音频信号产生的过程，涉及到电路的过渡过程，我们可以按如下过程来定性地理解电路的工作原理。
第 4 章 一阶动态电路分析
（ 1） 从接通电源到 C1两端电压升高至 2E/3。
接通电源后的瞬间，由于电容 C1内部原先没有储存电荷，由物理学知识我们知道，其两端电压为 0。根据
555的性质，其 3脚电压等于电源电压,7脚对地开路。这以后，电源 E要通过电阻 R1与 R2对电容 C1充电，使 C1两端电压升高。当 C1两端电压高于 2E/3时，根据 555的性质，
其输出电压立即跳变至 0V,7脚对地短路。由于 7脚对地短路，电源 E无法再通过 R2对 C1充电,C1两端电压不可能再升高。这一段时间，与图 4 -2中 0~t1时间段对应，从
（ b）图中，我们可以看到在充电过程中,电容器两端电压逐渐升高的情况。
第 4 章 一阶动态电路分析
（ 2） 电容 C1两端电压从 2E/3降到 E/3。 C1两端电压升至 E/3后无法再升高，同时也无法维持这一电压值。由于
R2上端通过 555第 7脚接地,C1要通过 R2对地放电，电流从 C1流出，其两端电压随着放电过程慢慢降低。当 C1两端电压降至 E/3时,555输出电压立即从 0 V跳变至 E,7
脚对地开路。由于 7脚开路,电容 C1不可能再通过 R2对地放电,C1两端电压不可能再降低。 这一过程，与图 4 -
2中 t1~t2时间段相对应，从（ b）图中，我们可以看到在放电过程中，电容器两端电压逐渐降低的情况。
第 4 章 一阶动态电路分析
（ 3） 充电放电的不断循环。
显然，电路跳变后，电源 E又要通过 R1与 R2对 C1充电，
完成 t2~t3的过程，引起电路又一次跳变。然后,C1又通过
R2放电,如此循环往复，形成了输出波形如图 4 - 2（ a）
的振荡。如果图 4 - 2（ a）波形的频率为 f,则它可以分解成许多频率为 nf（ n=0,1,2,… ）的正弦电压,nf称为 f的谐波，所以，我们把这种振荡器称为多谐振荡器。
第 4 章 一阶动态电路分析
2）
在实训步骤 5）与 6）中,改变 C1或 R1的值，输出波形的周期发生了变化。显然，振荡周期与它们有关。从图 4 - 2（ b）中我们可以看出，振荡周期 T等于电容充电时间 T1与放电时间之和。我们还可以看出，充电时间明显大于放电时间。这是因为，充电电流同时流过了 R1与
R2，而放电电流只流过了 R2。可以证明，在电容充放电电路中，电流流经的电容与电阻的乘积越大，其充放电的时间就越长。
第 4 章 一阶动态电路分析
4.1 RC 放 电 电 路
4.1.1 RC放电电路实验电路的稳定状态可简称为稳态，电路的过渡过程可简称为暂态。通过实训 4，我们对电容器的充放电过程有了定性的认识，在此基础上，我们来进一步讨论 RC电路的放电过程。为使我们的认识更加清晰，我们先做个实验。
在这个实验中，要用到慢扫描示波器，由于这种示波器荧光屏的余辉时间特别长，可以将缓慢变化的电压或电流波形在屏幕上显示出来。
第 4 章 一阶动态电路分析
R
1 1
2
t ＝ 0
S
＋
－
u
C
C
20 μ F
－
＋
u
R
R
1 0 0 k Ω＋
－
U
0
实验电路如图 4- 3所示。
图 4-3 RC放电电路第 4 章 一阶动态电路分析实验按如下步骤进行。
（ 1） 将电路连接好。示波器的输入探头接在电容器两端。
打开稳压电源，调节输出电压至 1V。 t=0 时将开关 S由位置 1打到位置 2，仔细观测电容器两端电压的变化情况。（如果没有慢扫描示波器，可以用机械万用表代替示波器观测电容两端的电压,以下同）。在这一过程中，我们可以从示波器中看到如图 4 - 4（ a）的波形。一般将之称为电容器的放电曲线。其形状与实训 4中我们看到的在 t1~t2时间电容器两端的波形类似。
（ 2） 将稳压电源电压调至 2V，重复步骤（ 1）过程。此时我们可以看到电容器两端的波形与图 4 - 4（ a）中的电容放电曲线形状相似，但起始点提高。如图 4 - 4（ b）所示。
第 4 章 一阶动态电路分析
u
C
／ V
t ／ s
1 V
( a )
u
C
／ V
t ／ s
2 V
( b )
1 V
u
C
／ V
t ／ s
1 V
( c )
u
C
／ V
t ／ s
1 V
( d )
3 3 μF
1 0 μF
5 1 k Ω
1 5 0 k Ω
图 4-4 电容放电曲线第 4 章 一阶动态电路分析
（ 3） 分别用一个 10μF与 33μF的电容代替原来的电容，
重复步骤（ 1）的过程，在这一过程中我们可以看到电容器两端波形发生变化，电容值为 10μF时放电曲线变陡，即放电速度加快；而电容值为 33μF时，放电曲线变缓，放电速度放慢。如图 4 - 4（ c）中所示。
（ 4） 分别用一个 51kΩ与 150 kΩ的电阻代替原来的电阻，
此时可见电容放电曲线变化情况与电容值改变时类似，即电阻值变小时曲线变陡，放电速度变快；而电阻值变大时曲线变缓，放电速度变慢。 见图 4 - 4（ d
第 4 章 一阶动态电路分析从上述实验中可见：在 RC放电过程中,电容电压从某一电压值,即某一稳态值开始逐渐衰减，最后变为零,达到另一稳态值。 两个稳态值中间的变化过程就是电路的过渡过程，当改变电容电压的初始值、电容值及电阻值时，电容的放电情况会发生改变。在分析 RC放电过程时，我们要从理论上解决上面实验中反映的如下问题：
（ 1）
（ 2）
（ 3）
（ 4）
（ 5）
第 4 章 一阶动态电路分析
1,RC
在图 4 - 3的电路中，当 S闭合一段时间后，电容器已被充满电荷，即已经储存有电场能,UC等于电源电压。
此时若开关不断开，就没有电流流过电容，流过电阻 R1的电流为零，电路处于稳定状态。当 t=0时 S从 1端合到 2端,电源被断开，由电容 C与电阻 R构成回路，电阻 R两端电压与电容 C两端电压相同，因此，储存在电容中的电荷要通过 R释放。在 dt时间内，释放的电荷 dq=idt,。随着电容电荷的减少，电容电压从原有的稳态值开始下降，放电电流 i也下降。由于同样时间内释放的电荷减少，电压降低的速率也减少。因此，电荷的完全释放必须经过一段时间，电容两端的电压降至为 0也要经过一段时间，显然，电容两端电压的变化必定是连续的。
2
2
1
CC CUE?
R
ui C?
第 4 章 一阶动态电路分析我们也可以从能量的变化来阐述电压连续变化的原因。因为电容上储存有电场能量，而能量是不能发生跃变的 (能量的跃变需要无穷大的功率作支撑 )，这在实际中是不可能的。能量只能逐渐被回路中的电阻消耗掉,这是一个过渡过程,这是电路中产生暂态的根本原因。而与能量对应的电容电压也随之产生一个过渡过程。在电感中也存在有类似的过程。当有电流流过电感时，在电感元件中储存有磁场能,。
当换路时，电感中储存的磁场能不能跃变，反映在电路中是电感元件的电流 iL不能跃变。
电容两端电压不能突变，流过电感的电流不能突变，是分析过渡过程的重要定则。
2
2
1
Lm LiE?
第 4 章 一阶动态电路分析
2,RC电路产生过渡过程的起因上述电路中产生暂态的起因，是电路中的开关动作。
实际上,只要电路条件发生突然变更，诸如开关动作、
电路故障、电路参数变化及改变电源等，都会引起电路发生过渡过程。因此我们把产生过渡过程的起因称为换路,把出现暂态过程的瞬间称为初始瞬间，此刻电路的状态就是初始状态，例如电容电压的初始状态为 uC（ 0），
电感电流的初始状态为 iL（ 0），从电路方程来看，这就是初始条件。
第 4 章 一阶动态电路分析
3
设 t=0为换路瞬间，以 t=0 表示换路前的终了瞬间，
t=0+表示换路后的初始瞬间。 0 和 0+在数值上都等于 0，
但是前者是指从负值趋近于零，后者是指从正值趋近于零。从 t=0 到 t=0+瞬间，电容元件上的电压不能跃变，而电感元件中的电流不能跃变,这称为换路定则，用公式表示如下：
)0()0(
)0()0(
LL
cC
ii
uu
（ 4.1）
(4.2)
第 4 章 一阶动态电路分析
4．
换路定则仅适用于换路瞬间，可根据它来确定 t=0+时电路中电容元件电压和电感元件电流之值，即瞬态过程的初始值。 确定各个电压和电流的初始值时，先由 t=0-时的电路求出 iL（ 0-）或 uC(0-),由换路定则可求得的 iL（ 0+）或
u(0+)，而后由 t=0+的电路，根据已经求得的 iL（ 0+）或 u(0+)
求电路中其他电压和电流的初始值。
第 4 章 一阶动态电路分析例 4.1 确定图 4 - 5(a)所示电路中电流和电压的初始值。
设开关闭合前线圈和电容器均未储能。
＋
u
C
＋
－
6V
R
1
i
C
R
2
－
4Ω
C
＋
－
u
L L
R
3
4Ω
S
t ＝ 0
2Ω
＋
－
U
s
6V
2Ω
R
1
i
R
2
4Ω
R
3
4Ω
i
L
i
C
( a ) ( b )
i
L
图 4-5 例 4.1图第 4 章 一阶动态电路分析解 先由 t=0_
0)0(
0)0(
_?
L
C
i
u
由于 uC（ 0+） =0和 iL（ 0+） =0，故可在 t=0+的电路中将电容元件短路，将电感元件开路，如图（ b）所示。于是得
VRiu
A
RR
U
ii
CL
C
441)0()0(
1
42
6
)0()0(
2
21
第 4 章 一阶动态电路分析例 4.2 图 4 - 6(a)电路原处于稳态,t=0时开关闭合。求
uC（ 0+）,iC（ 0+）和 u（ 0+）。
＋
－
U
s
R
1
4 Ω
12V R
2
2Ω
＋
－
u
t ＝ 0
＋ －
u
L
R
3
6Ω
i
C
u
C 12V
＋
－
＋ －
u
L (0 ＋ )
i
L (0 ＋ )
4 Ω ①
＋
－
u
(0 ＋ )2Ω
6Ω
u
L
＋
－
i
C (0 ＋ )
u
C (0 ＋ )
( a ) ( b )
i
L
＋
－
i
1
i
1 ( 0 ＋ )
S
解 由 t=0_的电路得知，电感元件短路，电容元件开路，
所以 t=0_时有
Viu
Ai
LC
L
2.76_)0()0(
2.1
64
12)0(
_
图４－６ 例 4.2图第 4 章 一阶动态电路分析由换路定则可得
Aii
Vuu
LL
CC
2.1)0()0(
2.7)0()0(
由 t=0+的电路图 (b)可知
Aiii
Aui
Lc
c
02.12.1)0()0()0(
2.1
6
2.7
6
)0()0(
1
1
用节点法求 u（ 0+
Vu
iu L
4.2
4
3
8.1
)0(
2.13)0(
4
12
)
2
1
4
1
)(0(
因此第 4 章 一阶动态电路分析
5,RC
在图 4 - 3所示实验电路中，当开关 S闭合时，电路处于充电状态，且已达到稳定状态，设 t=0瞬间将开关断开，电路由电阻及电容构成放电回路，根据基尔霍夫定律，电路电压方程为
uR+uC=0
电容上电压与电流的关系为
dt
du
RCRiu
dt
du
Ci
C
CR
C
C
电阻上电压与电流的关系为代入式（ 4.3
0 CC udtduRC
（ 4.3）
(4.4)
第 4 章 一阶动态电路分析此方程为一阶常系数齐次微分方程，其通解为 uC=Kept，代入方程得其特征方程为 RCp+1=0，解得其特征根为 p=-1/(RC)，
RC
t
C Ketu
)( (4.5)
下面要确定积分常数 K。根据换路定则,t=0+时,uC(0+)=U0,
则 K=U0，
0,0 teUu RC
t
C
(4.6)
0,0 teRUdtduCi RC
t
CC
(4.7)
第 4 章 一阶动态电路分析式（ 4.5）和式（ 4.6）按照指数规律随时间变化，并且，
当 t＞ 0时,uC和 iC均趋于零，曲线如图 4 - 7所示。
u
C 1
u
R
U
0
u
C
u
R
－ U
0
t
U
0
R
i
t
图４ -7 随时间变化曲线第 4 章 一阶动态电路分析
6
令 t=0，则 uC（ 0） =U0e0=U0；再令 t=τ，则
uC(τ)=U0e-τ/τ=U0e-1=0.368U0，这就是说经过时间 τ=RC之后，
电压下降到初始值的 36.8%。同样可以算出当 t=2τ,3τ,… 时的电压值，将计算结果列入表 4-1
t 0 …
uC(t) U0 0.368U0 0.135U0 0.05U0 0.018U0 0.007U0 … 0
2?3?4?5?
表 4-1 不同时刻 uc的值第 4 章 一阶动态电路分析由此可见,从理论上讲需要经历无限长时间，暂态过程才能结束，但实际上只要经过 3τ~5τ的时间，电压（电流）
已衰减到可忽略不计的程度，此时可以认为暂态过程已经结束。这也说明了时间常数越大，暂态过程持续的时间就越长。
图 4 - 8画出了 3 条不同时间常数的电压曲线。
τ
1
τ
2
τ
3
τ
3
＞ τ
2
＞ τ
1
u
C
( t )
t
图 4-8 电容放电曲线第 4 章 一阶动态电路分析因为时间常数 τ=RC，所以时间常数 τ只与电路参数有关,而与电路的初始状态无关。 R,C的值越大，时间常数越大，放电时间越长。这可从物理概念来解释：在一定初始电压之下，电阻 R越大，放电电流就越小，也就是电荷释放过程进行得越缓慢；而电容 C越大，在同样初始电压 U0之下，电容器原先所储存的电荷 q(0)=CU0就越多，
因此放电的时间也就要长一些。
目前，我们研究的电路中只含有一个储能元件，描述这类电路的方程，是一阶微分方程，所以称为一阶电路。
第 4 章 一阶动态电路分析例 4.3 图 4 - 9中，电路原处于稳态。 t=0时，开关由 1打到 2，
经过 2ms时间，电容电压达到初始值的 36.8%，问电路中电容器的电容值是多少？ 此时电容中储存的电荷是多少？
＋
－
u
C
4Ω
6Ω
1A
C
R
10Ω
t ＝ 0
1 2S
图 4-9 例 4.3图第 4 章 一阶动态电路分析解 因为 t＜ 0时，电路处于稳态，所以 uC（ 0 ） =1× 6=6V。
在 t=0时开关由 1打到 2，
Vuu CC 6)0()0(
t＞ 0，电路是电容放电电路，其放电电压为
0,)0()( teutu RC
t
CC
由题意可知 t=2ms时，
RCRC
C
cc
eeu
Vumsu
33 102102
6)0(2 0 8.2
2 0 8.2%8.366%8.36)0()2(
第 4 章 一阶动态电路分析上式两边同时除以 6,再两边同时取对数
CmsuCq
FFC
RC
RC
In
C
44
4
3
104 1 6.42 0 8.2102)2(
2 0 0102
0 0 2.0
102
13 6 8.0
所以第 4 章 一阶动态电路分析
4.2 RC充 电 电 路
4.2.1 RC充电电路实验
RC充电实验电路如图 4 - 10
＋
－
U
s
＋
－
u
R
u
C
＋
－
R
t ＝ 0
S
i ( t )
C
图 4-10 RC充电电路第 4 章 一阶动态电路分析在该实验中电容器事先未被充电,开关合上后电源通过电阻为电容充电。实验步骤如下：
（ 1）按照电路接线。将示波器输入探头接在电容上。
打开直流稳压电源，将电压调到 1V合上开关，用慢扫描示波器观察电容电压的波形。由示波器可见电容电压波形如图 4 – 11(a）所示，这就是电容器的充电曲线，该曲线从零开始，经过一段时间后达到一个稳定值，即电源电压。
第 4 章 一阶动态电路分析
u
C
／ V
1 V
( a )
( b )
( c ) ( d )
0,0 3 μF
0,0 1 μF
u
C
／ V
t
2 V
1 V
u
C
／ V
1 V
1 5 k Ω
u
C
／ V
t
1 V
5,1 k Ω
t
t
图 4-11 电容充电曲线第 4 章 一阶动态电路分析
（ 2）将电源电压调到 2V，重复步骤（ 1）。由示波器观察电容电压波形，发现其波形与图 4 - 11（ a）的充电波形形状基本相同，但是充电结束后的电压值增加。波形如图 4 - 11（ b）
所示。
（ 3） 分别用 0.01μF与 0.03μF的电容代替原来的电容，重复步骤（ 1）。此时我们可以发现对应电容值越小，充电完成越快，反之电容越大充电越慢。改变电容值对应的曲线如图 4-11
（ c）所示。
（ 4） 分别用 5.1kΩ与 15 kΩ电阻代替原来的电阻，重复步骤
（ 1），可得图 4 - 11（ d）所示的电容电压波形。由波形可见，
电阻的大小同样影响了电容充电的快慢，电阻越小，充电越快；
反之，电阻越大充电越慢。
第 4 章 一阶动态电路分析
4.2.2 实验结果总结
1,RC
在 RC充电过程中，电容电压在开关闭合之前为零，即
uC（ 0 ） =0。当 t=0时，开关 K闭合，电路与直流电源接通形成回路，于是电源开始向电容充电。在 t=0+瞬间，由于
uC（ 0+） = uC（ 0 ） =0，电容上还来不及累积电荷，所以此时可以认为电容处于短路，而此时电源电压全部加在电阻上，
使电路中的充电电流最大，为 iC（ 0+） =Us/R。以后随着时间的延续，电容上开始逐步积累电荷，电容电压 uC =q/C逐步上升，电阻上电压 uR=Us－ uC逐步减小，所以电路中的电流 iC=
（ Us-uC ） /R也逐步减小。当电容上电荷积累到最大值时，
uC = Us，达到最大，充电电流 iC=0，这时充电过程结束，电路达到稳态。
第 4 章 一阶动态电路分析这一充电过程的速率仍然决定于电路的时间常数
τ=RC。 R越大，充电电流越小，则充电时间越长；而 C
越大，电容器储存的电荷越多，充电过程越长。
充电结束后电路达到新的稳态，此时充电电流为零，
电容相当于开路。 充电过程的实质，就是将电源提供的能量逐渐以电场能的形式储存于电容器中。
第 4 章 一阶动态电路分析
2,RC
首先根据基尔霍夫电压定律列出图 4 - 10所示电路 t≥0
时的电压方程,
0,)()( tUstuRti c
(4.8)
0,)(
)(
8.4,
)(
)(
tUtu
dt
tdu
RC
dt
tdu
Cti
SC
C
C 有代入式中
(4.9)
第 4 章 一阶动态电路分析式（ 4.9）是一阶线性常系数非齐次方程，电路的初始条件为 uC（ 0） =0。常系数非齐次微分方程的通解，是由两部分组成的。 一个是它的特解 u/C(t),一个是补函数，即非齐次微分方程令其右端项为零时所对应的齐次微分方程的通解 u”C(t)。 所以
)()(' " tutuu CCc (4.10)
第 4 章 一阶动态电路分析
1）
因为特解与激励有相同的形式，所以，设特解为 u‘C（ t）
=A,代入式（ 4.10），有
sUAdt
dARC
式中，第一项是常数取导数为零,故得
sC
s
UAtu
UA
)('
即 （ 4.11）
（ 4.12）
第 4 章 一阶动态电路分析因此，特解等于电源电动势。它是电路在电源作用下达到稳态时电容电压的稳态值，称为稳态分量。
又因为此解是在外加电源强制作用下得出的，它随时间变化的规律与电源的形式相同,故又称为强制第 4 章 一阶动态电路分析
2）
令式 (4.9)中 Us
0 CC udtduRC （ 4.13）
此方程与式（ 4.4）完全相同，其解也应与（ 4.5）式相同，即
ptC Ketu?)("
(4.14)
式中 p是特解方程 RCp+1=0的根，
RCp
1
因此，
tRC
C Ketu
1
'' )(
(4.15)
(4.16)
第 4 章 一阶动态电路分析由上面这一解答可以看出,t→∞,u″C(t) →0,即补函数只存在于暂态过程中，所以称为暂态分量。它的变化规律与电源电压的变化规律无关,只按指数规律衰减，
故又称为自由分量。但这一分量的起始值与电源电压有关，衰减的快慢与电路参数及结构有关。
第 4 章 一阶动态电路分析
3）
充电过程中电容电压的全解，即常系数非齐次微分方程的通解，等于强制分量 u’C(t)和自由分量 u”C(t)
0,)()()(
1
"' tKeUtututu tRC
sCCC
（ 4.17）
式中积分常数 K可根据已知初始条件来确定。现在已假设初始状态为零状态，故 t=0
0,)(
1
teUUtu tRCssC (4.18)
第 4 章 一阶动态电路分析
3）
充电过程中电容电压的全解，即常系数非齐次微分方程的通解，等于强制分量 和自由分量 之和，即)(' tu
C )(" tuC
0,)()()( 1"' tKeUtututu tRCsCCC
(4.17)
式中积分常数 K可根据已知初始条件来确定。现在已假设初始状态为零状态，故 t=0
0)0( KUu sC
于是解出 K=-Us，代入（ 4.17
0,)(
1
teUUtu tRCssC (4.18)
第 4 章 一阶动态电路分析
0,)()(
1
teRUdt tduCti tRCsC (4.19)
电阻上的电压为
0)()(,
1
teUtRitu tRCsR (4.20)
图 4 - 12（ b）中给出的就是充电电路中各电压和电流随时间变动的曲线。
第 4 章 一阶动态电路分析 u C
U
s
u
C
u
C″
－ U
s
u
C′
t
( a ) 电容电压曲线
U
s
u
C
u
R
u
C′
ti
U
R
u
C
( b ) u
c
,u
R
,i
c
曲线图 4-12 RC充电曲线第 4 章 一阶动态电路分析由图可见，当 t=0+时,uC（ 0+） =0，故在初始瞬间电容器相当于短路，输入电压全部加在电阻 R上，电流从零突变为 i（ 0+） =Us/R。随着时间的推移，由于电容器不断充电，电容电压逐渐上升，而电流逐渐减小。当 t=∞时，
电容电压 uC（ ∞） =Us，输入电压全部加在电容器上，而电阻电压变为零，电路中的电流 i（ ∞） =0，充电停止。
此时电容器相当于开路，于是电容电压不再变化，电路达到新的稳态。
第 4 章 一阶动态电路分析显然,在同一个电路中,uC,uR 和 i在充电过程都是按同一时间常数 τ的指数规律变化的。 RC充电电路的时间常数 τ=RC的大小决定了充电过程的快慢。一般认为 t=(3~5）
τ,电容充电过程结束，电路达到稳态，这时电容电压的稳态值为 Us。所以，在实验中我们通过改变电路参数，
来改变充电的快慢。
第 4 章 一阶动态电路分析例 4.4 如图 4 - 13所示电路中，电源电压 Us=12V，电容
C=28μF，电阻 R=20kΩ。 当 t=0 时,开关 S闭合，问电容电压从
0V上升到 10V需要多少时间？此时电容储存的能量是多少？
＋
－
U
s
＋
－
u
R
u
C
＋
－
R
t ＝ 0
S i ( t )
C
图 4-13 例 4.4图第 4 章 一阶动态电路分析解 此电路为初始状态为零的 RC
)1()(
1
RCsC eUtu
其中 sRC 56.010281020
63
设 t=t1时，有 uC（ t1） =10V，
)1(12)1(10)( 56.01 1 ttsC eeUtu
第 4 章 一阶动态电路分析两边同时除以 Us
s
CRC
t
RC
t
s
C
U
tuee
U
tu )(11)( 11 11
))(1( 11
s
C
U
tuIn
RC
t
代入数值解得
Ist?1
JtCutW CC 66121 10141010285.0)(21)(
第 4 章 一阶动态电路分析
4.3.1 微分电路与积分电路实验
1,
微分电路如图 4-14所示，积分电路如图 4 - 15所示。矩形脉冲的幅值为 Um=4V，脉冲频率为 f=200Hz。
4.3
第 4 章 一阶动态电路分析
4 - 1 4 4 - 1 5
＋
－
＋
－
R
u
2
( t )
＋
－
u
1
( t )
＋
－
＋
－
u
2
( t )
＋
－
C
R
u
1
( t )
微分电路 积分电路第 4 章 一阶动态电路分析
2,
（ 1） 把示波器一组输入探头接到信号源的输出上，打开信号源，将信号源调为方波输出，用示波器观察信号源的输出波形，并将信号调为幅值为 Um=4V，频率为 f=200Hz
的方波，方波如图 4 - 16（ a）所示。其中 tp称为脉冲宽度。
第 4 章 一阶动态电路分析
4,5 V
u
1
( t )
t
p
T ＝ 5 m s
t
( a )
u
2
( t )
t
( b )
u
3
( t )
( c )
t
图 4-16 微分电路的输入输出波形第 4 章 一阶动态电路分析
（ 2） 若图 4-14中的电阻为 500kΩ，电容为 0.03μF，将调好的方波信号加到图 4-14所示微分电路的输入端，用示波器的另一组输入探头观察电阻上的波形，可见电阻上的波形与方波信号几乎相同，如图 4-16（ b）所示。改变电路参数，使电阻为 10kΩ，电容为 0.03μF，再用示波器观察电阻电压波形,我们可以见到一系列的尖脉冲，
如图 4 - 16（ c）所示。由此可见同一个电路,当参数不同时，输出的波形大不一样，两种情况在实际电路中都有广泛的应用。
第 4 章 一阶动态电路分析
（ 3） 积分电路中电阻为 500kΩ，电容为 0.03μF；方波源的幅度与频率不变，加到积分电路的输入端，用示波器观察电容电压的波形如图 4-17所示。由波形可见，积分后的输出电压波形为锯齿波，而且其幅度被大大减低。
4,5 V
u
1
( t )
T ＝ 5 m s
t
图 4-17 积分电路的输入输出波形第 4 章 一阶动态电路分析
4.3.2 实验结果的分析与计算
1,微分电路实验结果分析在微分电路实验中，当脉冲宽度不变，而取不同的参数时,输出电压波形有很大差别。这是因为当 τ=RC>>tp
时，电容还来不及充上很多电荷，方波脉冲已经结束，在整个脉冲宽度中方波电压几乎全部加在电阻上，所以电阻电压与方波信号近似相等。此时电路是一般的阻容耦合电路。当时间常数与脉冲宽度之比 τ/tp逐渐变小，使得
τ=RC<<tp时，电容上很快充上电荷,即电容电压很快达到方波幅值，而电阻电压则从零跃变到方波幅值，然后迅速衰减到零，形成尖脉冲。
第 4 章 一阶动态电路分析若外加信号是一系列方波，则电阻电压就是一系列正负尖脉冲，如图 4- 16（ c）所示。这种输出正负尖脉冲反映了输入矩形脉冲的跃变部分，是对矩形脉冲微分的结果。因此这种电路称为微分电路。构成微分电路应具备如下条件：① 从电阻端取得输出信号；② 电路参数满足 τ<<tp。
第 4 章 一阶动态电路分析
2
例 4.5 在图 4 - 14电路中,R=20kΩ,C=100pF。输入信号电压 u1是单个矩形脉冲，如图 4 - 18（ a）所示，其幅值
U=6V，脉冲宽度 tp =50 μs。试分析和作出电压 u2的波形。
设电容元件原先未储能。
第 4 章 一阶动态电路分析
t
t
1
t
p
6V
( a ) ( b )
6V
t
1 t
图 4-18 例 4.5图第 4 章 一阶动态电路分析解 τ=RC=20× 103× 100× 10-12=2× 10-6=2μs，是输入电压脉冲宽度的 1/25，所以 τ<<tp。
在 t=0时,u1从零突然上升到 6V，即 u1=U=6V，开始对电容元件充电。由于电容元件两端电压不能跃变，在这瞬间它相当于短路（ uC =0），所以此时电压全部加在电阻上,
u2 =U=6V。因为 τ<<tp，相对于 tp而言，充电很快完成,uC
很快增长到 U值；与此同时,u2很快衰减到零值。这样，在电阻两端就输出一个正尖脉冲，如图 4-18（ b）所示。 u2的
VeUeu
tt
6102
2 6
(4.21)
第 4 章 一阶动态电路分析在 t=t1时,u1突然下降到零（这时输入端不是开路，而是短路）。由于 uC不能跃变，所以在这瞬间 u2 = -uC = -U = -6V，
极性与前相反。而后电容元件经电阻很快放电，很快衰减到零,电阻上电压同样也很快衰减到零。这样，电阻上就输出一个负尖脉冲,如图 4-18（ b）所示。 u2
VeUu
tt
e
6102
2 6
比较上例中 u1和 u2的波形，可见：在 u1的上升跃变部分
（从零跃变到 6 V）,u2 =U=6V，此时正值最大；在 u1的平直部分,u2≈0；在 u1的下降跃变部分（从 6V跃变到零）,u2= -U
= -6V，此时负值最大。所以输出电压 u2与输入电压 u1近似成微分关系。
第 4 章 一阶动态电路分析如果输入的是周期性矩形脉冲，则输出的是周期性正负尖脉冲，如图 4 - 16（ c）所示。
上述的微分关系也可以从下面的数学推导看出。
由于 τ<<tp，充放电很快，除了电容器刚开始充电或放电的一段时间之外,u1 =uC +u2 ≈Uc>>u2，
dt
duRC
dt
duRCiRu C 1
2
上式表明,输出电压 u2近似地与输入电压 u1对时间的微分成正比。
(4.22)
第 4 章 一阶动态电路分析
3．
积分电路的条件与微分电路的条件相反。 积分电路的条件为,输出信号从电容端获得；电路参数满足 τ>>tp。
由图 4 - 17波形可见，由于积分电路有 τ>>tp，所以电容器充电缓慢，电容上的电压在整个脉冲持续时间内缓慢增长，
当还未增长到稳定值时，脉冲已告终止。以后电容器慢慢放电，电容器上的电压也缓慢衰减。还未衰减到零时，下一个方波脉冲又到来，电容再充电，电容电压再增长 ……,电容充放电的过程周而复始,就形成了图 4 - 17所示的一系列锯齿波。由实验可见，时间常数 τ越大，充放电越缓慢，所得锯齿波电压的线性也就越好。这也就是输出电压 u2对输入电压 u1
积分的结果，如图 4 - 17所示。
第 4 章 一阶动态电路分析从数学上看，由于 τ>>tp，充放电很缓慢，故 uC增长和衰减得很缓慢。充电时 u2=uC<<uR
iRuuuu RR 21
R
ui 1?
dtuRCi d tCuu C 12 11
或
(4.23)
输出电压 u2与输入电压 u1近似成积分关系。因此这种电路称为积分电路。
第 4 章 一阶动态电路分析电路中只要含有一个储能元件，即含有一个独立电容元件或含有一个独立电感元件，则其所列方程即是一阶常系数方程,因此可用一阶微分方程描述的电路就叫做一阶动态电路。 前面我们讨论了一阶动态电路的零输入响应和零状态响应。 现在我们以 RC电路为例来研究一阶动态电路的全响应。
4.4 一阶动态电路及其分析方法第 4 章 一阶动态电路分析
4.4.1 RC电路的全响应所谓 RC电路的全响应，是指电源激励和电容元件的初始状态均不为零时电路的响应，也就是零输入响应与零状态响应两者的叠加。
求解全响应的问题和求解零状态响应一样,仍然是解非齐次微分方程。回顾前面所述，求零状态响应的步骤,
可以总结为：
第 4 章 一阶动态电路分析
（ 1） 按换路后的电路列出微分方程；
（ 2） 求微分方程的特解,即稳态分量；
（ 3） 求微分方程的补函数,即暂态分量；
（ 4） 将特解与补充函数相加即得到微分方程的全解；
（ 5） 按照换路定则确定暂态过程的初始值，从而定出积分常数。这样的计算步骤完全适用于求解全响应，
只不过初始条件不同而已。 这种分析暂态过程的方法第 4 章 一阶动态电路分析电路如图 4 - 19所示。设在开关闭合之前电容器已充电至 U0,故 uC（ 0 ） = U0 。 t=0时，开关 S合上，则 t≥0
时电路的微分方电程仍如式（ 4 - 10）所示。
＋
－
U
s
u
C
＋
－
R
t ＝ 0
S
C
U
C
( 0
－
) ＝ U
0
图 4-19
第 4 章 一阶动态电路分析
sC
C Utu
dt
tduRC )()( (4.24)
此方程的全解仍为式（ 4.18）
0,)()()(
1
"' tKeUtututu tRC
sCCC
（ 4.25）
0,)()(
1
0
teUUutu tRC
ssC
根据初始条件 uC（ 0 ） = U0
sUUK 0
（ 4.26
式中 τ=RC为电路的时间常数。上式中 uC（ t）由两个分量组成：
其中第一项为稳态分量，第二项为暂态分量。
第 4 章 一阶动态电路分析我们也可以把式（ 4.25）改写成
0),1()(
11
0
teUeUtu tRC
sRCC
式中第一项就是前面所讨论的零输入响应（见式（ 4.6）），即由电容上的初始电压引起的响应；第二项就是零状态响应（见式（ 4.19）），即由外加电源引起的响应。所以全响应等于零输入响应与零状态响应之和。 这也是叠加定理在线性动态电路中的体现。
0,)(
1
0 te
R
UU
dt
tduCi tRCsC
C
(4.28)
电阻上的电压为
0,)(
1
0 te
R
UURiu tRCs
CR
（ 4.29）
（ 4.27）
第 4 章 一阶动态电路分析图 4 - 20中给出了初始状态为 U0，且 U0＜ Us时 RC电路的充电电压和电流曲线。
u
C
u
C
,u
R
U
s
U
s －
U
0
u
C
(0 － )
t
i
C
I
0
t
图 4 – 20 初始状态不为零且 U0＜ Us时 uC,uR,iC曲线第 4 章 一阶动态电路分析例 4.6 如图 4 - 21所示电路，开关长期合在位置 1
上，如在 t=0时把它合到位置 2，求电容器上的电压。
已知 R1=1kΩ,R2=2kΩ,C=3μF,Us1=3V,Us2=5V。
解 在 t=0
VRR RUu sC 212 23)0(
21
21?
第 4 章 一阶动态电路分析
＋
－
U
s1
＋
－
U
s2
t ＝ 0
S
1
2
R
1
＋
－
u
C
C
i
c
i
2
R
2
i
1
图 4-21 例 4.6图第 4 章 一阶动态电路分析
3
102"'
3
2
2
1
1
3
10
5
2
3
)103(
)1(
t
CCC
C
c
sc
C
Keuuu
u
dt
du
Uu
R
R
dt
du
CR
在 t≥0时,根据基尔霍夫电流定律有
0,0
21
2
21
dt
duC
R
u
R
uUiii CCCs
C
第 4 章 一阶动态电路分析由换路定则知，
0,
3
4
3
10
)(
,
3
4
,2)0()0(,0
5 0 0
tetu
KVuut
t
C
CC 所以则时第 4 章 一阶动态电路分析例 4.7 如图 4 - 22所示,RC串联电路,原来电容未经充电,现将其接到一电压源 Us上，电压源的波形如图 4 - 22（ b）所示，试分析电容电压的变化规律，并画出电压波形。
U
s
U
s
2
t
1
t
u
s
( t )
＋
－
U
s
C u
C
＋
－
R
图 4-22 例 4.7图第 4 章 一阶动态电路分析解 因为 t≤0时电容没有充过电，所以在 0≤t≤t1期间，电路就是零状态响应，即一直流电源为电容充电，所以电容电压为
10),1()( tteUtu RC
t
sC
若 t=t1时，电容电压还未达到稳态值 Us，则此时电容电压为
11 ),1()(
1 tteUtu
RC
t
sC
当 t≥t1时，电路就成为以 uC（ t1）为初始值，以 Us/2为稳态值，时间常数不变的暂态过程，此时电路的方程与式
（ 4.24）类似，只是方程右端项为 Us/2，所以有
1,2)(
)( ttUtu
dt
tduRC s
C
C
第 4 章 一阶动态电路分析上述方程的特解为
2)(
' sC Utu?
由于方程描述的暂态过程发生在 t≥t1
1
",)( 1 ttKetu RC
tt
C
RC
tt
sCCC KeUtututu 1
2)()()(
"'
此问题发生的初始时刻为 t1，因此 t1
)1()()()( 1111 RC
t
sCCC eUtututu
KUtu sC 2)( 1
第 4 章 一阶动态电路分析
2)( 1
sC UtuK
电容电压为
RC
tt
s
ss
RC
tt
sRC
t
s
s
RC
tt
s
C
s
C
e
RC
t
eU
UU
e
U
eU
U
e
U
tu
U
tu
1
11
1
1
1
22
2
)1(
2
2
)(
2
)(
t≥t1
第 4 章 一阶动态电路分析
U
s
U
s
2
t
1
t
u
C
( t )电容电压的波形如图 4 - 23所示。
图 4-23 电容电压波形第 4 章 一阶动态电路分析稳态分量、初始值、时间常数称为分析一阶电路的三要素。已知一阶电路的三要素代入式 (4.26)求解一阶电路的方法称为三要素法。
如图 4 - 24所示。这样，只要把含源二端网络用戴维南等效电路（或诺顿等效电路）来替代，这类电路就化简为 RC串联（或并联）电路，如图 4 - 25所示。 RC电路的时间常数为 τ=
RiC，而此时 Ri为戴维南等效电路中的等效电阻，所以对于只含有一个电容元件的任意复杂一阶电路，其时间常数等于电容与等效电阻的乘积。 这样我们通过求解一阶电路的三要素，
可以求得电容电压的表达式。非常值得一提的是，电路中的其他支路的电流,电阻电压等,也可以采用三要素的方法求解。
第 4 章 一阶动态电路分析
4 - 2 4 4 - 2 5
含源电阻网络
A
i
C
C
＋
－
B
u
C
＋
－
R
i
U
i
A i
C
B
C
＋
－
u
C
只含一个电容的动态电路 含一个电容网络的戴维南等效电路第 4 章 一阶动态电路分析我们设 f（ t）表示电路中任意支路的电压或电流；
f（ ∞）表示电压或电流的稳态分量； f（ 0+）表示换路后电路中任意支路的电压或电流的初始值,则根据式 (4.26)有
)30.4(0,)]()0([)()( teffftf
t
第 4 章 一阶动态电路分析例 4.8 求图 4 - 26所示电路的输出电压 u（ t）。
＋
－
6V
t ＝ 0
S
C1 0 0 0 p F
＋ －u
C
( t )
R
2
20Ω
＋
u ( t )
－
R
1
10Ω
图 4-26 例 4.8图第 4 章 一阶动态电路分析
VuUu
uu
Cs
CC
6)0()0(
0)0()0(
故即开关闭合后的初始瞬间（ t=0+）电容相当于短路，
电源电压直接加到电阻 R2的两端。
解 （ 1） 求 u（ 0+）。由于
VURR Ru s 462010 20)(
21
2
第 4 章 一阶动态电路分析
（ 3） 求时间常数 τ。
开关闭合后，根据从电容两端看进去的戴维南等效电路，
其等效电阻为 R1与 R2的并联，如图 4 - 27
kRR RRR 320
21
21
sCR i 6123 10320101 0 0 010320
将以上求得的 u（ 0+）,u（ ∞）及 τ的值代入（ 4.30）式，
Veetu tt )24()46(4)( 5
6
105.120
103
第 4 章 一阶动态电路分析在图 4 - 28 中画出了 u（ t）随时间变动的曲线。
4 - 2 7
4 - 2 8
u ( t )
6
4
t
R
2
20Ω
R
1
10Ω
R
i
求等效电阻的电路 输出电压波形第 4 章 一阶动态电路分析例 4.9 电路如图 4 - 29（ a）所示，开关在 t=0时闭合，
闭合前电路已处于稳态，已知 U1=6 V,U2=10V,R1=3kΩ，
R2=6kΩ,R3=2kΩ,C=1μF，求开关闭合后的 i2（ t）。
解 （ 1）求 i2（ 0+）。 t=0-时的电路如图 4 - 29(b)所示，此时电容中电流为零，
mA
R
u
i
Vuuu
VU
RR
R
u
CC
C
3
2)0(
)0(
4)0()0()0(
46
63
6
)0(
2
2
2
2
1
21
2
第 4 章 一阶动态电路分析
3kΩ
R
1
R
2
6kΩ
＋
－
U
1
6V
t ＝ 0
2kΩ
R
3
U
2
＋
－
10V
( a )
3kΩ
R
1
R
2
＋
－
U
1
6V
( b )
6kΩ
C
i
2
( 0 - )
3kΩ
R
1
R
2
6kΩ
＋
－
U
1
6V
2kΩ
R
3
U
2
＋
－
10V
( c )
i
2
3kΩ
R
1
R
2
6kΩ
2kΩ
R
3
( d )
i
2
i
2
( t )
7 ／ 6
2 ／ 3
t
( e )
S
C
i
2
C C
图 4-29 例 4.9图第 4 章 一阶动态电路分析所以
（ 2） 求 i2（ ∞）。 t=∞时，因为电容电压已达到稳态，所以电容中电流为零,故可用节点电压法求出 uC（ ∞），此时电路如图 4 - 29（ c）所示，则其方程如下：
33333
3
2
1
1
321
102
10
103
6
)()
102
1
106
1
103
1
(
)()
111
(
C
C
u
R
U
R
U
u
RRR
mA
R
u
i
Vu C
6
7
106
7)(
)(
7)(
3
2
2
2?
第 4 章 一阶动态电路分析
（ 3） 求时间常数 τ。 t=0时，开关闭合，则此时电路为图 4
- 29（ d），从电容两端看进去的等效电阻为 3 个电阻的并联，
msRC
kRRRR
1101101
1////
63
321
（ 4） 求 i2（ t）的表达式：
0,
2
1
6
7
)
6
7
3
2
(
6
7
)]()0([)()(
3
3
10
10
2222
tAe
Ae
eiiiti
t
t
t
图 4 - 29（ e）给出了 i2（ t）的变化曲线。
第 4 章 一阶动态电路分析
4.4.3 RL电路的过渡过程电感元件是储能元件,因此当含有电感元件的电路发生换路时，电路中也会产生过渡过程。例如图 4 - 30所示 RL
串联电路,开关动作之前接电压为 U的直流电源，并处于稳态，电路中的电流,电感中储存的磁场能量为 ； t=0
RR
UI
00
2021 LIW m?
这一电流在 t=0瞬间仍在右边 RL回路中继续流动，以后逐渐下降到零。电感中原先所储存的磁场能量是维持电感电流的唯一能量来源。
第 4 章 一阶动态电路分析
＋
－
R
1
U
t ＝ 0
i
L
R
L
＋
－
u
L
S
图 4-30 RL电路短路第 4 章 一阶动态电路分析现在我们来求解开关动作后此电路的零输入响应 iL（ t），
0 RL uu
LR
L
L Riudt
diLu,其中
sRR LRL
Vi
3
3 1010
4
101010
4
(4.31)
0,0 tidtdiRL LL
(4.32)
此方程与（ 4.4）式相似，
t
RL
t
L KeKeti
/)( (4.33)
第 4 章 一阶动态电路分析根据已知初始条件,iL（ 0+） = iL（ 0-） = I0，得 K= iL（ 0+） = I0。
t
L eIti
0)(
(4.34)
式中 τ=L/R是时间常数。电感电压 uL则为
0,0 teRIdtdiLu
t
L
L
(4.35)
电感电压为负，这是因为电流下降，维持电流的自感电势 eL=－ uL的实际方向与电流方向相同的缘故。
电流和电压随时间变化的曲线如图 4 - 31 所示。由图可见，电感电流在 t=0时没有发生变化，都是 I0，但电感电压却从 0跃变到－ RI0。随着时间的推移电流逐渐减小，
第 4 章 一阶动态电路分析当电感中原先所储存的磁场能量 在电阻中全部消耗完毕之后，电流也等于零，过渡过程结束。这个过程从理论上看要经历无限长的时间，实际上也只需经过 3τ~5τ就可以认为基本结束。从这里我们还看到，
电阻越大使能量消耗得越快,而电感越大，原先储存在电感中的能量越多，由此可以理解为什么 RL电路的时间常数 τ与电阻成反比,而与电感成正比。
2
02
1LI
第 4 章 一阶动态电路分析
I
o
i
u
L
－ R
o
I
o
t
图 4-31 IL和 uL随时间变动曲线第 4 章 一阶动态电路分析例 4.10 在图 4 - 32所示电路中，已知：线圈电阻
R=10Ω，电感 L=4H，电压表的电阻 RV=10× 103Ω。电源电压 U=10V。开关 S原先是闭合的，且电路已达到稳态。现将开关突然断开。 求线圈电流 i（ t）在开关断开后随时间变动的规律,并计算电压表所承受的最大电压值。
第 4 章 一阶动态电路分析
VU
＋
－
＋
－
u
V
R
V
R
L
t ＝ 0
S i ( t )
图 4-32 例 4.10图第 4 章 一阶动态电路分析
ARUi 11010)0(
设 t=0时开关突然断开，根据换路定则有
Aii 1)0()0(
解 用三要素法求解。
（ 1）求 i（ 0+）。因为开关断开前电路已处于稳态，
所以有第 4 章 一阶动态电路分析
（ 2） 求 i（ ∞）。因为开关断开后，电感电流靠电感中储存的磁场能量维系，磁场能量不断地被电阻消耗，
最后达到零，则电流也必将为零，所以 i（ ∞） =0。
（ 3） 求时间常数 τ。 τ=L/Ri，其中 Ri为电路换路后，
把电感支路单独分出来，其他部分归结为一个含源二端网络的等效电阻，对于本例 Ri=R+RV，所以
sRR LRL
Vi
3
3 1010
4
101010
4
第 4 章 一阶动态电路分析
（ 4） 求 i（ t）：
Aeeeiiiti t
tt 3
105.21)]()0([)()(
VeRitu tV 3105.2410)(
当 t=0时，电压表将承受最大电压 umax=－ 104 V，这将远远超过电压表的最大量程，而使电压表遭受损坏。由此可见，
当断开带有大电感的电路时，应该预先把和它相并联的电压表取下。
第 4 章 一阶动态电路分析习题与思考题 4
1,在题图 4 - 1 所示电路中,t＜ 0时处于稳态,t=0时开关断开。 求初始值 uC（ 0+）,i1（ 0+）,iC（ 0+）。
题4 - 1
题4 - 2
i
1
i
C
S
2kΩ
2kΩ
＋
－
u
C
C
1 0 m A t ＝ 0
i
1
6Ω
45V ＋
－
＋ －
S
t ＝ 0
u
8Ω
3Ω
＋
－
u
C
C
L
2,题图 4 - 2 所示电路原来处于稳态,t=0时将开关断开。
求初始值 uC（ 0+）,il（ 0+）以及开关两端电压 u（ 0+）。
第 4 章 一阶动态电路分析
3,在题图 4 - 3 所示电路中，开关 S原先合在 1端，电路已处于稳态。在 t=0时将开关从 1端扳到 2端，试求换路后 i1,i2,iL
及 uL的初始值。
题4 - 3
i
L
R
L
i
2
R
2
R
1
L
＋
－
1
2
i
1
S
第 4 章 一阶动态电路分析
5,一 RC放电电路如题图 4 -5所示，电容元件上电压初始值 uC（ 0+）
=U0=20V,R=10kΩ,t=0+时，开始放电，经 0.01s后,测得放电电流为 0.736mA，试问电容 C
又知放电开始（ t=0）时，电容电压为 10V，放电电流为 1mA，经过 0.1s（约 5τ）后电流趋近于零。试求电阻 R和电容 C的数值，并写出放电电流 i的表达式。
题4 - 5
U
0
＋
－
＋
－
U
R
U
C
R
C
t ＝ 0
S
i
第 4 章 一阶动态电路分析
6,电路如题图 4 - 6 所示，试作出开关闭合后（ t>0）电流 i的波形。
7,在题图 4 - 7 中，开关闭合时电容器充电，再断开时电容器放电，试分别求充电和放电时电路的时间常数。
题4 - 6
题4 - 7
＋
－
20V
S
t ＝ 0
i
R
5Ω
＋
－
E
S
R
1
R
2
C
第 4 章 一阶动态电路分析
8,在题图 4 - 8 所示电路中,U0=20V,R=7 kΩ,C=0.47μF。
电容 C原先不带电荷。试求在开关 S合上瞬间电容和电阻上的电压 uC和 uR以及充电电流 i。经过多少时间后电容元件上的电压充到 12.64V S
t ＝ 0
i
R U
R＋
－
U
0
＋
－
C
＋
－
U
C
第 4 章 一阶动态电路分析
9,题图 4 - 9 所示电路原处于稳态,t=0时开关突然接通，
求 t≥0时 uC（ t）。
10,题图 4 - 10 所示电路原处于稳态,t=0时开关突然断开，求 t＞ 0时的全响应 u。
3kΩ
3kΩ
2 μ F
－
＋
u
C
－＋
6kΩ
1,5 k Ω
t ＝ 0
S
9V
题4 - 9
题4 - 1 0
＋
－
u4 k Ω 3 k Ω
S
1kΩ
5 m A
0,8 H
t ＝ 0
第 4 章 一阶动态电路分析
11,题图 4 - 11 所示电路中电容原先未充电。试求：
（ 1） 电路的时间常数；
（ 2） 当开关闭合后电路中的电流 i及各元件上的电压 uC和 uR，
并作出它们的变化曲线；
（ 3） 经过一个时间常数后电流 i的值。
S
＋
－
U 40V
5 k Ω
u
R
R
i
＋
－
C
1 0 0 μ F
u
C
t ＝ 0
＋ －
第 4 章 一阶动态电路分析
12,在题图 4 - 12 所示电路中电容原先未充电。当开关闭合后,试求电容元件两端电压 uC。
S
＋
－
C
1
C
2
R
2
R
1
U
C
U
S
第 4 章 一阶动态电路分析
13,有一 RC电路如题图 4 - 13(a)所示，其输入电压如图（ b）
所示。设脉冲宽度 T=RC，试求负脉冲的幅度 U-等于多大才能在
t=2T时 uC=0。设 uC（ 0-） =0。
R
5 k Ω
＋
－
Cu
C
＋
－
u
( a )
u
1V
T
U
t
( b )
第 4 章 一阶动态电路分析
14,题图 4 - 14 所示电路参数已在图中标明。开关长时间合在 1的位置。当将开关扳到 2的位置后，试求电感元件中电流及其两端电压。
R
1
＝ 1 Ω
U ＝ 2V ＋
－
S
2 t ＝ 0
R
3
＝ 2 Ω
R
2
＝ 2 Ω
i
L
L ＝ 2H
＋
－
u
L
第 4 章 一阶动态电路分析
15,题图 4 - 15
（ 1） 求 S1闭合后电路中电流 i1的变化规律；
（ 2） 当 S1闭合后电路达到稳定状态时再闭合 S2，试求 i1和
i2的变化规律。
＋
－
U
s
2 Ω
R
1
S
1
6V
L
1
0,0 1 H
i
1
1 Ω R
2
L
2
0,0 2 H
S
2
i
2
第 4 章 一阶动态电路分析
16,题图 4 - 16电路已处于稳定,t=0时 S1闭合,试用三要素法求 t≥0时的 i1,i2。
6 Ω 3 Ω
i
1
＋
－
1 2V
i
L
1 H
＋
－
9 V
i
2
S
1
第 4 章 一阶动态电路分析
17,在题图 4 - 17 所示电路中，已知 R1=400 kΩ，
R2=R3=200 kΩ,C=100μF，输入电压 u1如图（ b）所示，其中
U=20V,tp=20μs。试求输出电压 u2，并画出其变化曲线。
R
2
R
1
R
3
C
＋
－
u
1
＋
－
u
2
( a )
u
1
／ V
U
U
t
p
0
2
－
2 t
p
3 t
p t ／ μs
( b )
4.1 RC放电电路
4.2 RC充电电路
4.3 微分电路与积分电路
4.4 一阶动态电路及其分析方法习题与思考题 4
第 4 章 一阶动态电路分析实训 4 简易电子门铃的制作与电路测试
1．
（ 1） 熟悉电子电路的连接方法；
（ 2） 基本掌握示波器的使用方法；
（ 3） 认识 RC动态电路的主要特点；
（ 4） 了解 555集成电路的基本功能。
第 4 章 一阶动态电路分析
2,实训设备、
（ 1） 实训设备与器件：直流稳压电源一台，双通道示波器一台，万能板一块,8Ω扬声器一个，按键一个，电阻、电容,导线若干。
（ 2） 实训电路与说明,实训电路如图 4 - 1所示。 图中 555为集成定时器电路。 555定时器具有如下特点,当它按图 4 - 1的方式将 2,6脚连到一起时，如果连接点的电位高于电源电压的 2/3，则 3脚的输出电压等于 0V,7脚对地短路，如果连接点的电位低于电源电压的 1/3时,则 3脚的输出电压等于电源电压,7脚对地开路。
第 4 章 一阶动态电路分析
i
1
i
C
S
2 k Ω
2 k Ω
＋
－
u
C
C
1 0 m A t ＝ 0
图 4-1 实训 4电路图第 4 章 一阶动态电路分析
3．
1） 连接电路按图在万能板上将电路连接好，注意，
IC的引脚及电容 C1,C3的极性不要接错。
2）
接通电源（ 5V），按下按键 S，此时，可以听到扬声器发出的单一频率的声音。松开按键，声音停止。
第 4 章 一阶动态电路分析
3） 测试输出波形打开示波器,用通道 1输入探头的“地”与电路的
“地”相连,中心头接至扬声器的上端。 注意，如果你事先不会使用示波器,请仔细阅读示波器的说明书直至能正确使用为止。
如果操作正确，当按下按键喇叭发声时，我们可以在荧光屏上看到如图 4 - 2（ a）所示的脉冲波形。要求用示波器读出输出波形的周期 T及脉冲的宽度 T1，并记录在实训报告上（为减少声音干扰，可以将扬声器从电第 4 章 一阶动态电路分析
4） 测试 555第 2,6脚的波形用示波器通道 2输入探头的中心头接 555第 2,6脚，
“地”与“地”相接。 按下按键，此时，我们可以观测到如图 4 - 2（ b）所示的锯齿状波形。如将示波器的输入状态设置为直流，我们可以读出其幅度最小值约为电源电压的
1/3,其最大值约为电源电压的 2/3。
在荧光屏上比较通道 1与通道 2的波形我们可以发现，
锯齿波的最小值与输出波形从低电平向高电平过渡对应，
锯齿波的最大值与输出波形从高电平向低电平过渡对应。
第 4 章 一阶动态电路分析
T
T
1
u
o
E
t
( a )
t
2 E/ 3
E/ 3
u
C1
0 t
1
t
2
t
3
( b )
图 4-2 电路中对应点的波形第 4 章 一阶动态电路分析
5）试验电容 C1对输出信号周期的影响将电容器 C1由 10 μF替换为 20μF，再次测试步骤 3）与
4）中测试到的波形，并记录周期 T与脉冲宽度 T1。在这一步骤中我们可以发现，波形的形状基本没有改变，但波形的周期与脉冲宽度却变大了。
6） 试验电阻 R1对输出信号周期的影响在步骤 5）的基础上，将电阻 R1由 10kΩ替换为 20kΩ，
再次测试上面两处的波形，同时记录 T与 T1。可以发现，
T与 T1又变大了。
第 4 章 一阶动态电路分析
4．
1）
从上面的实训中，我们在扬声器测得如图 4 - 2（ a）
所示的输出波形，它的频率恰落在音频范围内，因此可以推动扬声器发出声音。我们知道，电路中并没有音频信号源，显然,加至扬声器的音频信号是电路自己产生的。音频信号产生的过程，涉及到电路的过渡过程，我们可以按如下过程来定性地理解电路的工作原理。
第 4 章 一阶动态电路分析
（ 1） 从接通电源到 C1两端电压升高至 2E/3。
接通电源后的瞬间，由于电容 C1内部原先没有储存电荷，由物理学知识我们知道，其两端电压为 0。根据
555的性质，其 3脚电压等于电源电压,7脚对地开路。这以后，电源 E要通过电阻 R1与 R2对电容 C1充电，使 C1两端电压升高。当 C1两端电压高于 2E/3时，根据 555的性质，
其输出电压立即跳变至 0V,7脚对地短路。由于 7脚对地短路，电源 E无法再通过 R2对 C1充电,C1两端电压不可能再升高。这一段时间，与图 4 -2中 0~t1时间段对应，从
（ b）图中，我们可以看到在充电过程中,电容器两端电压逐渐升高的情况。
第 4 章 一阶动态电路分析
（ 2） 电容 C1两端电压从 2E/3降到 E/3。 C1两端电压升至 E/3后无法再升高，同时也无法维持这一电压值。由于
R2上端通过 555第 7脚接地,C1要通过 R2对地放电，电流从 C1流出，其两端电压随着放电过程慢慢降低。当 C1两端电压降至 E/3时,555输出电压立即从 0 V跳变至 E,7
脚对地开路。由于 7脚开路,电容 C1不可能再通过 R2对地放电,C1两端电压不可能再降低。 这一过程，与图 4 -
2中 t1~t2时间段相对应，从（ b）图中，我们可以看到在放电过程中，电容器两端电压逐渐降低的情况。
第 4 章 一阶动态电路分析
（ 3） 充电放电的不断循环。
显然，电路跳变后，电源 E又要通过 R1与 R2对 C1充电，
完成 t2~t3的过程，引起电路又一次跳变。然后,C1又通过
R2放电,如此循环往复，形成了输出波形如图 4 - 2（ a）
的振荡。如果图 4 - 2（ a）波形的频率为 f,则它可以分解成许多频率为 nf（ n=0,1,2,… ）的正弦电压,nf称为 f的谐波，所以，我们把这种振荡器称为多谐振荡器。
第 4 章 一阶动态电路分析
2）
在实训步骤 5）与 6）中,改变 C1或 R1的值，输出波形的周期发生了变化。显然，振荡周期与它们有关。从图 4 - 2（ b）中我们可以看出，振荡周期 T等于电容充电时间 T1与放电时间之和。我们还可以看出，充电时间明显大于放电时间。这是因为，充电电流同时流过了 R1与
R2，而放电电流只流过了 R2。可以证明，在电容充放电电路中，电流流经的电容与电阻的乘积越大，其充放电的时间就越长。
第 4 章 一阶动态电路分析
4.1 RC 放 电 电 路
4.1.1 RC放电电路实验电路的稳定状态可简称为稳态，电路的过渡过程可简称为暂态。通过实训 4，我们对电容器的充放电过程有了定性的认识，在此基础上，我们来进一步讨论 RC电路的放电过程。为使我们的认识更加清晰，我们先做个实验。
在这个实验中，要用到慢扫描示波器，由于这种示波器荧光屏的余辉时间特别长，可以将缓慢变化的电压或电流波形在屏幕上显示出来。
第 4 章 一阶动态电路分析
R
1 1
2
t ＝ 0
S
＋
－
u
C
C
20 μ F
－
＋
u
R
R
1 0 0 k Ω＋
－
U
0
实验电路如图 4- 3所示。
图 4-3 RC放电电路第 4 章 一阶动态电路分析实验按如下步骤进行。
（ 1） 将电路连接好。示波器的输入探头接在电容器两端。
打开稳压电源，调节输出电压至 1V。 t=0 时将开关 S由位置 1打到位置 2，仔细观测电容器两端电压的变化情况。（如果没有慢扫描示波器，可以用机械万用表代替示波器观测电容两端的电压,以下同）。在这一过程中，我们可以从示波器中看到如图 4 - 4（ a）的波形。一般将之称为电容器的放电曲线。其形状与实训 4中我们看到的在 t1~t2时间电容器两端的波形类似。
（ 2） 将稳压电源电压调至 2V，重复步骤（ 1）过程。此时我们可以看到电容器两端的波形与图 4 - 4（ a）中的电容放电曲线形状相似，但起始点提高。如图 4 - 4（ b）所示。
第 4 章 一阶动态电路分析
u
C
／ V
t ／ s
1 V
( a )
u
C
／ V
t ／ s
2 V
( b )
1 V
u
C
／ V
t ／ s
1 V
( c )
u
C
／ V
t ／ s
1 V
( d )
3 3 μF
1 0 μF
5 1 k Ω
1 5 0 k Ω
图 4-4 电容放电曲线第 4 章 一阶动态电路分析
（ 3） 分别用一个 10μF与 33μF的电容代替原来的电容，
重复步骤（ 1）的过程，在这一过程中我们可以看到电容器两端波形发生变化，电容值为 10μF时放电曲线变陡，即放电速度加快；而电容值为 33μF时，放电曲线变缓，放电速度放慢。如图 4 - 4（ c）中所示。
（ 4） 分别用一个 51kΩ与 150 kΩ的电阻代替原来的电阻，
此时可见电容放电曲线变化情况与电容值改变时类似，即电阻值变小时曲线变陡，放电速度变快；而电阻值变大时曲线变缓，放电速度变慢。 见图 4 - 4（ d
第 4 章 一阶动态电路分析从上述实验中可见：在 RC放电过程中,电容电压从某一电压值,即某一稳态值开始逐渐衰减，最后变为零,达到另一稳态值。 两个稳态值中间的变化过程就是电路的过渡过程，当改变电容电压的初始值、电容值及电阻值时，电容的放电情况会发生改变。在分析 RC放电过程时，我们要从理论上解决上面实验中反映的如下问题：
（ 1）
（ 2）
（ 3）
（ 4）
（ 5）
第 4 章 一阶动态电路分析
1,RC
在图 4 - 3的电路中，当 S闭合一段时间后，电容器已被充满电荷，即已经储存有电场能,UC等于电源电压。
此时若开关不断开，就没有电流流过电容，流过电阻 R1的电流为零，电路处于稳定状态。当 t=0时 S从 1端合到 2端,电源被断开，由电容 C与电阻 R构成回路，电阻 R两端电压与电容 C两端电压相同，因此，储存在电容中的电荷要通过 R释放。在 dt时间内，释放的电荷 dq=idt,。随着电容电荷的减少，电容电压从原有的稳态值开始下降，放电电流 i也下降。由于同样时间内释放的电荷减少，电压降低的速率也减少。因此，电荷的完全释放必须经过一段时间，电容两端的电压降至为 0也要经过一段时间，显然，电容两端电压的变化必定是连续的。
2
2
1
CC CUE?
R
ui C?
第 4 章 一阶动态电路分析我们也可以从能量的变化来阐述电压连续变化的原因。因为电容上储存有电场能量，而能量是不能发生跃变的 (能量的跃变需要无穷大的功率作支撑 )，这在实际中是不可能的。能量只能逐渐被回路中的电阻消耗掉,这是一个过渡过程,这是电路中产生暂态的根本原因。而与能量对应的电容电压也随之产生一个过渡过程。在电感中也存在有类似的过程。当有电流流过电感时，在电感元件中储存有磁场能,。
当换路时，电感中储存的磁场能不能跃变，反映在电路中是电感元件的电流 iL不能跃变。
电容两端电压不能突变，流过电感的电流不能突变，是分析过渡过程的重要定则。
2
2
1
Lm LiE?
第 4 章 一阶动态电路分析
2,RC电路产生过渡过程的起因上述电路中产生暂态的起因，是电路中的开关动作。
实际上,只要电路条件发生突然变更，诸如开关动作、
电路故障、电路参数变化及改变电源等，都会引起电路发生过渡过程。因此我们把产生过渡过程的起因称为换路,把出现暂态过程的瞬间称为初始瞬间，此刻电路的状态就是初始状态，例如电容电压的初始状态为 uC（ 0），
电感电流的初始状态为 iL（ 0），从电路方程来看，这就是初始条件。
第 4 章 一阶动态电路分析
3
设 t=0为换路瞬间，以 t=0 表示换路前的终了瞬间，
t=0+表示换路后的初始瞬间。 0 和 0+在数值上都等于 0，
但是前者是指从负值趋近于零，后者是指从正值趋近于零。从 t=0 到 t=0+瞬间，电容元件上的电压不能跃变，而电感元件中的电流不能跃变,这称为换路定则，用公式表示如下：
)0()0(
)0()0(
LL
cC
ii
uu
（ 4.1）
(4.2)
第 4 章 一阶动态电路分析
4．
换路定则仅适用于换路瞬间，可根据它来确定 t=0+时电路中电容元件电压和电感元件电流之值，即瞬态过程的初始值。 确定各个电压和电流的初始值时，先由 t=0-时的电路求出 iL（ 0-）或 uC(0-),由换路定则可求得的 iL（ 0+）或
u(0+)，而后由 t=0+的电路，根据已经求得的 iL（ 0+）或 u(0+)
求电路中其他电压和电流的初始值。
第 4 章 一阶动态电路分析例 4.1 确定图 4 - 5(a)所示电路中电流和电压的初始值。
设开关闭合前线圈和电容器均未储能。
＋
u
C
＋
－
6V
R
1
i
C
R
2
－
4Ω
C
＋
－
u
L L
R
3
4Ω
S
t ＝ 0
2Ω
＋
－
U
s
6V
2Ω
R
1
i
R
2
4Ω
R
3
4Ω
i
L
i
C
( a ) ( b )
i
L
图 4-5 例 4.1图第 4 章 一阶动态电路分析解 先由 t=0_
0)0(
0)0(
_?
L
C
i
u
由于 uC（ 0+） =0和 iL（ 0+） =0，故可在 t=0+的电路中将电容元件短路，将电感元件开路，如图（ b）所示。于是得
VRiu
A
RR
U
ii
CL
C
441)0()0(
1
42
6
)0()0(
2
21
第 4 章 一阶动态电路分析例 4.2 图 4 - 6(a)电路原处于稳态,t=0时开关闭合。求
uC（ 0+）,iC（ 0+）和 u（ 0+）。
＋
－
U
s
R
1
4 Ω
12V R
2
2Ω
＋
－
u
t ＝ 0
＋ －
u
L
R
3
6Ω
i
C
u
C 12V
＋
－
＋ －
u
L (0 ＋ )
i
L (0 ＋ )
4 Ω ①
＋
－
u
(0 ＋ )2Ω
6Ω
u
L
＋
－
i
C (0 ＋ )
u
C (0 ＋ )
( a ) ( b )
i
L
＋
－
i
1
i
1 ( 0 ＋ )
S
解 由 t=0_的电路得知，电感元件短路，电容元件开路，
所以 t=0_时有
Viu
Ai
LC
L
2.76_)0()0(
2.1
64
12)0(
_
图４－６ 例 4.2图第 4 章 一阶动态电路分析由换路定则可得
Aii
Vuu
LL
CC
2.1)0()0(
2.7)0()0(
由 t=0+的电路图 (b)可知
Aiii
Aui
Lc
c
02.12.1)0()0()0(
2.1
6
2.7
6
)0()0(
1
1
用节点法求 u（ 0+
Vu
iu L
4.2
4
3
8.1
)0(
2.13)0(
4
12
)
2
1
4
1
)(0(
因此第 4 章 一阶动态电路分析
5,RC
在图 4 - 3所示实验电路中，当开关 S闭合时，电路处于充电状态，且已达到稳定状态，设 t=0瞬间将开关断开，电路由电阻及电容构成放电回路，根据基尔霍夫定律，电路电压方程为
uR+uC=0
电容上电压与电流的关系为
dt
du
RCRiu
dt
du
Ci
C
CR
C
C
电阻上电压与电流的关系为代入式（ 4.3
0 CC udtduRC
（ 4.3）
(4.4)
第 4 章 一阶动态电路分析此方程为一阶常系数齐次微分方程，其通解为 uC=Kept，代入方程得其特征方程为 RCp+1=0，解得其特征根为 p=-1/(RC)，
RC
t
C Ketu
)( (4.5)
下面要确定积分常数 K。根据换路定则,t=0+时,uC(0+)=U0,
则 K=U0，
0,0 teUu RC
t
C
(4.6)
0,0 teRUdtduCi RC
t
CC
(4.7)
第 4 章 一阶动态电路分析式（ 4.5）和式（ 4.6）按照指数规律随时间变化，并且，
当 t＞ 0时,uC和 iC均趋于零，曲线如图 4 - 7所示。
u
C 1
u
R
U
0
u
C
u
R
－ U
0
t
U
0
R
i
t
图４ -7 随时间变化曲线第 4 章 一阶动态电路分析
6
令 t=0，则 uC（ 0） =U0e0=U0；再令 t=τ，则
uC(τ)=U0e-τ/τ=U0e-1=0.368U0，这就是说经过时间 τ=RC之后，
电压下降到初始值的 36.8%。同样可以算出当 t=2τ,3τ,… 时的电压值，将计算结果列入表 4-1
t 0 …
uC(t) U0 0.368U0 0.135U0 0.05U0 0.018U0 0.007U0 … 0
2?3?4?5?
表 4-1 不同时刻 uc的值第 4 章 一阶动态电路分析由此可见,从理论上讲需要经历无限长时间，暂态过程才能结束，但实际上只要经过 3τ~5τ的时间，电压（电流）
已衰减到可忽略不计的程度，此时可以认为暂态过程已经结束。这也说明了时间常数越大，暂态过程持续的时间就越长。
图 4 - 8画出了 3 条不同时间常数的电压曲线。
τ
1
τ
2
τ
3
τ
3
＞ τ
2
＞ τ
1
u
C
( t )
t
图 4-8 电容放电曲线第 4 章 一阶动态电路分析因为时间常数 τ=RC，所以时间常数 τ只与电路参数有关,而与电路的初始状态无关。 R,C的值越大，时间常数越大，放电时间越长。这可从物理概念来解释：在一定初始电压之下，电阻 R越大，放电电流就越小，也就是电荷释放过程进行得越缓慢；而电容 C越大，在同样初始电压 U0之下，电容器原先所储存的电荷 q(0)=CU0就越多，
因此放电的时间也就要长一些。
目前，我们研究的电路中只含有一个储能元件，描述这类电路的方程，是一阶微分方程，所以称为一阶电路。
第 4 章 一阶动态电路分析例 4.3 图 4 - 9中，电路原处于稳态。 t=0时，开关由 1打到 2，
经过 2ms时间，电容电压达到初始值的 36.8%，问电路中电容器的电容值是多少？ 此时电容中储存的电荷是多少？
＋
－
u
C
4Ω
6Ω
1A
C
R
10Ω
t ＝ 0
1 2S
图 4-9 例 4.3图第 4 章 一阶动态电路分析解 因为 t＜ 0时，电路处于稳态，所以 uC（ 0 ） =1× 6=6V。
在 t=0时开关由 1打到 2，
Vuu CC 6)0()0(
t＞ 0，电路是电容放电电路，其放电电压为
0,)0()( teutu RC
t
CC
由题意可知 t=2ms时，
RCRC
C
cc
eeu
Vumsu
33 102102
6)0(2 0 8.2
2 0 8.2%8.366%8.36)0()2(
第 4 章 一阶动态电路分析上式两边同时除以 6,再两边同时取对数
CmsuCq
FFC
RC
RC
In
C
44
4
3
104 1 6.42 0 8.2102)2(
2 0 0102
0 0 2.0
102
13 6 8.0
所以第 4 章 一阶动态电路分析
4.2 RC充 电 电 路
4.2.1 RC充电电路实验
RC充电实验电路如图 4 - 10
＋
－
U
s
＋
－
u
R
u
C
＋
－
R
t ＝ 0
S
i ( t )
C
图 4-10 RC充电电路第 4 章 一阶动态电路分析在该实验中电容器事先未被充电,开关合上后电源通过电阻为电容充电。实验步骤如下：
（ 1）按照电路接线。将示波器输入探头接在电容上。
打开直流稳压电源，将电压调到 1V合上开关，用慢扫描示波器观察电容电压的波形。由示波器可见电容电压波形如图 4 – 11(a）所示，这就是电容器的充电曲线，该曲线从零开始，经过一段时间后达到一个稳定值，即电源电压。
第 4 章 一阶动态电路分析
u
C
／ V
1 V
( a )
( b )
( c ) ( d )
0,0 3 μF
0,0 1 μF
u
C
／ V
t
2 V
1 V
u
C
／ V
1 V
1 5 k Ω
u
C
／ V
t
1 V
5,1 k Ω
t
t
图 4-11 电容充电曲线第 4 章 一阶动态电路分析
（ 2）将电源电压调到 2V，重复步骤（ 1）。由示波器观察电容电压波形，发现其波形与图 4 - 11（ a）的充电波形形状基本相同，但是充电结束后的电压值增加。波形如图 4 - 11（ b）
所示。
（ 3） 分别用 0.01μF与 0.03μF的电容代替原来的电容，重复步骤（ 1）。此时我们可以发现对应电容值越小，充电完成越快，反之电容越大充电越慢。改变电容值对应的曲线如图 4-11
（ c）所示。
（ 4） 分别用 5.1kΩ与 15 kΩ电阻代替原来的电阻，重复步骤
（ 1），可得图 4 - 11（ d）所示的电容电压波形。由波形可见，
电阻的大小同样影响了电容充电的快慢，电阻越小，充电越快；
反之，电阻越大充电越慢。
第 4 章 一阶动态电路分析
4.2.2 实验结果总结
1,RC
在 RC充电过程中，电容电压在开关闭合之前为零，即
uC（ 0 ） =0。当 t=0时，开关 K闭合，电路与直流电源接通形成回路，于是电源开始向电容充电。在 t=0+瞬间，由于
uC（ 0+） = uC（ 0 ） =0，电容上还来不及累积电荷，所以此时可以认为电容处于短路，而此时电源电压全部加在电阻上，
使电路中的充电电流最大，为 iC（ 0+） =Us/R。以后随着时间的延续，电容上开始逐步积累电荷，电容电压 uC =q/C逐步上升，电阻上电压 uR=Us－ uC逐步减小，所以电路中的电流 iC=
（ Us-uC ） /R也逐步减小。当电容上电荷积累到最大值时，
uC = Us，达到最大，充电电流 iC=0，这时充电过程结束，电路达到稳态。
第 4 章 一阶动态电路分析这一充电过程的速率仍然决定于电路的时间常数
τ=RC。 R越大，充电电流越小，则充电时间越长；而 C
越大，电容器储存的电荷越多，充电过程越长。
充电结束后电路达到新的稳态，此时充电电流为零，
电容相当于开路。 充电过程的实质，就是将电源提供的能量逐渐以电场能的形式储存于电容器中。
第 4 章 一阶动态电路分析
2,RC
首先根据基尔霍夫电压定律列出图 4 - 10所示电路 t≥0
时的电压方程,
0,)()( tUstuRti c
(4.8)
0,)(
)(
8.4,
)(
)(
tUtu
dt
tdu
RC
dt
tdu
Cti
SC
C
C 有代入式中
(4.9)
第 4 章 一阶动态电路分析式（ 4.9）是一阶线性常系数非齐次方程，电路的初始条件为 uC（ 0） =0。常系数非齐次微分方程的通解，是由两部分组成的。 一个是它的特解 u/C(t),一个是补函数，即非齐次微分方程令其右端项为零时所对应的齐次微分方程的通解 u”C(t)。 所以
)()(' " tutuu CCc (4.10)
第 4 章 一阶动态电路分析
1）
因为特解与激励有相同的形式，所以，设特解为 u‘C（ t）
=A,代入式（ 4.10），有
sUAdt
dARC
式中，第一项是常数取导数为零,故得
sC
s
UAtu
UA
)('
即 （ 4.11）
（ 4.12）
第 4 章 一阶动态电路分析因此，特解等于电源电动势。它是电路在电源作用下达到稳态时电容电压的稳态值，称为稳态分量。
又因为此解是在外加电源强制作用下得出的，它随时间变化的规律与电源的形式相同,故又称为强制第 4 章 一阶动态电路分析
2）
令式 (4.9)中 Us
0 CC udtduRC （ 4.13）
此方程与式（ 4.4）完全相同，其解也应与（ 4.5）式相同，即
ptC Ketu?)("
(4.14)
式中 p是特解方程 RCp+1=0的根，
RCp
1
因此，
tRC
C Ketu
1
'' )(
(4.15)
(4.16)
第 4 章 一阶动态电路分析由上面这一解答可以看出,t→∞,u″C(t) →0,即补函数只存在于暂态过程中，所以称为暂态分量。它的变化规律与电源电压的变化规律无关,只按指数规律衰减，
故又称为自由分量。但这一分量的起始值与电源电压有关，衰减的快慢与电路参数及结构有关。
第 4 章 一阶动态电路分析
3）
充电过程中电容电压的全解，即常系数非齐次微分方程的通解，等于强制分量 u’C(t)和自由分量 u”C(t)
0,)()()(
1
"' tKeUtututu tRC
sCCC
（ 4.17）
式中积分常数 K可根据已知初始条件来确定。现在已假设初始状态为零状态，故 t=0
0,)(
1
teUUtu tRCssC (4.18)
第 4 章 一阶动态电路分析
3）
充电过程中电容电压的全解，即常系数非齐次微分方程的通解，等于强制分量 和自由分量 之和，即)(' tu
C )(" tuC
0,)()()( 1"' tKeUtututu tRCsCCC
(4.17)
式中积分常数 K可根据已知初始条件来确定。现在已假设初始状态为零状态，故 t=0
0)0( KUu sC
于是解出 K=-Us，代入（ 4.17
0,)(
1
teUUtu tRCssC (4.18)
第 4 章 一阶动态电路分析
0,)()(
1
teRUdt tduCti tRCsC (4.19)
电阻上的电压为
0)()(,
1
teUtRitu tRCsR (4.20)
图 4 - 12（ b）中给出的就是充电电路中各电压和电流随时间变动的曲线。
第 4 章 一阶动态电路分析 u C
U
s
u
C
u
C″
－ U
s
u
C′
t
( a ) 电容电压曲线
U
s
u
C
u
R
u
C′
ti
U
R
u
C
( b ) u
c
,u
R
,i
c
曲线图 4-12 RC充电曲线第 4 章 一阶动态电路分析由图可见，当 t=0+时,uC（ 0+） =0，故在初始瞬间电容器相当于短路，输入电压全部加在电阻 R上，电流从零突变为 i（ 0+） =Us/R。随着时间的推移，由于电容器不断充电，电容电压逐渐上升，而电流逐渐减小。当 t=∞时，
电容电压 uC（ ∞） =Us，输入电压全部加在电容器上，而电阻电压变为零，电路中的电流 i（ ∞） =0，充电停止。
此时电容器相当于开路，于是电容电压不再变化，电路达到新的稳态。
第 4 章 一阶动态电路分析显然,在同一个电路中,uC,uR 和 i在充电过程都是按同一时间常数 τ的指数规律变化的。 RC充电电路的时间常数 τ=RC的大小决定了充电过程的快慢。一般认为 t=(3~5）
τ,电容充电过程结束，电路达到稳态，这时电容电压的稳态值为 Us。所以，在实验中我们通过改变电路参数，
来改变充电的快慢。
第 4 章 一阶动态电路分析例 4.4 如图 4 - 13所示电路中，电源电压 Us=12V，电容
C=28μF，电阻 R=20kΩ。 当 t=0 时,开关 S闭合，问电容电压从
0V上升到 10V需要多少时间？此时电容储存的能量是多少？
＋
－
U
s
＋
－
u
R
u
C
＋
－
R
t ＝ 0
S i ( t )
C
图 4-13 例 4.4图第 4 章 一阶动态电路分析解 此电路为初始状态为零的 RC
)1()(
1
RCsC eUtu
其中 sRC 56.010281020
63
设 t=t1时，有 uC（ t1） =10V，
)1(12)1(10)( 56.01 1 ttsC eeUtu
第 4 章 一阶动态电路分析两边同时除以 Us
s
CRC
t
RC
t
s
C
U
tuee
U
tu )(11)( 11 11
))(1( 11
s
C
U
tuIn
RC
t
代入数值解得
Ist?1
JtCutW CC 66121 10141010285.0)(21)(
第 4 章 一阶动态电路分析
4.3.1 微分电路与积分电路实验
1,
微分电路如图 4-14所示，积分电路如图 4 - 15所示。矩形脉冲的幅值为 Um=4V，脉冲频率为 f=200Hz。
4.3
第 4 章 一阶动态电路分析
4 - 1 4 4 - 1 5
＋
－
＋
－
R
u
2
( t )
＋
－
u
1
( t )
＋
－
＋
－
u
2
( t )
＋
－
C
R
u
1
( t )
微分电路 积分电路第 4 章 一阶动态电路分析
2,
（ 1） 把示波器一组输入探头接到信号源的输出上，打开信号源，将信号源调为方波输出，用示波器观察信号源的输出波形，并将信号调为幅值为 Um=4V，频率为 f=200Hz
的方波，方波如图 4 - 16（ a）所示。其中 tp称为脉冲宽度。
第 4 章 一阶动态电路分析
4,5 V
u
1
( t )
t
p
T ＝ 5 m s
t
( a )
u
2
( t )
t
( b )
u
3
( t )
( c )
t
图 4-16 微分电路的输入输出波形第 4 章 一阶动态电路分析
（ 2） 若图 4-14中的电阻为 500kΩ，电容为 0.03μF，将调好的方波信号加到图 4-14所示微分电路的输入端，用示波器的另一组输入探头观察电阻上的波形，可见电阻上的波形与方波信号几乎相同，如图 4-16（ b）所示。改变电路参数，使电阻为 10kΩ，电容为 0.03μF，再用示波器观察电阻电压波形,我们可以见到一系列的尖脉冲，
如图 4 - 16（ c）所示。由此可见同一个电路,当参数不同时，输出的波形大不一样，两种情况在实际电路中都有广泛的应用。
第 4 章 一阶动态电路分析
（ 3） 积分电路中电阻为 500kΩ，电容为 0.03μF；方波源的幅度与频率不变，加到积分电路的输入端，用示波器观察电容电压的波形如图 4-17所示。由波形可见，积分后的输出电压波形为锯齿波，而且其幅度被大大减低。
4,5 V
u
1
( t )
T ＝ 5 m s
t
图 4-17 积分电路的输入输出波形第 4 章 一阶动态电路分析
4.3.2 实验结果的分析与计算
1,微分电路实验结果分析在微分电路实验中，当脉冲宽度不变，而取不同的参数时,输出电压波形有很大差别。这是因为当 τ=RC>>tp
时，电容还来不及充上很多电荷，方波脉冲已经结束，在整个脉冲宽度中方波电压几乎全部加在电阻上，所以电阻电压与方波信号近似相等。此时电路是一般的阻容耦合电路。当时间常数与脉冲宽度之比 τ/tp逐渐变小，使得
τ=RC<<tp时，电容上很快充上电荷,即电容电压很快达到方波幅值，而电阻电压则从零跃变到方波幅值，然后迅速衰减到零，形成尖脉冲。
第 4 章 一阶动态电路分析若外加信号是一系列方波，则电阻电压就是一系列正负尖脉冲，如图 4- 16（ c）所示。这种输出正负尖脉冲反映了输入矩形脉冲的跃变部分，是对矩形脉冲微分的结果。因此这种电路称为微分电路。构成微分电路应具备如下条件：① 从电阻端取得输出信号；② 电路参数满足 τ<<tp。
第 4 章 一阶动态电路分析
2
例 4.5 在图 4 - 14电路中,R=20kΩ,C=100pF。输入信号电压 u1是单个矩形脉冲，如图 4 - 18（ a）所示，其幅值
U=6V，脉冲宽度 tp =50 μs。试分析和作出电压 u2的波形。
设电容元件原先未储能。
第 4 章 一阶动态电路分析
t
t
1
t
p
6V
( a ) ( b )
6V
t
1 t
图 4-18 例 4.5图第 4 章 一阶动态电路分析解 τ=RC=20× 103× 100× 10-12=2× 10-6=2μs，是输入电压脉冲宽度的 1/25，所以 τ<<tp。
在 t=0时,u1从零突然上升到 6V，即 u1=U=6V，开始对电容元件充电。由于电容元件两端电压不能跃变，在这瞬间它相当于短路（ uC =0），所以此时电压全部加在电阻上,
u2 =U=6V。因为 τ<<tp，相对于 tp而言，充电很快完成,uC
很快增长到 U值；与此同时,u2很快衰减到零值。这样，在电阻两端就输出一个正尖脉冲，如图 4-18（ b）所示。 u2的
VeUeu
tt
6102
2 6
(4.21)
第 4 章 一阶动态电路分析在 t=t1时,u1突然下降到零（这时输入端不是开路，而是短路）。由于 uC不能跃变，所以在这瞬间 u2 = -uC = -U = -6V，
极性与前相反。而后电容元件经电阻很快放电，很快衰减到零,电阻上电压同样也很快衰减到零。这样，电阻上就输出一个负尖脉冲,如图 4-18（ b）所示。 u2
VeUu
tt
e
6102
2 6
比较上例中 u1和 u2的波形，可见：在 u1的上升跃变部分
（从零跃变到 6 V）,u2 =U=6V，此时正值最大；在 u1的平直部分,u2≈0；在 u1的下降跃变部分（从 6V跃变到零）,u2= -U
= -6V，此时负值最大。所以输出电压 u2与输入电压 u1近似成微分关系。
第 4 章 一阶动态电路分析如果输入的是周期性矩形脉冲，则输出的是周期性正负尖脉冲，如图 4 - 16（ c）所示。
上述的微分关系也可以从下面的数学推导看出。
由于 τ<<tp，充放电很快，除了电容器刚开始充电或放电的一段时间之外,u1 =uC +u2 ≈Uc>>u2，
dt
duRC
dt
duRCiRu C 1
2
上式表明,输出电压 u2近似地与输入电压 u1对时间的微分成正比。
(4.22)
第 4 章 一阶动态电路分析
3．
积分电路的条件与微分电路的条件相反。 积分电路的条件为,输出信号从电容端获得；电路参数满足 τ>>tp。
由图 4 - 17波形可见，由于积分电路有 τ>>tp，所以电容器充电缓慢，电容上的电压在整个脉冲持续时间内缓慢增长，
当还未增长到稳定值时，脉冲已告终止。以后电容器慢慢放电，电容器上的电压也缓慢衰减。还未衰减到零时，下一个方波脉冲又到来，电容再充电，电容电压再增长 ……,电容充放电的过程周而复始,就形成了图 4 - 17所示的一系列锯齿波。由实验可见，时间常数 τ越大，充放电越缓慢，所得锯齿波电压的线性也就越好。这也就是输出电压 u2对输入电压 u1
积分的结果，如图 4 - 17所示。
第 4 章 一阶动态电路分析从数学上看，由于 τ>>tp，充放电很缓慢，故 uC增长和衰减得很缓慢。充电时 u2=uC<<uR
iRuuuu RR 21
R
ui 1?
dtuRCi d tCuu C 12 11
或
(4.23)
输出电压 u2与输入电压 u1近似成积分关系。因此这种电路称为积分电路。
第 4 章 一阶动态电路分析电路中只要含有一个储能元件，即含有一个独立电容元件或含有一个独立电感元件，则其所列方程即是一阶常系数方程,因此可用一阶微分方程描述的电路就叫做一阶动态电路。 前面我们讨论了一阶动态电路的零输入响应和零状态响应。 现在我们以 RC电路为例来研究一阶动态电路的全响应。
4.4 一阶动态电路及其分析方法第 4 章 一阶动态电路分析
4.4.1 RC电路的全响应所谓 RC电路的全响应，是指电源激励和电容元件的初始状态均不为零时电路的响应，也就是零输入响应与零状态响应两者的叠加。
求解全响应的问题和求解零状态响应一样,仍然是解非齐次微分方程。回顾前面所述，求零状态响应的步骤,
可以总结为：
第 4 章 一阶动态电路分析
（ 1） 按换路后的电路列出微分方程；
（ 2） 求微分方程的特解,即稳态分量；
（ 3） 求微分方程的补函数,即暂态分量；
（ 4） 将特解与补充函数相加即得到微分方程的全解；
（ 5） 按照换路定则确定暂态过程的初始值，从而定出积分常数。这样的计算步骤完全适用于求解全响应，
只不过初始条件不同而已。 这种分析暂态过程的方法第 4 章 一阶动态电路分析电路如图 4 - 19所示。设在开关闭合之前电容器已充电至 U0,故 uC（ 0 ） = U0 。 t=0时，开关 S合上，则 t≥0
时电路的微分方电程仍如式（ 4 - 10）所示。
＋
－
U
s
u
C
＋
－
R
t ＝ 0
S
C
U
C
( 0
－
) ＝ U
0
图 4-19
第 4 章 一阶动态电路分析
sC
C Utu
dt
tduRC )()( (4.24)
此方程的全解仍为式（ 4.18）
0,)()()(
1
"' tKeUtututu tRC
sCCC
（ 4.25）
0,)()(
1
0
teUUutu tRC
ssC
根据初始条件 uC（ 0 ） = U0
sUUK 0
（ 4.26
式中 τ=RC为电路的时间常数。上式中 uC（ t）由两个分量组成：
其中第一项为稳态分量，第二项为暂态分量。
第 4 章 一阶动态电路分析我们也可以把式（ 4.25）改写成
0),1()(
11
0
teUeUtu tRC
sRCC
式中第一项就是前面所讨论的零输入响应（见式（ 4.6）），即由电容上的初始电压引起的响应；第二项就是零状态响应（见式（ 4.19）），即由外加电源引起的响应。所以全响应等于零输入响应与零状态响应之和。 这也是叠加定理在线性动态电路中的体现。
0,)(
1
0 te
R
UU
dt
tduCi tRCsC
C
(4.28)
电阻上的电压为
0,)(
1
0 te
R
UURiu tRCs
CR
（ 4.29）
（ 4.27）
第 4 章 一阶动态电路分析图 4 - 20中给出了初始状态为 U0，且 U0＜ Us时 RC电路的充电电压和电流曲线。
u
C
u
C
,u
R
U
s
U
s －
U
0
u
C
(0 － )
t
i
C
I
0
t
图 4 – 20 初始状态不为零且 U0＜ Us时 uC,uR,iC曲线第 4 章 一阶动态电路分析例 4.6 如图 4 - 21所示电路，开关长期合在位置 1
上，如在 t=0时把它合到位置 2，求电容器上的电压。
已知 R1=1kΩ,R2=2kΩ,C=3μF,Us1=3V,Us2=5V。
解 在 t=0
VRR RUu sC 212 23)0(
21
21?
第 4 章 一阶动态电路分析
＋
－
U
s1
＋
－
U
s2
t ＝ 0
S
1
2
R
1
＋
－
u
C
C
i
c
i
2
R
2
i
1
图 4-21 例 4.6图第 4 章 一阶动态电路分析
3
102"'
3
2
2
1
1
3
10
5
2
3
)103(
)1(
t
CCC
C
c
sc
C
Keuuu
u
dt
du
Uu
R
R
dt
du
CR
在 t≥0时,根据基尔霍夫电流定律有
0,0
21
2
21
dt
duC
R
u
R
uUiii CCCs
C
第 4 章 一阶动态电路分析由换路定则知，
0,
3
4
3
10
)(
,
3
4
,2)0()0(,0
5 0 0
tetu
KVuut
t
C
CC 所以则时第 4 章 一阶动态电路分析例 4.7 如图 4 - 22所示,RC串联电路,原来电容未经充电,现将其接到一电压源 Us上，电压源的波形如图 4 - 22（ b）所示，试分析电容电压的变化规律，并画出电压波形。
U
s
U
s
2
t
1
t
u
s
( t )
＋
－
U
s
C u
C
＋
－
R
图 4-22 例 4.7图第 4 章 一阶动态电路分析解 因为 t≤0时电容没有充过电，所以在 0≤t≤t1期间，电路就是零状态响应，即一直流电源为电容充电，所以电容电压为
10),1()( tteUtu RC
t
sC
若 t=t1时，电容电压还未达到稳态值 Us，则此时电容电压为
11 ),1()(
1 tteUtu
RC
t
sC
当 t≥t1时，电路就成为以 uC（ t1）为初始值，以 Us/2为稳态值，时间常数不变的暂态过程，此时电路的方程与式
（ 4.24）类似，只是方程右端项为 Us/2，所以有
1,2)(
)( ttUtu
dt
tduRC s
C
C
第 4 章 一阶动态电路分析上述方程的特解为
2)(
' sC Utu?
由于方程描述的暂态过程发生在 t≥t1
1
",)( 1 ttKetu RC
tt
C
RC
tt
sCCC KeUtututu 1
2)()()(
"'
此问题发生的初始时刻为 t1，因此 t1
)1()()()( 1111 RC
t
sCCC eUtututu
KUtu sC 2)( 1
第 4 章 一阶动态电路分析
2)( 1
sC UtuK
电容电压为
RC
tt
s
ss
RC
tt
sRC
t
s
s
RC
tt
s
C
s
C
e
RC
t
eU
UU
e
U
eU
U
e
U
tu
U
tu
1
11
1
1
1
22
2
)1(
2
2
)(
2
)(
t≥t1
第 4 章 一阶动态电路分析
U
s
U
s
2
t
1
t
u
C
( t )电容电压的波形如图 4 - 23所示。
图 4-23 电容电压波形第 4 章 一阶动态电路分析稳态分量、初始值、时间常数称为分析一阶电路的三要素。已知一阶电路的三要素代入式 (4.26)求解一阶电路的方法称为三要素法。
如图 4 - 24所示。这样，只要把含源二端网络用戴维南等效电路（或诺顿等效电路）来替代，这类电路就化简为 RC串联（或并联）电路，如图 4 - 25所示。 RC电路的时间常数为 τ=
RiC，而此时 Ri为戴维南等效电路中的等效电阻，所以对于只含有一个电容元件的任意复杂一阶电路，其时间常数等于电容与等效电阻的乘积。 这样我们通过求解一阶电路的三要素，
可以求得电容电压的表达式。非常值得一提的是，电路中的其他支路的电流,电阻电压等,也可以采用三要素的方法求解。
第 4 章 一阶动态电路分析
4 - 2 4 4 - 2 5
含源电阻网络
A
i
C
C
＋
－
B
u
C
＋
－
R
i
U
i
A i
C
B
C
＋
－
u
C
只含一个电容的动态电路 含一个电容网络的戴维南等效电路第 4 章 一阶动态电路分析我们设 f（ t）表示电路中任意支路的电压或电流；
f（ ∞）表示电压或电流的稳态分量； f（ 0+）表示换路后电路中任意支路的电压或电流的初始值,则根据式 (4.26)有
)30.4(0,)]()0([)()( teffftf
t
第 4 章 一阶动态电路分析例 4.8 求图 4 - 26所示电路的输出电压 u（ t）。
＋
－
6V
t ＝ 0
S
C1 0 0 0 p F
＋ －u
C
( t )
R
2
20Ω
＋
u ( t )
－
R
1
10Ω
图 4-26 例 4.8图第 4 章 一阶动态电路分析
VuUu
uu
Cs
CC
6)0()0(
0)0()0(
故即开关闭合后的初始瞬间（ t=0+）电容相当于短路，
电源电压直接加到电阻 R2的两端。
解 （ 1） 求 u（ 0+）。由于
VURR Ru s 462010 20)(
21
2
第 4 章 一阶动态电路分析
（ 3） 求时间常数 τ。
开关闭合后，根据从电容两端看进去的戴维南等效电路，
其等效电阻为 R1与 R2的并联，如图 4 - 27
kRR RRR 320
21
21
sCR i 6123 10320101 0 0 010320
将以上求得的 u（ 0+）,u（ ∞）及 τ的值代入（ 4.30）式，
Veetu tt )24()46(4)( 5
6
105.120
103
第 4 章 一阶动态电路分析在图 4 - 28 中画出了 u（ t）随时间变动的曲线。
4 - 2 7
4 - 2 8
u ( t )
6
4
t
R
2
20Ω
R
1
10Ω
R
i
求等效电阻的电路 输出电压波形第 4 章 一阶动态电路分析例 4.9 电路如图 4 - 29（ a）所示，开关在 t=0时闭合，
闭合前电路已处于稳态，已知 U1=6 V,U2=10V,R1=3kΩ，
R2=6kΩ,R3=2kΩ,C=1μF，求开关闭合后的 i2（ t）。
解 （ 1）求 i2（ 0+）。 t=0-时的电路如图 4 - 29(b)所示，此时电容中电流为零，
mA
R
u
i
Vuuu
VU
RR
R
u
CC
C
3
2)0(
)0(
4)0()0()0(
46
63
6
)0(
2
2
2
2
1
21
2
第 4 章 一阶动态电路分析
3kΩ
R
1
R
2
6kΩ
＋
－
U
1
6V
t ＝ 0
2kΩ
R
3
U
2
＋
－
10V
( a )
3kΩ
R
1
R
2
＋
－
U
1
6V
( b )
6kΩ
C
i
2
( 0 - )
3kΩ
R
1
R
2
6kΩ
＋
－
U
1
6V
2kΩ
R
3
U
2
＋
－
10V
( c )
i
2
3kΩ
R
1
R
2
6kΩ
2kΩ
R
3
( d )
i
2
i
2
( t )
7 ／ 6
2 ／ 3
t
( e )
S
C
i
2
C C
图 4-29 例 4.9图第 4 章 一阶动态电路分析所以
（ 2） 求 i2（ ∞）。 t=∞时，因为电容电压已达到稳态，所以电容中电流为零,故可用节点电压法求出 uC（ ∞），此时电路如图 4 - 29（ c）所示，则其方程如下：
33333
3
2
1
1
321
102
10
103
6
)()
102
1
106
1
103
1
(
)()
111
(
C
C
u
R
U
R
U
u
RRR
mA
R
u
i
Vu C
6
7
106
7)(
)(
7)(
3
2
2
2?
第 4 章 一阶动态电路分析
（ 3） 求时间常数 τ。 t=0时，开关闭合，则此时电路为图 4
- 29（ d），从电容两端看进去的等效电阻为 3 个电阻的并联，
msRC
kRRRR
1101101
1////
63
321
（ 4） 求 i2（ t）的表达式：
0,
2
1
6
7
)
6
7
3
2
(
6
7
)]()0([)()(
3
3
10
10
2222
tAe
Ae
eiiiti
t
t
t
图 4 - 29（ e）给出了 i2（ t）的变化曲线。
第 4 章 一阶动态电路分析
4.4.3 RL电路的过渡过程电感元件是储能元件,因此当含有电感元件的电路发生换路时，电路中也会产生过渡过程。例如图 4 - 30所示 RL
串联电路,开关动作之前接电压为 U的直流电源，并处于稳态，电路中的电流,电感中储存的磁场能量为 ； t=0
RR
UI
00
2021 LIW m?
这一电流在 t=0瞬间仍在右边 RL回路中继续流动，以后逐渐下降到零。电感中原先所储存的磁场能量是维持电感电流的唯一能量来源。
第 4 章 一阶动态电路分析
＋
－
R
1
U
t ＝ 0
i
L
R
L
＋
－
u
L
S
图 4-30 RL电路短路第 4 章 一阶动态电路分析现在我们来求解开关动作后此电路的零输入响应 iL（ t），
0 RL uu
LR
L
L Riudt
diLu,其中
sRR LRL
Vi
3
3 1010
4
101010
4
(4.31)
0,0 tidtdiRL LL
(4.32)
此方程与（ 4.4）式相似，
t
RL
t
L KeKeti
/)( (4.33)
第 4 章 一阶动态电路分析根据已知初始条件,iL（ 0+） = iL（ 0-） = I0，得 K= iL（ 0+） = I0。
t
L eIti
0)(
(4.34)
式中 τ=L/R是时间常数。电感电压 uL则为
0,0 teRIdtdiLu
t
L
L
(4.35)
电感电压为负，这是因为电流下降，维持电流的自感电势 eL=－ uL的实际方向与电流方向相同的缘故。
电流和电压随时间变化的曲线如图 4 - 31 所示。由图可见，电感电流在 t=0时没有发生变化，都是 I0，但电感电压却从 0跃变到－ RI0。随着时间的推移电流逐渐减小，
第 4 章 一阶动态电路分析当电感中原先所储存的磁场能量 在电阻中全部消耗完毕之后，电流也等于零，过渡过程结束。这个过程从理论上看要经历无限长的时间，实际上也只需经过 3τ~5τ就可以认为基本结束。从这里我们还看到，
电阻越大使能量消耗得越快,而电感越大，原先储存在电感中的能量越多，由此可以理解为什么 RL电路的时间常数 τ与电阻成反比,而与电感成正比。
2
02
1LI
第 4 章 一阶动态电路分析
I
o
i
u
L
－ R
o
I
o
t
图 4-31 IL和 uL随时间变动曲线第 4 章 一阶动态电路分析例 4.10 在图 4 - 32所示电路中，已知：线圈电阻
R=10Ω，电感 L=4H，电压表的电阻 RV=10× 103Ω。电源电压 U=10V。开关 S原先是闭合的，且电路已达到稳态。现将开关突然断开。 求线圈电流 i（ t）在开关断开后随时间变动的规律,并计算电压表所承受的最大电压值。
第 4 章 一阶动态电路分析
VU
＋
－
＋
－
u
V
R
V
R
L
t ＝ 0
S i ( t )
图 4-32 例 4.10图第 4 章 一阶动态电路分析
ARUi 11010)0(
设 t=0时开关突然断开，根据换路定则有
Aii 1)0()0(
解 用三要素法求解。
（ 1）求 i（ 0+）。因为开关断开前电路已处于稳态，
所以有第 4 章 一阶动态电路分析
（ 2） 求 i（ ∞）。因为开关断开后，电感电流靠电感中储存的磁场能量维系，磁场能量不断地被电阻消耗，
最后达到零，则电流也必将为零，所以 i（ ∞） =0。
（ 3） 求时间常数 τ。 τ=L/Ri，其中 Ri为电路换路后，
把电感支路单独分出来，其他部分归结为一个含源二端网络的等效电阻，对于本例 Ri=R+RV，所以
sRR LRL
Vi
3
3 1010
4
101010
4
第 4 章 一阶动态电路分析
（ 4） 求 i（ t）：
Aeeeiiiti t
tt 3
105.21)]()0([)()(
VeRitu tV 3105.2410)(
当 t=0时，电压表将承受最大电压 umax=－ 104 V，这将远远超过电压表的最大量程，而使电压表遭受损坏。由此可见，
当断开带有大电感的电路时，应该预先把和它相并联的电压表取下。
第 4 章 一阶动态电路分析习题与思考题 4
1,在题图 4 - 1 所示电路中,t＜ 0时处于稳态,t=0时开关断开。 求初始值 uC（ 0+）,i1（ 0+）,iC（ 0+）。
题4 - 1
题4 - 2
i
1
i
C
S
2kΩ
2kΩ
＋
－
u
C
C
1 0 m A t ＝ 0
i
1
6Ω
45V ＋
－
＋ －
S
t ＝ 0
u
8Ω
3Ω
＋
－
u
C
C
L
2,题图 4 - 2 所示电路原来处于稳态,t=0时将开关断开。
求初始值 uC（ 0+）,il（ 0+）以及开关两端电压 u（ 0+）。
第 4 章 一阶动态电路分析
3,在题图 4 - 3 所示电路中，开关 S原先合在 1端，电路已处于稳态。在 t=0时将开关从 1端扳到 2端，试求换路后 i1,i2,iL
及 uL的初始值。
题4 - 3
i
L
R
L
i
2
R
2
R
1
L
＋
－
1
2
i
1
S
第 4 章 一阶动态电路分析
5,一 RC放电电路如题图 4 -5所示，电容元件上电压初始值 uC（ 0+）
=U0=20V,R=10kΩ,t=0+时，开始放电，经 0.01s后,测得放电电流为 0.736mA，试问电容 C
又知放电开始（ t=0）时，电容电压为 10V，放电电流为 1mA，经过 0.1s（约 5τ）后电流趋近于零。试求电阻 R和电容 C的数值，并写出放电电流 i的表达式。
题4 - 5
U
0
＋
－
＋
－
U
R
U
C
R
C
t ＝ 0
S
i
第 4 章 一阶动态电路分析
6,电路如题图 4 - 6 所示，试作出开关闭合后（ t>0）电流 i的波形。
7,在题图 4 - 7 中，开关闭合时电容器充电，再断开时电容器放电，试分别求充电和放电时电路的时间常数。
题4 - 6
题4 - 7
＋
－
20V
S
t ＝ 0
i
R
5Ω
＋
－
E
S
R
1
R
2
C
第 4 章 一阶动态电路分析
8,在题图 4 - 8 所示电路中,U0=20V,R=7 kΩ,C=0.47μF。
电容 C原先不带电荷。试求在开关 S合上瞬间电容和电阻上的电压 uC和 uR以及充电电流 i。经过多少时间后电容元件上的电压充到 12.64V S
t ＝ 0
i
R U
R＋
－
U
0
＋
－
C
＋
－
U
C
第 4 章 一阶动态电路分析
9,题图 4 - 9 所示电路原处于稳态,t=0时开关突然接通，
求 t≥0时 uC（ t）。
10,题图 4 - 10 所示电路原处于稳态,t=0时开关突然断开，求 t＞ 0时的全响应 u。
3kΩ
3kΩ
2 μ F
－
＋
u
C
－＋
6kΩ
1,5 k Ω
t ＝ 0
S
9V
题4 - 9
题4 - 1 0
＋
－
u4 k Ω 3 k Ω
S
1kΩ
5 m A
0,8 H
t ＝ 0
第 4 章 一阶动态电路分析
11,题图 4 - 11 所示电路中电容原先未充电。试求：
（ 1） 电路的时间常数；
（ 2） 当开关闭合后电路中的电流 i及各元件上的电压 uC和 uR，
并作出它们的变化曲线；
（ 3） 经过一个时间常数后电流 i的值。
S
＋
－
U 40V
5 k Ω
u
R
R
i
＋
－
C
1 0 0 μ F
u
C
t ＝ 0
＋ －
第 4 章 一阶动态电路分析
12,在题图 4 - 12 所示电路中电容原先未充电。当开关闭合后,试求电容元件两端电压 uC。
S
＋
－
C
1
C
2
R
2
R
1
U
C
U
S
第 4 章 一阶动态电路分析
13,有一 RC电路如题图 4 - 13(a)所示，其输入电压如图（ b）
所示。设脉冲宽度 T=RC，试求负脉冲的幅度 U-等于多大才能在
t=2T时 uC=0。设 uC（ 0-） =0。
R
5 k Ω
＋
－
Cu
C
＋
－
u
( a )
u
1V
T
U
t
( b )
第 4 章 一阶动态电路分析
14,题图 4 - 14 所示电路参数已在图中标明。开关长时间合在 1的位置。当将开关扳到 2的位置后，试求电感元件中电流及其两端电压。
R
1
＝ 1 Ω
U ＝ 2V ＋
－
S
2 t ＝ 0
R
3
＝ 2 Ω
R
2
＝ 2 Ω
i
L
L ＝ 2H
＋
－
u
L
第 4 章 一阶动态电路分析
15,题图 4 - 15
（ 1） 求 S1闭合后电路中电流 i1的变化规律；
（ 2） 当 S1闭合后电路达到稳定状态时再闭合 S2，试求 i1和
i2的变化规律。
＋
－
U
s
2 Ω
R
1
S
1
6V
L
1
0,0 1 H
i
1
1 Ω R
2
L
2
0,0 2 H
S
2
i
2
第 4 章 一阶动态电路分析
16,题图 4 - 16电路已处于稳定,t=0时 S1闭合,试用三要素法求 t≥0时的 i1,i2。
6 Ω 3 Ω
i
1
＋
－
1 2V
i
L
1 H
＋
－
9 V
i
2
S
1
第 4 章 一阶动态电路分析
17,在题图 4 - 17 所示电路中，已知 R1=400 kΩ，
R2=R3=200 kΩ,C=100μF，输入电压 u1如图（ b）所示，其中
U=20V,tp=20μs。试求输出电压 u2，并画出其变化曲线。
R
2
R
1
R
3
C
＋
－
u
1
＋
－
u
2
( a )
u
1
／ V
U
U
t
p
0
2
－
2 t
p
3 t
p t ／ μs
( b )
