电磁场与电磁波第一章 场论
1.1
场的概念，标量场 矢量场如果在全部空间或部分空间的每一点，都对应着某个物理量的一个确定值，就说在这空间里确定了该物理量的场 。
标量场 矢量场如：温度场,电位场,流速场,电场,磁场等。
正交坐标系 空间任一点坐标曲线相互正交直角坐标系 (x,y,z) 基矢：
zyx eee
,,
zr eee
,,
eee r
,,
曲线坐标系柱坐标 （ r,?,z） 基矢：
球坐标 （ r,?,?） 基矢：
曲线坐标系的特点：单位矢量 随空间位置变化
321,,eee
1,2 场量的形象分布：场图标量场中，为直观了解物理量的分布，考察有相同物理量的点。 标量场的等值面?(r)=C （ 1.1.2）如：温度场的等温面，平面数量场的等值线，如气象图上的等压线。可根据等值面，等值线的疏密程度判断物理量变化的剧烈程度。
矢量场的矢量线 线上每一点的切线方向与该点的矢量方向一致如：电力线，磁力线。矢量线方程：
0)( rFrd )()()( rF
dz
rF
dy
rF
dx
ZYX
1,3 矢量的通量和散度考虑流速场 （密度恒为 1）单位时间内，流体向正侧穿过 的流量 ( )
)(rv
Sd? 0ndSSd
SdvdQ
Q>0,与 成锐角,dQ<0,与成钝角。穿过曲面 S的流量
v? v?Sd? Sd?
S
Sdv
定义：矢量 向正侧穿过曲面 S的通量,)(rA
S
SdA
(1.3.3)
通量可以叠加
SdASdASdAAA
i S
i
S S i
ii
,
所以
S S
HSdrSdr
1
3
设 代表流速场,
)(rA
>0,单位时间从正侧穿过的流量 >沿反方向穿过的流量。
<0,单位时间从正侧穿过的流量 <沿反方向穿过的流量对于封闭曲面 S
S
SdA
(1.3.4)
>0,流出 >流入,S内总的效果是有“泉源” (正源 )，
<0,流出 <流入,S内总的效果是有“漏洞“（负源）。
从通量不能得到源的分布及强弱。要得到流速场内 M点附近源的情况，可设 S为包含 M点的任意封闭曲面,?为其空间区域,为其体积，
M点源的强度：
S
MM
SdA
limlim
00
S
SdA
定义：设有矢量场,于场中一点 M处作一包含 M点在内的任一闭曲面 S，设其所包围的空间区域为?,为其体积,表其从内穿出 S的通量。当?以任意方式缩向
M点时，比式极限存在，称此极限为矢量场 在 M点的散度，记作：
)(rA
)(rA
S
MM
SdA
V
rAd iv
l i ml i m
00
)(
(1.3.5)
散度 div 是一标量，表示 M点单位体积源发出的通量，
表示源的强度。
div >0,M点有散发通量的正源。
div <0,M点有吸收通量的负源。 div 恒为零，
表示 为无源场。
)(rA
)(rA
)(rA
)(rA)(rA
S
M
SdA
V
lim
0
直角坐标系中散度的计算：
z
A
y
A
x
ArAd iv zyx
)( (1.3.6)
证明利用
*
)(
)(
M
zyx
zyx
S S
zyx
z
A
y
A
x
A
d
z
A
y
A
x
A
d x d yAd x d zAd y d zASdA
奥氏公式中值定理
z
A
y
A
x
A
SdA
rAdi v zyxS
M?
l i m
0
)(
用矢性微分算子 (Hamilton算子 )表示
A
z
A
y
A
x
A
AeAeAe
z
e
y
e
x
eAd iv
zyx
zzyyxxzyx
)()(
(1.3.8 )
zeyexe zyx?
奥氏公式可写成：
dVASdA
S
例 1,2
0)(334 5 2222 r zyxrq?
除原点之外，电场散度处处为零，是无源场。
散度的重要性质：
g r a d uAAuAu
BABA
AcAc
)(
,
C
ldFW
考虑力场 沿环路 C积分表示力场沿环路所作的功流速场 沿环路积分表示单位时间内流体沿闭路 C正向作涡旋状流动的环流。
1.4 矢量的环量和旋度
C
l ldvQ
又如：在磁场强度 H构成的磁场中，安培环路定律
n
k
k
C
IldH
1
)(rF
)(rv
定义：设有矢量场,则沿场中某一封闭有向曲线 C的曲线积分 )(rA
C
l ldAQ
叫做此矢量场按所取方向沿曲线 C的环量环量的计算,在直角坐标系中，设曲线 C的切线方向是 t方向
zyx
zyx
eztdleytdlextdlld
ezyxRezyxQezyxPA
),c o s (),c o s (),c o s (
),,(),,(),,(
CC
l R d zQ d yP d xldAQ
实际需要计算矢量场中某一点 M附近的环量面密度如,
MMS
C
MS dS
dI
S
I
S
ldH
limlim
表示沿?S法线方向的电流密度定义,设 M是矢量场 中的一点，在 M点处取定一个方向 n，再过 M点左一微小曲面?S，以 n为在其在 M点处的法矢，以?S表其表面积，周界?l
之正向取作与 n构成右手螺旋关系,则矢量场沿?l之正向的环量与面积?S之比，当曲面?S在 M点处保持以 M为法矢的条件下，以任意方式缩向 M点时，
若其极限，
S
ldA
C
MS?
lim
存在，则称它为矢量场在 M点处沿方向 n的环量面密度
)(rA
直角坐标系中环量面密度的计算
Syn
y
A
x
A
yn
x
A
z
A
xn
z
A
y
A
dSyn
y
A
x
A
yn
x
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A
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d x d y
y
A
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A
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A
dzAdyAdxAldA
M
x
y
zx
y
z
xyzxy
S
z
x
y
zx
y
S
z
C C
zyx
*
)],c o s ()(),c o s ()(),c o s ()([
)],c o s ()(),c o s ()(),c o s ()[(
)()()(
斯托克斯公式
M*是?S上某一点，当?S趋于 0时,M*趋于 M。
nR
y
A
x
A
x
A
z
A
z
A
y
A
S
ldA
xyzxyz
C
MS
c o s)(c o s)(c o s)(
l i m
其中
c osc osc os zyx eeen
)()()(
y
A
x
A
e
x
A
z
Ae
z
A
y
AeR xy
z
zx
y
yz
x?
在 方向上矢量场 在 M点取得环量面密度的最大值 。
R?
R?
)(rA
定义：若在矢量场 中一点 M处存在这样的一个矢量,矢量场 在点 M处沿其方向的环量面密度为最大，这个最大的数值正好是,则称 为矢量场 在点 M处的旋度，记作（直角坐标系）
)(rA
)(rA
R? )(rA
A
AAA
zyx
eee
RAr o t
zyx
zyx
)(rR
)(rR
利用旋度的概念，斯托克斯公式可写成：
SdAldA
C S
)(
旋度的重要性质：
0)(
0)(
)()()(
)(
)(
A
g r a d u
BAABBA
Ag r a d uAuAu
BABA
AcAc
例 1－ 3
已知
zxzyx eexBexyezeyA
4,23 22
)( BArot求,
zyx
yzyx
zyx
zyx
zyx
zyx
ezxeyxyez
eyezxeyxez
x
xyzy
eee
BBB
AAA
eee
BA
2232
2232
2
2
2)12(8
1228
40
23
解：
zy
yyz
zyx
eyxexzz
exzezeyx
zxyxyz
zyx
eee
BABAr o t
2
22
2232
3)4(4
4163
2128
)()(
1.1
场的概念，标量场 矢量场如果在全部空间或部分空间的每一点，都对应着某个物理量的一个确定值，就说在这空间里确定了该物理量的场 。
标量场 矢量场如：温度场,电位场,流速场,电场,磁场等。
正交坐标系 空间任一点坐标曲线相互正交直角坐标系 (x,y,z) 基矢：
zyx eee
,,
zr eee
,,
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,,
曲线坐标系柱坐标 （ r,?,z） 基矢：
球坐标 （ r,?,?） 基矢：
曲线坐标系的特点：单位矢量 随空间位置变化
321,,eee
1,2 场量的形象分布：场图标量场中，为直观了解物理量的分布，考察有相同物理量的点。 标量场的等值面?(r)=C （ 1.1.2）如：温度场的等温面，平面数量场的等值线，如气象图上的等压线。可根据等值面，等值线的疏密程度判断物理量变化的剧烈程度。
矢量场的矢量线 线上每一点的切线方向与该点的矢量方向一致如：电力线，磁力线。矢量线方程：
0)( rFrd )()()( rF
dz
rF
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ZYX
1,3 矢量的通量和散度考虑流速场 （密度恒为 1）单位时间内，流体向正侧穿过 的流量 ( )
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Sd? 0ndSSd
SdvdQ
Q>0,与 成锐角,dQ<0,与成钝角。穿过曲面 S的流量
v? v?Sd? Sd?
S
Sdv
定义：矢量 向正侧穿过曲面 S的通量,)(rA
S
SdA
(1.3.3)
通量可以叠加
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ii
,
所以
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1
3
设 代表流速场,
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>0,单位时间从正侧穿过的流量 >沿反方向穿过的流量。
<0,单位时间从正侧穿过的流量 <沿反方向穿过的流量对于封闭曲面 S
S
SdA
(1.3.4)
>0,流出 >流入,S内总的效果是有“泉源” (正源 )，
<0,流出 <流入,S内总的效果是有“漏洞“（负源）。
从通量不能得到源的分布及强弱。要得到流速场内 M点附近源的情况，可设 S为包含 M点的任意封闭曲面,?为其空间区域,为其体积，
M点源的强度：
S
MM
SdA
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00
S
SdA
定义：设有矢量场,于场中一点 M处作一包含 M点在内的任一闭曲面 S，设其所包围的空间区域为?,为其体积,表其从内穿出 S的通量。当?以任意方式缩向
M点时，比式极限存在，称此极限为矢量场 在 M点的散度，记作：
)(rA
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S
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SdA
V
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l i ml i m
00
)(
(1.3.5)
散度 div 是一标量，表示 M点单位体积源发出的通量，
表示源的强度。
div >0,M点有散发通量的正源。
div <0,M点有吸收通量的负源。 div 恒为零，
表示 为无源场。
)(rA
)(rA
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S
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直角坐标系中散度的计算：
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证明利用
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奥氏公式中值定理
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用矢性微分算子 (Hamilton算子 )表示
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奥氏公式可写成：
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例 1,2
0)(334 5 2222 r zyxrq?
除原点之外，电场散度处处为零，是无源场。
散度的重要性质：
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BABA
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,
C
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考虑力场 沿环路 C积分表示力场沿环路所作的功流速场 沿环路积分表示单位时间内流体沿闭路 C正向作涡旋状流动的环流。
1.4 矢量的环量和旋度
C
l ldvQ
又如：在磁场强度 H构成的磁场中，安培环路定律
n
k
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C
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1
)(rF
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定义：设有矢量场,则沿场中某一封闭有向曲线 C的曲线积分 )(rA
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叫做此矢量场按所取方向沿曲线 C的环量环量的计算,在直角坐标系中，设曲线 C的切线方向是 t方向
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表示沿?S法线方向的电流密度定义,设 M是矢量场 中的一点，在 M点处取定一个方向 n，再过 M点左一微小曲面?S，以 n为在其在 M点处的法矢，以?S表其表面积，周界?l
之正向取作与 n构成右手螺旋关系,则矢量场沿?l之正向的环量与面积?S之比，当曲面?S在 M点处保持以 M为法矢的条件下，以任意方式缩向 M点时，
若其极限，
S
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C
MS?
lim
存在，则称它为矢量场在 M点处沿方向 n的环量面密度
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直角坐标系中环量面密度的计算
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斯托克斯公式
M*是?S上某一点，当?S趋于 0时,M*趋于 M。
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在 方向上矢量场 在 M点取得环量面密度的最大值 。
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定义：若在矢量场 中一点 M处存在这样的一个矢量,矢量场 在点 M处沿其方向的环量面密度为最大，这个最大的数值正好是,则称 为矢量场 在点 M处的旋度，记作（直角坐标系）
)(rA
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R? )(rA
A
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RAr o t
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利用旋度的概念，斯托克斯公式可写成：
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旋度的重要性质：
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A
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BABA
AcAc
例 1－ 3
已知
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4,23 22
)( BArot求,
zyx
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zyx
zyx
zyx
zyx
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x
xyzy
eee
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2232
2232
2
2
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23
解：
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2
22
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