B?
v?
第五章 恒定磁场分析
5.1磁感应强度
在运动电荷的周围,除了电场,还存在一种称为磁场的物质 。
描述磁场特性的基本物理量：磁感应强度
磁场的表现：对于引入场中的运动电荷有力的作用 。 如电荷 q以速度 运动,磁场对其对作用力为
)( Bvqf
磁场对运动电荷的作用力又称洛仑兹力。洛仑兹力不能做功。通有电流 I的导线元 在磁场中所受到的力
ld?
BlIdBvn Sd lqBvd N qfd
1．磁场对电流有力相作用。而磁场是由电流产生的。下面用磁感应强度的定义和从实验得出的磁场力定律确定电流产生的磁感应强度。
安培力定律说明：两个电流元段 之间的力正比于,反比于他们之间距离。
2211 ldIldI
和
2211 ldIldI
真空中两个线电流回路。回路 1是引起场的源回路，
回路 2是试验回路。可测得试验回路所受到的力
1 2
2
11220
21
)(
4 l l
r
r
eldIldIF?
其中?0是真空中的磁导率，国际单位制中，其值为 410－ 7亨利 /米（ H/m）,
BdldI
r
eldIldI
fd
ldld
r
22
2
11220
21
12
)(
4?
段的作用力段受到斯定律毕奥－沙伐尔－拉普拉引起的磁感应强度整个源回路处引起的在离其源回路上
,
)(
4
)(
4
r
1
2
110
1
2
110
1
l
r
r
r
eldI
BdB
l
r
eldI
Bd
Bdld
如果是体电流分布和面电流分布相应
'
)',','(
4
),,
'
)',','(
4
),,
'
2
0
'
2
0
dS
r
ezyxJ
zyxB
dV
r
ezyxJ
zyxB
S
rS
V
r
（
（
对照静电场中电荷作体分布时电场强度的表达式
R
R
dSr
rE
R
R
dr
rE
S
3
0
3
0
')'(
4
1
)(
')'(
4
1
)(
例 5.1
决定真空中载电流 I的有限长直导线所引起的磁感应强度 。
220
0
2/122
0
0
2/122
0
0
2/322
0
0
2
0
0
0
2
0
,/),s i n (
s i n
4)(4
)(4)(4
),s i n ((
4
)(
4
zRrrRrzd
R
I
LRR
LI
zRR
zI
zR
R d zI
r
rzdI d z
r
elId
BdB
L
L
LL
r
其中：
解：先解情况 a，确定坐标为（ R,0）的 P点的磁感应强度
由于对称性,P’（ R,L） 处的磁感应强度同样是
s in
4
0
R
I
)'''s in'''( s in
4
)''s in''( s in
4
)'s in'( s in
4
21
3
0
3
21
2
0
2
21
1
0
1
R
I
B
R
I
B
R
I
B
P
P
P
R
I
R
IB
P
2)'s i n'( s in4
0
21
0
如果导线无限长,根据 Bp1的计算式,令?1’＝?2’
＝?/2。 离导线 R远处的磁感应强度为
B?
B?
可作出 线 。 对于无限长通电流直导线产生的磁感应强度线是中心在导线轴上而与导线垂直的一些园 。 线既无始端又无终端 。
例 5.2
真空中有一载电流 I,半径为 R的圆形回路,求其轴线上 P点的磁感应强度 。
解：圆形回路的元电流 在 p点引起的元磁感应强度
lId?
22
0
2
0 2/s i n
4
)(
4 xR
dlI
r
elIdBd r
由于圆形回路的对称性，整个回路引起的磁感应强度只有 x方向。
R
I
B
e
xR
IR
B
xR
IR
R
xR
R
xR
I
dl
xR
I
dBd B xB
x
l
2
)(2
)(2
2
1
4
s i n
1
4
s i n
0
2/322
2
0
2/322
2
0
22
22
0
22
0
＝
在回路中心点
S
SdB
B?
5.2 磁通连续性 安培环路定律
穿过任意面积 S的 通量称为磁通由于 没有始端和终端，没有供 线发出或中止的源或漏，对于任意闭合面
B? B?
0
S
SdB
磁通连续性原理
真空磁场中的安培环路定律
真空中无限长直导线中通以电流 I，由其引起离轴线 r远处的磁感应强度
r
IB
2
0?
场中取一条半径为 r的磁感应线作积分回路，
IldrIldrIldB
lll
0
00
22
)321
l
0
22
c o s
2
c o s
0
0
2
0
000
IIIldB
ldB
Id
I
rd
r
I
dl
r
I
ldB
rddl
l
l
lll
（＝
，所交链的电流不止一个如积分路径
＝
链，如积分回路没与电流交
如果取任一包围电流的回路，
真空的磁场中，沿任意回路取的线积分，等于真空的磁导率乘该回路所限定面积上穿过的电流的代数和。
B?
n
k
k
l
IldB
1
0?＝
电流方向与积分回路绕行方向成右手螺旋关系时,
电流取正号,否则取负号 。
在一些对称的情况下，可用上式简便计算 。
例 5.3
一无限长同轴电缆截面如图 。 芯线通有均匀分布的电流 I,外皮通有量值相同,方向相反对电流,试求各部分磁感应强度 。
解：
本题是平行平面场,B线是中心位于芯线轴上的同心圆 。
（ 1） 芯线内,r<R1，
电流密度 J=I/?R12,作一半径为 r的圆作为积分回路,
用柱坐标,穿过圆面积的电流 I’为
2
1
0
2
1
2
0
2
1
22
0
0
0
2
0
2
1
2
2
1
2
2
'
R
Ir
B
R
r
IrB
R
r
IrdBldB
R
r
Ir d r d
R
I
I
l
r
r
I
B
IrB
IrdB
2
2
0
0
2
0
0
(2)绝缘层中 R1<r<R2,取一半径为 r的圆作积分回路,
穿过圆面积的电流为 I
2
2
2
3
22
30
2
2
2
3
22
3
2
2
2
3
2
2
2
2
'
RR
rR
r
I
B
RR
rR
I
RR
Rr
III
(3)外导体 R2<r<R3,取一半径为 r的圆作积分回路,
穿过圆面积的电流为 I’。
0B
（ 4） 电缆外 r>R3,
5.3物质的磁化 磁化强度和磁场强度
5.3.1物质的磁化,磁化强度
'0 BBB
与电场与电介质相互作用，使电介质极化，产生附加电场一样，磁场会对放入其中的磁介质发生作用，使介质处在磁化的状态之中。
磁化介质也会产生附加磁场 。磁场中任一点的磁场强度
'B?
物质的原子或分子中的任一电子环绕原子核的运动和自旋都能产生磁效应。这种运动的束缚电荷形成环形电流，称为原子电流（或安培电流），它们不产生电荷迁移，但能产生磁感应强度。
原子电流是一很小的闭合电流。可用磁偶极子的概念：
面积为 dS的载流回路,的正方向与回路电流的正方向成右手螺旋关系。场中任一点到回路中心的距离比回路的尺度大得多。外场 B在磁偶极子中看成是均匀的。
Sd?
国际单位制中单位（ A.m2
）
SIdp m
定义磁偶极矩：
真空中磁偶极子在离它 r远处产生的磁感应强度
]s i nc o s2[
4
' 30
ee
r
pB
r
m
在外场下 磁偶极子所受到的转矩B?
BpT m
磁偶极子的转动方向总是力图使它自己的磁场与外磁场方向一致,即力图增强外磁场 。
和 同向时是稳定位置,反向时是不稳定的 。
mp
B?
描述磁化程度的宏观量
V
p
M im
V?
l i m
0
磁化强度 单位体积中的磁偶极矩。
未磁化时,是随机分布的。 为零。
mip
mip
在外磁场作用下，原子电流受到向外磁场方向的转矩,不为零。
mip
磁化后物质中存在磁化引起的体电流密度和面电流密度。
ms
m
JnM
JM
对比静电场中极化的有关公式
dqppP
,l i m
0
有导磁媒质存在时的磁感应强度要考虑到磁化电流的影响 。
PP'? nPdSdQP '?
一般形式的安培环路定律
l
mIIldB )(0?
在有导磁媒质的磁场中,任意取一闭合回路 l,磁感应强度沿 l的积分
其中 I是自由电流,Im是磁化后引起的电流。
l
ll
lS
Sl
IldMB
ldMIldB
ldMSdM
SdMIldB
)/(
0
00
00
HMB0/?
l
IldH
称为磁场强度 。
令,
H?
其中 I是穿过回路 l所限定面积的自由电流（不包括磁化电流）的代数和。电流正负号选取同真空中安培环路定律。
S
qqSdE
0
'
PED 0?
对比静电场中介质极化情况,
qSdD
S
为相对磁导率。＝
，米（是媒质磁导率，单位亨式中：
0
000
/
)//
)1()(
r
rm
m
mH
HHHMHB
HM
对各项同性的线性媒质
在无限大均匀各项同性导磁媒质中，如果电流分布一定，磁场中各点的磁感应强度 的方向与真空时相应的方向一致，但量值是真空时的?r倍。
B?
此时只需将真空时 的相应表达式中的?0换成?r
即可得到导磁媒质中 以及 的表达式。且有B
B? H?
l
kIldB?
5.4恒定磁场的基本方程 分界面上的边界条件
磁通连续性原理和安培环路定律描述了恒定磁场的基本特性，不论媒质如何分布，
HB
MHB
IldH
SdB
l
S
00
0
积分形式的基本方程应用散度定理和斯托克斯定理
JH
B
SdJSdldH
dVBSdB
Sl
S V
0
)
0
微分形式的基本方程
恒定磁场是无散度的，磁场是有旋的。
分界面上的边界条件在如图分界面上的 P点周围作积分回路，并令 。
如果分界面上有面电流
02l
根据磁场强度切向分量连续
＝－
当面电流为零
－
0
21
11211
tt
Stt
l
HH
lJlHlH
IldH
如图作封闭积分曲面，并令
0l
nn
S
BB
SdB
21
0
根据磁感应强度法向分量连续。
2121
2211
//
,
tgtg
如果两种媒质是各项同性的线性媒质,且无界面电流,
一般非铁磁质材料的磁导率?2近似为真空磁导率
0,而铁磁质材料 （ 铁,镍,钴及合金等 ） 的磁导率?1比?0大得多 。 如果磁感应强度从铁磁质进入非铁磁质,只要?1?90?,?2?0?。 即非铁磁质中的磁感应强度垂直于分界面
'33)88
3000
(
0
01
2
tgtg
如设?1＝ 88?,?1＝ 3000?0,?20。
5.5 标量磁位
静电场是无旋场,,可引入标量电位描述电场 。 恒定磁场中 在无电流分布的区域,,可引进标量磁位
0 E?
E? JH
0 H?
mH
标量磁位与磁场力做功无关,等磁位面与 H线正交 。
mBmAm
B
A
m A B
mB
mA
dldHU
磁场中两点间的磁压定义为
IldHldH
IldH
A m BA l B
A l B m A
改写成磁场中求积分
如果积分路径环绕电流 k次,则
kIldHldH
A m BA l B
在磁场中,A,B两点间的磁位与积分路径有关 。
标量磁位数值随积分路径变化,差值是穿过积分回路所限定面积的电流动整数倍 （ kI） 。
只要规定积分路径不能穿过回路所限定的面，标量磁位就是位置的单值函数 。
在均匀的媒质中标量磁位满足拉普拉斯方程
0
0)(
0
)(
,
0
2
2
＝
＝＝
＝介质均匀，
m
mmm
mmm
m
HHB
B
nn
nm
mm
2
2
1
1
21
两种媒质边界面上的条件用标量磁位表示
通过解出标量磁位,得到磁场强度
5.6向量磁位
标量磁位只适用于无自由电流区域 。 要找到一位函数,能应用于有电流和无电流区域,且可通过此位函数的微分得到磁感应强度 。
ABA
B
,0
,0 根据向量分析
就是要找到向量磁位。A?
通过电流分布求向量位
JAA
AAA
JA
JB
JH
2
2
)
)
（
（＝
矢量分析公式设媒质线性且各项同性
JA
A
A
2
0
满足向量磁位
要确定一向量,必须同时确定其旋度和散度 。 规定
zz
yy
xx
JA
JA
JA
2
2
2
上式相当于三个标量形式的泊松方程
对比静电场中泊松方程的解,
'
)',','(
4
1
),,(
/),,(
'
2
dV
r
zyx
zyx
zyx
V
考点时，并定义无限远为电位参
，介质均匀各项同性，当电荷分布在有限区域
当电流分布在有限空间，且规定无限远为磁位零点时，
可得矢量泊松方程的特解
'
'
'
'
4
'
4
'
4
V
z
z
V
y
y
V
x
x
r
dVJ
A
r
dVJ
A
r
dVJ
A
'
4 '
dV
r
JA
V
当电流元为时,
dSJlId S或
'
'
'
4
'
4
l
S
l
r
dSJ
A
r
Idl
A
例 5.4
空气中有一长度为 l，截面积为 S，位于 z轴上的短铜线。电流密度 J沿 z方向。设 J是均匀分布的，求离短铜线较远处（ r>>l）的磁感应强度。
解：应用向量磁位计算,
e
r
Il
ee
r
Il
r
x
e
r
y
e
r
Il
r
x
e
r
y
e
r
Il
AB
eA
r
eIl
A
I dl
r
e
dldSJe
r
dVJ
r
A
eJJ
yx
yx
yx
zz
z
l
l
z
l
l S
zz
zz
2
0
2
0
2
0
2
0
0
2/
2/
0
2/
2/
00
4
s i n
)c oss i n(
4
s i n
)
s i ns i n
(
4
s i n
)(
4
4
4
''
4
'
4
令：
例 5.5
应用向量磁位分析磁偶极子的磁场 。
解：设磁偶极子是任意形状的平面回路,置于 xy
平面上 。
向量恒等式：
'
4
'
4
,,
'
4
')
1
('
4
'
4
'
00
'
2
0
2
0
00
'
2
0
0
'
0
'
0
dSre
I
dS
r
r
e
r
I
A
RrrR
dS
R
R
e
I
dS
R
e
I
R
dlI
A
u dSnlud
S
z
S
z
l
z
l
z
l
Sl
在离电流回路很远处矢量位
s i n
4
,0,0
c oss i n
4
'
4
s i ns i n
4
'
4
c oss i ns i nc oss i n
2
0
2
0
'
2
0
2
0
'
2
0
0
r
IS
AAA
r
IS
dS
r
Ix
A
r
IS
dS
r
Iy
A
A
r
rerere
r
r
r
r
S
y
S
x
zyx
转换成球坐标形式的分量为向量磁位
)s i nc os2(
4
4
0,s i n
4
,c os
2
3
0
2
0
0
3
0
3
0
ee
r
p
B
R
Rp
A
SIdp
B
r
IS
B
r
IS
B
AB
r
m
m
m
r
表示用磁偶极子的磁矩算，得磁感应强度通过球坐标系的旋度运解：一个磁矩为 的磁偶极子在真空中引起的向量磁位例 5.6 应用向量磁位推导磁化强度和磁化电流密度之间的关系 。
mp
'
00
'
0
0
'
0
'
0
'
0
'
0
'
2
0
0
2
0
0
'
)'(
4
')'('
1
4
)(
'
)'(
'
4
')'('
1
4
')
1
(')'(
4
)('''
')
1
(')'(
4
'
)'(
4
rV
4
SV
SV
VVV
VV
m
dSn
R
rM
dVrM
R
A
dSnCdVC
dV
R
rM
dVrM
R
dV
R
rMA
CuCuuC
dV
R
rMdV
R
RrM
A
R
Rp
A
＝
再应用
＝
应用向量恒等式
＝
点产生的向量磁位：内的所有磁矩在积应用叠加原理，整个体按前述,体电流和面电流产生的向量磁位分别是和与上式比较
'4
'
dVrJA
V
'
'
4 S
S
r
dSJA
mS
m
SV
JnrM
JrM
nrM
rM
dSn
R
rM
dVrM
R
A
0
0
'
00
'
0
)'(
)(
)'(
)(
'
)'(
4
')'('
1
4
＝
所以：
磁化电流。他们都是磁化后形成的有面电流密度的作用。
有体电流密度的作用，
＝
lSS
dlAdSASdB
用矢量磁位可计算磁通例 5.7 (教材 121页 )
铁质的无限长圆管中通过电流 I，管道内外半径各为 a和 b。已知铁的磁导率?，求管壁中和管内外空气中的 B,并计算铁中的 M和 Jm等。
解：采用圆柱坐标 。 当 z轴与圆管轴线重合时,场是轴对称的 。
在管内 B和 H只有 分量
e
arH
rHldH
l
0,0
02
在管壁中
bra
abr
arI
HB
bra
abr
arI
H
ab
arI
rHldH
l
,
)(2
)(
,
)(2
)(
)(
)(
2
22
22
22
22
22
22
管壁内的磁化强度
rab
areHBeM
2
1))(1()(
22
22
0
2
0
2
2?
管壁内的磁化电流体密度
)(
1)1()(1
22
0
2 aberMrreMJ zzm
在 r=a和 r=b 处的磁化电流面密度分别是
b
eeMJ
eMJ
zrbrmS
rarmS
2
1
)]1([)(
0)(
0
2
2
穿过 z平面的磁化电流
0)1()1(
00
IIldJdSJI
l
mS
S
mm?
例 5.8铁心磁环的尺寸和横切面如图 。 已知铁心的磁导率?>>?0,磁环上绕有 N匝线圈,通电流为 I,试计算环中的 和?。
HB,
解,?>>?0,磁感应线主要在磁环内流通，环内只有?方向分量。忽略漏磁，
H?
l
N I S
r
N I h d
dr
drN I h
a
bN I h
dr
r
hNI
r
NI
B
r
NI
H
NIrHldH
S
C
00
0
2
]
2/
2/
l n [
2
ln
22
2
,
2
2
＝
环内磁通
令 em=NI 称为磁动势,Rm=l/?S 称为磁阻，磁路上的磁通为?＝ em/Rm
当磁环上开一很小的切口，形成气隙，根据磁通连续性原理，可认为气隙中 B线依然均匀分布在截面上。其中 B和磁环中相同，但 H相差很大。设气隙厚为 t，
mtmi
m
gi
l
RR
e
S
t
S
tr
NI
NI
S
t
S
tr
NI
S
t
SB
S
tr
SB
NIt
B
tr
B
tHtrHldH
0
0
0
0
0
0
0
00
)2(
)2(
)2(
)2()2(
因为气隙的磁阻 Rmt很大，磁环中的?和 B比没有气隙时减小很多。
5.8 电感在线性媒质中,电流回路在空间一点产生的磁感应强度与电流成正比 。 穿过任意回路的磁通?与电流成正比 。 若回路由 N匝导线紧挨绕成,总磁通?＝
N?,称为磁链 。
当磁场由回路本身产生,
穿过回路的磁链?L=IL,称为自感磁链 。
L=?L /I 称为自感 。
由回路 1电流 I1所产生而和回路 2相交链的磁链?21
与 I1成正比,
21＝ M21I1，
M21＝?21/ I1称回路 1对回路 2的互感 。
同理 M12＝?12/ I2称回路 2对回路 1的互感 。
用向量磁位计算互感和自感如图所示两个线形回路,设导线和周围媒质的磁导率都是?0。 回路通有电流,其对外作用中心可看成是在导线的几何中心上 。
1 2
1220
1
1
21212
2
2
220
2
12
2 1
2110
2
2
12121
1
1
110
1
21
4
1I2
4
dlI2
4
2I1
4
dlI1
l ll
l
l ll
l
r
ldldI
ldA
r
ldI
A
r
ldldI
ldA
r
ldI
A
＝＝
交链的互感磁链产生而和回路中电流回路处产生的向量磁位在中电流回路
＝＝
交链的互感磁链产生而和回路中电流回路处产生的向量磁位在中电流回路
1 2
12210
1221
1 2
120
2
12
12
1
21
21
4
2,121
4
l l
l l
r
ldldww
MM
ww
r
ldld
I
M
I
M
＝＝
匝细导线密绕而成，分别由，如果回路
v?
第五章 恒定磁场分析
5.1磁感应强度
在运动电荷的周围,除了电场,还存在一种称为磁场的物质 。
描述磁场特性的基本物理量：磁感应强度
磁场的表现：对于引入场中的运动电荷有力的作用 。 如电荷 q以速度 运动,磁场对其对作用力为
)( Bvqf
磁场对运动电荷的作用力又称洛仑兹力。洛仑兹力不能做功。通有电流 I的导线元 在磁场中所受到的力
ld?
BlIdBvn Sd lqBvd N qfd
1．磁场对电流有力相作用。而磁场是由电流产生的。下面用磁感应强度的定义和从实验得出的磁场力定律确定电流产生的磁感应强度。
安培力定律说明：两个电流元段 之间的力正比于,反比于他们之间距离。
2211 ldIldI
和
2211 ldIldI
真空中两个线电流回路。回路 1是引起场的源回路，
回路 2是试验回路。可测得试验回路所受到的力
1 2
2
11220
21
)(
4 l l
r
r
eldIldIF?
其中?0是真空中的磁导率，国际单位制中，其值为 410－ 7亨利 /米（ H/m）,
BdldI
r
eldIldI
fd
ldld
r
22
2
11220
21
12
)(
4?
段的作用力段受到斯定律毕奥－沙伐尔－拉普拉引起的磁感应强度整个源回路处引起的在离其源回路上
,
)(
4
)(
4
r
1
2
110
1
2
110
1
l
r
r
r
eldI
BdB
l
r
eldI
Bd
Bdld
如果是体电流分布和面电流分布相应
'
)',','(
4
),,
'
)',','(
4
),,
'
2
0
'
2
0
dS
r
ezyxJ
zyxB
dV
r
ezyxJ
zyxB
S
rS
V
r
（
（
对照静电场中电荷作体分布时电场强度的表达式
R
R
dSr
rE
R
R
dr
rE
S
3
0
3
0
')'(
4
1
)(
')'(
4
1
)(
例 5.1
决定真空中载电流 I的有限长直导线所引起的磁感应强度 。
220
0
2/122
0
0
2/122
0
0
2/322
0
0
2
0
0
0
2
0
,/),s i n (
s i n
4)(4
)(4)(4
),s i n ((
4
)(
4
zRrrRrzd
R
I
LRR
LI
zRR
zI
zR
R d zI
r
rzdI d z
r
elId
BdB
L
L
LL
r
其中：
解：先解情况 a，确定坐标为（ R,0）的 P点的磁感应强度
由于对称性,P’（ R,L） 处的磁感应强度同样是
s in
4
0
R
I
)'''s in'''( s in
4
)''s in''( s in
4
)'s in'( s in
4
21
3
0
3
21
2
0
2
21
1
0
1
R
I
B
R
I
B
R
I
B
P
P
P
R
I
R
IB
P
2)'s i n'( s in4
0
21
0
如果导线无限长,根据 Bp1的计算式,令?1’＝?2’
＝?/2。 离导线 R远处的磁感应强度为
B?
B?
可作出 线 。 对于无限长通电流直导线产生的磁感应强度线是中心在导线轴上而与导线垂直的一些园 。 线既无始端又无终端 。
例 5.2
真空中有一载电流 I,半径为 R的圆形回路,求其轴线上 P点的磁感应强度 。
解：圆形回路的元电流 在 p点引起的元磁感应强度
lId?
22
0
2
0 2/s i n
4
)(
4 xR
dlI
r
elIdBd r
由于圆形回路的对称性，整个回路引起的磁感应强度只有 x方向。
R
I
B
e
xR
IR
B
xR
IR
R
xR
R
xR
I
dl
xR
I
dBd B xB
x
l
2
)(2
)(2
2
1
4
s i n
1
4
s i n
0
2/322
2
0
2/322
2
0
22
22
0
22
0
＝
在回路中心点
S
SdB
B?
5.2 磁通连续性 安培环路定律
穿过任意面积 S的 通量称为磁通由于 没有始端和终端，没有供 线发出或中止的源或漏，对于任意闭合面
B? B?
0
S
SdB
磁通连续性原理
真空磁场中的安培环路定律
真空中无限长直导线中通以电流 I，由其引起离轴线 r远处的磁感应强度
r
IB
2
0?
场中取一条半径为 r的磁感应线作积分回路，
IldrIldrIldB
lll
0
00
22
)321
l
0
22
c o s
2
c o s
0
0
2
0
000
IIIldB
ldB
Id
I
rd
r
I
dl
r
I
ldB
rddl
l
l
lll
（＝
，所交链的电流不止一个如积分路径
＝
链，如积分回路没与电流交
如果取任一包围电流的回路，
真空的磁场中，沿任意回路取的线积分，等于真空的磁导率乘该回路所限定面积上穿过的电流的代数和。
B?
n
k
k
l
IldB
1
0?＝
电流方向与积分回路绕行方向成右手螺旋关系时,
电流取正号,否则取负号 。
在一些对称的情况下，可用上式简便计算 。
例 5.3
一无限长同轴电缆截面如图 。 芯线通有均匀分布的电流 I,外皮通有量值相同,方向相反对电流,试求各部分磁感应强度 。
解：
本题是平行平面场,B线是中心位于芯线轴上的同心圆 。
（ 1） 芯线内,r<R1，
电流密度 J=I/?R12,作一半径为 r的圆作为积分回路,
用柱坐标,穿过圆面积的电流 I’为
2
1
0
2
1
2
0
2
1
22
0
0
0
2
0
2
1
2
2
1
2
2
'
R
Ir
B
R
r
IrB
R
r
IrdBldB
R
r
Ir d r d
R
I
I
l
r
r
I
B
IrB
IrdB
2
2
0
0
2
0
0
(2)绝缘层中 R1<r<R2,取一半径为 r的圆作积分回路,
穿过圆面积的电流为 I
2
2
2
3
22
30
2
2
2
3
22
3
2
2
2
3
2
2
2
2
'
RR
rR
r
I
B
RR
rR
I
RR
Rr
III
(3)外导体 R2<r<R3,取一半径为 r的圆作积分回路,
穿过圆面积的电流为 I’。
0B
（ 4） 电缆外 r>R3,
5.3物质的磁化 磁化强度和磁场强度
5.3.1物质的磁化,磁化强度
'0 BBB
与电场与电介质相互作用，使电介质极化，产生附加电场一样，磁场会对放入其中的磁介质发生作用，使介质处在磁化的状态之中。
磁化介质也会产生附加磁场 。磁场中任一点的磁场强度
'B?
物质的原子或分子中的任一电子环绕原子核的运动和自旋都能产生磁效应。这种运动的束缚电荷形成环形电流，称为原子电流（或安培电流），它们不产生电荷迁移，但能产生磁感应强度。
原子电流是一很小的闭合电流。可用磁偶极子的概念：
面积为 dS的载流回路,的正方向与回路电流的正方向成右手螺旋关系。场中任一点到回路中心的距离比回路的尺度大得多。外场 B在磁偶极子中看成是均匀的。
Sd?
国际单位制中单位（ A.m2
）
SIdp m
定义磁偶极矩：
真空中磁偶极子在离它 r远处产生的磁感应强度
]s i nc o s2[
4
' 30
ee
r
pB
r
m
在外场下 磁偶极子所受到的转矩B?
BpT m
磁偶极子的转动方向总是力图使它自己的磁场与外磁场方向一致,即力图增强外磁场 。
和 同向时是稳定位置,反向时是不稳定的 。
mp
B?
描述磁化程度的宏观量
V
p
M im
V?
l i m
0
磁化强度 单位体积中的磁偶极矩。
未磁化时,是随机分布的。 为零。
mip
mip
在外磁场作用下，原子电流受到向外磁场方向的转矩,不为零。
mip
磁化后物质中存在磁化引起的体电流密度和面电流密度。
ms
m
JnM
JM
对比静电场中极化的有关公式
dqppP
,l i m
0
有导磁媒质存在时的磁感应强度要考虑到磁化电流的影响 。
PP'? nPdSdQP '?
一般形式的安培环路定律
l
mIIldB )(0?
在有导磁媒质的磁场中,任意取一闭合回路 l,磁感应强度沿 l的积分
其中 I是自由电流,Im是磁化后引起的电流。
l
ll
lS
Sl
IldMB
ldMIldB
ldMSdM
SdMIldB
)/(
0
00
00
HMB0/?
l
IldH
称为磁场强度 。
令,
H?
其中 I是穿过回路 l所限定面积的自由电流（不包括磁化电流）的代数和。电流正负号选取同真空中安培环路定律。
S
qqSdE
0
'
PED 0?
对比静电场中介质极化情况,
qSdD
S
为相对磁导率。＝
，米（是媒质磁导率，单位亨式中：
0
000
/
)//
)1()(
r
rm
m
mH
HHHMHB
HM
对各项同性的线性媒质
在无限大均匀各项同性导磁媒质中，如果电流分布一定，磁场中各点的磁感应强度 的方向与真空时相应的方向一致，但量值是真空时的?r倍。
B?
此时只需将真空时 的相应表达式中的?0换成?r
即可得到导磁媒质中 以及 的表达式。且有B
B? H?
l
kIldB?
5.4恒定磁场的基本方程 分界面上的边界条件
磁通连续性原理和安培环路定律描述了恒定磁场的基本特性，不论媒质如何分布，
HB
MHB
IldH
SdB
l
S
00
0
积分形式的基本方程应用散度定理和斯托克斯定理
JH
B
SdJSdldH
dVBSdB
Sl
S V
0
)
0
微分形式的基本方程
恒定磁场是无散度的，磁场是有旋的。
分界面上的边界条件在如图分界面上的 P点周围作积分回路，并令 。
如果分界面上有面电流
02l
根据磁场强度切向分量连续
＝－
当面电流为零
－
0
21
11211
tt
Stt
l
HH
lJlHlH
IldH
如图作封闭积分曲面，并令
0l
nn
S
BB
SdB
21
0
根据磁感应强度法向分量连续。
2121
2211
//
,
tgtg
如果两种媒质是各项同性的线性媒质,且无界面电流,
一般非铁磁质材料的磁导率?2近似为真空磁导率
0,而铁磁质材料 （ 铁,镍,钴及合金等 ） 的磁导率?1比?0大得多 。 如果磁感应强度从铁磁质进入非铁磁质,只要?1?90?,?2?0?。 即非铁磁质中的磁感应强度垂直于分界面
'33)88
3000
(
0
01
2
tgtg
如设?1＝ 88?,?1＝ 3000?0,?20。
5.5 标量磁位
静电场是无旋场,,可引入标量电位描述电场 。 恒定磁场中 在无电流分布的区域,,可引进标量磁位
0 E?
E? JH
0 H?
mH
标量磁位与磁场力做功无关,等磁位面与 H线正交 。
mBmAm
B
A
m A B
mB
mA
dldHU
磁场中两点间的磁压定义为
IldHldH
IldH
A m BA l B
A l B m A
改写成磁场中求积分
如果积分路径环绕电流 k次,则
kIldHldH
A m BA l B
在磁场中,A,B两点间的磁位与积分路径有关 。
标量磁位数值随积分路径变化,差值是穿过积分回路所限定面积的电流动整数倍 （ kI） 。
只要规定积分路径不能穿过回路所限定的面，标量磁位就是位置的单值函数 。
在均匀的媒质中标量磁位满足拉普拉斯方程
0
0)(
0
)(
,
0
2
2
＝
＝＝
＝介质均匀，
m
mmm
mmm
m
HHB
B
nn
nm
mm
2
2
1
1
21
两种媒质边界面上的条件用标量磁位表示
通过解出标量磁位,得到磁场强度
5.6向量磁位
标量磁位只适用于无自由电流区域 。 要找到一位函数,能应用于有电流和无电流区域,且可通过此位函数的微分得到磁感应强度 。
ABA
B
,0
,0 根据向量分析
就是要找到向量磁位。A?
通过电流分布求向量位
JAA
AAA
JA
JB
JH
2
2
)
)
（
（＝
矢量分析公式设媒质线性且各项同性
JA
A
A
2
0
满足向量磁位
要确定一向量,必须同时确定其旋度和散度 。 规定
zz
yy
xx
JA
JA
JA
2
2
2
上式相当于三个标量形式的泊松方程
对比静电场中泊松方程的解,
'
)',','(
4
1
),,(
/),,(
'
2
dV
r
zyx
zyx
zyx
V
考点时，并定义无限远为电位参
，介质均匀各项同性，当电荷分布在有限区域
当电流分布在有限空间，且规定无限远为磁位零点时，
可得矢量泊松方程的特解
'
'
'
'
4
'
4
'
4
V
z
z
V
y
y
V
x
x
r
dVJ
A
r
dVJ
A
r
dVJ
A
'
4 '
dV
r
JA
V
当电流元为时,
dSJlId S或
'
'
'
4
'
4
l
S
l
r
dSJ
A
r
Idl
A
例 5.4
空气中有一长度为 l，截面积为 S，位于 z轴上的短铜线。电流密度 J沿 z方向。设 J是均匀分布的，求离短铜线较远处（ r>>l）的磁感应强度。
解：应用向量磁位计算,
e
r
Il
ee
r
Il
r
x
e
r
y
e
r
Il
r
x
e
r
y
e
r
Il
AB
eA
r
eIl
A
I dl
r
e
dldSJe
r
dVJ
r
A
eJJ
yx
yx
yx
zz
z
l
l
z
l
l S
zz
zz
2
0
2
0
2
0
2
0
0
2/
2/
0
2/
2/
00
4
s i n
)c oss i n(
4
s i n
)
s i ns i n
(
4
s i n
)(
4
4
4
''
4
'
4
令：
例 5.5
应用向量磁位分析磁偶极子的磁场 。
解：设磁偶极子是任意形状的平面回路,置于 xy
平面上 。
向量恒等式：
'
4
'
4
,,
'
4
')
1
('
4
'
4
'
00
'
2
0
2
0
00
'
2
0
0
'
0
'
0
dSre
I
dS
r
r
e
r
I
A
RrrR
dS
R
R
e
I
dS
R
e
I
R
dlI
A
u dSnlud
S
z
S
z
l
z
l
z
l
Sl
在离电流回路很远处矢量位
s i n
4
,0,0
c oss i n
4
'
4
s i ns i n
4
'
4
c oss i ns i nc oss i n
2
0
2
0
'
2
0
2
0
'
2
0
0
r
IS
AAA
r
IS
dS
r
Ix
A
r
IS
dS
r
Iy
A
A
r
rerere
r
r
r
r
S
y
S
x
zyx
转换成球坐标形式的分量为向量磁位
)s i nc os2(
4
4
0,s i n
4
,c os
2
3
0
2
0
0
3
0
3
0
ee
r
p
B
R
Rp
A
SIdp
B
r
IS
B
r
IS
B
AB
r
m
m
m
r
表示用磁偶极子的磁矩算，得磁感应强度通过球坐标系的旋度运解：一个磁矩为 的磁偶极子在真空中引起的向量磁位例 5.6 应用向量磁位推导磁化强度和磁化电流密度之间的关系 。
mp
'
00
'
0
0
'
0
'
0
'
0
'
0
'
2
0
0
2
0
0
'
)'(
4
')'('
1
4
)(
'
)'(
'
4
')'('
1
4
')
1
(')'(
4
)('''
')
1
(')'(
4
'
)'(
4
rV
4
SV
SV
VVV
VV
m
dSn
R
rM
dVrM
R
A
dSnCdVC
dV
R
rM
dVrM
R
dV
R
rMA
CuCuuC
dV
R
rMdV
R
RrM
A
R
Rp
A
＝
再应用
＝
应用向量恒等式
＝
点产生的向量磁位：内的所有磁矩在积应用叠加原理，整个体按前述,体电流和面电流产生的向量磁位分别是和与上式比较
'4
'
dVrJA
V
'
'
4 S
S
r
dSJA
mS
m
SV
JnrM
JrM
nrM
rM
dSn
R
rM
dVrM
R
A
0
0
'
00
'
0
)'(
)(
)'(
)(
'
)'(
4
')'('
1
4
＝
所以：
磁化电流。他们都是磁化后形成的有面电流密度的作用。
有体电流密度的作用，
＝
lSS
dlAdSASdB
用矢量磁位可计算磁通例 5.7 (教材 121页 )
铁质的无限长圆管中通过电流 I，管道内外半径各为 a和 b。已知铁的磁导率?，求管壁中和管内外空气中的 B,并计算铁中的 M和 Jm等。
解：采用圆柱坐标 。 当 z轴与圆管轴线重合时,场是轴对称的 。
在管内 B和 H只有 分量
e
arH
rHldH
l
0,0
02
在管壁中
bra
abr
arI
HB
bra
abr
arI
H
ab
arI
rHldH
l
,
)(2
)(
,
)(2
)(
)(
)(
2
22
22
22
22
22
22
管壁内的磁化强度
rab
areHBeM
2
1))(1()(
22
22
0
2
0
2
2?
管壁内的磁化电流体密度
)(
1)1()(1
22
0
2 aberMrreMJ zzm
在 r=a和 r=b 处的磁化电流面密度分别是
b
eeMJ
eMJ
zrbrmS
rarmS
2
1
)]1([)(
0)(
0
2
2
穿过 z平面的磁化电流
0)1()1(
00
IIldJdSJI
l
mS
S
mm?
例 5.8铁心磁环的尺寸和横切面如图 。 已知铁心的磁导率?>>?0,磁环上绕有 N匝线圈,通电流为 I,试计算环中的 和?。
HB,
解,?>>?0,磁感应线主要在磁环内流通，环内只有?方向分量。忽略漏磁，
H?
l
N I S
r
N I h d
dr
drN I h
a
bN I h
dr
r
hNI
r
NI
B
r
NI
H
NIrHldH
S
C
00
0
2
]
2/
2/
l n [
2
ln
22
2
,
2
2
＝
环内磁通
令 em=NI 称为磁动势,Rm=l/?S 称为磁阻，磁路上的磁通为?＝ em/Rm
当磁环上开一很小的切口，形成气隙，根据磁通连续性原理，可认为气隙中 B线依然均匀分布在截面上。其中 B和磁环中相同，但 H相差很大。设气隙厚为 t，
mtmi
m
gi
l
RR
e
S
t
S
tr
NI
NI
S
t
S
tr
NI
S
t
SB
S
tr
SB
NIt
B
tr
B
tHtrHldH
0
0
0
0
0
0
0
00
)2(
)2(
)2(
)2()2(
因为气隙的磁阻 Rmt很大，磁环中的?和 B比没有气隙时减小很多。
5.8 电感在线性媒质中,电流回路在空间一点产生的磁感应强度与电流成正比 。 穿过任意回路的磁通?与电流成正比 。 若回路由 N匝导线紧挨绕成,总磁通?＝
N?,称为磁链 。
当磁场由回路本身产生,
穿过回路的磁链?L=IL,称为自感磁链 。
L=?L /I 称为自感 。
由回路 1电流 I1所产生而和回路 2相交链的磁链?21
与 I1成正比,
21＝ M21I1，
M21＝?21/ I1称回路 1对回路 2的互感 。
同理 M12＝?12/ I2称回路 2对回路 1的互感 。
用向量磁位计算互感和自感如图所示两个线形回路,设导线和周围媒质的磁导率都是?0。 回路通有电流,其对外作用中心可看成是在导线的几何中心上 。
1 2
1220
1
1
21212
2
2
220
2
12
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2
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交链的互感磁链产生而和回路中电流回路处产生的向量磁位在中电流回路
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交链的互感磁链产生而和回路中电流回路处产生的向量磁位在中电流回路
1 2
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1 2
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12
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匝细导线密绕而成，分别由，如果回路
