第三章 静电场
3.1电荷与电荷分布电子电荷量 e＝ -1.6?10-19C,带电体的电量是电子电量的正或负整数倍 。
点电荷 q
体电荷分布,体电荷密度 C/m3
面电荷分布面电荷密度 C/m2
线电荷分布,线电荷密度 C/m
qr
0
lim)(?
S
qr
S?
0
lim)(
l
qr
ll?
0
lim)(
3.2 库仑定律 电场强度点电荷 q1,q2之间相互作用的规律 （ MKSA有理制 ）
R
R
qqFF
3
0
21
2112 4
'rrR其中电场强度：
带电体周围存在电场,引入电场的任何带电体都受到电场所作用力,电磁场是物质的一种形态,具有能量,动量和质量 。
描述静电场中一点性质的物理量：
电场强度
E
q
F
q
2
02
lim
真空中点电荷 q周围的电场强度,
)1(
44
)(
0
3
0 R
qR
R
qRE
'rrR
根据场强叠加原理,真空中,n个点电荷 qi （ i＝ 1，
2,..n） 在点 （ x,y,z） 产生的场强,
ii rrR '
)
1
(
4
)(
1 0
n
i i
i
R
q
rE
体电荷，面电荷和线电荷分布产生的 电场强度：
')
1
()'(
4
1')'(
4
1
)(
')
1
()'(
4
1')'(
4
1
)(
')
1
()'(
4
1')'(
4
1
)(
0
3
0
0
3
0
0
3
0
dl
R
rR
R
dlr
rE
dS
R
rR
R
dSr
rE
d
R
rR
R
dr
rE
l
l
在无限大均匀线性介质中,只需在上述式中将?＝?r?0取代?0便到相应当公式静电场中的导体：
导体内部电场强度为零,
电荷分布在导体的表面
表面电场强度垂直与表面静电场中的电介质
在电场作用下产生极化：无极分子正负电荷中心发生相对位移，有极分子电矩发生转向。
极化电荷产生附加电场 E’，合场强 E＝ E0＋ E’,
E’总是消弱外场 E的作用。
介质均匀时，介质表面产生极化电荷。
介质不均匀，产生表面极化电荷；在介质中产生极化电荷体密度。
极化的程度可用极化强度 P来描述。为单位体积内的电偶极矩
在电场中任取一元面积
dS,介质极化过程中穿过 dS的正电量为
dqp
p
P
,l i m
0
dSnPSdPdQ'
在介质内紧贴表面取闭合面,穿出此闭合面的电荷量就是介质表面的束缚面电荷 。 面电荷密度
nP
dS
dQ
P
'?
在极化过程中从任取的闭合面穿出的正电量为
SdPQ'
留在闭合面中的束缚电荷电量为
极化介质内束缚电荷体密度
在各向同性的线性介质中,
为极化系数
SdPQq'
EP 0
P
ddPSdP
P
P
'
,'
Q
Pt
PQ
PQ ldE
q
A
u
3.3电位及其梯度电场强度 E是矢量,计算复杂,希望找到一标量来描述电场 。
静电场中将试电体 qt从 p点移到 Q点电场力所做的功与 qt的比值定义为从 P到 Q的电压。
UPQ与取路径无关 。
以点电荷产生的电场为例 。
)11(
444 020
0
2
0 QP
r
r
Q
P
PQ rr
q
r
drqldr
r
qU Q
P
考虑沿 PmQ和 PnQ两条路线的积分,
上述结论可另表为：
场强 E的环路积分为零。
l
P m Q n P
P m Q Q n PP m Q PnQ
ldE
ldE
ldEldEldEldE
0
0
0,
静电场中沿任一闭合路径环绕一周移动单位正电荷,电场力所作功为零 。
静电场是守恒场
Q
P
P ldE
将单位正电荷从 P点移到参考点 （ 如 Q点 ）
电场力所作的功定义为 P点的电位 。
电位是相对值。
通常只要全部电荷都处在有限空间区域内，
选取无限远作为查考点，可带来很大的方便。
例：点电荷在无限大介质中产生的电位。
r rrr
r
r R
q
R
q d Rlde
R
qr 1
444
)(
0
2
0
2
0
在线性介质中电位的计算也可用叠加原理：
n
k i
i
r R
qr
104
1)(
无限大均匀介质中 n个点电荷产生的电位：
以无穷远为参考点时
l
l
r
Sr
r
R
dl
r
R
dS
r
R
d
r
0
0
0
4
1
)(
4
1
)(
4
1
)(
体电荷，面电荷和线电荷分布形成的电位：
电场强度与电位的关系考虑电场中十分靠近的两点 a,b。
),(,
,,,
,c o s,
e
z
e
y
e
x
EeEeEeEE
z
E
y
E
x
E
l
E
dlEdlEdldE
yxzzyyxx
zyxl
lba
例 3.1 应用电位梯度求电偶极子在真空中的电场表达式解：
对任一点 P，其电位为,
2
0
2
0
2
0
1
1
1
010
4
c os
4
,,
c os
c os
4
c os
)(
4
)
11
(
4
r
ep
r
dq
dr
rdr
dq
drr
rr
rrq
rr
q
r
电场强度
3
0
4
)s i nc o s2(
]
s i n
1
[
r
eep
e
r
e
r
e
r
E
r
r
电偶极子发出的电力线切线方向与 E同向 。 即
rdrEK
rdrE
)(
0)(
drerdedreEeEeEeK rrr s i n)(
c os2
s in
dr
rd
E
E
r
电力线方程
2s inCr?
例 3.2
求电荷面密度为?,半径为 R,均匀带电源盘轴线上的电场强度 。
解：
采用柱坐标 。 在园盘上取半径为 r宽为 dr的园环,
其元电荷 dq(=?2?rdr)在轴线上 P电所产生的电位
22
0
22
0
2
4
zr
r d r
zr
dq
d
r
r
][
22
22
00
22
0
zzR
zr
r d r
r
R
r
园盘在 P点产生的电场强度
z
r
z
zr
e
zR
z
e
z
e
z
e
r
e
r
E
]1[
2
][
22
0?
当 R趋于无穷时,
z
r
eE
02
3.4电通量和高斯通量定理电力线表示场强的方向,通过垂直于场强的单位面积电力线的数目为电场强度的量值 。
S
SdE
通过曲面 S的电通量为曲面法线的正方向,封闭曲面，外法线为正方向。
一般曲面，法线正方向与曲面边缘绕向成右手螺旋关系。
真空中静电场的高斯定理在真空中,由任意闭合面传出的 E通量等于该面内所有电荷的代数和,与真空的介电常数?0的比值特例,（ 1）
点电荷＋ q在坐标原点,S
为球面,S’为任意封闭曲面 。
穿出曲面 S的电通量与球面半径无关 。
0
2
0
2
0
0
44
q
dS
r
q
r
Sdrq
e
S S
电力线连续，穿出 S面和 S’的电力线数目一样。
穿出曲面 S’的电通量
0?
qe
（ 2）当电荷＋ q在闭曲面 S’’之外时，穿入 S1’’的电力线与穿出 S2’’的电力线数目相同。通过 S’’的总电通量为 0。
一般情况下高斯定理的证明
立体角的概念在半径为 R的球面上任取一个面元 dS，构成一个以球心为顶点的锥体，定义为 dS对球心所张的立体角，单位 Sr（球面度）。
整个球面对球心所张立体角是 4?。
2RdSd
一般情况下，锥表面上元面积 dS对离它 r远的 P点所张的立体角为
2
0
r
rSd
d
从 P点看到 dS的内侧时,d0，
从 P点看到 dS的外侧时,d?<0。
原点一点电荷穿过面积元 dS的通量可写为
d
q
r
Sdrq
ed
0
2
0
0
44
通过曲面 S的通量为
00 44
qdqede
SS
如果有一闭合曲面 S
包围点电荷 q，则
00
0
4
4
4
qq
d
q
SdEe
S
S
如果有一闭合曲面 S
不包围点电荷 q,S＝
S1＋ S2
0)(
4
21
0
21
q
edede
SS
当闭合曲面内有 n个点电荷，
n
k
k
n
k S
k
S S
n
k
k
q
SdESdESdEe
0
)(
当闭合曲面内有连续电荷分布
S
V
dq
SdE
0?
在无限大均匀线性介质中，只需在上述式中将?＝
r?0取代?0便到相应当公式,
称为 高斯通量定理的特殊形式,
可见 E线从正电荷出发，终止于负电荷。
有电介质时的高斯定理 电位移由于极化的影响,在介质中出现束缚电荷 q’,此时电场可看成是由自由电荷 q和束缚电荷 q’产生,由任意封闭面 S发出的通量
S
qq
SdE
0
'
qSdPE
SdPQq
S
S
)(
''
0
令,称为电位移矢量，
高斯通量定理,
PED 0? D
VSS
dqSdDqSdD
,
在静电场中,由任意闭合面穿出的 通量只与面内自由电荷有关,与介质无关 。 但 分布与介质分布有关
高斯通量定理对静电场普遍适用 。
对于各项同性的线性介质
D?
D?
EEEPED
EP
0000
0
)1(
,
令
00)1( r
ED
从高斯通量定理可见,D线从正自由电荷出发，终止于负自由电荷。
高斯通量定理的应用：电荷分布有对称性时,电场分布也有一定对称性 。
例 3,3真空中有两同心金属球壳，内球壳半径 R1，带电
q1，外球壳半径 R2，壳厚?R2，
所带电 q2，求场中各处的电场强度和电位。
（ 1） 内壳表面带电 q1,外壳内表面带电－ q1,外壳外表面带电 q1＋ q2。
（ 2） r<R1,,
（ 3） R1<r<R2,应用高斯定理特殊形式,
0?E?
0
0
2
1
0
2
1
0
12
4
4
,4
r
r
q
E
r
q
E
q
rESdE
S
（ 4） R2<r<R2＋?R2，
(5) r R2＋?R2
0?E?
0
0
2
21
4
r
r
qq
E
2,求电位以无限远为参考点,
（ 1） r>R2＋?R2，
rr r
qqdr
r
qqldr
r
qq
0
21
0
2
210
0
2
21
444
外壳电位：将 r＝ R2＋?R2 代入
022
21
)(4
RR
qq
(2) R2>r>R1
)(4
)11(
44 220
21
20
1
22
0
1
2
RR
qq
Rr
qdr
r
qR
r
(3)内球壳电位,将 R1代入,
)(4
)11(
4 220
21
210
1
RR
qq
RR
q
（ 4） r<R1，电位为内球壳电位
3.5静电场的基本方程 分界面的边界条件静电场是守恒场，高斯通量定理，是静电场的二个基本性质，不管介质如何分布都成立 。
积分形式的基本方程
S V
l
dqqSdD
ldE
0
应用斯托克斯公式和散度定理
VS V
l S
dVdVDSdD
SdEldE
0)(
得到 微分形式的基本方程
D
E
0
E是无旋的,根据场论知识
E
0
根据亥姆霍兹定理,要确定一个向量场,必须同时确定其散度和旋度,所以 基本方程包括散度方程和旋度方程 。
分界面上的边界条件
唯一确定有限区域中的矢量场需：
基本方程,矢量场在边界上的切向分量或法向分量 。
考虑分界面处 P点 。 电场强度在第一介质和第二种介质中紧靠 P点的切线和法线分量分别是
E1t,E1n,E2t,E2n。
考虑包围 P点的虚线闭路,其轴线与分界面重合 。
l2趋于零,?l1很小 。
tt
tt
EE
lElEldE
21
1211 0
在两种电介质的分界面上，电场强度的切线分量必须连续。
考虑分界面处 P点 。 电位移在第一介质和第二种介质中紧靠 P点的切线和法线分量分别是 D1t,D1n，
D2t,D2n。
界面上的自由电荷面密度为?。 考虑包围 P点的小圆柱体,底面积为?S。
l趋于零 。
nn
nn
Sl
DD
SSDSD
SSdD
12
21
0
lim
222111,EDED
2121
222111
2211
//
c osc os
s i ns i n
tgtg
EE
EE
如果分界面上不存在作面分布的自由电荷,则 D
的法向分量连续 。
D1n＝ D2n
对各向同性的线性介质,介电常数分别是?1和?2，
界面条件可写成
静电场的折射定律
D和 E同方向,,
2211
设第一种介质是导体,则 D1＝ 0,E1＝ 0,导体的电荷只能分布在表面,
E1t＝ E2t＝ 0,D2t＝ 0,E2n＝?/?,D2n＝?
介质中与导体表面相邻之点的电场强度 E和电位移
D都垂直与导体表面，电位移的值为该点的电荷面密度。
例 3.4 图 1图 2都表示平板电容器,设 d1,d2,S1，
S2,?1和?2已给定,对于前者还给定了极板间的电压 U0,对于后者则给定了两极板上的总电荷 。 试分别求其中的电场强度 。
解,（ 1）两种介质中 E不同，但 D相同
E1d1＋ E2d2＝ U0
1E1＝?2E2
1221
01
2
1221
02
1,dd
UE
dd
UE
（ 2）
两种介质中 E相同,但极板上两部分电荷密度不同
,设分别为?1和?2 。
1S1＋?2S2＝ q0
1/?1=?2/?2，
2211
0
2
1
1
1
2211
02
2
2211
01
1
,
SS
q
E
SS
q
SS
q
两种介质中的边界条件可用电位函数表示
两种介质的分界面上，电位应连续，这与 Et1＝ Et2
是等效的。
n
D
n
E nn
,
边界条件 Et1＝ Et2和 D1n＝ D2n可表示为
nn?
2
2
1
1
21
3.6泊松方程和拉普拉斯方程如果介质各项同性
EEED
EDD,,
如果介质均匀
2
E
02
如果场中无电荷分布拉普拉斯方程泊松方程目前能解决的问题：
1,在无界空间内,已知电荷分布在有限区域内
,介质均匀且各项同性,求电场分布
2,对于某些对称情况,应用高斯通量定理直接求得电场分布,E和 D
EdV
r
zyxzyx
V
,')',','(
4
1),,(
在有限空间内：电场分布问题可归结为求得满足规定边界条件的泊松方程和拉普拉斯方程,
即边值问题
a,已知边界上的电位函数,求场中的电位分布
（ 第一类边值问题 ）
b,已知边界上的电位法向导数,求导体电位和场中电位分布 （ 第二类边值问题 ）
c,已知某一部分边界电位和另一部分边界电位法向导数,求场的分布 （ 混合边值问题 ） 。
如果边界是导体,则上述边界条件成为导体的电位和导体表面的电荷密度 。
通常，泊松方程和拉普拉斯方程难于用直接积分的方法解出，需用间接的方法。这些方法是否正确唯一性定理格林第一恒等式
SS
dSnASdAdA
dS
n
d
n
n
S
)(
)(
2
2
格林第一恒等式由散度定理设：,是空间区域内两个任意大标量函数,矢量场A?
证明在每一类边界条件下泊松方程和拉普拉斯方程的解是唯一的。
a,先证拉普拉斯方程的情况 。 第一类边界条件：
已知导体表面电位,且电荷?＝ 0。 在格林第一恒等式中,令?＝?＝?
A
S
dS
n
d
dS
n
d
2
22
)(
0,)(
设拉普拉斯方程有二个解，分别是?和?’，由于方程是线性的，则?’’＝?－?’也满足,
S
dS
n
d '''')''( 2
在边界 S上?＝?’，所以在边界 S上?’’＝ 0。
0)''( 2
d
只有 0)''( 2,?’’＝ C 。
而在边界 S上,?’’ ＝ 0,所以整个区域内?－?’
＝ 0
＝?’，即解是唯一的。
n?
dS
n
q
S
b.第二类边界条件,如果给定边界上导体的表面面密度,,或导体带电量边界上,则同样可证明
0''' nnn
C ''',0''
对于电场来说，解是唯一的。
泊松方程解的唯一性证明：假设方程有二个解，分别是?和?’
0'')'(
',
22
22
’’＝?－?’是拉普拉斯方程的解。同样可证明解的唯一性。
只要知道边界上的电位函数或电位法向导数，闭合面 S内的电位分布就唯一确定。在实际问题中首先确定边界条件是否足够，若是，则解是唯一的。
镜像法由于解的唯一性,采用间接的方法求解泊松方程和拉普拉斯方程 。
3.1电荷与电荷分布电子电荷量 e＝ -1.6?10-19C,带电体的电量是电子电量的正或负整数倍 。
点电荷 q
体电荷分布,体电荷密度 C/m3
面电荷分布面电荷密度 C/m2
线电荷分布,线电荷密度 C/m
qr
0
lim)(?
S
qr
S?
0
lim)(
l
qr
ll?
0
lim)(
3.2 库仑定律 电场强度点电荷 q1,q2之间相互作用的规律 （ MKSA有理制 ）
R
R
qqFF
3
0
21
2112 4
'rrR其中电场强度：
带电体周围存在电场,引入电场的任何带电体都受到电场所作用力,电磁场是物质的一种形态,具有能量,动量和质量 。
描述静电场中一点性质的物理量：
电场强度
E
q
F
q
2
02
lim
真空中点电荷 q周围的电场强度,
)1(
44
)(
0
3
0 R
qR
R
qRE
'rrR
根据场强叠加原理,真空中,n个点电荷 qi （ i＝ 1，
2,..n） 在点 （ x,y,z） 产生的场强,
ii rrR '
)
1
(
4
)(
1 0
n
i i
i
R
q
rE
体电荷，面电荷和线电荷分布产生的 电场强度：
')
1
()'(
4
1')'(
4
1
)(
')
1
()'(
4
1')'(
4
1
)(
')
1
()'(
4
1')'(
4
1
)(
0
3
0
0
3
0
0
3
0
dl
R
rR
R
dlr
rE
dS
R
rR
R
dSr
rE
d
R
rR
R
dr
rE
l
l
在无限大均匀线性介质中,只需在上述式中将?＝?r?0取代?0便到相应当公式静电场中的导体：
导体内部电场强度为零,
电荷分布在导体的表面
表面电场强度垂直与表面静电场中的电介质
在电场作用下产生极化：无极分子正负电荷中心发生相对位移，有极分子电矩发生转向。
极化电荷产生附加电场 E’，合场强 E＝ E0＋ E’,
E’总是消弱外场 E的作用。
介质均匀时，介质表面产生极化电荷。
介质不均匀，产生表面极化电荷；在介质中产生极化电荷体密度。
极化的程度可用极化强度 P来描述。为单位体积内的电偶极矩
在电场中任取一元面积
dS,介质极化过程中穿过 dS的正电量为
dqp
p
P
,l i m
0
dSnPSdPdQ'
在介质内紧贴表面取闭合面,穿出此闭合面的电荷量就是介质表面的束缚面电荷 。 面电荷密度
nP
dS
dQ
P
'?
在极化过程中从任取的闭合面穿出的正电量为
SdPQ'
留在闭合面中的束缚电荷电量为
极化介质内束缚电荷体密度
在各向同性的线性介质中,
为极化系数
SdPQq'
EP 0
P
ddPSdP
P
P
'
,'
Q
Pt
PQ
PQ ldE
q
A
u
3.3电位及其梯度电场强度 E是矢量,计算复杂,希望找到一标量来描述电场 。
静电场中将试电体 qt从 p点移到 Q点电场力所做的功与 qt的比值定义为从 P到 Q的电压。
UPQ与取路径无关 。
以点电荷产生的电场为例 。
)11(
444 020
0
2
0 QP
r
r
Q
P
PQ rr
q
r
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r
qU Q
P
考虑沿 PmQ和 PnQ两条路线的积分,
上述结论可另表为：
场强 E的环路积分为零。
l
P m Q n P
P m Q Q n PP m Q PnQ
ldE
ldE
ldEldEldEldE
0
0
0,
静电场中沿任一闭合路径环绕一周移动单位正电荷,电场力所作功为零 。
静电场是守恒场
Q
P
P ldE
将单位正电荷从 P点移到参考点 （ 如 Q点 ）
电场力所作的功定义为 P点的电位 。
电位是相对值。
通常只要全部电荷都处在有限空间区域内，
选取无限远作为查考点，可带来很大的方便。
例：点电荷在无限大介质中产生的电位。
r rrr
r
r R
q
R
q d Rlde
R
qr 1
444
)(
0
2
0
2
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在线性介质中电位的计算也可用叠加原理：
n
k i
i
r R
qr
104
1)(
无限大均匀介质中 n个点电荷产生的电位：
以无穷远为参考点时
l
l
r
Sr
r
R
dl
r
R
dS
r
R
d
r
0
0
0
4
1
)(
4
1
)(
4
1
)(
体电荷，面电荷和线电荷分布形成的电位：
电场强度与电位的关系考虑电场中十分靠近的两点 a,b。
),(,
,,,
,c o s,
e
z
e
y
e
x
EeEeEeEE
z
E
y
E
x
E
l
E
dlEdlEdldE
yxzzyyxx
zyxl
lba
例 3.1 应用电位梯度求电偶极子在真空中的电场表达式解：
对任一点 P，其电位为,
2
0
2
0
2
0
1
1
1
010
4
c os
4
,,
c os
c os
4
c os
)(
4
)
11
(
4
r
ep
r
dq
dr
rdr
dq
drr
rr
rrq
rr
q
r
电场强度
3
0
4
)s i nc o s2(
]
s i n
1
[
r
eep
e
r
e
r
e
r
E
r
r
电偶极子发出的电力线切线方向与 E同向 。 即
rdrEK
rdrE
)(
0)(
drerdedreEeEeEeK rrr s i n)(
c os2
s in
dr
rd
E
E
r
电力线方程
2s inCr?
例 3.2
求电荷面密度为?,半径为 R,均匀带电源盘轴线上的电场强度 。
解：
采用柱坐标 。 在园盘上取半径为 r宽为 dr的园环,
其元电荷 dq(=?2?rdr)在轴线上 P电所产生的电位
22
0
22
0
2
4
zr
r d r
zr
dq
d
r
r
][
22
22
00
22
0
zzR
zr
r d r
r
R
r
园盘在 P点产生的电场强度
z
r
z
zr
e
zR
z
e
z
e
z
e
r
e
r
E
]1[
2
][
22
0?
当 R趋于无穷时,
z
r
eE
02
3.4电通量和高斯通量定理电力线表示场强的方向,通过垂直于场强的单位面积电力线的数目为电场强度的量值 。
S
SdE
通过曲面 S的电通量为曲面法线的正方向,封闭曲面，外法线为正方向。
一般曲面，法线正方向与曲面边缘绕向成右手螺旋关系。
真空中静电场的高斯定理在真空中,由任意闭合面传出的 E通量等于该面内所有电荷的代数和,与真空的介电常数?0的比值特例,（ 1）
点电荷＋ q在坐标原点,S
为球面,S’为任意封闭曲面 。
穿出曲面 S的电通量与球面半径无关 。
0
2
0
2
0
0
44
q
dS
r
q
r
Sdrq
e
S S
电力线连续，穿出 S面和 S’的电力线数目一样。
穿出曲面 S’的电通量
0?
qe
（ 2）当电荷＋ q在闭曲面 S’’之外时，穿入 S1’’的电力线与穿出 S2’’的电力线数目相同。通过 S’’的总电通量为 0。
一般情况下高斯定理的证明
立体角的概念在半径为 R的球面上任取一个面元 dS，构成一个以球心为顶点的锥体，定义为 dS对球心所张的立体角，单位 Sr（球面度）。
整个球面对球心所张立体角是 4?。
2RdSd
一般情况下，锥表面上元面积 dS对离它 r远的 P点所张的立体角为
2
0
r
rSd
d
从 P点看到 dS的内侧时,d0，
从 P点看到 dS的外侧时,d?<0。
原点一点电荷穿过面积元 dS的通量可写为
d
q
r
Sdrq
ed
0
2
0
0
44
通过曲面 S的通量为
00 44
qdqede
SS
如果有一闭合曲面 S
包围点电荷 q，则
00
0
4
4
4
d
q
SdEe
S
S
如果有一闭合曲面 S
不包围点电荷 q,S＝
S1＋ S2
0)(
4
21
0
21
q
edede
SS
当闭合曲面内有 n个点电荷，
n
k
k
n
k S
k
S S
n
k
k
q
SdESdESdEe
0
)(
当闭合曲面内有连续电荷分布
S
V
dq
SdE
0?
在无限大均匀线性介质中，只需在上述式中将?＝
r?0取代?0便到相应当公式,
称为 高斯通量定理的特殊形式,
可见 E线从正电荷出发，终止于负电荷。
有电介质时的高斯定理 电位移由于极化的影响,在介质中出现束缚电荷 q’,此时电场可看成是由自由电荷 q和束缚电荷 q’产生,由任意封闭面 S发出的通量
S
SdE
0
'
qSdPE
SdPQq
S
S
)(
''
0
令,称为电位移矢量，
高斯通量定理,
PED 0? D
VSS
dqSdDqSdD
,
在静电场中,由任意闭合面穿出的 通量只与面内自由电荷有关,与介质无关 。 但 分布与介质分布有关
高斯通量定理对静电场普遍适用 。
对于各项同性的线性介质
D?
D?
EEEPED
EP
0000
0
)1(
,
令
00)1( r
ED
从高斯通量定理可见,D线从正自由电荷出发，终止于负自由电荷。
高斯通量定理的应用：电荷分布有对称性时,电场分布也有一定对称性 。
例 3,3真空中有两同心金属球壳，内球壳半径 R1，带电
q1，外球壳半径 R2，壳厚?R2，
所带电 q2，求场中各处的电场强度和电位。
（ 1） 内壳表面带电 q1,外壳内表面带电－ q1,外壳外表面带电 q1＋ q2。
（ 2） r<R1,,
（ 3） R1<r<R2,应用高斯定理特殊形式,
0?E?
0
0
2
1
0
2
1
0
12
4
4
,4
r
r
q
E
r
q
E
q
rESdE
S
（ 4） R2<r<R2＋?R2，
(5) r R2＋?R2
0?E?
0
0
2
21
4
r
r
E
2,求电位以无限远为参考点,
（ 1） r>R2＋?R2，
rr r
qqdr
r
qqldr
r
0
21
0
2
210
0
2
21
444
外壳电位：将 r＝ R2＋?R2 代入
022
21
)(4
RR
(2) R2>r>R1
)(4
)11(
44 220
21
20
1
22
0
1
2
RR
Rr
qdr
r
qR
r
(3)内球壳电位,将 R1代入,
)(4
)11(
4 220
21
210
1
RR
RR
q
（ 4） r<R1，电位为内球壳电位
3.5静电场的基本方程 分界面的边界条件静电场是守恒场，高斯通量定理，是静电场的二个基本性质，不管介质如何分布都成立 。
积分形式的基本方程
S V
l
dqqSdD
ldE
0
应用斯托克斯公式和散度定理
VS V
l S
dVdVDSdD
SdEldE
0)(
得到 微分形式的基本方程
D
E
0
E是无旋的,根据场论知识
E
0
根据亥姆霍兹定理,要确定一个向量场,必须同时确定其散度和旋度,所以 基本方程包括散度方程和旋度方程 。
分界面上的边界条件
唯一确定有限区域中的矢量场需：
基本方程,矢量场在边界上的切向分量或法向分量 。
考虑分界面处 P点 。 电场强度在第一介质和第二种介质中紧靠 P点的切线和法线分量分别是
E1t,E1n,E2t,E2n。
考虑包围 P点的虚线闭路,其轴线与分界面重合 。
l2趋于零,?l1很小 。
tt
tt
EE
lElEldE
21
1211 0
在两种电介质的分界面上，电场强度的切线分量必须连续。
考虑分界面处 P点 。 电位移在第一介质和第二种介质中紧靠 P点的切线和法线分量分别是 D1t,D1n，
D2t,D2n。
界面上的自由电荷面密度为?。 考虑包围 P点的小圆柱体,底面积为?S。
l趋于零 。
nn
nn
Sl
DD
SSDSD
SSdD
12
21
0
lim
222111,EDED
2121
222111
2211
//
c osc os
s i ns i n
tgtg
EE
EE
如果分界面上不存在作面分布的自由电荷,则 D
的法向分量连续 。
D1n＝ D2n
对各向同性的线性介质,介电常数分别是?1和?2，
界面条件可写成
静电场的折射定律
D和 E同方向,,
2211
设第一种介质是导体,则 D1＝ 0,E1＝ 0,导体的电荷只能分布在表面,
E1t＝ E2t＝ 0,D2t＝ 0,E2n＝?/?,D2n＝?
介质中与导体表面相邻之点的电场强度 E和电位移
D都垂直与导体表面，电位移的值为该点的电荷面密度。
例 3.4 图 1图 2都表示平板电容器,设 d1,d2,S1，
S2,?1和?2已给定,对于前者还给定了极板间的电压 U0,对于后者则给定了两极板上的总电荷 。 试分别求其中的电场强度 。
解,（ 1）两种介质中 E不同，但 D相同
E1d1＋ E2d2＝ U0
1E1＝?2E2
1221
01
2
1221
02
1,dd
UE
dd
UE
（ 2）
两种介质中 E相同,但极板上两部分电荷密度不同
,设分别为?1和?2 。
1S1＋?2S2＝ q0
1/?1=?2/?2，
2211
0
2
1
1
1
2211
02
2
2211
01
1
,
SS
q
E
SS
q
SS
q
两种介质中的边界条件可用电位函数表示
两种介质的分界面上，电位应连续，这与 Et1＝ Et2
是等效的。
n
D
n
E nn
,
边界条件 Et1＝ Et2和 D1n＝ D2n可表示为
nn?
2
2
1
1
21
3.6泊松方程和拉普拉斯方程如果介质各项同性
EEED
EDD,,
如果介质均匀
2
E
02
如果场中无电荷分布拉普拉斯方程泊松方程目前能解决的问题：
1,在无界空间内,已知电荷分布在有限区域内
,介质均匀且各项同性,求电场分布
2,对于某些对称情况,应用高斯通量定理直接求得电场分布,E和 D
EdV
r
zyxzyx
V
,')',','(
4
1),,(
在有限空间内：电场分布问题可归结为求得满足规定边界条件的泊松方程和拉普拉斯方程,
即边值问题
a,已知边界上的电位函数,求场中的电位分布
（ 第一类边值问题 ）
b,已知边界上的电位法向导数,求导体电位和场中电位分布 （ 第二类边值问题 ）
c,已知某一部分边界电位和另一部分边界电位法向导数,求场的分布 （ 混合边值问题 ） 。
如果边界是导体,则上述边界条件成为导体的电位和导体表面的电荷密度 。
通常，泊松方程和拉普拉斯方程难于用直接积分的方法解出，需用间接的方法。这些方法是否正确唯一性定理格林第一恒等式
SS
dSnASdAdA
dS
n
d
n
n
S
)(
)(
2
2
格林第一恒等式由散度定理设：,是空间区域内两个任意大标量函数,矢量场A?
证明在每一类边界条件下泊松方程和拉普拉斯方程的解是唯一的。
a,先证拉普拉斯方程的情况 。 第一类边界条件：
已知导体表面电位,且电荷?＝ 0。 在格林第一恒等式中,令?＝?＝?
A
S
dS
n
d
dS
n
d
2
22
)(
0,)(
设拉普拉斯方程有二个解，分别是?和?’，由于方程是线性的，则?’’＝?－?’也满足,
S
dS
n
d '''')''( 2
在边界 S上?＝?’，所以在边界 S上?’’＝ 0。
0)''( 2
d
只有 0)''( 2,?’’＝ C 。
而在边界 S上,?’’ ＝ 0,所以整个区域内?－?’
＝ 0
＝?’，即解是唯一的。
n?
dS
n
q
S
b.第二类边界条件,如果给定边界上导体的表面面密度,,或导体带电量边界上,则同样可证明
0''' nnn
C ''',0''
对于电场来说，解是唯一的。
泊松方程解的唯一性证明：假设方程有二个解，分别是?和?’
0'')'(
',
22
22
’’＝?－?’是拉普拉斯方程的解。同样可证明解的唯一性。
只要知道边界上的电位函数或电位法向导数，闭合面 S内的电位分布就唯一确定。在实际问题中首先确定边界条件是否足够，若是，则解是唯一的。
镜像法由于解的唯一性,采用间接的方法求解泊松方程和拉普拉斯方程 。
