镜像法由于解的唯一性,采用间接的方法求解场的分布 。
假设与一无限大导电平板相距 h远处有一点电荷 q，
周围的介电常数?,求解其中的电场 。
介质中的电场由点电荷和导电平板上感应电荷共同产生。但感应电荷的分布未知。
设想将导电板撤去,使整个空间充满介电常数为?
的介质 。 在与 q成镜像的位置上放置一点电荷－ q。
02
此时对于上半空间，原来的所有条件未变：除点电荷处外,；以无限远为参考点，导电平板与介质的交界面电位为零。
根据唯一性定理，可用此设想的电荷分布来求解实际上半空间中电场的分布。
－ q称为镜像电荷，
代替了导电板上的感应电荷的作用。
下半空间不存在电场，用虚线
EEE
解：设点电荷离地面高度 h,应用镜像法求得地面上 P点的电场强度,其方向指向地面,
数值为,
例 3.5 求空气中一个点电荷 q在地面上一起的感应电荷分部情况。
2/322
0
2
0 )(2
c o s
4
2
xh
qh
r
qE
2/3220 )(2 xh
qhE
q
xh
qhx d x
xh
qhdS
S
0 0
2/1222/322 )(
12
)(2
P点电荷密度为整个地面的感应电荷量为例 3.6
设有一点电荷 q置于相交成直角的两个半无限大导电平板之前,试分析如何求解这一电场 。
解：设想将导电板撤出，使整个空间充满介电常数为?的介质。在如图所示的位置上，放入三个镜像电荷。这样能保证原电场的边界条件不变。
原问题中的电场可看成由此四个电荷产生。注意：
这种方法只能用来求第一象限的电场。 。
n
0
对于夹角为 的两个相连无限大导电平板间置有点电荷的问题,只要 n为整数,在 区域内,可用镜像法解决 。
上述结果还可应用于无限长带电线的情况 。
例 3.7 在两个异号点电荷 q1和 （ － q2） 的电场中,
要获得一个零值的等位球面,这两个点电荷的量值之间和所处位置之间应满足什么关系 。
解：在联接两个点电荷的直线延长线上,以 O作为原点 。 设 q1与原点的距离为 d,（ － q2） 与原点的距离为 b。 P点为零值等位球面上的任意点 （ 半径为 R） 。
0
44 20
2
10
1
r
q
r
q
P
c o s2
c o s2
,
22
22
2
2
2
1
2
2
2
1
2
2
2
2
2
1
2
1
RbbR
RddR
r
r
q
q
r
q
r
q
0c o s)(2)]()([ 212222222221bqdqRdRqbRq
等位面是球面，电位与?无关。即?为任意值时，
上述式成立。
0)(
0)()(
2
1
2
2
222
2
222
1
bqdq
dRqbRq
因而二点电荷必须满足关系,
112
2
q
d
R
q
d
b
q
bdR
如果满足上述两式，两点电荷 q1,q2就能在空间中形成半径为 R的零值等位球面。
其位置对球心是互为反演点。
例 3.8
在点电荷 q的电场中，引入一接地金属球。求达到新的静电平衡状态后球外的电场。
解：设金属球心与点电荷的距离为 d,电位函数满足的条件是：除点电荷所在处外,到处有：,
金属球面上?＝ 0
。
02
设想将金属球撤除，并使空间充满介电常数为?的介质，在离球心 b（＝ R2 /d）处放置电荷 q’（＝－
Rq/d）。
根据例 3.7的结果，原电位函数满足的条件未变。
对金属球外区域中的电场可根据 q和 q’两电荷来计算。
可将镜像电荷 q’理解成金属球面上负值感应电荷的作用。
若金属球不接地，还必须考虑正值感应电荷的作用。可证明球外一点的电场可看成由三个点电荷
q,q’,q’’产生 (q’’=Rq/d位于球心 )
例 3.9
半径为 a的接地导体圆柱外由一条和它平行的线电荷，密度为?l1,与圆柱相距为 d1。求空间电位函数 。
,2 0
0
1 r
rE
l?
解：
（ 1） 线电荷?l1在空间产生场强任取 Q点作为参考点，则线电荷?l1在空间一点电位
1
0
1
1
0
0
1
1 ln22 rCdlrr
l
r
r
l
Q
（ 2）设?l1的镜像电荷?l2在原点与?l1的垂直连线上，
与圆柱轴线距离的 d2＝ a2/d1
圆柱接地，在通过 P2 的直径与圆周的两交点上的电位为零。 代入 d2＝ a2/d1可得
12
20
2
10
1
20
2
10
1
0
1
ln
2
1
ln
2
0
1
ln
2
1
ln
2
ll
ll
ll
C
daad
C
dada
镜像电荷与原像电荷线密度大小相等，型号相反。
空间一点的电位
C
r
r
rCrC
l
ll
1
2
0
1
2
0
2
21
0
1
121
ln
2
ln
2
ln
2
（ 3）如果圆柱不接地，则应在轴线上加＋ pl1，以保持原边界条件（圆柱上净电荷为零，圆柱面为等位面）。
（ 4） 如果圆柱不接地且线电荷密度为－ pl1,此时相当于在 （ 3） 的基础上,再在轴线上加线电荷密度为－ pl1,与 （ 2） 情况相同 。
当 r1/r2＝ k为常数时,?为常数,等位面是偏心圆柱面族 。
图表示线电荷 pl1和其镜像 pl2形成的电力线和等位面图
如果取 k＝ 1的面为零电位面,则
圆柱面是等位面中的一个。在圆柱之外此图描述了带单位长度电荷－ pl1的导电圆柱和线电荷 pl1共同形成的电场。镜像线电荷可看成是导体圆柱上电荷的对外作用中心线，称为 等效电轴 。
同理将图中右侧的某一等位面用导体圆柱代替，
不会影响柱外的电位和电场分布，只要导体圆柱带有单位长度电荷 pl1。
原来线电荷 pl1的位置可看成是该导体圆柱的电轴。
1
2
0
1 ln
2 r
rl
例 3.10
两根无限长平行圆柱，半径均为 a，轴线距离为 D。
求：两圆柱间单位长度上的电容。
解：设加电压后两圆柱分别带电＋ pl和－ pl。应用上题结果，圆柱看成是两电轴（带电＋ pl和－
pl）的等位面。求出电轴位置即得解。
21221,ddDadd
解得,2/1
2
2
2
2/1
2
2
1 )42,)42
aDDdaDDd
对于左边圆柱
1
22
1
22
21
11
2 )(,,
d
d
r
radd
d
a
r
r
1
2
01
2
0
2 ln4ln2 d
d
r
r ll
右边圆柱
2
1
0
1
2
12
1
2 ln
4
,)(
d
d
d
d
r
r l
2
1
0
21 ln2 d
d
U l
两圆柱电压单位长度电容：
2/12
2
2/12
2
0
0
)
4
(
2
)
4
(
2
ln
2
a
DD
a
DDU
C
l
实际计算中电轴和圆柱之间的关系可用下图其中圆柱半径 a,圆心与原点距离 h和电轴与原点距离 b三者满足 b2＝ h2－ a2
以 y轴作为电位零点，带正负电荷的导电圆柱电位分别是
)(
)(
ln
)(
)(
ln21
)(
)(
ln
2
2
)(
)(
ln
2
ln
2
1
0
0
0
0
01
2
0
ahb
ahbU
C
ahb
ahb
U
ahb
ahb
ahb
ahb
r
r
l
l
l
ll
3.9 部分电容
孤立导体的电容
C＝ q/?,?为其相对无穷远处的电位,q为其所带电量 。
两导体之间的电容
C＝ q/U,如两传输线的电容,
)(
)(
ln
0
0
ahb
ahbU
C l
三个或更多个导体系统中,每两个导体间的电压要受到其余导体上电荷的影响 。 计算导体间电容时要引入部分电容的概念 。
静电独立系统如果一个系统,其中电场的分布之和系统内个带电体的形状,尺寸,相互位置及电介质的分布有关,
而和系统外的带电体无关,并且所有 D通量全部从系统内的带电体发出,月全部终止于系统内的带电体上,则称为静电独立系统 。
考虑 0,1,….n 共 n＋ 1个导体组成的静电独立系统
，其所带电荷分别是 q0,q1,…..q n,0号导体是参考导体，则
q1＋ q2＋ q3＋ ….,＋ qn＝ 0
U10=?11q1+?12q2+…,?1nqn
U20=?21q1+?22q2+…,?2nqn
…………………………,
Un0=?n1q1+?n2q2+…,?nnqn
其中?ij（ i?j，）称为互有电位系数,?ij（ i＝ j，）
称为自有电位系数。ij>0.
q1＝?11U10＋?12U20＋ …… +?1nUn0
q2=?21U10＋?22U20＋ …… +?2nUn0
……………………………………,
qn=?n1U10＋?n2U20＋ …… +?nnUn0
对上式求电荷可得其中?ij<0（ i?j，）称为互有感应系数,?ij>0（ i＝
j，）称为自有感应系数。
电位系数?ij＝?ji,感应系数?ij＝?ji 互易性
通过计算可将上述式写成
q1＝ C10U10＋ C12U12＋ …… +C1nU1n
q2 =C21U21＋ C20U20＋ …… +C2nU2n
……………………………………,
qk =Ck1Uk1＋ Ck2Uk2＋ …… +CknUkn
……………………………………,
qn =Cn1Un1＋ Cn2Un2＋ ……+C n0Un0
其中 C10,C20,……C n0是各导体与参考导体间的部分电容，其余的 Cij是任意两导体间的部分电容 。
所有部分电容都为正值,且 Cij＝ Cji。 在 n＋ 1个导体组成的静电独立系统中,共有 n(n+1)/2个部分电容 。
下图是四导电系统（电位给定的三个导体加上大地）的长途和所有部分电容构成对应电容网络。
3.10 静电能量和力
对于一种电荷分布,存在着与之相关联的力系统
。 有与之相关联的能量储存 。
在静态条件下,电荷相互作用引起的位能称为静电能,是在建立电荷系统的过程中外界提供的 。
任意电荷分布下的静电能量可根据在实现这种分布的过程中,由于反抗电荷之间的库仑作用力所需要作的功来计算 。
假设介质是线性的（可用叠加原理），使电荷达到最后分布需要作的功是一定的，与此分布实现的过程无关。
如果带电体已充电到一定程度,使空间一点
(x,y,z)的电位为?’ (x,y,z),在此点放入电荷?q，
需做功?A＝?’ (x,y,z)?q
全部静电能可通过上式积分得到。
设定如此充电方式：任一时刻,使所有带电体的电荷密度按同一比例增长,比值为 m（ ）,
即刚开始时各处电荷密度为 0（ m＝ 0）,最终时刻各处电荷密度达到终值 （ m＝ 1） 。
01 m
任一时刻,电荷密度增量
＝?[m?(x,y,z)]=?(x,y,z)?m
＝?[m? (x,y,z)]=? (x,y,z)?m
总静电能量为
1
0
1
0
),,;('),,(),,;('),,(
V V
e dSzyxmzyxmdVzyxmzyxmW
所有电荷按同一比例增长,若?(x,y,z)是 (x,y,z)点上的最终电位,
’ (m;x,y,z)=m? (x,y,z)
SV
e dSdVW 2
1
2
1
如果系统中只有导体
n
k
kk
n
k S
kkk
S
e qdSdSW
k 11
2
1
2
1
2
1
将静电场能量用场量表示
0,nDD
1
0
2
1
2
1
SV
e dSnDdVDW
V表示导体以外的整个场区,S1是所有导体的表面 。
EDDD,)(
因为
VS
SVSS
SVV
e
dVEDdSnD
dSnDdVEDdSnD
dSnDdVEDdVDW
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
)(
2
1
0
1
1
0
1
0
1
1
0
有其中其中在 S1上,方向相反。 S是从外面包围整个系统的面。可选择无限远处。
如果电荷分布有界,离系统很远处,?随 1/r变,D
随 1/r2变，经过 r处的闭合面积随 r2 而变，在 S面上的积分随 1/r变。
01 nn
和
VVS
e dVEDdVEDdSnDW
2
1
2
1
2
1 0
1?
当 S趋于无限远时，
22
2
1
2
1
2
1' DEDEw
e
ED
静电能以体密度 分布于电场中 。 在各项同性的介质中,DEw e
21'
V
e dVEDW
2
1
n
k
kke qW
12
1?
二式完全等效。
但在点电荷的系统中
n
l lk
l
k
n
k
kke
r
q
qW
1
1
4
'
,
2
1
k是除 qk之外其他个点电荷在 qk处引起的电位。
k求和排除 l＝ k项。即能量中只包括电荷间相互作用能，未包括固有能。
例 3.11
真空中一半径为 R的圆球内,分别有体密度为?的电荷,试求静电能量 。
解：根据高斯通量定理的特殊形式可解出
re
rE
03?
r<R 处,
r>R处,
rer
R
E
2
0
3
3?
静电能
52
0
2
42
0
62
0
2
2
0
22
2
0
15
4
4
9
4
9
[
2
1
R
drr
r
R
drr
r
EW
R
R
e
例 3.12
设真空中有一孤立的带电金属球，半径为 R，所带动电荷为 q，求电场储存的能量 。
R
qqW
e
0
2
82
1
R
q
04
解,（ 1） 金属球的电位
（ 2）
R
q
r
drq
drr
r
q
dVDdVDEW
R
R
e
0
2
2
0
2
22
2
0
2
0
88
4)
4
(
2
1
2
1
3.11 电场力广义坐标和广义力
广义几何坐标是确定系统中各导体形状,尺寸与位置的一组独立几何量,如距离,面积,体积或角度等 。
企图改变某一广义坐标的力,就称为对应于该广义坐标的广义力 。
广义力与广义坐标的关系,广义力乘广义坐标的改变应等于功 。
距离－机械力，角度－转矩，体积－压强，面积－
表面张力。
考虑 n＋ 1个导体组成的系统 。 以 0号导体作为参考导体 。 所有导体中只有 P号导体的一个广义坐标 g
发生变化 。 此时,系统发生的功能过程为,
式中 是与各带电体相连接的电源提供的能量。 dgWe是静电能量的增加,fdg是电场力作的功。
（ 1）设各带电体的电荷维持不变，
dqk＝ 0,dW＝ 0
)( kk dqdW
f dgWddW eg
带电体不与外电源相连时，电场力要做功只有靠减少系统内静电能来实现。
（ 2） 设各带电体的电位维持不变 。
静电能量增量为外源所提供能量之半。
Cq
e
Cq
egeg
k
k
g
W
f
Wdf d gf d gWd
,0
kkCeg dqWd
k
2
1
即 电场力所做机械功等于电场能量的增量 。
C
C
eg
k
k
g
We
f
Wdf d g
实际上带电体并未移动，电场分布也未改变,
上述两种方法求得的力是当时电荷和电位情况下的力，结果应相等。
Cq
e
C kk
g
W
g
We
f
g
CU
CU
gg
W
f
g
CU
g
C
C
q
Cg
q
C
q
gg
W
f
C
e
Cq
e
k
k
2
]
2
1
[
22
)
1
(
2
]
2
[
2
2
2
2
222
C
qCUW
e 22
1 22
以平行板电容器中的电场力为例 。
电场能量
在电场力的作用下，电容 C有增大的趋势。
负号表示力的方向与 d增大的方向相反，即 f的作用有使 d缩短的趋势。
平板电容器电容 C＝?S/d,若取板间距 d为广义坐标，
作用在 S面上的作用力
2
22
22 d
SU
d
CUf
例 3.13
如图所示的平行板电容器中，放一块介电常数?的固体介质。已知极板长 l，宽度 w，板间距 d，极板间电压 U0，。如将介质沿 l方向往外拉，一直到它在极板间剩下长度为 x时止。试计算要把介质块推回到电容器中间去的力。
常电位系统。解：
V
e d
UEdVEW 02,
2
1?
)(
2
1
2
1
2
2
0
02
2
0 xldw
d
Ud w x
d
UW
e
沿 x方向的力
dw
d
U
x
Wf
U
e
x 2
2
0
02
1 ）（＝
常数
3.12 恒定电场的基本方程 边界条件电流与电流密度电流,单位时间穿过面积 S的电荷量
dt
dq
t
qti
t
0
lim)(
电流密度矢量,对于空间中不均匀运动电荷流动用电流密度矢量 描述，其方向为正电荷流动方向或电场方向。大小为,A/m2,?S法线方向与电场强度方向一致。
J?
S
IJ
S?
0lim
电流密度矢量可表为：
iii vJJ
vJ
V为电荷运动速度矢量,?为电荷密度。
在导电媒质中的恒定电流称为传导电流，在非导体区中的电流如真空中的电子或离子运动形成的电流称为运流电流。
空间任一截面通过的电流,
S
SdtrJti ),()(
l
IJ
S
l
面电流和表面电流线密度
用于描述薄层内电流，表面线电流密度 A/m
其中线元 垂直于面电荷运动方向。
vJ S
电流线密度矢量可表为其中?为面电荷密度,是电荷运动速度矢量。 v
vI l
线电流恒定电场中的基本变量
)(rJ
)(rE
恒定电流空间中存在的电场称为恒定电场 。 主要讨论导电媒质中电荷在电场作用下的运动及有关问题 。 其中的两个基本变量为电流密度 和电场强度 。
要在导体中 保持恒定电流,必须维持恒定电场 。
场中带电体的任何部分电荷分布保持恒定 。
根据金属电子论及有关试验,在各项同性的导电媒质中,电流密度与电场强度之间的关系为：
)()( rErJ
欧姆定律的微分形式
为电导率，单位：西门子 /米。
在 dt时间内,电场力对每一电子所做功
移动体积元 dV内的所有电子电场力做功
dtvEedA e
dV dtEJdV dtEveNdtvEeN dVdA )()(
这些能量由于电子与电子及其他质点的碰撞而转换成热能 。 可得功率密度
EJdV dtdAp
/'
焦耳定律的微分形式
电源将其他形式的能量（化学能等）转换成电能
电源内部存在一种可将正负电荷分离开来的非库仑力 F’，和由其产生的等效电场 E’＝ F’/e。 E’的方向由电源负极指向正极。电源电动势
等效电场 E’维持电源两极上的电荷一定，电源正负电极两端电压一定。在电源以外的库仑电场 E由此电荷确定。在电源内部，合场强为 E＋ E’。
l
ldE '?
导电媒质中恒定电场的基本方程
电流连续是电荷守恒的要求。考虑电流空间中任一封闭曲面 S，其体积是?，可任意小,内电荷量 q，
电荷密度?，
S dt
dqSdtrJ ),(
应用高斯公式可得 电流基本方程的积分和微分形式形式,
d
t
trdtrJ
),(),(
),(),( trttrJ
若是恒流场,
0),( trJ
电场强度环量的线积分，设积分路线经过电源。
电源内部合场强 'EE
ldEE
ldEldEldEE
l
lll
)'(
0')'(
设积分路线不经过电源,积分路径上只有库仑场强,
0 ldE
l
在电源以外的区域,恒定电流场的 基本方程 为
0
0
0
0
J
E
SdJ
ldE
l
l
微分形式积分形式
两场量关系 （ 媒质各项同性 ）,
)()( rErJ
无源场表示恒定电场中电流是连续的，既无始端又无终端。
无旋场表明可用标量电位?来描述 。
E?
0)( EEEJ
若导电媒质均匀
0
0
2
2
E
与静电场相比较，恒定电场中的基本方程类似，
只是将基本变量电位移矢量 D换成了电流密度 J。
分界面上的边界条件
从基本方程出发,利用同静电场一样的方法可得
若媒质各项同性
E1sin?1＝ E2sin?1
1E1cos?1＝?2E2cos?2
tg?1/ tg?2=?1/?2
E1t＝ E2t
J1n＝ J2n
若用电位表示
21
2
2
1
1
nn
如果?1>>?2,只要?1?90?,?2很小 。 即电流从良导体进入不良导体内,与表面垂直 。
在被理想介质包围的载流导体表面会出现恒定电荷。
考虑一圆柱导体被理想介质所包围。导体内电流密度 J是均匀的。圆柱侧壁上 En＝ 0，因为 Jn=0。在
S＋ 和 S－ 端面上分别有量值相同的正负电荷，以保持导体中的电场和电流。
仅靠端面上的电荷不能保证导体中的均匀电场，
也不能保证侧壁上 En＝ 0。
必定在导电柱的侧壁有电荷分布，以抵消端面电荷引起的电场径向分量，而在轴向分量上二者相互增强。使导体内得到均匀合成场。
在导体（第一种媒质）与介质（第二种媒质）的分界面，因导体表面有恒定电荷,E2n?0,E1t＝ E2t，
介质中紧挨导体表面处的电场强度与导体表面不垂直。
另外恒定电流场中,仍成立。
DED,
3.13 导电媒质恒定电场与静电场的比拟
将没有电荷分布区域内的静电场与电源以外导电媒质的恒定电场比较可看出,表征两类场性质的基本方程有相似的形式 。
EE,0 EE,0
0 D? 0 J?
ED EJ
02 02
S
D SdDq
S
SdJI
静电场 （?＝ 0处 ） 导电媒质内的恒定电场 （ 电源外 ）
E D? Dq?或
E J
静电场 （?＝ 0处 ）?
导电媒质内的恒定电场
（ 电源外 ）
I?
如果 J和 D分别在导电媒质和介质中处于相同的边界条件，则均匀导电媒质内的恒定电场与均匀介质内的静电场有相同的场图。即 J和 D的分布一致。
如果两种场中媒质分片均匀，其介电常数和电导率分别是?1,?2,?1,?2，当两者边界情况相似且满足?1/?2=?1/?2，两种场的相似关系也成立。
所以在一定的条件下，可将一种场的计算结果推广到另一种场。这种方法称为静电比拟。
例：求如图所示导体的电导,设?=0?=0,?=?
=U0,
解,利用柱坐标，电位?与 z和 r无关。
212
2
2,0
1 CC
r
代入边界条件
0,/ 201 CUC?
)/( 0U
e
r
U
EJ
e
r
U
e
r
E
0
01
1
20
2
1
0 ln)(
R
RhUehdre
r
USdJI R
R?
1
2
0
ln
R
Rh
U
IG
电流
电导
根据静电比拟原理在与此问题有相似边界条件的静电场中，可求得相应的电容 C。
//?GC
假设与一无限大导电平板相距 h远处有一点电荷 q，
周围的介电常数?,求解其中的电场 。
介质中的电场由点电荷和导电平板上感应电荷共同产生。但感应电荷的分布未知。
设想将导电板撤去,使整个空间充满介电常数为?
的介质 。 在与 q成镜像的位置上放置一点电荷－ q。
02
此时对于上半空间，原来的所有条件未变：除点电荷处外,；以无限远为参考点，导电平板与介质的交界面电位为零。
根据唯一性定理，可用此设想的电荷分布来求解实际上半空间中电场的分布。
－ q称为镜像电荷，
代替了导电板上的感应电荷的作用。
下半空间不存在电场，用虚线
EEE
解：设点电荷离地面高度 h,应用镜像法求得地面上 P点的电场强度,其方向指向地面,
数值为,
例 3.5 求空气中一个点电荷 q在地面上一起的感应电荷分部情况。
2/322
0
2
0 )(2
c o s
4
2
xh
qh
r
qE
2/3220 )(2 xh
qhE
q
xh
qhx d x
xh
qhdS
S
0 0
2/1222/322 )(
12
)(2
P点电荷密度为整个地面的感应电荷量为例 3.6
设有一点电荷 q置于相交成直角的两个半无限大导电平板之前,试分析如何求解这一电场 。
解：设想将导电板撤出，使整个空间充满介电常数为?的介质。在如图所示的位置上，放入三个镜像电荷。这样能保证原电场的边界条件不变。
原问题中的电场可看成由此四个电荷产生。注意：
这种方法只能用来求第一象限的电场。 。
n
0
对于夹角为 的两个相连无限大导电平板间置有点电荷的问题,只要 n为整数,在 区域内,可用镜像法解决 。
上述结果还可应用于无限长带电线的情况 。
例 3.7 在两个异号点电荷 q1和 （ － q2） 的电场中,
要获得一个零值的等位球面,这两个点电荷的量值之间和所处位置之间应满足什么关系 。
解：在联接两个点电荷的直线延长线上,以 O作为原点 。 设 q1与原点的距离为 d,（ － q2） 与原点的距离为 b。 P点为零值等位球面上的任意点 （ 半径为 R） 。
0
44 20
2
10
1
r
q
r
q
P
c o s2
c o s2
,
22
22
2
2
2
1
2
2
2
1
2
2
2
2
2
1
2
1
RbbR
RddR
r
r
q
q
r
q
r
q
0c o s)(2)]()([ 212222222221bqdqRdRqbRq
等位面是球面，电位与?无关。即?为任意值时，
上述式成立。
0)(
0)()(
2
1
2
2
222
2
222
1
bqdq
dRqbRq
因而二点电荷必须满足关系,
112
2
q
d
R
q
d
b
q
bdR
如果满足上述两式，两点电荷 q1,q2就能在空间中形成半径为 R的零值等位球面。
其位置对球心是互为反演点。
例 3.8
在点电荷 q的电场中，引入一接地金属球。求达到新的静电平衡状态后球外的电场。
解：设金属球心与点电荷的距离为 d,电位函数满足的条件是：除点电荷所在处外,到处有：,
金属球面上?＝ 0
。
02
设想将金属球撤除，并使空间充满介电常数为?的介质，在离球心 b（＝ R2 /d）处放置电荷 q’（＝－
Rq/d）。
根据例 3.7的结果，原电位函数满足的条件未变。
对金属球外区域中的电场可根据 q和 q’两电荷来计算。
可将镜像电荷 q’理解成金属球面上负值感应电荷的作用。
若金属球不接地，还必须考虑正值感应电荷的作用。可证明球外一点的电场可看成由三个点电荷
q,q’,q’’产生 (q’’=Rq/d位于球心 )
例 3.9
半径为 a的接地导体圆柱外由一条和它平行的线电荷，密度为?l1,与圆柱相距为 d1。求空间电位函数 。
,2 0
0
1 r
rE
l?
解：
（ 1） 线电荷?l1在空间产生场强任取 Q点作为参考点，则线电荷?l1在空间一点电位
1
0
1
1
0
0
1
1 ln22 rCdlrr
l
r
r
l
Q
（ 2）设?l1的镜像电荷?l2在原点与?l1的垂直连线上，
与圆柱轴线距离的 d2＝ a2/d1
圆柱接地，在通过 P2 的直径与圆周的两交点上的电位为零。 代入 d2＝ a2/d1可得
12
20
2
10
1
20
2
10
1
0
1
ln
2
1
ln
2
0
1
ln
2
1
ln
2
ll
ll
ll
C
daad
C
dada
镜像电荷与原像电荷线密度大小相等，型号相反。
空间一点的电位
C
r
r
rCrC
l
ll
1
2
0
1
2
0
2
21
0
1
121
ln
2
ln
2
ln
2
（ 3）如果圆柱不接地，则应在轴线上加＋ pl1，以保持原边界条件（圆柱上净电荷为零，圆柱面为等位面）。
（ 4） 如果圆柱不接地且线电荷密度为－ pl1,此时相当于在 （ 3） 的基础上,再在轴线上加线电荷密度为－ pl1,与 （ 2） 情况相同 。
当 r1/r2＝ k为常数时,?为常数,等位面是偏心圆柱面族 。
图表示线电荷 pl1和其镜像 pl2形成的电力线和等位面图
如果取 k＝ 1的面为零电位面,则
圆柱面是等位面中的一个。在圆柱之外此图描述了带单位长度电荷－ pl1的导电圆柱和线电荷 pl1共同形成的电场。镜像线电荷可看成是导体圆柱上电荷的对外作用中心线，称为 等效电轴 。
同理将图中右侧的某一等位面用导体圆柱代替，
不会影响柱外的电位和电场分布，只要导体圆柱带有单位长度电荷 pl1。
原来线电荷 pl1的位置可看成是该导体圆柱的电轴。
1
2
0
1 ln
2 r
rl
例 3.10
两根无限长平行圆柱，半径均为 a，轴线距离为 D。
求：两圆柱间单位长度上的电容。
解：设加电压后两圆柱分别带电＋ pl和－ pl。应用上题结果，圆柱看成是两电轴（带电＋ pl和－
pl）的等位面。求出电轴位置即得解。
21221,ddDadd
解得,2/1
2
2
2
2/1
2
2
1 )42,)42
aDDdaDDd
对于左边圆柱
1
22
1
22
21
11
2 )(,,
d
d
r
radd
d
a
r
r
1
2
01
2
0
2 ln4ln2 d
d
r
r ll
右边圆柱
2
1
0
1
2
12
1
2 ln
4
,)(
d
d
d
d
r
r l
2
1
0
21 ln2 d
d
U l
两圆柱电压单位长度电容：
2/12
2
2/12
2
0
0
)
4
(
2
)
4
(
2
ln
2
a
DD
a
DDU
C
l
实际计算中电轴和圆柱之间的关系可用下图其中圆柱半径 a,圆心与原点距离 h和电轴与原点距离 b三者满足 b2＝ h2－ a2
以 y轴作为电位零点，带正负电荷的导电圆柱电位分别是
)(
)(
ln
)(
)(
ln21
)(
)(
ln
2
2
)(
)(
ln
2
ln
2
1
0
0
0
0
01
2
0
ahb
ahbU
C
ahb
ahb
U
ahb
ahb
ahb
ahb
r
r
l
l
l
ll
3.9 部分电容
孤立导体的电容
C＝ q/?,?为其相对无穷远处的电位,q为其所带电量 。
两导体之间的电容
C＝ q/U,如两传输线的电容,
)(
)(
ln
0
0
ahb
ahbU
C l
三个或更多个导体系统中,每两个导体间的电压要受到其余导体上电荷的影响 。 计算导体间电容时要引入部分电容的概念 。
静电独立系统如果一个系统,其中电场的分布之和系统内个带电体的形状,尺寸,相互位置及电介质的分布有关,
而和系统外的带电体无关,并且所有 D通量全部从系统内的带电体发出,月全部终止于系统内的带电体上,则称为静电独立系统 。
考虑 0,1,….n 共 n＋ 1个导体组成的静电独立系统
，其所带电荷分别是 q0,q1,…..q n,0号导体是参考导体，则
q1＋ q2＋ q3＋ ….,＋ qn＝ 0
U10=?11q1+?12q2+…,?1nqn
U20=?21q1+?22q2+…,?2nqn
…………………………,
Un0=?n1q1+?n2q2+…,?nnqn
其中?ij（ i?j，）称为互有电位系数,?ij（ i＝ j，）
称为自有电位系数。ij>0.
q1＝?11U10＋?12U20＋ …… +?1nUn0
q2=?21U10＋?22U20＋ …… +?2nUn0
……………………………………,
qn=?n1U10＋?n2U20＋ …… +?nnUn0
对上式求电荷可得其中?ij<0（ i?j，）称为互有感应系数,?ij>0（ i＝
j，）称为自有感应系数。
电位系数?ij＝?ji,感应系数?ij＝?ji 互易性
通过计算可将上述式写成
q1＝ C10U10＋ C12U12＋ …… +C1nU1n
q2 =C21U21＋ C20U20＋ …… +C2nU2n
……………………………………,
qk =Ck1Uk1＋ Ck2Uk2＋ …… +CknUkn
……………………………………,
qn =Cn1Un1＋ Cn2Un2＋ ……+C n0Un0
其中 C10,C20,……C n0是各导体与参考导体间的部分电容，其余的 Cij是任意两导体间的部分电容 。
所有部分电容都为正值,且 Cij＝ Cji。 在 n＋ 1个导体组成的静电独立系统中,共有 n(n+1)/2个部分电容 。
下图是四导电系统（电位给定的三个导体加上大地）的长途和所有部分电容构成对应电容网络。
3.10 静电能量和力
对于一种电荷分布,存在着与之相关联的力系统
。 有与之相关联的能量储存 。
在静态条件下,电荷相互作用引起的位能称为静电能,是在建立电荷系统的过程中外界提供的 。
任意电荷分布下的静电能量可根据在实现这种分布的过程中,由于反抗电荷之间的库仑作用力所需要作的功来计算 。
假设介质是线性的（可用叠加原理），使电荷达到最后分布需要作的功是一定的，与此分布实现的过程无关。
如果带电体已充电到一定程度,使空间一点
(x,y,z)的电位为?’ (x,y,z),在此点放入电荷?q，
需做功?A＝?’ (x,y,z)?q
全部静电能可通过上式积分得到。
设定如此充电方式：任一时刻,使所有带电体的电荷密度按同一比例增长,比值为 m（ ）,
即刚开始时各处电荷密度为 0（ m＝ 0）,最终时刻各处电荷密度达到终值 （ m＝ 1） 。
01 m
任一时刻,电荷密度增量
＝?[m?(x,y,z)]=?(x,y,z)?m
＝?[m? (x,y,z)]=? (x,y,z)?m
总静电能量为
1
0
1
0
),,;('),,(),,;('),,(
V V
e dSzyxmzyxmdVzyxmzyxmW
所有电荷按同一比例增长,若?(x,y,z)是 (x,y,z)点上的最终电位,
’ (m;x,y,z)=m? (x,y,z)
SV
e dSdVW 2
1
2
1
如果系统中只有导体
n
k
kk
n
k S
kkk
S
e qdSdSW
k 11
2
1
2
1
2
1
将静电场能量用场量表示
0,nDD
1
0
2
1
2
1
SV
e dSnDdVDW
V表示导体以外的整个场区,S1是所有导体的表面 。
EDDD,)(
因为
VS
SVSS
SVV
e
dVEDdSnD
dSnDdVEDdSnD
dSnDdVEDdVDW
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
)(
2
1
0
1
1
0
1
0
1
1
0
有其中其中在 S1上,方向相反。 S是从外面包围整个系统的面。可选择无限远处。
如果电荷分布有界,离系统很远处,?随 1/r变,D
随 1/r2变，经过 r处的闭合面积随 r2 而变，在 S面上的积分随 1/r变。
01 nn
和
VVS
e dVEDdVEDdSnDW
2
1
2
1
2
1 0
1?
当 S趋于无限远时，
22
2
1
2
1
2
1' DEDEw
e
ED
静电能以体密度 分布于电场中 。 在各项同性的介质中,DEw e
21'
V
e dVEDW
2
1
n
k
kke qW
12
1?
二式完全等效。
但在点电荷的系统中
n
l lk
l
k
n
k
kke
r
q
qW
1
1
4
'
,
2
1
k是除 qk之外其他个点电荷在 qk处引起的电位。
k求和排除 l＝ k项。即能量中只包括电荷间相互作用能，未包括固有能。
例 3.11
真空中一半径为 R的圆球内,分别有体密度为?的电荷,试求静电能量 。
解：根据高斯通量定理的特殊形式可解出
re
rE
03?
r<R 处,
r>R处,
rer
R
E
2
0
3
3?
静电能
52
0
2
42
0
62
0
2
2
0
22
2
0
15
4
4
9
4
9
[
2
1
R
drr
r
R
drr
r
EW
R
R
e
例 3.12
设真空中有一孤立的带电金属球，半径为 R，所带动电荷为 q，求电场储存的能量 。
R
qqW
e
0
2
82
1
R
q
04
解,（ 1） 金属球的电位
（ 2）
R
q
r
drq
drr
r
q
dVDdVDEW
R
R
e
0
2
2
0
2
22
2
0
2
0
88
4)
4
(
2
1
2
1
3.11 电场力广义坐标和广义力
广义几何坐标是确定系统中各导体形状,尺寸与位置的一组独立几何量,如距离,面积,体积或角度等 。
企图改变某一广义坐标的力,就称为对应于该广义坐标的广义力 。
广义力与广义坐标的关系,广义力乘广义坐标的改变应等于功 。
距离－机械力，角度－转矩，体积－压强，面积－
表面张力。
考虑 n＋ 1个导体组成的系统 。 以 0号导体作为参考导体 。 所有导体中只有 P号导体的一个广义坐标 g
发生变化 。 此时,系统发生的功能过程为,
式中 是与各带电体相连接的电源提供的能量。 dgWe是静电能量的增加,fdg是电场力作的功。
（ 1）设各带电体的电荷维持不变，
dqk＝ 0,dW＝ 0
)( kk dqdW
f dgWddW eg
带电体不与外电源相连时，电场力要做功只有靠减少系统内静电能来实现。
（ 2） 设各带电体的电位维持不变 。
静电能量增量为外源所提供能量之半。
Cq
e
Cq
egeg
k
k
g
W
f
Wdf d gf d gWd
,0
kkCeg dqWd
k
2
1
即 电场力所做机械功等于电场能量的增量 。
C
C
eg
k
k
g
We
f
Wdf d g
实际上带电体并未移动，电场分布也未改变,
上述两种方法求得的力是当时电荷和电位情况下的力，结果应相等。
Cq
e
C kk
g
W
g
We
f
g
CU
CU
gg
W
f
g
CU
g
C
C
q
Cg
q
C
q
gg
W
f
C
e
Cq
e
k
k
2
]
2
1
[
22
)
1
(
2
]
2
[
2
2
2
2
222
C
qCUW
e 22
1 22
以平行板电容器中的电场力为例 。
电场能量
在电场力的作用下，电容 C有增大的趋势。
负号表示力的方向与 d增大的方向相反，即 f的作用有使 d缩短的趋势。
平板电容器电容 C＝?S/d,若取板间距 d为广义坐标，
作用在 S面上的作用力
2
22
22 d
SU
d
CUf
例 3.13
如图所示的平行板电容器中，放一块介电常数?的固体介质。已知极板长 l，宽度 w，板间距 d，极板间电压 U0，。如将介质沿 l方向往外拉，一直到它在极板间剩下长度为 x时止。试计算要把介质块推回到电容器中间去的力。
常电位系统。解：
V
e d
UEdVEW 02,
2
1?
)(
2
1
2
1
2
2
0
02
2
0 xldw
d
Ud w x
d
UW
e
沿 x方向的力
dw
d
U
x
Wf
U
e
x 2
2
0
02
1 ）（＝
常数
3.12 恒定电场的基本方程 边界条件电流与电流密度电流,单位时间穿过面积 S的电荷量
dt
dq
t
qti
t
0
lim)(
电流密度矢量,对于空间中不均匀运动电荷流动用电流密度矢量 描述，其方向为正电荷流动方向或电场方向。大小为,A/m2,?S法线方向与电场强度方向一致。
J?
S
IJ
S?
0lim
电流密度矢量可表为：
iii vJJ
vJ
V为电荷运动速度矢量,?为电荷密度。
在导电媒质中的恒定电流称为传导电流，在非导体区中的电流如真空中的电子或离子运动形成的电流称为运流电流。
空间任一截面通过的电流,
S
SdtrJti ),()(
l
IJ
S
l
面电流和表面电流线密度
用于描述薄层内电流，表面线电流密度 A/m
其中线元 垂直于面电荷运动方向。
vJ S
电流线密度矢量可表为其中?为面电荷密度,是电荷运动速度矢量。 v
vI l
线电流恒定电场中的基本变量
)(rJ
)(rE
恒定电流空间中存在的电场称为恒定电场 。 主要讨论导电媒质中电荷在电场作用下的运动及有关问题 。 其中的两个基本变量为电流密度 和电场强度 。
要在导体中 保持恒定电流,必须维持恒定电场 。
场中带电体的任何部分电荷分布保持恒定 。
根据金属电子论及有关试验,在各项同性的导电媒质中,电流密度与电场强度之间的关系为：
)()( rErJ
欧姆定律的微分形式
为电导率，单位：西门子 /米。
在 dt时间内,电场力对每一电子所做功
移动体积元 dV内的所有电子电场力做功
dtvEedA e
dV dtEJdV dtEveNdtvEeN dVdA )()(
这些能量由于电子与电子及其他质点的碰撞而转换成热能 。 可得功率密度
EJdV dtdAp
/'
焦耳定律的微分形式
电源将其他形式的能量（化学能等）转换成电能
电源内部存在一种可将正负电荷分离开来的非库仑力 F’，和由其产生的等效电场 E’＝ F’/e。 E’的方向由电源负极指向正极。电源电动势
等效电场 E’维持电源两极上的电荷一定，电源正负电极两端电压一定。在电源以外的库仑电场 E由此电荷确定。在电源内部，合场强为 E＋ E’。
l
ldE '?
导电媒质中恒定电场的基本方程
电流连续是电荷守恒的要求。考虑电流空间中任一封闭曲面 S，其体积是?，可任意小,内电荷量 q，
电荷密度?，
S dt
dqSdtrJ ),(
应用高斯公式可得 电流基本方程的积分和微分形式形式,
d
t
trdtrJ
),(),(
),(),( trttrJ
若是恒流场,
0),( trJ
电场强度环量的线积分，设积分路线经过电源。
电源内部合场强 'EE
ldEE
ldEldEldEE
l
lll
)'(
0')'(
设积分路线不经过电源,积分路径上只有库仑场强,
0 ldE
l
在电源以外的区域,恒定电流场的 基本方程 为
0
0
0
0
J
E
SdJ
ldE
l
l
微分形式积分形式
两场量关系 （ 媒质各项同性 ）,
)()( rErJ
无源场表示恒定电场中电流是连续的，既无始端又无终端。
无旋场表明可用标量电位?来描述 。
E?
0)( EEEJ
若导电媒质均匀
0
0
2
2
E
与静电场相比较，恒定电场中的基本方程类似，
只是将基本变量电位移矢量 D换成了电流密度 J。
分界面上的边界条件
从基本方程出发,利用同静电场一样的方法可得
若媒质各项同性
E1sin?1＝ E2sin?1
1E1cos?1＝?2E2cos?2
tg?1/ tg?2=?1/?2
E1t＝ E2t
J1n＝ J2n
若用电位表示
21
2
2
1
1
nn
如果?1>>?2,只要?1?90?,?2很小 。 即电流从良导体进入不良导体内,与表面垂直 。
在被理想介质包围的载流导体表面会出现恒定电荷。
考虑一圆柱导体被理想介质所包围。导体内电流密度 J是均匀的。圆柱侧壁上 En＝ 0，因为 Jn=0。在
S＋ 和 S－ 端面上分别有量值相同的正负电荷，以保持导体中的电场和电流。
仅靠端面上的电荷不能保证导体中的均匀电场，
也不能保证侧壁上 En＝ 0。
必定在导电柱的侧壁有电荷分布，以抵消端面电荷引起的电场径向分量，而在轴向分量上二者相互增强。使导体内得到均匀合成场。
在导体（第一种媒质）与介质（第二种媒质）的分界面，因导体表面有恒定电荷,E2n?0,E1t＝ E2t，
介质中紧挨导体表面处的电场强度与导体表面不垂直。
另外恒定电流场中,仍成立。
DED,
3.13 导电媒质恒定电场与静电场的比拟
将没有电荷分布区域内的静电场与电源以外导电媒质的恒定电场比较可看出,表征两类场性质的基本方程有相似的形式 。
EE,0 EE,0
0 D? 0 J?
ED EJ
02 02
S
D SdDq
S
SdJI
静电场 （?＝ 0处 ） 导电媒质内的恒定电场 （ 电源外 ）
E D? Dq?或
E J
静电场 （?＝ 0处 ）?
导电媒质内的恒定电场
（ 电源外 ）
I?
如果 J和 D分别在导电媒质和介质中处于相同的边界条件，则均匀导电媒质内的恒定电场与均匀介质内的静电场有相同的场图。即 J和 D的分布一致。
如果两种场中媒质分片均匀，其介电常数和电导率分别是?1,?2,?1,?2，当两者边界情况相似且满足?1/?2=?1/?2，两种场的相似关系也成立。
所以在一定的条件下，可将一种场的计算结果推广到另一种场。这种方法称为静电比拟。
例：求如图所示导体的电导,设?=0?=0,?=?
=U0,
解,利用柱坐标，电位?与 z和 r无关。
212
2
2,0
1 CC
r
代入边界条件
0,/ 201 CUC?
)/( 0U
e
r
U
EJ
e
r
U
e
r
E
0
01
1
20
2
1
0 ln)(
R
RhUehdre
r
USdJI R
R?
1
2
0
ln
R
Rh
U
IG
电流
电导
根据静电比拟原理在与此问题有相似边界条件的静电场中，可求得相应的电容 C。
//?GC
