1.5 标量场的方向导数和梯度标量场 u(M)在 M0处沿某一方向对距离的变化率定义：设 M0为数量场 u＝ u（ M）中的一点，
从点 M0出发引一条射线 l，在射线 l上点 M0的邻近取一动点 M，记,若当MM
0 0MM?
时比式
MM
MuMuu
0
0 )()(
极限存在，则称它为函数 u（ M）在点 M0处沿 l方向的方向导数，记作
MM
MuMu
Ml
u
MM 0
0 )()(l i m
00
直角坐标中方向导数的计算设 u(x,y,z)在点 M（ x,y,z）处可微,cos?，
cos?,cos?为 l方向上的方向余 弦,l0为 l方向的单位矢量，则函数 u在 M0处的方向导数必定存在，且可表为：
0c o sc o sc o s lG
z
u
y
u
x
u
l
u
其中
zyx ex
ue
y
ue
x
uG
在标量场 u（ M）中一点 M处，存在矢量,在方向上,M点的方向导数 取得最大值 。G
G?
l
u
G?
G?
定义：若数量场 u（ M）中的一点 M处存在这样一个矢量,其方向为函数 u(M)在 M点处变化率最大的方向，其模也正好是这个最大变化率的数值，
则称,矢量 为函数 u（ M）在点 M处的梯度，
记作,
G?
ue
x
u
e
y
u
e
x
u
Gg r a d u zyx
方向导数计算公式的推导：函数 u在 M0可微，
zyxz
z
uy
y
ux
x
uu
321
其中当?x,?y,?z趋于 0时,?1,?2,?3极限为 0。
zyxz
z
uy
y
ux
x
uu
321
0 u
令 ρ趋于 0，即可得到方向导数计算公式。
梯度的重要性质
0 EE
若有矢量场,其旋度处处为 0，则如电场强度,
)(rA
)()( rurA
uufuf
vuuv
vv
u
uvvuuv
vuvu
uccu
c
)(')(
)(
1
)(
,)(
)(
,)(
,0
2
例 1.4
z
e
y
e
x
e zyx
1.6 关于 Hamilton算子
a．矢性微分算子，有矢性和微分双重性质。
b．作用在数性函数或矢性函数上仅有三种方式
AAu,,
分别对应标量场的梯度，矢量场的散度和旋度。
C．定义算子
z
A
y
A
x
A
z
e
y
e
x
eeAeAeAA
zyx
zyxzzyyxx
)()(
1.7 亥姆霍兹定理矢量场有两种不同性质的源：
1．散度源，标量，产生穿过曲面的通量，空间一点源的强度为矢量场在该点的散度
2．旋度源，矢量，产生的矢量场有涡旋的性质，空间一点源的强度与矢量场在该点的旋度成正比。
任一矢量场可能由上述二者之一产生，或由二者共同产生。
一般的向量场可表示成一个无源场和一个无旋场之和。
)()()( rFrFrF Sl
其中,为无旋场分量，其散度不为零，设为 。
为无散度分量，其旋度不为零，设为
。 否则向量场 处处为零。
)(rFl
)(r
)(rFS
)(rJ )(rF
亥姆霍兹定理：
若矢量场 F在无限空间中处处单值,且其导数连续有界,源分布在有限区域中,则当矢量场的散度及旋度给定后,该矢量可表示为
'
'
)'('
4
1
)(
'
'
)'('
4
1
)(
)()()(
dV
rr
rF
rA
dV
rr
rF
r
rArrF
V
V
当发散源和涡旋源 的空间分布确定后，矢量场就唯一确定了。即任一矢量场可通过其散度和旋度而得到完全的描述。
矢量场唯一性定理对于有界空间区域中的矢量场，唯一确定的条件：
在空间某一区域 V中的矢量场，当其在该区域 V中的散度，旋度以及边界 S上的切向分量或法向分量给定后，则该区域中的矢量场被唯一地确定。
因而研究矢量场总是从场的散度和旋度两方面入手，或从闭合面的通量和闭合回路的环流入手，得到矢量场的基本方程，根据边界条件解决问题。
从点 M0出发引一条射线 l，在射线 l上点 M0的邻近取一动点 M，记,若当MM
0 0MM?
时比式
MM
MuMuu
0
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极限存在，则称它为函数 u（ M）在点 M0处沿 l方向的方向导数，记作
MM
MuMu
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00
直角坐标中方向导数的计算设 u(x,y,z)在点 M（ x,y,z）处可微,cos?，
cos?,cos?为 l方向上的方向余 弦,l0为 l方向的单位矢量，则函数 u在 M0处的方向导数必定存在，且可表为：
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z
u
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在标量场 u（ M）中一点 M处，存在矢量,在方向上,M点的方向导数 取得最大值 。G
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定义：若数量场 u（ M）中的一点 M处存在这样一个矢量,其方向为函数 u(M)在 M点处变化率最大的方向，其模也正好是这个最大变化率的数值，
则称,矢量 为函数 u（ M）在点 M处的梯度，
记作,
G?
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x
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方向导数计算公式的推导：函数 u在 M0可微，
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其中当?x,?y,?z趋于 0时,?1,?2,?3极限为 0。
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321
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令 ρ趋于 0，即可得到方向导数计算公式。
梯度的重要性质
0 EE
若有矢量场,其旋度处处为 0，则如电场强度,
)(rA
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例 1.4
z
e
y
e
x
e zyx
1.6 关于 Hamilton算子
a．矢性微分算子，有矢性和微分双重性质。
b．作用在数性函数或矢性函数上仅有三种方式
AAu,,
分别对应标量场的梯度，矢量场的散度和旋度。
C．定义算子
z
A
y
A
x
A
z
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y
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zyxzzyyxx
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1.7 亥姆霍兹定理矢量场有两种不同性质的源：
1．散度源，标量，产生穿过曲面的通量，空间一点源的强度为矢量场在该点的散度
2．旋度源，矢量，产生的矢量场有涡旋的性质，空间一点源的强度与矢量场在该点的旋度成正比。
任一矢量场可能由上述二者之一产生，或由二者共同产生。
一般的向量场可表示成一个无源场和一个无旋场之和。
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其中,为无旋场分量，其散度不为零，设为 。
为无散度分量，其旋度不为零，设为
。 否则向量场 处处为零。
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亥姆霍兹定理：
若矢量场 F在无限空间中处处单值,且其导数连续有界,源分布在有限区域中,则当矢量场的散度及旋度给定后,该矢量可表示为
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V
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当发散源和涡旋源 的空间分布确定后，矢量场就唯一确定了。即任一矢量场可通过其散度和旋度而得到完全的描述。
矢量场唯一性定理对于有界空间区域中的矢量场，唯一确定的条件：
在空间某一区域 V中的矢量场，当其在该区域 V中的散度，旋度以及边界 S上的切向分量或法向分量给定后，则该区域中的矢量场被唯一地确定。
因而研究矢量场总是从场的散度和旋度两方面入手，或从闭合面的通量和闭合回路的环流入手，得到矢量场的基本方程，根据边界条件解决问题。
