)()(
)(
)(
21
sf
n
sf
sf
n
sf
nn?
2
2
1
121,
第四章 静态场边值问题的解法
静电场和恒定电场的分析归结为求解相应的泊松方程或拉普拉斯方程 。 给定边值的泊松方程和拉普拉斯方程有唯一点解 。 三类给定边值：
当媒质不均匀时，作为定解条件还需加入辅助边界条件
如果场域扩展为无界区域,还需提出无限远处的边界条件 。 微分方程与边界条件一起构成边值问题 。
4.1分离变量法
4.1.1直角坐标系中的分离变量法
定解问题一长直接地金属槽截面如图。其侧壁与底面的电位均为零，而顶盖电位?4＝?0。求槽内电位分布。
解：设金属槽的长度远大于截面尺度，忽略边缘效应，
将问题简化为二维场来分析。
问题转化为如下定解问题
),0(
)0,(,0
)0,0(,0
)0,0(,0
)0),0(,0
0
2
2
2
2
ayax
ayax
yax
ayx
ayax
yx
令?(x,y)=X(x)Y(y)，代入方程，得
,
11
,0''''
2
2
2
2
dy
Yd
Ydx
Xd
X
XYYX
只有当左右两边都是常数时,上式才成立,令此常数为－?。
将偏微分方程转化为两个常微分方程。
0
,0
2
2
2
2
Y
dy
Yd
X
dx
Xd
0)(,0)()(
)0,(,0
.0)0()(,0)()0(
)0,0(,0
aXyYaX
ayax
XyYyYX
ayx
同理，
不恒为零，
边界条件转化为：
0)()0(
,0
2
2
aXX
X
dx
Xd
1,需先解下列边值问题 。
是待定常数，要解出使方程有非零解的?值和此非零解 X(x)。
该边值问题称为常微分方程在此边值条件下的固有值（特征值）问题。
称为该问题的固有值（特征值）,X(x)称为该问题的固有（特征）函数。
分三种情况讨论 。
xx BeAexX)(
（ 1） 设?<0,常微分方程的通解为
0
0
aa BeAe
BA
根据边界条件
A＝ B＝ 0,X(x)无非零解 。
不能小于零 。
代入边界条件同样得：
A＝ B＝ 0。 X(x)无非零解。
不能等于零。
BAxxX)(
（ 2） 设?＝ 0,常微分方程的通解为
xBxAxX s i nc o s)(
（ 3） 设?>0,令?＝?2,常微分方程的通解为代入边界条件
A＝ 0,Bsin?a＝ 0,B不能为零，否则只有零解。
sin?a＝ 0，
2
22
),.....,...2,1(,,
a
n
n
a
n
na
,.,,,,,)2,1(,)(
),.,,,,,,,,2,1(,
2
22
n
a
n
S inCxX
n
a
n
nn
n
所以固有值和固有函数分别为
2,再解 Y（ y）
y
a
n
n
y
a
n
nn
eEeDyY
Y
a
n
dy
Yd
'')(
0
2
22
2
2
3．满足方程和部分边界条件的一组特解是：
,.,.,,)2,1(,s i n)()()(),( nxaneEeDyYxXyx ya
n
n
yan
nnnn
这组解满足方程和部分边界条件，但不一定满足所有边界条件。
由于方程是线性的，可应用叠加原理，
将所有特解叠加
11
,.,,,,,)2,1(,s i n)(),(),(
n
yan
n
yan
n
n
n nxa
neEeDyxyx
只要无穷级数收敛，且能关于 x和 y逐项微分两次，
则?（ x,y）与?n(x,y)一样满足方程和部分边界条件。
适当选择 Dn和 En,可使?（ x,y） 满足方程和所有边界条件 。
1
0
1
11
s i n)(),(),(
,0s i n)()0,()0,(
n
a
a
n
n
a
a
n
n
n
n
n
nn
n
n
x
a
n
eEeDaxax
x
a
n
EDxx
在上两式两边分别乘 并作积分 。
a
xm?sin
)1( c o s
2
s i n
2
s i ns i ns i n)(
0
,0s i ns i n)(
0
0
0
0
1
0
0
0
1
m
m
x d x
a
m
a
eEeD
x d x
a
m
x d x
a
m
x
a
n
eEeD
ED
x d x
a
m
x
a
n
ED
a
a
a
m
m
a
a
m
m
a
n
a
a
a
n
n
a
a
n
n
mm
a
n
nn
)1( c o s0?
n
s h nn
E
ED
n
nn
无穷级数的系数应满足
x
a
n
y
a
n
sh
kshk
x
a
n
y
a
n
shn
s h nn
x
a
n
y
a
n
shEx
a
n
eeE
x
a
n
eEeDyxyx
k
n
n
n
n
y
a
n
y
a
n
n
n
y
a
n
n
y
a
n
n
n
n
s i n
)12()12(
14
s i n)1( c os
2
s i n2s i n)(
s i n)(),(),(
0
0
1
0
11
11
无穷级数解满足原定解条件。通常取 4项就能得到足够精确的结果。
分离变量法的主要步骤：
（ 1） 分离变量 。 将偏微分方程的定解问题化为常微分方程的定解问题 （ 线性齐次偏微分方程 ） 。
（ 2） 确定固有值和固有函数 。 当边界条件是齐次的时,利用其求固有值,并求出满足零边界条件的非零解 。
（ 3） 求解其他常微分方程 。 得到满足齐次边界条件的偏微分方程的特解 Un（ x,y） 。
（ 4）将所有 Un（ x,y）叠加，利用其中的常数使其满足偏微分方程其余的定解条件。
教材例 4.1.1
求如图长方体积中的电位函数。边界条件为除 z＝ c
面电位不为零外，其他各表面的电位都为零。 Z＝
c表面上给定的电位函数为 U（ x,y）。
解：
02
2
2
2
2
2
zyx
分离变量，令
(x,y,z)=X(x)Y(y)Z(z)
0''''''
Z
Z
Y
Y
X
X
0
0''
0''
0''
321
3
2
1
ZZ
YY
XX
有二个独立的本征值 。 边界条件可分解为：
X(0)=X(a)=0
Y(0)=Y(b)=0
利用齐次边界条件求出本征值和本征函数。
0)()0(
0''
0)()0(
0''
2
1
bYY
YY
aXX
XX
b
ym
ByY
b
m
k
a
xn
AxX
a
n
k
mmymm
nnxnn
s i n)(,)(
s i n)(,)(
22
2
22
1
与上述方法一样,可求出其中 m＝ 1,2,…… 。 n=1,2,……… 。
z
b
m
a
n
shEzZ
DCDCZ
eDeCzZ
b
m
a
n
kk
Z
ZZ
mnmn
mnmnmnmnmn
z
b
m
a
n
mn
z
b
m
a
n
mnmn
ymxnmnmn
22
,,
,,,,,
)()(
,
)()(
,,
2222
21,3
3
)()()(
,0)0(
)(
])()[()()(
0)0(
0''
2222
满足部分齐次边界条件的偏微分方程的一组特解为
)()()(),,(,,zZyYxXzyx mnmnmn
为使解满足所有的边界条件，将所有特解叠加 。
z
b
m
a
n
sh
b
ym
a
xn
F
zZyYxXzyxzyx
mn
mn
mn
mnmn
mn
mn
22
1,
,
,
,
,
,
)()(s i ns i n
)()()(),,(),,(
),()()(s i ns i n),,( 22
1,
,yxUcb
m
a
nsh
b
ym
a
xnFcyx
mn
mn
从已知边界条件
根据线性齐次方程的叠加原理，通过调整系数可使?(x,y,z)满足所有边界条件。
将 U（ x,y）展开成双重傅立叶级数
a b
mn
mn
mn
d x d y
b
ym
a
xn
yxU
ab
T
b
ym
a
xn
TyxU
0 0
,
1,
,
s i ns i n),(
4
s i ns i n),(
比较系数可得
mnmn Tcb
m
a
nshF
,
22
,)()(
原定解问题的解是
a b
mn
mn
mn
d x d y
b
ym
a
xn
yxU
c
b
m
a
n
a b s h
F
z
b
m
a
n
sh
b
ym
a
xn
Fzyx
0 022
,
22
1,
,
s i ns i n),(
)()(
4
)()(s i ns i n),,(
4.1.2园域内的二维场问题设在一圆形场域 D内电位函数?满足拉普拉斯方程
,场域边界 L上给定为第一类边值,求此二维场中位函数?的分布 。
解：选取柱坐标,待求的边值问题为
)(
0
1
)(
1
2
2
2
sf
rr
r
rr
区域内边界 L上
满足自然周期条件：
（ r,?） =?（ r,?+2?）
'''''
0''
1
'
1
''
2
2
R
rRRr
R
r
R
r
R
令?（ r,?） ＝ R(r)?(?)代入方程
偏微分方程边值问题转化为常微分方程边值问题。
)2()(
0''
固有值问题
0'''2 RrRRr?
eCeC
21)(
1,先解固有值问题
（ 1）当?<0，
无法满足自然周期条件,C1=C2=0
21)( DD
')( 0a
(2) 当?=0,代入自然周期条件,
D1=0,D2＝常数＝ a0’,
s i n'c os' ba
(3).当?>0,令?＝?2，
a’和 b’中至少有一不为零。
若 a’不为零, c o s)2(c o n
s in)2(s in若 b’不为零,
都有?2?＝ 2n?，
nbna
nn
n
nnn
s i nc os)(
.),...,...,.2,1,0(,
,
2
即：
固有值固有函数
0'''2 RrRRr?
02
2
R
dt
Rd?
2,再解 R(r)
欧拉方程，可令 r=et，代入方程得
rdctdcR ln'''' 00000当?＝ 0，
当?＝ n2,n＝ 1,2,……,
n
n
n
n
nt
n
nt
nn rdrcedecrR
)(
3．得到一组满足方程和自然周期条件的特解。
)()(),( nnn rRr
其中
,.,,,,,,2,1),)(s i nc o s(),(
ln)ln''('),( 00000000
nrdrcnbnar
rdcrdcaRr
n
n
n
nnnn
满足方程的一般解可表示为
1
00 ))(s i nc o s(ln),(),(
n
n
n
n
nnnn rdrcnbnardcrr
再利用边界条件?=f(s)及其他自然边界条件，即可定出其中的各常数。
选定坐标系 。通常给定的边界面应与相应当坐标面相重合，以得到问题的最简洁定解条件。
例 4.2.1
一横截面半径为 r0，介电常数为?1的长直介质圆柱体放置在均匀的外电场中（场强的数值为 E0，它的方向与介质圆柱的轴线垂直），均匀场中介质的介电常数为?2，求圆柱体放入后，场中的电位和电场分布。
解：
当长圆柱轴向长度远大于横截面半径时，其中间段场的分析可简化为二维场问题。采用柱坐标，柱内和柱外电位函数?1和?2分别满足泊松方程。
02
2
2
2
2
2
2
02
1
2
2
1
1
2
,0
1
)(
1
0,0
1
)(
1
rr
rr
r
rr
rr
rr
r
rr
由于无限远电位不是零，可令原点电位为零。
1＝ 0,(r=0),
外电场可用电位函数表示：
0＝－ E0x=-E0rcos?
在无限远处介质圆柱体产生的影响应当消失 。
2＝－ E0rcos?（ r）
0
2
2
0
1
121,00
rrrr
rrrr rr
边界处
利用上述解题方法,得柱内外电位的通解分别是
1
2222202022
1
1111101011
))(s i nc o s(ln),(),(
))(s i nc o s(ln),(),(
n
n
n
n
nnnn
n
n
n
n
nnnn
rdrcnbnardcrr
rdrcnbnardcrr
利用边界条件可定出各系数 。
以下利用此题的具体特征解题 。
（ 1） 场的分布对称于 x轴,
na nn c o s)(
0)2(c o s)2( na nn
(r,?)=?(r,-?),
(2)因场的对称性,y轴是等位线
(r,/2)=0
n=1,3,5……,为奇数，代入 na
nn c o s)(
可得满足 0)(
n
n2
时，
n只能取 1。否则，可导致另外与 x轴斜交的零等位线。
所以：
r
D
CrrR
a
)(
c o s')(
圆柱内外电位?1(r,?)和?2(r,?)的一般形式为
)(,c o s)()()(),(
)(,c o s)()()(),(
0
2
22
0
1
11
rr
r
b
rarRr
rr
r
b
rarRr
1＝ 0,(r=0),得 b1＝ 0。
c o sc o s)()c o s( 2220 l i ml i ml i m rarbrarE
rrr
2＝－ E0rcos?（ r）
得 a2＝－ E0。
因而有
)(,c o s)(),(
)(,c o s)(),(
0
2
02
011
rr
r
b
rEr
rrrar
从
0
2
2
0
1
121,00
rrrr
rrrr rr
可求出
)(,c os)1(),(
)(,
2
c os
2
),(
2
002
2
0
21
21
2
00
21
2
0
21
2
1
0
2
0
21
21
2
0
21
2
1
rrrE
r
r
r
rrxErEr
Erb
Ea
圆柱内电场强度
xx eEexE
0
21
21
11
2
圆柱内场强均匀分布，且与外场方向一致。
4.1.2球坐标中的分离变量法
如果求解球空间或场有球面边界,应用球坐标更方便 。 球坐标中的拉普拉斯方程为
0)( s i n
s i n
1
)(
1
0
s i n
1
)( s i n
s i n
1
)(
1
2
2
22
2
2
rr
r
rr
rrr
r
rr
无关，则如果问题与
)( s i n
s i n
1
)(
1
0)( s i n
s i n
)(
)()(),
2
2
2
2
2
d
d
d
d
dr
dR
r
dr
d
R
R
r
d
d
d
d
r
R
dr
dR
r
dr
d
r
rRr
方程两边同乘
（令
令?＝ n(n+1),（任一实数总可写成这种形式）。
)1(
2
2
22
)(
(,0)1(2),1()(
1
n
n
n
nn
rBrArR
Rnn
dr
dR
r
dr
Rd
rnn
dr
dR
r
dr
d
R
通解为：
欧拉方程）
（勒让德方程）
写成令
,0)1(2)1(
),()(
s i n
c os
0)1()( s i n
s i n
1
)1()( s i n
s i n
1
2
2
2
Pnn
dx
dP
x
dx
Pd
x
xP
dx
d
d
dx
dx
d
d
d
x
nn
d
d
d
d
nn
d
d
d
d
)()(
]11[
),11(0
nn
xPn
n
x
阶的勒让德多项式它是上有一个有界的解。，－勒让德方程在闭区间为整数时，有关理论证明，只有当
，如果研究的区域：
0
)1(
00
)( c o s)(
)()(),),
n
n
n
n
n
n
n
nn
n
n
PrBrA
rRrr
（（
即在球坐标下,电位?的解为只有奇次项）－＝（为奇数时当只有偶次项，＝为偶数时当
2/1Mm
)(2/Mm
)!2()!(!2
)!22(
)1()(
2
0
n
xPn
x
mnmnm
mn
xP
n
mn
n
M
m
m
n
其中
n
n
n
nn xdx
d
n
xP )1(
!2
1)( 2
Pn(x)可用罗德利克公式表示
勒让德多项式具有正交性 。
1
1
1
1
12
2
)()(
0)()(
m
dxxPxP
dxxPxP
mm
nm
1
1
0
.....)2,1,0(,)()(
2
12
)()(
ndxxPxf
n
C
xPCxf
nn
n
nn
在一定的条件下函数 f(x)可按固有函数 Pn(x)展开 。
教材例 4.3.1 在均匀外场 E0中放置一半径为 a的介质球,求的介电常数为?,求外为空气,,计算球内外的电位函数 。
解：采用球坐标,电位?与?无关 。
设球外电位为?1,球内电位为?2。 外电场 E0引起的电位为?0＝ -E0rcos?。
r趋于无穷时,?1＝?0＝ -E0rcos?
r=0时,?2有界。
rr
ar
21
0
21
时
0)( s i ns i n1)(1 22rrrrr
在整个区域内,电位?满足方程
0
用分离变量法,可解出电位?（ r,?）,只有 n为整数时,方程在 区间内才有有界的解 。
0
0
0
)1( )( c o s)(),
n
n
n
n
n
n PrBrAr（
r=0时,?2有界,Rn（ r） 有界,
0
2 )( c o s),
n
n
n
n PrCr（
r趋于无穷时,?1＝?0＝ -E0rcos?
)( c o sc o s
)( c o s)(),
100
0
)1(
1
rPErE
PrBrAr
n
n
n
n
n
n
（
右边可看成将 cos?展开成勒让德函数的级数。比较两边系数，左边只有 n＝ 1的项不为零。
c o s)(),( 2111 rBrAr,且 A1＝－ E0。
rr
ar
21
021,,时
0
2
1
2
11
2
111
)( c os),
)( c os)(c os)(),(
n
n
n
n PaCa
PaBaAaBaAa
（
Cn中只有 C1不为零。
c o s)(),(
),
2
111
12
rBrAr
r c o nCr（
r c onEr
raErEr
ECaEB
0
0
0
2
23
0
0
0
01
0
0
0
1
3
0
0
0
1
2
3
),
c os)
2
(),(
2
3
,
2
（
可解出例 4.2.2已知半径为 r＝ 1的球形域内的电位 u满足拉普拉斯方程,求 u的分布,其中在边界球面上
c o s1ru
解：采用球坐标 。 从方程和边界条件分析,u与?
无关,定解问题是：
2
1
2
2
c o s
10,0)( s i n
s i n
1
)(
1
r
u
r
u
rr
u
r
rr
分离变量得到勒让德方程。
写成＝令 )()(,c o s),1(
0)()(')(''
0'2''
)()(),(
2
xPxnn
c t g
RrRRr
rRru
0
)( c o s)( nn P
只有当 n＝整数,方程在 内才有有界的解
)1(21 nnn rCrCR
欧拉方程的解
要使 u有界,Rn有界,C2＝ 0。
0
)( c o s),(
n
n
n
n PrCru
用叠加原理
)(
3
2
)(
3
1
)(
c o s
)( c o sc o s
20
2
0
2
0
2
xPxPx
xPCx
x
PC
n
nn
n
nn
令：?利用边界条件
比较系数：
C0=1/3,C2=2/3,Cn=0(n?2)
222
2 )3
1( c o s
3
1)( c o s
3
2
3
1),( rrPru
原定解问题的解：
4.2有限差分法当场域边界的几何形状比较复杂时,很难用解析法进行分析 。 应采用数值计算法 。 有限差分法将连续场域内的问题转化为离散系统的问题,通过离散化模型上各离散点的数值解来逼近连续场域内的真实解 。
1,差分原理设有一函数 f(x),当独立变量 x有一微小增量?x＝ h
,相应 f(x)的增量为：
f(x)=f(x+h)-f(x),称为函数 f(x)的差分 。
不同于增量为无限小的微分,差分被称为有限差分
。
当 h很小时,?f(x)?df(x).
dx
df
x
xfhxf
x
f?
)()(
2
2
22
2 )()(
)(
)(
dx
fd
h
xfhxf
x
xf
中心差分?f(x)=f(x+h/2)-f(x-h/2)
一阶差商：
二阶差商
偏导数也可用差商近似表示。因而偏微分方程可表示为差分方程（代数方程）。
)(
2
2
2
2
2
sf
F
yx
L
2,以二维场为例,将边值问题转化为一组差分方程组 （ 代数方程组 ） 。
设边值问题是
(1)决定离散点的分布方式 。
按正方网格划分,网格边长 （ 步长 ） h,网格线的交点称结点 。
设结点 O上的电位为?(xo,yo)=?o,结点 1,2,3,4
上的电位为?1,?2,?3,?4。
任一点 x的电位
.,,,,,,,)(!31)(!21)( 33
3
2
2
2
o
o
o
o
o
o
ox xxxxxxxxx
考虑 1,3两点 x1=xo+h,x3=xo-h
步距越小，误差越小。
的偏导数。点的中心差商代替该点上式用项，将上二式相减足够小，忽略三次以上如果
o
2
h
..,...,.
!3
1
!2
1
..,...,.
!3
1
!2
1
31
3
3
3
2
2
2
3
3
3
3
2
2
2
1
hx
h
x
h
x
h
x
h
x
h
x
h
x
o
oo
o
o
oo
o
o
04
4
2
2
4321
2
4321
2
42
2
2
2
31
2
2
＝＋
的差分形式可表示成二维场的拉普拉斯方程
＝＋
分形式表示成二维场的泊松方程的差同理
o
o
o
o
o
o
Fh
hy
hx
边界条件也可进行离散化处理，对第一类边值，
可直接把点函数 f(s)的值赋予各边界结点。
3,差分方程的解法
设将场域划分如图,
边界上的值分别为
f1,……… f16。
在各内点上作出差分
,泊松方程变成下列差分方程组
解出关于?1,?2….,?9的代数联立方程组，即可求出各点的函数值。
算法简单迭代法,以解拉普拉斯方程为例 。
（ 1） 设定内点初值,用计算机解题时,可都取零值 。
4
04
4321
4321
＋
＝即
＝＋
o
o
（ 2）按一固定顺序 (从左到右，从下到上 )依次利用
计算内点 o点的新值。即 o点的新值就是围绕该点的 4个点的电位的平均值。
如 （ j,k） 点在第 n＋ 1次迭代时按下式计算：
4
)( 1,,11,,11
,
n
kj
n
kj
n
kj
n
kjn
kj
＋
当所有的内点都计算完后,用他们的新值代替旧值,完成一次迭代 。 再进行下一次迭代 。 直到每一点计算得到的新值与旧值之差小于指定的范围 。
这种方法的特点是用前一次迭代的得到的结点电位作为下一次迭代时的初值 。
超松弛法
简单迭代法收敛慢 。
超松弛法的改进：
4/)( 1 1,1,11,,11, n kjn kjn kjn kjn kj（ 1）
即计算（ j,k）点时，左边点（ j-1,k）和下面点（ j，
k-1）用的是新值。这种迭代方法称为高斯赛德尔迭代法。
（ 2） 将上式写成增量的形式,
4/)4(,1 1,1,11,,1,1,n kjn kjn kjn kjn kjn kjn kj
引进加速收敛因子?,?在 1－ 2之间。
)4(4,1 1,1,11,,1,1,n kjn kjn kjn kjn kjn kjn kj
加速解的收敛。?2时，迭代过程将发散。
最佳收敛因子?0的取值随问题而异 。 对第一类边值问题,正方形场域,网格按正方形划分,每边结点数 p＋ 1,则
)s in (1
2
0
p
一长直接地金属槽截面如图。其侧壁与底面的电位均为零，而顶盖电位?4＝ 100。求槽内电位分布。
例 4.2.3
解：
二维场第一类边值问题 。
将二维场域划分成正方形网格,步距 h
＝ a/4。
场域内任一点电位
应满足二维拉普拉斯方程的差分计算格式 。
采用超松弛迭代方法。迭代公式
)4(4,1 1,1,11,,1,1,n kjn kjn kjn kjn kjn kjn kj
按
)s in (1
2
0
p
可算得?＝ 1.17,
所有内点从零值初始值开始迭代求解。
本题第一类边值，结点与边界重合，所有网格点迭代前的初值如图。
迭代次数 N分别为 1,2,3，
4时各网格内点的数值解如图。
若规定各网格内点相邻两次迭代值的绝对误差应小于 10－ 5,得到各内点的电位数值解如图 。 此时 N
＝ 13。
从结果看电位分布关于 y轴有对称性 。 实际计算可只一半区域,
而将网格划分得更细 。
以得到更理想到数值解 。
)(
)(
21
sf
n
sf
sf
n
sf
nn?
2
2
1
121,
第四章 静态场边值问题的解法
静电场和恒定电场的分析归结为求解相应的泊松方程或拉普拉斯方程 。 给定边值的泊松方程和拉普拉斯方程有唯一点解 。 三类给定边值：
当媒质不均匀时，作为定解条件还需加入辅助边界条件
如果场域扩展为无界区域,还需提出无限远处的边界条件 。 微分方程与边界条件一起构成边值问题 。
4.1分离变量法
4.1.1直角坐标系中的分离变量法
定解问题一长直接地金属槽截面如图。其侧壁与底面的电位均为零，而顶盖电位?4＝?0。求槽内电位分布。
解：设金属槽的长度远大于截面尺度，忽略边缘效应，
将问题简化为二维场来分析。
问题转化为如下定解问题
),0(
)0,(,0
)0,0(,0
)0,0(,0
)0),0(,0
0
2
2
2
2
ayax
ayax
yax
ayx
ayax
yx
令?(x,y)=X(x)Y(y)，代入方程，得
,
11
,0''''
2
2
2
2
dy
Yd
Ydx
Xd
X
XYYX
只有当左右两边都是常数时,上式才成立,令此常数为－?。
将偏微分方程转化为两个常微分方程。
0
,0
2
2
2
2
Y
dy
Yd
X
dx
Xd
0)(,0)()(
)0,(,0
.0)0()(,0)()0(
)0,0(,0
aXyYaX
ayax
XyYyYX
ayx
同理，
不恒为零，
边界条件转化为：
0)()0(
,0
2
2
aXX
X
dx
Xd
1,需先解下列边值问题 。
是待定常数，要解出使方程有非零解的?值和此非零解 X(x)。
该边值问题称为常微分方程在此边值条件下的固有值（特征值）问题。
称为该问题的固有值（特征值）,X(x)称为该问题的固有（特征）函数。
分三种情况讨论 。
xx BeAexX)(
（ 1） 设?<0,常微分方程的通解为
0
0
aa BeAe
BA
根据边界条件
A＝ B＝ 0,X(x)无非零解 。
不能小于零 。
代入边界条件同样得：
A＝ B＝ 0。 X(x)无非零解。
不能等于零。
BAxxX)(
（ 2） 设?＝ 0,常微分方程的通解为
xBxAxX s i nc o s)(
（ 3） 设?>0,令?＝?2,常微分方程的通解为代入边界条件
A＝ 0,Bsin?a＝ 0,B不能为零，否则只有零解。
sin?a＝ 0，
2
22
),.....,...2,1(,,
a
n
n
a
n
na
,.,,,,,)2,1(,)(
),.,,,,,,,,2,1(,
2
22
n
a
n
S inCxX
n
a
n
nn
n
所以固有值和固有函数分别为
2,再解 Y（ y）
y
a
n
n
y
a
n
nn
eEeDyY
Y
a
n
dy
Yd
'')(
0
2
22
2
2
3．满足方程和部分边界条件的一组特解是：
,.,.,,)2,1(,s i n)()()(),( nxaneEeDyYxXyx ya
n
n
yan
nnnn
这组解满足方程和部分边界条件，但不一定满足所有边界条件。
由于方程是线性的，可应用叠加原理，
将所有特解叠加
11
,.,,,,,)2,1(,s i n)(),(),(
n
yan
n
yan
n
n
n nxa
neEeDyxyx
只要无穷级数收敛，且能关于 x和 y逐项微分两次，
则?（ x,y）与?n(x,y)一样满足方程和部分边界条件。
适当选择 Dn和 En,可使?（ x,y） 满足方程和所有边界条件 。
1
0
1
11
s i n)(),(),(
,0s i n)()0,()0,(
n
a
a
n
n
a
a
n
n
n
n
n
nn
n
n
x
a
n
eEeDaxax
x
a
n
EDxx
在上两式两边分别乘 并作积分 。
a
xm?sin
)1( c o s
2
s i n
2
s i ns i ns i n)(
0
,0s i ns i n)(
0
0
0
0
1
0
0
0
1
m
m
x d x
a
m
a
eEeD
x d x
a
m
x d x
a
m
x
a
n
eEeD
ED
x d x
a
m
x
a
n
ED
a
a
a
m
m
a
a
m
m
a
n
a
a
a
n
n
a
a
n
n
mm
a
n
nn
)1( c o s0?
n
s h nn
E
ED
n
nn
无穷级数的系数应满足
x
a
n
y
a
n
sh
kshk
x
a
n
y
a
n
shn
s h nn
x
a
n
y
a
n
shEx
a
n
eeE
x
a
n
eEeDyxyx
k
n
n
n
n
y
a
n
y
a
n
n
n
y
a
n
n
y
a
n
n
n
n
s i n
)12()12(
14
s i n)1( c os
2
s i n2s i n)(
s i n)(),(),(
0
0
1
0
11
11
无穷级数解满足原定解条件。通常取 4项就能得到足够精确的结果。
分离变量法的主要步骤：
（ 1） 分离变量 。 将偏微分方程的定解问题化为常微分方程的定解问题 （ 线性齐次偏微分方程 ） 。
（ 2） 确定固有值和固有函数 。 当边界条件是齐次的时,利用其求固有值,并求出满足零边界条件的非零解 。
（ 3） 求解其他常微分方程 。 得到满足齐次边界条件的偏微分方程的特解 Un（ x,y） 。
（ 4）将所有 Un（ x,y）叠加，利用其中的常数使其满足偏微分方程其余的定解条件。
教材例 4.1.1
求如图长方体积中的电位函数。边界条件为除 z＝ c
面电位不为零外，其他各表面的电位都为零。 Z＝
c表面上给定的电位函数为 U（ x,y）。
解：
02
2
2
2
2
2
zyx
分离变量，令
(x,y,z)=X(x)Y(y)Z(z)
0''''''
Z
Z
Y
Y
X
X
0
0''
0''
0''
321
3
2
1
ZZ
YY
XX
有二个独立的本征值 。 边界条件可分解为：
X(0)=X(a)=0
Y(0)=Y(b)=0
利用齐次边界条件求出本征值和本征函数。
0)()0(
0''
0)()0(
0''
2
1
bYY
YY
aXX
XX
b
ym
ByY
b
m
k
a
xn
AxX
a
n
k
mmymm
nnxnn
s i n)(,)(
s i n)(,)(
22
2
22
1
与上述方法一样,可求出其中 m＝ 1,2,…… 。 n=1,2,……… 。
z
b
m
a
n
shEzZ
DCDCZ
eDeCzZ
b
m
a
n
kk
Z
ZZ
mnmn
mnmnmnmnmn
z
b
m
a
n
mn
z
b
m
a
n
mnmn
ymxnmnmn
22
,,
,,,,,
)()(
,
)()(
,,
2222
21,3
3
)()()(
,0)0(
)(
])()[()()(
0)0(
0''
2222
满足部分齐次边界条件的偏微分方程的一组特解为
)()()(),,(,,zZyYxXzyx mnmnmn
为使解满足所有的边界条件，将所有特解叠加 。
z
b
m
a
n
sh
b
ym
a
xn
F
zZyYxXzyxzyx
mn
mn
mn
mnmn
mn
mn
22
1,
,
,
,
,
,
)()(s i ns i n
)()()(),,(),,(
),()()(s i ns i n),,( 22
1,
,yxUcb
m
a
nsh
b
ym
a
xnFcyx
mn
mn
从已知边界条件
根据线性齐次方程的叠加原理，通过调整系数可使?(x,y,z)满足所有边界条件。
将 U（ x,y）展开成双重傅立叶级数
a b
mn
mn
mn
d x d y
b
ym
a
xn
yxU
ab
T
b
ym
a
xn
TyxU
0 0
,
1,
,
s i ns i n),(
4
s i ns i n),(
比较系数可得
mnmn Tcb
m
a
nshF
,
22
,)()(
原定解问题的解是
a b
mn
mn
mn
d x d y
b
ym
a
xn
yxU
c
b
m
a
n
a b s h
F
z
b
m
a
n
sh
b
ym
a
xn
Fzyx
0 022
,
22
1,
,
s i ns i n),(
)()(
4
)()(s i ns i n),,(
4.1.2园域内的二维场问题设在一圆形场域 D内电位函数?满足拉普拉斯方程
,场域边界 L上给定为第一类边值,求此二维场中位函数?的分布 。
解：选取柱坐标,待求的边值问题为
)(
0
1
)(
1
2
2
2
sf
rr
r
rr
区域内边界 L上
满足自然周期条件：
（ r,?） =?（ r,?+2?）
'''''
0''
1
'
1
''
2
2
R
rRRr
R
r
R
r
R
令?（ r,?） ＝ R(r)?(?)代入方程
偏微分方程边值问题转化为常微分方程边值问题。
)2()(
0''
固有值问题
0'''2 RrRRr?
eCeC
21)(
1,先解固有值问题
（ 1）当?<0，
无法满足自然周期条件,C1=C2=0
21)( DD
')( 0a
(2) 当?=0,代入自然周期条件,
D1=0,D2＝常数＝ a0’,
s i n'c os' ba
(3).当?>0,令?＝?2，
a’和 b’中至少有一不为零。
若 a’不为零, c o s)2(c o n
s in)2(s in若 b’不为零,
都有?2?＝ 2n?，
nbna
nn
n
nnn
s i nc os)(
.),...,...,.2,1,0(,
,
2
即：
固有值固有函数
0'''2 RrRRr?
02
2
R
dt
Rd?
2,再解 R(r)
欧拉方程，可令 r=et，代入方程得
rdctdcR ln'''' 00000当?＝ 0，
当?＝ n2,n＝ 1,2,……,
n
n
n
n
nt
n
nt
nn rdrcedecrR
)(
3．得到一组满足方程和自然周期条件的特解。
)()(),( nnn rRr
其中
,.,,,,,,2,1),)(s i nc o s(),(
ln)ln''('),( 00000000
nrdrcnbnar
rdcrdcaRr
n
n
n
nnnn
满足方程的一般解可表示为
1
00 ))(s i nc o s(ln),(),(
n
n
n
n
nnnn rdrcnbnardcrr
再利用边界条件?=f(s)及其他自然边界条件，即可定出其中的各常数。
选定坐标系 。通常给定的边界面应与相应当坐标面相重合，以得到问题的最简洁定解条件。
例 4.2.1
一横截面半径为 r0，介电常数为?1的长直介质圆柱体放置在均匀的外电场中（场强的数值为 E0，它的方向与介质圆柱的轴线垂直），均匀场中介质的介电常数为?2，求圆柱体放入后，场中的电位和电场分布。
解：
当长圆柱轴向长度远大于横截面半径时，其中间段场的分析可简化为二维场问题。采用柱坐标，柱内和柱外电位函数?1和?2分别满足泊松方程。
02
2
2
2
2
2
2
02
1
2
2
1
1
2
,0
1
)(
1
0,0
1
)(
1
rr
rr
r
rr
rr
rr
r
rr
由于无限远电位不是零，可令原点电位为零。
1＝ 0,(r=0),
外电场可用电位函数表示：
0＝－ E0x=-E0rcos?
在无限远处介质圆柱体产生的影响应当消失 。
2＝－ E0rcos?（ r）
0
2
2
0
1
121,00
rrrr
rrrr rr
边界处
利用上述解题方法,得柱内外电位的通解分别是
1
2222202022
1
1111101011
))(s i nc o s(ln),(),(
))(s i nc o s(ln),(),(
n
n
n
n
nnnn
n
n
n
n
nnnn
rdrcnbnardcrr
rdrcnbnardcrr
利用边界条件可定出各系数 。
以下利用此题的具体特征解题 。
（ 1） 场的分布对称于 x轴,
na nn c o s)(
0)2(c o s)2( na nn
(r,?)=?(r,-?),
(2)因场的对称性,y轴是等位线
(r,/2)=0
n=1,3,5……,为奇数，代入 na
nn c o s)(
可得满足 0)(
n
n2
时，
n只能取 1。否则，可导致另外与 x轴斜交的零等位线。
所以：
r
D
CrrR
a
)(
c o s')(
圆柱内外电位?1(r,?)和?2(r,?)的一般形式为
)(,c o s)()()(),(
)(,c o s)()()(),(
0
2
22
0
1
11
rr
r
b
rarRr
rr
r
b
rarRr
1＝ 0,(r=0),得 b1＝ 0。
c o sc o s)()c o s( 2220 l i ml i ml i m rarbrarE
rrr
2＝－ E0rcos?（ r）
得 a2＝－ E0。
因而有
)(,c o s)(),(
)(,c o s)(),(
0
2
02
011
rr
r
b
rEr
rrrar
从
0
2
2
0
1
121,00
rrrr
rrrr rr
可求出
)(,c os)1(),(
)(,
2
c os
2
),(
2
002
2
0
21
21
2
00
21
2
0
21
2
1
0
2
0
21
21
2
0
21
2
1
rrrE
r
r
r
rrxErEr
Erb
Ea
圆柱内电场强度
xx eEexE
0
21
21
11
2
圆柱内场强均匀分布，且与外场方向一致。
4.1.2球坐标中的分离变量法
如果求解球空间或场有球面边界,应用球坐标更方便 。 球坐标中的拉普拉斯方程为
0)( s i n
s i n
1
)(
1
0
s i n
1
)( s i n
s i n
1
)(
1
2
2
22
2
2
rr
r
rr
rrr
r
rr
无关，则如果问题与
)( s i n
s i n
1
)(
1
0)( s i n
s i n
)(
)()(),
2
2
2
2
2
d
d
d
d
dr
dR
r
dr
d
R
R
r
d
d
d
d
r
R
dr
dR
r
dr
d
r
rRr
方程两边同乘
（令
令?＝ n(n+1),（任一实数总可写成这种形式）。
)1(
2
2
22
)(
(,0)1(2),1()(
1
n
n
n
nn
rBrArR
Rnn
dr
dR
r
dr
Rd
rnn
dr
dR
r
dr
d
R
通解为：
欧拉方程）
（勒让德方程）
写成令
,0)1(2)1(
),()(
s i n
c os
0)1()( s i n
s i n
1
)1()( s i n
s i n
1
2
2
2
Pnn
dx
dP
x
dx
Pd
x
xP
dx
d
d
dx
dx
d
d
d
x
nn
d
d
d
d
nn
d
d
d
d
)()(
]11[
),11(0
nn
xPn
n
x
阶的勒让德多项式它是上有一个有界的解。，－勒让德方程在闭区间为整数时，有关理论证明，只有当
，如果研究的区域：
0
)1(
00
)( c o s)(
)()(),),
n
n
n
n
n
n
n
nn
n
n
PrBrA
rRrr
（（
即在球坐标下,电位?的解为只有奇次项）－＝（为奇数时当只有偶次项，＝为偶数时当
2/1Mm
)(2/Mm
)!2()!(!2
)!22(
)1()(
2
0
n
xPn
x
mnmnm
mn
xP
n
mn
n
M
m
m
n
其中
n
n
n
nn xdx
d
n
xP )1(
!2
1)( 2
Pn(x)可用罗德利克公式表示
勒让德多项式具有正交性 。
1
1
1
1
12
2
)()(
0)()(
m
dxxPxP
dxxPxP
mm
nm
1
1
0
.....)2,1,0(,)()(
2
12
)()(
ndxxPxf
n
C
xPCxf
nn
n
nn
在一定的条件下函数 f(x)可按固有函数 Pn(x)展开 。
教材例 4.3.1 在均匀外场 E0中放置一半径为 a的介质球,求的介电常数为?,求外为空气,,计算球内外的电位函数 。
解：采用球坐标,电位?与?无关 。
设球外电位为?1,球内电位为?2。 外电场 E0引起的电位为?0＝ -E0rcos?。
r趋于无穷时,?1＝?0＝ -E0rcos?
r=0时,?2有界。
rr
ar
21
0
21
时
0)( s i ns i n1)(1 22rrrrr
在整个区域内,电位?满足方程
0
用分离变量法,可解出电位?（ r,?）,只有 n为整数时,方程在 区间内才有有界的解 。
0
0
0
)1( )( c o s)(),
n
n
n
n
n
n PrBrAr（
r=0时,?2有界,Rn（ r） 有界,
0
2 )( c o s),
n
n
n
n PrCr（
r趋于无穷时,?1＝?0＝ -E0rcos?
)( c o sc o s
)( c o s)(),
100
0
)1(
1
rPErE
PrBrAr
n
n
n
n
n
n
（
右边可看成将 cos?展开成勒让德函数的级数。比较两边系数，左边只有 n＝ 1的项不为零。
c o s)(),( 2111 rBrAr,且 A1＝－ E0。
rr
ar
21
021,,时
0
2
1
2
11
2
111
)( c os),
)( c os)(c os)(),(
n
n
n
n PaCa
PaBaAaBaAa
（
Cn中只有 C1不为零。
c o s)(),(
),
2
111
12
rBrAr
r c o nCr（
r c onEr
raErEr
ECaEB
0
0
0
2
23
0
0
0
01
0
0
0
1
3
0
0
0
1
2
3
),
c os)
2
(),(
2
3
,
2
（
可解出例 4.2.2已知半径为 r＝ 1的球形域内的电位 u满足拉普拉斯方程,求 u的分布,其中在边界球面上
c o s1ru
解：采用球坐标 。 从方程和边界条件分析,u与?
无关,定解问题是：
2
1
2
2
c o s
10,0)( s i n
s i n
1
)(
1
r
u
r
u
rr
u
r
rr
分离变量得到勒让德方程。
写成＝令 )()(,c o s),1(
0)()(')(''
0'2''
)()(),(
2
xPxnn
c t g
RrRRr
rRru
0
)( c o s)( nn P
只有当 n＝整数,方程在 内才有有界的解
)1(21 nnn rCrCR
欧拉方程的解
要使 u有界,Rn有界,C2＝ 0。
0
)( c o s),(
n
n
n
n PrCru
用叠加原理
)(
3
2
)(
3
1
)(
c o s
)( c o sc o s
20
2
0
2
0
2
xPxPx
xPCx
x
PC
n
nn
n
nn
令：?利用边界条件
比较系数：
C0=1/3,C2=2/3,Cn=0(n?2)
222
2 )3
1( c o s
3
1)( c o s
3
2
3
1),( rrPru
原定解问题的解：
4.2有限差分法当场域边界的几何形状比较复杂时,很难用解析法进行分析 。 应采用数值计算法 。 有限差分法将连续场域内的问题转化为离散系统的问题,通过离散化模型上各离散点的数值解来逼近连续场域内的真实解 。
1,差分原理设有一函数 f(x),当独立变量 x有一微小增量?x＝ h
,相应 f(x)的增量为：
f(x)=f(x+h)-f(x),称为函数 f(x)的差分 。
不同于增量为无限小的微分,差分被称为有限差分
。
当 h很小时,?f(x)?df(x).
dx
df
x
xfhxf
x
f?
)()(
2
2
22
2 )()(
)(
)(
dx
fd
h
xfhxf
x
xf
中心差分?f(x)=f(x+h/2)-f(x-h/2)
一阶差商：
二阶差商
偏导数也可用差商近似表示。因而偏微分方程可表示为差分方程（代数方程）。
)(
2
2
2
2
2
sf
F
yx
L
2,以二维场为例,将边值问题转化为一组差分方程组 （ 代数方程组 ） 。
设边值问题是
(1)决定离散点的分布方式 。
按正方网格划分,网格边长 （ 步长 ） h,网格线的交点称结点 。
设结点 O上的电位为?(xo,yo)=?o,结点 1,2,3,4
上的电位为?1,?2,?3,?4。
任一点 x的电位
.,,,,,,,)(!31)(!21)( 33
3
2
2
2
o
o
o
o
o
o
ox xxxxxxxxx
考虑 1,3两点 x1=xo+h,x3=xo-h
步距越小，误差越小。
的偏导数。点的中心差商代替该点上式用项，将上二式相减足够小，忽略三次以上如果
o
2
h
..,...,.
!3
1
!2
1
..,...,.
!3
1
!2
1
31
3
3
3
2
2
2
3
3
3
3
2
2
2
1
hx
h
x
h
x
h
x
h
x
h
x
h
x
o
oo
o
o
oo
o
o
04
4
2
2
4321
2
4321
2
42
2
2
2
31
2
2
＝＋
的差分形式可表示成二维场的拉普拉斯方程
＝＋
分形式表示成二维场的泊松方程的差同理
o
o
o
o
o
o
Fh
hy
hx
边界条件也可进行离散化处理，对第一类边值，
可直接把点函数 f(s)的值赋予各边界结点。
3,差分方程的解法
设将场域划分如图,
边界上的值分别为
f1,……… f16。
在各内点上作出差分
,泊松方程变成下列差分方程组
解出关于?1,?2….,?9的代数联立方程组，即可求出各点的函数值。
算法简单迭代法,以解拉普拉斯方程为例 。
（ 1） 设定内点初值,用计算机解题时,可都取零值 。
4
04
4321
4321
＋
＝即
＝＋
o
o
（ 2）按一固定顺序 (从左到右，从下到上 )依次利用
计算内点 o点的新值。即 o点的新值就是围绕该点的 4个点的电位的平均值。
如 （ j,k） 点在第 n＋ 1次迭代时按下式计算：
4
)( 1,,11,,11
,
n
kj
n
kj
n
kj
n
kjn
kj
＋
当所有的内点都计算完后,用他们的新值代替旧值,完成一次迭代 。 再进行下一次迭代 。 直到每一点计算得到的新值与旧值之差小于指定的范围 。
这种方法的特点是用前一次迭代的得到的结点电位作为下一次迭代时的初值 。
超松弛法
简单迭代法收敛慢 。
超松弛法的改进：
4/)( 1 1,1,11,,11, n kjn kjn kjn kjn kj（ 1）
即计算（ j,k）点时，左边点（ j-1,k）和下面点（ j，
k-1）用的是新值。这种迭代方法称为高斯赛德尔迭代法。
（ 2） 将上式写成增量的形式,
4/)4(,1 1,1,11,,1,1,n kjn kjn kjn kjn kjn kjn kj
引进加速收敛因子?,?在 1－ 2之间。
)4(4,1 1,1,11,,1,1,n kjn kjn kjn kjn kjn kjn kj
加速解的收敛。?2时，迭代过程将发散。
最佳收敛因子?0的取值随问题而异 。 对第一类边值问题,正方形场域,网格按正方形划分,每边结点数 p＋ 1,则
)s in (1
2
0
p
一长直接地金属槽截面如图。其侧壁与底面的电位均为零，而顶盖电位?4＝ 100。求槽内电位分布。
例 4.2.3
解：
二维场第一类边值问题 。
将二维场域划分成正方形网格,步距 h
＝ a/4。
场域内任一点电位
应满足二维拉普拉斯方程的差分计算格式 。
采用超松弛迭代方法。迭代公式
)4(4,1 1,1,11,,1,1,n kjn kjn kjn kjn kjn kjn kj
按
)s in (1
2
0
p
可算得?＝ 1.17,
所有内点从零值初始值开始迭代求解。
本题第一类边值，结点与边界重合，所有网格点迭代前的初值如图。
迭代次数 N分别为 1,2,3，
4时各网格内点的数值解如图。
若规定各网格内点相邻两次迭代值的绝对误差应小于 10－ 5,得到各内点的电位数值解如图 。 此时 N
＝ 13。
从结果看电位分布关于 y轴有对称性 。 实际计算可只一半区域,
而将网格划分得更细 。
以得到更理想到数值解 。
