数学实验李尚志 教授中国科学技术大学数学系何谓,数学实验,
对数学进行折腾
连蒙带猜找规律
从问题出发
学生自己动手、动眼、动脑
借助于计算机（成千上万次折腾）
尝试数学的探索、发现和应用实验一：微积分基础
函数图象：
sin(x)及其 Tylor逼近。
sin(x)+sin(3x)/3+…
sin(1/x)在 x=0附近的性状。
2009-7-24
Sin(x) 及其 Tylor 逼近
-6 -4 -2 2 4 6
-1.5
-1
-0.5
0.5
1
1.5
2009-7-24
sin x+sin3x/3+…+sin nx/n
-6 -4 -2 2 4 6
-0.75
-0.5
-0.25
0.25
0.5
0.75
-6 -4 -2 2 4 6
-0.75
-0.5
-0.25
0.25
0.5
0.75
n = 9 n=199
2009-7-24
Sin (1/x) 在 x=0 附近
-1 -0.5 0.5 1
-1
-0.5
0.5
1
-0.01 -0.005 0.005 0.01
-1
-0.5
0.5
1
@- 1,1D @- 0.01,0.01 D
d=Table[{1/n,Sin[n]},
{n,1,1000}] (定义点集）
ListPlot[d] （画出点集）
点集中显现出什么曲线？
画数据点集合
2009-7-24
Table[{1/n,Sin[n]},
{n,1,10000}]
0.0002 0.0004 0.0006 0.0008 0.001 0.0012
-1
-0.5
0.5
1
实验二,? 的计算
想一想：怎样算?？
当一回祖冲之！
圆的面积
单位圆的面积等于?
计算第一象限内的单位圆的面积，
方法为：把它分成 n个窄的曲边梯形，
计算 S大,S小,其中 n可以为 1000,
10000,...
2009-7-24
S小 S大
0.2 0.4 0.6 0.8 1
0.2
0.4
0.6
0.8
1
0.2 0.4 0.6 0.8 1
0.2
0.4
0.6
0.8
1
2009-7-24
数值积分：
4
)1(1
4
1
1
0
2
1
0
2
dxx
dxx
无穷级数法
arctan x =x-x3/3+x5/5-x7/7+x9/9-...
/4 = arctan 1 =1-1/3+1/5-1/7+1/9-…
收敛太慢！
|x| 应当比 1 小很多，级数收敛才快。
/4 = arctan 1/2 + arctan1/3
/4 = 4 arctan 1/5 - arctan 1/239
蒙特卡洛方法
求出 S=?/4占 S正方形 ACBO的比例。
随机投点 P(x,y)
P在圆内?x2+y2?1
/4的近似值为落在圆内的点数与总投点数的比值 A
S
CB
O
2009-7-24
某次随机投点的结果
0.2 0.4 0.6 0.8 1
0.2
0.4
0.6
0.8
1
3.14800000000000013` 3.14800000000000013`
3.14800000000000013`
实验三,最佳分数近似值
问题：
祖冲之的圆周率为
A,3.141592,B,355/113?
上述哪一个值更佳？
评选最佳
何为最佳？误差 d小，分母 v小。
选法 1：递增选 v，使 d 递减。
选法 2：递增选 v，使 vd 递减。
选法 3：按 v2d 从小到大选十佳。
2009-7-24
快速寻佳
.,,
1
.
7
22
7
1
3,
7
11
,77.,,0 6 2 5.7
1
.,,1 4 1 5 9 2 6 5.0,33
2
2
1
1
2
1
1
11
x
A
A
x
x
x
A
xx
音阶的频率比
声音越高，频率越高。
1,2,3,4,5,6,7,i 频率各是多少？
高 8度 i 是 1 的 2倍。其余的音是 1 的几倍？
十二平均律：频率等比上升，每半度升高 21/12。
比例都是无理数。
但为了音乐和谐，比例应是简单分数。
矛盾的解决办法：用最佳分数近似值！
音阶的频率比
高 8度 i 是 1 的 2倍。其余的音是 1 的几倍？
十二平均律：频率等比上升，每半度升高 21/12:
1,1#,2,2#,3,4,4#,5,5#,6,6#,7,i
1,22/12,24/12,25/12,27/12,29/12,211/12,2
比例都是无理数,1,1.12246,1.25992,
1.33484,1.49831,1.68179,1.88775,2
但为了音乐和谐，比例应是简单分数
怎样解决矛盾：用分母尽可能小的分数近似值：
1,9/8,5/4,4/3,3/2,5/3,15/8,2
实验八,天体运动万有引力定律 --> 开普勒定律
太阳位置 (0,0)
时刻 ti,天体位置 (xi,yi),速度 (vix,viy)
ri2=xi2+yi2,加速度大小 | ai|=k/(ri2),
加速度矢量（ aix,aiy)=(-|ai| xi/ri,-|ai| yi/ri)
ti+1= ti+ d,vi+1,x=vix+aixd,vi+1,y=viy+aixd;
xi+1 = xi + vi+1,x d,yi+1 = yi + vi+1,y d
从初始位置和初速度开始,一段段画出轨道
2009-7-24
万有引力定律 --> 开普勒定律
2009-7-24
不同的初速度对轨道的影响
-10 10 20 30 40
-20
-10
10
20
30
40
50
凹面镜的正确形状
画图观察球面镜是否将平行光线聚于一点？
要求凹面镜将平行光线聚于一点 F，画出凹面镜截面曲线：从 顶点 P0出发，向垂直于入射光线的方向前进一小段到 P1。 一般的，
设曲线已到 Pi,则反射光线为 P i F。 按反射定律确定镜面曲线的走向，前进一小段到
P i+1 点。重复此过程。
观察猜测上面画出的是什么曲线？验证。
2009-7-24
球面镜的反射
0.5 1 1.5 2
0.5
1
1.5
2
0.5 1 1.5 2
0.5
1
1.5
2
2009-7-24
球面镜的反射 正确的聚光镜形状
0.5 1 1.5 2
0.5
1
1.5
2
1 2 3 4
1
2
3
4
点电荷组的电力线与等势线
从一个点电荷的位置 P0 向任一方向出发走一小段到 P1 点。
利用库伦定律计算 P1点电场强度方向，从
P1点出发向此方向走一小段到 P2 点。
重复此过程可画出一条电力线。
换另外的方向出发可画出另外的电力线。
同理可画出等势线。
2009-7-24
异种电荷 同种电荷
2009-7-24
微分方程 dy/dx=x2+y2的解实验七,几何变换
(x,y)?(x’,y’)
x’=f1(x,y),y’=f2(x,y)
曲线 C,x=x(t),y=y(t)?
曲线 C’,x=f1(x(t),y(t)),
,y=f2(x(t),y(t))
线性变换
x’=a1x+b1y,y’=a2x+b2y,
画出由平面直线段或曲线段组成的图形 C及其象 C’。
观察：直线、平行、垂直、
长度、角度、圆
2009-7-24
线性变换前后的图形线性变换的特征向量
观察 向量方向变化情况：
左偏，右偏，不变，反向。
变换 作用多次，观察趋势。
2009-7-24
向量方向的变化
2009-7-24
变换的迭代
-4 -2 2 4
-4
-2
2
4
射影变换
x’ = x / (1-x),y’= y / (1-x).
直线、相交、平行?？
相交于 x=1的直线?？
圆 (与 x=1相离、切、交 )
2009-7-24
相交直线变成平行直线
0.511.522.53-0.50.5
11.5
22.5
0.5 1 1.5 2 2.5 3
-0.5
0.5
1
1.5
2
2.5
-6 -4 -2 2 4
-4
-3
-2
-1
1
2
3
2009-7-24
圆变成圆锥曲线
-7.5 -5 -2.5 2.5 5 7.5 10
-4
-2
2
4
-1 -0.5 0.5 1
-1
-0.5
0.5
1
代数基本定理
复多项式 f (z)有 复零点 z0.
f (x+y i) = x’+ y’ i 决定实变换
j,(x,y)?(x’,y’).
画半径 R的圆 CR? CR’.
R很 大,CR’含原点。 R? 0时 CR’连续缩为一点。必扫过原点。
2009-7-24
复多项式 f(z)引起的变换：
变换前为半径 r的圆
-10000 -5000 5000 10000
-10000
-5000
5000
10000
r = 10.0 ;
-40 -30 -20 -10 10 20
-30
-20
-10
10
20
30
r=2.1
r=2.1
实验十一,最速降线
重力场中高度不同的两点
A,B。
在 A静止的质点沿怎样的路径下滑到 B点，时间最少？
2009-7-24
最速降线的形状
2 4 6 8 10
-3
-2.5
-2
-1.5
-1
-0.5
《数学实验》教材目录
微积分基础
怎样计算?
最佳分数近似值
数列与级数
素数
概率
几何变换
天体运动
迭代（一）：方程求解
寻优
最速降线
迭代 （二）：分形
迭代（三）：混沌
密码
初等几何定理的机器证明
2009-7-24
网上 教材网址：
202.38.68.76/~mathexp/
或,http://www.ustc.edu.cn?
院系介绍?数学系?常用连接
网上数学实验
2009-7-24
再见
2 4 6 8 10-3-2.5-2-1.5-1-0.5
对数学进行折腾
连蒙带猜找规律
从问题出发
学生自己动手、动眼、动脑
借助于计算机（成千上万次折腾）
尝试数学的探索、发现和应用实验一：微积分基础
函数图象：
sin(x)及其 Tylor逼近。
sin(x)+sin(3x)/3+…
sin(1/x)在 x=0附近的性状。
2009-7-24
Sin(x) 及其 Tylor 逼近
-6 -4 -2 2 4 6
-1.5
-1
-0.5
0.5
1
1.5
2009-7-24
sin x+sin3x/3+…+sin nx/n
-6 -4 -2 2 4 6
-0.75
-0.5
-0.25
0.25
0.5
0.75
-6 -4 -2 2 4 6
-0.75
-0.5
-0.25
0.25
0.5
0.75
n = 9 n=199
2009-7-24
Sin (1/x) 在 x=0 附近
-1 -0.5 0.5 1
-1
-0.5
0.5
1
-0.01 -0.005 0.005 0.01
-1
-0.5
0.5
1
@- 1,1D @- 0.01,0.01 D
d=Table[{1/n,Sin[n]},
{n,1,1000}] (定义点集）
ListPlot[d] （画出点集）
点集中显现出什么曲线？
画数据点集合
2009-7-24
Table[{1/n,Sin[n]},
{n,1,10000}]
0.0002 0.0004 0.0006 0.0008 0.001 0.0012
-1
-0.5
0.5
1
实验二,? 的计算
想一想：怎样算?？
当一回祖冲之！
圆的面积
单位圆的面积等于?
计算第一象限内的单位圆的面积，
方法为：把它分成 n个窄的曲边梯形，
计算 S大,S小,其中 n可以为 1000,
10000,...
2009-7-24
S小 S大
0.2 0.4 0.6 0.8 1
0.2
0.4
0.6
0.8
1
0.2 0.4 0.6 0.8 1
0.2
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0.6
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1
2009-7-24
数值积分：
4
)1(1
4
1
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0
2
1
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2
dxx
dxx
无穷级数法
arctan x =x-x3/3+x5/5-x7/7+x9/9-...
/4 = arctan 1 =1-1/3+1/5-1/7+1/9-…
收敛太慢！
|x| 应当比 1 小很多，级数收敛才快。
/4 = arctan 1/2 + arctan1/3
/4 = 4 arctan 1/5 - arctan 1/239
蒙特卡洛方法
求出 S=?/4占 S正方形 ACBO的比例。
随机投点 P(x,y)
P在圆内?x2+y2?1
/4的近似值为落在圆内的点数与总投点数的比值 A
S
CB
O
2009-7-24
某次随机投点的结果
0.2 0.4 0.6 0.8 1
0.2
0.4
0.6
0.8
1
3.14800000000000013` 3.14800000000000013`
3.14800000000000013`
实验三,最佳分数近似值
问题：
祖冲之的圆周率为
A,3.141592,B,355/113?
上述哪一个值更佳？
评选最佳
何为最佳？误差 d小，分母 v小。
选法 1：递增选 v，使 d 递减。
选法 2：递增选 v，使 vd 递减。
选法 3：按 v2d 从小到大选十佳。
2009-7-24
快速寻佳
.,,
1
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7
22
7
1
3,
7
11
,77.,,0 6 2 5.7
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.,,1 4 1 5 9 2 6 5.0,33
2
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11
x
A
A
x
x
x
A
xx
音阶的频率比
声音越高，频率越高。
1,2,3,4,5,6,7,i 频率各是多少？
高 8度 i 是 1 的 2倍。其余的音是 1 的几倍？
十二平均律：频率等比上升，每半度升高 21/12。
比例都是无理数。
但为了音乐和谐，比例应是简单分数。
矛盾的解决办法：用最佳分数近似值！
音阶的频率比
高 8度 i 是 1 的 2倍。其余的音是 1 的几倍？
十二平均律：频率等比上升，每半度升高 21/12:
1,1#,2,2#,3,4,4#,5,5#,6,6#,7,i
1,22/12,24/12,25/12,27/12,29/12,211/12,2
比例都是无理数,1,1.12246,1.25992,
1.33484,1.49831,1.68179,1.88775,2
但为了音乐和谐，比例应是简单分数
怎样解决矛盾：用分母尽可能小的分数近似值：
1,9/8,5/4,4/3,3/2,5/3,15/8,2
实验八,天体运动万有引力定律 --> 开普勒定律
太阳位置 (0,0)
时刻 ti,天体位置 (xi,yi),速度 (vix,viy)
ri2=xi2+yi2,加速度大小 | ai|=k/(ri2),
加速度矢量（ aix,aiy)=(-|ai| xi/ri,-|ai| yi/ri)
ti+1= ti+ d,vi+1,x=vix+aixd,vi+1,y=viy+aixd;
xi+1 = xi + vi+1,x d,yi+1 = yi + vi+1,y d
从初始位置和初速度开始,一段段画出轨道
2009-7-24
万有引力定律 --> 开普勒定律
2009-7-24
不同的初速度对轨道的影响
-10 10 20 30 40
-20
-10
10
20
30
40
50
凹面镜的正确形状
画图观察球面镜是否将平行光线聚于一点？
要求凹面镜将平行光线聚于一点 F，画出凹面镜截面曲线：从 顶点 P0出发，向垂直于入射光线的方向前进一小段到 P1。 一般的，
设曲线已到 Pi,则反射光线为 P i F。 按反射定律确定镜面曲线的走向，前进一小段到
P i+1 点。重复此过程。
观察猜测上面画出的是什么曲线？验证。
2009-7-24
球面镜的反射
0.5 1 1.5 2
0.5
1
1.5
2
0.5 1 1.5 2
0.5
1
1.5
2
2009-7-24
球面镜的反射 正确的聚光镜形状
0.5 1 1.5 2
0.5
1
1.5
2
1 2 3 4
1
2
3
4
点电荷组的电力线与等势线
从一个点电荷的位置 P0 向任一方向出发走一小段到 P1 点。
利用库伦定律计算 P1点电场强度方向，从
P1点出发向此方向走一小段到 P2 点。
重复此过程可画出一条电力线。
换另外的方向出发可画出另外的电力线。
同理可画出等势线。
2009-7-24
异种电荷 同种电荷
2009-7-24
微分方程 dy/dx=x2+y2的解实验七,几何变换
(x,y)?(x’,y’)
x’=f1(x,y),y’=f2(x,y)
曲线 C,x=x(t),y=y(t)?
曲线 C’,x=f1(x(t),y(t)),
,y=f2(x(t),y(t))
线性变换
x’=a1x+b1y,y’=a2x+b2y,
画出由平面直线段或曲线段组成的图形 C及其象 C’。
观察：直线、平行、垂直、
长度、角度、圆
2009-7-24
线性变换前后的图形线性变换的特征向量
观察 向量方向变化情况：
左偏，右偏，不变，反向。
变换 作用多次，观察趋势。
2009-7-24
向量方向的变化
2009-7-24
变换的迭代
-4 -2 2 4
-4
-2
2
4
射影变换
x’ = x / (1-x),y’= y / (1-x).
直线、相交、平行?？
相交于 x=1的直线?？
圆 (与 x=1相离、切、交 )
2009-7-24
相交直线变成平行直线
0.511.522.53-0.50.5
11.5
22.5
0.5 1 1.5 2 2.5 3
-0.5
0.5
1
1.5
2
2.5
-6 -4 -2 2 4
-4
-3
-2
-1
1
2
3
2009-7-24
圆变成圆锥曲线
-7.5 -5 -2.5 2.5 5 7.5 10
-4
-2
2
4
-1 -0.5 0.5 1
-1
-0.5
0.5
1
代数基本定理
复多项式 f (z)有 复零点 z0.
f (x+y i) = x’+ y’ i 决定实变换
j,(x,y)?(x’,y’).
画半径 R的圆 CR? CR’.
R很 大,CR’含原点。 R? 0时 CR’连续缩为一点。必扫过原点。
2009-7-24
复多项式 f(z)引起的变换：
变换前为半径 r的圆
-10000 -5000 5000 10000
-10000
-5000
5000
10000
r = 10.0 ;
-40 -30 -20 -10 10 20
-30
-20
-10
10
20
30
r=2.1
r=2.1
实验十一,最速降线
重力场中高度不同的两点
A,B。
在 A静止的质点沿怎样的路径下滑到 B点，时间最少？
2009-7-24
最速降线的形状
2 4 6 8 10
-3
-2.5
-2
-1.5
-1
-0.5
《数学实验》教材目录
微积分基础
怎样计算?
最佳分数近似值
数列与级数
素数
概率
几何变换
天体运动
迭代（一）：方程求解
寻优
最速降线
迭代 （二）：分形
迭代（三）：混沌
密码
初等几何定理的机器证明
2009-7-24
网上 教材网址：
202.38.68.76/~mathexp/
或,http://www.ustc.edu.cn?
院系介绍?数学系?常用连接
网上数学实验
2009-7-24
再见
2 4 6 8 10-3-2.5-2-1.5-1-0.5
