2009-7-24
数学实验李尚志 教授中国科学技术大学数学系实验十：寻优
10.1 光的折射定律
光在同一种介质中走最短路线（直线）,聪明！
从一种介质进入另一种介质发生折射,傻了？
设光在两种介质中的速度比为 u,两介质分界线为直线。从第一介质的 A点到第二介质的 B点，走怎样的路线时间最短？
问题：
1） 利用 Mathematica：
画出 y=f(x) 的图象，观察最小值点的近似位置 x=c.
运行语句
FindMinimum[f,{x,c}]
求 f(x) 的最小值
确定最初的搜索区间 [a,b]
记 d=b-a,插入两分点
x1= a+0.382d (0.382点）
x2= a+0.618d （ 0.618点）
求出 f(x1),f(x2).
2） 0.618 搜索法（求每一点的 f 值需花成本）,
如果 f(x1)优于 f(x2),用
[a,x2] 代替 [a,b]。 x1已 是
0.618 点，只须再求 0.382
点的值。
否则，用 [x1,b]代替 [a,b]。
不断重复以上过程。
10.2 奔向最优点
问题：设 A,B,C是平面上三点。求点 P(x,y)到三点距离之和 s=f(x,y) 最小。
Mathematica语句：
FindMinimum[f[x,y],{x,x0},{y,y
0}]
多元搜索：最 速下降法
从初始位置 P0(x0,y0)出发
求 P0点及点 (x0+d,y0),
(x0,y0+d)的 f值 s0,s1,s2。
u=(s1-s0)/d,v=(s2-s0)/d.
梯度方向 G=(u,v).
最快下降方向 - G=(-u,-v)
选步长 h。 从 P0 到
P1(x0-hu,y0-hv)。
从 P1出发再前进。
10.3 最小二乘法
数据点集 t={(xi,yi)}.
用直线 y=kx+b 去拟合，使所有 kxi+b-yi 的平方和
s(k,b)最小。
Fit[t,{1,x},x]
实验十一,最速降线
重力场中高度不同的两点
A,B。
在 A静止的质点沿怎样的路径下滑到 B点，时间最少？
时间的计算
设 A(0,0),B(a,h).
将 x区间 [0,a]平均分成 n段：
xi=ia/n,i=0,1,2,…,n.
曲线上的点 Pi(xi,yi)将曲线分成 n段，逐段计算时间 T。
寻找最速降线
求 T=f(y1,y2,…,y n-1 )的最小值点 (y1,y2,…,y n-1 ) 。
用光滑曲线连接点 Pi
等时曲线
2009-7-24
最速降线的形状
2 4 6 8 10
-3
-2.5
-2
-1.5
-1
-0.5
2009-7-24
网上实验室网址：
202.38.68.76/~mathexp/
或,http://www.ustc.edu.cn?
院系介绍?数学系?常用连接
网上数学实验
2009-7-24
The End
再见
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10.1 光的折射定律
光在同一种介质中走最短路线（直线）,聪明！
从一种介质进入另一种介质发生折射,傻了？
设光在两种介质中的速度比为 u,两介质分界线为直线。从第一介质的 A点到第二介质的 B点，走怎样的路线时间最短？
问题：
1） 利用 Mathematica：
画出 y=f(x) 的图象，观察最小值点的近似位置 x=c.
运行语句
FindMinimum[f,{x,c}]
求 f(x) 的最小值
确定最初的搜索区间 [a,b]
记 d=b-a,插入两分点
x1= a+0.382d (0.382点）
x2= a+0.618d （ 0.618点）
求出 f(x1),f(x2).
2） 0.618 搜索法（求每一点的 f 值需花成本）,
如果 f(x1)优于 f(x2),用
[a,x2] 代替 [a,b]。 x1已 是
0.618 点，只须再求 0.382
点的值。
否则，用 [x1,b]代替 [a,b]。
不断重复以上过程。
10.2 奔向最优点
问题：设 A,B,C是平面上三点。求点 P(x,y)到三点距离之和 s=f(x,y) 最小。
Mathematica语句：
FindMinimum[f[x,y],{x,x0},{y,y
0}]
多元搜索：最 速下降法
从初始位置 P0(x0,y0)出发
求 P0点及点 (x0+d,y0),
(x0,y0+d)的 f值 s0,s1,s2。
u=(s1-s0)/d,v=(s2-s0)/d.
梯度方向 G=(u,v).
最快下降方向 - G=(-u,-v)
选步长 h。 从 P0 到
P1(x0-hu,y0-hv)。
从 P1出发再前进。
10.3 最小二乘法
数据点集 t={(xi,yi)}.
用直线 y=kx+b 去拟合，使所有 kxi+b-yi 的平方和
s(k,b)最小。
Fit[t,{1,x},x]
实验十一,最速降线
重力场中高度不同的两点
A,B。
在 A静止的质点沿怎样的路径下滑到 B点，时间最少？
时间的计算
设 A(0,0),B(a,h).
将 x区间 [0,a]平均分成 n段：
xi=ia/n,i=0,1,2,…,n.
曲线上的点 Pi(xi,yi)将曲线分成 n段，逐段计算时间 T。
寻找最速降线
求 T=f(y1,y2,…,y n-1 )的最小值点 (y1,y2,…,y n-1 ) 。
用光滑曲线连接点 Pi
等时曲线
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最速降线的形状
2 4 6 8 10
-3
-2.5
-2
-1.5
-1
-0.5
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或,http://www.ustc.edu.cn?
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