数学实验李尚志 教授中国科学技术大学数学系何谓,数学实验,
对数学进行折腾
连蒙带猜找规律
从问题出发，学生自己动手、动眼、动脑，
借助于计算机（成千上万次折腾），进行视觉的、数值的、符号的折腾
尝试数学的探索、发现和应用实验一：微积分基础
利用 Mathematica
1.1 函数图象：
画函数 y=f(x) 在区间 [a,b]
上的 图象的语句,
Plot [ f [x],{x,a,b} ]
sin(x)及其 Tylor逼近。
sin(x)+sin(3x)/3+…
sin(1/x)在 x=0附近的性状。
2009-7-24
Sin(x) 及其 Tylor 逼近
-6 -4 -2 2 4 6
-1.5
-1
-0.5
0.5
1
1.5
2009-7-24
sin x+sin3x/3+…+sin nx/n
-6 -4 -2 2 4 6
-0.75
-0.5
-0.25
0.25
0.5
0.75
-6 -4 -2 2 4 6
-0.75
-0.5
-0.25
0.25
0.5
0.75
n = 9 n=199
Plot[f[x],{x,a,b},PlotStyle
-> {RGBColor[1,0,0]} ]
RGBColor 表示红、绿、蓝三色的比例。
彩色图象
FindRoot[f[x],{x,a}]
求 f(x)在 x=a 附近的根。
FindMinimum[f[x],{x,a}]
求 f(x)在 x=a 附近的最小值点。
求根、求最小值
2009-7-24
Sin (1/x) 在 x=0 附近
-1 -0.5 0.5 1
-1
-0.5
0.5
1
-0.01 -0.005 0.005 0.01
-1
-0.5
0.5
1
@- 1,1D @- 0.01,0.01 D
d=Table[{1/n,Sin[n]},
{n,1,1000}] (定义点集）
ListPlot[d] （画出点集）
Show[fg1,fg2] (几个图象重新显示在同一坐标系里）
画数据点集合
Sum[f[k],{k,1,n}] (求和）
Product[f[k],{k,1,n}] (求积）
f[x_,n_]:=
(定义 x,n 的函数）
2009-7-24
Table[{1/n,Sin[n]},
{n,1,10000}]
0.0002 0.0004 0.0006 0.0008 0.001 0.0012
-1
-0.5
0.5
1
1.2 数 e
以 e= 2.71828… 为底的对数称为 自然对数
你觉得自然吗？
编制对数表
以 10为底的对数表真数 1 10 100 … …
对数 0 1 2 … …
lg 2=?
问题：跳跃太大！
对数表的构造
以 1.001为底真数 1 1.001 … 1.99901 2.00101
对数 0 1 … 693 694
真数 … 9.99264 10.0026 …
对数 … 23032304 …
计算 lg2 (线性插值 )
真数 1.99901 2 2.00101
对数 693? 694
log1.0012 =? = 693 + (2 -1.99901) /
(2.00101 - 1.99901)=693.495
同理 log1.00110 = 2303 + (10 - 9.99264) /
(10.00264 - 9.99264) = 2303.74
lg2= log1.0012 / log1.00110=0.30103
lg2 精确值 0.3010299956…
自然对数
log1.00110=2303.74,log1.0012=693.495
对数值太大！同除以 1000
（ log1.00110） /1000=2.30374=logb10
b=1.0011000=2.71692
取 (1+1/n)n 作对数的底,n越大越好。
e = limn (1+1/n)n = 2.71828…
以 e为底的对数称为 自然对数对数与指数函数的导数
以 10为底的对数 y=lg x 在 x=1处的导数
k=limt?0 lg(1+t)/t =?
函数 y = (lg x)/k = logb x 在 x=1处的导数等于 1,其中 b = 10k =?
y=10x 在 x=0 的导数,q= limx?0 (10x-
1)/x,
y=10x /q 的导数 =1= limx?0 (10x-1)/qx=
limt?0 (ct -1)/t 即 y= ct 的导数,c=101/q =?.
1.4 调和级数
H（ n） = 1+1/2+… +1/n 的图象
与 ln x 相比较
c = limn (H(n) - ln n) 称为欧拉常数
2009-7-24
网上实验室网址：
202.38.68.76/~mathexp/
或,http://www.ustc.edu.cn?
院系介绍?数学系?常用连接
网上数学实验
2009-7-24
The End
再见
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借助于计算机（成千上万次折腾），进行视觉的、数值的、符号的折腾
尝试数学的探索、发现和应用实验一：微积分基础
利用 Mathematica
1.1 函数图象：
画函数 y=f(x) 在区间 [a,b]
上的 图象的语句,
Plot [ f [x],{x,a,b} ]
sin(x)及其 Tylor逼近。
sin(x)+sin(3x)/3+…
sin(1/x)在 x=0附近的性状。
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Sin(x) 及其 Tylor 逼近
-6 -4 -2 2 4 6
-1.5
-1
-0.5
0.5
1
1.5
2009-7-24
sin x+sin3x/3+…+sin nx/n
-6 -4 -2 2 4 6
-0.75
-0.5
-0.25
0.25
0.5
0.75
-6 -4 -2 2 4 6
-0.75
-0.5
-0.25
0.25
0.5
0.75
n = 9 n=199
Plot[f[x],{x,a,b},PlotStyle
-> {RGBColor[1,0,0]} ]
RGBColor 表示红、绿、蓝三色的比例。
彩色图象
FindRoot[f[x],{x,a}]
求 f(x)在 x=a 附近的根。
FindMinimum[f[x],{x,a}]
求 f(x)在 x=a 附近的最小值点。
求根、求最小值
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Sin (1/x) 在 x=0 附近
-1 -0.5 0.5 1
-1
-0.5
0.5
1
-0.01 -0.005 0.005 0.01
-1
-0.5
0.5
1
@- 1,1D @- 0.01,0.01 D
d=Table[{1/n,Sin[n]},
{n,1,1000}] (定义点集）
ListPlot[d] （画出点集）
Show[fg1,fg2] (几个图象重新显示在同一坐标系里）
画数据点集合
Sum[f[k],{k,1,n}] (求和）
Product[f[k],{k,1,n}] (求积）
f[x_,n_]:=
(定义 x,n 的函数）
2009-7-24
Table[{1/n,Sin[n]},
{n,1,10000}]
0.0002 0.0004 0.0006 0.0008 0.001 0.0012
-1
-0.5
0.5
1
1.2 数 e
以 e= 2.71828… 为底的对数称为 自然对数
你觉得自然吗？
编制对数表
以 10为底的对数表真数 1 10 100 … …
对数 0 1 2 … …
lg 2=?
问题：跳跃太大！
对数表的构造
以 1.001为底真数 1 1.001 … 1.99901 2.00101
对数 0 1 … 693 694
真数 … 9.99264 10.0026 …
对数 … 23032304 …
计算 lg2 (线性插值 )
真数 1.99901 2 2.00101
对数 693? 694
log1.0012 =? = 693 + (2 -1.99901) /
(2.00101 - 1.99901)=693.495
同理 log1.00110 = 2303 + (10 - 9.99264) /
(10.00264 - 9.99264) = 2303.74
lg2= log1.0012 / log1.00110=0.30103
lg2 精确值 0.3010299956…
自然对数
log1.00110=2303.74,log1.0012=693.495
对数值太大！同除以 1000
（ log1.00110） /1000=2.30374=logb10
b=1.0011000=2.71692
取 (1+1/n)n 作对数的底,n越大越好。
e = limn (1+1/n)n = 2.71828…
以 e为底的对数称为 自然对数对数与指数函数的导数
以 10为底的对数 y=lg x 在 x=1处的导数
k=limt?0 lg(1+t)/t =?
函数 y = (lg x)/k = logb x 在 x=1处的导数等于 1,其中 b = 10k =?
y=10x 在 x=0 的导数,q= limx?0 (10x-
1)/x,
y=10x /q 的导数 =1= limx?0 (10x-1)/qx=
limt?0 (ct -1)/t 即 y= ct 的导数,c=101/q =?.
1.4 调和级数
H（ n） = 1+1/2+… +1/n 的图象
与 ln x 相比较
c = limn (H(n) - ln n) 称为欧拉常数
2009-7-24
网上实验室网址：
202.38.68.76/~mathexp/
或,http://www.ustc.edu.cn?
院系介绍?数学系?常用连接
网上数学实验
2009-7-24
The End
再见
