2009-7-24
数学实验之四数列与级数陈发来中国科学技术大学数学系
2009-7-24
1、数列与级数
数列
级数
数列与级数的关系给定数列（ 1），令,则数列
（ 1）等价于级数（ 2）。反之，给定级数（ 2）
令 则级数（ 2）等价于数列
（ 1）。
)1(,,,,21 naaa
)2(21 nn bbbb
1,11 nnn aabab
,21 nn bbba
2009-7-24
给定数列（ 1），回答以下问题：
1、数列有什么规律与性质？
2、数列的极限是否存在有限？
3、如果数列的极限趋于无穷，那么它趋于无穷的阶是多大？
4、如果数列的极限不存在，那它在无穷大时的极限状态又如何？
2009-7-24
2,Fibonacci数列
Fibonacci数列由递推关系确定。其前十项为：
1,1,2,3,5,8,13,21,34,55
1,1,1,2112 FFnFFF nnn
1
2
3
4
5
2009-7-24
为研究 Fibonacci数列的规律，我们在二维平面上画出顺次连接点列 的折线图。
NnFn n,,2,1),,(
5 10 15 20
1000
2000
3000
4000
2009-7-24
易知故有 的阶在 与 之间。
为进一步研究 的特性，在平面坐标系中画连接的折线图。然后用直线去拟合之,
1121 22/3 nnnnn FFFFF
nF n)2/3( n2
nF
NnFn n,,2,1)),lo g (,(
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200 400 600 800 1000
100
200
300
400
ng n 4 8 1 2 1 1.08 0 3 9 0 1.0
ngn nef 6 1 8 0 3.14 4 7 5 8 1.0
2009-7-24
猜测将上式代入递推公式中得由此然而,上式并不满足进一步猜测
nn crF?
012 rr
2/)51(2,1r
n
n cF )2/)51((
121 FF
nn
n rcrcF 2211
2009-7-24
由此得可以验证上式是 Fibonacci数列的通项,由此，
Fibonacci数列趋于无穷的阶为
5/))2/)51(()2/)51(( nnnF
5/)2/)51(( nnF
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一般地,给定数列的递推关系假设则 满足
0011kkk rr
nn cra?
nknkkn aaa 011
r
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因此 的通项为其中 是上述方程的根。
n
kk
n
n rcrca 11
krr,,1?
na
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3、调和级数调和级数研究数列的极限阶,
1
1
n n
nS n
1
3
1
2
11
2009-7-24
首先研究 的折线图,
nS
2000 4000 6000 8000 10000
7
8
9
2000 4000 6000 8000 10000
7
8
9
10
11
12
2009-7-24
由于下面研究 的极限,
从上图猜测,极限 存在,
实际上,易知
nnn SSH 2
1
22 )(
1
1
k
nnn
nk
kk SSSk
500 1000 1500 2000 2500 3000 3500 4000
0.2
0.4
0.6
0.8
1
693.0lim cH nn
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故知极限存在,进而由此猜测用数据拟合发现,
称为 Euler常数,
K
k
nnnn KcSSSS kkK
1
222 )( 1
bnaS n )lg (
693.0,1 ba
b
12/1 1nn HH
2009-7-24
也可以直接从数列 出发,
猜测
nSG n 2?
2.5 5 7.5 10 12.5 15
2
4
6
8
10
bnaS n )lg (
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4,3N+1问题
问题：任给自然数 n，如果 n是偶数，则将 n
除 2；如果 n是奇数，则将 n乘 3加 1。重复上述过程得到一个无穷数列。例如，
上述数列可递归地定义为如果 n为偶如果 n为奇
1241248165
13
2/
1
n
n
n a
a
a
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我们来研究上述数列的规律。先从简单的示例开始。
1248165
124
1248165103
12412
1241
2009-7-24
用 Mathematica编程验证：
1、是否对任意 n，从 n开始产生的数列最后都落于 4?2?1的循环中？
2、数列在落于 4?2?1循环之前，有什么规律？ Chaos n_Integer,
Module m n,t n,
While m 1,m If Mod m,2 0,m 2,3 m 1 ;
AppendTo t,m ; ; ListPlot t,PlotJoined True ; t
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对 n=27得
27,82,41,124,62,31,94,47,142,71,214,107,322,161,
484,242,121,364,182,91,274,137,412,206,103,310,155,
466,233,700,350,175,526,263,790,395,1186,593,1780,
890,445,1336,668,334,167,502,251,754,377,1132,566,
283,850,425,1276,638,319,958,479,1438,719,2158,1079,
3238,1619,4858,2429,7288,3644,1822,911,2734,1367,
4102,2051,6154,3077,9232,4616,2308,1154,577,1732,
866,433,1300,650,325,976,488,244,122,61,184,92,
46,23,70,35,106,53,160,80,40,20,10,5,16,8,4,2,1
2009-7-24 20 40 60 80 100
500
1000
1500
2000
2500
3000
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该问题起源于 20世纪 50年代，被称为
Syracuse猜想，角谷猜想,Collatz问题，
Hasse算法问题,Ulam问题,Thwaites猜想，
简称 3x+1问题。
目前有人验证到猜想仍然成立。
3 7 4 3 9 4 8 81 5 4 2 4 8 2 8 7 22137 50n
2009-7-24
一些观察：
如果,则
对,为奇数，则
kn 2?
1222 1kk
ln k2? l
llll kk 222 1?
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如果对每个 n,数列中有某一项小于 n,则猜想成立。
对 n=4k+1,有
对 n=16k+3,有
132641214 kkkk
294188361672
5241048316
kkkk
kkk
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如果猜想不成立，则只有下列两种情况之一
1、数列落于有别于 4?2?1的循环中；
2、不存在循环。此时，数列总趋势会越来越大。
2009-7-24
引入一些概念：
航班：从 n开始迭代产生的数列（直至 1为止）。如第 5次航班为 5?16?8?4?2?1
航程：航班的长度。如航班
5?16?8?4?2?1的长度为 5
最大飞行高度：一个航班中的最大数字。如第 5航班的最大飞行高度为 16
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保持高度航程：从起点起连续不小于起点的数字的个数。如 3?10?5?16?8?4?2?1
的保持高度航程为 5。如果所有航班的保持高度航程有限，则 3n+1问题成立。
航程记录航班：航程大于所有它前面的航班的航程。如第 7航班，它的航程为 16。
保持高度航程记录航班：保持高度航程大于所有前面航班的保持高度航程。
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最大飞行高度记录航班：最大飞行高度大于所有它前面的航班的最大飞行高度。
对于一个固定航班 N,考虑它着陆前的表示奇变换。其中除 2的变换称为偶变换，乘 3加 1
的变换成为奇变换。用 E(N)表示偶变换数，
O(N)表示奇变换数。
2009-7-24
一些记录：
保持高度航程,N=118303688851791519,
G(N)=1471
留数,N=993,R(N)=1.253142
航程,N=1269884180266527,F(N)=2039
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显然 3N+1问题与下列问题等价：
1）所有航班的航程有限；
2）所有航班的保持高度航程有限；
3）对所有 N,E(N)有限；
4）对所有 N,O(N)有限。
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一些探索：
1）航程与起点的关系。
500 1000 1500 2000
25
50
75
100
125
150
175
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上述图形中有没有规律？
用 f(n)表示航班 n的航程。 f(n)的上界与 n存在什么样的函数关系？例如，当 n适当大后，是否有 f(n)<n？
一些航程记录：
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2）保持高度航程与起点关系。
200 400 600 800 1000
2.5
5
7.5
10
12.5
15
17.5
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上述图形中能看出什么规律？用 G(N)表示保持高度航程。 G(N)的上界是否与不超过
c*log(N)?
对 N=2^p-1,a_2=3*2^p-2,a_4=3^2*2^p-1,
a_2p=3^p-1,于是,G(2^p-1)>2p.
一些保持高度航程记录：
G(3)=6,G(7)=11,G(27)=96,G(703)=132.
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3）最大飞行高度与起点的关系。
1000 2000 3000 4000 5000
10000
20000
30000
40000
50000
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用 t(n)表示航班 n的最高飞行高度。上述图形中有什么规律？ t(n)与 n的关系如何？例如，
是否有 t(n)<K*n*n?
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偶变换与奇变换的关系：
1000 2000 3000 4000 5000
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
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O(N)/E(N)的上界是什么？当 N趋于无穷时，
O(N)/E(N)的极限是什么？
简单分析：
其中 R(N)称为留数，它是所有形如的项的积，这里 a_i是航程中的奇数。例如，
)(32 )()( NRNNONE
)3/(11 ia
2009-7-24
对于航班 3?10?5?16?8?4?2?1,
E(3)=5,O(3)=2,R(3)=(1+1/9)(1+1/15)
取对数得
故
)15/11)(9/11(332 25
)(l o gl o g3l o g)(2l o g)( NRNNONE
3log/2log)(/)(?NENO
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且
如果
则
)(3l o g/))(l o g( l o g3l o g/2l o g)(/)( NENRNNENO
0)(/))(lo g( lo g NENRN
3lo g/2lo g)(/)(?NENO
2009-7-24
一些猜测：
（ 1） R(N)<= R(993)
(2) 令 C(N)=O(N)/E(N),则 C(N)<C,
C<log2/log3为常数。
2009-7-24
启发式论证：
注意每一次奇变换后必然是偶变换，但每一次偶变换后可以是奇变换，也可能是偶变换。
假设这种可能性是一样的。从某一个 N开始，
我们考察航班高度的变化：
（ 1）奇变换后做偶变换的结果为奇数，可能性 1/2，高度变换 3/2；
（ 2）奇变换后做偶变换的结果为偶数，可能
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性为 1/4，高度变化 3/4；
奇变换后再作三次偶变化，可能性 1/8，高度变化 3/8；
………………..
平均变化高度：
高度最终下降。
4/3)8/3()4/3()2/3( 8/14/12/1h
2009-7-24
用 c 表示保持高度航程中奇变换的次数的平均值。利用上述模型可以证明,c=3.49265…,
对 3到 2000000000之间航班的保持高度航程中奇次变换取平均值，可得到 3.4926… 。这两个结果的惊人的一致性使我们相信上述启发式模型的正确性。
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一些理论结果：
（ 1） R,Terra 和 C,Evertt证明了：几乎所有的航班都会下降到它的起点以下。
（ 2）存在常数 c,当 n 足够大时，在比 n小的航班中，能够在 1上着陆的航班个数大于或等于 n^c,1978年,R,Crandal首先给出 c=0.05;
1989年 I,Krasikov得到 c=0.43; 1993年 G,
Wirsching给出 c=0.48; 1995年 D,Applegate
和 J,Lagarias得到 c=0.81.
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会不会永远证不出来？
自从哥德尔发表他的著名的不完备定理以来，
每次数学家碰到一个困难的问题，都会疑神疑鬼 — 这会不会证不出来？
哥德尔的不完备定理，在包含皮亚诺的自然数公理的系统中，总有不可证明的命题存在。
因而 3N+1问题有可能不能证明，即使它是错误的。比如，我们可能发现一个航班，
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它非得越来越高，但无论如何不能证明它永远也不会着陆到 1。
数学家 J,Conway（ 发明了生命游戏 ） 定义了一个类似 3N+1问题的不可证明的命题 。 但他的方法仍然不能说明 3N+1是否可以证明 。
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各种变化与推广
（ 1）推广到负数。可以有三个不同循环：
-1?-2?-1
-5?-14?-7?-20?-10?-5
-17?-50?-25?-74?-37?-110?-55?-
164?-82?-41?-122?-61?-182?-91?-
272?-136?-68?-34?-17
是否有更多的循环？
2009-7-24
（ 2） 5N+1问题。又存在几个循环：
6?3?16?4?2?1?6
13?66?33?166?83?416?208?104?5
2?26?13
17?86?43?216?108?54?27?136?68
34?17
但是第７航班似乎老实在往上飞，谁也不知道它是否会降落下来。
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The End
Thank you very much for your presence.
数学实验之四数列与级数陈发来中国科学技术大学数学系
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1、数列与级数
数列
级数
数列与级数的关系给定数列（ 1），令,则数列
（ 1）等价于级数（ 2）。反之，给定级数（ 2）
令 则级数（ 2）等价于数列
（ 1）。
)1(,,,,21 naaa
)2(21 nn bbbb
1,11 nnn aabab
,21 nn bbba
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给定数列（ 1），回答以下问题：
1、数列有什么规律与性质？
2、数列的极限是否存在有限？
3、如果数列的极限趋于无穷，那么它趋于无穷的阶是多大？
4、如果数列的极限不存在，那它在无穷大时的极限状态又如何？
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2,Fibonacci数列
Fibonacci数列由递推关系确定。其前十项为：
1,1,2,3,5,8,13,21,34,55
1,1,1,2112 FFnFFF nnn
1
2
3
4
5
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为研究 Fibonacci数列的规律，我们在二维平面上画出顺次连接点列 的折线图。
NnFn n,,2,1),,(
5 10 15 20
1000
2000
3000
4000
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易知故有 的阶在 与 之间。
为进一步研究 的特性，在平面坐标系中画连接的折线图。然后用直线去拟合之,
1121 22/3 nnnnn FFFFF
nF n)2/3( n2
nF
NnFn n,,2,1)),lo g (,(
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200 400 600 800 1000
100
200
300
400
ng n 4 8 1 2 1 1.08 0 3 9 0 1.0
ngn nef 6 1 8 0 3.14 4 7 5 8 1.0
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猜测将上式代入递推公式中得由此然而,上式并不满足进一步猜测
nn crF?
012 rr
2/)51(2,1r
n
n cF )2/)51((
121 FF
nn
n rcrcF 2211
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由此得可以验证上式是 Fibonacci数列的通项,由此，
Fibonacci数列趋于无穷的阶为
5/))2/)51(()2/)51(( nnnF
5/)2/)51(( nnF
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一般地,给定数列的递推关系假设则 满足
0011kkk rr
nn cra?
nknkkn aaa 011
r
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因此 的通项为其中 是上述方程的根。
n
kk
n
n rcrca 11
krr,,1?
na
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3、调和级数调和级数研究数列的极限阶,
1
1
n n
nS n
1
3
1
2
11
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首先研究 的折线图,
nS
2000 4000 6000 8000 10000
7
8
9
2000 4000 6000 8000 10000
7
8
9
10
11
12
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由于下面研究 的极限,
从上图猜测,极限 存在,
实际上,易知
nnn SSH 2
1
22 )(
1
1
k
nnn
nk
kk SSSk
500 1000 1500 2000 2500 3000 3500 4000
0.2
0.4
0.6
0.8
1
693.0lim cH nn
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故知极限存在,进而由此猜测用数据拟合发现,
称为 Euler常数,
K
k
nnnn KcSSSS kkK
1
222 )( 1
bnaS n )lg (
693.0,1 ba
b
12/1 1nn HH
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也可以直接从数列 出发,
猜测
nSG n 2?
2.5 5 7.5 10 12.5 15
2
4
6
8
10
bnaS n )lg (
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4,3N+1问题
问题：任给自然数 n，如果 n是偶数，则将 n
除 2；如果 n是奇数，则将 n乘 3加 1。重复上述过程得到一个无穷数列。例如，
上述数列可递归地定义为如果 n为偶如果 n为奇
1241248165
13
2/
1
n
n
n a
a
a
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我们来研究上述数列的规律。先从简单的示例开始。
1248165
124
1248165103
12412
1241
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用 Mathematica编程验证：
1、是否对任意 n，从 n开始产生的数列最后都落于 4?2?1的循环中？
2、数列在落于 4?2?1循环之前，有什么规律？ Chaos n_Integer,
Module m n,t n,
While m 1,m If Mod m,2 0,m 2,3 m 1 ;
AppendTo t,m ; ; ListPlot t,PlotJoined True ; t
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对 n=27得
27,82,41,124,62,31,94,47,142,71,214,107,322,161,
484,242,121,364,182,91,274,137,412,206,103,310,155,
466,233,700,350,175,526,263,790,395,1186,593,1780,
890,445,1336,668,334,167,502,251,754,377,1132,566,
283,850,425,1276,638,319,958,479,1438,719,2158,1079,
3238,1619,4858,2429,7288,3644,1822,911,2734,1367,
4102,2051,6154,3077,9232,4616,2308,1154,577,1732,
866,433,1300,650,325,976,488,244,122,61,184,92,
46,23,70,35,106,53,160,80,40,20,10,5,16,8,4,2,1
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2500
3000
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该问题起源于 20世纪 50年代，被称为
Syracuse猜想，角谷猜想,Collatz问题，
Hasse算法问题,Ulam问题,Thwaites猜想，
简称 3x+1问题。
目前有人验证到猜想仍然成立。
3 7 4 3 9 4 8 81 5 4 2 4 8 2 8 7 22137 50n
2009-7-24
一些观察：
如果,则
对,为奇数，则
kn 2?
1222 1kk
ln k2? l
llll kk 222 1?
2009-7-24
如果对每个 n,数列中有某一项小于 n,则猜想成立。
对 n=4k+1,有
对 n=16k+3,有
132641214 kkkk
294188361672
5241048316
kkkk
kkk
2009-7-24
如果猜想不成立，则只有下列两种情况之一
1、数列落于有别于 4?2?1的循环中；
2、不存在循环。此时，数列总趋势会越来越大。
2009-7-24
引入一些概念：
航班：从 n开始迭代产生的数列（直至 1为止）。如第 5次航班为 5?16?8?4?2?1
航程：航班的长度。如航班
5?16?8?4?2?1的长度为 5
最大飞行高度：一个航班中的最大数字。如第 5航班的最大飞行高度为 16
2009-7-24
保持高度航程：从起点起连续不小于起点的数字的个数。如 3?10?5?16?8?4?2?1
的保持高度航程为 5。如果所有航班的保持高度航程有限，则 3n+1问题成立。
航程记录航班：航程大于所有它前面的航班的航程。如第 7航班，它的航程为 16。
保持高度航程记录航班：保持高度航程大于所有前面航班的保持高度航程。
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最大飞行高度记录航班：最大飞行高度大于所有它前面的航班的最大飞行高度。
对于一个固定航班 N,考虑它着陆前的表示奇变换。其中除 2的变换称为偶变换，乘 3加 1
的变换成为奇变换。用 E(N)表示偶变换数，
O(N)表示奇变换数。
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一些记录：
保持高度航程,N=118303688851791519,
G(N)=1471
留数,N=993,R(N)=1.253142
航程,N=1269884180266527,F(N)=2039
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显然 3N+1问题与下列问题等价：
1）所有航班的航程有限；
2）所有航班的保持高度航程有限；
3）对所有 N,E(N)有限；
4）对所有 N,O(N)有限。
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一些探索：
1）航程与起点的关系。
500 1000 1500 2000
25
50
75
100
125
150
175
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上述图形中有没有规律？
用 f(n)表示航班 n的航程。 f(n)的上界与 n存在什么样的函数关系？例如，当 n适当大后，是否有 f(n)<n？
一些航程记录：
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2）保持高度航程与起点关系。
200 400 600 800 1000
2.5
5
7.5
10
12.5
15
17.5
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上述图形中能看出什么规律？用 G(N)表示保持高度航程。 G(N)的上界是否与不超过
c*log(N)?
对 N=2^p-1,a_2=3*2^p-2,a_4=3^2*2^p-1,
a_2p=3^p-1,于是,G(2^p-1)>2p.
一些保持高度航程记录：
G(3)=6,G(7)=11,G(27)=96,G(703)=132.
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3）最大飞行高度与起点的关系。
1000 2000 3000 4000 5000
10000
20000
30000
40000
50000
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用 t(n)表示航班 n的最高飞行高度。上述图形中有什么规律？ t(n)与 n的关系如何？例如，
是否有 t(n)<K*n*n?
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偶变换与奇变换的关系：
1000 2000 3000 4000 5000
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
2009-7-24
O(N)/E(N)的上界是什么？当 N趋于无穷时，
O(N)/E(N)的极限是什么？
简单分析：
其中 R(N)称为留数，它是所有形如的项的积，这里 a_i是航程中的奇数。例如，
)(32 )()( NRNNONE
)3/(11 ia
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对于航班 3?10?5?16?8?4?2?1,
E(3)=5,O(3)=2,R(3)=(1+1/9)(1+1/15)
取对数得
故
)15/11)(9/11(332 25
)(l o gl o g3l o g)(2l o g)( NRNNONE
3log/2log)(/)(?NENO
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且
如果
则
)(3l o g/))(l o g( l o g3l o g/2l o g)(/)( NENRNNENO
0)(/))(lo g( lo g NENRN
3lo g/2lo g)(/)(?NENO
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一些猜测：
（ 1） R(N)<= R(993)
(2) 令 C(N)=O(N)/E(N),则 C(N)<C,
C<log2/log3为常数。
2009-7-24
启发式论证：
注意每一次奇变换后必然是偶变换，但每一次偶变换后可以是奇变换，也可能是偶变换。
假设这种可能性是一样的。从某一个 N开始，
我们考察航班高度的变化：
（ 1）奇变换后做偶变换的结果为奇数，可能性 1/2，高度变换 3/2；
（ 2）奇变换后做偶变换的结果为偶数，可能
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性为 1/4，高度变化 3/4；
奇变换后再作三次偶变化，可能性 1/8，高度变化 3/8；
………………..
平均变化高度：
高度最终下降。
4/3)8/3()4/3()2/3( 8/14/12/1h
2009-7-24
用 c 表示保持高度航程中奇变换的次数的平均值。利用上述模型可以证明,c=3.49265…,
对 3到 2000000000之间航班的保持高度航程中奇次变换取平均值，可得到 3.4926… 。这两个结果的惊人的一致性使我们相信上述启发式模型的正确性。
2009-7-24
一些理论结果：
（ 1） R,Terra 和 C,Evertt证明了：几乎所有的航班都会下降到它的起点以下。
（ 2）存在常数 c,当 n 足够大时，在比 n小的航班中，能够在 1上着陆的航班个数大于或等于 n^c,1978年,R,Crandal首先给出 c=0.05;
1989年 I,Krasikov得到 c=0.43; 1993年 G,
Wirsching给出 c=0.48; 1995年 D,Applegate
和 J,Lagarias得到 c=0.81.
2009-7-24
会不会永远证不出来？
自从哥德尔发表他的著名的不完备定理以来，
每次数学家碰到一个困难的问题，都会疑神疑鬼 — 这会不会证不出来？
哥德尔的不完备定理，在包含皮亚诺的自然数公理的系统中，总有不可证明的命题存在。
因而 3N+1问题有可能不能证明，即使它是错误的。比如，我们可能发现一个航班，
2009-7-24
它非得越来越高，但无论如何不能证明它永远也不会着陆到 1。
数学家 J,Conway（ 发明了生命游戏 ） 定义了一个类似 3N+1问题的不可证明的命题 。 但他的方法仍然不能说明 3N+1是否可以证明 。
2009-7-24
各种变化与推广
（ 1）推广到负数。可以有三个不同循环：
-1?-2?-1
-5?-14?-7?-20?-10?-5
-17?-50?-25?-74?-37?-110?-55?-
164?-82?-41?-122?-61?-182?-91?-
272?-136?-68?-34?-17
是否有更多的循环？
2009-7-24
（ 2） 5N+1问题。又存在几个循环：
6?3?16?4?2?1?6
13?66?33?166?83?416?208?104?5
2?26?13
17?86?43?216?108?54?27?136?68
34?17
但是第７航班似乎老实在往上飞，谁也不知道它是否会降落下来。
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The End
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