数学实验之十二迭代（ 2） ---分形中国科学技术大学数学系陈发来实验内容
什么是分形？
图形迭代
函数迭代
IFS迭代
分形的应用
1、什么是分形
分形发展简史欧氏几何、解析几何、微分几何 —正则微积分，复变函数 ---光滑反例 1,Cantor集合
0F
1F
2F
Cantor 集合 中点数不可数（比有理数还多！），但其区间长度为零！
反例 2,Weierstrass函数其中 1<s<2 且,W(x) 是处处连续、
处处不可微的函数。对应 s=1.4,
的图象是
F
0
)2( )s i n ()(
n
nns xxW
1
2
反例 3,Van Koch 雪花曲线大自然的不规则性：
树木花草、山川河流、烟雾云彩等是不规则的。晶体的生长，分子的运动轨迹等也是不规则的。如何用几何来描述它？
B,Mandelbrot 观察到英国海岸线与 Van
Koch 曲线的关系，提出了一门描述大自然的几何形态的学科 ---分形 (Fractal)
英国的海岸线有多长？
B,B,Mandelbrot
分形的特性
1、具有无限精细的结构
2、局部与整体的相似性
3、具有非拓扑维数，并且它大于对应的拓扑维数
4、具有随机性
5、在大多数情况下，分形可以用非常简单的方法确定，可能由迭代产生。
分形的维数
1、相似维数：设分形 F 是自相似的，
即 F 由 m 个子集构成，每个子集放大 c
倍后同 F一样，则定义 F 的维数为例如，对于 Cantor集，
对于 Van Koch 雪花曲线，
)l og (/)l og ()( cmFd?
3l o g/2l o g)(?Fd
3l o g/4l o g)(?Fd
对于一条直线段，将它等分，每段长度为 原来的 1/N，共分为 N段。
将一个正方形每边等分成 N段，共有 N^2
个小正方形。
将一个立方体每边等分成 N段，共有 N^3
个小立方体。
一般地，设一图形可分解为 m个与之相似的子图形，每个子图形是原来的 1/c,则图形的维数 D满足,c^D=m.
2、盒子维数：设 是有界集合，
其中 R 是正方形。将 R 分成边长为 的子正方形。记 为子正方形中包含 F
中点的子正方形的个数。定义 F 的盒子维数为例如，对于 Weierstrass处处连续、处处不可微的函数，其分形维数为 s.
RF?
)/1l n (
)(lnl i m)(
0?
NFd
)(?N
分形的应用领域
1、数学：动力系统
2、物理：布朗运动，流体力学中的湍流
3、化学：酶的构造，
4、生物：细胞的生长
5、地质：地质构造
6、天文：土星上的光环其他：计算机，经济，社会，艺术等等
2、图形迭代生成分形
给定初始图形,依照某一规则对图形反复作用得到图形序列其极限图形是分形，作用规则 称为生成元。
R
,.,,1,0,1 kRFF kk
...,,21 FF
R
0F
例如,Cantor 集的生成元是
Van Koch 雪花曲线的生成元是其它实例
2,Minkowski,香肠”
3,Sierpinski地毯
4、龙曲线
5,Hilbert曲线
6、花草树木 (L系统）
生物学家 Lindenmayer提出 。一个 L系统可表示为一个有序的三元素集合：
其中,V是一些运动过程集合，
w是初始形状，
P是生成式。
PwVG,,
例如,F表示向前距离 d,+表示左转弯 a,
-表示右转弯,[表示压栈,]表示出栈。
FFFFFFP
FwFV
][][:
,] },[,,,,{
6、花草树木 (L 系统）
3、函数迭代产生的分形用 Z表示复数，定义在复平面上的函数
f(Z)称为复变函数。
任意给定初始复数值,定义复数序列对于什么样的初始值,复数序列收敛或有界？
}{ nZ
0Z
0Z
)1(,2,1,0),(1 nZfZ nn
Julia集考虑复变函数迭代固定复参数 c,使得迭代序列 有界的初值 在复平面上的分布图形称为 Julia集，亦即迭代序列 有界 }
)2(,1,0,21 ncZZ nn
}{ nZ
0Z
}{ nZ|{ 0ZJ c?
Mandelbrot集固定初值,使得迭代序列（ 2）有界的参数 c 在复平面上的分布图形称为
Mandelbrot集。即迭代序列 有界 }
记则（ 2）变为
0Z
qipcyixZ,
)3(
21
22
1
qyxy
pyxx
nnn
nnn
}{ nZ|{0 cJ Z?
Julia 集的绘制方法：
1、设定初值 p,q,最大的迭代次数 N,图形的大小 a,b,及使用的颜色数 K.
2,设定区域的界值
3、将区域 分成的网格，分别以每个网格点为初值利用（ 3）做迭代。如果对所有的都有,则将象素 (i,j) 置为黑色。如果从某一步 n 开始，,
则将象素 (i,j)置为颜色 n mod K。
),2ma x ( 22 qpM
],[],[ MMMMR ba?
),( 00 yx
Nn?
222 Myx nn
222 Myx nn
４,IFS迭代产生分形
混沌游戏给定平面上三点 A,B,C。 再任意给定初始点,做下列迭代
,2/)(
,2/)(
,2/)(
1
CZ
BZ
AZ
Z
n
n
n
n
当掷出的硬币呈正面当掷出的硬币呈反面当掷出的硬币呈侧面
0Z
按上述方式迭代数百次，呈现极不规则的图形。故称为混沌游戏。
IFS迭代
IFS--Iterated Function System
取定 n 个仿射变换以及 n 个概率任给初值,以概率 选取变换进行迭代则点集 的聚点集合称为一个 IFS吸引子。
nibZaZw iii,...,2,1,)(
)1...(,.,,,12,1 nn ppppp
0Z i
p
iw
}{ kZ
1 ( ),0,1,.,,k i kZ w z k
用 IFS绘制分形的方法
１、设图形可视区域为假设采用 L 级灰度的图像绘制，总迭代次数为 N。
２,将 V 分成 的网格，格点为用 表示矩形区域。用表示在 N次迭代中落入 中点的个数。
记 则象素 (i,j)的灰度为
ba?
],[],[ m a xm i nm a xm i n yyxxV
),( ji yx
],[],[ 11 jjiiij yyxxV
ij?
ijV
ij m a x?
LjiG ij /),(
一些实例
Cantor 树
3,2,1,3/)2()( jZZZw jj
3/1321 ppp
龙曲线
1)(,1)( 21 sZZwsZZw
ispp 5.05.0,2/121
利用 IFS迭代可以得到图象压缩的有效方法。对给定的图像，利用 IFS 迭代原理，
确定一系列仿射变换,使得对任给的概率,由确定的 IFS的吸引子就是给定的图像。即要解 IFS 迭代的逆问题。
Niw i,,2,1,
Nip i,,2,1,
},{ ii pw
5、分形欣赏分形时装分形音乐
相关主页：
www.geocities.com/
SiliconValley/Haven/4386
http://www.fractal.com.cn/fxiy/index.htm
分形影院
http://www.fractal.com.cn/fxyy/fs/fs005.htm
什么是分形？
图形迭代
函数迭代
IFS迭代
分形的应用
1、什么是分形
分形发展简史欧氏几何、解析几何、微分几何 —正则微积分，复变函数 ---光滑反例 1,Cantor集合
0F
1F
2F
Cantor 集合 中点数不可数（比有理数还多！），但其区间长度为零！
反例 2,Weierstrass函数其中 1<s<2 且,W(x) 是处处连续、
处处不可微的函数。对应 s=1.4,
的图象是
F
0
)2( )s i n ()(
n
nns xxW
1
2
反例 3,Van Koch 雪花曲线大自然的不规则性：
树木花草、山川河流、烟雾云彩等是不规则的。晶体的生长，分子的运动轨迹等也是不规则的。如何用几何来描述它？
B,Mandelbrot 观察到英国海岸线与 Van
Koch 曲线的关系，提出了一门描述大自然的几何形态的学科 ---分形 (Fractal)
英国的海岸线有多长？
B,B,Mandelbrot
分形的特性
1、具有无限精细的结构
2、局部与整体的相似性
3、具有非拓扑维数，并且它大于对应的拓扑维数
4、具有随机性
5、在大多数情况下，分形可以用非常简单的方法确定，可能由迭代产生。
分形的维数
1、相似维数：设分形 F 是自相似的，
即 F 由 m 个子集构成，每个子集放大 c
倍后同 F一样，则定义 F 的维数为例如，对于 Cantor集，
对于 Van Koch 雪花曲线，
)l og (/)l og ()( cmFd?
3l o g/2l o g)(?Fd
3l o g/4l o g)(?Fd
对于一条直线段，将它等分，每段长度为 原来的 1/N，共分为 N段。
将一个正方形每边等分成 N段，共有 N^2
个小正方形。
将一个立方体每边等分成 N段，共有 N^3
个小立方体。
一般地，设一图形可分解为 m个与之相似的子图形，每个子图形是原来的 1/c,则图形的维数 D满足,c^D=m.
2、盒子维数：设 是有界集合，
其中 R 是正方形。将 R 分成边长为 的子正方形。记 为子正方形中包含 F
中点的子正方形的个数。定义 F 的盒子维数为例如，对于 Weierstrass处处连续、处处不可微的函数，其分形维数为 s.
RF?
)/1l n (
)(lnl i m)(
0?
NFd
)(?N
分形的应用领域
1、数学：动力系统
2、物理：布朗运动，流体力学中的湍流
3、化学：酶的构造，
4、生物：细胞的生长
5、地质：地质构造
6、天文：土星上的光环其他：计算机，经济，社会，艺术等等
2、图形迭代生成分形
给定初始图形,依照某一规则对图形反复作用得到图形序列其极限图形是分形，作用规则 称为生成元。
R
,.,,1,0,1 kRFF kk
...,,21 FF
R
0F
例如,Cantor 集的生成元是
Van Koch 雪花曲线的生成元是其它实例
2,Minkowski,香肠”
3,Sierpinski地毯
4、龙曲线
5,Hilbert曲线
6、花草树木 (L系统）
生物学家 Lindenmayer提出 。一个 L系统可表示为一个有序的三元素集合：
其中,V是一些运动过程集合，
w是初始形状，
P是生成式。
PwVG,,
例如,F表示向前距离 d,+表示左转弯 a,
-表示右转弯,[表示压栈,]表示出栈。
FFFFFFP
FwFV
][][:
,] },[,,,,{
6、花草树木 (L 系统）
3、函数迭代产生的分形用 Z表示复数，定义在复平面上的函数
f(Z)称为复变函数。
任意给定初始复数值,定义复数序列对于什么样的初始值,复数序列收敛或有界？
}{ nZ
0Z
0Z
)1(,2,1,0),(1 nZfZ nn
Julia集考虑复变函数迭代固定复参数 c,使得迭代序列 有界的初值 在复平面上的分布图形称为 Julia集，亦即迭代序列 有界 }
)2(,1,0,21 ncZZ nn
}{ nZ
0Z
}{ nZ|{ 0ZJ c?
Mandelbrot集固定初值,使得迭代序列（ 2）有界的参数 c 在复平面上的分布图形称为
Mandelbrot集。即迭代序列 有界 }
记则（ 2）变为
0Z
qipcyixZ,
)3(
21
22
1
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nnn
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}{ nZ|{0 cJ Z?
Julia 集的绘制方法：
1、设定初值 p,q,最大的迭代次数 N,图形的大小 a,b,及使用的颜色数 K.
2,设定区域的界值
3、将区域 分成的网格，分别以每个网格点为初值利用（ 3）做迭代。如果对所有的都有,则将象素 (i,j) 置为黑色。如果从某一步 n 开始，,
则将象素 (i,j)置为颜色 n mod K。
),2ma x ( 22 qpM
],[],[ MMMMR ba?
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222 Myx nn
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４,IFS迭代产生分形
混沌游戏给定平面上三点 A,B,C。 再任意给定初始点,做下列迭代
,2/)(
,2/)(
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1
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当掷出的硬币呈正面当掷出的硬币呈反面当掷出的硬币呈侧面
0Z
按上述方式迭代数百次，呈现极不规则的图形。故称为混沌游戏。
IFS迭代
IFS--Iterated Function System
取定 n 个仿射变换以及 n 个概率任给初值,以概率 选取变换进行迭代则点集 的聚点集合称为一个 IFS吸引子。
nibZaZw iii,...,2,1,)(
)1...(,.,,,12,1 nn ppppp
0Z i
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}{ kZ
1 ( ),0,1,.,,k i kZ w z k
用 IFS绘制分形的方法
１、设图形可视区域为假设采用 L 级灰度的图像绘制，总迭代次数为 N。
２,将 V 分成 的网格，格点为用 表示矩形区域。用表示在 N次迭代中落入 中点的个数。
记 则象素 (i,j)的灰度为
ba?
],[],[ m a xm i nm a xm i n yyxxV
),( ji yx
],[],[ 11 jjiiij yyxxV
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ijV
ij m a x?
LjiG ij /),(
一些实例
Cantor 树
3,2,1,3/)2()( jZZZw jj
3/1321 ppp
龙曲线
1)(,1)( 21 sZZwsZZw
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利用 IFS迭代可以得到图象压缩的有效方法。对给定的图像，利用 IFS 迭代原理，
确定一系列仿射变换,使得对任给的概率,由确定的 IFS的吸引子就是给定的图像。即要解 IFS 迭代的逆问题。
Niw i,,2,1,
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5、分形欣赏分形时装分形音乐
相关主页：
www.geocities.com/
SiliconValley/Haven/4386
http://www.fractal.com.cn/fxiy/index.htm
分形影院
http://www.fractal.com.cn/fxyy/fs/fs005.htm
