数学实验李尚志 教授中国科学技术大学数学系实验二,? 的计算
想一想：怎样算?？
当一回祖冲之！
圆的面积
单位圆的面积等于?
计算第一象限内的单位圆的面积，
方法为：把它分成 n个窄的曲边梯形，
计算 S大,S小,其中 n可以为 1000,
10000,...
2009-7-24
数值积分法
4
)1(1
4
1
1
0
2
1
0
2
dxx
dxx
2009-7-24
梯形公式
i
n
ab
ax
n
ab
xf
bfafdxxf
i
n
i
i
b
a
,)](
2/))()([()(
1
1
2009-7-24
辛普森公式
n
ab
xfxf
bfafdxxf
n
i
i
n
i
i
b
a
6
)](2)(4
)()([)(
1
1
1
0
5.0
无穷级数法
arctg x =x-x3/3+x5/5-x7/7+x9/9-...
/4 = arctg 1 =1-1/3+1/5-1/7+1/9-…
收敛太慢！
|x| 应当比 1 小很多，级数收敛才快。
/4 = arctg 1/2 + arctg 1/3
/4 = 4 arctg 1/5 - arctg 1/239
蒙特卡洛方法
求出 S=?/4占 S正方形 ACBO的比例。
随机投点 P(x,y)
P在圆内?x2+y2?1
/4的近似值为落在圆内的点数与总投点数的比值 A
S
CB
O
2009-7-24
某次随机投点的结果
0.2 0.4 0.6 0.8 1
0.2
0.4
0.6
0.8
1
3.14800000000000013` 3.14800000000000013`
3.14800000000000013`
实验三,最佳分数近似值
问题：
祖冲之的圆周率为
A,3.141592… B,355/113?
上述哪一个值更佳？
寻找最佳
最佳近似值：误差小，分母小。
准确值 z=?,分数近似值 u/v，
误差 d=|z-u/v|。
选法 1：递增选 v，使 d递减。
选法 2：递增选 v，使 vd 递减。
选法 3：以 v2d小为佳，选十佳。
2009-7-24
快速寻佳
.,,
1
.
7
22
7
1
3,
7
11
,77.,,0 6 2 5.7
1
.,,1 4 1 5 9 2 6 5.0,33
2
2
1
1
2
1
1
11
x
A
A
x
x
x
A
xx
音阶的频率比
声音越高，频率越高。
1,2,3,4,5,6,7,i 频率各是多少？
高 8度 i 是 1 的 2倍。其余的音是 1 的几倍？
十二平均律：频率等比上升，每半度升高 21/12。
比例都是无理数。
但为了音乐和谐，比例应是简单分数。
矛盾的解决办法：用最佳分数近似值！
音阶的频率比
高 8度 i 是 1 的 2倍。其余的音是 1 的几倍？
十二平均律：频率等比上升，每半度升高 21/12:
1,1#,2,2#,3,4,4#,5,5#,6,6#,7,i
1,22/12,24/12,25/12,27/12,29/12,211/12,2
比例都是无理数,1,1.12246,1.25992,
1.33484,1.49831,1.68179,1.88775,2
但为了音乐和谐，比例应是简单分数
怎样解决矛盾：用分母尽可能小的分数近似值：
1,9/8,5/4,4/3,3/2,5/3,15/8,2
2009-7-24
计算对数值
,3,225.1,25.1
2
10
2
.1
1
,32102
.1
1
,102,210:2l o g
323
2
221
43
110
22
1
xA
x
AxA
x
Ax
Ax
Ax
2009-7-24
网上 教材网址：
202.38.68.76/~mathexp/
或,http://www.ustc.edu.cn?
院系介绍?数学系?常用连接
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再见
想一想：怎样算?？
当一回祖冲之！
圆的面积
单位圆的面积等于?
计算第一象限内的单位圆的面积，
方法为：把它分成 n个窄的曲边梯形，
计算 S大,S小,其中 n可以为 1000,
10000,...
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数值积分法
4
)1(1
4
1
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2
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梯形公式
i
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辛普森公式
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5.0
无穷级数法
arctg x =x-x3/3+x5/5-x7/7+x9/9-...
/4 = arctg 1 =1-1/3+1/5-1/7+1/9-…
收敛太慢！
|x| 应当比 1 小很多，级数收敛才快。
/4 = arctg 1/2 + arctg 1/3
/4 = 4 arctg 1/5 - arctg 1/239
蒙特卡洛方法
求出 S=?/4占 S正方形 ACBO的比例。
随机投点 P(x,y)
P在圆内?x2+y2?1
/4的近似值为落在圆内的点数与总投点数的比值 A
S
CB
O
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某次随机投点的结果
0.2 0.4 0.6 0.8 1
0.2
0.4
0.6
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1
3.14800000000000013` 3.14800000000000013`
3.14800000000000013`
实验三,最佳分数近似值
问题：
祖冲之的圆周率为
A,3.141592… B,355/113?
上述哪一个值更佳？
寻找最佳
最佳近似值：误差小，分母小。
准确值 z=?,分数近似值 u/v，
误差 d=|z-u/v|。
选法 1：递增选 v，使 d递减。
选法 2：递增选 v，使 vd 递减。
选法 3：以 v2d小为佳，选十佳。
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快速寻佳
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音阶的频率比
声音越高，频率越高。
1,2,3,4,5,6,7,i 频率各是多少？
高 8度 i 是 1 的 2倍。其余的音是 1 的几倍？
十二平均律：频率等比上升，每半度升高 21/12。
比例都是无理数。
但为了音乐和谐，比例应是简单分数。
矛盾的解决办法：用最佳分数近似值！
音阶的频率比
高 8度 i 是 1 的 2倍。其余的音是 1 的几倍？
十二平均律：频率等比上升，每半度升高 21/12:
1,1#,2,2#,3,4,4#,5,5#,6,6#,7,i
1,22/12,24/12,25/12,27/12,29/12,211/12,2
比例都是无理数,1,1.12246,1.25992,
1.33484,1.49831,1.68179,1.88775,2
但为了音乐和谐，比例应是简单分数
怎样解决矛盾：用分母尽可能小的分数近似值：
1,9/8,5/4,4/3,3/2,5/3,15/8,2
2009-7-24
计算对数值
,3,225.1,25.1
2
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网上 教材网址：
202.38.68.76/~mathexp/
或,http://www.ustc.edu.cn?
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网上数学实验
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