数学实验李尚志 教授中国科学技术大学数学系实验七,几何变换
(x,y)?(x’,y’)
x’=f1(x,y),y’=f2(x,y)
曲线 C,x=x(t),y=y(t)?
曲线 C’,x=f1(x(t),y(t)),
,y=f2(x(t),y(t))
线性变换
x’=a1x+b1y,y’=a2x+b2y,
画出由平面直线段或曲线段组成的图形 C及其象 C’。
观察：直线、平行、垂直、
长度、角度、圆
2009-7-24
线性变换前后的图形线性变换的特征向量
观察 向量方向变化情况：
左偏，右偏，不变，反向。
变换 作用多次，观察趋势。
2009-7-24
向量方向的变化
2009-7-24
变换的迭代
-4 -2 2 4
-4
-2
2
4
射影变换
x’ = x / (1-x),y’= y / (1-x).
直线、相交、平行?？
相交于 x=1的直线?？
圆 (与 x=1相离、切、交 )
2009-7-24
相交直线变成平行直线
0.511.522.53-0.50.5
11.5
22.5
0.5 1 1.5 2 2.5 3
-0.5
0.5
1
1.5
2
2.5
-6 -4 -2 2 4
-4
-3
-2
-1
1
2
3
2009-7-24
圆变成圆锥曲线
-7.5 -5 -2.5 2.5 5 7.5 10
-4
-2
2
4
-1 -0.5 0.5 1
-1
-0.5
0.5
1
非欧几何
克莱茵模型：
以单位圆 G内部为整个平面，
直线在 G内的部分为直线。
,直线”长度为有限？
罗巴切夫斯基变换：
将 G变为自己的射影变换。
双曲旋转
x’=(x ch t+sh t )/(x sh t+ch t),
y’= y /(x sh t+ch t) 是罗氏变换。
利用双曲旋转制作罗氏刻度尺和量角器。
2009-7-24
0.511.522.53-0.50.5
11.5
22.5
-1 -0.5 0.5 1
-1
-0.5
0.5
1
-1 -0.5 0.5 1
-1
-0.5
0.5
1
罗氏刻度尺 量角器罗氏平行公理
-1 -0.5 0.5 1
-1
-0.5
0.5
1
代数基本定理
复多项式 f (z)有 复零点 z0.
f (x+y i) = x’+ y’ i 决定实变换
j,(x,y)?(x’,y’).
画半径 R的圆 CR? CR’.
R很 大,CR’含原点。 R? 0时 CR’连续缩为一点。必扫过原点。
2009-7-24
复多项式 f(z)引起的变换：
变换前为半径 r的圆
-10000 -5000 5000 10000
-10000
-5000
5000
10000
r = 10.0 ;
-40 -30 -20 -10 10 20
-30
-20
-10
10
20
30
r=2.1
r=2.1
《数学实验》教材目录
微积分基础
怎样计算?
最佳分数近似值
数列与级数
素数
概率
几何变换
天体运动
迭代（一）：方程求解
寻优
最速降线
迭代 （二）：分形
迭代（三）：混沌
密码
初等几何定理的机器证明
2009-7-24
网上 实验室网址：
202.38.68.76/~mathexp/
或,http://www.ustc.edu.cn?
院系介绍?数学系?常用连接
网上数学实验
2009-7-24
再见
2 4 6 8 10-3-2.5-2-1.5-1-0.5
(x,y)?(x’,y’)
x’=f1(x,y),y’=f2(x,y)
曲线 C,x=x(t),y=y(t)?
曲线 C’,x=f1(x(t),y(t)),
,y=f2(x(t),y(t))
线性变换
x’=a1x+b1y,y’=a2x+b2y,
画出由平面直线段或曲线段组成的图形 C及其象 C’。
观察：直线、平行、垂直、
长度、角度、圆
2009-7-24
线性变换前后的图形线性变换的特征向量
观察 向量方向变化情况：
左偏，右偏，不变，反向。
变换 作用多次，观察趋势。
2009-7-24
向量方向的变化
2009-7-24
变换的迭代
-4 -2 2 4
-4
-2
2
4
射影变换
x’ = x / (1-x),y’= y / (1-x).
直线、相交、平行?？
相交于 x=1的直线?？
圆 (与 x=1相离、切、交 )
2009-7-24
相交直线变成平行直线
0.511.522.53-0.50.5
11.5
22.5
0.5 1 1.5 2 2.5 3
-0.5
0.5
1
1.5
2
2.5
-6 -4 -2 2 4
-4
-3
-2
-1
1
2
3
2009-7-24
圆变成圆锥曲线
-7.5 -5 -2.5 2.5 5 7.5 10
-4
-2
2
4
-1 -0.5 0.5 1
-1
-0.5
0.5
1
非欧几何
克莱茵模型：
以单位圆 G内部为整个平面，
直线在 G内的部分为直线。
,直线”长度为有限？
罗巴切夫斯基变换：
将 G变为自己的射影变换。
双曲旋转
x’=(x ch t+sh t )/(x sh t+ch t),
y’= y /(x sh t+ch t) 是罗氏变换。
利用双曲旋转制作罗氏刻度尺和量角器。
2009-7-24
0.511.522.53-0.50.5
11.5
22.5
-1 -0.5 0.5 1
-1
-0.5
0.5
1
-1 -0.5 0.5 1
-1
-0.5
0.5
1
罗氏刻度尺 量角器罗氏平行公理
-1 -0.5 0.5 1
-1
-0.5
0.5
1
代数基本定理
复多项式 f (z)有 复零点 z0.
f (x+y i) = x’+ y’ i 决定实变换
j,(x,y)?(x’,y’).
画半径 R的圆 CR? CR’.
R很 大,CR’含原点。 R? 0时 CR’连续缩为一点。必扫过原点。
2009-7-24
复多项式 f(z)引起的变换：
变换前为半径 r的圆
-10000 -5000 5000 10000
-10000
-5000
5000
10000
r = 10.0 ;
-40 -30 -20 -10 10 20
-30
-20
-10
10
20
30
r=2.1
r=2.1
《数学实验》教材目录
微积分基础
怎样计算?
最佳分数近似值
数列与级数
素数
概率
几何变换
天体运动
迭代（一）：方程求解
寻优
最速降线
迭代 （二）：分形
迭代（三）：混沌
密码
初等几何定理的机器证明
2009-7-24
网上 实验室网址：
202.38.68.76/~mathexp/
或,http://www.ustc.edu.cn?
院系介绍?数学系?常用连接
网上数学实验
2009-7-24
再见
2 4 6 8 10-3-2.5-2-1.5-1-0.5
