1
补充内容：回归分析法
回归分析是计量经济学中最为基础的一部份内容。在这里我们简单地介绍回归分析中估计模型具体参数值的方法。
2
一、一元线性回归与最小二乘法
Y=b0+b1x+ε，其中 y 为应变量,x为自变量,b0为模型的截距,b1为 x变量的系数,ε为随机误差项。
如果现在有一系列的 y与 x的值，我们可以用很多方法来找到一个线性的方程，例如任意连接两个特定的点，
但这种方法显然不能给出一条最好的拟合直线。另一种方法是找出一条直线，使得直线与已有的点之间的距离的和最小，但由于这条直线与点之间的距离有时为正有时为负，求和时会相互抵消，所以用这种方法找到的直线也并不一定最好。于是我们想到要找到一条这样的直线，使得直线与点之间的距离的平方和最小：
3
y
x
Y=b0+b1x
ii yy
0
4
n
i
ii yy
1
2
5
其中 yi表示的是 y的观测值，而 表示的是根据拟合直线方程得出的 y值，即：
其中,与 是根据计量方法得出的模型参数的估计值。这里所用的寻找拟合直线的方法叫做最小二乘法。
iy?
ii xbby 10
1?b0?b
6
根据最小二乘法的定义，即：
n
i
ii yy
1
2
m in
7
n
i
n
i
iiii xbbyyyW
1 1
22
10?
根据多元微分极值原理可知，使
W达最小的了 b0,b1值必须满足：
8
02
1
10
0
n
i
ii xbby
b
W
02
1
10
1
iii xxbby
b
W n
i
9
求解上述方程组得：
n
i
i
n
i
n
i
n
i
n
n
yxyxn
b
i
i
iiii
xx
1
1
2
2
1 1 1
1
n
i
n
i
ii x
n
b
y
n
b
11
1
0
10
例 1：
某地区人均收入与某耐用消费品销售额的资料如下表所示：请求出其一元回归模型。
年份 1991 1992 1993 1994 1995 1996
人均收入 x/元 680 760 900 940 1120 1240
耐用消费品销售额 y/
万元
164 180 200 228 280 288
11
数据计算序号 xi yi xi× xi yi× yi xiyi
1
2
3
4
5
6
合计
12
序号 xi yi xi× xi yi× yi xiyi
1 680 164 462400 26896 111520
2 760 180 577600 32400 136800
3 900 200 810000 40000 180000
4 940 228 883600 51984 214320
5 1120 280 1254400 78640 313600
6 1240 288 1537600 82944 357120
合计 5640 1340 5525600 312624 1313760
13
可以得到,y=-2.267+0.24x
即人均收入每增加 1元，某耐用消费品的销售额就增加 0.24元。
14
例 2
假定一家连锁店在自己的六家分店中销售蛋糕。各分店销售价格及销售量职下表所示，假设蛋糕的价格与销售量之间的关系为线性关系，其形式为 y=α+βx，请用最小二乘法估计回归方程中的参数值。
分店编号 1 2 3 4 5 6
价格 7.9 9.9 12.5 8.9 5.9 4.5
销售量 4650 3020 2150 4400 6380 5500
15
解：
Y=8532.7-505.95x
补充内容：回归分析法
回归分析是计量经济学中最为基础的一部份内容。在这里我们简单地介绍回归分析中估计模型具体参数值的方法。
2
一、一元线性回归与最小二乘法
Y=b0+b1x+ε，其中 y 为应变量,x为自变量,b0为模型的截距,b1为 x变量的系数,ε为随机误差项。
如果现在有一系列的 y与 x的值，我们可以用很多方法来找到一个线性的方程，例如任意连接两个特定的点，
但这种方法显然不能给出一条最好的拟合直线。另一种方法是找出一条直线，使得直线与已有的点之间的距离的和最小，但由于这条直线与点之间的距离有时为正有时为负，求和时会相互抵消，所以用这种方法找到的直线也并不一定最好。于是我们想到要找到一条这样的直线，使得直线与点之间的距离的平方和最小：
3
y
x
Y=b0+b1x
ii yy
0
4
n
i
ii yy
1
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其中 yi表示的是 y的观测值，而 表示的是根据拟合直线方程得出的 y值，即：
其中,与 是根据计量方法得出的模型参数的估计值。这里所用的寻找拟合直线的方法叫做最小二乘法。
iy?
ii xbby 10
1?b0?b
6
根据最小二乘法的定义，即：
n
i
ii yy
1
2
m in
7
n
i
n
i
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1 1
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10?
根据多元微分极值原理可知，使
W达最小的了 b0,b1值必须满足：
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02
1
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0
n
i
ii xbby
b
W
02
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i
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求解上述方程组得：
n
i
i
n
i
n
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b
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ii x
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例 1：
某地区人均收入与某耐用消费品销售额的资料如下表所示：请求出其一元回归模型。
年份 1991 1992 1993 1994 1995 1996
人均收入 x/元 680 760 900 940 1120 1240
耐用消费品销售额 y/
万元
164 180 200 228 280 288
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数据计算序号 xi yi xi× xi yi× yi xiyi
1
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合计
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序号 xi yi xi× xi yi× yi xiyi
1 680 164 462400 26896 111520
2 760 180 577600 32400 136800
3 900 200 810000 40000 180000
4 940 228 883600 51984 214320
5 1120 280 1254400 78640 313600
6 1240 288 1537600 82944 357120
合计 5640 1340 5525600 312624 1313760
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可以得到,y=-2.267+0.24x
即人均收入每增加 1元，某耐用消费品的销售额就增加 0.24元。
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例 2
假定一家连锁店在自己的六家分店中销售蛋糕。各分店销售价格及销售量职下表所示，假设蛋糕的价格与销售量之间的关系为线性关系，其形式为 y=α+βx，请用最小二乘法估计回归方程中的参数值。
分店编号 1 2 3 4 5 6
价格 7.9 9.9 12.5 8.9 5.9 4.5
销售量 4650 3020 2150 4400 6380 5500
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解：
Y=8532.7-505.95x
