2009-7-24
第六章 多元函数积分学
（ 1）重积分的引例与定义
（ 2）重积分的性质
（ 3）二重积分的几何意义作业,P98(B),2,4,5.
第一节 多元数量值函数积分复习和总结,定积分
（ 1）定积分是用来解决哪一类问题？
（ 2）解决这一类问题采用了什么思想方法？
（ 3）如何计算定积分？
ba dxxf
kk
n
kd
b
a
xfdxxf
10
lim
定积分,求 非均匀分布 在 区间上 的量的 求和问题要求解 非均匀分布 在 平面,空间立体上 的量的 求和问题推广所计算的量与 多元函数 及 平面 或 空间区域 有关被积函数 积分范围二元函数 平面区域 二重积分三元函数 空间区域 三重积分一段曲线 曲线积分一片曲面 曲面积分被积函数是 一元函数,积分范围是 直线上的区间
1-1 引例,求某一非均匀分布的物体的质量。
).( MfM处的密度为设点用“分、匀、合、精”的思想来求质量
1、物体为细棒
o
x
a b
0limm
b
a dxxf )(
xfMf
kkM?
kk xf
n
k 1
2、物体为薄板
o x
y )(?
k
),,2,1(:)(.1 nkk分
,),( kkkkM取
0lim,2 dm
3、物体为空间物质块。
),,2,1(:)(.1 nkVV k分
kkk
kkkkkk
VMfm
MfVM
)(
)(,),,(
则取
ox y
z
)(V
kV?
n
k
kkd VMfm
10
)(lim,2?
Mf
Mf
)( kMf
kkk Mfm )(
n
k
kkMf
1
)(?
n
k
kkkd fm
10
),(lim )2
n
k
kkd Mf
10
)(lim?
n
k
kkkkd Vfm
10
),,(lim )3
n
k
kkd VMf
10
)(lim
n
k
kk xfm
10
)(lim )1?
n
k
kk xMf
10
)(li m
总结,求质量非均匀分布在某一几何体 上的物体的质量。
上连续在 Mfu
kkMf
n
k 1
0
lim
d
m
为一段空间曲线? 4 kn
k
kkkd sfm
10
,,lim
为空间一片曲面? 5
k
n
k
kkkd Sfm
10
,,lim
))((, MMf且可度量，有界闭域为
);,,2,1(:1 nkn k 个子域为分;)(,2 kkkk MfM 做乘积取?;)(3
1
n
k
kkMf求和
0,m a x4 1 dnd knk 且当记?
.)(,)(
,)(lim
)(
1
0
dMfMf
Mf
n
k
kk
d
记作上的积分在则称此极限为存在如果
1、定义：
1-2 定义
ba dxxfxfMf )( )( 定积分
)( ),( ),(dyxfyxfMf 二重积分
)( ),,( ),,( V dvzyxfzyxfMf 三重积分
],[,ba?
)(,?平面域?
)(,V空间域?
,c平面曲线弧段,yxfMf?
对弧长的曲线积分
,S一片面曲,,zyxfMf?
曲面积分
dMf
dsyxfc,
dSzyxf,,S
2、关于定义的几点说明：
(1)积分存在时，值与区域的分法无关；
x
y
o
x
y
o
(2)
0,0 kk v?
代替 0?d
kMf
kMf(3)存在性
1-3 积分的性质线性性质
)( )( dMkf,)()(dMfk
)( )]()([ dMgMf,)()( )()( dMgdMf
？
不能用性质 2
)( )( dMf,)()( )()(
21
dMfdMf
:,21 则如果
性质 3
)( )( dMf,)()(dMg
:),()( 则上有如果在 MgMf
性质 4
)( )( dMf ).( )( CCf
:,)( 则连续上如果在 Mf?
特别：
:,1)( 则上如果在 Mf
)( d
LdMfl
MLMfl
,,,则如果例 1 证明广义中值定理：
则不变号在上连续在若,,, MgMgMf
pdMgpfdMgMf 其中分析,连续函数的介值定理,Lcl
cpfp 使得,
证明：
dMgLdMgMfdMgl
L
dMg
dMgMf
l?
dMg
dMgMf
pfp
1-4 二重积分的几何意义
,)(0),( 上的连续非负函数为平面域设 yxfz
)(?x
y
z
o
),( yxfz?
n
k
kkkd fdyxf
10)(
),(lim),(
则
kkkf),(在几何上
)( k
.),()( Vdyxf
二重积分几何意义为,
.
,),(
的曲顶柱体的体积为底以其投影域为顶面以 xyyxfz
kV
几个特殊结果：
kkd
)(
222
222
ayx
dyxa?.3
2 3a?
0,0,1
)1(
yxyx
dyx?.6
1
1、直角坐标系下的面积元素
x
y
o
)(?
在直角坐标系下，常用平行于两坐标轴的直线对积分域进行划分：
常数；取?x
x dxx?
y
dyy?
d
d x d yd则 -------直角坐标系下面积元素
.),(),( )()( d xd yyxfdyxf
常数；取?y
面积元素
2、极标系下的面积元素在极坐标系下：用一族从原点出发的射线和一族同心圆划分区域常数；取?r
r d r dd?则 -------极坐标系下面积元素
.)s i n,c o s(),( )()( r d r drrfdyxf
常数；取 o x
r
drr?
dd
第六章 多元函数积分学
（ 1）重积分的引例与定义
（ 2）重积分的性质
（ 3）二重积分的几何意义作业,P98(B),2,4,5.
第一节 多元数量值函数积分复习和总结,定积分
（ 1）定积分是用来解决哪一类问题？
（ 2）解决这一类问题采用了什么思想方法？
（ 3）如何计算定积分？
ba dxxf
kk
n
kd
b
a
xfdxxf
10
lim
定积分,求 非均匀分布 在 区间上 的量的 求和问题要求解 非均匀分布 在 平面,空间立体上 的量的 求和问题推广所计算的量与 多元函数 及 平面 或 空间区域 有关被积函数 积分范围二元函数 平面区域 二重积分三元函数 空间区域 三重积分一段曲线 曲线积分一片曲面 曲面积分被积函数是 一元函数,积分范围是 直线上的区间
1-1 引例,求某一非均匀分布的物体的质量。
).( MfM处的密度为设点用“分、匀、合、精”的思想来求质量
1、物体为细棒
o
x
a b
0limm
b
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n
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2、物体为薄板
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3、物体为空间物质块。
),,2,1(:)(.1 nkVV k分
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10
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总结,求质量非均匀分布在某一几何体 上的物体的质量。
上连续在 Mfu
kkMf
n
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为一段空间曲线? 4 kn
k
kkkd sfm
10
,,lim
为空间一片曲面? 5
k
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))((, MMf且可度量，有界闭域为
);,,2,1(:1 nkn k 个子域为分;)(,2 kkkk MfM 做乘积取?;)(3
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k
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.)(,)(
,)(lim
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1
0
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记作上的积分在则称此极限为存在如果
1、定义：
1-2 定义
ba dxxfxfMf )( )( 定积分
)( ),( ),(dyxfyxfMf 二重积分
)( ),,( ),,( V dvzyxfzyxfMf 三重积分
],[,ba?
)(,?平面域?
)(,V空间域?
,c平面曲线弧段,yxfMf?
对弧长的曲线积分
,S一片面曲,,zyxfMf?
曲面积分
dMf
dsyxfc,
dSzyxf,,S
2、关于定义的几点说明：
(1)积分存在时，值与区域的分法无关；
x
y
o
x
y
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(2)
0,0 kk v?
代替 0?d
kMf
kMf(3)存在性
1-3 积分的性质线性性质
)( )( dMkf,)()(dMfk
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？
不能用性质 2
)( )( dMf,)()( )()(
21
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:,21 则如果
性质 3
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:),()( 则上有如果在 MgMf
性质 4
)( )( dMf ).( )( CCf
:,)( 则连续上如果在 Mf?
特别：
:,1)( 则上如果在 Mf
)( d
LdMfl
MLMfl
,,,则如果例 1 证明广义中值定理：
则不变号在上连续在若,,, MgMgMf
pdMgpfdMgMf 其中分析,连续函数的介值定理,Lcl
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证明：
dMgLdMgMfdMgl
L
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pfp
1-4 二重积分的几何意义
,)(0),( 上的连续非负函数为平面域设 yxfz
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10)(
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则
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二重积分几何意义为,
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的曲顶柱体的体积为底以其投影域为顶面以 xyyxfz
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几个特殊结果：
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1、直角坐标系下的面积元素
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面积元素
2、极标系下的面积元素在极坐标系下：用一族从原点出发的射线和一族同心圆划分区域常数；取?r
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