2009-7-24
本讲主要内容
（ 1）化三重积分为先单积分后二重积分；
作业,P210 2,3,4.(2)
直角坐标系下三重积分的的计算
（ 3）举例；
（ 2）化三重积分为先重积分后单积分；
第四节 三重积分的计算法
dMf?


n
k
kkd Mf
10
)(lim
),,( zyxfMf? )(,V空间域?
)( ),,( V dvzyxf三重积分 kn
k
kkkd vf
10
,,lim
1、定义：
2、物理意义,
当物体为空间物质块时
V
mdvzyxfV )( ),,(
没有实际的几何意义
).,(),(
),(:)( )(
21 yxzzyxz
x o yV xy
且面投影域为在现在设区域一?
)( ),,(V dvzyxf对于三重积分
)(
,
V
dzzzzz
去划分

x
y
z
o
dy
dx
dz
dv
3、体积元素,
dV
则体积元素
.dxdy dz
)()( ),,(),,( VV d x d y d zzyxfdvzyxf
kn
k
kkkd vf
10
,,lim
:当用三族平面;,dxxxxx;,dyyyyy;m?
)(
)(,;,1
d x d yd
x o y
Vdyyyyy
dxxxxx


面投影为许多竖条它在分割为将用两族平面
:dm则可由定积分算得
),( ),(21 yxz yxzdm
上二重积分在整体质量则为 xydm3
xydmm?
)( ),,(V dvzyxf即


xy
ddzzyxfyxz
yxz?
),(
),(
2
1
),,(
yxzz,1?
yxzz,2?
d
x
y
dzz?
o
d z dzyxf ),,(
z
z
,2 dm对应竖条的质量?
先单后重
yxz,1
yxz,2
x
y
o
z
关键是定限
（ 1）当把（ V)往 xoy 面上投影时，
yxzzyxzxy,,21
)( ),,(V dvzyxf
xyd
（ 2）再利用二重积分在
xy?
上计算结果。
（ 3）同理，可把（ V）往其它坐标面上投影
),( ),(21 ),,(yxz yxz dzzyxf
例 1
.1
0,0,0)(
,2
)(
所围及由其中计算三重积分



zyx
zyxV
x y z d vI
V
x
y
z
o
解,),( 用先单后重次序面投影先向
xyxo y?
)( xy?
yxz 1
)( xydI
yx xyz d z1
0 2 )(
2)1(
xy
dyxxy
x dyyxxydx 10 210 )1(
10 4)1(12 dxxx 作变换令 tx1
10 4,3601121 dttt
.)(
,:)(,)(
易求轴的截面且垂直于具有如果区域二
zz
bzaV

（切片法）;)(1 分割为薄片用平行平面将 V?
x
y
z
o
a
b z?
z
dzz? dm
z 上的二重积分算得则可由在?
)( zdm?
上定积分在整体质量则为 ],[3 badm?
bam
)( ),,(V dvzyxf即

b
a
dzdzyxf
z )(
),,(
dm
,2 dm对应薄片的质量?
dzdzyxf?),,(
)( ),,(V dvzyxf即


b
a
dzdzyxf
z )(
),,(
.
)(,
的定积分二重积分后对域上的在即化三重积分为先对
z
yx z?
:,)(),,(,上式积分为时当特别 zzyxf
)( )(V dvz b
a z
dzz )(
因此，三重积分的计算可归结为：
（ 1）画出积分域的图形，知道边界面的方程；
（ 2）根据积分域特征及被积函数的特点，确定是先投影，还是用切片法对应不同积分次序；
（ 3）根据上述结果，化三重积分为累次积分并计算。
.,)(
,
2
2
2
2
)(
2
所围由其中计算三重积分
hz
b
y
a
x
zV
dvzI
V


例 2
x y
z
o
h
分析
.,
,0:)(;),,(
2
2
2
2
2
所以宜用切片法为椭圆去截截面且用同时有关仅与首先
z
b
y
a
x
zzhzV
zzzyxf


)( z?
)( 2V dvz h z dzz0 2?
a b z
zb
y
za
x
z
z


,12
2
2
2
的面积为椭圆而
hh z a b z d zzdzzI 0 20 2 4
4
1 abh
当被积函数为 1时，
.V
)(
V
dv
例 3
.12
2
2
2
2
2
的体积求椭球 czbyax
分析
,1 2
2
2
2
2
2
c
z
b
y
a
x
切片法
)( V dv )( zddz
c
c?

c
c z
dz?
)1( 2
2
c
zab
z而
)( V dv
c
c
dz
c
zab )1(
2
2
,
3
4 abc
解
z
d
练习
.1:)(,
:
)(
2 与三坐标面所围由解三重积分用两种积分次序分别求

c
z
b
y
a
xVdvz
V
o
x
y
z
a
b
c解法一 ).()( xyxo yV?面投影得向将
)( xy?
).1(0 byaxcz则
)( 2 V dvz )1(0 2)( b
y
a
xc
dzzd
xy?
)( 33 )1(31xy dbyaxc
)1(0 330 )1(31a
xba
dybyaxcdx
a dxaxbc0 43 )1(121,
60
3abc
o
x
y
z
a
b
c解法二 ).()( zVzz?得平面去截用?
)( z
z?可求得其面积 2
2 )(2 zcc
ab?
)( 2 V dvz )( 20
z
dzdzc
c z dzz0 2?
c dzzczcab 0 222 )(2
.60302
35
2
abcc
c
ab
小结：
)( ),,(1 V dvzyxf
没有实际的几何意义，但有物理意义；
（ 2）根据积分域特征及被积函数的特点，确定是先投影，还是用切片法对应不同积分次序；
一般，先单后重：

xy
ddzzyxfyxz
yxz?
),(
),(
2
1
),,(
)( ),,(V dvzyxf即
先重后单：切片面积比较好求时，当,,,zzyxf
)( ),,(V dvzyxf即 b
a z
dzz )(
定限