2009-7-24
本讲主要内容
（ 1）元素法
（ 2）质心与形心
（ 3）转动惯量作业,P234 1,2,4
第五节 重积分在物理中的应用一、元素法：
:)()( Q上的物理量区域或空间在平面现在要求一非均匀分布?
定积分元素法关键是 建立积分微元
],[)1 dxxx?取 dxxfdQ )(?
作积分对 dQ)2 b
a dQQ
在实际问题中，通常与定积分类似：;
)()()1(
dQ
dQd
值即为公式，用乘法求得近似根据已知的几何或物理视为一点，视为均匀分布或将上将量在微小区域
.)()2( QdQ 量上进行积分即得到所求在区域再将?
重积分的元素法键是同定积分元素法一样关 dQ 建立积分微元二、在力学中的应用
1,质心
rm,)1( 距一直线或平面为的质点质量为,称为静矩则 mr
生的静矩。的静矩等价与质量组产使得该点对轴或面点质心即当质量集中在该,)2(
下面据此来求平面或立体的质心问题,
x
y
o
1m
2m
nm
1x 2x nx
1y
2y
ny
n
k
kkx ymM
1
n
k
kky xmM
1
n
k
kmm
1
令
yMxm?
xMym?
m
Mx y
m
My x?,
非均匀物质薄板的质心
o x
y )(?
d
).,(),( yx 密度为设其区域为
x
y
),( yxM
,),()1(?dyxM 处面积元素取点
,),( dyxdm?对应的质量元素
:轴的静矩分别为轴及它对 yx
yd mdM x?,),( dyxy?
xd mdM y?,),( dyxx?
:,)()2( 有作积分在区域?;),()( dyxm ;),(
)( dyxyM x ;),()( dyxxM y
:),,()3( 则由定义有设质心为 yx
yMxm?
,),(
),(
)(
)(
dyx
dyxx
x
)(
)(
),(
),(
dyx
dyxy
y
),( yx
xMym?
:,),(,质心公式为常数时即均匀分布当特别?yx?
)(
)(
),(
),(
dyx
dyxx
x
)(
)(
),(
),(
dyx
dyxy
y
,
)(
)(
d
dx
,
)(
)(
d
dy
.)(,形状有关仅与区域特点?
.)( 图形的形心称为?
同理可以求出空间立体的质心和形心
o
x
y
z
)(V
dV ).,,(:,zyx体密度为此时
,
),,(
),,(
)(
)(
V
V
dVzyx
dVzyxx
x
,
),,(
),,(
)(
)(
V
V
dVzyx
dVzyxy
y
,
),,(
),,(
)(
)(
V
V
dVzyx
dVzyxz
z
质心公式形心公式 `
,
)(
V
dVx
x V
,)(
V
y d V
y V
,
)(
V
dVz
z V
),,( zyxp
例 1,)1( 22 的形心求半圆形 xay
)(?
xo
y
解
,0:)1(?x由对称性知
)(
)(
d
dy
y
2
00
2
1
s i n
a
r d rrd
a
,
3
4
2
1
3
2
2
3
a
a
a
.)2( 222 的形心求半球形 yxaz
y
z
o
)( xy?
0,0:)2( yx由对称性知
.838 3
4 a
a
a
x
V
dVz
z V )(
22002032 3 raa z d zr d rda
a drrarda 0
222
03 2
)(
2
3
x
y
z
o
V
dVz
z V )(
另解 (2)
.:))(( 2222 zayxz切片法
)( z?
)(VzdV dzzdz
a
)(0
a dzzaz0 22 )(?,41 4a
表示其中 )(
z
dzzd,],[ xydMxo ydzzz 面的静矩薄片对?
xydM如何求,),,0,0( dzz z?体积为其形心为
dzzdM zxy
工程上的切片法
dzzaz )( 22
三,转动惯量
,
,,)1(
角速度为距一轴为的质点质量为 rm
.的转动惯量则质点对直线 L
,
,)2(
则需要用元素法求对某一轴的转动惯量或空间区域时当质量连续分布在平面
L
m
r,rv则
.)(2121 222?mrmv?动能
2mrI L?
.平面的转动惯量质点对 xy 2mzI
xy?
.的转动惯量质点对原点 O )( 222 zyxmI
o
.轴的转动惯量则质点对 z )( 22 yxmI
z
物质薄板的转动惯量
o x
y )(?
d
).,(),( yx 密度为设其区域为
x
y
),( yxM
,),()1(?dyxM 处面积元素取点
,),( dyxdm?对应的质量元素
:轴的转动惯量分别为轴及它对 yx
dmydI x 2?,),(2 dyxy?
dmxdI y 2?,),(2 dyxx?
:,)()2( 有作积分在区域?;),()( 2 dyxyI x ;),()( 2 dyxxI y
对坐标原点的转动惯量
222 yxr
.)()( 22)( 2 dyxdmrI o,yx II
对坐标轴的转动惯量公式同理可以求出空间立体的转动惯量
o
x
y
z
)(V
dV
).,,(:,zyx体密度为此时对坐标轴的转动惯量公式
x
y
z
:分别为对三坐标轴的距离平方注意 dV
222 zyrx 222 zxry
222 yxrz
)( 2V xx dmrI
)( 2V yy dmrI
)( 2V zz dmrI
对坐标原点的转动惯量
2222 zyxr
)( 222)( 2 )(VVo dVzyxdmrI?
)( 22 )(V dVzy?
)( 22 )(V dVzx?
)( 22 )(V dVyx?
x
y
o
例 3
.
)(
Do II
R
和对直径的转动惯量转动惯量对中心轴的密度为的圆盘求半径为?
解
)( 22 )( dyxI o
R dd 0 220
2
4R
:由对称性知
DI xI? yI?
oD II 2
1,4
2mR
oyx III而
.2
2mR
例 4
.
)(
DI
R
直径的转动惯量对密度为的球体求半径为?
解
)( 22 )(VzD dvyxII?
20 d
53
222 5R
.158 5R
2
0
3s in d?R d
0
4
o
x
y
z
0 dR d0 222 s i ns i n
)( z?
o
x
y
z
另解
DI dzR
R
)( z? 2222 zRyx
RR dzzR 2 )(
222
.158 5R
)( 22 )(z dyx
表示其中)( 22 )(
z
dzdyx
.],[ zdIzdzzz 轴的转动惯量薄片对?
zdI如何求,,2 dzrr?体积为设截面半径为
2
2 dmr
dI z 由前例工程上的切片法
2
)( 222 dzzR
2
4dzr
另解
)(V
o
x
y
z
)( 22 )(VxD dvyzII?
)( 22 )(VyD dvzxII?
)( 2Vyz dvxI?
)( 2Vxy dvzI?
)( 2Vxz dvyI?
)( 22 )(VzD dvyxII?
)( 222 )(Vo dvzyxI?
)( 2Vo dvI
ddd R 40 020 s i n
5
4 5R
ozyxD IIIII 3
2
oxzyzxy IIII 3
1
本讲主要内容
（ 1）元素法
（ 2）质心与形心
（ 3）转动惯量作业,P234 1,2,4
第五节 重积分在物理中的应用一、元素法：
:)()( Q上的物理量区域或空间在平面现在要求一非均匀分布?
定积分元素法关键是 建立积分微元
],[)1 dxxx?取 dxxfdQ )(?
作积分对 dQ)2 b
a dQQ
在实际问题中，通常与定积分类似：;
)()()1(
dQ
dQd
值即为公式，用乘法求得近似根据已知的几何或物理视为一点，视为均匀分布或将上将量在微小区域
.)()2( QdQ 量上进行积分即得到所求在区域再将?
重积分的元素法键是同定积分元素法一样关 dQ 建立积分微元二、在力学中的应用
1,质心
rm,)1( 距一直线或平面为的质点质量为,称为静矩则 mr
生的静矩。的静矩等价与质量组产使得该点对轴或面点质心即当质量集中在该,)2(
下面据此来求平面或立体的质心问题,
x
y
o
1m
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nm
1x 2x nx
1y
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n
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1
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k
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1
令
yMxm?
xMym?
m
Mx y
m
My x?,
非均匀物质薄板的质心
o x
y )(?
d
).,(),( yx 密度为设其区域为
x
y
),( yxM
,),()1(?dyxM 处面积元素取点
,),( dyxdm?对应的质量元素
:轴的静矩分别为轴及它对 yx
yd mdM x?,),( dyxy?
xd mdM y?,),( dyxx?
:,)()2( 有作积分在区域?;),()( dyxm ;),(
)( dyxyM x ;),()( dyxxM y
:),,()3( 则由定义有设质心为 yx
yMxm?
,),(
),(
)(
)(
dyx
dyxx
x
)(
)(
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),(
dyx
dyxy
y
),( yx
xMym?
:,),(,质心公式为常数时即均匀分布当特别?yx?
)(
)(
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x
)(
)(
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dyx
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y
,
)(
)(
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,
)(
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dy
.)(,形状有关仅与区域特点?
.)( 图形的形心称为?
同理可以求出空间立体的质心和形心
o
x
y
z
)(V
dV ).,,(:,zyx体密度为此时
,
),,(
),,(
)(
)(
V
V
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x
,
),,(
),,(
)(
)(
V
V
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dVzyxy
y
,
),,(
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V
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质心公式形心公式 `
,
)(
V
dVx
x V
,)(
V
y d V
y V
,
)(
V
dVz
z V
),,( zyxp
例 1,)1( 22 的形心求半圆形 xay
)(?
xo
y
解
,0:)1(?x由对称性知
)(
)(
d
dy
y
2
00
2
1
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,
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.)2( 222 的形心求半球形 yxaz
y
z
o
)( xy?
0,0:)2( yx由对称性知
.838 3
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V
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22002032 3 raa z d zr d rda
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)(
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另解 (2)
.:))(( 2222 zayxz切片法
)( z?
)(VzdV dzzdz
a
)(0
a dzzaz0 22 )(?,41 4a
表示其中 )(
z
dzzd,],[ xydMxo ydzzz 面的静矩薄片对?
xydM如何求,),,0,0( dzz z?体积为其形心为
dzzdM zxy
工程上的切片法
dzzaz )( 22
三,转动惯量
,
,,)1(
角速度为距一轴为的质点质量为 rm
.的转动惯量则质点对直线 L
,
,)2(
则需要用元素法求对某一轴的转动惯量或空间区域时当质量连续分布在平面
L
m
r,rv则
.)(2121 222?mrmv?动能
2mrI L?
.平面的转动惯量质点对 xy 2mzI
xy?
.的转动惯量质点对原点 O )( 222 zyxmI
o
.轴的转动惯量则质点对 z )( 22 yxmI
z
物质薄板的转动惯量
o x
y )(?
d
).,(),( yx 密度为设其区域为
x
y
),( yxM
,),()1(?dyxM 处面积元素取点
,),( dyxdm?对应的质量元素
:轴的转动惯量分别为轴及它对 yx
dmydI x 2?,),(2 dyxy?
dmxdI y 2?,),(2 dyxx?
:,)()2( 有作积分在区域?;),()( 2 dyxyI x ;),()( 2 dyxxI y
对坐标原点的转动惯量
222 yxr
.)()( 22)( 2 dyxdmrI o,yx II
对坐标轴的转动惯量公式同理可以求出空间立体的转动惯量
o
x
y
z
)(V
dV
).,,(:,zyx体密度为此时对坐标轴的转动惯量公式
x
y
z
:分别为对三坐标轴的距离平方注意 dV
222 zyrx 222 zxry
222 yxrz
)( 2V xx dmrI
)( 2V yy dmrI
)( 2V zz dmrI
对坐标原点的转动惯量
2222 zyxr
)( 222)( 2 )(VVo dVzyxdmrI?
)( 22 )(V dVzy?
)( 22 )(V dVzx?
)( 22 )(V dVyx?
x
y
o
例 3
.
)(
Do II
R
和对直径的转动惯量转动惯量对中心轴的密度为的圆盘求半径为?
解
)( 22 )( dyxI o
R dd 0 220
2
4R
:由对称性知
DI xI? yI?
oD II 2
1,4
2mR
oyx III而
.2
2mR
例 4
.
)(
DI
R
直径的转动惯量对密度为的球体求半径为?
解
)( 22 )(VzD dvyxII?
20 d
53
222 5R
.158 5R
2
0
3s in d?R d
0
4
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x
y
z
0 dR d0 222 s i ns i n
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另解
DI dzR
R
)( z? 2222 zRyx
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222
.158 5R
)( 22 )(z dyx
表示其中)( 22 )(
z
dzdyx
.],[ zdIzdzzz 轴的转动惯量薄片对?
zdI如何求,,2 dzrr?体积为设截面半径为
2
2 dmr
dI z 由前例工程上的切片法
2
)( 222 dzzR
2
4dzr
另解
)(V
o
x
y
z
)( 22 )(VxD dvyzII?
)( 22 )(VyD dvzxII?
)( 2Vyz dvxI?
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)( 22 )(VzD dvyxII?
)( 222 )(Vo dvzyxI?
)( 2Vo dvI
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5
4 5R
ozyxD IIIII 3
2
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