2009-7-24
本讲主要内容
（ 1）化二重积分为二次积分；
（ 2）交换积分次序；
直角坐标系下二重积分的计算
（ 3）举例；
直角坐标系下的面积元素
x
y
o
)(?
在直角坐标系下，常用平行于两坐标轴的直线对积分域进行划分：
常数；取?x
x dxx?
y
dyy?
d
d x d yd则 -------直角坐标系下面积元素
.),(),( )()( d xd yyxfdyxf
常数；取?y
面积元素二重积分的定义第二节 重积分的计算方法从二重积分的几何意义
)( ),(dyxf?
n
k
kkkd f
10
),(lim
而对于 一定结构立体的体积 可以通过 定积分 来求 。
)( ),(dyxf ).0),((?yxfV
如：已知平行截面立体的体积。
.,
),()(,
考虑用定积分来求解所构成的立体特点的形状及与被积函数可以根据积分域因此 yxf?
:)()(?设积分域为I
Vd x d yyxf )( ),(?
.V体体积方法来求体积求立因此可用已知平行截面
xyy 1?
xyy 2?
a b
:)( 的不同形状来分析下面根据积分域?
.0),(,),()( yxfdyxf考虑积分
).()(,21 xyyxybxa
xyy 1?
z
y
b
x
o a
yxfz,?
xyy 2?
,
)(
之间与面是夹在两平行平立体
bxax
V
)(,
],,[1
1
1
1
xS
xxy o z
bax
记截面面积为截立体坐标面的平面作平行于任取
)( 1xS? )(
)( 1
12
11
),(xy
xy
dyyxf
按定积分求体积的方法?2
ba dxxSV 11 )( ba dxxS )(
从而得到二重积分?3
ba xy xy dxdyyxfdx dyyxf )( )()( 21 ),(),(?
)( )(21 ),(xy xyba dyyxfdx
.的二次积分后对即化二重积分为先对 xy
xyy 1?
z
y
b
x
o a
1x
yxfz,?
xyy 2?
)( 1xS
几点小结：
计算方法实现了二重积分的一种通过体积作为过渡,)1(
.)( 来求解单积分通过计算两次定积分
定限：射线法二重积分的计算关键是2
xyy 1?
xyy 2?
a b
x
)1
)(
,,
过轴作一射线穿沿过即内任取一点在 yxxba
)( )(21 ),(xy xy dyyxf
)2?,作积分到从再让 bax
ba dx )( ),(? d x d yyxf
,
)3(
法来定限构的积分域均可用此方即具有此类结该定限过程具有一般性
).()(,,21 xyyxybxa
先交的作为下限，后交的作为上限
ba xy xy dxdyyxfdx dyyxf )( )()( 21 ),(),(?
).()(,21 yxxyxdyc
)( ),(? d x d yyxf
.的二次积分后对即化二重积分为先对 yx
因此，二重积分的计算可归结为：
（ 1）画出积分域的图形，标出边界线方程 ；
（ 2）根据积分域特征，确定积分次序；
（ 3）根据上述结果，化二重积分为二次积分并计算。
x
y
o
yxx 1?
yxx 2?
c
d
:)()(?设积分域为II
y
)( )(21 ),(yx yx dxyxf?dc dy
例 1
.1,0,)(
,)2(
2
)(
2
所围由其中计算二重积分
xyxy
dyxI
o x
y
1
2xy?
解 1 )( 积分次序计算后按先 xy
20 210 )2(x dyyxdxI
10 022 2|)( dxyyx x 10 42 dxx,52?
解 2 )( 积分次序计算后按先 yx
1 210 )2(y dxyxdyI
10 13 |)231( dyxyx y 1
0
2/3 )
3
72
3
1( dyyy
.52)151431(
1
0
2/52 yyy
注意两种积分次序的计算效果！
例 2
.1,0,8)(
,),(
222
)(
所围及由其中为二次积分化二重积分
yyxyyx
dyxfI
xo
y 822 yx
2yx?
1
1 7
解
.
,)(
的二次积分后容易写出先的特点根据积分域
yx
.),(
2
2
81
0
y
y
dxyxfdyI
8
.虑的二次积分要分区域考后对于先 xy
y dyyxfdx 010 ),( 1071 ),( dyyxfdx,),(28
0
8
7
x dyyxfdx?I
本题进一步说明两种积分次序的不同 计算效果！
例 3
.,)(
,
s i n
)(
所围由其中计算二重积分
xyxy
d
y
y
I
o x
y
1
xy?
解 )( 积分次序计算后按先 xy
xx dyy ydxI s i n10
xy?
积不出的积分，无法计算。
),( 积分次序计算后按先改变积分次序 yx
yy dxy ydyI 2 s i n10 10 2 )(s i n dyyyy y
1010 s i ns i n yd yyyd y
.1s i n1)1s i n1( c o s1c o s1
1
例 4
.),(),( 21 1 2/10 2/ 次序交换积分 xxx dyyxfdxdyyxfdxI
解 由给出的积分画出相应的积分区域
o x
y
1
1
2
xy?
2/xy?
.2,10,2 yxyy区域可表示为
.),(21
0 2
y
y
dxyxfdyI
例 5
.
0,0,0,1
22 所围立体的体积曲面及求由平面
yxz
zyxyx
解
V
:知由二重积分的几何意义
)( 22 )(dyx
.)61(? x
y
z
o
例 6
.10,10:)(,||)( 2 yxdxyI 为其中计算积分
解当被积函数中有绝对值时，要考虑积分域中不同范围脱去绝对值符号。
:)()(
)(
21
2
和两部分分为将xy?
o x
y
1
1
2xy?
)( 1?
)( 2?
I
)(
2
1
)(dxy )( 2
2
)(dyx
10
1
15
4
分析：
例 7
.,:)(
,)()()()(:
)(
dycbxa
dxxgdxxfdygxf
d
c
b
a
证明例 8
.)(
)(
1
)(
)(
2abdx
xf
dxxf
xf
b
a
b
a
为正的连续函数，则证明：设
本讲主要内容
（ 1）化二重积分为二次积分；
（ 2）交换积分次序；
直角坐标系下二重积分的计算
（ 3）举例；
直角坐标系下的面积元素
x
y
o
)(?
在直角坐标系下，常用平行于两坐标轴的直线对积分域进行划分：
常数；取?x
x dxx?
y
dyy?
d
d x d yd则 -------直角坐标系下面积元素
.),(),( )()( d xd yyxfdyxf
常数；取?y
面积元素二重积分的定义第二节 重积分的计算方法从二重积分的几何意义
)( ),(dyxf?
n
k
kkkd f
10
),(lim
而对于 一定结构立体的体积 可以通过 定积分 来求 。
)( ),(dyxf ).0),((?yxfV
如：已知平行截面立体的体积。
.,
),()(,
考虑用定积分来求解所构成的立体特点的形状及与被积函数可以根据积分域因此 yxf?
:)()(?设积分域为I
Vd x d yyxf )( ),(?
.V体体积方法来求体积求立因此可用已知平行截面
xyy 1?
xyy 2?
a b
:)( 的不同形状来分析下面根据积分域?
.0),(,),()( yxfdyxf考虑积分
).()(,21 xyyxybxa
xyy 1?
z
y
b
x
o a
yxfz,?
xyy 2?
,
)(
之间与面是夹在两平行平立体
bxax
V
)(,
],,[1
1
1
1
xS
xxy o z
bax
记截面面积为截立体坐标面的平面作平行于任取
)( 1xS? )(
)( 1
12
11
),(xy
xy
dyyxf
按定积分求体积的方法?2
ba dxxSV 11 )( ba dxxS )(
从而得到二重积分?3
ba xy xy dxdyyxfdx dyyxf )( )()( 21 ),(),(?
)( )(21 ),(xy xyba dyyxfdx
.的二次积分后对即化二重积分为先对 xy
xyy 1?
z
y
b
x
o a
1x
yxfz,?
xyy 2?
)( 1xS
几点小结：
计算方法实现了二重积分的一种通过体积作为过渡,)1(
.)( 来求解单积分通过计算两次定积分
定限：射线法二重积分的计算关键是2
xyy 1?
xyy 2?
a b
x
)1
)(
,,
过轴作一射线穿沿过即内任取一点在 yxxba
)( )(21 ),(xy xy dyyxf
)2?,作积分到从再让 bax
ba dx )( ),(? d x d yyxf
,
)3(
法来定限构的积分域均可用此方即具有此类结该定限过程具有一般性
).()(,,21 xyyxybxa
先交的作为下限，后交的作为上限
ba xy xy dxdyyxfdx dyyxf )( )()( 21 ),(),(?
).()(,21 yxxyxdyc
)( ),(? d x d yyxf
.的二次积分后对即化二重积分为先对 yx
因此，二重积分的计算可归结为：
（ 1）画出积分域的图形，标出边界线方程 ；
（ 2）根据积分域特征，确定积分次序；
（ 3）根据上述结果，化二重积分为二次积分并计算。
x
y
o
yxx 1?
yxx 2?
c
d
:)()(?设积分域为II
y
)( )(21 ),(yx yx dxyxf?dc dy
例 1
.1,0,)(
,)2(
2
)(
2
所围由其中计算二重积分
xyxy
dyxI
o x
y
1
2xy?
解 1 )( 积分次序计算后按先 xy
20 210 )2(x dyyxdxI
10 022 2|)( dxyyx x 10 42 dxx,52?
解 2 )( 积分次序计算后按先 yx
1 210 )2(y dxyxdyI
10 13 |)231( dyxyx y 1
0
2/3 )
3
72
3
1( dyyy
.52)151431(
1
0
2/52 yyy
注意两种积分次序的计算效果！
例 2
.1,0,8)(
,),(
222
)(
所围及由其中为二次积分化二重积分
yyxyyx
dyxfI
xo
y 822 yx
2yx?
1
1 7
解
.
,)(
的二次积分后容易写出先的特点根据积分域
yx
.),(
2
2
81
0
y
y
dxyxfdyI
8
.虑的二次积分要分区域考后对于先 xy
y dyyxfdx 010 ),( 1071 ),( dyyxfdx,),(28
0
8
7
x dyyxfdx?I
本题进一步说明两种积分次序的不同 计算效果！
例 3
.,)(
,
s i n
)(
所围由其中计算二重积分
xyxy
d
y
y
I
o x
y
1
xy?
解 )( 积分次序计算后按先 xy
xx dyy ydxI s i n10
xy?
积不出的积分，无法计算。
),( 积分次序计算后按先改变积分次序 yx
yy dxy ydyI 2 s i n10 10 2 )(s i n dyyyy y
1010 s i ns i n yd yyyd y
.1s i n1)1s i n1( c o s1c o s1
1
例 4
.),(),( 21 1 2/10 2/ 次序交换积分 xxx dyyxfdxdyyxfdxI
解 由给出的积分画出相应的积分区域
o x
y
1
1
2
xy?
2/xy?
.2,10,2 yxyy区域可表示为
.),(21
0 2
y
y
dxyxfdyI
例 5
.
0,0,0,1
22 所围立体的体积曲面及求由平面
yxz
zyxyx
解
V
:知由二重积分的几何意义
)( 22 )(dyx
.)61(? x
y
z
o
例 6
.10,10:)(,||)( 2 yxdxyI 为其中计算积分
解当被积函数中有绝对值时，要考虑积分域中不同范围脱去绝对值符号。
:)()(
)(
21
2
和两部分分为将xy?
o x
y
1
1
2xy?
)( 1?
)( 2?
I
)(
2
1
)(dxy )( 2
2
)(dyx
10
1
15
4
分析：
例 7
.,:)(
,)()()()(:
)(
dycbxa
dxxgdxxfdygxf
d
c
b
a
证明例 8
.)(
)(
1
)(
)(
2abdx
xf
dxxf
xf
b
a
b
a
为正的连续函数，则证明：设
